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ECUACIONES
Animación: Juan A. Morales. Material: Editorial SM
SISTEMAS DE ECUACIONES
INECUACIONES
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Ecuaciones• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen
números y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas.
• Una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables es una identidad.
3x2 – 18x + 19 = 12x – 29
Incógnita Igualdad
1er miembro 2o miembro
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Soluciones de una ecuación. Ecuaciones equivalentes
• Las soluciones de una ecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que, al sustituirlos en una ecuación, la igualdad sea cierta.
• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones.• Transformaciones que conservan las soluciones de una ecuación.
Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número no nulo se obtiene una ecuación equivalente
Ejemplos:
• La ecuación 3x2 – 18x + 19 = 12x – 29 tiene una solución para x = 2.• x = 1 no es solución de la ecuación anterior.• Una ecuación equivalente a la anterior es x2 – 10 x + 16 = 0• La ecuaciones x2 = 1 y x3 = 1 no son equivalentes
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Ecuaciones polinómicas (I)• Una ecuación en la que sólo aparecen polinomios se llama polinómica.• Toda ecuación polinómica se puede transformar en otra equivalente de la forma P(x) = 0, en
donde P(x) es un polinomio. Se llama grado de la ecuación al grado de P(x).
Ecuaciones polinómicas de primer grado: toda ecuación polinómica de primer grado se puede transformar en otra de la forma ax + b = 0 con a 0
Soluciones: –baesta ecuación tiene una única solución: x =
Interpretación geométrica: un polinomio de grado 1 está representado por una recta. La solución de la ecuación es la abcisa del punto de corte de la recta con el eje x
OX
Yy = ax + b
(–b/a, 0)
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Ecuaciones polinómicas (II)• Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también llamadas cuadráticas, son
equivalentes a ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 con a 0
Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución. Interpretación geométrica: un polinomio de segundo grado está representado por una parábola. Según la parábola corte al eje X en dos, uno o ningún punto la ecuación cuadrática tendrá dos, una o ninguna solución.
x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones complejas: i. No tiene
soluciones reales: la parábola no corta al eje x
y = x2 +1 y = (x +2)2
(x + 2)2 = 0 tiene una solución doble: –2. El
polinomio tiene una raíz real doble. La parábola corta al
eje x en un punto
x2 –2 = 0 tiene dos soluciones. El polinomio tiene dos raíces reales distintas. La parábola corta al eje
x en dos puntos
X
Y
y = x2 – 2
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Ecuaciones polinómicas (III)Solución de una ecuación cuadrática
Para resolver ax2 + bx + c = 0
x 2 + ba x +
ca = 0
x 2 + 2 b
2 a x + ca = 0
x 2 + 2 b
2 a x + b 2
4 a 2 + ca =
b 2
4 a 2
x + b
2 a 2
+ ca =
b 2
4 a 2
x + b
2 a 2
= b 2
4 a 2 – ca =
b 2 – 4 a c4 a 2
x + b
2 a = 2a
4acb 2
x = 2a
4acbb 2
Se divide entre a
Se sustituye ab por 2
b2a
Se suma b2
4a2
Se utiliza el cuadrado perfecto
x + b2a
2
Se despeja
x + b2a
2 y se opera
Se despeja
x + b2a
Se despeja x
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Sistemas de ecuaciones. Solución de un sistema
5x + y = 13 x + y = 1
Una solución de este sistema: x = 3; y = –2. En este caso es única
X
Y
Interpretación geométrica:• Cada igualdad del sistema representa una
recta en el plano cartesiano.• Una solución de este sistema es un punto
común a ambas rectas
5x+y=13x+y=1
(3, –2)
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Sistemas equivalentes. Sistemas lineales y no lineales
Sistemas equivalentes: Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones
Se pueden aplicar a un sistema las mismas transformaciones que a una ecuación:• Si se suma o se resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación de un
sistema, se obtiene un sistema equivalente• Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un
mismo número distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente
Sistemas lineales y no lineales: • Si en un sistema todas la ecuaciones son polinómicas de grado 1, se
dice que es un sistema de ecuaciones lineales.• En caso contrario se dice que el sistema es no lineal.
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Número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 2x2
5x + y = 13 x + y = 1 Es un sistema con solución única.
x + y = 1x + y = 2 Es un sistema sin solución.
2x + 2y = 2 x + y = 1 Es un sistema con infinitas soluciones.
X
Y
x + y = 1
5x + y = 13
X
Y
x + y = 1 x + y = 2
X
Y
x + y = 12x + 2y = 2
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Un sistema de ecuaciones lineales sin solución
x + y - 2z = 92x - y + 4z = 42x - y + 4z = -1
x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 - 3y + 8z = -19
x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 0 = -5
(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec
(2ª ec) (–1) + 3ª ec
La ecuación 0 = – 5 no puede satisfacerse y el sistema al que se ha llegado no tiene solución. Como el sistema original es equivalente, tampoco tiene solución.
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Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones
x + y - 2z = 92x - y + 4z = 42x - y + 4z = 4
x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 0 = 0
x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14
(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec
• La ecuación 0 = 0 es siempre cierta y puede ser eliminada, obteniéndose con ello un sistema equivalente al original.
x + y = 9 + 2z
-3y = -14 - 8z
Dejamos en el primer miembro, el mismo número de ecuaciones que de incógnitas
x = 9 + 2z - =
y = 3
8z14 3
2z-13
3
8z14
•Al darle a z un valor cualquiera (por ejemplo z = –1), podemos obtener las otras incógnitas por sustitución hacia arriba: y =2, x = 5. Ya tenemos una solución: x= 5, y = 2, z = –1•Como a z se le puede dar cualquier valor concluimos que el sistema tiene infinitas soluciones.
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Sistemas de ecuaciones no lineales• No hay un método general que permita resolver todos los sistema de ecuaciones no lineales.• Pueden tener cualquier número de soluciones, en número finito o infinito.• Las ecuaciones del sistema pueden representar rectas o curvas: resolverlo es encontrar todos
los puntos en común a las rectas – curvas que forman el sistema
X
Y
• •
El sistema tiene dos soluciones: • x = 3, y = 4• x = 4, y = 3
Estas soluciones corresponden a las coordenadas de los dos puntos en común que tienen la circunferencia x2 + y2 = 25, y la recta x + y = 7
x2 + y2 = 25x + y = 7
Ejemplo• Se despeja y de la segunda ecuación y se
sustituye en la primera.• Se obtiene: x2 – 7x + 12 = 0• Al resolver: x=3, x = 4• Sustituimos estos valores de x en la segunda
ecuación y se obtiene: y = 4, y = 3
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Inecuaciones• Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y
letras ligados por operaciones. Las desigualdades pueden ser de cualquiera de los tipos: >, <, , o
• Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas.• Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de
manera que, al sustituirlos en la inecuación, la desigualdad sea cierta .
3x2 – 18x + 19 > 12x – 29
Incógnita Desigualdad
1er miembro 2o miembro
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Inecuaciones equivalentes• Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones.• Transformaciones que conservan las soluciones de una inecuación.
Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una inecuación se obtiene una inecuación equivalente.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número positivo se obtiene una inecuación equivalente.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número negativo y se invierte la desigualdad se obtiene una inecuación equivalente.
Ejemplos:
• La inecuación 3x2 – 18x + 19 > 12x – 29 tiene una solución para x = 1.• x = 2 no es solución de la inecuación anterior.• Una inecuación equivalente a la anterior es x2 – 10 x + 16 > 0
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Inecuaciones de primer grado• Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuación de primer grado.• Puede ocurrir que:
Se satisfagan para cualquier valor de la variable. No tengan solución. Las que no están en ninguno de los casos anteriores son equivalentes a
inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x a, o x a
Ejemplos:
2x + 3 < 5x + 2 x > 1/3
1/3Soluciones: (1/3,+)
3 – 2x < 5 – 2x 0 < 2 Como esto es siempre cierto, son son solución todos los números reales. Soluciones: (– ,+)
5 – 3x 2 – 3x 3 0 Como esto es siempre falso, la inecuación no tiene solución
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