CÓDIGOSCÓDIGOS
Agrupación Astronómica de Agrupación Astronómica de Huesca, 5 Agosto 2009Huesca, 5 Agosto 2009
Alberto Elduque. Univ. de Zaragoza"Taller de Talento Matemático" es una actividad
extraescolar, pensada para alumnos aficionados a las matemáticas, que quieran pasar un rato discurriendo y sacando lo
mejor de sus cabezas. Está organizado por un grupo de
profesores, tanto de enseñanza secundaria como de la Universidad
de Zaragoza.
CÓDIGOCÓDIGO 1. 1. Conjunto de normas legales Conjunto de normas legales
sistemáticas que regulan unitariamente sistemáticas que regulan unitariamente una materia determinada.una materia determinada.
2. 2. Cifra para formular y comprender Cifra para formular y comprender mensajes secretos.mensajes secretos.
3.3. Combinación de signos que tiene un Combinación de signos que tiene un determinado valor dentro de un sistema determinado valor dentro de un sistema establecido. establecido. (Códigos de seguridad)(Códigos de seguridad)
……
Códigos de seguridadCódigos de seguridadLa letra del DNILa letra del DNI
Dividir el número del DNI por 23 Dividir el número del DNI por 23 ¿qué resto da?¿qué resto da?
Según el resto asignar la letra:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11T R W A G M Y F P D X B
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 N J Z S Q V H L C K E
EjemploEjemplo
99999999 : 23 = 4347826,0434782608…99999999 : 23 = 4347826,0434782608…
4347826 x 23 = 99999984347826 x 23 = 9999998
99999999 – 99999998 = 1 99999999 – 99999998 = 1 Resto = Resto = 11
Aritmética modular (o del Aritmética modular (o del reloj)reloj)
Resto al dividir por 2: Resto al dividir por 2: 0 0 (par) ó (par) ó 11 (impar). (impar).
xx 00 11
00 00 00
11 00 11
++ 00 11
00 00 11
11 11 00
Se escribe 15 = 1 Se escribe 15 = 1 (mod 2)(mod 2) ó 26 = 0 ó 26 = 0 (mod 2)(mod 2)
Aritmética modular (o del Aritmética modular (o del reloj)reloj)
Resto al dividir por 3: Resto al dividir por 3: 0 0 , , 1 1 óó 2. 2.
++ 00 11 22
00 00 11 22
11 11 22 00
22 22 00 11
xx 00 11 22
00 00 00 00
11 00 11 22
22 00 22 11
Se escribe por ejemplo 16 = 1 Se escribe por ejemplo 16 = 1 (mod 3)(mod 3)
Aritmética modular (o del Aritmética modular (o del reloj)reloj)
En un reloj los restos son 0, 1, 2… 11. En un reloj los restos son 0, 1, 2… 11.
Por ejemplo, 15 = 3 Por ejemplo, 15 = 3 (mod 12)(mod 12) ó 21 = 9 ó 21 = 9 (mod (mod 12)12)
Primero se acuerda el Primero se acuerda el módulomódulo y luego con y luego con los restos al dividir por ese los restos al dividir por ese módulomódulo se se confeccionan las tablas de operaciones. confeccionan las tablas de operaciones.
ISBN ISBN ((International Standar Book Number)
Hasta 2007, el ISBN constaba de 10 dígitos divididos en 4 partes de longitud variable: país, editor, título y código de control.
AcertijoAcertijo
CADA AÑO, UN REY AFICIONADO A LAS CADA AÑO, UN REY AFICIONADO A LAS MATEMÁTICAS, RECIBE DE LOS 10 NOBLES QUE MATEMÁTICAS, RECIBE DE LOS 10 NOBLES QUE FORMAN SU CORTE UN SACO DE MONEDAS DE FORMAN SU CORTE UN SACO DE MONEDAS DE ORO. CADA MONEDA PESA 10 GRAMOS. UN AÑO, ORO. CADA MONEDA PESA 10 GRAMOS. UN AÑO, UN NOBLE DECIDE ESTAFAR AL REY DÁNDOLE UN NOBLE DECIDE ESTAFAR AL REY DÁNDOLE MONEDAS QUE PESAN 9 GRAMOS. MONEDAS QUE PESAN 9 GRAMOS.
EL ESPÍA DEL REY LE ADVIERTE QUE ALGUIEN LE EL ESPÍA DEL REY LE ADVIERTE QUE ALGUIEN LE ESTÁ ENGAÑANDO. HACIENDO ESTÁ ENGAÑANDO. HACIENDO UNA SOLA UNA SOLA PESADAPESADA EN UNA BALANZA, EL REY DESCUBRE AL EN UNA BALANZA, EL REY DESCUBRE AL ESTAFADOR, ESTAFADOR, ¿CÓMO LO HA HECHO?¿CÓMO LO HA HECHO?
El rey pesó:
1 Moneda del Primer noble2 Monedas del Segundo noble3 Monedas del Tercer noble..9 Monedas del Noveno noble10 Monedas del Décimo noble
Hay en total 55 monedas. Si fueran todas verdaderas pesarían 550 gramos.
Si pesan 549, el estafador es el primer noble, si pesan 548 el segundo…
Número de control del ISBN
Ejemplo: 0 13 041717
(0 × 1) + (1 × 2) + (3 × 3) + (0 × 4) + (4 × 5)+ (1 × 6) + (7 × 7) + (1 × 8) + (7 × 9) = 157 =
= D (mod 11)
Si D=0,1…9 se pone ese número. Si D=10 se pone una X. (Por eso, aproximadamente 1 de cada 11 libros acaba en X).
En el ejemplo, 11 x 14 = 154, luego D=3.
Cifrar y descifrar mensajesCifrar y descifrar mensajes
El código de Julio César El código de Julio César
Si tenía que decir algo confidencial, lo Si tenía que decir algo confidencial, lo escribía usando el cifrado, esto es, escribía usando el cifrado, esto es, cambiando el orden de las letras del cambiando el orden de las letras del alfabeto, para que ni una palabra pudiera alfabeto, para que ni una palabra pudiera entenderse. Si alguien quiere decodificarlo, entenderse. Si alguien quiere decodificarlo, y entender su significado, debe sustituir la y entender su significado, debe sustituir la cuarta letra del alfabeto, es decir, la D por la cuarta letra del alfabeto, es decir, la D por la A, y así con las demás.A, y así con las demás.
Suetonio, Vida de Julio Suetonio, Vida de Julio CésarCésar
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
WXWDPELHQEUXWR
TU TAMBIEN BRUTO
MENSAJE DE JULIO CÉSAR:
Con aritmética del reloj
Cifrar: C=M+3 (mod 26)Descifrar: M=C-3 (mod 26)
C= Número del mensaje cifradoM= Número del mensaje real
¿Qué significa?
Ejemplo más difícil: Clave a=3, b=2
Cifrado: C=3 M+2 (mod 26)
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
MENSAJE: HOLA
H=7H=7 7x3+2=23 7x3+2=23 (mod 26) 23=X23=X
0=140=14 14x3+2=44=18 14x3+2=44=18 (mod 26)
18=S18=S
L=11L=11 11x3+2=35=9 11x3+2=35=9 (mod 26)
9=J9=J
A=0A=0 0x3+2=2 0x3+2=2 (mod 26) 2=C2=C
Mensaje Cifrado: XSJC
Descifrado: M=(C-2):3 (mod 26)
Cifrado: C=3 M+2 (mod 26)
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Propiedad crucial 9x3=27=1 (mod 26)
Dividir por 3 es multiplicar por 9X=23X=23 (23-2)x9=189=7 (23-2)x9=189=7 (mod
26) 7=H7=H
S=18S=18 (18-2)x9=144=14 (18-2)x9=144=14 (mod 26)
14=O14=O
J=9J=9 (9-2)x9=63=11 (9-2)x9=63=11 (mod 26) 11=L11=L
C=2C=2 (2-2)x9=0 (2-2)x9=0 (mod 26) 0=A0=A
En resumen:
En este cifrado por sustitución monoalfabético (una letra es sustituída por otra), el emisor y el receptor han de ponerse de acuerdo en la clave (a,b). P. ej. César, a=1, b=3.
Para cifrar se hace
C=a M+b (mod 26)
y para descifrarlo el receptor
M=(C-b):a (mod 26)
Sherlock Holmes debe descifrar un mensaje en su aventura
"La aventura de los hombres danzantes"
Manuel González RodríguezUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria.
Romper un mensaje secreto (monoalfabético)
Análisis de frecuenciasAnálisis de frecuencias de las letras de las letras Mejor con un texto largoMejor con un texto largo
E - 16,78% R - 4,94% Y - 1,54% J - 0,30%
A - 11,96% U - 4,80% Q - 1,53% Ñ - 0,29%
O - 8,69% I - 4,15% B - 0,92% Z - 0,15%
L - 8,37% T - 3,31% H - 0,89% X - 0,06%
S - 7,88% C - 2,92% G - 0,73% K - 0,00%
N - 7,01% P - 2,77% F - 0,52% W - 0,00%
D - 6,87% M - 2,12% V - 0,39% -
Distribución de frecuencias de letras en español para un texto literario
EJEMPLO: EJEMPLO:
Mensaje cifrado: Mensaje cifrado:
HA UHB KD AAHJDGRHA UHB KD AAHJDGR
E - 16,78% R - 4,94% Y - 1,54% J - 0,30%
A - 11,96% U - 4,80% Q - 1,53% Ñ - 0,29%
O - 8,69% I - 4,15% B - 0,92% Z - 0,15%
L - 8,37% T - 3,31% H - 0,89% X - 0,06%
S - 7,88% C - 2,92% G - 0,73% K - 0,00%
N - 7,01% P - 2,77% F - 0,52% W - 0,00%
D - 6,87% M - 2,12% V - 0,39% -
EEA UA UEEB KD B KD AAAAEEJDGRJDGR
ELEL U UEEB KD B KD LLELLEJDGRJDGR
ELEL U UEEB KB KAA LLELLEJJAAGRGR
ELEL REY HA REY HA LLEGADOLLEGADO
La Cifra General de Felipe II
La Cifra General de 1556 era usada paracomunicarse con los miembros del gobierno en el extranjero.
© Arturo Quirantes Sierra www.cripto.es
La Cifra General de Felipe II solamente se mantuvo secreta durante unos tres meses. Confiado en lo inviolable de su clave la continuó usando hasta 1590.
“Habiéndose interceptado en Francia algunas cartas de España, escritas con caracteres voluntarios, en que se añadía
la precaución de variar diferentes alfabetos dentro de una misma carta, lo que parece hacía absolutamente imposible la
inteligencia a quien no tuviese la clave [...]. Muchos juzgaron esta hazaña superior a toda humana industria, y según refiere Jacobo Augusto Thuano, los Españoles dieron algunas quejas en Roma, de que los
Franceses usaban de artes diabólicas para penetrar sus secretos.” Padre Feijoo
François Viéte 1540-1603
“Pero la verdad era, que no había intervenido en este negocio más diablo que un espíritu de rara comprensión, y sutileza, ayudado de una aplicación infatigable; pues se cuenta de este raro hombre, que algunas veces sucedió estarse tres días con sus noches embelesado en sus especulaciones Matemáticas, sin comer, ni dormir, salvo un brevísimo reposo que tomaba, reclinándose sobre el brazo de la silla” Padre Feijoo
Cifrados polialfabéticos
Blaise de Vigenère (1523 - 1596)
le chiffre indéchiffrable
Clave = HIELO
CIFRADO
Charles Babbage (1791 - 1871)
© La güeb de Joaquin. Criptografía.
Buscar secuencias de letras que aparecen más de una vez en el texto cifrado.
Romper el cifrado
WCXYM se repite con un espacio de 20 letras.
PSDLP se repite con un espacio de 5 letras.
Es posible que una misma secuencia del mensaje haya sido cifrado con una misma parte de la clave.
Es posible que la clave tenga 5 letras
Si la clave tiene 5 letras, las letras en posición
1,6,11,16,21,26,31…
han sido cifradas con un sistema de sustitución monoalfabético.
A esas letras seleccionadas se les hace un análisis de frecuencias.
El sistema polialfabético se puede reducir a uno monoalfabético.
Criptografía en la guerra civil españolaCriptografía en la guerra civil españolaRef: Arturo Quirantes
Sierra
Clave Violeta usada por el 415 batallón, 104 Brigada republicanay capturada por el bando nacional.
Código usado por la Guardia Civil
Código o criptógrafo de cinta
Mensaje nacional captado por los republicanos (cifrar parte del mensaje no es buena idea)
Ron Rivest
Adi Shamir
Leonard Adleman
R.S.A.
SISTEMA DE CLAVE PÚBLICA
Cifrar con clave pública
Descifrar con clave privada
Útil para comunicación entre p. ej. un banco y sus clientes.
Usuarios de Internet (2008):
1.6 x 109
Claves necesarias (privadas):
1.28 x 1018
R.S.A.
El banco genera dos números primos grandes (p.ej. de El banco genera dos números primos grandes (p.ej. de 100 cifras) 100 cifras) pp y y qq. Hace la operación . Hace la operación n = p x qn = p x q
El banco elige dos números El banco elige dos números ee y y dd tales que tales que e x d = 1 e x d = 1 (mod n)(mod n)
El banco hace públicos El banco hace públicos n y e n y e (clave pública) y se guarda (clave pública) y se guarda dd (clave privada). (clave privada).
Teorema:Teorema: Hallar Hallar dd es equivalente a hallar es equivalente a hallar pp y y qq..
Con la clave Con la clave n,e n,e los mensajes al banco los mensajes al banco se codifican mediante C=Mse codifican mediante C=Mee (mod n)(mod n)
Para leerlo el banco usa su clave Para leerlo el banco usa su clave privada privada dd
CCdd=(M=(Mee))dd = M = M (mod n) (mod n)
Luego M= CLuego M= Cd d (mod n) (mod n)
Cualquier otra persona que quiera leer Cualquier otra persona que quiera leer el mensaje ha de conocer el mensaje ha de conocer dd, es decir, , es decir, ha de conocer ha de conocer pp y y qq
Con este sistema, cifrar un mensaje es muy sencilloCon este sistema, cifrar un mensaje es muy sencillo(la clave es pública).(la clave es pública). Tan sólo hay que hacer Tan sólo hay que hacerunas multiplicaciones.unas multiplicaciones.
Para romper el mensaje hay que encontrar los Para romper el mensaje hay que encontrar los factores factores primosprimos del número del número n n (que tiene 100 cifras).(que tiene 100 cifras).
Si Si nn es pequeño, es fácil p.ej. es pequeño, es fácil p.ej. n=60=2n=60=222 x 3 x 5 x 3 x 5
Pero actualmente, hallar la factorización de un Pero actualmente, hallar la factorización de un número es un número es un problema que requiere un tiempo problema que requiere un tiempo exponencialexponencial en el en el número número de cifras, en nuestro caso del orden de 10de cifras, en nuestro caso del orden de 10100100 u.t. u.t.
(el número de partículas elementales del universo es (el número de partículas elementales del universo es deldelorden de 10orden de 107979). ).
