Escuela Superior Politecnica del Litoral

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Algebra Lineal

Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca

Capitulo #9Espacios vectoriales con producto interno realDefinicin:Sea V un espacio vectorial real con producto interno sobre V, es una funcin tal que:

, adems la funcin debe satisfacer las siguientes propiedades:

Norma de un vector

Sea V un espacio vectorial con producto interno definido entonces se define a la norma de un vector de la siguiente manera:

Ejemplo:

Determine la

Solucin:

TeoremaSea V un espacio vectorial con producto interno. Entonces:

Distancia entre dos vectores

Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea y elementos de V, la distancia entre y esta dada por:

Ejemplo:

Teorema

Sea V un espacio vectorial con producto interno entonces:

Angulo entre dos vectores

Sea V un espacio vectorial con producto interno y sean y que pertenecen al el ngulo formado entre y esta dado por:

; .

Ejemplo:

Determine el ngulo entre los vectores y el vector donde con producto interno estndar.

Nota: producto interno estndar es el producto punto.

Solucin:

Vectores ortogonales

Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea y elementos de V, los vectores y son ortogonales si y solo si (producto interno).

Conjunto ortogonal

Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea un conjunto de n vectores de V. S es un conjunto ortogonal si y solo si se cumple que cuando

Conjunto ortonormal

Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea un conjunto de n vectores de V. S es un conjunto ortogonal si y solo si .

Teorema Si S es un conjunto ortogonal de vectores no nulos en un espacio vectorial con producto interno, entonces S es un conjunto linealmente independiente en V.

Demostracin:

Del mismo modo:

S es linealmente independiente.Proceso de ortonormalizacion de Gram Schmidt

Sea V un espacio vectorial de dimensin finita sea una base de V. entonces a partir de esta base es factible construir una base ortonormal para V mediante el siguiente proceso:

Nota: =ortogonal; =ortonormal.

Proyeccion ortogonalSea H un subespacio de un espacio vectorial con producto interno y una base ortonormal de H. Si , entonces la proyeccion ortogonal de v sobre H, denotada por se define como:

Complemento ortogonalSea H un subespacio de un espacio vectorial V con producto interno. Entonces el complemento ortogonal de H, denotado por , se define como:

Teorema

Sea H un subespacio del espacio vectorial V con producto interno, entonces se cumple que:1) es un subespacio de V

2)

3)

Demostracin:

1)

i)

ii)

2)

Pero

3) A partir de una base de H se puede generar a V (completando bases)

Pero

Ejercicios:

1.- Considere a con las operaciones convencionales de suma, producto por escalar y producto punto. Sea H es el plano que contiene a los vectores (1,2,1) y (2,0,2) y W la recta generada por (0,-1,1). Determine:a)

b)

c)Una base ortonormal para

2.- Sea H un subespacio del espacio vectorial , tal que:

Utilizando el producto interno estandar en :

a)Encuentre una base ortonormal para el subespacio

b)Sea el vector . Determine un vector y un vector , tal que

3.- Determine si la funcion con regla de correspondencia es un producto interno real en

4.-Determine si la funcion definida por:

,es un producto interno en .5.-Considere con el producto interno dado por:

a) Para el operador en T en definido por , determine una base para y

b) Encuentre la proyeccion ortogonal de sobre

6.- En el espacio vectorial esta definido el siguiente producto interno:

a) Encuentre un vector p(x) tal que su norma sea igual a y la medida del angulo con el vector q(x)=1+x sea

b) Sea el subespacio de : , Cual es el vector de W que esta mas cerca de r(x)=1-2x?

7.- En el espacio de las funciones continuas C[-1,1] se define el siguiente producto interno:

La distancia entre dos vectores y se define como la norma del vector , sean f(x)=1,g(x)=x,

h(x)=

Cual de los vectores g(x) o h(x) esta mas cerca del vector f(x)?

8) Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, en caso de ser falsa de un contraejemplo y en caso de ser verdadera demuestrela.

a) Si V es un espacio vectorial con producto interno y H un subespacio de V, entonces

b) Si y son dos vectores ortonormales en , entonces

c) Sea V, un espacio vectorial con producto interno, y sea una base ortonormal de V, entonces para todo x en V

d) Sea V, un espacio vectorial con producto interno, Sean u y v dos vectores cualesquiera de V, si , entonces (u+v) es ortogonal a (u-v)

e) Sean u, w dos vectores cualesquiera de un espacio vectorial V con producto interno real, entonces:

f) Sea V un espacio vectorial con producto interno, y si para todo w en V (w/v)=0, entonces u es el neutro de V._1232440246.unknown

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