Download - Distribución T de Students
Distribucin T de Students.
HISTORIA
La distribucin t de student fue descubierta por William S. Gosset en 1908.
Gosset era un estadstico empleado por la compaa de cerveza Guinness Irlandesa que desaprobaba la publicacin de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibicin, publico su trabajo en secreto bajo el nombre de Student. En consecuencia la distribucin de T normalmente se llama distribucin de t de Student o simplemente t. Lo interesante del caso es que su trabajo estaba enfocado al control de calidad de la cerveza. En el pasado otros investigadores de la compaa Guinness haban publicado artculos en los que se divulgaban secretos o informacin confidencial sobre el proceso de la cerveza y por eso se oblig a Gosset a aceptar la clusulaDEFINICINLa distribucin-t o distribucion T de Student es una distribucion de probabilidad que surge del problema de estimar la medida de una poblacion normalmente distribuida cuando el tamao de la muesta es pequeo.A la teoria de pequeas muestras tambien se le llama teoria exacta del muestreo,ya que tambien la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamao grande.Para enender la distribucion t student hay que tomar en cuenta los Grados de libertad.Distribucin T de Students.Supngase que se toma una muestra de una poblacin normal con media m y varianza s2. Si x es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribucin es una distribucin normal estndar. Supngase que la varianza de la poblacin s 2 es desconocida. Qu sucede con la distribucin de esta estadstica si se reemplaza s por s? La distribucin t proporciona la respuesta a esta pregunta.La media y la varianza de la distribucin t son m = 0 y ( 2) 2 s = u u -2 para n>2, respectivamente. La siguiente figura presenta la grfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribucin t es similar a la de la distribucin normal estndar: ambas son simtricas y unimodales, y el valor mximo de la ordenada se alcanza en la media = 0. Sin embargo, la distribucin t tiene colas ms amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribucin normal. A medida que el nmero de grados de libertad tiende a infinito, la forma lmite de la distribucin t es la distribucin normal estndar.
Grados de libertad
Grafica de Distribucin T de Students.Una variable aleatoria se distribuye segn el modelo de probabilidad t o T-Student con grados de liberta, donde K es un entero positivo, si su funcin de densidad es la siguiente.
CARACTERISTICASPropiedade de las curvas T1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 02. Cada curva t, esta ms dispersa que la curva normal estndar z.3. A medida que v aumenta, la dispersin de la curva t correspondiente disminuye.4. A medida de v es infinito, la secuencia de curvas t se aproxima a la curva estndar,por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl= infinito.
La distribucin de la variable aleatoria T esta dada por:
TABLA DE LA DISTRIBUCION t- StudentLa tabla da reas 1 - a , para valores menores o iguales a t y n g.l, se construy con Excel.
1 - a
n0.750.800.850.900.950.9750.990.995
11.0001.3761.9633.0786.31412.70631.82163.657
20.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.925
30.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.841
40.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.604
50.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.032
60.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.707
70.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.499
80.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.355
90.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.250
100.7000.8791.0931.3721.8122.2282.7643.169
110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.106
120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.055
130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.012
140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.977
150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.947
160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.921
170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.898
180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.878
190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.861
200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.845
210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.831
220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.819
230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.807
240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.797
250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.787
260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.779
270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.771
280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.763
290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.756
300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.750
400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.704
600.6790.8481.0461.2961.6712.0002.3902.660
1200.6770.8451.0411.2891.6581.9802.3582.617
0.6740.8421.0361.2821.6451.9602.3262.576
EJERCICIOSEjemplo1: Un fabricante de focos afirma que su producto durar un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre t 0.05 y t 0.05, l se encuentra satisfecho con esta afirmacin. Qu conclusin deber l sacar de una muestra de 25 focos cuya duracin fue?:520521511513510=500 h
513522500521495n=25
496488500502512Nc=90%
510510475505521X=505.36
506503487493500s=12.07
SOLUCIN. t= x - SI n = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24 t = 2.22Enseguida se muestra la distribucin del problema segn el grafico sig.
Ejemplo 2.- La longitud de los tornillos fabricados en una fbrica tienen media =10 mm y desviacin s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamao n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:
P (