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producto exterior
Formas diferenciales
Jana Rodriguez Hertz
Clculo 3
IMERL
4 de junio de 2012
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producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales
qu son?
http://find/http://goback/ -
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producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales
qu son?
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producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales
qu son?
formas diferencialesun objeto matemtico abstracto
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producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales
para qu sirven?
d i
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producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales
para qu sirven?
d t t i
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producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales
para qu sirven?
formas diferenciales
para unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola frmula
producto exterior
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producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales
para qu sirven?
formas diferenciales
para unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola frmula
y el teorema fundamental del clculo
producto exterior
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producto exterior
intro
formas diferenciales
formas diferenciales
para qu sirven?
formas diferenciales
para unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola frmula
y el teorema fundamental del clculo
para generalizar estos teoremas a cualquier dimensin
producto exterior
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producto exterior
intro
formas diferenciales
cmo se definen
las definiremos axiomticamente
producto exterior
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producto exterior
0-formas
0-formas
0-formauna0-formasobre R3 abierto
producto exterior
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producto exterior
0-formas
0-formas
0-formauna0-formasobre R3 abierto
es una funcin
producto exterior
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p
0-formas
0-formas
0-formauna0-formasobre R3 abierto
es una funcin
f : Rsuave (C1 o ms)
producto exterior
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p
0-formas
suma y producto de 0-formas
suma y producto de 0-formas
f, g: R 0-formas
producto exterior
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0-formas
suma y producto de 0-formas
suma y producto de 0-formas
f, g: R 0-formas
f+g 0-forma
producto exterior
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0-formas
suma y producto de 0-formas
suma y producto de 0-formas
f, g: R 0-formas
f+g 0-forma
f.g 0-forma
producto exterior
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0-formas
ejemplo 1
ejemplo 1
f(x, y, z) =xy+yz0-forma
producto exterior
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0-formas
ejemplo 1
ejemplo 1
f(x, y, z) =xy+yz0-forma
g(x, y, z) =ysin xz0-forma
producto exterior
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0-formas
ejemplo 1
ejemplo 1
f(x, y, z) =xy+yz0-forma
g(x, y, z) =ysin xz0-forma
(f+g)(x, y, z) =xy+yz+ysin xz
producto exterior
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0-formas
ejemplo 1
ejemplo 1
f(x, y, z) =xy+yz0-forma
g(x, y, z) =ysin xz0-forma
(f+g)(x, y, z) =xy+yz+ysin xz
(f.g)(x, y, z) =y2xsin xz+y2zsin xz
producto exterior
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1-formas
1-formas bsicas
1-forma bsicauna1-forma bsicase define como:
producto exterior
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1-formas
1-formas bsicas
1-forma bsica
una1-forma bsicase define como:1 dx
producto exterior
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1-formas
1-formas bsicas
1-forma bsica
una1-forma bsicase define como:1 dx2 dy
producto exterior
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1-formas
1-formas bsicas
1-forma bsica
una1-forma bsicase define como:1 dx2 dy3 dz
producto exterior
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1-formas
1-formas
1-formas
una1-formasobre
producto exterior
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1-formas
1-formas
1-formas
una1-formasobrees una combinacin lineal:
=Pdx+Qdy+Rdz
producto exterior
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1-formas
1-formas
1-formas
una1-formasobrees una combinacin lineal:
=Pdx+Qdy+Rdz
conP, Q, R: R
producto exterior
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1-formas
suma de 1-formas
suma de 1-formas
1 =P1dx+Q1dy+R1dz
producto exterior
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1-formas
suma de 1-formas
suma de 1-formas
1 =P1dx+Q1dy+R1dz
2 =P2dx+Q2dy+R2dz
producto exterior
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1-formas
suma de 1-formas
suma de 1-formas
1 =P1dx+Q1dy+R1dz
2 =P2dx+Q2dy+R2dzsumade1 y2
producto exterior
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1-formas
suma de 1-formas
suma de 1-formas
1 =P1dx+Q1dy+R1dz
2 =P2dx+Q2dy+R2dzsumade1 y2
1+2= (P1+P2)dx+ (Q1+Q2)dy+ (R1+R2)dz
producto exterior
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1-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-forma
=Pdz+Qdy+Rdz
producto exterior
1 f
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1-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-forma
=Pdz+Qdy+Rdz
f0-forma
producto exterior
1 f
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1-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-forma
=Pdz+Qdy+Rdz
f0-forma
productodef por
producto exterior
1 formas
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1-formas
producto por una 0-forma
producto por una 0-forma
=Pdz+Qdy+Rdz
f0-forma
productodef por
f.=fPdx+fQdy+fRdz
producto exterior
1 formas
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1-formas
ejemplo 2
ejemplo 2
1 = (x+y2)dx+zydy+exyzdz
producto exterior
1-formas
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1 formas
ejemplo 2
ejemplo 2
1 = (x+y2)dx+zydy+exyzdz
2 =sin ydx+sin xdy
producto exterior
1-formas
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1 formas
ejemplo 2
ejemplo 2
1 = (x+y2)dx+zydy+exyzdz
2 =sin ydx+sin xdy
1+2 = (x+y2 +sin y)dx+ (zy+sin x)dy+exyzdz
producto exterior
1-formas
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o as
ejemplo 3
ejemplo 3
2 =sin ydx+sin xdy
producto exterior
1-formas
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ejemplo 3
ejemplo 3
2 =sin ydx+sin xdyf(x, y, z) =x
producto exterior
1-formas
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ejemplo 3
ejemplo 3
2 =sin ydx+sin xdyf(x, y, z) =x
f2 =xsin ydx+xsin xdy
producto exterior
2-formas
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2-formas bsicas
2-formas bsicas
una2-forma bsicaes:
producto exterior
2-formas
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2-formas bsicas
2-formas bsicas
una2-forma bsicaes:1 dxdy
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producto exterior
2-formas
-
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2-formas bsicas
2-formas bsicas
una2-forma bsicaes:1 dxdy2 dydz3 dzdx
producto exterior
2-formas
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2-formas
2-forma
una2-forma
producto exterior
2-formas
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2-formas
2-forma
una2-forma
es una combinacin lineal
=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
producto exterior
2-formas
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2-formas
2-forma
una2-forma
es una combinacin lineal
=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
conF, G, H : R
producto exterior
2-formas
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suma de 2-formas
suma de 2-formas
1 =F1dxdxy+G1dydz+H1dzdx
producto exterior
2-formas
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suma de 2-formas
suma de 2-formas
1 =F1dxdxy+G1dydz+H1dzdx
2 =F2dxdxy+G2dydz+H2dzdx
producto exterior
2-formas
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suma de 2-formas
suma de 2-formas
1 =F1dxdxy+G1dydz+H1dzdx
2 =F2dxdxy+G2dydz+H2dzdxsuma de 2-formas
producto exterior
2-formas
d 2 f
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suma de 2-formas
suma de 2-formas
1 =F1dxdxy+G1dydz+H1dzdx
2 =F2dxdxy+G2dydz+H2dzdxsuma de 2-formas
1+ 2 = (F1+ F2)dxdy+ (G1+ G2)dydz+ (H1+ H2)dzdx
producto exterior
2-formas
d t 0 f
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producto por 0-forma
producto por 0-forma
=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
producto exterior
2-formas
d t 0 f
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producto por 0-forma
producto por 0-forma
=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
f0-forma
producto exterior
2-formas
d t 0 f
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producto por 0-forma
producto por 0-forma
=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
f0-forma
productodeporf
producto exterior
2-formas
producto por 0 forma
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producto por 0-forma
producto por 0-forma
=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
f0-forma
productodeporf
f.=fFdxdxy+fGdydz+fHdzdx
producto exterior
2-formas
ejemplo 4
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ejemplo 4
ejemplo 4
1 =x2dxdy+y3xdydz+sin zydzdx
producto exterior
2-formas
ejemplo 4
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ejemplo 4
ejemplo 4
1 =x2dxdy+y3xdydz+sin zydzdx
2 =ydydz
producto exterior
2-formas
ejemplo 4
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ejemplo 4
ejemplo 4
1 =x2dxdy+y3xdydz+sin zydzdx
2 =ydydz
1+2=x2dxdy+ (y3x+y)dydz+sin zydzdx
producto exterior
2-formas
ejemplo 5
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ejemplo 5
ejemplo 5
2 =ydydz
producto exterior
2-formas
ejemplo 5
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ejemplo 5
ejemplo 5
2 =ydydz
f(x, y, z) =xy
producto exterior
2-formas
ejemplo 5
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ejemplo 5
ejemplo 5
2 =ydydz
f(x, y, z) =xy
f2=xy2dydz
producto exterior
3-formas
3-formas bsicas
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3 formas bsicas
3-formas bsicas
la3-forma bsica
producto exterior
3-formas
3-formas bsicas
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3 formas bsicas
3-formas bsicas
la3-forma bsicaes
dxdydz
producto exterior
3-formas
3-formas
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3 formas
3-forma
una3-forma
producto exterior
3-formas
3-formas
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3 formas
3-forma
una3-formaes una expresin
=fdxdydz
producto exterior
3-formas
3-formas
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3 o as
3-forma
una3-formaes una expresin
=fdxdydz
dondef : R suave
producto exterior
3-formas
suma de 3-formas
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suma de 3-formas
1=f1dxdydz
producto exterior
3-formas
suma de 3-formas
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suma de 3-formas
1=f1dxdydz
2=f2dxdydz
producto exterior
3-formas
suma de 3-formas
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suma de 3-formas
1=f1dxdydz
2=f2dxdydz
1+2 = (f1+f2)dxdydz
producto exterior
3-formas
producto por una 0-forma
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p p
producto por una 0-forma
=fdxdydz
producto exterior
3-formas
producto por una 0-forma
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producto por una 0-forma
=fdxdydz
g0-forma
producto exterior
3-formas
producto por una 0-forma
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producto por una 0-forma
=fdxdydz
g0-forma
g=gf dxdydz
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producto exterior
3-formas
ejemplo 6
-
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ejemplo 6
1=ydxdydz
2=ex2 dxdydz
producto exterior
3-formas
ejemplo 6
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ejemplo 6
1=ydxdydz
2=ex2 dxdydz
1+2 = (y+ex2 )dxdydz
producto exterior
3-formas
ejemplo 7
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ejemplo 7
1=ydxdydz
producto exterior
3-formas
ejemplo 7
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ejemplo 7
1=ydxdydz
f(x, y, z) =xyz
producto exterior
3-formas
ejemplo 7
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ejemplo 7
1=ydxdydz
f(x, y, z) =xyz
f1=xy2zdxdydz
producto exterior
3-formas
observacin
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observacin
no se puede sumar una i-forma con unaj-forma
sii=j
producto exterior
3-formas
observacin 2
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observacin
cada forma tiene un espacio natural de accin
producto exterior
3-formas
observacin 2
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observacin
cada forma tiene un espacio natural de accin
0-formas puntos
producto exterior
3-formas
observacin 2
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observacin
cada forma tiene un espacio natural de accin
0-formas puntos
1-formas curvas
producto exterior
3-formas
observacin 2
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observacin
cada forma tiene un espacio natural de accin
0-formas puntos
1-formas curvas
2-formas superficies
producto exterior
3-formas
observacin 2
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observacin
cada forma tiene un espacio natural de accin
0-formas puntos
1-formas curvas
2-formas superficies
3-formas subregiones elementales de R3
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvas
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integral de 1-formas sobre curvas
=Pdx+Qdy+Rdz
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvas
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integral de 1-formas sobre curvas
=Pdx+Qdy+Rdz
Ccurva
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvas
http://goforward/http://find/http://goback/ -
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integral de 1-formas sobre curvas
=Pdx+Qdy+Rdz
Ccurva
C
=
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
integral de 1-formas sobre curvas
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integral de 1-formas sobre curvas
=Pdx+Qdy+Rdz
Ccurva
C
=
C
Pdx+Qdy+Rdz
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
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ejemplo 8
=xydx+y2dy+dz
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
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ejemplo 8
=xydx+y2dy+dz
Cparametrizada por(t2, t3, 1)cont [0, 1]
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
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ejemplo 8
=xydx+y2dy+dz
Cparametrizada por(t2, t3, 1)cont [0, 1]
evaluarC
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
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ejemplo 8
=xydx+y2dy+dz
Cparametrizada por(t2, t3, 1)cont [0, 1]
evaluarC
C
=
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
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ejemplo 8
=xydx+y2dy+dz
Cparametrizada por(t2, t3, 1)cont [0, 1]
evaluarC
C
= 1
0
(t52t+t63t2)dt
producto exterior
integral de 1-formas sobre curvas
ejemplo 8
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ejemplo 8
=xydx+y2dy+dz
Cparametrizada por(t2, t3, 1)cont [0, 1]
evaluarC
C
= 1
0
(t52t+t63t2)dt=13
21
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
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integral de 2-formas sobre superficies
=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
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integral de 2-formas sobre superficies
=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
Ssuperficie parametrizada por :D R3
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
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integral de 2-formas sobre superficies
=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
Ssuperficie parametrizada por :D R3
S
=
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
99/124
integral de 2-formas sobre superficies
=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
Ssuperficie parametrizada por :D R3
S
=
S
Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
100/124
integral de 2-formas sobre superficies
S Fdxdy+Gdydz+Hdzdx
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
integral de 2-formas sobre superficies
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
101/124
integral de 2-formas sobre superficies
S Fdxdy+Gdydz+Hdzdx=
S(F, G, H).ndS= ()
() = SF
(x, y)
(u, v)
+G(y, z)
(u, v)
+H(z, x)
(u, v) dudv
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
102/124
ejemplo 9
=z2dxdy
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
http://find/http://goback/ -
7/25/2019 clase18.pdf
103/124
ejemplo 9
=z2dxdy
Ssemiesfera superior de radio 1 en R3
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
http://find/http://goback/ -
7/25/2019 clase18.pdf
104/124
ejemplo 9
=z2dxdy
Ssemiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar
S
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
http://goforward/http://find/http://goback/ -
7/25/2019 clase18.pdf
105/124
ejemplo 9
=z2dxdy
Ssemiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar
S
(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
106/124
ejemplo 9
=z2dxdy
Ssemiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar
S
(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]
S =
D
cos2 u(x,y)(u,v)dudv
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
107/124
ejemplo 9
=z2dxdy
Ssemiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar
S
(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]
S =
D cos2 u
(x,y)(u,v)dudv
(x, y)
(u, v)=
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
108/124
ejemplo 9
=z2dxdy
Ssemiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar
S
(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]
S =
D
cos2 u(x,y)(u,v)dudv
(x, y)
(u, v)=
cos ucos v sin usin vcos usin v sin ucos v
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
ejemplo 9
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
109/124
j p
=z2dxdy
Ssemiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar
S
(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]
S =
D
cos2 u(x,y)(u,v)dudv
(x, y)
(u, v)=
cos ucos v sin usin vcos usin v sin ucos v =sin ucos u
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
110/124
ejemplo 9
=z2dxdy
Ssemiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar
S
(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]
S =
D
cos3 usin ududv
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
111/124
ejemplo 9
=z2dxdy
Ssemiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar
S
(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]
S =
D
cos3 usin ududv= 2 cos4 u
4
2
0
producto exterior
integral de 2-formas sobre superficies
ejemplo 9
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
112/124
ejemplo 9
=z2dxdy
Ssemiesfera superior de radio 1 en R3
encontrar
S
(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]
S =
D
cos3 usin ududv= 2 cos4 u
4
2
0= 2
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
integral de 3-forma sobre regin de R3
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
113/124
integral de 3-forma sobre regin de R3
=fdxdydz
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
integral de 3-forma sobre regin de R3
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
114/124
integral de 3-forma sobre regin de R3
=fdxdydz
R
=
R
f(x, y, z)dxdydz
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
115/124
j p
= (x+z)dxdydz
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
116/124
j p
= (x+z)dxdydz
R= [0, 1]3
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
117/124
= (x+z)dxdydz
R= [0, 1]3
calcular
R
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
118/124
= (x+z)dxdydz
R= [0, 1]3
calcular
R
R
=
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
119/124
= (x+z)dxdydz
R= [0, 1]3
calcular
R
R
=
10
10
10
(x+z)dxdydz
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
120/124
= (x+z)dxdydz
R= [0, 1]3
calcular
R
R
=
10
10
10
(x+z)dxdydz
= 1
0
10
(x+z)dxdz
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
121/124
= (x+z)dxdydz
R= [0, 1]3
calcular
R
R
=
10
10
10
(x+z)dxdydz
= 1
0
10
(x+z)dxdz= 1
0
xz+
z2
21
0dx
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
122/124
= (x+z)dxdydz
R= [0, 1]3
calcular
R
R
=
10
10
10
(x+z)dxdydz
= 1
0
10
(x+z)dxdz= 1
0
xz+
z2
21
0dx
=
10
z+
1
2
dz
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
123/124
= (x+z)dxdydz
R= [0, 1]3
calcular
R
R
=
10
10
10
(x+z)dxdydz
= 1
0
10
(x+z)dxdz= 1
0
xz+
z2
21
0dx
=
10
z+
1
2
dz=
z2
2 +
z
2
10
producto exterior
integral de 3-formas sobre regiones de R3
ejemplo 10
ejemplo 10
http://find/ -
7/25/2019 clase18.pdf
124/124
= (x+z)dxdydz
R= [0, 1]3
calcular
R
R
=
10
10
10
(x+z)dxdydz
= 1
0
10
(x+z)dxdz= 1
0
xz+
z2
21
0dx
=
10
z+
1
2
dz=
z2
2 +
z
2
10
=1
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