PPTCANMTGEA07007V1 Clase Divisin de segmentos y teorema de Thales MT-22 Figuras Congruentes ngulos congruentes Lados congruentes A C BD F E 3 366 88 LLL LALA D E BC F2 2 4 4 ALA A D B E F C 3 3 Tringulos Congruentes Figuras Equivalentes Igual rea 4 9 4 9 6 6 6 6 Resumen de la clase anterior Figuras semejantes Tringulos semejantes ngulos respectivos congruentes Lados homlogos proporcionales AB C E F D ABC ~ DEF CriteriosElementos homlogos Lados proporcionales AC DF = CB FE = AB DE = k =1 2 Razones Permetro rea P ABC= k P DEF ABC= k2 DEFAA LLL LAL Resumen de la clase anterior Aprendizajes esperados Aplicar divisin de un trazo en forma interior, exterior y armnica. Aplicar el teorema de la bisectriz. Reconocer elementos que permiten aplicar el teorema de Thales. Aplicar el teorema de Thales. Pregunta oficial PSU Unagricultortieneunterrenoenformadetringulorectngulo,comoeltringulo ABC de la figura 15. Desea plantar hortalizas y para ello divide el terreno en cinco sitios,condivisionesparalelasalladoAC.Sienelsectorachuradoplantar lechugas, cul es el rea de dicho sector? A) B) C) D) E) Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisin 2011. 5 2 ab 5 6 ab 5 12ab 2 3ab 5 8ab 1. Divisin de un segmento 2. Teorema de la bisectriz 3. Teorema de Thales 1. Divisin de un segmento 1.1 Divisin interior Si el punto C divide interiormente al segmento AB en razn m:n, entonces: Ejemplo: QAB SiQdivideinteriormentealsegmentoABenlarazn3:5,yQB=45, entonces, cunto mide AB? AC CB m n = CAB 1. Divisin de un segmento 1.1 Divisin interior Solucin: AQ = 27 Por lo tanto, AB mide 72 QAB 45 27 AQ QB 3 5 = AQ 45 3 5 = AQ = 345 5

1. Divisin de un segmento 1.2 Divisin exterior Si el punto D divide exteriormente al segmento AB en razn m:n, entonces: Ejemplo: 20 SiDdivideexteriormentealsegmentoABenlarazn5:2,yAD=20, entonces, cunto mide BD? AD BD m n = BAD BAD 1. Divisin de un segmento 1.2 Divisin exterior 20 BAD BD = 8 812 Solucin: AD BD = 5 2 20 BD = 5 2 BD = 202 5

202 5

1. Divisin de un segmento 1.3 Divisin armnica DividirelsegmentoABarmnicamenteenraznm:n,implicadividirlo interior y exteriormente en la misma razn. Ejemplo: Al dividir armnicamente el segmento AB en la razn 3:2, cunto mide BD y CB, si AB = 12? AC BD AC BD 12 Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que: AC CB AD BD m n == 1. Divisin de un segmento 1.3 Divisin armnica 12+y y Solucin: xy AC CB = 3 2 = 3 2 3x = 2(12 x) 12 x x 3x = 24 2x 5x = 24 AD BD = 3 2 = 3 2 24 + 2y = 3y 36 5 24 = y 24 5 24 AC BD 12 x 12 24 5 x =2. Teorema de la bisectriz b

u a

v = b vu a D Eneltringulodelafigura,CDesbisectriz,entoncessecumplela siguiente proporcin: Este teorema es vlido para cualquier tringulo.D 9 5 10 Solucin: ComoeltrazoCDesbisectriz,entonces,aplicandoelteoremadela bisectriz, se tiene: 9

AD 10

5 = AD =9

2 Ejemplo: En la figura, determinar el valor de AD. 2. Teorema de la bisectriz C D F E A B L1 L2 L3 Sean L1 // L2 // L3, entonces: Si tres o ms rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas son proporcionales. AB AC = DE DF AB BC = DE EF BC AC = EF DF 3. Teorema de Thales Caso particular1 Sean L1 // L2, entonces: A O C DB L1 L2 OA OB = OC OD OA AB = OC CD AB OB = CD OD OA AC = OB BD OC AC = OD BD 3. Teorema de Thales Sean L1 // L2, entonces: L1 L2 A C B O D AO OD = BO OC AB CD = AO OD AB CD = BO OC 3. Teorema de Thales Caso particular2 Ejemplo 1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazoAC. A O C DB L1 L2 5 7 36 Solucin: Aplicando el Teorema de Thales: AC = 15 OA AC = OB BD 5 AC = 12 36 Ejemplo 2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en funcin de x e y. Solucin: Aplicando el Teorema de Thales: L1 L2 A C B O D x + y 2y 2x AB CD = AO OD x+y 2x = 2y OD OD= 4xy x+y Pregunta oficial PSU ALTERNATIVACORRECTA B Unagricultortieneunterrenoenformadetringulorectngulo,comoeltringulo ABC de la figura 15. Desea plantar hortalizas y para ello divide el terreno en cinco sitios,condivisionesparalelasalladoAC.Sienelsectorachuradoplantar lechugas, cul es el rea de dicho sector? A) B) C) D) E) Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisin 2011. 5 2 ab 5 6 ab 5 12ab 2 3ab 5 8ab Tabla de correccin N ClaveUnidad temticaHabilidad 1AGeometra de proporcinAplicacin 2CGeometra de proporcinAplicacin 3CGeometra de proporcinAplicacin 4DGeometra de proporcinAplicacin 5BGeometra de proporcinAplicacin 6EGeometra de proporcinComprensin 7BGeometra de proporcinAplicacin 8BGeometra de proporcinAplicacin 9CGeometra de proporcinAplicacin 10AGeometra de proporcinAplicacin 11DGeometra de proporcinAplicacin 12BGeometra de proporcinAplicacin Tabla de correccin N ClaveUnidad temticaHabilidad 13EGeometra de proporcinAplicacin 14AGeometra de proporcinAnlisis 15CGeometra de proporcinAplicacin 16BGeometra de proporcinAplicacin 17CGeometra de proporcinAplicacin 18AGeometra de proporcinAnlisis 19DGeometra de proporcinAplicacin 20AGeometra de proporcinAnlisis 21EGeometra de proporcinAplicacin 22AGeometra de proporcinAnlisis 23DGeometra de proporcinAnlisis 24CGeometra de proporcinEvaluacin 25CGeometra de proporcinEvaluacin Sntesis de la clase Teorema de Thales C D F E A B L1 L2 L3 AB AC = DE DF BC AC = EF DF AB BC = DE EF L1 // L2 // L3 b

u a

v = b v u a D Teorema de la bisectriz CAB CB AC = m n BAD BD AD = m n A B CD m

AC CB == n AD BD Divisin de un segmento Divisin interiorDivisin exteriorDivisin armnica Para visualizar este PPT de la clase 15 en la intranet, utiliza la siguiente clavePPTCANMTGEA07007 Prepara tu prxima clase En la prxima sesin, estudiaremos Paralelgramos Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414 ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Equipo EditorialMatemtica