1. Figuras congruentes
Contenidos
1.1 Definición
1.2 Triángulos Congruentes
3.1 Definición
3.2 Triángulos Semejantes
2. Figuras Equivalentes
3. Figuras semejantes
3.3 Elementos homólogos
3.4 Razón entre áreas y perímetros
4.1 División Interior
4.2 División Exterior
4.3 División Armónica
4. División de un segmento
4.4 Sección áurea o Divina
1. Figuras congruentes ( )1.1 Definición
(Son congruentes cuando son exactamente iguales)
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
A
C
B D
F
E
1.2 Triángulos congruentesPara determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
αα5
3
5
3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
αα
1212
Ejemplo:
β β
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:Δ ABC Δ DEF
2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√π , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura:
Área = 4π Área = 4π
3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:
3.1 Definición
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes.
G
F
J
I
Hα
β
γδ
ε
A
E
D
C
Bα
β
γδ
ε
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
A
E
D
C
Bα
β
γδ
ε
G
F
J
I
Hα
β
γδ
ε
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
3.2 Triángulos Semejantes
Ejemplo:
A B
C
α
β
γE
F
D
α
β
γ
Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k
5
3
15
94
12
Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF ABDE
BCEF
ACDF
13
= = = = k
Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
α
β
γ4 10
Q
R
P
α
γ
β6
Solución:Los triángulos ABC y PRQ son semejantes y se tiene que
ABPR
10QR
46
= = 10QR
46
= 60 = 4∙QR 15 = QR
Es decir:
⇒ ⇒ ⇒
Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
ABPR
CBQR
ACPQ
= = = k Con k razón de semejanza
P
Q
R
A B
C
3.3 Elementos HomólogosLos lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
ABPQ
= BCQR
= CARP
= k 5 10
= 36
= 48
= 12
⇒
Además, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales.
= k
PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hC
hR
Además, =hC
hR
2,4
4,8=
1
2= k
• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos.
3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
Ejemplo:Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
PABC
PPQR
=12
24
=1
2
= k
• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:
Q
6
10
hR
PR 8
A B
34
5
C
hC
AB
PQ= = k 5
10= 1
2
AABC
APQR
= 6
24
=1
4
= k2
4. División de un segmento4.1 División interior
CA B
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
Ejemplo:
QA B
ACCB = m
n
Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5, y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?
QA B
45
AQQB
= 35
Solución:
AQ45
= 35
AQ =3∙45
5
AQ = 27⇒ ⇒ ⇒
27
Por lo tanto, AB mide 72
4.2 División exteriorSi el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón m:n, entonces:
BA D
Ejemplo:
BA D
20
ADBD = m
n
Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón 5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
ADBD
= 52
20BD
= 52 BD =
20∙2
5
BD = 8⇒ ⇒⇒
BA D812
20Solución:
4.3 División armónicaDividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.
Ejemplo:
m
ACCB = = n
ADBD
Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2, ¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?
A C B D
A C B D
12
12+y y
Solución:
12 - x y
ACCB
= 32
= 32
2x = 3(12-x)⇒ ⇒ x 12-x
2x = 36 -3x⇒5x = 36⇒
⇒
ADBD
= 32
= 32⇒ 24 + 2y = 3y⇒
⇒
365
x = 365
24 = y
245
24A C B D
x
12
4.4 Sección Áurea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.
Si AX > BX, entonces:
Ejemplo:
XA B
PA B
ABAX = AX
BXó (AX)2 = AB∙BX
En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”, con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la medida de AP, si PB = 5b?
5b
Solución:
(AP)2 = (AP + 5b)∙5b⇒(AP)2 = 5b∙AP + 25b2⇒(AP)2 - 5b∙AP - 25b2 = 0⇒
5b
PA B
(AP)2 = AB∙PB
