Función polinómica de n-ésimo grado

f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +….. +an xn

Casos Particulares

• Función polinómica de grado cero

f(x) = a0 o y = a0

Es una función que a todo número real le hace corresponder el número a0. Por eso la llamamos FUNCION CONSTANTE.La representación gráfica de una función constante es una recta paralela al eje X que interseca al eje Y en el punto (0, a0). A a0 la llamamos ORDENADA AL ORIGEN.

Ejemplos

y = 5 y = -3

Función polinómica de grado uno o de primer grado.

A la función:f(x) = a1 x o y = a1 x

la llamamos FUNCION LINEAL.

Ejemplos

y = 2x y = -3x+1

Función polinómica de grado 2 o de segundo grado: función cuadrática.

Se denomina función cuadrática a toda función de la forma:

y = ax2 + bx + c

donde a ( distinto de cero), b y c son números reales.

Cualquier función de esa forma es una parábola.

Ejemplos

y = x2 - 1 y = -3x2 + 6

GRAFICA DE FUNCIONES POLINOMICAS

Para graficar funciones polinómicas, sin hacer la tabla de valores, lo primero que debemos hacer es encontrar las RAICES de la función (aquellos valores de la variable independiente para los cuales la variable dependiente vale cero).

En el caso de la función lineal f(x) = ax +b es posible hallar las raíces mediante la ecuación:

ax +b = 0 Para hallar las raíces de la función cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) se plantea la ecuación:

ax2 + bx + c = 0

que se puede resolver con la fórmula:

Cuando se necesita hallar las raíces de funciones polinómicas de grado 3 o mayor, se puede utilizar la siguiente teorema:

“Si una función polinómica con coeficientes enteros tiene raíces

racionales de la forma p/q, se cumple que p es divisor del

termino independiente y q es divisor del coeficiente principal” ( Teorema de

Gauss)

Ejemplo Sea f(x) =2x3 – 5x2 -11x +14

Termino independiente = 14 valores posibles de p: ± 1, ± 2, ± 7, ± 14.

Coeficiente principal = 2 valores posibles de q: ±1, ± 2.Valores posibles de p/q: ±1/1, ±1/2, ±2/1, ±2/2, ±7/1, ±7/2, ±14/1, ±14/2. p/q: ± 1, ±1/2, ±2, ±7, ±7/2, ±14.Una vez que encontramos los valores de p/q, reemplazamos en f(x), cada uno de los valores para encontrar aquellos que hacen cero a la función f(x).f(x) =2x3 – 5x2 -11x +14

1)f(1) = 2 .(1)3 - 5 .(1)2 - 11 .(1) + 14 = 2 - 5 -11 + 14 = 0 ES RAIZ2)f(-1) = 2 .(-1)3 – 5 .(-1)2 - 11 .(-1) + 14 = -2 - 5 +11 + 14 = 18 NO ES RAIZ3)f(1/2) = 2 .(1/2)3 – 5 .(1/2)2 – 11 .(1/2) +14 = +1/4 -5/4 -11/2 +14 = 15/2 NO ES RAIZ

4)f(-1/2) = 2. (-1/2)3 – 5. (-1/2)2 – 11. (-1/2) + 14 = -1/4 -5/4 +11/2 +14 = 18 NO ES RAIZ

5) f(2) = 2. (2)3 – 5. (2)2 – 11. (2) + 14 = 16 -20 -22 +14 = -12 NO ES RAIZ6) f(-2) = 2. (-2)3 – 5. (-2)2 – 11. (-2) + 14 = -16 -20 +22 +14 =0 ES RAIZ

7) f(7) = 2. (7)3 – 5. (7)2 – 11. (7) + 14 = 686 -245 -77 +14 = 378 NO ES RAIZ 8) f(-7) = 2. (-7)3 – 5. (-7)2 – 11. (-7) + 14 =-686 -245 +77 +14 =-840 NO ES RAIZ 9) f(7/2) = 2. (7/2)3 – 5. (7/2)2 – 11. (7/2) + 14 = 343/4 -245/4 -77/2 +14 = 0 ES

RAIZ 10) f(-7/2) = 2. (-7/2)3 – 5. (-7/2)2 – 11. (-7/2) + 14 = -343/4 -245/4 +77/2 +14 = -

189/2 NO ES RAIZ 11) f(14) = 2. (14)3 – 5. (14)2 – 11. (14) + 14 = 5488 -980 -154 +14 = 4368 NO ES

RAIZ 12) f(-14) = 2. (-14)3 – 5. (-14)2 – 11. (-14) + 14 = -5488 -980 +154 +14 = -6300 NO

ES RAIZ.

Hemos encontrado tres raíces racionales: 1, -2 y 7/2 dado que f(1) = 0, f(-2) = 0 y f(7/2) = 0.Entonces la gráfica sería así