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Carlos Alberto Riveros Jerez
Departamento de Ingeniería Sanitaria y Ambiental
Facultad de Ingeniería
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Análisis Estructural
Teorema de Castigliano
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Teorema de Castigliano
“La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía
interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada”.
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
wP
P
∂∆ =∂ ( )
2 2 2 2
2 2 2 / 2
∂= + + + ∂ ∫ ∫ ∫ ∫
N M V Tdx dx dx dx
P AE EI G A GJα
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Tomando como referencia:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
1/ 2 .e i iw f D=
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Calcular la rotación en el punto medio (c) de la viga en voladizo.
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Teorema de Castigliano
Ejemplo 1
∂ ∂= =∂ ∂∫C
w M Mdx
m EI mθ
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Teorema de Castigliano
Solución 1: corte 1-1
11 10; 0M Px M+ = + =∑
⌢
1M Px= −
0Mm
∂ =∂
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Teorema de Castigliano
Solución 1: corte 2-2
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
22 20; 0M Px m M+ = + + =∑
⌢
[ ]2M m Px= − +
1Mm
∂ = −∂
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Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Teorema de Castigliano
Solución 1
( ) ( ) ( ) ( )2
0 2
10 1
L L
CL
Px dx Px dxEI
θ = − + − − ∫ ∫
238C
PLEI
θ =
= × −
221
2 4C
P LL
EIθ
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Ejemplo 2
Para la viga simplemente apoyada que soporta la carga lineal w,
determinar el valor de la deflexión en el centro de la luz.
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∂ ∂∆ ↓= =∂ ∂∫w M M
c dxP EI P
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Solución 2
12
Mx
P∂ =∂
+ = − + × + +
∑⌢
2
11 10;
2 2 2wL P wx
x M
= + × −
2
1 2 2 2wL P wx
M x
( ) ∆ ↓= − ∫2
2
0
20.5
2 2
L
C
wL wx x x dx
EI
( ) ( ) ∆ ↓= −
3 4
2 224 3 4 4C
L LwL w
∆ ↓=35
384C
wLEI
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Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga en
voladizo.
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Ejemplo 3
U M MB dx
P EI P
∂ ∂∆ ↓= =∂ ∂∫
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Solución 3
corte 1-1
211 10 : 0
2
wXM PX M∩
+ ∑ = + + =
2
1 2
wXM PX
= − +
MX
P
∂ = −∂
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Solución 3
( )2
0
1
2
L wXB PX X dx
EI
∆ ↓= − − −
∫
32
0
1
2
L wXPX dx
EI
= +
∫
3 4
0
1
3 8
LPX wX
EI
= +
3 41
3 8
PL wL
EI
= +
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
Si B se mueve todo se mueve y
no hay problema.
Si C se mueve , se tienen que
distribuir los esfuerzos en A y B.
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վ
վ
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
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Indeterminada
Para convertirla en determinada: (Se quita el apoyo simple)
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
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Una estructura es estáticamente indeterminada si no
pueden ser analizados sus aspectos internos y
reacciones por las ecuaciones de equilibrio estático.
• Método de carga unitaria
• Método de Castigliano
Cualquier estructura puede convertirse en
estáticamente determinada suprimiendo las acciones
sobrantes o híper estáticas.
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
3NE =4NR =4NN =
2GIE =
2 2= + − −GIE NE NR NN C
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Estructura primaria
'1 1 11 12
'2 2 21 22
0
0
∆ = = ∆ + ∆ + ∆
∆ = = ∆ + ∆ + ∆
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(Se quitan P, Q w)
(Se quitan P, Q w)
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS
Definición coeficientes flexibilidad
11 11 1
12 12 2
21 21 1
22 22 2
X
X
X
X
∆ = ∂∆ = ∂∆ = ∂∆ = ∂
'1 11 1 12 2 0X X∆ + ∂ + ∂ =
'2 21 1 22 2 0X X∆ + ∂ + ∂ =
1m
2m
∧
∧
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• Por Carga Unitaria:
• Por Método Castigliano
……
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ESTRUCTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS
' 11
Mmdx
EI∆ = ∫
1 2 2 112 21
m m m mdx dx
EI EI∂ = ∂ =∫ ∫
1 1 2 211 22
m m m mdx dx
EI EI∂ = ∂ =∫ ∫
1 21 2
0 0w w
X X
∂ ∂∆ = = ∆ = =∂ ∂
nn
w
X
∂∆ =∂
' 22∆ = ∫
Mmdx
EI