DISTRIBUCION ESPACIAL DE COEFICIENTES PENTANOMIALES
HIPERTETRAEDRO SUMA
Enrique R. Acosta R 2017
COEFICIENTES PENTANOMIALES
Los resultados obtenidos hasta ahora en una serie de trabajos anteriores (ver Bibliografía), sobre
la obtención analítica de los coeficientes del desarrollo de un polinomio tal como
(𝑥1 + 𝑥2+,… ,+𝑥𝑟)𝑚, y su distribución espacial, nos han permitido generalizar las fórmulas
encontradas para determinar dichos coeficientes, en cualquier caso de 𝑚, 𝑦 𝑟, enteros positivos.
De igual manera, hemos establecido que los coeficientes Binomiales (r=2), se distribuyen en líneas,
que podemos agrupar en un triángulo conocido como triángulo de Pascal, que hemos denominado
∆0, los coeficientes Trinomiales (r=3), se distribuyen en áreas triangulares que hemos denominado
∆𝑇 ,que también podemos agrupar en una pirámide o tetraedro regular, denominada Tetraedro
de Pascal, y los coeficientes Tetranomiales (r=4), se distribuyen en las caras, aristas y vértices de
un tetraedro compuesto, que hemos denominado Tetraedro Suma (T.Suma).
En el caso de los coeficientes Pentanomiales , más allá de la expresión encontrada para su
determinación: 𝑸𝒏𝒎 = (
𝒎𝒏){(
𝒏𝒊𝒋𝒌
)} =
{
(
𝒎𝒏𝒊𝒋𝒌)
}
, donde m representa la potencia del pentanomio
o fila del triángulo de coeficientes, y n representa el nivel correspondiente del cuerpo 4D que los contiene , desde n=0 en el “vértice”, hasta n=m en la base o tetraedro suma de coeficientes Tetranomiales para dicho caso de m, y donde n se corresponde con los valores de columna como casos de tetraedro suma, en la tabla o triángulo de coeficientes. Los coeficientes se obtienen al desarrollar las secuencias: 𝑛 = 0,1, … ,𝑚 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 𝑗 = 0,1, … , 𝑖 𝑘 = 0,1, … , 𝑗
El único problema que nos quedaría por resolver sería el determinar cómo se distribuyen dichos
coeficientes en el espacio.
Por analogía, sí para el caso de los coeficientes Tetranomiales, la base del tetraedro que los
contiene, se corresponde con el ∆𝑇 del mismo caso de 𝑚, y todas las secciones de dicho tetraedro,
son también triángulos análogos a ∆𝑇, podríamos suponer que si para los coeficientes
Pentanomiales, la base del cuerpo 4D que los contiene, que de ahora en adelante denominaremos
Hipertetraedro Suma (H.T.S.), es el Tetraedro Suma correspondiente al mismo caso de 𝑚,
entonces todos los diferentes niveles del H.T.S., deberán ser también Tetraedros Suma, análogos a
dicha base.
Para comprobar esta hipótesis (de manera práctica), hemos elaborado una tabla o triángulo de
coeficientes Pentanomiales, para los casos desde 𝑚 = 0, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚 = 6, (para valores más allá de
m=6, es prácticamente imposible verter dichos valores en una hoja tamaño carta).
Con la ayuda de dicha tabla y con las expresiones ya determinadas para la obtención de dichos
coeficientes, intentaremos comprobar que dichas suposiciones para establecer su distribución
espacial, son correctas.
Comencemos presentando como se vería una secuencia frontal de los 7 Tetraedros Suma ,
correspondientes a las 7 secciones posibles de un H.T.S. , para m=6
1̇ Cara del T.Suma de la Sección por N=0, del H.T.S para m=6 6̇ 6̇ 6̇ Cara del T.Suma de la Sección por N=1, del H.T.S para m=6 15̇ 30̇ 30̇
15̇ 30 ̇ 15̇ Cara del T.Suma de la Sección por N=2, del H.T.S para m=6
20̇ 60̇ 60̇
60̇ 120 ̇ 60̇
20̇ 60̇ 60̇ 20̇
Cara del T.Suma de la Sección por N=3, del H.T.S para m=6
6̇ 6̇ 6̇
90̇ 180 ̇ 90
60̇ 180̇ 180̇ 60̇
15̇ 60̇ 90̇ 60̇ 15̇ Cara del T.Suma de la Sección por N=4, del H.T.S para m=6
6̇ 30̇ 30̇
60̇ 120 ̇ 60
60̇ 180̇ 180̇ 60̇
30̇ 120̇ 180̇ 120̇ 30̇
6̇ 30̇ 60̇ 60̇ 30̇ 6̇
Cara del T.Suma de la Sección por N=5, del H.T.S para m=6
1̇ 6̇ 6̇
15̇ 30 ̇ 15̇
20̇ 60̇ 60̇ 20̇
15̇ 60̇ 90̇ 60̇ 15̇
6̇ 30̇ 60̇ 60̇ 30̇ 6̇
1̇ 6̇ 15̇ 20̇ 15̇ 15̇ 1 ̇ Cara del T.Suma de la Sección por N=6, del H.T.S para m=6 Nótese que cada nivel en esta cara se corresponde con el nivel de base de cada una de las caras anteriores
Como ya hemos determinado, estos tetraedros a partir de N=4, contienen en su interior o una
singularidad (un tetraedro punto), y/o un tetraedro secundario (T.S.) interno cuyo vértice se aloja en
el nivel n=3 (cuarto nivel) del tetraedro principal (T.P.) o externo, y que extiende su desarrollo hasta el
nivel n=m-1, de dicho tetraedro principal (ver la referencia: “Distribución tetraédrica de coeficientes
tetranomiales”)
Esto, esquemáticamente Podemos representarlo mediante la siguiente figura:
Nivel Tetraedro principal (T.P.) 0 1 2 Nivel 0 Tetraedro secundario(T.S.) 3….... Singularidad ........................... . . . m-1
n=m
La representación de ambos tetraedros simultáneamente en una sola figura exige la utilización de
herramientas gráficas más complicadas. A pesar de ello, podemos también dar un ejemplo
esquemático que hemos elaborado para el caso r=4 y m=6 (que coincide con la sección por N=6 del
H.T.S., que estamos utilizando como caso de estudio)
Representación esquemática y sin escala del tetraedro suma (T. Suma) o prisma tetraédrico
correspondiente a la distribución de coeficientes Tetranomiales para 𝒎 = 𝟔 .
T.S
T.P
∆𝑇
∆0
La base de este tetraedro exterior coincide con el ∆𝑻 para 𝑚 = 6, el cual a su vez constituye la
base del tetraedro interior, o pirámide de Pascal del mismo caso, que tiene como vértice, el origen
de coordenadas, y como caras, los triángulos de Pascal (∆0), construidos c/u sobre uno de los tres
semiplanos coordenados, que contienen las 6 primeras filas del mismo (𝑚 = 6).
En la figura, se ha abierto una ventana triangular “ad-hoc” en el tetraedro principal (T.P.) para
poder observar la ubicación y el contenido del tetraedro secundario (T.S.)
Construimos nuestra tabla de coeficientes Pentanomiales, en base a la metodología desarrollada
en el estudio denominado “Coeficientes multinomiales y generalización del triángulo de Pascal”,
donde se utilizan las interrelaciones entre los coeficientes de cada caso, y las series paralelas
constitutivas del triángulo de Pascal, para elaborar dichas tablas o triángulos de coeficientes.
Para obtener los coeficientes contenidos en cada sección N del H.T.S., la trataremos como un
T.Suma, pero para obtener todos los coeficientes deberemos aplicar la expresión deducida para
coeficientes Pentanomiales, ya que si aplicamos la expresión correspondiente a los coeficientes
Tetranomiales, sólo obtendríamos los coeficientes de sus caras y quedarían excluidos todos sus
coeficientes interiores.
Entonces para el caso del H.T.S. para m=6, tendremos:
Sección por N=0: corresponde a los coeficientes de la columna 0 de la tabla o triángulo para m=6
𝑄06 =
{
(
60000)
}
= {1}, un solo coeficiente unitario nivel 𝑖 = 0 1̇
Sección por N=1 : corresponde a los coeficientes de la columna 1 de la tabla o triángulo para m=6
Secciones por nivel:
𝑄16 =
{
(
61000)
,
(
61100)
,
(
61110)
,
(
61111)
}
= {6,6,6,6} nivel 𝑖 = 0 6̇
nivel 𝑖 = 1 6̇
𝑖 = 0 𝑖 = 1 6̇ 6̇
Podemos observar que la sección por el nivel i=1, constituye la base del T.Suma
Correspondiente a la sección por N=1 del H.T.S. para m=6, y es también la configuración de
cualquiera de sus 4 caras.
N=1
Sección por N=2: corresponde a los coeficientes de la columna 2 de la tabla o triángulo para m=6
𝑄26 =
{
(
62000)
,
(
62100)
,
(
62110)
,
(
62111)
,
(
62200)
,
(
62210)
,
(
62211)
,
(
62220)
,
(
62221)
,
(
62222)
}
= {15,30,30,30,15,30,30,15,30,15}
I=0 i=1 i=2
Secciones por nivel:
𝑖 = 0 15̇
𝑖 = 1 30̇
30̇ 30̇
𝑖 = 2 15̇
30̇ 30̇
15̇ 30̇ 15̇
Podemos observar que la sección por el nivel i=2, constituye la base del T.Suma
Correspondiente a la sección por N=2 del H.T.S. para m=6, y es también la configuración de
cualquiera de sus 4 caras.
Sección por N=3: corresponde a los coeficientes de la columna 3 de la tabla o triángulo para m=6
𝑄36 =
{
(
63000)
,
(
63100)
,
(
63110)
,
(
63111)
,
(
63200)
,
(
63210)
,
(
63211)
,
(
63220)
,
(
63221)
,
(
63222)
,
(
63300)
,
(
63310)
,
(
63311)
,
(
63320)
,
(
63321)
,
(
63322)
,
(
63330)
,
(
63331)
,
(
63332)
,
(
63333)
}
=
𝑖 = 0 𝑖 = 1 𝑖 = 2 𝑖 = 3
= {20,60,60,60,60,120,120,60,120,60,20,60,60,60,120,60,20,60,60,20}
N=2
Secciones por nivel:
𝑖 = 0 20̇
𝑖 = 1 60̇
60̇ 60̇
𝑖 = 2 60̇
120̇ 120̇
60̇ 120̇ 60̇
𝑖 = 3 20̇
60̇ 60̇
60̇ 120̇ 60̇
20̇ 60̇ 60̇ 20̇
Podemos observar que la sección por el nivel i=3, constituye la base del T.Suma
Correspondiente a la sección por N=3 del H.T.S. para m=6, y es también la configuración de
cualquiera de sus 4 caras.
Por razones de espacio, damos por sentado que ha quedado suficientemente clara la secuencia a
seguir para la determinación de los coeficientes Pentanomiales para cada columna de la tabla, que
equivale a la sección por el nivel N considerado del H.T.S., del caso m=6 ( y de cualquier otro
caso). Entonces para la obtención de los coeficientes restantes, para las secciones N=4,5,6
utilizaremos la expresión simbólica general, sin desarrollarla.
Sección por N=4 : corresponde a los coeficientes de la columna 4 de la tabla o triángulo para m=6
𝑄46 =
{
(
64𝑖𝑗𝑘)
}
Con 𝑖 = 0,1, … ,4 𝑗 = 0,1,… , 𝑖 𝑘 = 0,1,… , 𝑗 , resulta:
𝑄46=
{15,60,60,60,90,180,180,90,180,90,60,180,180,180,360,180,60,180,180,60,15,60,60,90,180,90,60,
180,180,60,15,60,90,60,15}
N=3
Secciones por nivel:
𝑖 = 0 15̇
𝑖 = 1 60̇
60̇ 60̇
𝑖 = 2 90̇
180̇ 180̇
90̇ 180̇ 90̇
𝑖 = 3 60̇
180̇ 180̇
180̇ 360̇ 180̇
60̇ 180̇ 180̇ 60̇
𝑖 = 4 15̇
60̇ 60̇
90̇ 180̇ 90̇
60̇ 180̇ 180̇ 60̇
15̇ 60̇ 90̇ 60̇ 15̇
Podemos observar que la sección por el nivel i=4, constituye la base del T.Suma
Correspondiente a la sección por N=4 del H.T.S. para m=6, y es también la configuración de
cualquiera de sus 4 caras.
Deberemos señalar aquí que el valor 360 en la sección por 𝑖 = 3, no es una singularidad ni un
vértice de un tetraedro secundario interior, ya que para 𝑚 = 6, esta ocurre para la permutación
𝑃𝑟6,1,1,1,1,1,1=6! = 720, y corresponde a 𝑟 = 6, es decir a coeficientes sexanomiales, mientras
que este valor se corresponde con la permutación 𝑃𝑟6,1,1,1,1,2 = 6! 2!⁄ = 360, que si pertenece a
N=4
los coeficientes Pentanomiales. Ver Tabla I en “Distribución tetraédrica de coeficientes
tetranomiales”
Sección por N=5 : corresponde a los coeficientes de la columna 5 de la tabla o triángulo para m=6
𝑄56 =
{
(
65𝑖𝑗𝑘)
}
, con 𝑖 = 0,1,… ,5 𝑗 = 0,1, … , 𝑖 𝑘 = 0,1,… , 𝑗, resulta:
𝑄56 ={6,30,30,30,60,120,120,60,120,60,60,180,180,180,360,180,60,180,180,60,30,120,120,180,360,180,120
,360,360,120,30,120,180,120,30,6,30,30,60,120,60,60,180,180,60,30,120,180,120,30,6,30,60,60,30,6}
Secciones por nivel:
𝑖 = 0 6̇
𝑖 = 1 30̇
30̇ 30̇
𝑖 = 2 60̇
120̇ 120̇
60̇ 120̇ 60̇
𝑖 = 3 60̇
180̇ 180̇
180̇ 𝟑𝟔𝟎̇ 180̇ ˃ N=5
60̇ 180̇ 180̇ 60̇
𝑖 = 4
30̇
120̇ 120̇
180̇ 360̇ 180̇
120̇ 360̇ 360̇ 120̇
30̇ 120̇ 180̇ 120̇ 30̇
𝑖 = 5
6̇
30̇ 30̇
60̇ 120̇ 60̇
60̇ 180̇ 180̇ 60̇
30̇ 120̇ 180̇ 120̇ 30̇
6̇ 30̇ 60̇ 60̇ 30̇ 6̇
Podemos observar que la sección por el nivel i=5, constituye la base del T.Suma
Correspondiente a la sección por N=5 del H.T.S. para m=6, y es también la configuración de
cualquiera de sus 4 caras.
En este caso si existe un tetraedro secundario (T.S.) interno de dos niveles, cuyo vértice de valor
360, se ubica en el nivel 𝒊 = 𝟑, del T.Suma, y cuya base con los tres coeficientes {360, 360, 360},
se ubica en el nivel siguiente 𝒊 = 𝟒
Sección por N=6: corresponde a los coeficientes de la columna 6 de la tabla o triángulo para m=6
𝑄66 =
{
(
66𝑖𝑗𝑘)
}
Con 𝑖 = 0,1, … ,6 𝑗 = 0,1,… , 𝑖 𝑘 = 0,1,… , 𝑗 , resulta:
𝑄66={1,6,6,6,15,30,30,15,30,15,20,60,60,60,120,60,20,60,60,20,15,60,60,90,180,90,60,180,180,60,15,60,90,60,15,6,30
,30,60,120,60,60,180,180,60,30,120,180,120,30,6,30,60,60,30,6,1,6,6,15,30,15,20,60,60,20,15,60,90,60,15,6,30,60,60
,30,6,1,6,15,20,15,6,1}
Secciones por nivel:
i = 0 1̇
𝑖 = 1 6̇
6̇ 6̇
𝑖 = 2 15̇
30̇ 30̇
15̇ 30̇ 15̇
𝑖 = 3 20̇
60̇ 60̇
60̇ 𝟏𝟐𝟎̇ 60̇
20̇ 60̇ 60̇ 20̇
𝑖 = 4 15̇
60̇ 60̇
90̇ 180̇ 90̇
60̇ 180̇ 180̇ 60̇
15̇ 60̇ 90̇ 60̇ 15̇ ˃
𝑖 = 5 6̇
30̇ 30̇
60̇ 120̇ 60̇
60̇ 180̇ 180̇ 60̇
30̇ 120̇ 180̇ 120̇ 30̇
6̇ 30̇ 60̇ 60̇ 30̇ 6̇
𝑖 = 6 1̇
6̇ 6̇
15̇ 30̇ 15̇
20̇ 60̇ 60̇ 20̇
15̇ 60̇ 90̇ 60̇ 15̇
6̇ 30̇ 60̇ 60̇ 30̇ 6̇
1̇ 6̇ 15̇ 20̇ 15̇ 6̇ 1̇
N=6
Podemos observar que la sección por el nivel i=6, constituye la base del T.Suma
Correspondiente a la sección por N=6 del H.T.S. para m=6, y es también la configuración de
cualquiera de sus 4 caras.
En este caso si existe un tetraedro secundario (T.S.) interno de tres niveles, cuyo vértice de valor
120, se ubica en el nivel 𝒊 = 𝟑, del T.Suma,y continua con tres coeficientes {180,180,180} en el
nivel siguiente 𝒊 = 𝟒, para culminar con su base de seis coeficientes {120,180,180,120,180,120},
ubicada en el nivel 𝒊 = 𝟓, del T.Suma correspondiente.
Creemos que con este “despiece” pormenorizado del H.T.S. correspondiente al caso r=5 , y m=6,
totalmente congruente con la distribución de los valores de coeficientes Pentanomiales,
plasmados en la tabla o triángulo que se anexa, hemos logrado nuestros objetivos.
También podemos inferir que la analogía que aquí utilizamos de base teórica para desarrollar y
obtener la distribución espacial de los coeficientes pentanomiales (r=5), en un Hiper Tetraedro
Suma, puede extenderse indefinidamente para cualquier otro valor de r, entero positivo.
Las expresiones involucradas en la determinación de los coeficientes Trinomiales, Tetranomiales,
Pentanomiales, y en general Polinomiales, nos han llevado a configurar una nueva expresión del
Teorema Multinomial, que denominamos por analogía, “Forma Newtoniana”, la cual nos permite
obtener el desarrollo de un polinomio como (𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑟)𝑚, de manera explícita y
sistematizada.
(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 +⋯+ 𝒙𝒓)𝒎 =∑
(
𝒎𝒏𝒊𝒋⋮𝒑𝒒)
𝒙𝟏𝒎−𝒏𝒙𝟐
𝒏−𝒊…𝒏=𝟎,𝟏,..,𝒎𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊
⋮𝒑=𝟎,𝟏,…,𝒐𝒒=𝟎,𝟏,…,𝒑
𝒙𝒓−𝟏𝒑−𝒒
𝒙𝒓𝒒
Dicho coeficiente multinomial consta de r términos, y que para el caso particular de estudio seria:
(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓)𝟔 =∑
(
𝟔𝒏𝒊𝒋𝒌 )
𝒙𝟏𝟔−𝒏𝒙𝟐
𝒏−𝒊𝒏=𝟎,𝟏,..,𝟔𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊𝒌=𝟎,𝟏,…𝒋
𝒙𝟑𝒊−𝒋𝒙𝟒𝒋−𝒌𝒙𝟓𝒌
Bibliografía:
Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997
Prisma Combinatorio 1997-revisado 2016
Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016
Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016
Distribución espacial de Coeficientes de un polinomio elevado a la m: Resumen 2016
Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema Multinomial y
otros tópicos complementarios 2017
Enrique R.Acosta R. Enero 2017
TRIÁNGULO DE COEFICIENTES PENTANOMIALES (NUMÉRICOS), desde m=0, hasta m=6
m
Columnas como casos de T.Suma 𝑁°𝐸𝑙𝑒𝑚𝑝/𝑓. 𝑆
5
0 1 2 3
0 1 1
1 1 1 1 1 1 5
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 15
3 1 3 3 3 3 3 6 6 6 3 6 6 3 6 3 1 3 3 3 3 6 6 3 6 3 1 3 3 3 6 3 1 3 3 1 35
4 1 4 4 4 4 6 12 12 12 6 12 12 6 12 6 4 12 12 12 12 24 24 12 24 12 4 12 12 12 24 12 4 12 12 4
5 1 5 5 5 5 10 20 20 20 10 20 20 10 20 10 10 30 30 30 30 60 60 30 60 30 10 30 30 30 60 30 10 30 30 10
6 1 6 6 6 6 15 30 30 30 15 30 30 15 30 15 20 60 60 60 60 120 120 60 120 60 20 60 60 60 120 60 20 60 60 20
4 𝑆5 70
1 4 4 4 6 12 12 6 12 6 4 12 12 12 24 12 4 12 12 4 1 4 4 6 12 6 4 12 12 4 1 4 6 4 1
5 20 20 20 30 60 60 30 60 30 20 60 60 60 120 60 20 60 60 20 5 20 20 30 60 30 20 60 60 20 5 20 30 20 5
15 60 60 60 90 180 180 90 180 90 60 180 180 180 360 180 60 180 180 60 15 60 60 90 180 90 60 180 180 60 15 60 90 60 15
5
1 5 5 5 10 20 20 10 20 10 10 30 30 30 60 30 10 30 30 10 5 20 20 30 60 30 20 60 60 20 5 20 30 20 5
6 30 30 30 60 120 120 60 120 60 60 180 180 180 360 180 60 180 180 60 30 120 120 180 360 180 120 360 360 120 30 120 180 120 30
5 𝑆5 126 1 5 5 10 20 10 10 30 30 10 5 20 30 20 5 1 5 10 10 5 1
6 30 30 60 120 60 60 180 180 60 30 120 180 120 30 6 30 60 60 30 6
6
1 6 6 6 15 30 30 15 30 15 20 60 60 60 120 60 20 60 60 20 15 60 60 90 180 90 60 180 180 60 15 60 90 60 15
6
6 30 30 60 120 60 60 180 180 60 30 120 180 120 30 6 30 60 60 30 6 1 6 6 15 30 15 20 60 60 20 15 60 90 60
6 𝑆5
15 6 30 60 60 30 6 1 6 15 20 15 6 1 2 210
Esta cuarta tabla o triángulo, contiene todos los coeficientes del desarrollo de (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5)𝑚 , los cuales se distribuyen como
un todo en el volumen de un cuerpo de 4 dimensiones para cada potencia m del pentanomio, y aunque no podemos visualizar dichos cuerpos o representarlos fácilmente en 3D, queda claro que cada una de sus secciones, trazadas por cada uno de sus niveles ( de m=0 ,hasta n=m), corresponde a un tetraedro suma , con características análogas a las ya determinadas para tales cuerpos geométricos.
Los coeficientes de este caso, que se distribuyen en dicho cuerpo 4D, responden a la expresión:
𝑸𝒏𝒎 =
{
(
𝒎𝒏𝒊𝒋𝒌)
}
, donde m representa la potencia del pentanomio o fila del triángulo de coeficientes, y n representa el nivel
correspondiente del cuerpo 4D que los contiene, desde n=0 en el “vértice”, hasta n=m en la base o tetraedro suma de coeficientes Tetranomiales para dicho caso de m.
Los coeficientes de una fila son todos los contenidos en el cuerpo 4D para el caso de m.
Los coeficientes iniciales de cada columna de la tabla o triángulo, se corresponden con el total de los coeficientes del T.Suma para m=n. Para obtener los valores de cada columna en la tabla, deberemos multiplicar cada uno de los valores iniciales de la columna n
(correspondientes al T.Suma para m=n), sucesivamente por los elementos de la sucesión paralela 𝑆𝑛+1