Download - Dinamica rotacional
DINÁMICA ROTACIONAL
El torque producido por una fuerza es un cuantificador del efecto racional que
produce la aplicación de una fuerza sobre algun punto.
En la figura al aplicar la fuerza F determina que la masa puntual m gire
alrededor del punto O; se considera que no existe ningún tipo de fricción y que
todas las masas son despreciables, excepto la partícula.
o
r
m
Por facilidad de análisis se considera que la fuerza está contenida e plano de
rotación de la partícula.
El torque producido por la fuerza F respecto al punto O es
y su modulo es :
F sen
Fr = fuerza tangencial
(1)
(2) en (1)
ar = d.r
Fr = m.d.r (2) (3)
Q
es el torque de la fuerza con el eje relacionado.
r: es la distancia perpendicular de la partícula al eje.
aceleración angular de la partícula.
Momento de Inercia
En la ecuación (3) el producto m.r2 se denomina “momento de inercia” o
“inercia rotacional” de la partícula que gira alrededor del punto cero. Se la
representa con la letra I.
I = mr2.
El momento de inercia dependerá de la masa de la partícula y de la distancia
de la partícula al punto de referencia.
Si se tuviere un sistema de n partículas el momento de inercia respecto a un
eje es :
Io = m1r12+ m2r2
2+….+ mnrn2 =
SI
CGS =
O’
O
m
RGO’
O
m3
m1
r2
m2
I=mr2
I = kg*m2
I=mr2
I = gr*cm2
RADIO DE GIRO
En la Fig. anterior el radio de giro es la distancia r o un eje al cual una partícula
de masa igual a la masa igual del sistema, tendría el mismo momento de
Inercia que el sistema original es decir:
I(6o’) = m1r12+ m2r2
2+….+ mnrn2 = MR02
I= MR02
donde:
RG : Es el radio de giro
m: masa total del sistema (m1+m2…..+mn)
Calcular el momento de inercia y el radio de giro del sistema respecto:
a) Al eje perpendicular al plano que pasa por A
b) Al eje perpendicular al plano que pasa por B
c) Respecto al eje AB
d) Respecto al Eje AC
a) r1(A) = 0
r2(A) = 4m
r3(A) = 5m
A
BC
4m r2
r3 5m
3m
m3= 3kg
m2 = 3kg
m1 = 2kg
m=m1+m2+m3
m = 2kg+3kg+3kg = 8kg
b)
= 2kg (16m2)+3kg(9)m2
= 32kgm2 + 27kgm2
= 59 kgm2
c) r1 = 0
r2=0
r3(AB) = 3m
I = 3kg(9)m2
I = 27kgm2
= 1.83m
d) r1 = 0
r2 = 2.4
r3 = 0
AB * CB = AC * r
4 * 3 = 5 * r
r = 2.4
= 3(2.4)2
= 17.28kgm2
Ley de Newton para la rotación:
A
BC
2.4 m
3m
La ecuación , generalmente se denomina Ley de Newton para la
rotación es definida en la traslación, pero no tan fundamental ya que se deriva
de esta.
De lo anterior se deduce que el análogo rotacional de la fuerza es el Torque si
el análogo rotacional de la masa es el momento de Inercia
El agente que causa la rotación es el torque
traslación es la fuerza
La oposición al cambio de estado, en la traslación es la masa y quién
cuantifica la oposición de un cuerpo a la rotación es el momento de inercia. La
corelación entre rotación y traslación se expresa:
Rotación Traslación
Fuerza (F) Torque ( )
Masa (m) Momento de Inercia (I)
Aceleración (a) Aceleración angular
Ej. Una piedra de esmeril de masa 1kg y radio 15cm., esta rodando con una
velocidad angular de 360rpm cuando el motor se apaga. Que fuerza tg. a la
rueda debe aplicar para que se detenga luego de 20rev si el momento de
inercia de la piedra es de ½ mr2
Datos:
m = 1kg
r = 0.15m
Wo = 360rpm = 37.7 rad/s
I = ½ mr2
TRABAJO
Cuando la partícula P se encuentra en la posición en el plano Oxy, se le
aplica una fuerza constante y realiza un desplazamiento , se ha efectuado
trabajo.
El trabajo es la medida de la acción de una fuerza con respecto al recorrido de
su punto de aplicación.
Definición: “El trabajo (W) es el producto escalar del vector fuerza por el vector
desplazamiento”
(1)
La ecuación (1) indica que el trabajo realizado por una fuerza es igual a la
suma algebraica de los trabajos hechos por sus componentes rectangulares.
Aplicando la definición de producto escalar tenemos:
(2)
y
Trayectoria
x
F
O
Qy
r cosQ
Q
F
F
F cosQ
Q
La ecuación (2) puede interpretarse como el producto del módulo de la fuerza
por el componente del desplazamiento en la dirección de la fuerza ( )
Interpretación gráfica del trabajo
TRABAJO TRABAJO TRABAJO
F,COS 0 = k F r F.cos k
El trabajo se puede representar gráficamente tomando los valores de la
componente de la fuerza que realiza trabajo en el eje y ,y los valores del
desplazamiento realizado en el eje x. La medida de este trabajo realizado está
representada por la superficie del área especificada como trabajo.
Tipos de Trabajo
Trabajo neto.- Se tiene este tipo de trabajo cuando sobre un cuerpo actúan
varias fuerzas.
Se puede calcular el trabajo neto de dos maneras:
a) sumando algebraicamente los trabajos efectuados por las fuerzas
componentes ( es el mismo para todas las fuerzas que actúan sobre
la partícula).
Wn = W1 + W2 + W3 + W4 + …. + Wn
Wn = ( ).
P
F1 F2F3
F4
Fn
r
b) Determinando la resultante de dichas fuerzas y calculando el trabajo de
la misma.
Wn = ( ).
Wn = .
Trabajo activo.- Es el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas
activas. Una fuerza es considerada activa cuando su dirección forma un ángulo
agudo con la del desplazamiento esta determina que aumente la rapidez de la
partícula a la cual está aplicada.
Trabajo resistivo.- Es el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas
resistivas. Una fuerza es considerada resistiva cuando su dirección forma un
ángulo obtuso con la de desplazamiento, esto determina que disminuya la
rapidez de la partícula a la cual está aplicada.
Trabajo nulo.- Se considera trabajo nulo cuando uno de los factores de la
ecuación
Wn = Fr. es cero
FAC
a) Cuando FR = 0, cuando la suma de todos las fuerzas aplicadas al
cuerpo es cero (En equilibrio estático o dinámico).
b) Cuando = 0 ; cuando se aplica una fuerza a un cuerpo y este no
sufre desplazamiento el trabajo de esta fuerza es nulo.
c) Cuando cos = 0; si la fuerza es 1 al desplazamiento, el trabajo
efectuado por la fuerza es nulo.
cos 900 = 0
Resumiendo el trabajo activo = al trabajo resistivo, el trabajo total es nulo y no
se produce variación en la velocidad de la partícula
Unidades
El trabajo es una magnitud escalar cuyas unidades son las de una fuerza
multiplicada por la de un desplazamiento.
S.I. = N x m = 11 [I] [Julio] [ Joule]
Un Joule es el trabajo que realiza una fuerza de un Newton al desplazarse su
punto de aplicación un metro.
En el sistema CGS DINA x cm [Ergio]
Un Ergio es el trabajo que realiza una fuerza de un DINA al desplazarse su
punto de aplicación a un cm.
En el sistema Técnico la unidad de la fuerza es el Kg. fuerza
Kgf * m = 1 [kgm]
Un kilogrametro es el trabajo que realiza una fuerza de un kilogramo fuerza kgf
a desplazarse su punto de aplicación 1 m.
Equivalencias:
1 joule = 107 ergios
1 kgm = 8 joules
1) Un bloque de 47 kg. es arrastrado a velocidad constante por una fuerza F en
un plano horizontal una distancia de 27m. Si el coeficiente de rozamiento es
igual a 0.25.
Determinar:
a) El trabajo realizado por la Fuerza F
b) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento
c) El trabajo realizado por la fuerza normal
d) El trabajo neto.
Utilizar el método vectorial y escalar.
N = mg -fr = Fcos25
N = 47kg * 9.8m/s2 UN = Fcos25
N = 460.6 [N]
F = 127 [N]
a) WF =
WF = (115.15i + 53.7j) (27i)
WF = (115.15)(27) + (53.7) 0
WF = 3109 [J]
WF = F . r .cos25
WF = 127 x 27 cos(25)
WF = 3109 [J]
b) fr = Fcos
fr = 127 [N] .cos 25
fr = 115.15 [N]
fr = (115.15 ; 1800)
fr = (-115.15i) [N]
Wfr = fr x
Wfr = -115.15 x 27m
250
Fr
F
250
mg
F
r = 27m
= -3109[J]
c) WN=0
d) Wr = Wr + Wfr + WN + Wmg
= 3109+ (-3109)[J]
Wr = 0
2) m = 97Kg
U = 0.17
N = my W = 197.27 x
17 x cos35
N = 97 kg (9.8m/s2) W = 2747.2 [J]
N = 950.6 [N]
F = 197.27
F = (161.59i + 113.14j) [N]
W = (161.59i + 113.14j) x 17m
W = 2747.2i [J]
fr = (161.59; 1800)
fr = (-161.59i) [N]
W = 161.53 x 17m
W = -274.1 [J]
Una persona sube con una velocidad constante un cuerpo de 50kg. hasta una
altura de 6m, determinar a) El trabajo realizado so se utiliza una polea fija
b) El trabajo realizado si se utiliza una rampa de 12m si tienen
coeficiente de rozamiento de U = 0
F F6m
F
mg.sen0
a)
F = m.g mg
F = 50kg x 9.8
F = 490 [N]
W = 490 x 6 = 2940 [J]
b)
F – 480 sen30 = 0
F =245
W = 245 [N] x 12m
W = 2940 [J]
Potencia
Desde el punto de vista técnico en la selección de una máquina como puede
ser un motor, transformador, etc, la potencia es uno de los criterios más
importantes pues la rapidez con la que puede efectuar un trabajo interesa más
que la cantidad total de trabajo que puede realizar esa máquina.
La rapidez para realizar trabajo se denomina potencia
P = W/T
entre dos máquinas que realicen el mismo trabajo se considerará más potente
aquella máquina que realice dicho trabajo en el menor tiempo.
Potencia Media.- Si la fuerza aplicada es constante, la potencia media también
lo es; es el trabajo por unidad de tiempo.
Pm = FxVm
Pm = F.Vm cos
Potencia media
mg12m
6m
Q
La potencia media aplicada a un cuerpo es el producto escalar de la fuerza por
la velocidad media.
Cuando la fuerza y la velocidad media son paralelas la potencia es igual al
producto de sus módulos; siendo positivo si van en el mismo sentido negativo
si tienen diferentes sentidos.
Potencia Instantánea
Cuando el intervalo de tiempo tiende a cero se puede calcular la velocidad
instantánea (Vi). Entonces la potencia media se transforma en potencia
instantánea que es la rapidez con que se realiza un trabajo en cualquier
instante.
Unidades
La potencia es una magnitud escalar cuya unidad se obtiene de dividir la
unidad de trabajo para la unidad de tiempo.
Un vatio es la potencia de una máquina que realiza un trabajo de un Joule en
cada segundo.
En el sistema CGS
En el sistema técnico
Equivalencia
1 voltio (w)=
1 kw = 1000 w
1 Mw = 106 w
1 4p = 746 w
1 C.V = 736w
Ejemplo:
1.- Un elevador vacío tiene un peso de 5160 [N] ( 1160 lbs); está diseñado
parta transportar una carga máxima de 20 pasajeros desde la planta baja,
hasta el piso 25. En un tiempo de 18 seg suponiendo que el peso promedio de
un pasajero es de 710 N (160 lbs) y la distancia entre pisos promedio de un
pasajero es 710 N ( 160 lbs ) y la distancia entre pisos es de 3,5 metros. Cuál
es la potencia necesaria del motor del elevador.
F = 5160 [N] +20 (710[N])
F = 5160 N + 14200 N
F = 19360 [N]
W = F x
W = 19360 [N] x 25 (3,5m)
W = 1694000 = 1.69 x 106 [J]
P = 94111.11 W P= 94,1 kw P=126.15 Mp
2. Determinar la potencia de un motor que para alcanzar una velocidad de (45j
+ 40j) km/h , ejerce una fuerza de tracción de (2070i + 1840j ) [N]
P = (2070i + 1840j) [N] . (12.5i + 11.11j) m/seg
P = 25887.5 + 20442.4
P = 46329.9 * 140/746 = 62.10 HP
Escalar:
F= (2070i + 1840j) [N] = 2769,56 [N] = 41.630
V = (12.5i + 11.111j) [m/s] = 16.72 m/s = 41.630
y
P = 46303.6 (W) P = 62 HP
Un motor adquiere una velocidad de (60i + 55j) km/h. Ejerce una fuerza en sus
ruedas de (1500i – 1200j). Determinar la potencia.
V = (60i + 55j) km/h x 1000m/3600s
V = (16.66i + 15.27j) m/s
P= (1500j – 1200j) (16.66j + 15.27j)
P = 24990 – 18333.33
P = 6656.7 W
P = 8.92 Hp
Escalar
V= 22,59 m/s
F = 1920,93
Cos 42,5
321
81,17
P = 22,53 x 1920.93 cos 81,12
P = 6656,7 W
P = 8.92 HP
En el campo existe una hacienda que tiene una pequeña catarata de 17 m de
altura, si cada minuto cae un volumen de agua de 12 m2.
Determinar la potencia que puede desarrollarse en la catarata.
h = 17 m 1m2 = 100kg
t = 1 min m = 12m2 x
vel = 12 m2
x41.630
P = ? W = F. Peso
W = w. W= m.y
W = 117600 N x 17m
W = 1999 200 [J]
P =
Un trailer de carga pesa 170 toneladas y acelerado hacia arriba de una
pendiente de 12 m, la velocidad aumenta de 25 km/h a 45 km/h en una
distancia de 500m tienen un coeficiente de rozamiento de 0.017.
Determinar a) La potencia neta
b) La potencia desarrollada por la fuerza de rozamiento
c) La potencia desarrollada por el peso
d) La potencia desarrollada por el trailer
500m
P = 170 ton * 1000kg /1ton = 170000kg
Vo = 25 km/h * 1000/3600 = 6.94 m/s
Vf = 45 km/h * 1000/3600 = 12.5 m/s
Vm = (Vo + Vf)/2 = 9.72 m/s
=tg -1 12/500 = 1.3740
Vf2 = Vo2 + 2ad
a =
a =
12m
FN
frQ mg
mg
F = m.a
F = 170000 kg x 0,08
F = 18360 N
a) PN = F.Vm
PN = 18360 x 0,72 m/s
PN = 178459,2 wats
b)
N = f y
N = m,y cos 13740
N = 1665520,981 N
Fr = UN
Fr = 0,017 x 1666520,98 = 28313.85 N
P = 38313,85 x 9,72 m/ s
P = 275210.68 wats
c) my = 1666000 N
P = P. V m cos ( 270- 1,3740)
P = -388296,73 watts //
F – fr –px = ma
F = m.a + fr +px
F = 18360 +28313,85 + 39948,22
F = 86622,07
P = FxV
P = 86622 x 07 x 9,72 = 8 4196,55 watts.
RENDIMIENTO
(Eficiencia Mecánica)
El concepto de rendimiento va ligado a la del trabajo, cuando una máquina se
emplea para transformar de un tipo de energía a otra como por ejemplo:
energía mecánica a energía eléctrica, de energía térmica a energía mecánica,
su rendimiento puede expresarse como la razón entre el trabajo que sale y el
trabajo que entra; o también la razón entre la potencia que sale y la potencia
que entra.
El crecimiento mecánico en una máquina ideal es uno ( o) porque no existe
razonamiento y el trabajo que sale es igual al trabajo que entra, por lo tanto la
potencia de salida es igual a la potencia de entrada.
Máquina ideal Pot. entrada = Pot. salida ( o)
El rendimiento de una máquina real es siempre <1 debido a las pérdidas de
energía por el rozamiento interno que se produce durante el funcionamiento de
la máquina.
Generalmente al rendimiento se multiplica por 100 para expresarlo en
porcentaje , Ejemplo:
Un vehículo de 2300 kg recorre con velocidad constante 30 km de una
carretera de rampa ascendente de 70 m de desnivel en 200min. Si el
coeficiente de razonamiento es 0,017 y el rendimiento del motor es de 81%.
Determina:
a) El trabajo útil
b) El trabajo producido
c) La potencia producida por el motor.
tg
F = fr-mg sen N-mg cos =0
F = fr+ mg sen 0,1330 N = 2300kg. 9.8 m/seg2.cos
1330
F = m.g.sen 0,133 N = 22539,9 [N]
F = (0,017 ) ( 22539,9) M +2300kg.9.8m/seg2 -0,0023
F = 435,5 [N]
W útil = F.r
W útil = 435,5 [ N] 30000m
W útil = 13065022,18 [J]
Pprod=
W producido = Pprod =
W prod= Pprod= 1344,16 w
W prod= 16 MJ// P pros= 1,8 HP//
ENERGÍA
La palabra energía proviene del Griego en= dentro, ergo = trabajo, lo que
quiere decir que energía es la capacidad para producir trabajo.
Una de las características más importantes de la energía es la variedad de las
formas o tipos que existen en la naturaleza.
16000000J
Hay energía en cuerpos que se mueven, también en los que no se mueven.
Entre las principales formas de energía tenemos.
*Energía cinética.- Es la que tiene los cuerpos en movimiento (traslación y
rotación).
*Energía potencial gravitacional.- Es la que tiene los cuerpos a determinada
altura con respecto a un plano de referencia.
*Energía potencial elástica.- Es la que proporciona el sol en forma luminosa o
calórico
*Energía química.- Es la energía que proporcionan los combustibles.
*Energía aehólica.- Es la energía que proporciona el viento.
*Energía geotermal.- Es la energía que se encuentra en el interior de la tierra
en forma de calos (principalmente los volcanes).
*Energía hidráulica.- Es la energía que tiene el agua cuando se la conduce y se
la aprovecha adecuadamente.
*Energía nuclear.- Es la energía que se libera en las reacciones nucleares.
Energía Cinética.
Vo 0
el cuerpo de la figura tiene una masa m que inicialmente esta reposa sobre una
superficie horizontal, sin razonamiento ( condición ideal ). Si ejercemos sobre el
cuerpo una fuerza horizontal y constante F, la velocidad del cuerpo irá
aumentando y al cabo de cierto tiempo este recorre una distancia X.
El trabajo realizado por esta fuerza será:
W= F.X
W= m.a.x (1)
La velocidad del cuerpo cuando a recorrido una distancia x es igual:
V2 = Vo2 +2ax ax= (2)
V2 =2ax
m m
Vo=0FF
x
(2) en ( 1)
w = m (3)
La expresión (3) representa la energía cinética del cuerpo en el instante que
tiene una rapidez de:
Ec= //.
A la energía cinética se la define como la capacidad que tiene un cuerpo para
producir trabajo en virtud para su rapidez se puede deducir lo siguiente:
- La energía cinética es directamente proporcional a la masa del cuerpo.
- La energía cinética es directamente proporcional a la rapidez o velocidad del
cuerpo.
- Las unidades de la energía cinética son los mismos del trabajo ( si: Joule; cys
: ergio)
Ejercicio:
Se lanza una piedra que tiene una masa de 450 g, con un a velocidad inicial de
25j m/s. determinar a los tres segundos:
a) La rapidez del cuerpo
b) La energía cinética Ec= ½ mv2
a) y Dt
Ec= 0,5 (0,45 kg )( -4,4
m/seg)2
Ec= 4,35 J //
Un cuerpo de 700 g posee una energía cinética de 20 J, gira con movimiento
circular uniforme en un radio de 2 metros. Determinar:
a) La rapidez con que está girando el cuerpo.
b) La fuerza que actúa sobre el cuerpo
700g = 0,7 kg
Ec = 20 J ac =
r= 2m ac=
20J = 0.5 (0,7 kg) v2
20 b) Fc= m.ac
Fc= 0,7 kg. 28,57 m/seg2
Fc= 19,9 M
V= 7,55 m/seg
Un cuerpo tiene una velocidad inicial ( 35 ) m/ seg, sis u masa es de
7.5 kg. Determinar:
a) La rapidez del cuerpo a los 12 seg
b) La energía cinética.
m= 7,5 kg
v= ? t = 12 seg
Ec = ?
V =
V = 57,008 m/seg
Ec = mv2
Ec = ( 0,5 ) ( 7,5 kg ) ( 57,008 m/seg)
Ec = 12187,17 [ J] //
Variación de la energía cinética
El cuerpo de la figura tiene una masa m y una velocidad en el instante que
empieza a actuar la fuerza horizontal y constante f, la velocidad del cuerpo ira
variando constantemente y al cabo de cierto tiempo habrá recorrido una
distancia x.
El trabajo realizado por la fuerza F sobre el cuerpo es.
W = F.X
F = m.g => F = m.a
W = m.a X
La velocidad del cuerpo cuando ha recorrido una distancia x será
( 2)
Reemplazando ( 2) en (1 )
m mF F
X
w = m
w= WAB = E CB – E CA
WAB = D Ec (3)
En resumen el trabajo realizado por la fuerza neta que actúa sobre un
cuerpo es igual a la variación de su energía cinética (D Ec) ; Además :
*Si VB > VA, la variación de la energía cinética será una cantidad positiva y la
fuerza nata aplicada también realiza un trabajo positivo, la partícula tiene un
movimiento acelerado.
*Si VB= VA La variación de la energía cinética es nula, la fuerza neta aplicada no
realiza trabajo. La partícula tiene movimiento uniforme
*Si VB < VA la variación de la energía cinética es una cantidad negativa, la fuerza
neta aplicada realiza un trabajo negativo, la partícula tiene un movimiento
retardado.
Ejercicio:
Una partícula pesa 500 g y se mueve con una rapidez de 14 km/ h , si le
aplicamos una fuerza de 17 m para que la rapidez alcance los 22 km/ h
determinar:
a) La energía cinética inicial
b) La energía cinética final
c) El trabajo realizado por el cuerpo
d) La distancia recorrida
V1 = 14 km / h x 0,277 Ec1 = ½ m v2
V1= 3,88m / seg Ec1 = ( 0,5 ) ( 0.5kg) ( 3,88 m/seg )2
V2 = 29 km/ h 0.277 Ec1 = 3,76 ( J ) //
V2 = 5,55m/ seg
Ec2 = ½ m V2 W1-2 = Ec2 - E c1
Ec2 = 7,7 ( J ) // W1-2 = 7,7 ( J ) – 3,76 ( J )
X w / f W1-2 = 3,94 ( J ) //
W = F x
X = X = 0, 232m //
Una fuerza de 170 dinos arrastra una distancia de 36 cm. a una partícula de 17
g que posee una rapidez inicial de 5cm / seg. Determinar:
a) El trabajo realizado por la fuerza
b) La energía cinética inicial
c) La energía cinética final
d) La rapidez final del cuerpo
a) b) Eco = 1/ 2 (m) V
W 0 F.X
W = 170 dinas. 36 cm Eco = ( 0.5 ) ( 17g ) ( 5cm / seg ) 2
W = 6120 Ergios // E co = 212,5 ergios
Ec = Ec- Eco E C = ½ m. V2
V2 = 2Ec/m
Ec = 212,5 ergios + 6120 ergios
V=27.29 m/s
Ec = 6332,5 ergios
Energía cinética de rotación
Eje
r1
m1
Una partícula de masa mi realiza un giro de radio ri alrededor de su eje, cuando
vi y la Ec de la partícula es:
Eci = 172 mi Vi2
Vi = Wri
Eci = ½ m. ri2 .w2
I = mr2
Eci = ½ I w2 (1)
La expresión 1 representa la energía cinética de rotación en el instante que
tiene una velocidad angular w. Se define a la energía cinética de rotación ( Ecr)
como la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su
velocidad angular.
Las unidades de Ecr son los mismos del trabajo:
SI = Joul
Cyu = ergio
1.- Ejemplo.- Una varilla de 10 kg y 2m de largo gira alrededor de un eje vertical
que posa por un extremo. Si aumentamos su velocidad de 15 rpm a 30 rpm.
Determinar:
a) El momento de inercia de la varilla respecto a su eje.
b) La energía cinética inicial del sólido en rotación.
c) Ecf del sólido en rotación.
d) El trabajo realizado.
W0 0 15 rpm.
Wf = 30 rpm.
V1
1 = 2mm = 10kg
a) IB = 1/3 mr2
= 1/3 (10) (2)2
= 13,33 kg m2
b) Ecwo 172 I ( Wo)2
= ½ x 13,33 kg m2
= 16,4 J
c) Ecp = ½ I ( W)2
= ½ x13,33 ( 3,14 rad / s )2
= 65,7 J
d) W =
= Ecwo- Ecw
= 65,7 J – 16,4 J
= 49.3 [J]
Energía potencial Gravitacional.
B
m
m
A
h
mg
NR
el cuerpo de la figura tiene una masa m y se mueve verticalmente por la acción
de su propio peso ( mg) desde el punto A hasta el punto B situado en el N.R..
El trabajo efectuado por el peso sobre el cuerpo es.
W = F. h
W = mgh. (1)
La expresión 1 representa la energía potencial gravitacional del cuerpo en el
instante que tiene una altura con respecto a un nivel de referencia.
Epg = mgh
Se define a la energía potencial gravitacional como la capacidad que tiene un
cuerpo para producir trabajo en virtud de su posición, no existe un N. R fijo para
determinar la energía potencial gravitacional, razón por la cual podemos formar
cualquier nivel como referencia, todos estos niveles de referencia serán
horizontales.
Se acostumbra elegir como nivel de referencia aquel que está bajo el cuerpo
para tener valores positivos y así evitar los negativos.
Ejemplo
1.- Un cuerpo de masa 2,70 kg se encuentra a 14mm de h respecto al nivel de
referencia se lanza con una velocidad de 175 m/s. Determinar la altura del
cuerpo con respecto al N.R a los 1,4 seg, bl Epg.
h = ho + Vot- ½ g t2
h = 14m + ( 17m/s x 1,4 seg ) – 0,5 x 9,8 m/s2
h = 14m + 23.8 -9.6
h = 28.2m
Epg = mgh
= 2.7 kg x 9.8 m/s2 x 28.2 m
= 746 [J]
MAQUINAS SIMPLES
Maquinas Simple.- Son aparatos destinados a equilibrar unas fuerzas con otras y trasladar el punto de aplicación de unas aplicando ligeramente la intensidad de otras. En toda máquina simple se distinguen dos fuerzas:
(Q) Resistencia, que es la aplicada al cuerpo que se quiere mover(F) Potencia, que representa la fuerza que debe actuar a fin de equilibrar la resistencia del cuerpo y desplazar su punto de aplicación.
Se puede medir el trabajo de las máquinas calculando el producto de la fuerza por la distancia recorrida, en su misma dirección. Por ejemplo, si una persona levanta una caja que pesa diez kilogramos a una altura de un metro y medio, ha hecho diez kilogramos por un metro y medio, o sea quince kilográmetros de trabajo.
Hoy en día existen máquinas de todas clases y tamaños, pero no importa cuán complejas puedan parecer, todas ellas son una combinación de vanas máquinas simples o modificaciones dé una máquina simple. Por máquina simple se entiende una máquina que se mueve por una sola fuerza.
Hay seis máquinas simples: la palanca, el torno, la polea, el plano inclinado, el tornillo y la cuña.
Palanca.- Es una barra rígida que puede girar libremente alrededor de un punto de apoyo o de un eje, por la acción de dos fuerzas, la resistencia y la potencia y que se usa para mover cargas pesadas.Arquímedes, descubrió la ley de la palanca y dijo “Dadme una palanca y un punto de apoyo y moveré el mundo”. La barra rota alrededor de un punto fijo llamado punto de apoyo o fulcro. El punto de aplicación de la resistencia es el lugar donde se ubica la carga a mover. El punto donde se aplica la fuerza para mover la carga es el punto de aplicación de la potencia. Cuanto más cerca de la carga esté el fulcro, menor fuerza se realiza para mover la carga.La fuerza rotatoria es directamente proporcional a la distancia entre el fulcro y la fuerza aplicada. Por ejemplo, una masa de 1 Kg que está a 2 m del fulcro equivale a una masa de 2 Kg a una distancia de 1 m del fulcro.
Los elementos de una palanca son:
a) Punto de apoyo (O).b) Resistencia (Q) = Fuerza que se quiere vencer.
c) Potencia (F) = Fuerza que se aplica.d) Brazo de resistencia (bQ) = distancia desde el punto de apoyo a la recta de acción de la resistencia.e) Brazo de potencia (bF) = distancia desde el punto de apoyo a la recta de acción de la potencia.
El momento de la resistencia tiende a producir una rotación de la barra en sentido contrario a las agujas de un reloj, mientras que el momento de la potencia trata de efectuar la rotación en el mismo sentido que dichas agujas.
En consecuencia:
Mq= Q.bQ y Mf= -F.bF
Géneros de palanca
1) Palanca de primer género:Una palanca es de primer género cuando el punto de apoyo está ubicado entre la resistencia y la potencia.
2) Palanca de segundo género:Una palanca es de segundo género cuando la resistencia se halla entre el punto de apoyo y la potencia. Como en las palancas de segundo género el brazo de potencia es siempre mayor que el brazo de resistencia, en todas ellas se gana fuerza.
3) Palanca de tercer género:Cuando la potencia se encuentra entre el punto de apoyo y la resistencia, la palanca es de tercer genero.En este género de palancas, el brazo de potencia siempre es menor que el brazo de resistencia y, por lo tanto, la potencia es mayor que la resistencia. Entonces, siempre se pierde fuerza pero se gana comodidad.
Resumiendo los géneros o clases:
.
La ley de la palanca se enuncia así:
"Fuerza, F, es a Resistencia, R, como brazo de la resistencia, lr, es a
brazo de la fuerza, lf"
F/R= lr/lf
Se llama brazo a la mínima distancia desde el apoyo O, a la línea de aplicación de las fuerzas motriz o resistente.
Torno.- Formada por dos ruedas o cilindros concéntricos de distinto tamaño y que suele transmitir la fuerza a la carga por medio de una cuerda arrollada alrededor del cilindro mayor; en la mayoría de las aplicaciones la rueda más pequeña es el eje. El torno combina los efectos de la polea y la palanca al permitir que la fuerza aplicada sobre la cuerda o cable cambie de dirección y aumente o disminuya. Un torno puede emplearse para levantar un objeto pesado, como el cubo de un pozo. A veces, el torno es simplemente un eje con una manivela. La rueda exterior o la manivela son concéntricos con la rueda interior o el eje. Una fuerza relativamente pequeña aplicada a la rueda grande puede levantar una carga pesada colgada de la rueda pequeña. Por tanto, el torno actúa como una palanca de primera clase donde el eje constituye el punto de apoyo y los radios de ambas ruedas los respectivos brazos de palanca. El principio de la palanca afirma que FR = fr, donde F y f son las fuerzas aplicadas, y R y r los respectivos brazos de palanca. Por ejemplo, si el radio de la manivela es 10 veces mayor que el del eje, la fuerza ejercida sobre la carga es 10 veces mayor que la aplicada a la manivela.
Se compone de un cilindro de radio r, con una cuerda que arrastra una
resistencia R, y un manubrio de longitud m,en donde se aplica la fuerza
F.
Por la ley de la palanca, en el equilibrio:
F/R=r/m
Tornillo.- Dispositivo mecánico de fijación, por lo general metálico, formado esencialmente por un plano inclinado enroscado alrededor de un cilindro o cono. Las crestas formadas por el plano enroscado se denominan filetes, y según el empleo que se les vaya a dar pueden tener una sección transversal cuadrada, triangular o redondeada. La distancia entre dos puntos correspondientes situados en filetes adyacentes se denomina paso. Si los filetes de la rosca están en la parte exterior de un cilindro, se denomina rosca macho o tornillo, mientras que si está en el hueco cilíndrico de una pieza se denomina rosca hembra o tuerca. Los tornillos y tuercas empleados en máquinas utilizan roscas cilíndricas de diámetro constante, pero los tornillos para madera y las roscas de tuberías tienen forma cónica.
El empleo del tornillo como mecanismo simple (en ese caso también se denomina husillo o tornillo sin fin) aprovecha la ganancia mecánica del plano inclinado. Esta ganancia aumenta por la palanca que se suele ejercer al girar el cilindro, pero disminuye debido a las elevadas pérdidas por rozamiento de los sistemas de tornillo. Sin embargo, las fuerzas de rozamiento hacen que los tornillos sean dispositivos de fijación eficaces.
Polea.- Dispositivo mecánico de tracción o elevación, formado por una rueda o roldana montada en un eje, con una cuerda que rodea la circunferencia de la rueda. Tanto la polea como la rueda y el eje pueden considerarse máquinas simples que constituyen casos especiales de la palanca. Una polea fija no proporciona ninguna ventaja mecánica, es decir, ninguna ganancia en la transmisión de la fuerza: sólo cambia la dirección o el sentido de la fuerza aplicada a través de la cuerda, mientras una polea móvil disminuye la mitad del peso del cuerpo.
A.- Polea fija
Aplicando momentos respecto a O (ver figura 9.8.), tenemos:
F1r=F2r
siendo r el radio de la polea,con lo que simplificamos:
F1=F2
"La fuerza motriz y la resistencia son iguales, así como el camino
recorrido por ambas"
B.- Polea móvil
Va casi siempre acompañada de una polea fija, pero ésta no cuenta por
no alterar la fuerza.
Aplicando la ley de la palanca:
F*OC=R*OA
Por semejanza de triángulos:
OA/OC=OD/OB Luego F/R=OD/OB
Que se enuncia "Fuerza es a resistencia como radio de la polea es a cuerda abrazada por el cordón"
Plano Inclinado.- Es todo plano que forma con la horizontal un ángulo
menor a los 90º. Mediante el plano inclinado se elevan a la altura
deseada objetos que no podrían izarse directamente sin emplear fuerzas
muy superiores.
La resistencia R es el peso del cuerpo, que recorre en su dirección el
camino BC (altura del plano inclinado), mientras el camino de la fuerza F
es a el largo AB del plano.
La resistencia R se descompone en dos fuerzas: una normal al plano N,
que se destruye contra él, y otra F´ paralela, que se equilibra con la
fuerza motriz igual y opuesta. Por semejanza de triángulos:
F´/R=BC/AB
Máquinas compuestas:
Estas resultan del acoplamiento de varias máquinas simples; de modo que la
potencia de cada una de las intermedias viene a ser la resistencia de la
anterior, a partir de una primera máquina sobre la cual actúa la verdadera
potencia, y hasta llegar a la última, que debe vencer a la resistencia final.
Sistema de palancas.- Sean AOB, A’B’O’, y A’’O’’B’’ tres palancas; P la
potencia aplicada en A, y R la resistencia aplicada en B’’: La palanca AOB está
unida a la A’B’O’ Mediante la barra A’B y la O’A’B’ unida a la O’’A’’B’’ por medio
de la barra A’’B’.
Las condiciones de equilibrio en cada palanca son: representando por P’ y P’’
las fuerzas en B y B’:
De donde:
Luego:
En un sistema de palancas la potencia y la resistencia están en razón inversa
de los productos de sus respectivos brazos de palanca.
Sistema de poleas.- La aplicación de poleas móviles con otras fijas puede hacerse de varias formas. Sea P la potencia que actúa en el extremo del cordón libre, y R la resistencia aplicada en el gancho de la armadura de las poleas móviles; representando por pel desplazamiento de la potencia y por r el correspondiente a la resistencia, se tendrá:
P * p = R *r ;
P y r guardan la siguiente relación: p/r =n, siendo n el número de cordones que sujetan la armadura móvil; por lo tanto:
P * r.n = R * r ;Luego, en los sistemas de poleas móviles y fijas, la potencia y la resistencia se hallan en razón inversa del número de cordones.
Rendimiento de las máquinas simples
Aún en las máquinas simples el principio de la conservación del trabajo está aplicado solo en teoría. La experiencia demuestra que en la práctica el trabajo útil producido por la máquina es siempre inferior al trabajo motor suministrado para accionarla, a causa de las fricciones que se originan en los órganos de transmisión.El trabajo motor es siempre igual a la suma del trabajo útil más las fricciones. De donde se deriva la noción del rendimiento que se determina por el cociente:
trabajo útiltrabajo motor
Este rendimiento resulta menor que la unidad y es del orden de 0.7 en las máquinas estudiadas.
La eficacia de funcionamiento de una máquina se obtiene del cociente entre la energía generada (la salida) y la cantidad de energía empleada (la entrada). La eficacia, que se expresa en tanto por ciento, siempre inferior al 100 por ciento.