MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
Tema A4 Termofluidos: Magnetohidrodinámica
Flujo combinado magnetohidrodinámico-presión de tres fluidos pseudoplásticos inmiscibles en un conducto de placas planas paralelas
Escandón Colin Juan Pablo*, Rodríguez Rodríguez Jovany Antonio, Gómez López Juan Rolando
Instituto Politécnico Nacional, SEPI-ESIME Azcapotzalco, Av de las Granjas No. 682, Col Santa Catarina, Del. Azcapotzalco, Ciudad de México, C.P.
02250, México
*Autor contacto.Dirección de correo electrónico: [email protected]
R E S U M E N
La presente investigación analiza el flujo combinado magnetohidrodinámico-presión de tres fluidos pseudoplásticos
inmiscibles en un conducto de placas planas paralelas. Los fluidos son eléctricamente conductores y el material del
conducto es dieléctrico. El modelo matemático se basa en las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento y
constitutivas de fluidos de ley de potencia para la reología de los fluidos y de la ley de Ohm para los efectos magnéticos.
Los perfiles de velocidad del flujo se obtienen resolviendo un sistema cerrado de ecuaciones diferenciales ordinarias en
conjunto de las condiciones de frontera en las paredes del conducto e interfases entre los fluidos. Los resultados muestran
que el flujo es controlado por parámetros adimensionales que surgen del modelado matemático como lo son un parámetro
que indica la competencia de las fuerzas de presión a las magnéticas, parámetros magnéticos relacionados a números de
Hartmann, razones de viscosidades entre los fluidos y posición adimensional de las interfases.
Palabras Clave: Magnetohidrodinámica, fluidos inmiscibles, fluidos pseudoplásticos, perfiles de velocidad.
A B S T R A C T
The present research analyzes the combined magnetohydrodynamic-pressure flow of three immiscible pseudoplastic fluids
in a parallel flat plate channel. The fluids are electrically conducting and the channel material is dielectric. The
mathematical model is based on the equations of conservation of momentum and constitutive fluids of power law for the
rheology of fluids and Ohm's law for magnetic effects. The velocity profiles of the flow are obtained by solving a closed
system of ordinary differential equations together of the boundary conditions in the channel walls and interfaces between
the fluids. The results show that the flow is controlled by dimensionless parameters that arise from the mathematical
modeling as they are a parameter that indicates the competition of the forces of pressure to the magnetic ones, magnetic
parameters related to Hartmann numbers, viscosities ratios between the fluids and dimensionless position of the interfaces.
Keywords: Magnetohydrodynamics, immiscible fluids, pseudoplastic fluids, velocity profiles.
Nomenclatura
B vector de campo magnético, T
By campo magnético en la coordenada y, T
E vector de campo eléctrico, V m-1
Ez campo eléctrico en la coordenada z, V m-1
F vector de fuerzas de cuerpo, N m-3
H altura del conducto, m
Ha número de Hartmann
J densidad de corriente eléctrica, A m-2
V vector de velocidad, m s-1
m coeficiente de consistencia de flujo, Pa sn
n índice de comportamiento del flujo
p presión, Pa
px gradiente de presión, Pa m-1
t tiempo, s
u velocidad del fluido, m s-1
u velocidad adimensional del fluido
uc velocidad característica, m s-1
y1,2 posición de las interfases, m
Símbolos griegos
razón de fuerzas de presión a las magnéticas
Ω* parámetro de carga
γi razón de viscosidades aparentes
γ tensor de deformación, s-1
η coordenada transversal adimensional
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viscosidad aparente, Pa s
ρ densidad del fluido, kg m-3
σ conductividad eléctrica, S m-1
τ tensor de esfuerzos, Pa
1,2 posición adimensional de las interfases
Subíndices
i fluido, i=1,2,3
1. Introducción
La magnetohidrodinámica estudia la interacción entre
campos magnéticos y eléctricos, y el movimiento de fluidos
eléctricamente conductores [1]. Sus aplicaciones se
encuentran en generadores, bombas, aceleradores y
flujometros magnetohidrodinámicos, así como reactores
nucleares [2-4]. Los fluidos involucrados en estas
aplicaciones deben ser eléctricamente conductores y no
magnéticos, lo cual limita su uso a metales líquidos, gases
ionizados (plasma) y fuertes electrolitos [1, 5, 6]. De esta
forma, los campos de la aplicación de la
magnetohidrodinámica abarcan las áreas de geofísica,
astrofísica e ingeniería [4]. El uso de la
magnetohidrodinámica se ha extendido también en
plataformas de dispositivos microfluídicos para el manejo
de fluidos biológicos [7,8].
El bombeo de fluidos conductores es una de las tareas de
la magnetohidrodinámica. La teoría básica del flujo de
Hartmann como método de bombeo magnetohidrodinámico
de fluidos newtonianos en conductos rectangulares y de
placas planas paralelas, se ha estudiado en los trabajos de
Müller y Büller [2], así como en el realizado por Davison
[3]. Sin embargo, aunque el estudio de flujo de fluidos
newtonianos en ingeniería ha sido de importancia
fundamental para obtener soluciones analíticas exactas,
aproximadas o numéricas para explicar fenómenos de flujo,
el estudio de aplicaciones en donde se conduzcan fluidos no
newtonianos es también de gran importancia en el caso de
procesos manejando plásticos, pinturas, alimentos,
polímeros o petróleo [9], ciertos aceites y biofluidos como
la sangre [10]. Es por eso que en la literatura científica se
han realizado investigaciones con fluidos siguiendo
características reológicas complejas como el realizado por
Khan eta al. [11] el cual resuelve el campo de flujo
magnetohidrodinámico de un fluido de segundo grado a
través de un medio poroso en un conducto rectangular. Sus
resultados muestran la influencia del parámetro
adimensional de la fuerza del campo magnético externo, el
parámetro adimensional de permeabilidad y el parámetro
reológico, sobre los perfiles de velocidad. Los autores
determinan que los fluidos de segundo grado tardan más
tiempo en alcanzar el régimen permanente de velocidad. En
este contexto y con el objetivo de incrementar los estudios
teóricos sobre flujos magnetohidrodinámicos con fluidos no
newtonianos, se han reportados trabajos empleando fluidos
de ley de potencia [12], de Casson [13], viscoelásticos de
Phan-Thien-Tanner [14], entre otros.
Los estudios anteriores, consideran un solo fluido
transportándose por los conductos. Sin embargo, en diversos
problemas de flujo de fluidos involucran el transporte de
multicapas de fluidos conductores inmiscibles. Nikodijević
et al. [15], estudian el flujo de Coutte combinado
magnetohidrodinámico-presión de dos fluidos inmiscibles
en un canal horizontal en la presencia de un campo eléctrico
y magnético inclinado. En sus resultados, los efectos
magnéticos a través del número de Hartmann actúan en
sentido contrario al movimiento del efecto viscoso
provocado por la placa en movimiento, mientras que el
gradiente de presión actúa a favor; esta combinación de
condiciones de flujo produce perfiles de velocidad
curvilíneos característicos. Por su parte, Mateen [16], realiza
el análisis hidrodinámico y transferencia de calor de un flujo
magnetohidrodinámico de dos fluidos inmiscibles en un
conducto horizontal incluyendo el efecto de calentamiento
Joule. En este trabajo el campo de flujo esta desacoplado del
análisis de transferencia de calor y los perfiles de velocidad
solo depende del parámetro magnético adimensional y de la
razón de viscosidades entre los fluidos; aquí, la posición de
la interfase es fija al centro del conducto. Malashetty et al.
[17] estudian el flujo magnetohidrodinámico
completamente desarrollado de dos fluidos inmiscibles en
un conducto inclinado. Se observa que el flujo es controlado
por el espesor de las capas de los fluidos, razones de
conductividades eléctricas y viscosidades entre los dos
fluidos y el ángulo de inclinación.
El interés por la comunidad científica en el movimiento
de fluidos inmiscibles ha sido extendido al movimiento
simultáneo de multicapas de fluidos, esto debido a procesos
de coextrusión, procesos de recubrimientos de película y
procesos de transporte lubricado [18]. De esta forma,
Nikodijević et al. [19] realizan el estudio de un flujo
magnetohidrodinámico de tres fluidos inmiscibles en un
conducto horizontal. Los resultados muestran un análisis
paramétrico de los efectos involucrados en el flujo a través
de los números de Hartmann y razones de viscosidades entre
los fluidos. El campo de flujo está directamente relacionado
con las condiciones de flujo impuestas de interfase entre los
fluidos.
Es importante mencionar que los trabajos citados
anteriormente sobre flujo de fluidos inmiscibles, han sido
realizados en fluidos de tipo newtonianos. Por esta razón, el
presente trabajo realizará un estudio paramétrico de un flujo
magnetohidrodinámico de tres fluidos eléctricamente
conductores e inmiscibles en un conducto de placas planas
paralelas, considerando que los fluidos siguen un
comportamiento reológico de fluidos de ley de potencia de
tipo pseudoplástico. Esta combinación en las condiciones
de flujo y reología de los fluidos no ha sido tratada aún por
otras investigaciones en magnetohidrodinámica.
2. Formulación del problema
2.1. Descripción del modelo físico
El presente trabajo considera el flujo de tres fluidos
inmiscibles en un conducto horizontal de placas planas
paralelas con altura H, longitud L y ancho W. El sistema de
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coordenadas Cartesiano se localiza como es mostrado en la
Fig. 1; el eje x y y son paralelo y perpendicular a las placas,
respectivamente, mientras que el eje z, es perpendicular al
plano x-y. Los tres fluidos son eléctricamente conductores
con conductividad eléctrica i , donde i=1, 2, 3. Además,
los fluidos siguen un comportamiento no newtoniano de ley
de potencia con un índice de comportamiento de flujo ni y
un coeficiente de consistencia del flujo de mi. El
movimiento de los fluidos se debe a la presencia de las
fuerzas de Lorentz generadas por un campo magnético By
que se aplica perpendicular a las placas, un campo eléctrico
Ez perpendicular al plano x-y, y a un gradiente de presión
constante px. Las posiciones de las interfases entre los
fluidos se localizan a una distancia y1 y y2, respectivamente.
2.2. Ecuaciones gobernantes y constitutivas
El campo de flujo está gobernado por la ecuación
modificada de Cauchy
,i
i i i
Dp
Dt
Vτ F (1)
donde V, ρ, t, p, τ y F son el vector de velocidad, la densidad
del fluido, el tiempo, la presión, el tensor de esfuerzos y el
vector de fuerzas de cuerpo, respectivamente. El
comportamiento reológico del fluido está dado por el
modelo reológico de ley de potencia siguiente [20]
ˆ ,i i i τ γ (2)
donde la viscosidad aparente del fluido está definida por 1
ˆ ii i i
nm
γ y el tensor de deformación por
( ) ( )i i i TV Vγ . La fuerza de Lorentz de campo
magnético se define por
,i i F J B (3)
donde B es el vector de campo magnético y la densidad de
corriente eléctrica J se define de la manera siguiente por la
ley de Ohm como
,i i i J E V B (4)
donde E es el vector de campo eléctrico.
2.3. Simplificación de las ecuaciones gobernantes
La formulación matemática asume las siguientes
consideraciones: i) el fluido es incompresible, ii) el flujo en
estado permanente y completamente desarrollado, iii) el
flujo es laminar, iv) L>>H y W>>H, v) propiedades físicas
de los fluidos constantes y vi) flujo unidimensional.
Atendiendo lo anterior, la ecuación gobernante de
conservación de la cantidad de movimiento, ec. (1), queda
simplificada de la siguiente manera en coordenadas
Cartesianas:
20 ,i
x i i i y i z y
indud
p m u B E Bdy dy
(5)
donde ui es la velocidad de cada fluido en la coordenada x
del conducto.
Las condiciones de frontera aplicables al campo de flujo
de la ec. (5) son las siguientes:
Condiciones de no deslizamiento en las paredes del
conducto:
1 3( 0) 0, ( ) 0.u y u y H (6)
Condiciones de interfase entre los fluidos, siendo estas de
continuidad de velocidad:
1 1 2 1 2 2 3 2( ) ( ), ( ) ( ),u y y u y y u y y u y y
(7)
y de igualdad de esfuerzos:
1 2
1 2
32
2 3
1 2
1 1
2 3
2 2
,
.
y y y y
y y y y
n n
n n
du dum m
dy dy
dudum m
dy dy
(8)
Figura 1 – Esquema del flujo combinado magnetohidrodinámico-
presión en un conducto de placas planas paralelas.
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2.4. Modelo matemático adimensional
Para normalizar el modelo matemático conformado por las
ecs. (5)-(8), se introducen las siguientes variables
adimensionales:
, ,i
i
c
uyu
H u (9)
donde la velocidad característica del flujo es definida como
11
1/1/1 1
nnE B H mz ycu . Introduciendo la ec. (9) en ec. (5),
se tiene la siguiente ecuación de cantidad de movimiento
adimensional:
2 * 20 ,i
i
i i i
indud
Ha u Had d
(10)
y correspondientemente las condiciones de frontera:
1 3( 0) 0, ( 1) 0.u u (11)
1 1 2 1 2 2 3 2( ) ( ), ( ) ( ),u u u u
(12)
1 1
2 2
1 2
2 1
32
3 2
1 2
2 3
,
,
n n
n n
du du
d d
dudu
d d
(13)
donde los parámetros adimensionales que surgen son los
siguientes:
´ 1
1
1
1, ,x c
i
ic
in n
n
p um
m Hum
H H
(14)
1
,i
i
i y n
i c
Ha HBm u H
(15)
* 1 2
1 2, , ,z
c y
E y y
u B H H (16)
donde es la razón de las fuerzas de presión a las
magnéticas, i representa las razón de viscosidades aparentes
de los fluidos, Hai es el número de Hartmann que indica la
competencia entre las fuerzas magnéticas a las viscosas, Ω*
es un parámetro de carga, 1 y 2 son las posiciones
adimensionales de las interfases. Siendo el fluido 1 el fluido
de referencia, se considera que 1=1 en este trabajo.
3. Metodología de solución
La ec. (10) es una ecuación diferencial ordinaria no lineal,
de coeficientes constantes y no homogénea. Se toma en
cuenta primeramente que el número de Hartmann es muy
pequeño, i. e., Ha<<1. Seguidamente los siguientes casos
en donde existe una solución analítica exacta de los perfiles
de velocidad:
Caso I: n1=n2=n3=1 (caso de fluidos newtonianos)
Integrando dos veces la ec. (10) y aplicando las condiciones
de frontera de las ecs. (11)-(13) se obtienen los siguientes
perfiles de velocidades:
2
1 1 2
1,
2u A C C (17)
2
2 3 4
1,
2u B C C (18)
2
3 5 6
1,
2u D C C (19)
donde para el caso de fluidos newtonianos 1 1 1 ,
2 1 2 y 3 1 3 , ya que para este caso 1 1m ,
2 2m y 3 3m . Siendo 1 , 2 y 3 los coeficientes
de viscosidad para fluidos newtonianos. Por simplicidad, las
constantes de integración C1, C2, C3, C4, C5 y C6 se presentan
en el Apéndice A.
Caso II: n1=n2=n3=1/3
Integrando dos veces la ec. (10) y aplicando las condiciones
de frontera de las ecs. (11)-(13) se obtienen los siguientes
perfiles de velocidades:
34 2 3 2 2 3
1 1 1 1 2
3,
4 2
A Au A C C C C
(20)
34 2 3 2 2 3
2 3 3 3 4
3,
4 2
B Bu B C C C C
(21)
34 2 3 2 2 3
3 5 5 5 6
3,
4 2
D Du D C C C C
(22)
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donde las constantes de integración C1, C2, C3, C4, C5 y C6
se presentan en el Apéndice B.
Caso III: n1=n2=n3=1/5
Integrando dos veces la ec. (10) y aplicando las condiciones
de frontera de las ecs. (11)-(13) se obtienen los siguientes
perfiles de velocidades:
6
1
1 2 ,6
A Cu C
A
(23)
6
3
2 4 ,6
B Cu C
B
(24)
6
5
3 6 ,6
D Cu C
D
(25)
donde las constantes de integración C1, C2, C3, C4, C5 y C6
se presentan en el Apéndice C.
4. Resultados
Los parámetros físicos y geométricos para la estimación de
los parámetros adimensionales utilizados en este trabajo son
los siguientes: σi~10-3 Sm-1, 100≤Ez ≤ 102 Vm-1,10-2 ≤ By ≤ 100
T, 10-2≤mi ≤10-4 Pasn y 10-2≤H≤10-1 m.
La Fig. 2 presenta los perfiles de velocidad adimensional
u de tres fluidos inmiscibles como función de la coordenada
transversal η y diferentes combinaciones del parámetro
magnético * 2
iHa . Los fluidos en estudio se toman con
valores de n=1 y n=1/3, siendo estos considerados como un
fluido newtoniano y pseudoplástico, respectivamente. Los
demás parámetros adimensionales fijados son 1 ,
γ2=γ3=1. Los perfiles de velocidad tienen forma parabólica y
típica de un flujo impulsado por fuerzas de presión y
magnéticas. Las posiciones de las interfases se toman como
1=1/3 y 2=2/3. El efecto magnético sobre los perfiles de
velocidad se observa con el aumento de * 2
iHa , el cual se
identifica con los casos 1 , 2 y 3 , respectivamente,
mostrando un aumento de la velocidad. Es notable que los
fluidos pseudoplásticos (n<1) son más sensibles al efecto de
las fuerzas de Lorentz para los valores más altos de del
parámetro * 2
iHa , mostrando aumentos de velocidad más
significativos y de mayor magnitud que los newtonianos.
También es observable que en el caso de los fluidos
pseudoplásticos, los perfiles de velocidad tienden a tener
forma plana en la región central del conducto.
En la Fig. 3 se muestra el efecto del parámetro
adimensional ( 1, 2) , sobre los perfiles de velocidad
de los fluidos inmiscibles. Se realiza el estudio de tres
fluidos, con ni=1 (newtoniano), ni=1/2 y ni=1/5
(pseudoplásticos). Como se observa en la presente figura,
fluidos newtonianos incrementan su perfil de velocidad de
forma gradual y uniforme con el aumento del parámetro Γ.
Sin embargo, los fluidos pseudoplásticos, tienen otro
comportamiento no uniforme con la variación de Γ, cuando
Γ=-1, los fluidos pseudoplásticos tienen una velocidad en
magnitud inferior a la del caso newtoniano; en el caso
cuando Γ=-2, el comportamiento anterior se invierte y la
magnitud de las velocidades de los fluidos pseudoplásticos
son superiores al del caso newtoniano. De esta forma, se
predice que la magnitud de velocidad de los fluidos
pseudoplásticos, es más sensible a la variación de las fuerzas
de presión que los fluidos newtonianos, experimentando
cambios drásticos en su física de comportamiento.
En la Fig. 4 se muestra el efecto del parámetro
adimensional γ2,3 sobre los perfiles de velocidad
adimensional. Los fluidos considerados son ni=1, ni=1/2 y
ni =1/5. Para esta gráfica se han seleccionado los siguientes
valores de las razones de viscosidad, γ2 =4 y γ3 =0.5, por lo
que el fluido 2 es cuatro veces menos viscoso que el fluido
Figura 2 – Velocidad de un flujo magnetohidrodinámico-presión
con diferentes valores de y dos valores de ni.
Figura 3 – Velocidad de un flujo magnetohidrodinámico-presión
con diferentes valores de y tres valores de ni.
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1, mientras que el fluido 3 es dos veces más viscoso que el
fluido 1, respectivamente. Al comparar esta grafica con las
anteriores, se observa claramente el efecto de la viscosidad
variable entre los fluidos sobre los perfiles de velocidad.
Como era de esperarse, el fluido menos viscoso (fluido 2)
opone menos resistencia al movimiento, teniendo un perfil
de velocidad más alto comparado con los otros dos fluidos
que son más viscosos. Adicionalmente, se aprecia que en la
interfase entre el fluido 2 y el fluido 3, siendo estos el menos
viscoso y el más viscoso entre los tres fluidos inmiscibles,
existe una diferencia de los perfiles de velocidad más
notoria, lo que representa el grado de resistencia al flujo por
efecto viscoso en estas capas de fluidos. Por otra parte, se
observa que los fluidos pseudoplásticos con valores de ni
decrecientes, en este caso ni=1/5 (valor más pequeño), son
más sensibles al cambio de viscosidad, presentando los
perfiles de velocidad más alto (fluido 2) y más bajo (fluido
3) en magnitud.
En la Fig. 5, se presentan los perfiles de velocidad para
diferentes posiciones de las interfases 1,2. El primer caso es
con una combinación de 1=0.1 y 2=0.5, y el segundo caso
con 1=0.25 y 2=0.75. Los otros parámetros
adimensionales seleccionados son Γ=-1, γ2=4, γ3=0.5 y tres
fluidos con ni=1, ni=1/3 y ni=1/5. Se puede observar que, con
el control de las posiciones de las interfases, conforme se
propongan espesores de fluidos más grandes, para cada
fluido en particular, este va a tender a incrementar su
velocidad comparado con fluidos con espesores en magnitud
más pequeños.
5. Conclusión
En la presente investigación, se analizaron los diferentes
efectos combinados de fuerzas conductoras,
comportamiento reológico del fluido y posición de
interfases sobre un flujo combinado magnetohidrodinámico-
presión que conduce tres fluidos inmiscibles de ley de
potencia. Con los resultados obtenidos y las condiciones de
trabajo impuestas, se listan a continuación los siguientes
aspectos relevantes:
La separación entre placas H, la conductividad
eléctrica de los fluidos i , la intensidad del campo
magnético aplicado By y el campo eléctrico transversal
al flujo Ez, tienen un rol importante en la magnitud de
las fuerzas de Lorentz. Con el aumento individual o en
conjunto de la magnitud de las variables geométricas y
físicas antes mencionadas, las fuerzas por efecto
magnético también se incrementan a través del
parámetro adimensional * 2
iHa , produciendo perfiles
de velocidad mayores.
El aumento del gradiente de presión impuesto a los
fluidos inmiscibles newtonianos es siempre
directamente proporcional al aumento de la velocidad.
El comportamiento anterior se repite para fluidos
pseudoplásticos cuando Γ=-2, pero inversamente
proporcional cuando Γ =-1; de esta forma, se concluye
que la influencia del gradiente de presión impuesto es
no lineal con la reología de los fluidos de ley de
potencia de tipo pseudoplásticos.
Las razones de viscosidades aparentes entre los fluidos
inmiscibles, γ2,3, tienen un papel relevante en el campo
de flujo, modificando los perfiles de velocidad por
efecto viscoso en las interfases. Como era de esperarse,
los fluidos más viscosos ofrecen mayor resistencia al
flujo y viceversa. Sin embargo, la influencia del índice
de comportamiento de flujo con ni, en combinación con
las variaciones de las razones de viscosidades γ2,3, deja
comportamientos no lineales en las magnitudes de los
perfiles de velocidad.
Observando las ecs. (57)-(61), las cuales están
relacionadas a las constantes de integración mostradas
los Apéndices A, B y C del presente trabajo, se deduce
que los espesores de las capas de los fluidos con los
parámetros adimensionales 1 y 2, están también
directamente relacionados con la magnitud de las
fuerzas de combinadas de Lorentz y de presión sobre
los perfiles de velocidad. De esta forma, y siendo las
Figura 4 – Velocidad de un flujo magnetohidrodinámico-presión
con diferentes valores de ni y viscosidad variable 2 3.
Figura 5 – Velocidad de un flujo magnetohidrodinámico-presión
con diferentes valores de 1,2 y tres valores de ni.
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fuerzas magnéticas de Lorentz de tipo volumétricas,
entre más grande sea el espesor de la capa del fluido,
este experimentará una mayor influencia del campo
magnético aplicado; por lo tanto, a mayor espesor de la
capa de fluido mayor será el perfil de velocidad.
La variación en la velocidad de los fluidos por los
parámetros adimensionales estudiados aquí, se acentúa
notablemente cuando ni0. Lo anterior es claramente
mostrado a través de las ecs. (17)-(19) para fluidos
newtonianos (ni=1) en comparación con las ecs. (23)-
(25) para fluidos pseudoplásticos (ni=1/5=0.2), donde
las potencias en los términos que conforman los
perfiles de velocidad se incrementan cuando ni0,
aumentando de esta manera también la no linealidad
del comportamiento del flujo.
Finalmente, la presente investigación abre un panorama
de trabajos futuros al considerar las siguientes vertientes:
Determinación de perfiles de velocidad a través de
procedimiento numéricos para fluidos inmiscibles de
ley de potencia tanto pseudoplásticos como dilatantes,
con cualquier valor de ni.
Consideración de efectos térmicos acoplados a los
perfiles de velocidad cuando las propiedades físicas de
los fluidos son dependientes de la temperatura.
Resolver el campo de flujo en otras geometrías como
conductos cilíndricos y rectangulares.
Agradecimientos
Este trabajo de investigación contó con el respaldo del
proyecto de investigación SIP-20171035 del Instituto
Politécnico Nacional en México.
Apéndice A. Constantes de integración: ni=1
Las constantes de integración de las ecs. (17)-(19) son las
siguientes:
3
1
2
,C
C E
(26)
2 0,C (27)
2 2
1 2
2 1
3
32 1 2
2 2
2 2
12
,1
1 1
B A B D
DF E
C
(28)
2
1
4 1 1 3 2 ,2
C B A C C C
(29)
3
5 3
2
,C C F
(30)
6 5 .2
DC C (31)
Apéndice B. Constantes de integración: ni=1/3
Las constantes de integración de las ecs. (20)-(22) son las
siguientes:
3
1
2
,C
C E
(32)
2 0.C (33)
La constante C3 se determina a partir de la siguiente
ecuación cubica
3 2
3 1 3 2 3 3 0,C a C a C a (34)
donde
32 4
1 2 3
1 1 1
, , ,XX X
a a aX X X
(35)
3
3
1 1 2 23
22
11 1 ,X
(36)
2 2 2
2 1 1 1 22
2
2
23
2 2
2
3 1 33 6
2 22
31 3 1 ,
2
B BX A D
DF
(37)
2 3 2 3 2 2 2 3
3 1 1 1 1 2
2
2 3 3 23
2 2 2
2
13 3
1 3 1 3 1 ,
X B A AE E B
D DF F
(38)
ISSN 2448-5551 TF 15 Derechos Reservados © 2017, SOMIM
MEMORIAS DEL XXIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 20 al 22 DE SEPTIEMBRE DE 2017 CUERNAVACA, MORELOS, MÉXICO
4
3 3 2 3 2 2 31
4 1 1 1
4 33 32
2 3 2 2 3
2 2 2
3
4 2
4 4
31 1 1 .
2
X B A A E AE E
DB A
D F DF F
(39)
Por lo tanto, al aplicar la solución de Cardan-Tartaglia para
resolver ecuaciones algebraicas cubicas, la constante C3 de
ec. (34) es
2 2 23 3
1 1 1 13 33 ,
2 4 27 4 27 3
b b b aa aC (40)
donde
2 3
1 1 2 1
2 1 3
2, .
3 3 27
a a a aa a b a (41)
El resto de las constantes son
4
3 3 3 2 31
4 1 3 1
2 2 2 3 3
1 3 1 1 3 1 2
4
3,
2
C B A B C A C
BC AC C C C
(42)
3
5 1
2
,C C F
(43)
32 2 3
6 5 5 5
3.
4 2
DC D C DC C (44)
Apéndice C. Constantes de integración: ni=1/5
Las constantes de integración de las ecs. (23)-(25) son:
3
1
2
,C
C E
(45)
6
1
2 .6
CC
A (46)
La constante C3 se determina por el método de Ruffini a
partir de la siguiente ecuación algebraica a la quinta
potencia:
5 4 3 2
1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 0,X C X C X C X C X C X (47)
donde:
5
3
1 1 1 25
22
1 1 1 , X
(48)
4
2
24
3
2
22
12 2
1 2
2 2
2
15,
6
BA
X
D
E A E
D F D F
(49)
33
2 3 3
3
2
3 3
1
1 2
3 3
32
2
20,
6
E A E
D
B
D
AX
D
F F
(50)
44
3
2
2
4 4
14 4
1 2
4 2
3
2
2
15,
6
E A E
D
B
D
AX
D
F F
(51)
1
1 2
2
55
4 5 5
2
5 5 5
3
2
,
BA
X
E A E
D
D F D F
(52)
6
1
1
6
5 6
2
2
6
6 6 6
1.
6
E A E
D F D F
BA
X
D
(53)
El resto de las constantes son
6 6
1 3 1 1
4 2 ,6 6
B C A CC C
B A
(54)
3
5 3
2
,C C F
(55)
6
5
6 .6
D CC
D
(56)
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Para todos los apéndices, se tiene que
* 2
1 ,A Ha (57)
* 2
2 2 ,B Ha (58)
* 2
3 3 ,D Ha (59)
1
2
,B
E A
(60)
3
2
2
.F B D
(61)
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