Funciones trigonométricas y sus gráficas
Comenzaremos definiendo las funciones trigonométricas básicas.
El cual es “Punto terminal”
Pero para esto, utilizaremos un concepto nuevo (en
función de lo ya aprendido).
Definición:Sea la medida de un ángulo en posición normal y sea el punto de intersección de la circunferencia unitaria y el lado terminal del ángulo.
𝑡∈ℝ ,𝑡¿
𝑡𝑡
𝑃 (𝑡)se llama punto
terminal del ángulo.
𝑃 (𝑡)
Coseno
Seno
Tangente
Listo, ahora podremos definir 3 nuevas
funciones que llamaremos “funciones trigonométricas”, las cuales son:
Definición:
Se define la función COSENO, como aquella que asocia a cada la abscisa del punto terminal
𝑡∈ℝ𝑃 (𝑡)
Donde Coseno es la abscisa de , indicada por la flecha naranja
𝑃 (𝑡)
cos :ℝ→ [−1,1 ]¿
𝑃 (𝑡)
𝑡
Definición:
Se define la función SENO, como aquella que asocia a cada la ordenada del punto terminal
𝑡∈ℝ𝑃 (𝑡)
𝑃 (𝑡)
sen :ℝ→ [−1 ,1 ]¿
𝑃 (𝑡)
𝑡
Donde Seno es la ordenada de , indicada por la flecha naranja
Entonces podemos escribir las coordenadas del punto terminal en función del seno y coseno…
¿
𝑡𝑡
𝑃 (𝑡)
¿Cómo crees que sería?
Definición:
Se define la función TANGENTE, como el cociente entre las funciones seno y coseno.
Donde, Y su dominio es el conjunto A:
t g : A⊆ℝ→ℝ¿
Observación importante:
Como observas, el dominio de la función tangente no está definido para los valores
múltiplos impares de . Esto sucede porque para estos valores, el
coseno toma valor 0. Luego como recordarás, la división por 0 no se puede
realizar.
¿Interesante no? Veamos otras cosas de utilidad
Valores positivos y negativos de las funciones coseno, seno y tangente
𝒔𝒆𝒏(𝒕) +¿𝐜𝐨𝐬 (𝒕) +¿ 𝒕𝒈(𝒕) ¿𝒔𝒆𝒏(𝒕) +¿𝐜𝐨𝐬 (𝒕) −𝒕𝒈(𝒕) ¿ ¿
𝒔𝒆𝒏(𝒕) −𝐜𝐨𝐬 (𝒕) ¿
− ¿𝒔𝒆𝒏(𝒕) −𝐜𝐨𝐬 (𝒕) −𝒕𝒈(𝒕) ¿
Estos valores nacen a partir de la definición. Recuerda que el coseno viene dado por la
abscisa y el seno por la ordenada
𝒔𝒆𝒏(𝒕) +¿𝐜𝐨𝐬 (𝒕) +¿ 𝒕𝒈(𝒕) ¿𝒔𝒆𝒏(𝒕) +¿𝐜𝐨𝐬 (𝒕) −𝒕𝒈(𝒕) ¿ ¿
𝒔𝒆𝒏(𝒕) −𝐜𝐨𝐬 (𝒕) ¿
− ¿𝒔𝒆𝒏(𝒕) −𝐜𝐨𝐬 (𝒕) −𝒕𝒈(𝒕) ¿
Si te es muy complicado
recordarlo. Aprende esta nemotecnia:
“Todas son tacos”
Te invito a deducir de donde nace (Pista: tienen que ver los valores
positivos)
Poniendo en práctica lo de la clase anterior, podemos generar la siguiente tabla de valores de las funciones trigonométricas para ciertos
ángulos:
¿Te diste cuenta que la primera fila era igual a la última?
¿Entonces qué pasará cuando el ángulo sea de 720° ?
Porque las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, sus valores se repiten después de dar una
vuelta completa a la circunferencia unitaria.
Very well! tienes toda la razón.Se repetirán los valores
Gráfica de función coseno
𝑐𝑜𝑠(𝑥 )
Conozcamos las variaciones que puede tener la función
Gráfica de función coseno
𝑐𝑜𝑠(𝑥 )
Si aumentamos en una unidad el argumento, la curva se desplaza hacia la izquierda en la misma cantidad.
𝑐𝑜𝑠(𝑥+1)
Gráfica de función coseno
𝑐𝑜𝑠(𝑥 )
Si disminuimos en dos unidades el argumento, la curva se desplaza hacia la derecha en la misma cantidad.
𝑐𝑜𝑠(𝑥−2)
Gráfica de función coseno
𝑐𝑜𝑠(𝑥 )
Si el coseno de x lo aumentamos en una unidad, la curva se desplaza hacia arriba en la misma cantidad.
𝑐𝑜𝑠 (𝑥 )+1
Gráfica de función coseno
𝑐𝑜𝑠(𝑥 )
Si multiplicamos la función coseno de x por una constante positiva, amplificamos (o reducimos si es menor que 1) la función
tantas veces como sea la constante.
2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 )
Gráfica de función coseno
𝑐𝑜𝑠(𝑥 )
Si multiplicamos la función coseno de x por -1, se obtiene una función idéntica a coseno reflejada sobre el eje x.
−𝑐𝑜𝑠 (𝑥 )
Ahora te toca a ti
Grafica la función
Yo se que puedes lograrlo!
3𝑐𝑜𝑠(𝑥−2)
Indicación: Si te cuesta mucho, intenta darte valores de x entre y , y con tu calculadora observa qué valores obtienes por resultado al sustituirlos en la función que debes graficar.Teniendo estos puntos puedes ingresarlos al plano cartesiano y generar la gráfica
Gráfica de función seno
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
La función seno tiene las mismas variaciones que la función coseno
Gráfica de función tangente
𝑡𝑔(𝑥)
Como dije anteriormente, las funciones seno y coseno
tienen las mismas variaciones que la función
coseno. Por lo tanto ahora tu deberás comprobarlas en la guía que sigue a esta clase.
Estoy seguro que no te será problema
Entonces ahora vamos por la guía