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LA CLASE VIRTUAL
LOS NUMEROS COMPLEJOS
LOS NUMEROS COMPLEJOS
✔La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en el campo de los números reales.
✔loge(-2) no es un número real.
✔Tampoco es un número real (-2)π
LOS NUMEROS COMPLEJOS
✔Un número complejo α viene dado por un par ordenado (a, b) de números reales. El primero se llama parte real, y se escribe
a=Re(α)✔El segundo se llama parte imaginaria, y se
escribe
b= Im(α)
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✔Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto C=R2 de los números complejos y el conjunto E2 de puntos del plano, habiendo fijado un sistema de referencia cartesiano.
✔De modo que el complejo α=(a,b) representa el punto P (llamado afijo), cuyas coordenadas son precisamente a y b.
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✔El complejo (0,1) se representa mediante la letra i y es la unidad imaginaria.
✔Los números reales son los números complejos de la forma (a,0), donde a es el número real que se identifica con el complejo (a,0). Los números imaginarios son de la forma (a,b), con b distinto de cero.
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✔Los números reales forman el conjunto R al que le corresponde el eje de abscisas. Los números imaginarios puros se corresponden con los puntos del eje de ordenadas.
✔El módulo del complejo α=(a,b) viene dado por y el argumento por el valor de θ tal que . Nótese que si θ es un argumento también lo es θ+2kπ
22 ba +=ρa/btg =θ
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✔El argumento se llama principal si ✔La representación módulo argumental del
complejo α=(a,b) viene dada por ρθ
✔La identidad entre los complejos (a,b) y (c,d) equivale a: a=c y b=d
✔La identidad entre los complejos ρθ y σζ equivale a: ρ = σ y θ=ζ+ 2kπ
π≤θ<π−
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✔El paso del par ordenado a la forma módulo argumental se logra del siguiente modo:
π≤θ<π−=θ
=θ+=ρ
→
θρ=
θρ=
ρ==α θ
)b(signo)(signo
)a/b(arctgba
sinb
cosa
)b,a(
22
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✔La aritmética compleja viene dada por:
✔Se demuestra fácilmente que:
ρθσζ=(ρσ)θ+ζ
)bcad,bdac()d,c)(b,a(
)db,ca()d,c()b,a(
+−=++=+
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✔El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b)✔El inverso de α=(a,b), distinto de cero (0,0),
es
✔También se tiene que para ρθ distinto de cero
)ba
b,
ba
a(
22221
+−
+=α−
θ−−−
θ ρ=ρ )()( 11
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✔La forma binómica del complejo (a,b) se escribe a+ib, ya que
✔La forma trigonométrica del complejo ρθ viene dada por ρ(cosθ+isinθ), puesto que
iba)b,a(
)0,b(*)1,0()0,a()b,0()0,a()b,a(
+≡→+=+=
)sini(cos
)sin(i)cos(iba)b,a(
θ+θρ=θρ+θρ=+==ρθ
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✔La forma exponencial del complejo ρθ viene dada por
ρθ= ρ eiθ
teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la
exponencial compleja:
eiθ =cosθ+ i sinθ
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✔Nótese que i2 = -1 y que la ecuación x2+1=0
tiene como soluciones imaginarias i y -i.✔De otra parte:✔Además, si n es un número natural se tiene:
(Fórmula de De Moivre)
etc. ,ii ,1i ,ii 543 ==−=
)nsin(i)ncos()sini(cos
))nsin(i)n(cos()())sini(cos(
)()(
n
nn
)n(nn
θ+θ=θ+θ
→θ+θρ=θ+θρ
→ρ=ρ θθ
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✔Las expresiones anteriores son válidas para n negativo.
✔Además:
de donde basta definir
para poder evaluar la expresión
con m y n enteros, n positivo.
mn/1n/m )(α=α
n/1αn/mα
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✔La expresión en realidad corresponde a n números complejos diferentes dados por
✔Los afijos de son los vértices de un polígono regular de n lados, centrado en el origen de coordenadas.
n/1α
1-n0,1,2,...,k
,)(n
k2n/1
=
ρ=σ π+θς
ςσ
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✔Se justifica lo anterior como sigue:
✔Para los demás valores de k se repiten las soluciones cíclicamente
n/)k2( ,
k2n ,
)(
n/1
n
n
π+θ=ςρ=σ→π+θ=ςρ=σ
→ρ=σ θς
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✔La exponencial compleja se define muy fácilmente: Sea α=(a,b), entonces
✔Nótese que:
)bsinib(cose)e(eee aibaiba +=== +α
1e
eee0 =
= β+αβα
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✔El logaritmo de un número complejo en realidad son infinitos complejos. En concreto:
,...3,2,1,0k
),k2(iln)ln(
±±±=π+θ+ρ=ρθ
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✔La justificación de lo anterior es como sigue:
)k2(ilnivu)ln(
:definitivaen ,k2v
y lnu bien, o ,e
luego ),sini(cos
)vsiniv(coseeeee
: tienese ivu Si
)ln(e
)sini(cos Sea
u
uivuivu
π+θ+ρ=+=ρ=λπ+θ=
ρ=ρ=
θ+θρ=ρ+===
+=λρ=λ→ρ=
θ+θρ=ρ
θ
θ
+λ
θθλ
θ
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✔Para k=0 se obtiene el valor principal del logaritmo, con
✔Nótese que:✔Se define µλ mediante
θ+ρ=ρθ iln)(Ln
π≤θ<π−
θρ ρ=θ )ln(e
µλ lne
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✔EJEMPLOS:– 1) loge(-2)
– 2) (-2)π
π+=−→π++=π+π+==− π
i2ln)2(Ln)k21(i2ln
)k2(i2ln)2ln()2(loge
))k21sin(i)k21(cos(eee
ee)2()2(222ln)k21(i2ln
))k21(i2(ln)2ln(
2
π++π+=
====−ππ+π
π++ππππ
π π
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✔EJEMPLOS:– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales):
– 3) ii
3.7974 i - 7.9662-
)sini(cose)2( 222ln =π+π=− ππ
)k22/())k22/(i1(lni
)1ln(iilnii
ee
eei 2/
π+π−π+π+ =
=== π
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✔EJEMPLOS:– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro cifras decimales):
– 4) Hállese las fórmulas del coseno y seno del ángulo doble.
2079.0ei 2/i == π−
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✔EJEMPLOS:– Se tiene que
θθ=θθ−θ=θ
→θ+θ=θ+θ
cossin22sin
sincos2cos
)2sini2(cos)sini(cos22
2