Download - Cap 10 Algebra Lineal Producto Interno
Escuela Superior Politecnica del Litoral
Escuela Superior Politecnica del Litoral
Algebra Lineal
Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca
Capitulo #9Espacios vectoriales con producto interno realDefinicin:Sea V un espacio vectorial real con producto interno sobre V, es una funcin tal que:
, adems la funcin debe satisfacer las siguientes propiedades:
Norma de un vector
Sea V un espacio vectorial con producto interno definido entonces se define a la norma de un vector de la siguiente manera:
Ejemplo:
Determine la
Solucin:
TeoremaSea V un espacio vectorial con producto interno. Entonces:
Distancia entre dos vectores
Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea y elementos de V, la distancia entre y esta dada por:
Ejemplo:
Teorema
Sea V un espacio vectorial con producto interno entonces:
Angulo entre dos vectores
Sea V un espacio vectorial con producto interno y sean y que pertenecen al el ngulo formado entre y esta dado por:
; .
Ejemplo:
Determine el ngulo entre los vectores y el vector donde con producto interno estndar.
Nota: producto interno estndar es el producto punto.
Solucin:
Vectores ortogonales
Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea y elementos de V, los vectores y son ortogonales si y solo si (producto interno).
Conjunto ortogonal
Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea un conjunto de n vectores de V. S es un conjunto ortogonal si y solo si se cumple que cuando
Conjunto ortonormal
Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea un conjunto de n vectores de V. S es un conjunto ortogonal si y solo si .
Teorema Si S es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en un espacio vectorial con producto interno, entonces S es un conjunto linealmente independiente en V.
Demostracin:
Del mismo modo:
S es linealmente independiente.Proceso de ortonormalizacion de Gram Schmidt
Sea V un espacio vectorial de dimensin finita sea una base de V. entonces a partir de esta base es factible construir una base ortonormal para V mediante el siguiente proceso:
Nota: =ortogonal; =ortonormal.
Proyeccion ortogonalSea H un subespacio de un espacio vectorial con producto interno y una base ortonormal de H. Si , entonces la proyeccion ortogonal de v sobre H, denotada por se define como:
Complemento ortogonalSea H un subespacio de un espacio vectorial V con producto interno. Entonces el complemento ortogonal de H, denotado por , se define como:
Teorema
Sea H un subespacio del espacio vectorial V con producto interno, entonces se cumple que:1) es un subespacio de V
2)
3)
Demostracin:
1)
i)
ii)
2)
Pero
3) A partir de una base de H se puede generar a V (completando bases)
Pero
Ejercicios:
1.- Considere a con las operaciones convencionales de suma, producto por escalar y producto punto. Sea H es el plano que contiene a los vectores (1,2,1) y (2,0,2) y W la recta generada por (0,-1,1). Determine:a)
b)
c)Una base ortonormal para
2.- Sea H un subespacio del espacio vectorial , tal que:
Utilizando el producto interno estandar en :
a)Encuentre una base ortonormal para el subespacio
b)Sea el vector . Determine un vector y un vector , tal que
3.- Determine si la funcion con regla de correspondencia es un producto interno real en
4.-Determine si la funcion definida por:
,es un producto interno en .5.-Considere con el producto interno dado por:
a) Para el operador en T en definido por , determine una base para y
b) Encuentre la proyeccion ortogonal de sobre
6.- En el espacio vectorial esta definido el siguiente producto interno:
a) Encuentre un vector p(x) tal que su norma sea igual a y la medida del angulo con el vector q(x)=1+x sea
b) Sea el subespacio de : , Cual es el vector de W que esta mas cerca de r(x)=1-2x?
7.- En el espacio de las funciones continuas C[-1,1] se define el siguiente producto interno:
La distancia entre dos vectores y se define como la norma del vector , sean f(x)=1,g(x)=x,
h(x)=
Cual de los vectores g(x) o h(x) esta mas cerca del vector f(x)?
8) Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, en caso de ser falsa de un contraejemplo y en caso de ser verdadera demuestrela.
a) Si V es un espacio vectorial con producto interno y H un subespacio de V, entonces
b) Si y son dos vectores ortonormales en , entonces
c) Sea V, un espacio vectorial con producto interno, y sea una base ortonormal de V, entonces para todo x en V
d) Sea V, un espacio vectorial con producto interno, Sean u y v dos vectores cualesquiera de V, si , entonces (u+v) es ortogonal a (u-v)
e) Sean u, w dos vectores cualesquiera de un espacio vectorial V con producto interno real, entonces:
f) Sea V un espacio vectorial con producto interno, y si para todo w en V (w/v)=0, entonces u es el neutro de V._1232440246.unknown
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