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20 40 60 80
P. E.
La recta es una de las curvas de mayor estudio
realizado en las matemáticas por la enorme
cantidad de aplicaciones que presenta y por estar
vinculada a una ecuación de primer grado o
lineal, dentro de sus aplicaciones se tienen:
problemas de costos-ingresos y ganancia, la
oferta y demanda, la valoración de un activo a lo
largo del tiempo, etc.
Introducción:
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Definición:Existen varios intentos por definir a la línea recta, el más común es el que establece que la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos.
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Nosotros diremos que una línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos, tales que si tomamos dos cualesquiera de ellos satisfacen la ecuación,
donde m es una constante, la pendiente de la recta.
m=y2− y1
x2−x1
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L1
L2
0 x
y
• ¿Cuál de las ¿Cuál de las rectas está más rectas está más inclinada?inclinada?
• ¿Cómo medimos ¿Cómo medimos esa inclinación?esa inclinación?
x
yencambio
recorrido
elevaciónm
en x cambio
y
La pendiente m de la recta l es:La pendiente m de la recta l es:
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y2 - y1
x2 - x1
Cálculo de la pendiente de una recta
0 x
y
P1(x1;y1)
P2(x2; y2)
x=x2 - x1
y=y2 - y1
m =
Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).
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Ubique los puntos en el plano y Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos determine la pendiente de estos segmentos:segmentos:
1.1. A(-6; 1) y B(1; 2)A(-6; 1) y B(1; 2)
2.2. C(-1; 4) y D(3; 1)C(-1; 4) y D(3; 1)
3.3. E(3; 2) y F(8; 2)E(3; 2) y F(8; 2)
4.4. G(2; 1) y H(2; -3) G(2; 1) y H(2; -3)
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mAB = 1/7
mCD = -3/4
mEF = 0
mGH = ¿?
x
y
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1.1. Si mSi m>>0 la recta 0 la recta ll es crecientees creciente
2.2. Si mSi m<<0 la recta 0 la recta ll es decreciente es decreciente
3.3. Toda recta horizontal tiene m Toda recta horizontal tiene m = =
0 0
4.4. Las rectas verticales no tienen Las rectas verticales no tienen
pendiente definida. pendiente definida.
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Si la línea recta con pendiente m cruza al eje Y en el punto P(0,b) está descrita por la ecuación, bmxy
Ym
P(o,b)
X
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La ecuación de la recta de pendiente m, y La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso punto de paso (x(x11, y, y11)) es: es:
(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)
X
Y
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La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:
by = mx + b
X
Y
Ecuación de la recta 2.
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ECUACIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTARECTA
La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.
Ax + By + C = 0
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Ejemplo:Encontrar la ecuación de la recta que tiene una inclinación de 45 grados y cruza al eje Y en 10.
10
45
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Solución: La pendiente de la recta estará dada por,
y la ordenada al origen es 10, por lo que la ecuación de la recta será,
145tan ==m
101x+=y
10+x=y
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Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos, P(-3,-2) y P'(1,4).
4
-3 1
-2
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Solución;La pendiente de la recta está dada
por,
así que la ecuación de la recta será,
m=y2− y1
x 2−x1
−2−4−3−1
=−6−4
= 32
123
4 x=y
1342 x=y
2y−8=3x−3
0382y3x =++
052y3x =+052y3x =+
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recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b
recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a
b
a
y = b
x = a
RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL
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En resumen:
Formas de la ecuación de una recta:Formas de la ecuación de una recta:
• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)
• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen
• Forma general Ax + By + C = 0
• Recta vertical x = a
• Recta horizontal y = b
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La recta cuyas inter-secciones con los ejes X y Y son (a,0) y (0,b) respectivamen-te, tiene por ecuación,
1=by
+ax
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Dadas las ecuaciones de dos líneas rectas cualesquiera,
es posible saber si exite alguna relación entre ellas.
0=C+By+Ax
0=C+yB+xA '''
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m1 = m2
Dos rectasDos rectas ll11 yy ll2 2 cuyas pendientes cuyas pendientes
sonson mm11 yy mm22 , , son paralelasson paralelas ( (ll11 //// ll22) )
si y sólo si tienen la misma si y sólo si tienen la misma
pendiente o si ambas son pendiente o si ambas son
verticales .verticales .
Es decir:Es decir:
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Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Es decir:
Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.
m1 . m2 = -1