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ECUACION HIPERBOLA
Carolina Vásquez
Mayerlis Flórez
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LA HIPERBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de sus sustancias a dos puntos fijos es una constante positiva los dos puntos fijos se llaman focos
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ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA
• LOS FOCOS: Son los puntos fijos del plano
• EL EJE FOCAL: Es la recta que pasa por los focos
• LOS VERTICES: Son los puntos en los cuales la hipérbola corta el eje focal
• El EJE TRANSVERSO: Es el segmento que tiene por extremos los vértices de la hipérbola
• EL CENTRO: Es el punto medio del eje transverso
• EL EJE NORMAL: Es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal
• EL EJE CONJUGADO: Es el segmento perpendicular al eje transverso , en el centro . En el eje conjugado está contenido en el eje normal
• EL LADO RECTO: Es la cuerda que pasa por un foco de la hipérbola y es perpendicular al eje focal
• LAS ASINTOTAS: Son dos rectas a las cuales se aproximan las ramas de la hipérbola, al extenderse indefinidamente
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Ecuación Canónica de la Hipérbola con centro en (0,0) y eje focal sobre el eje X
La hipérbola con centro en (0,0) y focos en F1 ( - c, 0) y F2 (c , 0) tal que la diferencia de las distancias de un punto P (x,y) de la hipérbola a los focos es 2a,tiene por ecuación canónica la expresión:
Donde a, b, c > 0, c > a y b2 = c2 _ a2
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Demostración
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• ECUACIONES LAS ASINTOTAS
• Excentricidad
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Ecuación Canónica de la Hipérbola con centro en (0,0) y eje focal sobre el eje y
La hipérbola con centro en (0,0) y focos en F1 ( - c, 0) y F2 (c , 0) tal que la diferencia de las distancias de un punto P (x,y) de la hipérbola a los focos es 2a,tiene por ecuación canónica la expresión :
Donde a, b, c > 0, c > a y b2 = c2 _ a2
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Ejemplo
• Analizar la hipérbola cuya ecuación es x2/16 + y2/9 = 1
• Calcular la distancia del vértice al centro de la hipérbola (a)
• Calcular la distancia focal
• Hallar las coordenadas de los focos
• Hallar las coordenadas de las vértices
• Hallar las ecuaciones de las asíntotas
• Hallar la excentricidad
• Graficar la hipérbola
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ECUACION CANONICA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN (H, K) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
La hipérbola con centro en h,k focos F1 ( h - c, k) y F2(h + c,k) tal que la diferencia de las distintas de cualquier punto P (x , y) de la hipérbola, a los
focos es 2a, tiene por ecuación canónica:
ELEMENTOS:
Focos : F (h + c, k) y F (h - c, k)
• Vértices : V (h + a, k) y V (h - a, k)
• Asíntotas:
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Ejemplo:Determinar los elementos de la hipérbola cuya ecuación es: (x – 2)2 - (y – 3)2 = 1
Solución:- Se trata de una hipérbola con eje transverso horizontal paralelo al eje x, ya que la parte que está restando corresponde a la coordenada y.
- Distancia del centro al vértice de la hipérbolaa = 1
- CentroC (2, 3)
- Vértices
V (h + a, k) y V (h - a, k)V (2 + 1, 3) = V (3, 3)V (2 – 1, 3) = V (1, 3)
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- Distancia focalc2 = a2 + b2
- FocosF (h + c, k) y F (h - c, k)
- Asíntotas1. y – 3 = 1 (x – 2)
y = 3+ x – 2y = x + 1
2. y – 3 = - 1 (x – 2)y = 3 – x + 2y = - x + 5
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Grafica ecuacion canonica de la Hipérbola con centro en (h, k) y eje focal paralelo al eje x
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donde c> a y b2 = c2 – a2
• ECUACION CANONICA DE LA HIPERBOLA CON CENTRO EN (H,K) Y EJE
FOCAL PARALERO AL EJE Y
La hipérbola con centro en (h , k) y focos F1 (h ,k-c) y F2 (h,k+c), tal que la diferencia de las distancias de cualquier punto p (x,y) de la hipérbola, a los focos es 2 a , tiene por ecuación canónica:
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LOS ELEMENTOS:
LOS FOCOS : F (h, k+ c) y F (h, k - c)
LONGITUD DEL TRANSVERSO : 2 a
VERTICES: V1 (h, k + a) y V2 (h, k - a)
LONGITUD DEL EJE CONJUGADO: 2b
Asíntotas:
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EJEMPLO: Hallar los elementos y graficar la siguiente ecuación
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Webgrafía
http://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/ConceptoDeHiperbolaYSusElementos.html
https://aga.frba.utn.edu.ar/hiperbola/