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1/124

producto exterior

Formas diferenciales

Jana Rodriguez Hertz

Clculo 3

IMERL

4 de junio de 2012

http://find/

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2/124

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales

qu son?

http://find/http://goback/

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3/124

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales

qu son?

http://find/

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4/124

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales

qu son?

formas diferencialesun objeto matemtico abstracto

http://find/

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5/124

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales

para qu sirven?

d i

http://find/

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6/124

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales

para qu sirven?

d t t i

http://find/

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7/124

producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales

para qu sirven?

formas diferenciales

para unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola frmula

producto exterior

http://find/

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producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales

para qu sirven?

formas diferenciales

para unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola frmula

y el teorema fundamental del clculo

producto exterior

http://find/

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producto exterior

intro

formas diferenciales

formas diferenciales

para qu sirven?

formas diferenciales

para unificar teoremas de Gauss, Green, Stokes en unasola frmula

y el teorema fundamental del clculo

para generalizar estos teoremas a cualquier dimensin

producto exterior

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producto exterior

intro

formas diferenciales

cmo se definen

las definiremos axiomticamente

producto exterior

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producto exterior

0-formas

0-formas

0-formauna0-formasobre R3 abierto

producto exterior

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producto exterior

0-formas

0-formas

0-formauna0-formasobre R3 abierto

es una funcin

producto exterior

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p

0-formas

0-formas

0-formauna0-formasobre R3 abierto

es una funcin

f : Rsuave (C1 o ms)

producto exterior

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p

0-formas

suma y producto de 0-formas

suma y producto de 0-formas

f, g: R 0-formas

producto exterior

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0-formas

suma y producto de 0-formas

suma y producto de 0-formas

f, g: R 0-formas

f+g 0-forma

producto exterior

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0-formas

suma y producto de 0-formas

suma y producto de 0-formas

f, g: R 0-formas

f+g 0-forma

f.g 0-forma

producto exterior

http://find/http://goback/

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0-formas

ejemplo 1

ejemplo 1

f(x, y, z) =xy+yz0-forma

producto exterior

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0-formas

ejemplo 1

ejemplo 1

f(x, y, z) =xy+yz0-forma

g(x, y, z) =ysin xz0-forma

producto exterior

http://goforward/http://find/http://goback/

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0-formas

ejemplo 1

ejemplo 1

f(x, y, z) =xy+yz0-forma

g(x, y, z) =ysin xz0-forma

(f+g)(x, y, z) =xy+yz+ysin xz

producto exterior

http://goforward/http://find/http://goback/

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0-formas

ejemplo 1

ejemplo 1

f(x, y, z) =xy+yz0-forma

g(x, y, z) =ysin xz0-forma

(f+g)(x, y, z) =xy+yz+ysin xz

(f.g)(x, y, z) =y2xsin xz+y2zsin xz

producto exterior

http://find/

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1-formas

1-formas bsicas

1-forma bsicauna1-forma bsicase define como:

producto exterior

http://find/

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1-formas

1-formas bsicas

1-forma bsica

una1-forma bsicase define como:1 dx

producto exterior

http://goforward/http://find/http://goback/

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1-formas

1-formas bsicas

1-forma bsica

una1-forma bsicase define como:1 dx2 dy

producto exterior

http://find/

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1-formas

1-formas bsicas

1-forma bsica

una1-forma bsicase define como:1 dx2 dy3 dz

producto exterior

http://goforward/http://find/http://goback/

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25/124

1-formas

1-formas

1-formas

una1-formasobre

producto exterior

http://goforward/http://find/http://goback/

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1-formas

1-formas

1-formas

una1-formasobrees una combinacin lineal:

=Pdx+Qdy+Rdz

producto exterior

http://find/http://goback/

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1-formas

1-formas

1-formas

una1-formasobrees una combinacin lineal:

=Pdx+Qdy+Rdz

conP, Q, R: R

producto exterior

http://find/

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1-formas

suma de 1-formas

suma de 1-formas

1 =P1dx+Q1dy+R1dz

producto exterior

http://find/

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1-formas

suma de 1-formas

suma de 1-formas

1 =P1dx+Q1dy+R1dz

2 =P2dx+Q2dy+R2dz

producto exterior

http://find/

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30/124

1-formas

suma de 1-formas

suma de 1-formas

1 =P1dx+Q1dy+R1dz

2 =P2dx+Q2dy+R2dzsumade1 y2

producto exterior

http://find/

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31/124

1-formas

suma de 1-formas

suma de 1-formas

1 =P1dx+Q1dy+R1dz

2 =P2dx+Q2dy+R2dzsumade1 y2

1+2= (P1+P2)dx+ (Q1+Q2)dy+ (R1+R2)dz

producto exterior

http://goforward/http://find/http://goback/

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1-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-forma

=Pdz+Qdy+Rdz

producto exterior

1 f

http://find/

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33/124

1-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-forma

=Pdz+Qdy+Rdz

f0-forma

producto exterior

1 f

http://find/

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34/124

1-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-forma

=Pdz+Qdy+Rdz

f0-forma

productodef por

producto exterior

1 formas

http://find/

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35/124

1-formas

producto por una 0-forma

producto por una 0-forma

=Pdz+Qdy+Rdz

f0-forma

productodef por

f.=fPdx+fQdy+fRdz

producto exterior

1 formas

http://find/

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36/124

1-formas

ejemplo 2

ejemplo 2

1 = (x+y2)dx+zydy+exyzdz

producto exterior

1-formas

http://find/

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37/124

1 formas

ejemplo 2

ejemplo 2

1 = (x+y2)dx+zydy+exyzdz

2 =sin ydx+sin xdy

producto exterior

1-formas

http://find/

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38/124

1 formas

ejemplo 2

ejemplo 2

1 = (x+y2)dx+zydy+exyzdz

2 =sin ydx+sin xdy

1+2 = (x+y2 +sin y)dx+ (zy+sin x)dy+exyzdz

producto exterior

1-formas

http://find/

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39/124

o as

ejemplo 3

ejemplo 3

2 =sin ydx+sin xdy

producto exterior

1-formas

http://find/

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ejemplo 3

ejemplo 3

2 =sin ydx+sin xdyf(x, y, z) =x

producto exterior

1-formas

http://find/

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41/124

ejemplo 3

ejemplo 3

2 =sin ydx+sin xdyf(x, y, z) =x

f2 =xsin ydx+xsin xdy

producto exterior

2-formas

http://find/

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42/124

2-formas bsicas

2-formas bsicas

una2-forma bsicaes:

producto exterior

2-formas

http://find/

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43/124

2-formas bsicas

2-formas bsicas

una2-forma bsicaes:1 dxdy

http://find/

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44/124

producto exterior

2-formas

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45/124

2-formas bsicas

2-formas bsicas

una2-forma bsicaes:1 dxdy2 dydz3 dzdx

producto exterior

2-formas

http://find/

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46/124

2-formas

2-forma

una2-forma

producto exterior

2-formas

http://find/

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47/124

2-formas

2-forma

una2-forma

es una combinacin lineal

=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

producto exterior

2-formas

http://find/

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48/124

2-formas

2-forma

una2-forma

es una combinacin lineal

=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

conF, G, H : R

producto exterior

2-formas

http://find/

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49/124

suma de 2-formas

suma de 2-formas

1 =F1dxdxy+G1dydz+H1dzdx

producto exterior

2-formas

http://find/

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50/124

suma de 2-formas

suma de 2-formas

1 =F1dxdxy+G1dydz+H1dzdx

2 =F2dxdxy+G2dydz+H2dzdx

producto exterior

2-formas

http://find/

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51/124

suma de 2-formas

suma de 2-formas

1 =F1dxdxy+G1dydz+H1dzdx

2 =F2dxdxy+G2dydz+H2dzdxsuma de 2-formas

producto exterior

2-formas

d 2 f

http://find/

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52/124

suma de 2-formas

suma de 2-formas

1 =F1dxdxy+G1dydz+H1dzdx

2 =F2dxdxy+G2dydz+H2dzdxsuma de 2-formas

1+ 2 = (F1+ F2)dxdy+ (G1+ G2)dydz+ (H1+ H2)dzdx

producto exterior

2-formas

d t 0 f

http://find/

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53/124

producto por 0-forma

producto por 0-forma

=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

producto exterior

2-formas

d t 0 f

http://find/

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54/124

producto por 0-forma

producto por 0-forma

=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

f0-forma

producto exterior

2-formas

d t 0 f

http://find/

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55/124

producto por 0-forma

producto por 0-forma

=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

f0-forma

productodeporf

producto exterior

2-formas

producto por 0 forma

http://find/

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56/124

producto por 0-forma

producto por 0-forma

=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

f0-forma

productodeporf

f.=fFdxdxy+fGdydz+fHdzdx

producto exterior

2-formas

ejemplo 4

http://find/

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57/124

ejemplo 4

ejemplo 4

1 =x2dxdy+y3xdydz+sin zydzdx

producto exterior

2-formas

ejemplo 4

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58/124

ejemplo 4

ejemplo 4

1 =x2dxdy+y3xdydz+sin zydzdx

2 =ydydz

producto exterior

2-formas

ejemplo 4

http://find/

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59/124

ejemplo 4

ejemplo 4

1 =x2dxdy+y3xdydz+sin zydzdx

2 =ydydz

1+2=x2dxdy+ (y3x+y)dydz+sin zydzdx

producto exterior

2-formas

ejemplo 5

http://find/

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ejemplo 5

ejemplo 5

2 =ydydz

producto exterior

2-formas

ejemplo 5

http://find/

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61/124

ejemplo 5

ejemplo 5

2 =ydydz

f(x, y, z) =xy

producto exterior

2-formas

ejemplo 5

http://find/

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62/124

ejemplo 5

ejemplo 5

2 =ydydz

f(x, y, z) =xy

f2=xy2dydz

producto exterior

3-formas

3-formas bsicas

http://find/

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63/124

3 formas bsicas

3-formas bsicas

la3-forma bsica

producto exterior

3-formas

3-formas bsicas

http://find/

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64/124

3 formas bsicas

3-formas bsicas

la3-forma bsicaes

dxdydz

producto exterior

3-formas

3-formas

http://find/

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65/124

3 formas

3-forma

una3-forma

producto exterior

3-formas

3-formas

http://find/

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66/124

3 formas

3-forma

una3-formaes una expresin

=fdxdydz

producto exterior

3-formas

3-formas

http://find/

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67/124

3 o as

3-forma

una3-formaes una expresin

=fdxdydz

dondef : R suave

producto exterior

3-formas

suma de 3-formas

http://find/

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68/124

suma de 3-formas

1=f1dxdydz

producto exterior

3-formas

suma de 3-formas

http://find/

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69/124

suma de 3-formas

1=f1dxdydz

2=f2dxdydz

producto exterior

3-formas

suma de 3-formas

http://find/

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70/124

suma de 3-formas

1=f1dxdydz

2=f2dxdydz

1+2 = (f1+f2)dxdydz

producto exterior

3-formas

producto por una 0-forma

http://find/

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71/124

p p

producto por una 0-forma

=fdxdydz

producto exterior

3-formas

producto por una 0-forma

http://find/

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72/124

producto por una 0-forma

=fdxdydz

g0-forma

producto exterior

3-formas

producto por una 0-forma

http://find/

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73/124

producto por una 0-forma

=fdxdydz

g0-forma

g=gf dxdydz

http://find/

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74/124

producto exterior

3-formas

ejemplo 6

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75/124

ejemplo 6

1=ydxdydz

2=ex2 dxdydz

producto exterior

3-formas

ejemplo 6

http://goforward/http://find/http://goback/

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76/124

ejemplo 6

1=ydxdydz

2=ex2 dxdydz

1+2 = (y+ex2 )dxdydz

producto exterior

3-formas

ejemplo 7

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77/124

ejemplo 7

1=ydxdydz

producto exterior

3-formas

ejemplo 7

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78/124

ejemplo 7

1=ydxdydz

f(x, y, z) =xyz

producto exterior

3-formas

ejemplo 7

http://find/

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79/124

ejemplo 7

1=ydxdydz

f(x, y, z) =xyz

f1=xy2zdxdydz

producto exterior

3-formas

observacin

http://find/

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80/124

observacin

no se puede sumar una i-forma con unaj-forma

sii=j

producto exterior

3-formas

observacin 2

http://find/

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81/124

observacin

cada forma tiene un espacio natural de accin

producto exterior

3-formas

observacin 2

http://find/

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82/124

observacin

cada forma tiene un espacio natural de accin

0-formas puntos

producto exterior

3-formas

observacin 2

http://find/

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83/124

observacin

cada forma tiene un espacio natural de accin

0-formas puntos

1-formas curvas

producto exterior

3-formas

observacin 2

http://find/

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84/124

observacin

cada forma tiene un espacio natural de accin

0-formas puntos

1-formas curvas

2-formas superficies

producto exterior

3-formas

observacin 2

http://find/

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85/124

observacin

cada forma tiene un espacio natural de accin

0-formas puntos

1-formas curvas

2-formas superficies

3-formas subregiones elementales de R3

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvas

http://find/

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86/124

integral de 1-formas sobre curvas

=Pdx+Qdy+Rdz

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvas

http://find/

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87/124

integral de 1-formas sobre curvas

=Pdx+Qdy+Rdz

Ccurva

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvas

http://goforward/http://find/http://goback/

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88/124

integral de 1-formas sobre curvas

=Pdx+Qdy+Rdz

Ccurva

C

=

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

integral de 1-formas sobre curvas

http://find/

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89/124

integral de 1-formas sobre curvas

=Pdx+Qdy+Rdz

Ccurva

C

=

C

Pdx+Qdy+Rdz

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

http://find/

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90/124

ejemplo 8

=xydx+y2dy+dz

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

http://find/

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91/124

ejemplo 8

=xydx+y2dy+dz

Cparametrizada por(t2, t3, 1)cont [0, 1]

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

http://find/

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92/124

ejemplo 8

=xydx+y2dy+dz

Cparametrizada por(t2, t3, 1)cont [0, 1]

evaluarC

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

http://find/

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93/124

ejemplo 8

=xydx+y2dy+dz

Cparametrizada por(t2, t3, 1)cont [0, 1]

evaluarC

C

=

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

http://find/

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94/124

ejemplo 8

=xydx+y2dy+dz

Cparametrizada por(t2, t3, 1)cont [0, 1]

evaluarC

C

= 1

0

(t52t+t63t2)dt

producto exterior

integral de 1-formas sobre curvas

ejemplo 8

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95/124

ejemplo 8

=xydx+y2dy+dz

Cparametrizada por(t2, t3, 1)cont [0, 1]

evaluarC

C

= 1

0

(t52t+t63t2)dt=13

21

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

http://find/

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96/124

integral de 2-formas sobre superficies

=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

http://find/

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97/124

integral de 2-formas sobre superficies

=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

Ssuperficie parametrizada por :D R3

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

http://find/

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98/124

integral de 2-formas sobre superficies

=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

Ssuperficie parametrizada por :D R3

S

=

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

http://find/

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99/124

integral de 2-formas sobre superficies

=Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

Ssuperficie parametrizada por :D R3

S

=

S

Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

100/124

integral de 2-formas sobre superficies

S Fdxdy+Gdydz+Hdzdx

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

integral de 2-formas sobre superficies

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

101/124

integral de 2-formas sobre superficies

S Fdxdy+Gdydz+Hdzdx=

S(F, G, H).ndS= ()

() = SF

(x, y)

(u, v)

+G(y, z)

(u, v)

+H(z, x)

(u, v) dudv

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

102/124

ejemplo 9

=z2dxdy

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

http://find/http://goback/

7/25/2019 clase18.pdf

103/124

ejemplo 9

=z2dxdy

Ssemiesfera superior de radio 1 en R3

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

http://find/http://goback/

7/25/2019 clase18.pdf

104/124

ejemplo 9

=z2dxdy

Ssemiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar

S

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

http://goforward/http://find/http://goback/

7/25/2019 clase18.pdf

105/124

ejemplo 9

=z2dxdy

Ssemiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar

S

(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

106/124

ejemplo 9

=z2dxdy

Ssemiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar

S

(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]

S =

D

cos2 u(x,y)(u,v)dudv

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

107/124

ejemplo 9

=z2dxdy

Ssemiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar

S

(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]

S =

D cos2 u

(x,y)(u,v)dudv

(x, y)

(u, v)=

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

108/124

ejemplo 9

=z2dxdy

Ssemiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar

S

(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]

S =

D

cos2 u(x,y)(u,v)dudv

(x, y)

(u, v)=

cos ucos v sin usin vcos usin v sin ucos v

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

ejemplo 9

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

109/124

j p

=z2dxdy

Ssemiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar

S

(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]

S =

D

cos2 u(x,y)(u,v)dudv

(x, y)

(u, v)=

cos ucos v sin usin vcos usin v sin ucos v =sin ucos u

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

110/124

ejemplo 9

=z2dxdy

Ssemiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar

S

(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]

S =

D

cos3 usin ududv

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

111/124

ejemplo 9

=z2dxdy

Ssemiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar

S

(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]

S =

D

cos3 usin ududv= 2 cos4 u

4

2

0

producto exterior

integral de 2-formas sobre superficies

ejemplo 9

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

112/124

ejemplo 9

=z2dxdy

Ssemiesfera superior de radio 1 en R3

encontrar

S

(u, v) = (sin ucos v, sin usin v, cos u)(u, v) [0, 2 ] [0, 2]

S =

D

cos3 usin ududv= 2 cos4 u

4

2

0= 2

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

integral de 3-forma sobre regin de R3

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

113/124

integral de 3-forma sobre regin de R3

=fdxdydz

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

integral de 3-forma sobre regin de R3

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

114/124

integral de 3-forma sobre regin de R3

=fdxdydz

R

=

R

f(x, y, z)dxdydz

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

115/124

j p

= (x+z)dxdydz

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

116/124

j p

= (x+z)dxdydz

R= [0, 1]3

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

117/124

= (x+z)dxdydz

R= [0, 1]3

calcular

R

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

118/124

= (x+z)dxdydz

R= [0, 1]3

calcular

R

R

=

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

119/124

= (x+z)dxdydz

R= [0, 1]3

calcular

R

R

=

10

10

10

(x+z)dxdydz

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

120/124

= (x+z)dxdydz

R= [0, 1]3

calcular

R

R

=

10

10

10

(x+z)dxdydz

= 1

0

10

(x+z)dxdz

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

121/124

= (x+z)dxdydz

R= [0, 1]3

calcular

R

R

=

10

10

10

(x+z)dxdydz

= 1

0

10

(x+z)dxdz= 1

0

xz+

z2

21

0dx

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

122/124

= (x+z)dxdydz

R= [0, 1]3

calcular

R

R

=

10

10

10

(x+z)dxdydz

= 1

0

10

(x+z)dxdz= 1

0

xz+

z2

21

0dx

=

10

z+

1

2

dz

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

123/124

= (x+z)dxdydz

R= [0, 1]3

calcular

R

R

=

10

10

10

(x+z)dxdydz

= 1

0

10

(x+z)dxdz= 1

0

xz+

z2

21

0dx

=

10

z+

1

2

dz=

z2

2 +

z

2

10

producto exterior

integral de 3-formas sobre regiones de R3

ejemplo 10

ejemplo 10

http://find/

7/25/2019 clase18.pdf

124/124

= (x+z)dxdydz

R= [0, 1]3

calcular

R

R

=

10

10

10

(x+z)dxdydz

= 1

0

10

(x+z)dxdz= 1

0

xz+

z2

21

0dx

=

10

z+

1

2

dz=

z2

2 +

z

2

10

=1

http://find/