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COMPARACIÓN Y VALORACIÓN DE DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUCCIÓN DE
ÍNDICE DE MODELOS –DAE- APLICADO AL CONTROL ÓPTIMO DE UNA
COLUMNA DE DESTILACIÓN EXTRACTIVA
Caso de estudio: Destilación extractiva del alcohol carburante
MÓNICA AMADO, JORGE M. GÓMEZ
RESUMEN: En los últimos años se ha aumentado el estudio de modelos dinámicos, específicamente aquellos que son usados
en las estrategias de control predictivo. Sin embargo, el estudio de dichas estrategias se basa en las formulaciones de los
problemas de control óptimo (OCP) que a su vez dependen del planteamiento de modelos rigurosos. El modelamiento
matemático de las columnas de destilación requieren de la solución de una serie de Ecuaciones Algebro-Diferenciales (DAE,
Differential-Algebraic Equations), que pueden presentar ciertas desventajas (Ejemplo: modelos DAE de índice superior que no
garanticen la continuidad en el sistema). Con la finalidad de evaluar la complejidad de los problemas de control óptimo y los
tiempos computacionales que permitan entregar un modelo viable para la implementación en las estrategias de control
predictivo (NMPC), este trabajo estudia la respuesta de cuatro formulaciones para el mismo caso de destilación. Las
formulaciones se distribuyen en dos OCP basados en sistemas DAE de índice 1 obtenidos por el método reducción y sustitución
mediante dos reformulaciones diferentes, un OCP de sistema DAE de índice 2 y un OCP de sistema DAE de índice 1 obtenido
a partir de descripciones hidráulicas. Todos los problemas toman como condiciones iniciales el estado estable y se usa
colocación ortogonal en elementos finitos para la discretización de los mismos. Estos modelos se evalúan en la deshidratación
de bio-etanol, por su importancia como bio-combustible, utilizando glicerina como agente de arrastre. Se analiza el
comportamiento dinámico por medio de diferentes perturbaciones, funciones suaves y discontinuas, y se determinan las
condiciones óptimas de operación para cada uno de los problemas presentados. Se realiza la comparación de seis casos de
perturbación para los cuatro modelos presentados y se muestra que los cuatro producen resultados semejantes desde un punto
de vista práctico para cada uno de los casos. Finalmente, se comparan los tiempos computacionales y el cambio en el error
promedio respecto al modelo de índice 1 cuando se modifican los valores de los pesos para las desviaciones en la función
objetivo, obteniéndose que el mejor resultado él es generado por la formulación matemática del modelo DAE2r-método2.
PALABRAS CLAVE: Bio-combustibles, Control óptimo, DAE, Etanol carburante, Modelo dinámico, Optimización.
1. INTRODUCCIÓN
La destilación es la técnica de separación de
mezclas líquidas más popular en la industria, siendo
también una de las operaciones unitarias que más
contribuyen al consumo energético total de una planta de
proceso. Se emplea en las etapas de purificación que tienen
por objetivo hacer cumplir ciertas especificaciones de los
productos, añadiéndoles un valor agregado. Dentro de este
contexto entra la etapa de deshidratación en la producción
de etanol carburante, uno de los bio-combustible más
utilizados como alternativa para sustituir los combustibles
fósiles, en la que su pureza debe ser superior al 99.5%
molar con el fin de evitar la formación de dos fases al
mezclarse con gasolina [1]–[3].
El etanol es producido comúnmente por medio de
fermentación de azucares y almidones, o a partir de
biomasa como la lignocelulosa. En esta etapa el producto
tiene altos contenidos de agua que dificulta su purificación
debido a la formación de una mezcla azeotrópica de
mínimo punto de ebullición que hace la destilación
convencional inviable [3]. Entre las alternativas más
comunes para realizar esta separación se encuentran las
destilaciones al vacío, destilaciones azeotrópicas y
destilaciones extractivas. Específicamente, en la
destilación extractiva se han estudiado diferentes agentes
de separación, encontrándo que la glicerina funciona de
forma adecuada para el proceso de deshidratación del
etanol. Adicionalmente, se reportan ventajas económicas
en el uso de la glicerina frente a otros solventes, como
ejemplo el benceno, dado que es generada en grandes
cantidades como subproducto en el proceso de producción
de biodiesel por medio de la reacción de transesterificación
[3], [4].
En los últimos años se ha visto un incremento en
el estudio del comportamiento dinámico de procesos
gracias al aumento en la capacidad de cálculo de las
herramientas computacionales y al desarrollo de
algoritmos capaces de manejar problemas de gran tamaño.
En la ingeniería química, se ha visualizado el aumento en
los estudios de modelos dinámicos, específicamente en las
áreas de diseño y control para los diferentes procesos [5].
Sin embargo, el modelamiento matemático de dichos
procesos y en este caso de la destilación extractiva, que está
compuesto por un sistema de ecuaciones algebro-
diferencial (DAE, por sus siglas en inglés Differential
Algebraic Equations), reporta ciertas desventajas asociadas
con el alto grado de no linealidad, múltiples estados
estacionarios y equilibrios de fases muy alejados de la
idealidad, haciendo el sistema muy susceptible a la
2
inestabilidad matemática bajo ciertas variaciones en la
alimentación [6], [7].
Los modelos en procesos químicos descrito por
sistemas DAE típicamente consisten de ecuaciones
diferenciales que describen los balances dinámicos de masa
y energía, y ecuaciones algebraicas que describen las
relaciones de equilibrio termodinámico, las relaciones
hidráulicas, y ciertas correlaciones heurísticas [8]. De
forma general un problema DAE se puede representar de
forma semi explicita (forma de Hessenberg (Ecuación1.a-
b)) por medio de un grupo de ecuaciones diferenciales
acopladas con una serie de ecuaciones algebraicas, sin
embargo no todos los problemas DAE se pueden llevar a
esta representación [9].
𝑑𝑦
𝑑𝑡− 𝑓(𝑦, 𝑧) = 0, (1.a)
𝑔(𝑦, 𝑧) = 0, (1.b)
La dificultad para la resolución de los modelos
DAE está asociada al índice del sistema. Aunque existen
diferentes definiciones y tipos de índice (p.e: índice
diferencial, índice de perturbación e índice de trazabilidad)
[10], en este trabajo nos referimos al índice diferencial.
Generalmente, el índice diferencial suele ser el más
estudiado para problemas de gran tamaño y este se define
como:
“…el índice (I) de un sistema DAE es el menor
entero no negativo, tal que el sistema DAE original y las
(I) derivadas respecto al tiempo de f(y,z) y g(y,z,) definen
dy/dt y dz/dt como funciones únicas de y, z, y sus derivadas.
Es decir, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
(ODE, Ordinary Differential Equations)…” [9].
Por otra parte, y debido a que los sistemas DAE
están compuestos por ecuaciones diferenciales y
algebraicas, es de esperar que la aplicación de la
diferenciación analítica a las ecuaciones algebraicas y su
eliminación sistemática cuanto sea necesario, de lugar a un
sistema ODE explicito para todas las incógnitas. Entonces,
el número de diferenciales necesarios para dicha
transformación se denomina índice DAE. Es decir, para el
caso de los sistemas ODE se denominan de índice cero (0)
[11], los problemas de índice 1 se pueden resolver al aplicar
una subrutina que solucione las ecuaciones algebraicas en
cada paso de la integración numérica, pero en los
problemas de índice superior (>1) no se puede aplicar esta
estrategia porque no todas las variables algebraicas tiene
una representación en una ecuación algebraica. Otras dos
dificultades en la solución de problemas de índice superior
son: el cálculo de las derivadas del problema para obtener
un modelo DAE de índice reducido y la no independencia
de las variables diferenciales, que generan dificultad para
determinar condiciones iniciales consistentes del problema
[12], [13].
Entre las alternativas para solucionar problemas
de índice superior se encuentran las técnicas de reducción
de índice, algunas de ellas han sido modificadas y
adecuadas a modelos específicos en las diferentes áreas de
la ingeniería. Dichas técnicas se pueden clasificar en cuatro
categorías:
i) Diferenciación directa, que consiste en diferenciar el
sistema de ecuaciones algebraicas hasta obtener un
sistema ODE.
ii) Diferenciación y sustitución, en este caso algunas de
las restricciones algebraicas son diferenciadas y se
busca su equivalente dentro del modelo para poder
reemplazar una ecuación diferencial por una ecuación
algebraica equivalente.
iii) Formar un sistema DAE aumentado, que consiste en
incluir variables adicionales equivalentes a
multiplicadores de Lagrange (Ecuación 2.a-c).
iv) Resolver de forma directa un grupo de ecuaciones
diferenciales adicionando variables diferenciales
adicionales; esta técnica solo aplica cuando el sistema
DAE se trabaja en forma implícita y no se puede
simplificar, es decir cuando no se puede representar
en la forma de Hessenberg.
Entre estas técnicas de reducción la más utilizada
en aplicaciones de procesos es la técnica ii [9], [13].
𝑑𝑦
𝑑𝑡− 𝑓(𝑦, 𝑧) + 𝜆
𝑑𝑔
𝑑𝑡= 0, (2.a)
𝑔(𝑦, 𝑧) = 0, (2.b)
𝑑𝑔
𝑑𝑡= 0, (2.c)
Muchos autores han estudiado la dinámica de
columnas de destilación utilizando sistemas de ecuaciones
DAE de índices 1 (Ver Tabla 1). La mayoría realizan su
trabajo para una aplicación específica del modelo y los
resuelven mediante simplificaciones o técnicas de
reducción de índice (Esta reducción se hace, generalmente,
por medio de diferenciación y sustitución utilizando el
balance de energía). Con base en lo anterior, este trabajo
aporta en la evaluación de los tiempos computacionales y
comparación de respuestas cuando se resuelven problemas
de control óptimo de una columna de destilación por medio
de diferentes formulaciones.
El trabajo presentado por Flatby. et al [14] hace la
comparación del sistema DAE de índice 1 que considera la
acumulación de vapor y el modelo DAE de índice 1
obtenido por un método de reducción de índice, sin
embargo estos dos modelos representan situaciones físicas
diferentes y no son directamente comparables a menos que
se cumplan ciertas condiciones.
3
Tabla 1 Comparación de diferentes estudios en la dinámica de columnas de destilación y separadores flash
Autor Año Problema Modelo Estrategia de solución
Gani. &
Cameron [15]–
[17]
1986
1988
Estudio de la dinámica y el
arranque de columnas de
destilación.
Modelo DAE de índice 1. Sin
acumulación de vapor, pero
con variación de presión en
el tiempo.
Discretización utilizando
BDF (Backward
Differentiation Formula) y
aplicación del método de
Newton
Flatby. et al.
[14] 1994
Estudio de la dinámica de
columnas de destilación.
Modelo DAE de índice 1
riguroso comparado con el
modelo DAE índice 1
obtenido por reducción de
índice.
Reducción de índice a partir
del balance de energía. No
especifican método numérico.
Kim. [18] 1999
Diseño y operación óptima de
una columna de destilación por
lotes.
Modelo DAE índice 1
obtenido por reducción de
índice.
Reducción de índice a partir
del balance de energía.
Discretización por medio del
método de Euler. Algoritmo
SQP (Sequential quadratic
programming) para
optimización.
Wittgens. &
Skogestad.
[19]
2000
Estudio de la dinámica de
arranque de columnas de
destilación.
Modelo DAE índice 1
obtenido por reducción de
índice.
Reducción de índice a partir
del balance de energía. No
especifican método numérico.
Alpbaz. et al.
[20] 2002
Comparación de modelos de
control predictivo con control
PID (Proporcional integral
derivativo)
Modelo DAE índice 1
obtenido por reducción de
índice.
Reducción de índice a partir
del balance de energía.
Discretización por medio del
método de Euler. No
especifica el algoritmo de
optimización.
Raghunathan.
et al. [21] 2004
Optimización dinámica de
columnas de destilación con
MPEC (Mathematical
Program with Equilibrium
Constraints)
Modelo DAE índice 1
obtenido por reducción de
índice.
Reducción de índice a partir
del balance de energía.
Discretización por medio de
colocación ortogonal en
elementos finitos con puntos
de Radau. Algoritmo de
Optimización de Punto
Interior (IPOPT)
Rahul et al.
[22] 2009
Algoritmo para una solución
rápida de columnas de
destilación reactiva dinámicas
Modelo DAE índice 1
obtenido por reducción de
índice.
Reducción de índice a partir
del balance de energía.
Discretización por medio del
método de Euler.
Bonilla, J. et
al. [23] 2012
Modelo de no equilibrio para la
simulación dinámica de
columnas de destilación.
Modelo DAE índice 1
obtenido por reducción de
índice.
Reducción de índice a partir
del balance de energía.
Ramos. et al
[3] 2013
Control óptimo de una
columna de destilación
extractiva
Modelo DAE índice 1
riguroso.
Discretización de las
ecuaciones por medio de
colocación ortogonal.
Algoritmo de Optimización
de Punto Interior (IPOPT)
4
Lozano. et al
[24] 2014
Comparación de la solución
directa de un modelo DAE de
índice 2, usando colocación
ortogonal en elementos finitos,
con la solución del modelo de
índice reducido para el
problema de un separador flash
por lotes y para el control de
una columna de destilación.
Modelos: DAE índice 1
riguroso.
DAE índice 2
DAE índice 1 obtenido por
reducción de índice
Discretización de las
ecuaciones por medio de
colocación ortogonal.
Algoritmo de optimización de
gradiente reducido
generalizado (CONOPT)
Por otro lado, el trabajo presentado por Lozano et
al. [24] muestra la dificultad asociada a los modelos DAE
y realiza la comparación de tres resultados para problemas
de control (modelo DAE índice 2, modelo DAE de índice
1 obtenido por un método de reducción de índice utilizando
la ecuación de balance de energía, y el modelo DAE de
índice 1 obtenido por una descripción hidráulica de la
columna más detallada) ante una perturbación sinusoidal
en la alimentación.
Un factor muy importante en la solución de los
modelos DAE de índice superior se refiere a las
condiciones iniciales las cuales, reporta la literatura,
obligatoriamente deben ser consistentes. Las condiciones
iniciales son aquellas que en el punto inicial o tiempo cero,
en este caso, satisfacen las ecuaciones algebraicas del
modelo. Si las condiciones iniciales no son consistentes el
problema de índice superior se puede solucionar, pero la
solución no será correcta dado que no satisface una serie de
restricciones denominadas “ocultas” que se presentan en
este tipo de problemas.
La condición de estado estable para la columna de
destilación es considerada como una condición inicial
consistente que permite obtener resultados adecuados y
concordantes al comportamiento físico del sistema. Con la
finalidad de corroborar la similitud en las respuestas
cuando los cuatro problemas son sometidos a una misma
perturbación, este trabajo hace énfasis en la comparación
de los resultados de problemas de control basados en
modelos DAE diferentes, ante seis perturbaciones, las
cuales están descritas por funciones continuas y
discontinuas. El mismo, tiene por objetivo estudiar los
perfiles en las soluciones, elemento fundamental para no
caer en problemas subóptimos cuando se desarrollen más
adelante los sistemas de control avanzado en tiempo real.
Finalmente, se realizará la comparación del tiempo
computacional utilizado en la resolución de cada modelo lo
que permite establecer si son útiles, desde el punto de vista
del tiempo de respuesta, para aplicaciones de control a
tiempo real.
Diferentes autores de la literatura en los últimos
años han estudiado las respuestas cuando se utilizan
estrategias de control predictivo basados en modelos
lineales y no lineales (MPC - NMPC) [25]–[27], sin
embargo, hasta el momento no se encuentra en la literatura
la validez del uso de modelos de índice superior para dichas
estrategias. Lo anterior se debe a que no es posible
garantizar la continuidad de las funciones en el tiempo.
Adicionalmente, que los resultados de los problemas se ven
afectados significativamente al modificar los valores de los
pesos en los cálculos de las desviaciones en la función
objetivo, de acuerdo a lo anterior se encuentra en la
literatura estudios específicos en la valoración de dichos
pesos [25].
Con los estudios del control avanzado basados en
optimización se ha demostrado la importancia de
estructurar muy bien el problema de control óptimo (OCP
Optimal Control Problem) pues es la formulación básica de
los controladores avanzados MPC y NMPC; y en todos los
casos se busca obtener continuidad y bajos tiempos
computacionales que garanticen la utilidad de los mismos
en la práctica industrial.
Según la literatura, el método más utilizado para
solucionar problemas DAE de índice superior es primero
aplicar una técnica de reducción de índice sobre el modelo
y luego solucionar el problema de índice 1 utilizando
algoritmos de solución específicos como DASSL
(Differential/Algebraic System Solver), que se basan en el
método de Euler y BDF para discretizar las ecuaciones
diferenciales, y luego se resuelve el conjunto de ecuaciones
algebraicas en un mismo nivel utilizando un método de
Newton [9]. Sin embargo, no siempre es una buena
alternativa aplicar una técnica de reducción de índice para
solucionar este tipo de problema porque puede generar
ciertos inconvenientes desde el punto de vista numérico,
como son: 1) Problemas de estabilidad o rigidez en el
modelo reducido. 2) dado que el criterio de convergencia
no se aplica sobre el modelo original sino sobre el modelo
reducido se puede presentar que las ecuaciones originales
del modelo no se satisfagan. 3) en ciertos casos hay
problemas de desplazamiento de la solución (drift off
phenomena) que se generan por el error integral en las
variables involucradas en la reducción de índice que alejan
la solución de la región factible [28], [29].
5
En algunos casos se han resuelto problemas de
índice superior de forma directa utilizando métodos IRK
(Implicit Runge-Kutta), por ejemplo el algoritmo de
solución PSIDE (Parallel Software for Implicit Differential
Equaitons) es capaz de resolver problemas DAE de hasta
índice 3 si las condiciones iniciales del problemas son
consistentes. Este programa utiliza un método de
colocación ortogonal con cuatro puntos de Radau (Radau
IIA) para discretizar las ecuaciones diferenciales, luego el
sistema no lineal de ecuaciones se resuelve por medio de
un método de Newton modificado [30], [31].
El presente trabajo se organiza de la siguiente
forma: en las secciones 2 y 3 se realiza un resumen del
modelo dinámico de la columna de destilación y la
discretización del problema. La sección 4 se encarga de
presentar el problema de control óptimo con sus
restricciones de desigualdad y la función objetivo. En la
sección 5 se exponen los parámetros y condiciones para la
deshidratación del alcohol carburante, caso de estudio, el
cual es un tema de interés para industria colombiana y
cuenta con reportes anteriores por parte de algunos autores
[3], [4], [24]. Debido a que se pretende evaluar el
comportamiento del sistema frente a diferentes tipos de
perturbación, y con la finalidad de comparar las respuestas
de los problemas de optimización presentados, en la
sección 6 se expone a las diferentes perturbaciones en la
composición de la alimentación. Finalmente, en las
secciones 7 y 8 se exponen los resultados y se discuten,
para los problemas de optimización obtenidos a partir de
los cuatro modelos presentados frente a las diferentes
perturbaciones implementadas. También se presenta las
conclusiones del trabajo.
2. MODELO DINÁMICO COLUMNA DE
DESTILACIÓN
El modelo dinámico de la columna de destilación
se basa en las ecuaciones MESH, es decir, parte de
balances de materia y energía entre las corrientes de
entrada y salida del proceso y entre cada etapa de
equilibrio.
FnAlimentación
Ln-1 Vn
Ln Vn+1
Condensador total
Rehervidor parcial
1
2
3
n
n-1
n-2
n-3
Figura 1 Representación de una columna de destilación
Los supuestos generales que se aplican en todos los casos
son los siguientes:
Equilibrio termodinámico en cada una de las etapas.
Operación adiabática.
Condensador total y rehervidor parcial.
No hay caída de presión en el rehervidor.
Acumulación de masa total constante en el
condensador y en el rehervidor.
No hay acumulación de vapor ni en el condensador ni
en el rehervidor.
2.1 Modelo algebro diferencial detallado (DAE1)
El modelo basado en relaciones de equilibrio de
fases más general para una columna de destilación se puede
describir mediante el siguiente grupo de ecuaciones [28]
(Toda la nomenclatura se describe en la tabla I
Nomenclatura página 16):
Balances de materia total 𝑑𝑀(𝑛)
𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) (1 +
1
𝑅)
∀ 𝑛 = 1
(3)
𝑑𝑀(𝑛)
𝑑𝑡= 𝐹(𝑛) + 𝐿(𝑛 − 1) + 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛)
− 𝑉(𝑛),
∀ 𝑛 ∈ {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}
(4)
𝑑𝑀(𝑛)
𝑑𝑡= 𝐿(𝑛 − 1) − 𝐿(𝑛) − 𝑉(𝑛) = 0,
∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡
(5)
Balances de materia parcial
𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑑𝑥(𝑛, 𝑖)
𝑑𝑡= 𝑦(𝑛 + 1, 𝑖)𝑉(𝑛 + 1)
− 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛, 𝑖) (1 +1
𝑅),
∀𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = 1
(6)
𝑑𝑀(𝑛, 𝑖)
𝑑𝑡= 𝑧(𝑛, 𝑖)𝐹(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 1, 𝑖)𝐿(𝑛 − 1)
+ 𝑦(𝑛 + 1, 𝑖)𝑉(𝑛 + 1)− 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛) − 𝑦(𝑛, 𝑖)𝑉(𝑛),
∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}
(7)
𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑑𝑥(𝑛, 𝑖)
𝑑𝑡= 𝑥(𝑛 − 1, 𝑖)𝐿(𝑛 − 1)
− 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛) − 𝑦(𝑛, 𝑖)𝑉(𝑛),
∀𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡
(8)
Balances de energía 𝑑𝑈(𝑛)
𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1)𝐻𝑉(𝑛 + 1)
− 𝐿(𝑛) (1 +1
𝑅) 𝐻𝐿(𝑛) − 𝑄𝐶 ,
∀ 𝑛 = 1
(9)
𝑑𝑈(𝑛)
𝑑𝑡= 𝐻𝐹(𝑛)𝐹(𝑛) + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1)
+ 𝐻𝑉(𝑛 + 1)𝑉(𝑛 + 1)− 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛 + 1) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),
∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}
(10)
6
𝑑𝑈(𝑛)
𝑑𝑡= 𝑄𝑅 + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1) − 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛)
− 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),
∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡
(11)
Acumulación de masa total 𝑀(𝑛) = 𝑀𝐿(𝑛) + 𝑀𝑉(𝑛),
∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (12)
Acumulación de masa parcial 𝑀(𝑛, 𝑖) = 𝑥(𝑛, 𝑖) 𝑀𝐿(𝑛, 𝑖) + 𝑦(𝑛, 𝑖)𝑀𝑉(𝑛),
∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (13)
Sumatoria
∑ 𝑦(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)
𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝
= 0,
∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇
(14)
Equilibrio de fases 𝑦(𝑛, 𝑖) = 𝐾(𝑛, 𝑖)𝑥(𝑛, 𝑖),
∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (15)
Energía interna
𝑈(𝑛) ≅ (𝐻𝑉(𝑛) −𝑃(𝑛)
𝜌𝑉) 𝑀𝑉(𝑛) + 𝐻𝐿(𝑛)𝑀𝐿(𝑛),
∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇
(16)
Capacidad del plato 𝑀𝑉(𝑛)
𝜌𝑉+
𝑀𝐿(𝑛)
𝜌𝐿=
𝜋ℎ𝑊𝐷2
4,
∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}
(17)
Flujo de líquido
𝐿(𝑛) = 𝑓(𝑀𝐿(𝑛), 𝑉(𝑛)),
∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1} (18)
Flujo de vapor
𝑉(𝑛) = 𝑓(∆𝑃(𝑛)),
∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}, (19)
Tanto el flujo molar de líquido como el flujo
molar de vapor se calculan a partir de una serie de
relaciones hidráulicas que dependen de las acumulaciones
de materia en cada etapa y de la caída de presión (Ver
apéndice A).
El conjunto de ecuaciones anteriores conforman
un modelo DAE de índice 1. Finalmente, el modelo cuenta
con dos grados de libertad (p.e. la carga térmica del
rehervidor y relación de reflujo) que en este caso serán las
variables de control.
2.2 Modelo algebro diferencial simplificado (DAE2)
El modelo simplificado se basa en las
suposiciones de acumulación despreciable de vapor y
presión constante en cada uno de los platos, el detalle de
las ecuaciones que hacen parte de la formulación del
modelo DAE de índice 2 se encuentra en el anexo B.
Este modelo se considera DAE de índice 2 debido
a que el flujo de vapor no tiene una representación
algebraica en cada una de las etapas. Sin embargo, el
número de ecuaciones y de variables disminuye
dependiendo de la dimensión del problema, de forma
general se reduce en 𝑛𝑒𝑡(3 + 𝑛𝑐) ecuaciones, haciendo
que el problema sea más fácil de resolver en términos
computacionales. Los grados de libertad son dos al igual
que en el modelo anterior.
2.3 Técnica de reducción de índice y modelo algebro
diferencial simplificado (DAE2r – Método 1)
Este modelo se obtiene a partir de la técnica de
derivación y sustitución. Se convierte los balances de
energía diferenciales de cada etapa en balances de energía
algebraicos que toman la siguiente forma:
𝑀𝐿(𝑛)𝑑𝐻𝐿(𝑛)
𝑑𝑡+
𝑑𝑀𝐿(𝑛)
𝑑𝑡𝐻𝐿(𝑛)
= 𝑉(𝑛 + 1)𝐻𝑉(𝑛 + 1)
− 𝐿(𝑛) (1 +1
𝑅) 𝐻𝐿(𝑛) − 𝑄𝐶 ,
∀ 𝑛 = 1
(20)
𝑀𝐿(𝑛)𝑑𝐻𝐿(𝑛)
𝑑𝑡+
𝑑𝑀𝐿(𝑛)
𝑑𝑡𝐻𝐿(𝑛)
= 𝐻𝐹(𝑛)𝐹(𝑛)
+ 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1)
+ 𝐻𝑉(𝑛 + 1)𝑉(𝑛 + 1)
− 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛 + 1) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),
∀ 𝑛 = {2, … , 𝑛𝑒𝑡 − 1}
(21)
𝑀𝐿(𝑛)𝑑𝐻𝐿(𝑛)
𝑑𝑡+
𝑑𝑀𝐿(𝑛)
𝑑𝑡𝐻𝐿(𝑛)
= 𝑄𝑅 + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1)
− 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),
∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡
(22)
La expresión 𝑑𝑀𝐿(𝑛)
𝑑𝑡 se conoce por el balance de
masa total para cada etapa y la expresión 𝑑𝐻𝐿(𝑛)
𝑑𝑡 se puede
calcular de forma analítica utilizando la relación de
entalpía de líquido (esto se explica en más detalle en el
apéndice C). Al sustituir el balance diferencial de energía
por su equivalente algebraico se obtiene una expresión para
la variación del flujo de vapor en el tiempo para cada una
de las etapas, lo que reduce el índice del sistema a 1.
2.4 Técnica de reducción de índice y modelo algebro
diferencial simplificado (DAE2r – Método 2)
Este último modelo se obtiene a partir de la misma
técnica de derivación y sustitución, esta vez por medio de
la conversión de los balances de masa parcial diferenciales
de cada etapa en balances de masa parcial algebraicos.
Dicha sustitución se realiza con la finalidad de buscar
7
resultados similares que reduzcan el tiempo computacional
en la respuesta del problema.
Teniendo en cuenta que la sumatoria de las
fracciones molares líquidas en cada una de las etapas es
igual a uno, sí y solo sí, el flujo de vapor y líquido es mayor
que cero, se puede realizar el siguiente procedimiento:
∑ 𝑥(𝑛, 𝑖)
𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝
= 1, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (23)
Entonces la derivada de la ecuación anterior se
puede definir como:
∑ 𝑑𝑥(𝑛, 𝑖)/𝑑𝑡
𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝
= 0, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (24)
La derivada en la ecuación 24 será reemplazada
por las ecuaciones de balance de masa parcial, obteniendo
como resultado ecuaciones de balance de masa parcial
algebraicas. La formulación del modelo DAE de índice 1
por medio de la reducción aplicada en el método dos se
encuentran en el anexo D. La anterior reducción se basa en
la teoría empleada para el sistema de separación flash en la
referencia [28].
3. DISCRETIZACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
La transformación utiliza colocación ortogonal en
elementos finitos con paso fijo (0,5 h) utilizando 10
elementos finitos con 3 puntos de colocación tipo Radau.
La principal razón por la que se seleccionó este tipo de
discretización es la de comparar los resultados con el
trabajo presentado previamente [24]. Adicionalmente, este
tipo de colocación es ampliamente usada en la solución de
problemas DAE de índice 2 por su capacidad para
estabilizar problemas de índice superior [30] además es un
método que presenta estabilidad tipo L, es decir, a medida
que el paso de integración tiende a cero la región de
estabilidad tiende a infinito. La metodología para el
procedimiento de este tipo de discretización se puede
encontrar con claridad en la referencia [28].
4. PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN (OCP)
De forma general la formulación de una columna
de destilación en estado dinámico se describe con variables
diferenciales y algebraicas [28]:
min 𝐽(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡)) (25.a)
Sujeto a:
𝑑𝑦
𝑑𝑡− 𝑓(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡)) = 0, (25.b)
𝑦(𝑡0) = 𝑦0
ℎ(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡)) = 0 (25.c)
𝑔(𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡), 𝑢(𝑡)) ≤ 0 (25.d)
Dónde:
y son las variables diferenciales (p.e. 𝑥(𝑖), 𝑀𝐿 , 𝑈)
z las variables algebraicas (p.e. 𝑦(𝑖), 𝑉, 𝐿)
u son las variables de control (p.e. 𝑄𝑅).
El problema de control óptimo de una columna de
destilación consiste en minimizar el error cuadrático de la
variable de control (𝑥(1, 𝑖)) y las variables manipuladas
𝑄𝑅 𝑦 𝑅 respecto a un punto que determina la pureza del
destilado y unos puntos de operación de referencia,
mientras se maximiza una función de rendimiento
económico (𝑁𝑃𝑡).
min ∫ [𝛼1(𝑥1,𝐴 − 𝑥1,𝐴𝑉𝑂)
2+ 𝛼2(𝑄𝑅 − 𝑄𝑅
𝑉𝑅)2𝑡𝑓
0
+ 𝛼3(𝑅 − 𝑅𝑉𝑅)2 − 𝑁𝑃𝑡] 𝑑𝑡
(26)
Dónde:
El primer término corresponde a la desviación de la
pureza del producto en el destilado respecto a su valor
de operación normal (Identificado por las letras 𝑉𝑂).
El segundo término corresponde a la desviación de la
carga térmica con respecto a un valor de referencia
calculado también por la optimización (Identificado
por las letras 𝑉𝑅).
El tercero término corresponde a la desviación en la
relación de reflujo con respecto a un valor de
referencia calculado también por la optimización
(Identificado por las letras 𝑉𝑅).
La función de rendimiento económico está descrita por
la ecuación: −𝑁𝑃𝑡 = 𝐶𝑄𝑄𝑅 − 𝐶𝐷𝐷 que equivale a los
costos de la carga térmica del rehervidor y las
ganancias por la producción de destilado.
Para los casos generales 𝛼1 tiene un valor de 10000,
𝛼2 el valor de 500 y 𝛼3 el valor de 100. (Valores
obtenidos de la referencia [24])
Es importante anotar que la restricción de pureza,
en el producto (etanol en el destilado) debe ser superior al
99.5% molar en todo momento de la operación (Ecuación
27) y la temperatura máxima de operación, para prevenir la
descomposición de las sustancias involucradas en el
sistemas, (Ecuación 28) son consideradas dentro de las
restricciones de desigualdad de los OCP.
Pureza de producto:
𝑥(1, 𝑖) ≥ 𝑥𝑚𝑖𝑛(𝑖) ∀𝑡𝜖[0, 𝑡𝑓] (27)
8
Temperatura máxima de operación:
𝑇(𝑛) ≤ 𝑇𝑚𝑎𝑥 , 𝑡𝜖[0, 𝑡𝑓], ∀𝑛 ∈ {1 . . . 𝑛𝑒𝑡} (28)
Cada uno de los problemas de optimización están
compuestos por los modelos de la columna de destilación
expuestos en las secciones anteriores, que tiene como base
las ecuaciones correspondientes a los balances de masa y
energía obtenidos a partir del modelo MESH planteado.
5. CASO DE ESTUDIO
El caso de estudio es la deshidratación de etanol
por destilación extractiva. Para este caso las propiedades
físicas del sistema se calcularon usando los parámetros de
Aspen properties®.
Las condiciones de operación de la columna de
destilación son las mismas reportadas en los trabajos
previos por, Ramos y Gómez [3] y se listan en la tabla 2.
(La numeración de las etapas de separación y las entradas
de las alimentaciones está de acuerdo con la figura 1)
Tabla 2 Condiciones de operación para la columna de destilación en el
caso de estudio agua-etanol-glicerina
Parámetro Valor
Tiempo de operación (h) 5
Presión de operación condensador (bar) 1
Número de etapas de equilibrio (𝑛𝑒𝑡) 19
Flujo de alimentación mezcla azeotrópica
(kmol/h) 100
Temperatura de alimentación mezcla
azeotrópica (K) 351,05
Etapa de alimentación de la mezcla
azeotrópica 12
Porcentaje molar alimentación azeotrópica
Agua 20%
Etanol 80%
Glicerina 0%
Flujo de alimentación glicerina (kmol/h) 35
Temperatura de alimentación glicerina (K) 305
Etapa de alimentación glicerina 3
Porcentaje molar alimentación azeotrópica
Agua 0%
Etanol 0%
Glicerina 100%
Diámetro de la columna (m) 0,7960
Longitud de la bajante (m) 0,5780
Altura del divisor (m) 0,0254
Área transversal de la columna (m2) 0,4976
Área activa de la etapa (m2) 0,3981
Área agujerada de la etapa (m2) 0,0498
Diámetro de agujeros (m) 0,0127
Espesor del plato (m) 0,0020
Pitch entre los agujeros (m) 0,0597
Pureza molar de etanol en el destilado 99,5%
Temperatura de descomposición glicerina
(K) 555
𝛼1 Ponderación fracción de etanol 1E+4
𝛼2 Ponderación carga térmica 500
𝛼3 Ponderación relación de reflujo 100
Costo de la carga térmica del rehervidor
(𝐶𝑄) ($/MJ) 1E-3
Costo del destilado (𝐶𝐷) ($/kmol) 30
Para todos los casos presentados en este trabajo,
se evaluaron las respuestas a partir de tres valores para la
inicialización de las variables de control.
Las condiciones iniciales de los problemas de
optimización son ecuaciones de estado estable del modelo.
De esta forma, además de garantizar el control optimo del
sistema, se asegura el mejor estado estable de operación y
la consistencia de todas las variables en el tiempo inicial.
En general, para problemas DAE de índice (>1) se pueden
determinar condiciones iniciales consistentes con la
solución del problema en estado estable [12].
6. FUNCIONES DE PERTURBACIÓN EN EL
SISTEMA
En los trabajos anteriores presentados por Ramos
et al [3] y Lozano et al.[24], se utiliza la perturbación en la
composición de la alimentación de tipo sinusoidal, la cual
es considerada como una condición de cambio fuerte en la
operación y es útil para analizar el problema de control
óptimo. Sin embargo, se ha visto que los comportamientos
reales de sistemas como torres de destilación pueden
presentar diferentes tipos de perturbaciones, siendo la
perturbación de tipo escalón la más drástica por presentar
discontinuidad en los datos. En este trabajo además de
evaluar las respuestas de los OCP para las funciones de
perturbación de tipo sinusoidal, se consideran tres tipos de
funciones que permiten evaluar las respuestas frente a otros
casos. Todas las funciones de perturbación inician con un
comportamiento en estado estable para la composición del
alimento [32], [33].
El estudio de las respuestas de control óptimo
frente a diferentes tipos de perturbaciones es importante
para futuros estudios en los que se aplican estrategias de
control predictivo basado en modelos (MPC), siendo una
forma a priori de comprobar la estabilidad y
controlabilidad del sistema. El diseño de señales adecuadas
9
es un primer e importante paso para la obtención de
resultados en las estrategias MPC. Con frecuencia en los
experimentos de identificación para sistemas MIMO (Por
sus siglas en inglés: multi-input, multioutput) es usada la
perturbación de tipo escalón o de tipo impulso [34].
La primera función de perturbación es
considerada como un escalón continuo o escalón tangente,
y es la situación en la que la composición del alimento hace
un cambio continuo en un rango de dos horas. El cambio
se evaluó en dos casos: en cambios crecientes y
decrecientes (Caso 1 y 2 respectivamente). La función
utilizada para estos dos primeros casos es la función
Gomperzt con una modificación (Figura 2) que
corresponde a la adición de un parámetro ( 𝑑 en la ecuación
(29)). La ecuación que describe la función se muestra a
continuación:
𝑦(𝑡) = 𝑑 + 𝑎𝑒𝑏𝑒𝑐𝑡 (29)
En la ecuación anterior, el parámetro 𝑎 indica la
asíntota del valor que toma la función después de realizar
el cambio, es decir, para el caso 1 el valor de 80 en la
composición y de 75 para el caso 2. El valor de 𝑏 indica el
tiempo en el que se inicia el cambio, y el valor de 𝑐 el rango
de tiempo en el que se realiza el cambio. Debido a que la
función de Gompertz está diseñada para que en un tiempo
cero el valor de la función sea igual a cero, se adiciono el
parámetro 𝑑, que indica el valor inicial de la composición
del alimento.
Los parámetros usados en la ecuación de
perturbación (Ecuación 29) correspondientes a los casos 1
y 2 se presentan a continuación:
Tabla 3 Parámetros para las funciones de perturbación casos 1 y 2
CASO 1 CASO 2
a 5 -5
b -10 -10
c -4 -4
d 75 80
Figura 2 Perturbaciones casos 1 y 2 en la composición de la
alimentación azeotrópica para la columna de destilación en el caso de
estudio del sistema agua-etanol-glicerina
La segunda función representa dos escalones
tangente y es la unión en el tiempo de los casos 1 y 2, es
decir, en el periodo de 5 horas de operación la composición
hace un cambio creciente y posteriormente decreciente
(Figura 3).
Figura 3 Perturbación caso 3 en la composición de la alimentación
azeotrópica para la columna de destilación en el caso de estudio del
sistema agua-etanol-glicerina
Los casos 4 y 5 son perturbaciones de escalón de
tipo creciente y decreciente respectivamente (Figura 4),
estos últimos permiten evaluar las respuestas frente a
perturbaciones que no son continuas, una de las
condiciones más extremas en la operación que permite
evaluar de forma rigurosa los OCP planteados.
10
Figura 4 Perturbaciones casos 4 y 5 en la composición de la
alimentación azeotrópica para la columna de destilación en el caso de
estudio del sistema agua-etanol-glicerina
Como último caso (Caso 6), se considera la
evaluación de los dos métodos de reducción frente a una
función de perturbación de tipo sinusoidal, con la finalidad
de comparar los tiempos computacionales.
Figura 5. Perturbación en la composición de la alimentación azeotrópica
para la columna de destilación en el caso de estudio del sistema agua-etanol-glicerina
7. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Los problemas fueron modelados y solucionados
en GAMS versión 24.2.3, por medio de un procesador
Intel® Core™ i5-2500S CPU @ 2.70GHz y memoria
RAM de 8,00 GB. Usando un método basado en Gradiente
Reducido Generalizado (GRG) (algoritmo CONOPT)
como algoritmo de solución para problemas NLP.
La primera fase del proyecto contempló la
valoración del primer método de reducción de índice. De
acuerdo a lo anterior, los numerales 7.1 y 7.2, muestran los
resultados para los casos de perturbación 3 y 4 en
representación de las respuestas obtenidas para los seis
casos de perturbación cuando se comparan las
formulaciones DAE1, DAE2 y DAE2r-Método1. En la
segunda fase, se estudia el segundo método de reducción
de índice, es decir, en el numeral 7.3 muestran los
resultados para los problemas planteados a partir de los
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-Método 2, para el caso 6,
teniendo en cuenta que este tipo de perturbación
corresponde a condiciones representativas de operación y
es útil para analizar el problema de control óptimo así como
los resultados obtenidos en los otros casos. En la sección
7.4, se comparan los resultados de los problemas de control
óptimo para las cuatro formulaciones. Una vez valorado el
segundo método de reducción, se evalúa el impacto en el
cambio de los valores 𝛼 en la función objetivo en el
numeral 7.5 comparando para el caso de perturbación
número 6 de los problemas DAE1, DAE2 y DAE2r-
método2. Los resultados adicionales obtenidos se muestra
en el anexo E. Adicionalmente, se calcula el error promedio
de las variables entre las respuestas de DAE1 y DAE2r para
cada uno de los métodos de reducción de acuerdo al cálculo
de error utilizado en la referencia [24] con la finalidad de
poder comparar con los resultados obtenidos.
7.1 Resultados para la perturbación caso 3, comparación
de problemas de optimización DAE1, DAE2 y DAE2r-
Método 1
El caso 3 representa significativamente las
respuestas encontradas para los casos 1 y 2 (Anexo E) y
muestra en los resultados consistencia respecto a los
mismos. Cabe resaltar que en los tres primeros casos se ha
encontrado que la variable correspondiente a la carga
térmica del rehervidor permanece constante por lo que se
indica que el sistema podría ser controlado únicamente con
la relación de reflujo. Las figuras a continuación muestran
los perfiles obtenidos.
Figura 6 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 3, modelos DAE1,
DAE2 y DAE2r-método1
11
Figura 7 Perfil óptimo para la relación molar de reflujo, caso 3, modelos
DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Para los tres primeros casos de perturbación al
comparar los resultados, se encuentra que cumplen con la
restricción de pureza del producto a lo largo de todo el
tiempo de estudio.
Figura 8 Perfil óptimo para la carga térmica del rehervidor, caso 3,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Al realizar la comparación de los resultados
obtenidos en los tiempos de uso computacional y el valor
de la función objetivo obtenida (Tabla 4), se halló que al
complejizar la perturbación en el sistema el tiempo usado
por el modelo DAE2r-método1 es significativamente
mayor al tiempo gastado por el modelo DAE2 y el DAE1
y que para sistemas que requieran bajos tiempos de
respuesta se puede usar el modelo DAE1 obtenido por una
descripción hidráulica de la columna más detallada.
De igual forma al calcular los errores promedio, se
encuentra que no existe una diferencia significativa entre
los modelos simplificados (DAE2r-método1 y DAE1),
encontrándose que el error promedio máximo es de 0,11%.
Sin embargo, por la complejidad de la perturbación
aumentan los valores de los errores en algunas variables.
Tabla 4 Comparación de tiempo computacional y valor de la función
objetivo para cada uno de los modelos en el caso 3.
Modelo
Tiempo
computacional
(min)
Valor de la
Función
Objetivo
DAE1 6,2 -11426,726
DAE2 11,6 -11465,757
DAE2r- método1 8116,6 -11465,757
Se halló una solución óptima en los tres modelos,
adicionalmente, se muestra gráficamente que
independiente del modelo la respuesta es la misma desde el
punto de vista práctico.
7.2 Resultados para las perturbaciones de los casos 4 y 5,
comparación de problemas de optimización DAE1, DAE2
y DAE2r-Método1
Los casos 4 y 5 representan a una de las
perturbaciones más difíciles para el sistema. Sin embargo,
las respuestas obtenidas en los dos casos son similares y
comparables con los casos anteriores. A continuación se
presentan los resultados para el caso 4, el caso 5 muestra
los mismos perfiles de forma invertida por el tipo de
escalón de la perturbación.
Figura 9 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 4, modelos DAE1,
DAE2 y DAE2r-método1
12
Figura 10 Perfil óptimo para la relación molar de reflujo, caso 4,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Figura 11 Perfil óptimo para la carga térmica del rehervidor, caso 4,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Los resultados en los dos casos presentan un
comportamiento constante en el perfil de la carga térmica
del rehervidor.
Figura 12 Perfil óptimo para la composición de etanol en el destilado,
caso 4, modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Para los dos casos el tiempo computacional de los
modelos DAE2r-método1 superan una hora y media de
trabajo, equivalentes a casi 1300% del tiempo
computacional utilizado en para la solución de los modelos
DAE2 y DAE1
Tabla 5 Comparación de tiempo computacional y valor de la función
objetivo para cada uno de los modelos en el caso 3.
Modelo
Tiempo
computacional
(min)
Valor de la
Función
Objetivo
DAE 1 7,634 -11561,478
DAE 2 6,071 -11601,351
DAE 2r-método1 78,5 -11601,356
Es importante resaltar que para hallar las
soluciones en todos los casos para los modelos DAE2r-
método1 (índice 1 obtenidos por método 1 de reducción) se
requirió de un procedimiento adicional, el cual complejiza
la metodología y aumenta el tiempo computacional. El
procedimiento consiste en ejecutar el modelo inicialmente
activando restricciones diferenciales de balance de energía
dinámico para el rehervidor, el condensador y la columna,
es decir, las restricciones utilizadas en los modelos DAE de
índice 2. Al resolver el modelo, los valores obtenidos en la
solución son usados como inicialización del siguiente
problema, el cual activa las restricciones algebraicas de los
balances de energía dinámicos para las mismas partes de la
columna. Según lo anterior, si se desea resolver el modelo
DAE2r-método1 de forma directa como se realizó con los
modelos DAE2 y DAE1 no es posible garantizar que el
solver encuentre un punto factible o mejor aún una solución
óptima. Este procedimiento no siempre debe ser utilizado
en los modelos reducidos, se implementa en este modelo
específicamente debido a complejidad matemática que trae
consigo las relaciones termodinámicas incluidas en la
reducción del índice. En conclusión, se requiere una
inicialización muy cercana al punto óptimo para lograr la
convergencia del problema.
Finalmente, al comparar las respuestas obtenidas
de la carga térmica del rehervidor en los cinco casos
presentados, se encuentra que estas permanecen constantes
en el tiempo pero que su valor varía con cada una de las
perturbaciones generadas. De acuerdo a lo anterior, no es
conveniente afirmar que esta variable pueda ser excluida
de las variables de control del sistema dado que el
algoritmo de optimización también determina el mejor
estado de referencia para la carga térmica en la operación.
13
7.3 Resultados para la perturbación del caso 6,
comparación de problemas de optimización DAE1, DAE2
y DAE2r-método2
A continuación se muestran las gráficas con los
resultados obtenidos, en donde el error promedio en las
variables de todas las etapas y las funciones objetivo, para
una perturbación sinusoidal en el flujo de alimentación no
supera el 0,7% al comparar los modelos DAE2 y DAE2r-
método 2.
Figura 13 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 6, modelos
DAE1, DAE2 y DAE2r-método2
Figura 14 Perfil óptimo para la relación molar de reflujo, caso 6,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método2
Figura 15 Perfil óptimo para la carga térmica del rehervidor, caso 6,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método2
Al comparar los resultados del perfil óptimo para
la carga termina del rehervidos se demuestra que al igual
que los modelos anteriores, el modelo DAE2r con la
segunda metodología mantiene el valor contante a lo largo
del tiempo, realizando el control con la variable de relación
de reflujo. El modelo DAE2r-método2 mantiene la
restricción de pureza a lo largo del tiempo de estudio.
Al realizar la reformulación descrita en el segundo
método, el modelo se simplifica y es más fácil de
implementar puesto que es independiente de las relaciones
termodinámicas. Finalmente, los tres modelos muestran
tener funciones objetivos desde un punto de vista práctico
similares.
7.4 Comparación de problemas de optimización DAE1,
DAE2, DAE2r-Método1 y DAE2r-Método2
A continuación se muestran tres tablas que
resumen la comparación de los resultados obtenidos para
los problemas de control óptimo a partir de modelos
diferentes.
Tabla 6 Máximo error promedio en las variables de todas las etapas, con respecto al modelo DAE1
DAE2 [%] DAE2r-
método1 [%]
DAE2r-
método 2
[%]
Caso 1 0,112 0,126 0,125
Caso 2 0,107 0,123 0,122
Caso 3 0,125 0,110 0,110
Caso 4 0,135 0,111 0,110
Caso 5 0,123 0,123 0,123
Caso 6 0,122 0,818 0,125
14
La tabla 6 muestra el máximo porcentaje de error
promedio de todas las etapas de la columna de destilación
para cada uno de los casos de perturbación de los OCP
DAE2, DAE2r-método1 y DAE2r-método2 comparados
con los resultados usando el modelo DAE1, los cuales son
similares desde el punto de vista práctico.
Tabla 7 Tiempo computacional utilizado para la solución de los
problemas, [=] min.
DAE1 DAE2 DAE2r-
método1
DAE2r-
método 2
Caso 1 0,049 0,148 28,600 0,361
Caso 2 0,527 11,276 28,670 0,034
Caso 3 6,199 11,593 8116,599 240,545
Caso 4 7,634 6,071 78,512 30,246
Caso 5 12,033 5,850 82,360 5,324
Caso 6 0,240 0,285 31,410 2,109
La tabla 7 muestra la diferencia de los tiempos
computacionales utilizados por cada uno de los problemas.
Se evidencia que el mayor tiempo gastado para cada uno
de los casos presentados es para el problema DAE2r-
método1 que se atribuye a las relaciones termodinámicas
incluidas al realizar la reformulación del modelo. Cabe
resaltar en para todos los problemas los mayores tiempos
se presentaron para los casos 3, 4 y 5.
Tabla 8 Valor de la función objetivo
DAE1 DAE2 DAE2r-
método1
DAE2r-
método 2
Caso 1 -11596,199 -11636,252 -11636,253 -11636,252
Caso 2 -11129,007 -11166,187 -11166,187 -11166,187
Caso 3 -11426,726 -11465,757 -11465,758 -13554,546
Caso 4 -11561,478 -11601,351 -11601,356 -13650,689
Caso 5 -11168,007 -11205,457 -11205,460 -13758,697
Caso 6 -11642,418 -11681,911 -11681,915 -11681,911
Al comparar el valor de la función objetivo se
encuentra que para las funciones con cambios abruptos en
el tiempo aumenta la diferencia respecto a las encontradas
en el problema DAE1. Adicionalmente, el segundo método
muestra valores alejados para los casos 3, 4 y 5 y aunque
dichos valores son mejores que el de los otros casos la
solución del problema toma un tiempo significativamente
mayor al compáralo con los casos 1, 2 y 6.
7.5 Resultados para la perturbación del caso 6,
comparación de problemas de optimización DAE1, DAE2
y DAE2r-método2, modificando los valores de alfa (𝜶) en
la función objetivo
Esta última comparación se realiza con la
finalidad de evaluar la sensibilidad los resultados cuando
los pesos en la función objetivo son modificados. Dicha
evaluación se hace importante al momento de aplicar las
formulaciones en modelos de control predictivo.
Los modelos anteriores tienen por valores en los
pesos de la función objetivo: 𝛼1 1000, 𝛼2 500 y 𝛼3 100 se
presentaron los siguientes errores promedio:
Relación de reflujo:0,0294
Flujo molar de líquido:0,2014
Flujo molar de vapor:4,9255
La finalidad de realizar el cambio en los pesos es
evaluar el ajuste de las variables entre los modelos. Al
modificar los valores a 𝛼1 =200 y 𝛼2 = 100 se obtiene los
siguientes resultados:
Relación de reflujo:0,02708
Flujo molar de líquido:0,1947
Flujo molar de vapor:0,1496
Las gráficas a continuación demuestran los
perfiles obtenidos.
Figura 16 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 6, modelos
DAE1, DAE2 y DAE2r-método2. 𝛼1 = 10000, 𝛼2 = 200, 𝛼3 = 100
Figura 17 Perfil óptimo para la relación molar de reflujo, caso 6,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método2, 𝛼1 = 10000, 𝛼2 = 200,
𝛼3 = 100
15
Finalmente, si los pesos se igualan: 𝛼1 =100 y 𝛼2
= 100, se obtienen los siguientes errores promedio:
Relación de reflujo:0,0266
Flujos de líquido:0,1863
Flujos de vapor:0,1327
Las gráficas mostradas anteriormente y los errores
promedio demuestran que el cambio en los pesos en la
función objetivo pueden dar como solución valores de
variables que se ajustan más entre los modelos.
Figura 18 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 6, modelos
DAE1, DAE2 y DAE2r-método2. 𝛼1 = 10000, 𝛼2 = 100, 𝛼3 = 100
Para todos los casos presentados en este ítem, se
obtuvo perfiles similares a los expuestos anteriormente, es
decir, a pesar que se modificó el valor del alfa para la
desviación de la carga térmica esta se mantuvo constante a
lo largo del tiempo.
Figura 19 Perfil óptimo para la relación molar de reflujo, caso 6,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método2, 𝛼1 = 10000, 𝛼2 = 100,
𝛼3 = 100
Para todos los casos del método 2 de reducción de
índice los tiempos computacionales se mantuvieron entre 4
y 6 minutos. De acuerdo a lo anterior y a las respuestas
encontradas, la formulación presentada puede ser la más
apta para los problemas de control óptimo.
8. CONCLUSIONES
Se solucionaron exitosamente los modelos
propuestos para la columna de destilación bajo los
diferentes tipos de perturbaciones.
La solución óptima obtenida para la columna de
destilación muestra que en todos los casos se cumple con
los requerimientos de pureza del producto final y de
acuerdo a la respuesta, el sistema se controla únicamente
con la relación de reflujo. Se debe evaluar el caso en el que
las condiciones iniciales de estado estable son fijas para
que el comportamiento de las variables de control bajo
diferentes perturbaciones sea comparable.
Para los seis casos de perturbación, los cuatro
modelos presentan comportamientos adecuados que
corresponden al desempeño físico del proceso, y las
diferencias más significativas se presentan en la
acumulación de masa del modelo DAE1 con respecto a los
modelos reformulados para la reducción de índice.
Mientras que en los modelos simplificados (DAE2,
DAE2r-método1 y DAE2r-método2) no existe una
diferencia significativa.
En todos los casos se demuestra que el modelo
DAE2r-metodo1 presenta mayor complejidad y dificultad
al momento de resolverse lo que incide directamente en el
tiempo computacional usado por el mismo.
Adicionalmente, que el modelo DAE2r-método2 reduce el
tiempo utilizado obteniendo valores en las variables y
función objetivo similares a los otros modelos.
Se puede garantizar que ante diferentes
comportamientos en la composición del alimento, la
condición inicial de estado estable es consistente y
garantiza la obtención de valores adecuados en las
variables del proceso para el caso de estudio evaluado en
este trabajo.
A pesar que para el caso de modelo OCP (Optimal
control problem) presentado se puede garantizar resultados
óptimos y continuos para los modelos DAE de índice
superior (>1), no es posible establecer que dichos modelos
pueden ser utilizados para formulaciones de tipo MPC o
NMPC.
16
Debido a que se ha demostrado que para modelos
NMPC los modelos DAE2 no cumplen con la continuidad
de los valores en las respuestas, la formulación del modelo
DAE2r-método2 muestra ser una opción al momento de
implementar la formulación en este tipo de modelos
(NMPC). Considerando que los resultados muestran
continuidad en el tiempo y bajos tiempos computacionales,
los cuales se deben a la simplicidad del modelo y la
independencia de las relaciones termodinámicas.
Al modificar los valores de alfa se demuestra que
los resultados de los modelos pueden modificar su
precisión. Debido a que dichos valores son importante al
momento de implementar problemas de control predictivo,
se recomienda realizar un estudio para establecer una
metodología de determinación óptima de dichos valores.
Se recomienda realizar modificaciones en la
estructura de la programación (Inicializaciones,
acondicionadores, evaluación de solvers entre otras).
I. NOMENCLATURA
Índices
0 Condición inicial
𝑓 Condición final
𝐹 Propiedad en la corriente de alimentación
𝑖 Elemento del conjunto de componentes
𝐶𝑜𝑚𝑝 = {𝐻2𝑂, 𝐸𝑡𝑂𝐻, 𝐺𝑙𝑦} = {1, … , 𝑛𝑐}
𝑗 Elemento finito
𝑘 Punto de colocación de Radau
𝑛 Etapa de la columna de destilación que
pertenece al conjunto 𝑁𝐸𝑇 = {1,2, … , 𝑛𝑒𝑡}
𝐿 Propiedad en la corriente de líquido
𝑉 Propiedad en la corriente de vapor
Símbolos
𝐴0 Área agujerada del plato (m2)
𝐴𝐶 Área transversal de la columna (m2)
𝐴𝑇 Área activa de la etapa (m2)
𝐶𝐷 Costo de destilado ($/kmol)
𝐶𝑄 Costo de la carga térmica ($/MJ)
𝐶𝑇 Volumen total del equipo, separador (m3)
𝑑𝑎 Diámetro de agujero de los platos (m)
𝐷 Diámetro de la columna (m)
𝐹 Flujo molar de alimentación (kmol/h)
G Gravedad (9.81 m/s2)
ℎ Longitud del elemento finito (-)
ℎ𝑊 Altura del divisor (m)
𝐻 Entalpía específica (MJ/kmol)
𝐾𝑖 Constante de equilibrio de fases (-)
𝑙 Polinomio de Lagrange (-)
𝐿 Flujo molar de líquido (kmol/h)
𝐿𝑊 Longitud de la bajante (downcomer) (m)
𝑀 Acumulación de masa total (kmol)
𝑀𝐿 Acumulación de masa de líquido (kmol)
𝑀𝑉 Acumulación de masa de vapor (kmol)
𝑁𝐶 Número de componentes (-)
𝑝 Pitch entre agujeros del plato (m)
𝑃 Presión (bar)
𝑄 Carga térmica (MJ/h)
𝑄𝐶 Carga del condensador (MJ/h)
𝑄𝑅 Carga del rehervidor (MJ/h)
𝑄𝑚𝑎𝑥 Cambio máximo de la carga térmica entre
cada instante de tiempo (MJ/h)
𝑅 Relación molar de reflujo (-)
𝑡 Tiempo (h)
𝑇 Temperatura (K)
𝑇𝑚𝑎𝑥 Temperatura máxima de operación (K)
𝑢 Vector de variables de control (-)
𝑈 Energía interna (MJ)
𝑉 Flujo molar de vapor (kmol/h)
𝑉𝑂 Valor de operación
𝑉𝑅 Valor de referencia
𝑥𝑚𝑖𝑛(𝑖) Pureza mínima del componente 𝑖 en el
destilado (%)
𝑥(𝑛, 𝑖) Fracción molar corriente líquido (%)
𝑦 Vector de variables diferenciales (-)
𝑦𝑚𝑖𝑛(𝑖) Fracción molar mínima del componente 𝑖
en vapor (%)
𝑦(𝑛, 𝑖) Fracción molar corriente vapor (%)
𝑧 Vector de variables algebraicas (-)
𝑧(𝑖) Fracción molar corriente alimentación (%)
Símbolos griego
𝛾𝑖 Coeficiente de actividad (-)
Δ Cambio respecto a la salida (-)
Δ𝑃𝑛 Caída de presión de la etapa n (bar)
𝜀 Espesor del plato (m)
𝜆 Multiplicador (-)
𝜌 Densidad (kmol/m3)
𝜏 Representación del tiempo en colocación
ortogonal (-)
17
Glosario
BDF: Backward Differentiation Formula, Método numérico implícito utilizado para la integración numérica de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
CONOPT: Solver utilizado para la solución de problemas de optimización no lineales de gran escala, basado en el
método GRG
DAE: Sistema de ecuaciones algebraicas y diferenciales utilizado para la descripción de modelos dinámicos.
GAMS: The General Algebraic Modeling System, lenguaje de alto nivel (Problemas de gran tamaño, alta velocidad y
eficiencia) de modelamiento matemático.
GRG: Gradiente Reducido Generalizado, Método de solución de problemas restringidos no lineales de
optimización.
MPC: Estrategia de control predictivo basado en modelos lineales de optimización. Usa para su solución las
respuestas sucesivas de los problemas de control óptimo.
NMPC: Estrategia de control predictivo basado en modelos no lineales de optimización. Usa para su solución las
respuestas sucesivas de los problemas de control óptimo.
ODE: Ordinary Differential Equations, Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
OCP: Optimal Control Problem, Problemas de control óptimo basados en modelos dinámicos.
SQP: Sequential Quadratic Programming, Método iterativo para la solución de problemas de optimización no
lineales y restringidos.
Agradecimientos
A la Universidad de los Andes y especialmente al departamento de Ingeniería Química.
A Dios y mi familia por el apoyo incondicional.
Al Doctor Jorge Mario Gómez, mi asesor y director de este trabajo, por su entrega a mi tesis y por enseñarme a ser una buena
investigadora mediante su ejemplo.
De manera muy especial al Doctor Lorenz T. Biegler por su apoyo incondicional en el conocimiento matemático en la
investigación de modelos dinámicos.
Con cariño al Doctor Ignacio Grossmann por su dirección durante mi pasantía, enseñanza y dedicación para mi aprendizaje no
solo los diferentes temas de la optimización, sino en mi crecimiento como investigadora y persona.
18
Anexo A: Relaciones hidráulicas utilizadas para el cálculo de los flujos de líquido y vapor en la columna
de destilación.
Las relaciones hidráulicas utilizadas para determinar los flujos de líquido y de vapor de cada etapa de la columna
de destilación parten de correlaciones y relaciones empíricas, por ello se indican las unidades de las variables
en corchetes cuadrados ([]). Las relaciones presentadas fueron tomadas de las referencias [35], [36].
Factor de flujo
𝐹𝑃(𝑛) =𝐿𝑛 𝜌𝐿⁄
𝑉𝑛 𝜌𝑉⁄(
𝜌𝐿[𝑘𝑔/𝑚3]
𝜌𝑉[𝑘𝑔/𝑚3])
1/2
, ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.1)
Acumulación de líquido (Ecuación algebraica para el flujo de líquido)
𝑀𝐿(𝑛) = 0.6𝜌𝐿(𝐴𝑇)(ℎ𝑊0.5) (
𝐹𝑃(𝑛)𝐴𝑇𝑝
𝐿𝑊
)
0.25
, ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.2)
Acumulación de vapor
𝑀𝑉(𝑛)
𝜌𝑉
+𝑀𝐿(𝑛)
𝜌𝐿
=𝜋ℎ𝑊𝐷2
4, ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.3)
Factor de aireación
𝑓𝑎(𝑛) = 0.981 exp (−0.411 (𝑉𝑛
𝜌𝑉
[𝑚3 𝑠⁄ ]) (𝜌𝑉[𝑘𝑔 𝑚3])0.5 (1
𝐴𝑇
)⁄ ), ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.4)
Altura de líquido por encima del divisor
ℎ𝐷(𝑛) = 0.6 ((𝐿𝑛
𝜌𝐿
[𝑚3 𝑠⁄ ]) (1
𝐿𝑊
) )
2/3
, ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.5)
Caída de presión por la presencia de líquido
∆𝑃𝐿(𝑛)[𝑏𝑎𝑟] =𝑔𝑓𝑎(𝑛)(𝜌𝐿[𝑘𝑔 𝑚3⁄ ])(ℎ𝐷(𝑛) + ℎ𝑊)
1x105, ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.6)
Coeficiente de orificio
𝐾0 = (1x10−3) (880.6 − 67.7𝑑𝑎
𝜀+ 7.32 (
𝑑𝑎
𝜀)
2
− 0.338 (𝑑𝑎
𝜀)
3
) (A.7)
Porosidad del plato
𝑝𝑜 =𝐴0
𝐴𝑇
(A.8)
Caída de presión por plato seco
∆𝑃𝑆(𝑛)[𝑏𝑎𝑟] =1x10−5
2𝐾02 (
1
𝐴0
𝑉(𝑛)
𝜌𝑣[𝑚3 𝑠]⁄ )
2(𝜌𝑉[𝑘𝑔 𝑚3]⁄ )(1 − 𝑝𝑜
2), ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.9)
Caída de presión total (Ecuación algebraica para el flujo de vapor)
∆𝑃(𝑛) = ∆𝑃𝑆(𝑛) + ∆𝑃𝐿(𝑛), ∀𝑛 =∈ {2 . . . 𝑛𝑒𝑡 − 1} (A.10)
19
Anexo B: Modelo algebro diferencial DAE de índice 2.
Balances de materia total
𝑑𝑀(𝑛)
𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) (1 +
1
𝑅) = 0, ∀ 𝑛 = 1 (B.1)
𝑑𝑀(𝑛)
𝑑𝑡= 𝐹(𝑛) + 𝐿(𝑛 − 1) + 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) − 𝑉(𝑛), ∀ 𝑛 ∈ {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1} (B.2)
𝑑𝑀(𝑛)
𝑑𝑡= 𝐿(𝑛 − 1) − 𝐿(𝑛) − 𝑉(𝑛) = 0, ∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡 (B.3)
Balances de materia parcial
𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑑𝑥(𝑛, 𝑖)
𝑑𝑡= 𝑦(𝑛 + 1, 𝑖)𝑉(𝑛 + 1) − 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛, 𝑖) (1 +
1
𝑅), ∀𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = 1 (B.4)
𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑑𝑥(𝑛, 𝑖)
𝑑𝑡= 𝐹(𝑛)(𝑧(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)) + 𝐿(𝑛 − 1)(𝑥(𝑛 − 1, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖))
+ 𝑉(𝑛 + 1)(𝑦(𝑛 + 1, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)) − 𝑉(𝑛)(𝑦(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖))
∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}
(B.5)
𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑑𝑥(𝑛, 𝑖)
𝑑𝑡= 𝑥(𝑛 − 1, 𝑖)𝐿(𝑛 − 1) − 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛) − 𝑦(𝑛, 𝑖)𝑉(𝑛),
∀𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡
(B.6)
Balances de energía
𝑑𝑈(𝑛)
𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1)𝐻𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) (1 +
1
𝑅) 𝐻𝐿(𝑛) − 𝑄𝐶 , ∀ 𝑛 = 1 (B.7)
𝑑𝑈(𝑛)
𝑑𝑡= 𝐻𝐹(𝑛)𝐹(𝑛) + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1) + 𝐻𝑉(𝑛 + 1)𝑉(𝑛 + 1) − 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛 + 1)
− 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),
∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}
(B.8)
𝑑𝑈(𝑛)
𝑑𝑡= 𝑄𝑅 + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1) − 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛), ∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡 (B.9)
Sumatoria
∑ 𝑦(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)
𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝
= 0, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (B.10)
Equilibrio de fases
𝑦(𝑛, 𝑖) = 𝐾(𝑛, 𝑖)𝑥(𝑛, 𝑖), ∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (B.11)
Energía interna
𝑈(𝑛) = 𝐻𝐿(𝑛)𝑀𝐿(𝑛), ∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (B.12)
Flujo de líquido
𝐿(𝑛) = 𝑓(𝑀𝐿(𝑛), 𝑉(𝑛)), ∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1} (B.13)
20
Anexo C: Descripción de las ecuaciones involucradas en el cálculo de propiedades físicas y en la reducción
de índice de los modelos.
Se debe aclarar que tanto las ecuaciones de las propiedades físicas como los parámetros correspondientes se
obtiene de Aspen Properties ®
Entalpía específica de vapor para cada componente
𝐻𝑉𝑖 = 𝐶1𝑐𝑖(𝑇 − 𝑇𝑟𝑒𝑓) +𝐶2𝑐𝑖
2(𝑇2 − 𝑇𝑟𝑒𝑓
2 ) +𝐶3𝑐𝑖
3(𝑇3 − 𝑇𝑟𝑒𝑓
3 ) +𝐶4𝑐𝑖
4(𝑇4 − 𝑇𝑟𝑒𝑓
4 )
+𝐶5𝑐𝑖
5(𝑇5 − 𝑇𝑟𝑒𝑓
5 ) +𝐶6𝑐𝑖
6(𝑇6 − 𝑇𝑟𝑒𝑓
6 ) + 𝐻𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛,𝑖
(C.1)
Derivada de la entalpía específica de vapor de cada componente respecto a la temperatura
𝑑𝐻𝑉𝑖
𝑑𝑇= 𝐶𝑝𝑖 = 𝐶1𝑐𝑖 + 𝐶2𝑐𝑖𝑇 + 𝐶3𝑐𝑖𝑇
2 + 𝐶4𝑐𝑖𝑇3 + 𝐶5𝑐𝑖𝑇
4 + 𝐶6𝑐𝑖𝑇5 (C.2)
Entalpía específica de la fase vapor
𝐻𝑉 = ∑ 𝑦𝑖𝐻𝑉𝑖
𝑁𝐶
𝑖=1
(C.3)
Entalpía de vaporización de cada componente
∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖 = 𝐶1𝑣𝑖(1 − 𝑇𝑟𝑖)𝐶2𝑣𝑖+𝐶3𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖+𝐶4𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖2 +𝐶5𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖
3
𝑇𝑟𝑖 =𝑇
𝑇𝑐𝑖
(C.4)
Derivada de la entalpía de vaporización de cada componente respecto a la temperatura
𝑑∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖
𝑑𝑇=
∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖
𝑇𝑐𝑖
{(𝐶3𝑖𝑣 + 2𝐶4𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖 + 3𝐶5𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖2 )𝐿𝑛(𝐶1𝑣𝑖(1 − 𝑇𝑟𝑖))
−𝐶2𝑣𝑖 + 𝐶3𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖 + 𝐶4𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖
2 + 𝐶5𝑣𝑖𝑇𝑟𝑖3
1 − 𝑇𝑟𝑖
}
(C.5)
Entalpía específica de líquido por componente
𝐻𝐿𝑖 = 𝐻𝑉𝑖 − ∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖 (C.6)
Derivada de la entalpía específica de líquido por componente respecto a la temperatura
𝑑𝐻𝐿𝑖
𝑑𝑇=
𝑑𝐻𝑉𝑖
𝑑𝑇−
𝑑∆𝐻𝑣𝑎𝑝,𝑖
𝑑𝑇 (C.7)
Entalpía específica de la fase líquida
𝐻𝐿 = ∑ 𝑥𝑖𝐻𝐿𝑖
𝑁𝐶
𝑖=1
(C.8)
Derivada de la entalpía específica de la fase líquida respecto al tiempo
𝑑𝐻𝐿
𝑑𝑡= ∑ [𝑥𝑖
𝑑𝐻𝐿𝑖
𝑑𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑡+
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡𝐻𝐿𝑖] =
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑁𝐶
𝑖=1
[∑ 𝑥𝑖
𝑑𝐻𝐿𝑖
𝑑𝑇
𝑁𝐶
𝑖=1
] + ∑𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡𝐻𝐿𝑖
𝑁𝐶
𝑖=1
(C.9)
Presión de saturación
𝐿𝑛(𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡) = 𝐶1𝑝𝑖 +
𝐶2𝑝𝑖
𝑇 + 𝐶3𝑝𝑖
+ 𝐶4𝑝𝑖𝑇 + 𝐶5𝑝𝑖𝐿𝑛(𝑇) + 𝐶6𝑝𝑖𝑇𝐶7𝑝𝑖 (C.10)
Derivada de la presión de saturación respecto a la temperatura
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇= 𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡 [−𝐶2𝑝𝑖
(𝑇 + 𝐶3𝑝𝑖)2 + 𝐶4𝑝𝑖 +
𝐶5𝑝𝑖
𝑇+ 𝐶7𝑝𝑖𝐶6𝑝𝑖𝑇
𝐶7𝑝𝑖 − 1] (C.11)
21
Constante de equilibrio de fases (idealidad en la fase vapor)
𝐾𝑖 =𝛾𝑖𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡
𝑃 (C.12)
Derivada de la constante de equilibrio respecto al tiempo
𝑑𝐾𝑖
𝑑𝑡=
1
𝑃[𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡𝑑𝛾𝑖
𝑑𝑡+ 𝛾𝑖
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑡] (C.13)
Coeficiente de actividad (NRTL)
𝐿𝑛(𝛾𝑖) =𝐶𝑖
𝑆𝑖
+ ∑ 𝑥𝑘𝜀𝑖𝑘
𝑁𝐶
𝑘=1
(C.14.a)
𝜀𝑖𝑘 =𝐺𝑖𝑘
𝑆𝑘
(𝜏𝑖𝑘 −𝐶𝑘
𝑆𝑘
) (C.14.b)
𝐶𝑖 = ∑ 𝑥𝑗𝐺𝑗𝑖𝜏𝑗𝑖
𝑁𝐶
𝑗=1
(C.14.c)
𝑆𝑖 = ∑ 𝑥𝑗𝐺𝑗𝑖
𝑁𝐶
𝑗=1
(C.14.d)
𝐺𝑖𝑗 = exp(−𝛼𝑖𝑗𝜏𝑖𝑗) (C.14.e)
𝜏𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 +𝑏𝑖𝑗
𝑇 (C.14.f)
Derivada del coeficiente de actividad respecto al tiempo
𝑑𝛾𝑖
𝑑𝑡=
𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)
𝜕𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑡 + ∑
𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)
𝜕𝑥𝑗
𝑁𝐶
𝑗=1
𝑑𝑥𝑗
𝑑𝑡 (C.15)
Derivada parcial del coeficiente de actividad respecto a la temperatura (perturbación numérica)
𝜕𝛾𝑖
𝜕𝑇≈
𝛾𝑖(𝑇 + ∆𝑇) − 𝛾𝑖(𝑇)
∆𝑇 (C.16)
Derivada parcial del coeficiente de actividad respecto a la composición (perturbación numérica)
𝜕𝛾𝑖
𝜕𝑥𝑗
≈𝛾𝑖(𝑥𝑗 + ∆𝑥𝑗) − 𝛾𝑖(𝑥𝑗)
∆𝑥𝑗
(C.17)
La derivada de la temperatura respecto al tiempo se calcula a partir de la ecuación de sumatoria
∑(𝑦𝑖 − 𝑥𝑖) = 0
𝑁𝐶
𝑖=1
(C.18)
∑(𝐾𝑖𝑥𝑖 − 𝑥𝑖) = [∑(𝐾𝑖𝑥𝑖)
𝑁𝐶
𝑖=1
] − 1 =
𝑁𝐶
𝑖=1
0 (C.19)
𝑑
𝑑𝑡{[∑(𝐾𝑖𝑥𝑖)
𝑁𝐶
𝑖=1
] − 1} = 0 (C.20)
∑ [(𝐾𝑖
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡) + (𝑥𝑖
𝑑𝐾𝑖
𝑑𝑡)]
𝑁𝐶
𝑖=1
= 0 (C.21)
∑ (𝐾𝑖
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡) + ∑ (𝑥𝑖
𝑑𝐾𝑖
𝑑𝑡)
𝑁𝐶
𝑖=1
𝑁𝐶
𝑖=1
= ∑ (𝐾𝑖
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡) + ∑ (𝑥𝑖
1
𝑃[𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡𝑑𝛾𝑖
𝑑𝑡+ 𝛾𝑖
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑡])
𝑁𝐶
𝑖=1
𝑁𝐶
𝑖=1
= 0 (C.22)
22
∑ (𝐾𝑖
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡) +
1
𝑃∑ 𝑥𝑖𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡 [𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)
𝜕𝑇
𝑑𝑇
𝑑𝑡 + ∑
𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)
𝜕𝑥𝑗
𝑁𝐶
𝑗=1
𝑑𝑥𝑗
𝑑𝑡]
𝑁𝐶
𝑖=1
+1
𝑃
𝑑𝑇
𝑑𝑡∑ 𝑥𝑖𝛾𝑖
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇
𝑁𝐶
𝑖=1
𝑁𝐶
𝑖=1
= 0
(C.23)
∑ (𝐾𝑖
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡) +
1
𝑃
𝑑𝑇
𝑑𝑡 ∑ 𝑥𝑖𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)
𝜕𝑇
𝑁𝐶
𝑖=1
+1
𝑃∑ [𝑥𝑖𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡 ∑𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)
𝜕𝑥𝑗
𝑁𝐶
𝑗=1
𝑑𝑥𝑗
𝑑𝑡]
𝑁𝐶
𝑖=1
𝑁𝐶
𝑖=1
+1
𝑃
𝑑𝑇
𝑑𝑡∑ 𝑥𝑖𝛾𝑖
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇
𝑁𝐶
𝑖=1
= 0
(C.24)
1
𝑃
𝑑𝑇
𝑑𝑡(∑ 𝑥𝑖𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)
𝜕𝑇
𝑁𝐶
𝑖=1
+ ∑ 𝑥𝑖𝛾𝑖
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇
𝑁𝐶
𝑖=1
)
= −1
𝑃∑ [𝑥𝑖𝑃𝑖
𝑠𝑎𝑡 ∑𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)
𝜕𝑥𝑗
𝑁𝐶
𝑗=1
𝑑𝑥𝑗
𝑑𝑡]
𝑁𝐶
𝑖=1
− ∑ (𝐾𝑖
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡)
𝑁𝐶
𝑖=1
(C.25)
𝑑𝑇
𝑑𝑡=
−1𝑃
∑ [𝑥𝑖𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡 ∑
𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)𝜕𝑥𝑗
𝑁𝐶𝑗=1
𝑑𝑥𝑗
𝑑𝑡]
𝑁𝐶𝑖=1 − ∑ (𝐾𝑖
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝑡)
𝑁𝐶𝑖=1
1𝑃
(∑ 𝑥𝑖𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡 𝜕𝛾𝑖(𝑥𝑗 , 𝑇)
𝜕𝑇𝑁𝐶𝑖=1 + ∑ 𝑥𝑖𝛾𝑖
𝑑𝑃𝑖𝑠𝑎𝑡
𝑑𝑇𝑁𝐶𝑖=1 )
(C.26)
23
Anexo D: Modelo algebro diferencial DAE de índice 1, obtenido por el método 2.
Balances de materia total
𝑑𝑀(𝑛)
𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) (1 +
1
𝑅) = 0,
∀ 𝑛 = 1
(D.1)
𝑑𝑀(𝑛)
𝑑𝑡= 𝐹(𝑛) + 𝐿(𝑛 − 1) + 𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) − 𝑉(𝑛),
∀ 𝑛 ∈ {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}
(D.2)
𝑑𝑀(𝑛)
𝑑𝑡= 𝐿(𝑛 − 1) − 𝐿(𝑛) − 𝑉(𝑛) = 0,
∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡
(D.3)
Balances de materia parcial
∑𝑦(𝑛 + 1, 𝑖)𝑉(𝑛 + 1) − 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛, 𝑖) (1 +
1𝑅
)
𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝
= 0,
∀𝑛 = 1
(D.4)
∑𝐹(𝑛)(𝑧(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)) + 𝐿(𝑛 − 1)(𝑥(𝑛 − 1, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)) + 𝑉(𝑛 + 1)(𝑦(𝑛 + 1, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)) − 𝑉(𝑛)(𝑦(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖))
𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝
= 0
∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}
(D.5)
∑𝑥(𝑛 − 1, 𝑖)𝐿(𝑛 − 1) − 𝑥(𝑛, 𝑖)𝐿(𝑛) − 𝑦(𝑛, 𝑖)𝑉(𝑛)
𝑀𝐿(𝑛, 𝑖)𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝= 0,
∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡
(D.6)
Balances de energía
𝑑𝑈(𝑛)
𝑑𝑡= 𝑉(𝑛 + 1)𝐻𝑉(𝑛 + 1) − 𝐿(𝑛) (1 +
1
𝑅) 𝐻𝐿(𝑛) − 𝑄𝐶 ,
∀ 𝑛 = 1
(D.7)
𝑑𝑈(𝑛)
𝑑𝑡= 𝐻𝐹(𝑛)𝐹(𝑛) + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1) + 𝐻𝑉(𝑛 + 1)𝑉(𝑛 + 1) − 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛 + 1) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),
∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1}
(D.8)
𝑑𝑈(𝑛)
𝑑𝑡= 𝑄𝑅 + 𝐻𝐿(𝑛 − 1)𝐿(𝑛 − 1) − 𝐻𝐿(𝑛)𝐿(𝑛) − 𝐻𝑉(𝑛)𝑉(𝑛),
∀ 𝑛 = 𝑛𝑒𝑡
(D.9)
Sumatoria
∑ 𝑦(𝑛, 𝑖) − 𝑥(𝑛, 𝑖)
𝑖∈𝐶𝑜𝑚𝑝
= 0,
∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇
(D.10)
Equilibrio de fases
(𝑛, 𝑖) = 𝐾(𝑛, 𝑖)𝑥(𝑛, 𝑖),
∀ 𝑖 ∈ 𝐶𝑜𝑚𝑝, 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (D.11)
Energía interna
𝑈(𝑛) = 𝐻𝐿(𝑛)𝑀𝐿(𝑛),
∀ 𝑛 ∈ 𝑁𝐸𝑇 (D.12)
Flujo de líquido
𝐿(𝑛) = 𝑓(𝑀𝐿(𝑛), 𝑉(𝑛)),
∀ 𝑛 = {2, . . . , 𝑛𝑒𝑡 − 1} (D.13)
24
Anexo E: Graficas de resultados para los casos no expuestos en el documento.
Perturbación caso 1 – Comparación modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Respecto a las variables de control, la relación molar de reflujo toma un comportamiento inverso a la función de
perturbación, es decir, de manera decreciente. Sin embargo, se mantiene alrededor de su punto de operación, mientras que la
carga térmica permanece constante debido a que un aumento o disminución de esta, penaliza la función objetivo en el término
𝑁𝑃𝑡 , de acuerdo a lo anterior se puede concluir que el sistema se puede controlar solo con la relación de reflujo.
Figura 20 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 1, modelos
DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Figura 21 Perfil óptimo para la relación molar de reflujo, caso 1,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Figura 23 Figura 22 Perfil óptimo para la carga térmica del rehervidor, caso 1,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Figura 23 Perfil óptimo para la composición de etanol en el destilado,
caso 1, modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Al realizar la comparación de las funciones objetivo obtenidas, se encuentra que los resultados son similares, teniendo
en cuenta que las variables se encuentran en el rango permitido y que en todos los casos se cumple con las restricción de pureza
en el producto.
Cabe resaltar que al evaluar los errores promedio en las variables de todos los platos, estos se encontraron entre
1,2634E-05 y 1,3713E-09 rango.
Perturbación caso 2 – Comparación modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Los resultados obtenidos en el caso 2 muestran resultados que llevan a las mismas discusiones expuestas
anteriormente, es decir, son los mismos desde el punto de vista práctico y por su complejidad y tiempo computacional gastado
es más conveniente para el caso expuesto el uso de modelos más simples. En las gráficas a continuación se muestran los perfiles
obtenidos para el caso 2.
25
Figura 24 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 2, modelos
DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Figura 25 Perfil óptimo para la relación molar de reflujo, caso 2,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Figura 26 Perfil óptimo para la carga térmica del rehervidor, caso 2,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Figura 27 Perfil óptimo para la composición de etanol en el destilado,
caso 2, modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Perturbación caso 6 – Comparación modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
En las gráficas a continuación se muestran los perfiles encontrados para el caso de la perturbación sinusoidal. Al
igual que los casos anteriores los resultados son consistentes y el tiempo computacional gastado por el modelo DAE2r-
método1 es significativamente mayor con respecto a los otros dos.
Figura 28 Perfil óptimo para el flujo de destilado, caso 6, modelos
DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
Figura 29 Perfil óptimo para la relación molar de reflujo, caso 6,
modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
26
Figura 30 Perfil óptimo para la carga térmica del rehervidor, caso 6, modelos DAE1, DAE2 y DAE2r-método1
En los tres modelos presentados en las gráficas anteriores se cumple la restricción de pureza a lo largo de todo el
tiempo de evaluación.
27
REFERENCIAS
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