-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
1/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 9 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- Considere la familiaC de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (1, 0) y (1, 0) tienen unarazon constante.
Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas or-
togonales aC.
Respuesta:
Como primer paso, se debe determinar la ecuacion general de C. Paratal efecto, tomemos un punto (x, y) C, donde C es una curva de C. Setiene
(x + 1)2 + y2
(x 1)2 + y2= c,
donde c es una constante. Desarrollemos la identidad precedente.
x2 + 2x + 1+ y2 = c(x2 2x + 1 + y2)
(1 c)x2 + (1 c)y2 + (1 c) 1 + 2(1 + c)x = 0,
dividiendo todo por (1 c) y renombrando 2 1+c1c con c, obtenemos
x2 + y2 + cx + 1 = 0,
como ecuacion general de C.
Hallemos la ecuacion diferencial asociada a esta familia, derivamos
2x + 2yy + c = 0 c = 2x + 2yy,
remplazamos en la ecuacion general
x2 + y2 2x2 2xyy + 1 = 0 y =x2 + y2 + 1
2xy.
De donde un campo de vectores tangentes a C esta dado por
u(x, y) =
2xy
x2 + y2 + 1
.
El campo v(x, y) de vectores tangentes a la familia ortogonal, se obtiene por rotacion de un angulorecto de u(x, y),
v(x, y) =
0 11 0
2xy
x2 + y2 + 1
=
x2 y2 1
2xy
.
La ecuacion diferencial asociada a la familia ortogonal esta dada por
y =2xy
x2 y2 1.
Para resolver esta ecuacion planteamos z2 = x2 1, derivando se tiene zz = 2x y aplicando la reglade la cadena se obtiene
y =dy
dzz = 2
x
z
dy
dz=
2xy
x2 y2 1
dy
dz=
2zy
z2 y2
dy
dz=
2yz1 ( yz )
2
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
2/29
ecuacion de tipo homogeneo. Planteamos y/z = u, lo que conduce a
zdu
dz+ u =
2u
1 u2 z
du
dz=
u + u3
1 u2,
por lo tanto, utilizando fracciones parciales se tiene
( 1u 2 u1 + u2 ) dudz = 1z ln u ln(1 + u2) = ln(cz) u1 + u2 = cz.
Remplazando u y luego z se obtiene
yz
z2 + y2= cz z2 + y2 = cy x2 + y2 1 = cy.
La ecuacion general de la familia ortogonal es por lo tanto
x2 + y2 + cy = 1.
2.- Determine el valor de x(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 3x + 2yy = 4x 3y
x(0) = 0, y(0) = 1.
Respuesta:
El sistema diferencial escrito de manera matricial esxy
=
3 2
4 3
xy
.
La matriz asociada al sistema, tiene como polinomio caracterstico
3 2
4 + 3 = 2
9 + 8 = ( 1)( + 1),
de donde los valores propios son 1 = 1 y 2 = 1. Determinemos los vectores propios correspondientes
3x + 2y = x x = 1 y = 1
3x + 2y = x x = 1 y = 2.
La solucion del sistema diferencial esta dada por
xy
=
1 1
1 2
et 00 et
2 11 1
01
.
Remplazando t = ln(2), se obtiene
x(ln2)y(ln2)
=
3
2
1
.
Por lo tanto
x(ln 2) =3
2.
2
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
3/29
3.- Halle u(5, 4) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x+ x
u
y= 0,
u(x, 0) = x2.
Respuesta:
La curva de condiciones iniciales es y = 0 y el campo de direccionescaractersticas esta dado por
c(x, y) =
yx
,
que no es tangente a la curva de condiciones iniciales.Las ecuaciones caractersticas estan dadas por los problemas a valorinicial
x = y,y = x,
x(0) = x0, y(0) = 0.
Ahora bien, por la curva caracterstica que pasa por (x0, 0), se tiene la ecuacion diferencial ordinaria(con valor inicial)f = 0, f(0) = x20 f(t) = x
20.
Esto significa que sobre la curva caracterstica por (x0, 0), u es constante y vale x20.Determinemos la forma de la curva caracterstica, se tiene
y =y
x=
x
y x2 y2 = c = x20.
De donde para x = 5 y y = 4, se tiene
52 42 = 9 = x20,
por consiguienteu(5, 4) = 9.
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-cion y : [0, 6] R, que une los puntos A = (0, 4) y B = (6, 4) tal que
60
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
La ecuacion de Euler Lagrange para F(y, y) =
1 + y2/y es
yFy F = c y2
y1 + y2
1 + y2
y=
1
y1 + y2= c
Planteando y = tan , se obtiene y = c cos . Por otro lado
dx
d=
dy
d/y = c
sin
tan = c cos x = c cos + d.
Por lo tanto (x d)2 + y2 = c2 circunferencia de centro en el eje x. Determinemos d
(0 d)2 + 42 = (6 d)2 + 42 d = 3 c2 = 25.
La ecuacion cartesiana del arco es x2 + y2 6x = 16.
3
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8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
4/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 1 9 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- b
2.- d
3.- a
4.- c
1.- Considere la familiaC de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (1, 0) y (1, 0) tienen unarazon constante.
Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuaci on general cartesiana de la familia de curvas
ortogonales aC.
Respuesta:
a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 + y2 + cy = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 y2 = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de x(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 3x + 2yy = 4x 3y x(0) = 0, y(0) = 1.
Respuesta:
a) x(ln 2) = 1, b) x(ln 2) = 0,c) x(ln 2) = 1, d) x(ln 2) = 3
2,
e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(5, 4) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x+ x
u
y= 0,
u(x, 0) = x
2
.
Respuesta:
a) u(5, 4) = 9, b) u(5, 4) = 3,c) u(5, 4) = 1, d) u(5, 4) = 0,e) Ninguna de las anteriores.
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
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4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-cion y : [0, 6] R, que une los puntos A = (0, 4) y B = (6, 4) tal que
60
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) y = x2
6x + 4, b) x2
y2
= 6x 16,c) x2 + y2 6x = 16, d) y = 4,e) Ninguna de las anteriores.
2
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
6/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 2 9 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- a
2.- c
3.- d
4.- b
1.- Considere la familiaC de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (1, 0) y (1, 0) tienen unarazon constante.
Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuaci on general cartesiana de la familia de curvas
ortogonales aC.
Respuesta:
a) x2 + y2 + cy = 1, b) x2 + y2 + cx = 1,c) x2 y2 = 1, d) x2 + y2 + cx = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de x(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 3x + 2yy = 4x 3y x(0) = 0, y(0) = 1.
Respuesta:
a) x(ln 2) = 0, b) x(ln 2) = 1,c) x(ln 2) = 3
2, d) x(ln 2) = 1,
e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(5, 4) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x+ x
u
y= 0,
u(x, 0) = x
2
.
Respuesta:
a) u(5, 4) = 3, b) u(5, 4) = 1,c) u(5, 4) = 0, d) u(5, 4) = 9,e) Ninguna de las anteriores.
-
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7/29
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
8/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 3 9 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- d
2.- b
3.- c
4.- a
1.- Considere la familiaC de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (1, 0) y (1, 0) tienen unarazon constante.
Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuaci on general cartesiana de la familia de curvas
ortogonales aC.
Respuesta:
a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 y2 = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 + y2 + cy = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de x(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 3x + 2yy = 4x 3y x(0) = 0, y(0) = 1.
Respuesta:
a) x(ln 2) = 1, b) x(ln 2) = 32
,c) x(ln 2) = 1, d) x(ln 2) = 0,e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(5, 4) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x+ x
u
y= 0,
u(x, 0) = x
2
.
Respuesta:
a) u(5, 4) = 1, b) u(5, 4) = 0,c) u(5, 4) = 9, d) u(5, 4) = 3,e) Ninguna de las anteriores.
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
9/29
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-cion y : [0, 6] R, que une los puntos A = (0, 4) y B = (6, 4) tal que
60
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) x2
+ y2
6x = 16, b) y = 4,c) y = x2 6x + 4, d) x2 y2 = 6x 16,e) Ninguna de las anteriores.
2
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
10/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 4 9 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- c
2.- a
3.- b
4.- d
1.- Considere la familiaC de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (1, 0) y (1, 0) tienen unarazon constante.
Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuaci on general cartesiana de la familia de curvas
ortogonales aC.
Respuesta:
a) x2 y2 = 1, b) x2 + y2 + cx = 1,c) x2 + y2 + cy = 1, d) x2 + y2 + cx = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de x(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 3x + 2yy = 4x 3y x(0) = 0, y(0) = 1.
Respuesta:
a) x(ln 2) = 32
, b) x(ln 2) = 1,c) x(ln 2) = 0, d) x(ln 2) = 1,e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(5, 4) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x+ x
u
y= 0,
u(x, 0) = x
2
.
Respuesta:
a) u(5, 4) = 0, b) u(5, 4) = 9,c) u(5, 4) = 3, d) u(5, 4) = 1,e) Ninguna de las anteriores.
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
11/29
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-cion y : [0, 6] R, que une los puntos A = (0, 4) y B = (6, 4) tal que
60
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) y = 4, b) y = x2
6x + 4,c) x2 y2 = 6x 16, d) x2 + y2 6x = 16,e) Ninguna de las anteriores.
2
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
12/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 5, 6, 7, 8 10 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas ortogo-nales a las circunferencias que pasan por (1, 0) y (1, 0). Considere la familiaC de curvas en el planocartesiano xy con la propiedad siguiente:Respuesta:
Como primer paso, se debe determinar la ecuacion general de esta familiade circunferencias. El centro de una de estas circunferencias se encuentraen el eje y y la ecuacion general esta dada por
x2 + (y k)2 = k2 + 1 x2 + y2 + cy = 1
Hallemos la ecuacion diferencial asociada a esta familia, despejemos c yderivemos
x2
+ y2
1y
= c (2x+2yy)y(x2+y21)y = 0 y = 2xyx2 y2 1
De donde un campo de vectores tangentes a C esta dado por
u(x, y) =
x2 y2 1
2xy
.
El campo v(x, y) de vectores tangentes a la familia ortogonal, se obtiene por rotacion de un angulorecto de u(x, y),
v(x, y) =
0 11 0
x2 y2 1
2xy
=
2xy
x2 y2 1
.
La ecuacion diferencial asociada a la familia ortogonal esta dada por
y = x2 + y2 + 1
2xy.
Para resolver esta ecuacion planteamos z2 = y2 + 1, derivando se tiene 2zz = 2yy y remplazando seobtiene
z =x2 + z2
2xzecuacion de tipo homogeneo. Planteamos z/x = u, lo que conduce a
xu + u =u2 1
2u xu =
1 + u2
2u,
por lo tanto2u
1 + u2u =
1
x ln(1 + u2) = ln(
c
x) 1 + u2 =
c
xRemplazando u y luego z se obtiene
z2 + x2
x2=
c
x x2 + y2 + 1 = cx.
La ecuacion general de la familia ortogonal es por lo tanto
x2 + y2 + cx = 1.
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
13/29
2.- Determine el valor de y(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 4x + 6yy = 3x + 5y
x(0) = 1, y(0) = 0.
Respuesta:
El sistema diferencial escrito de manera matricial es
xy
=
4 63 5
xy
.
La matriz asociada al sistema, tiene como polinomio caracterstico + 4 64 5
= 2 2 = ( 2)( + 1),de donde los valores propios son 1 = 1 y 2 = 2. Determinemos los vectores propios correspondientes
4x + 6y = x x = 2 y = 2
4x + 6y = 2x x = 11 y = 1.
La solucion del sistema diferencial esta dada porxy
=
2 11 1
et 00 et
1 1
1 2
10
.
Remplazando t = ln(2), se obtiene x(ln2)y(ln2)
=
3
7
2
.
Por lo tanto
y(ln 2) = 7
2.
3.- Halle u(4, 3) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x x
u
y= 0,
u(x, 0) = x2.
Respuesta:
La curva de condiciones iniciales es y = 0 y el campo de direccionescaractersticas esta dado por
c(x, y) =
y
x
,
que no es tangente a la curva de condiciones iniciales.Las ecuaciones caractersticas estan dadas por los problemas a valorinicial
x = y,y = x,
x(0) = x0, y(0) = 0.
Ahora bien, por la curva caracterstica que pasa por (x0, 0), se tiene la ecuacion diferencial ordinaria(con valor inicial)
f = 0, f(0) = x20 f(t) = x20.
2
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8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
14/29
Esto significa que sobre la curva caracterstica por (x0, 0), u es constante y vale x20.
Determinemos la forma de la curva caracterstica, se tiene
y =y
x=
x
y x2 + y2 = c = x20.
De donde para x = 4 y y = 3, se tiene
42 + 32 = 25 = x20,
por consiguienteu(4, 3) = 25.
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-cion y : [0, 8] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (8, 3) tal que
80
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:La ecuacion de Euler Lagrange para F(y, y) =
1 + y2/y es
yFy F = c y2
y
1 + y2
1 + y2
y=
1
y1 + y2= c
Planteando y = tan , se obtiene y = c cos . Por otro lado
dx
d=
dy
d/y = c
sin
tan = c cos x = c cos + d.
Por lo tanto (x d)2 + y2 = c2 circunferencia de centro en el eje x. Determinemos d
(0 d)2 + 32 = (8 d)2 + 32 d = 4 c2 = 25.
La ecuacion cartesiana del arco es x2 + y2 8x = 9.
3
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
15/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 5 10 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- d
2.- b
3.- c
4.- a
1.- Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas ortogo-nales a las circunferencias que pasan por (1, 0) y (1, 0). Considere la familiaC de curvas en el planocartesiano xy con la propiedad siguiente:Respuesta:
a) x2 + y2 + cy = 1, b) x2 + y2 + cx = 1,c) x2 + y2 + cy = 1, d) x2 + y2 + cx = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de y(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 4x + 6yy = 3x + 5y
x(0) = 1, y(0) = 0.
Respuesta:
a) y(ln 2) = 0, b) y(ln 2) = 72
,c) y(ln 2) = 3, d) y(ln 2) = 1,e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(4, 3) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x x
u
y= 0,
u(x, 0) = x2.
Respuesta:
a) u(4, 3) = 0, b) u(4, 3) = 1,c) u(4, 3) = 25, d) u(4, 3) = 5,e) Ninguna de las anteriores.
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-
cion y : [0, 8] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (8, 3) tal que80
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) x2 + y2 8x = 9, b) y = 3,c) y = x2 8x + 3, d) x2 + y2 8x 6y + 9 = 0,e) Ninguna de las anteriores.
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
16/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 6 10 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- c
2.- a
3.- d
4.- b
1.- Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas ortogo-nales a las circunferencias que pasan por (1, 0) y (1, 0). Considere la familiaC de curvas en el planocartesiano xy con la propiedad siguiente:
Respuesta: a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 + y2 + cy = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 + y2 + cy = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de y(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 4x + 6yy = 3x + 5y
x(0) = 1, y(0) = 0.
Respuesta:
a) y(ln 2) = 72
, b) y(ln 2) = 3,c) y(ln 2) = 1, d) y(ln 2) = 0,e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(4, 3) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x x
u
y= 0,
u(x, 0) = x2.
Respuesta:
a) u(4, 3) = 5, b) u(4, 3) = 0,c) u(4, 3) = 1, d) u(4, 3) = 25,e) Ninguna de las anteriores.
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-cion y : [0, 8] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (8, 3) tal que8
0
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) x2 + y2 8x 6y + 9 = 0, b) x2 + y2 8x = 9,c) y = 3, d) y = x2 8x + 3,e) Ninguna de las anteriores.
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
17/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 7 10 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- b
2.- d
3.- a
4.- c
1.- Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas ortogo-nales a las circunferencias que pasan por (1, 0) y (1, 0). Considere la familiaC de curvas en el planocartesiano xy con la propiedad siguiente:Respuesta:
a) x2 + y2 + cy = 1, b) x2 + y2 + cx = 1,c) x2 + y2 + cy = 1, d) x2 + y2 + cx = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de y(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 4x + 6yy = 3x + 5y
x(0) = 1, y(0) = 0.
Respuesta:
a) y(ln 2) = 3, b) y(ln 2) = 1,c) y(ln 2) = 0, d) y(ln 2) = 7
2,
e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(4, 3) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x x
u
y= 0,
u(x, 0) = x2.
Respuesta:
a) u(4, 3) = 25, b) u(4, 3) = 5,c) u(4, 3) = 0, d) u(4, 3) = 1,e) Ninguna de las anteriores.
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-
cion y : [0, 8] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (8, 3) tal que80
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) y = x2 8x + 3, b) x2 + y2 8x 6y + 9 = 0,c) x2 + y2 8x = 9, d) y = 3,e) Ninguna de las anteriores.
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
18/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 8 10 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- a
2.- c
3.- b
4.- d
1.- Utilizando metodos diferenciales, hallar la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas ortogo-nales a las circunferencias que pasan por (1, 0) y (1, 0). Considere la familiaC de curvas en el planocartesiano xy con la propiedad siguiente:
Respuesta: a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 + y2 + cy = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 + y2 + cy = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de y(ln2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 4x + 6yy = 3x + 5y
x(0) = 1, y(0) = 0.
Respuesta:
a) y(ln 2) = 1, b) y(ln 2) = 0,c) y(ln 2) = 7
2, d) y(ln 2) = 3,
e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(4, 3) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x x
u
y= 0,
u(x, 0) = x2.
Respuesta:
a) u(4, 3) = 1, b) u(4, 3) = 25,c) u(4, 3) = 5, d) u(4, 3) = 0,e) Ninguna de las anteriores.
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la fun-cion y : [0, 8] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (8, 3) tal que8
0
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) y = 3, b) y = x2 8x + 3,c) x2 + y2 8x 6y + 9 = 0, d) x2 + y2 8x = 9,e) Ninguna de las anteriores.
-
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19/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 9, 10, 11, 12 11 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- Considere la familia C de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (0, 1) y (0, 1) tienen unarazon constante.Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuacion general cartesiana de la familia de curvas or-togonales a C.Respuesta:
Como primer paso, se debe determinar la ecuacion general de C. Paratal efecto, tomemos un punto (x, y) C, donde C es una curva de C. Setiene
x2 + (y + 1)2
x2 + (y 1)2= c,
donde c es una constante. Desarrollemos la identidad precedente.
x2 + 2y + 1+ y2 = c(x2 2y + 1 + y2)
(1 c)x2 + (1 c)y2 + (1 c) 1 + 2(1 + c)y = 0,
dividiendo todo por (1 c) y renombrando 2 1+c1c con c, obtenemos
x2 + y2 + cy + 1 = 0,
como ecuacion general de C.
Hallemos la ecuacion diferencial asociada a esta familia, despejemos c y derivemos
x2 + y2 + 1
y= c (2x + 2yy)y (x2 + y2 + 1)y = 0 y =
2xy
x2 y2 + 1
De donde un campo de vectores tangentes a C esta dado por
u(x, y) =
x2 y2 + 1
2xy
.
El campo v(x, y) de vectores tangentes a la familia ortogonal, se obtiene por rotacion de un angulorecto de u(x, y),
v(x, y) =
0 11 0
x2 y2 + 1
2xy
=
2xy
x2 y2 + 1
.
La ecuacion diferencial asociada a la familia ortogonal esta dada por
y
=
x2 + y2 1
2xy .
Para resolver esta ecuacion planteamos z2 = y2 1, derivando se tiene 2zz = 2yy y remplazando seobtiene
z =x2 + z2
2xz
ecuacion de tipo homogeneo. Planteamos z/x = u, lo que conduce a
xu + u =u2 1
2u xu =
1 + u2
2u,
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
20/29
por lo tanto2u
1 + u2u =
1
x ln(1 + u2) = ln(
c
x) 1 + u2 =
c
x
Remplazando u y luego z se obtiene
z2 + x2
x2=
c
x x2 + y2 1 = cx.
La ecuacion general de la familia ortogonal es por lo tanto
x2 + y2 + cx = 1.
2.- Determine el valor de x(ln 2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 3x 4yy = 2x 3y
x(0) = 1, y(0) = 1.
Respuesta:
El sistema diferencial escrito de manera matricial esxy
=
3 42 3
xy
.
La matriz asociada al sistema, tiene como polinomio caracterstico
3 42 + 3 = 2 9 + 8 = ( 1)( + 1),
de donde los valores propios son 1 = 1 y 2 = 1. Determinemos los vectores propios correspondientes
3x 4y = x x = 2 y = 1
3x 4y = x x = 1 y = 1.
La solucion del sistema diferencial esta dada por
xy
2 11 1
=
et 00 et
1 1
1 2
11
.
Remplazando t = ln(2), se obtiene x(ln2)y(ln2)
=
1
2
= 12
.
Por lo tanto
x(ln 2) =3
2.
3.- Halle u(13, 12) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x+ x
u
y= 0,
u(x, 0) = x2.
2
-
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21/29
Respuesta:
La curva de condiciones iniciales es y = 0 y el campo de direccionescaractersticas esta dado por
c(x, y) =
yx
,
que no es tangente a la curva de condiciones iniciales.Las ecuaciones caractersticas estan dadas por los problemas a valorinicial
x = y,y = x,
x(0) = x0, y(0) = 0.
Ahora bien, por la curva caracterstica que pasa por (x0, 0), se tiene la ecuacion diferencial ordinaria(con valor inicial)
f = 0, f(0) = x20 f(t) = x20.
Esto significa que sobre la curva caracterstica por (x0, 0), u es constante y vale x20.
Determinemos la forma de la curva caracterstica, se tiene
y =y
x=
x
y x2 y2 = c = x20.
De donde para x = 13 y y = 12, se tiene
169 144 = 25 = x20,
por consiguienteu(13, 12) = 25.
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la funcion
y : [0, 7] R
, que une los puntos A = (0, 3) y B = (7, 4) tal que70
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
La ecuacion de Euler Lagrange para F(y, y) =
1 + y2/y es
yFy F = c y2
y
1 + y2
1 + y2
y=
1
y1 + y2= c
Planteando y = tan , se obtiene y = c cos . Por otro lado
dx
d =
dy
d /y
= c
sin
tan = c cos x = c cos + d.
Por lo tanto (x d)2 + y2 = c2 circunferencia de centro en el eje x. Determinemos d
(0 d)2 + 32 = (7 d)2 + 42 d = 4 c2 = 25.
La ecuacion cartesiana del arco es x2 + y2 8x = 9.
3
-
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22/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 9 11 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- a
2.- b
3.- d
4.- c
1.- Considere la familia C de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (0, 1) y (0, 1) tienen unarazon constante.Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuacion general cartesiana de la familia de curvasortogonales a C.Respuesta:
a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 + y2 + cy = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 + y2 + cy = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de x(ln 2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 3x
4yy = 2x 3y x(0) = 1, y(0) = 1.
Respuesta:
a) x(ln 2) = 1, b) x(ln 2) = 12
,c) x(ln 2) = 2, d) x(ln 2) = 0,e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(13, 12) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x+ x
u
y= 0,
u(x, 0) = x
2
.
Respuesta:
a) u(13, 12) = 5, b) u(13, 12) = 0,c) u(13, 12) = 1, d) u(13, 12) = 25,e) Ninguna de las anteriores.
-
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4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la funciony : [0, 7] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (7, 4) tal que
70
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) x2
+ y2
6x = 16, b) x2
+ y2
9y = 49,c) x2 + y2 8x = 9, d) y = 1
7x + 3,
e) Ninguna de las anteriores.
2
-
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24/29
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
25/29
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la funciony : [0, 7] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (7, 4) tal que
70
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) y =1
7x + 3, b) x2
+ y2
6x = 16,c) x2 + y2 9y = 49, d) x2 + y2 8x = 9,e) Ninguna de las anteriores.
2
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
26/29
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Correccion Segundo Parcial de Calculo III 11 11 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- c
2.- d
3.- a
4.- b
1.- Considere la familia C de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (0, 1) y (0, 1) tienen unarazon constante.Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuacion general cartesiana de la familia de curvasortogonales a C.Respuesta:
a) x2 + y2 + cx = 1, b) x2 + y2 + cy = 1,c) x2 + y2 + cx = 1, d) x2 + y2 + cy = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de x(ln 2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 3x
4yy = 2x 3y x(0) = 1, y(0) = 1.
Respuesta:
a) x(ln 2) = 2, b) x(ln 2) = 0,c) x(ln 2) = 1, d) x(ln 2) = 1
2,
e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(13, 12) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x+ x
u
y= 0,
u(x, 0) = x
2
.
Respuesta:
a) u(13, 12) = 25, b) u(13, 12) = 5,c) u(13, 12) = 0, d) u(13, 12) = 1,e) Ninguna de las anteriores.
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
27/29
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la funciony : [0, 7] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (7, 4) tal que
70
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) x2
+ y2
9y = 49, b) x2
+ y2
8x = 9,c) y = 1
7x + 3, d) x2 + y2 6x = 16,
e) Ninguna de las anteriores.
2
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
28/29
Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologa Departamento de Mathematicas
Correccion Segundo Parcial de Calculo III 12 11 de diciembre de 2002
Tabla de Respuestas
1.- d
2.- c
3.- b
4.- a
1.- Considere la familia C de curvas en el plano cartesiano xy con la propiedad siguiente:Las distancias de los puntos (x, y) de cualquier curva C C a los puntos (0, 1) y (0, 1) tienen unarazon constante.Utilizando metodos diferenciales, determine la ecuacion general cartesiana de la familia de curvasortogonales a C.Respuesta:
a) x2 + y2 + cy = 1, b) x2 + y2 + cx = 1,c) x2 + y2 + cy = 1, d) x2 + y2 + cx = 1,e) Ninguna de las anteriores.
2.- Determine el valor de x(ln 2), sabiendo que x(t) e y(t) son soluciones del problema a valor inicial
x = 3x
4yy = 2x 3y x(0) = 1, y(0) = 1.
Respuesta:
a) x(ln 2) = 0, b) x(ln 2) = 1,c) x(ln 2) = 1
2, d) x(ln 2) = 2,
e) Ninguna de las anteriores.
3.- Halle u(13, 12) sabiendo que u(x, y) es solucion de
yu
x+ x
u
y= 0,
u(x, 0) = x
2
.
Respuesta:
a) u(13, 12) = 1, b) u(13, 12) = 25,c) u(13, 12) = 5, d) u(13, 12) = 0,e) Ninguna de las anteriores.
-
8/14/2019 Correccin Segundo Parcial, Semestre II02, Clculo III
29/29
4.- Utilizando metodos variacionales, determine la ecuacion cartesiana del arco de curva, grafo de la funciony : [0, 7] R, que une los puntos A = (0, 3) y B = (7, 4) tal que
70
1 + y2
ydx mn .
Respuesta:
a) x2
+ y2
8x = 9, b) y =1
7x + 3,c) x2 + y2 6x = 16, d) x2 y2 = 6x 16,e) Ninguna de las anteriores.