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Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?
F
Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento.
F
Velocidad
EE E E
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El oscilador amortiguado disipa energía porque la fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad.
La fuerza viscosa esta “contra fase” con la velocidad, resultando en una perdida de energia (disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida de energia la velocidad
disminuye con lo que la perdida de energia en el proximo ciclo es menor y asi siguiendo resultando, como ya vimos, en una exponencial.
F
F
Velocidad
1EE 2E 3E
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Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario.
Una fuerza “sincronizada” con el desplazamiento inyecta energia en el sistema. Un oscilador forzado tiene una energia incial; si la energia disipada (porque la velocidad inicial no es suficientemente grande) es menor que la inyectada el sistema aumenta la energia en cada ciclo con lo que la velocidad aumenta, la energia disipada es
mayor... El estado estacionario se alcanza cuando se llega a una velocidad promedio (sin signo) tal que la energia disipada (por la viscosidad) es igual a la absorvida (entregada por la fuerza externa).
F
F ViscosaVelocidad
FEE E
F(t)
FEE
Forzado Ext
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El oscilador amortiguado y forzado: Newton aun...
Como siempre, la ecuación diferencial (de Newton) es el punto de partida para entender el movimiento. Una vez más, y dado que esta es una ecuación diferencial lineal, proponer una función exponencial (con exponente real e imaginario) convierte esta ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el exponente. Reemplazando la exponencial genérica en la ecuación diferencial, planteando la ecuación algebraica y resolviéndola se obtiene:
FF(t)
xmxkxAeiwt
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El oscilador amortiguado y forzado: Solución estacionaria.
La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales. Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición
inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de
equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
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El oscilador amortiguado y forzado: Solución estacionaria.
La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales. Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición
inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de
equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
Independiente de las condiciones iniciales
![Page 7: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/7.jpg)
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.SIMULACIONES 1
Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
Independiente de las condiciones iniciales
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PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Posición en el punto de equilibrio y velocidad positiva y de modulo
máximo
0
![Page 9: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/9.jpg)
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Durante este cuarto de ciclo la posición es positiva así como la velocidad. A medida
que aumenta la posición, la velocidad
disminuye.
20
![Page 10: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/10.jpg)
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Posición en el punto máximo (positivo), la
velocidad es 0 y cambia de signo.
2
![Page 11: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/11.jpg)
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x
es positiva pero la velocidad es negativa.
2
![Page 12: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/12.jpg)
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Medio ciclo completado, la posición vuelve a ser
la misma pero la velocidad se ha
invertido. Nótese que entre pi/2 y 3pi/2 se da la situación inversa...
![Page 13: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/13.jpg)
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación
tanto x como la velocidad son
negativas.
2
3
![Page 14: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/14.jpg)
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x
es NEGATIVA y la velocidad es POSITIVA.
22
3
![Page 15: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/15.jpg)
PosiciónVelocidad
(Punto de equilibrio)x=0
Crónica de una oscilación
Luego de estos cuatro cuartos (cada uno de
pi/2) el ciclo se ha completado. Fase de 0
o de 2pi es estrictamente lo mismo.
2
![Page 16: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/16.jpg)
Velocidad PositivaVelocidad Negativa
Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía.
x
t
![Page 17: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/17.jpg)
Velocidad PositivaVelocidad Negativa
Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía.
x
t
Fuerza
![Page 18: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/18.jpg)
Velocidad PositivaVelocidad Negativa
Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía.
x
t
v>0F>0+E
v<0F>0-E
v<0F<0+E
v>0F<0-E
Si el movimiento y la fuerza están en fase, la transferencia de energía es 0
Fuerza
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Velocidad PositivaVelocidad Negativa
Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía.
x
t
v>0F>0+E
v<0F<0+E
v<0F<0+E
v>0F>0+E
La transferencia de energía es optima cuando la diferencia de fase es un cuarto de ciclo, es decir cuando la fuerza es proporcional a la velocidad.
Fuerza
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Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
Independiente de las condiciones iniciales
![Page 21: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/21.jpg)
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
)cos()( twAtxE
![Page 22: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/22.jpg)
Solución analitica a la solución estacionaria.
FF(t)
),,,(),,,,,()( wmkxwmkxivixtx iaestacionaratransitori
)cos()( twAtxE
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
![Page 23: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/23.jpg)
Una aproximación empírica a la solución estacionaria.
FF(t)
)cos()( twAtxE
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
Conclusión 1: Tanto A como fi, quedan determinadas por m,w,k,gama,F. Es decir estas no son constantes libres de la ecuación diferencial. La solución estacionaria es
insensible a las condiciones iniciales y depende solamente de la relación entre el oscilador y el forzado.
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Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
)cos()( twAtxE
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
![Page 25: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/25.jpg)
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
)cos()( twAtxE
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
)sin()0(:)cos()0( AvAx )cos()( twAtx
![Page 26: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/26.jpg)
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso).
F(t)
)cos()( twAtxE
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
)sin()0(:)cos()0( AvAx
))0(
)0(arctan(
)cos(
)sin(
)0(
)0(
x
v
x
v
)cos()( twAtx
![Page 27: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/27.jpg)
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
)cos()( twAtxE
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
)cos()( twAtx )sin()0(:)cos()0( AvAx
))0(
)0(arctan(
)cos(
)sin(
)0(
)0(
x
v
x
v
22222222 )0()0()(sin)(cos)0()0( yxAAAyx
![Page 28: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/28.jpg)
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
)cos()( twAtx 22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
)cos()( 0 twAtx ))0(
)0(arctan(
x
v22 )0()0( yxA
ENCONTRAR LAS TRES DIFERENCIAS
![Page 29: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/29.jpg)
Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
)cos()( twAtx 22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
Conclusión 2: La energía del oscilador en el estado estacionario es constante, se ha llegado a un balance entre la energía disipada y absorbida por ciclo. La energía del oscilador es igual al cuadrado de la amplitud y por lo tanto depende de los parámetros físicos del oscilador y de cierta relación de “coherencia” entre estos y el forzado.
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Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos.
F(t)
22 )(wk
mww
FA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
g=0.2
g=0.2
Dos términos positivos. La función será máxima cuando cada uno se minimice.
00)( wm
kw
w
kmw
k=5,m=1
1)La amplitud (y por ende la transferencia de energía) es máxima cuando la frecuencia del forzado es igual a la frecuencia natural del oscilador.2) La amplitud máxima es inversamente proporcional a la velocidad. Nótese que para viscosidad cero es infinita. ¿Porque?
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Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos.
F(t)
22 )(wk
mww
FA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
g=0.2
g=0.2
k=5,m=1
22)0(
k
FA
0)( A
k
mFAwA
max0 )(
![Page 32: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/32.jpg)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos.
F(t)
22 )(wk
mww
FA
g=2
g=0.5
k=30,m=1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
g=2
Cambio de escala
![Page 33: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/33.jpg)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos.
F(t)
22 )(wk
mww
FA
g=2
g=0.5
k=30,m=1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
g=2
mk
El ancho de la curva de amplitud escalea con la viscosidad y
disminuye con la raíz de la masa y la constante elástica. Nótese que esta comparación es equivalente al cociente para determinar si un
oscilador no forzado llega a oscilar o no.
![Page 34: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/34.jpg)
Amplitud del forzado en función de la masa.
F(t)
22 )(wk
mww
FA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
m=1
m=3
Aumentar la masa resulta en frecuencias mas bajas y un mundo “en aparencia” mas
viscoso.
![Page 35: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/35.jpg)
Espectro, una función de transferencia.
F(t)
22 )(wk
mww
FA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Conclusión 3: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada. Es un filtro, un procesador. Dada una función de entrada cos(wt) responde con la misma frecuencia multiplicado por un factor. Este factor esta dado por el ESPECTRO o CURVA DE RESONANCIA, que es característico y que establece una huella digital del objeto. En realidad el objeto “es” su espectro. La funcion de transferencia, o espectro, tiene un maximo en la frecuencia natural del oscilador y un ancho proporcional a la viscosidad e inersamente proporcional a su “oscilaridad”.
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Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso)
F(t)
)cos()( twAtx 22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
Conclusión 4: La función de transferencia, además de definir una relación de amplitud, define una relación de fase. Esta función, veremos, es tal que progresa desde la sincronia hasta la anti-sincronia (diferencia de pi) a medida que crece la frecuencia del forzado. En el medio, al pasar por la frecuencia del oscilador, la fuerza es proporcional a la velocidad, lo que hace que la transferencia de energía sea maxima.
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Fase del forzado en función de los parámetros físicos.
F(t)
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
rwk
wmarctan
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
k=5,m=1,g=0.5
02
![Page 38: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/38.jpg)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fase del forzado en función de los parámetros físicos.
F(t)
rwk
wmarctan
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
k=5,m=1,g=0.5
![Page 39: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/39.jpg)
Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud
F(t)
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
k=30;gama=2;m=1;
![Page 40: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/40.jpg)
Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud
F(t)
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
k=30;gama=0.5;m=1;
![Page 41: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/41.jpg)
Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud
F(t)
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
k=30;gama=0.5;m=5;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
![Page 42: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/42.jpg)
Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud
F(t)
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
k=60;gama=0.5;m=5;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
![Page 43: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/43.jpg)
Espectro, una función de transferencia: Fase y amplitud
F(t)
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
k=60;gama=0.5;m=5;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
DILATACION
ROTACION
ieAT
![Page 44: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/44.jpg)
Espectro, una función de transferencia. Un producto complejo.
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
DILATACION
ROTACION
STIMiwtSTIM eA
ieAT
STIMiwtSTIM eAT
STIMiwtSTIM eAA
![Page 45: Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones?](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022032612/568133c6550346895d9ac011/html5/thumbnails/45.jpg)
Espectro, una función de transferencia compleja.
22 )(wk
mww
FA
rwk
wmarctan
DILATACION
ROTACION
STIMiwtSTIM eA
ieAT
STIMiwtSTIM eAT
STIMiwtSTIM eAA
Conclusión 3 Revisitada: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada, la multiplicacion por un numero complejo. Esto resulta en: multiplicar la amplitud por un factor, determinado por A(w) y cambiar la fase por un fa factor determinado por fi(w).