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GRADO 11
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ESTANDAR: GEOMETRIAEl estudiante es capaz de identificar formas geométricas, analizar susestructuras, características, propiedades y relaciones para entender ydescubrir el entorno físico.
EXPECTATIVA 4:Desarrolla y aplica los métodos generales de prueba en lasolución de problemas y formula las justificaciones para losteoremas básicos de la Geometría Euclidiana.
INDICADOR:Establece la prueba directa ó indirecta para determinar siuna proposición matemática es cierta.
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INTRODUCCION En la siguiente unidad, se estudia la relación de ángulos,
segmentos especiales en un triangulo. Una de las
aplicaciones reales de la geometría en la vida cotidiana.
En ella se utilizara el razonamiento directo el cual
comienza con una hipótesis cierta y demuestras que la
conclusión es cierta. Con el razonamiento indirecto,
asumes que la conclusión es falsa y luego muestras que
esta suposición te conduce a una contradicción de la
hipótesis.
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JUSTIFICACION La prueba directa se puede utilizar para resolver
segmentos especiales en triángulos, aplicables a la
ingeniería, deportes y la física. Por otro lado el
razonamiento indirecto se emplea usualmente en el
sistema legal y en avisos y clasificados.
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Prueba Directa o Indirecta
Establecerá la prueba directa ó indirecta para determinar si
una proposición matemática es cierta.
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OBJETIVOS Identificara y utilizara los segmentos especiales de los
triángulos.
Demostrara los triángulos rectángulos congruentes.
Reconocerá y aplicara las relaciones existentes entre los
lados y los ángulos de un triangulo.
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11.6.2
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Teoremas y Postulados importantes
Teorema (LL); Lado, Lado
Si los catetos de un triangulo rectángulo son congruentes con los correspondientes
catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Teorema (HA); Hipotenusa, Angulo
Si la hipotenusa y un ángulo de un triangulo rectángulo son congruentes a la
hipotenusa y al ángulo agudo correspondiente de otro triangulo rectángulo, entonces
lo dos triangulo son congruentes.
Teorema (CA); Cateto, Angulo
Si un cateto y un ángulo agudo de un triangulo rectángulo son congruentes al
correspondiente cateto y ángulo de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos
con congruentes.
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Ejemplo 1: Teorema (LL); Lado, Lado Prueba del Teorema (LL)
D
E F
R
S T
EF ST
ED SR
DEFPru RSTeba:
Dado: DEF y RST son triángulos rectángulos.
E y S son ángulos rectos.
Demostración:
Se da que , son
ángulos rectos. Como todos los ángulos
rectos son congruentes, . Por tanto,
por el teorema LL, .
, y E y EF ST ED SR S
E y S
EF D RST
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Ejemplo 2: Teorema (HA); Hipotenusa, AnguloPuedes utilizar el teorema HA para completar las demostraciones que
involucran triángulos rectángulos.
Dado: CB es una altura de ΔACD.
ΔACD es triángulos isósceles con lados
CA .y CD
Prueba: ABC ΔDBC
C
B
A D
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Ejemplo 3: Teorema (CA); Cateto, AnguloEncuentra los valores de x y y de tal manera que el triangulo ABC sea
congruente al triangulo DEF. B580
(47 – 8x)cm
: . .Asume ABC DEF Luego B E y AC FD
m B m E
58 3 20y
78 3y
26 y
AC FD
47 8 15x
8 32x
4x
, 4 26.Por CA ABC DEF para x y y (3y – 20)0
15cm
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PrácticaHalla el valor de x si el triangulo ABC es congruente al triangulo XYZ, por
el teorema dado. A su vez halla la medida del segmento XZ.
C
Z
Y
2 6, 15, 3 8, 20, 8; ( ).AB x BC AC x YZ XY x p Lor L
2 6x
Solución:
Sustituye cada segmento del triangulo
por la expresión dada.
15
3 8x
8x
20
mAB mXY
2 6 20x
2 20 6x
2 14x
7x
opmZ ciY mB lC ona
8 15x
15 8x
7x
la mXY :Halla8
8
mXY x
mXY 7 15mXYPor lo tanto, mXY mBC
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11.6.2
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Pasos a seguir para escribir una
demostración indirecta.
Asume que la conclusión es falsa.
Muestra que la suposición conduce a una contradicción de
la hipótesis u otro hecho, como un postulado, teorema o
corolario.
Observa que la suposición tiene que ser falsa y que por
consiguiente la conclusión debe ser verdadera.
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Ejemplo 1:M N
P
1 2 3
4
: 1 .
: 1 4
1 3
:
Pr
Dado
ueba
es un angulo exterior del MNP
m m
m
Demostracion Indire a
m
ct
: Haz la suposicion que m 1>m 3 y m 1>m 4. Asi
m
Pa
1 m 3 y m 1 m 4
so
.
1
: Solo mostraremos que la suposicion m 1 m 3 nos conduce a
una contradicion, pues el argumento para m 1 m 4 utiliza el
mismo razonamieto.
m 1 m 3, significa q
Paso 2
ue cualquiera, m 1 = m 3 o m 1 < m 3.
Se necesita analizar ambos casos, veamos;
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: 1 3
3 4 1
3 4 3 .
4 0,
1
m m
Como m m m por el teorema de angulo
exterior tenemos m m m por sustitucion
Entonces m el cual contradice el hecho de que
Ca
l
so
.
a medida de un angulo es mayor que cero
: 1 3
Por el teorema del angulo exterior, m 3+m 4=m 1.
Como medida de los angulos es positiva, la definicion de
desigualdad implica m 1>m 3 y m 1>m 4. Esto
2C so m ma
contradice la suposicion que m 1 m 3 y m 1 m 4.
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Ejemplo 2:
Determina si utilizando STU VUT,
usando la informacion dada.
S
VJustifica tu respuesta;
1.
2.
3. STU y VUT son angulos rectos
S V
SU VT
si, por el teorema LA.
si, por el teorema HL.
no
Escribe dos columnas con tu prueba:
Dado: STU y VUT son angulos rectos;
.SU VT
Prueba: S V
1. y
2. y VUT
3.
4. STU VUT
5. S V
STU VUT
STU
TU UT
son angulos rectos; . SU VT Dado
y VUT, son angulos rectos; . STU Def
Congruencias de segmentos es reflexiva
Teorema HL
Por lo tanto, son congruentes.
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Ejercicio de prácticaEscribe una prueba indirecta.
A 1 2
B
C
: mDad mo 1 2
: Asume que ABC es isosceles con vertice B.
Pr
ueba
1.
2.
3. m 1 = m 2
4. m 2 = m 2 m B
5. ABC
ABC
AB BC
Dado
Por definicion de isosceles.
, .
Los angulos opuestos de un lado de
un triangulo son congruentes
. Def.Contradicion
.No es un triangulo isosceles con vertice en B
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REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS:
Geometria. (1998). Westerville, OH: Glencoe/McDraw-
Hill.