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CapCaptulo 2: Deformaciones en tulo 2: Deformaciones en RocasRocas
TemasTemas Elasticidad y PlasticidadElasticidad y Plasticidad Esfuerzo Efectivo y Esfuerzo Efectivo y PoroelasticidadPoroelasticidad ViscoVisco--elasticidadelasticidad
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Objetivos del Captulo
Ser capaces de identificar y explicar 3 leyes constitutivas Ser capaces de identificar los tipos de
roca en donde las leyes constitutivas son apropiadas
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Definiciones bsicas de esfuerzos
Convencin en Geomecnica:Nmeros positivos indican compresinNmeros negativos indican tensin(Los esfuerzos en la corteza son siempre compresivos)
S1 Esfuerzo principal mximoS2 Esfuerzo principal intermedioS3 Esfuerzo principal mnimo
Definicin del Tensor de EsfuerzoSistema de coordenadas cartesianas
arbitrarias
Transformacin del Tensor(rotacin de ejes)
Tensor de Esfuerzo Principal
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Deformaciones unitarias infinitesimales en un slido elstico, isotrpico y homogneo
ij = 12uix j +
ujxi
Expansin lateral:
1
111 x
u=Def. Unit. Axial
3
333 x
u=
Def. Unit. Corte:1
331 x
u=
Def. Unit. Volumtrica:
33221100 ++=
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Leyes Constitutivas
Elstico Esfuerzo EsfuerzoResistencia
Deformacin Deformacin
Idealizado Roca Real
Poro-elsticoEsfuerzo
Idealizado
Deformacin
Rigidez
Respuesta de Frecuencia
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Leyes Constitutivas
Elasto-PlsticoEsfuerzo
Plasticidad Perfecta
Esfuerzo
Deformacin Deformacin Unitaria
Esfuerzo Esfuerzo
Deformacin
Deslizamiento por Friccin
Idealizado
Tiempo
Roca Realistca
Idealizado Idealizado
Visco- Elstico
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0
10
20
30
40
50
60
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
Loading(Static)
Young's Modulus
Deformation, mm
Unloading(Dynamic)
Young's Modulus
Failure
Crack Closing
Elastic Behavior
Onset ofInelastic Behavior
E
Pruebas de Laboratorio
Esfu
erzo
(MPa
)
E: Mdulo de Youngs Modulus [MPa]1: Esfuerzo efectivo mximo [MPa]3: Esfuerzo efectivo mnimo [MPa]
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Mdulos Elsticos
En todos los casos reemplace el esfuerzo (S) por esfuerzo efectivo () para rocas porosas saturadas de fluido.
Mdulo de Young, ES11 slo esfuerzo no cero
11
11SE =Relacin de Poisson, S11 slo esfuerzo no cero
11
33
=
G = 12
S1313
Mdulo de Corte, GSij slo esfuerzo que no sea cero
Mdulo Volumtrico, K(Compresibilidad, = K-1)
00
00SK =
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Mdulo Elstico y Ondas SsmicasEn un slido elstico, isotrpico y
homogneo
+= 3
G4KVpOnda P =
GVsOnda de Corte
Liquido G = 0 , Vs = 0
3G4KVM 2p +==Mdulo M
( )2s2p2s
2p
VV2V2V
=
Lquido = 0.5Relacin de Poisson *25.0= 73.13
1VV
s
p ==Poisson deSlido
* Valor comn para rocas
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Relaciones entre los Mdulos Elsticos
----
----
------
----
MGEK3G2+
( )EG33EG
+
31
( )( )
+213
12G
( ) 213E
GG23G +
+
K3KK9
GK3GK9
( )( )
+ 211
( )+1G2( ) 21K3
3G2K
EG3G2EG
EK9EK3K3
21
2G
+
1K3
( )( )+
211E
( )G2 +
K3
( )GK32G2K3
+
1G2E
K6EK3
2K3
EK9KE3
221
+
2221K3
+ 22E
G2+
2K3
3G4K +
EG3EG4G
EK9EK3K3
+
1
2122G
+
11K3
( )( )( )+
211
1E
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Elasticidad LinealEl esfuerzo y la deformacin son linealmente
proporcionales en un slido isotrpicohomogneo
33221100 ++=( )33221100 SSS3
1S ++=(deformacin volumtrica)
(esfuerzo de confinamientouniforme)
ij00ijij G2S += ( ) 00ij00ijijij SK31SSG21 +=
Donde, (la constante de Lame), K (mdulo volumtrico), G (mdulo de corte) son los mdulos elsticos
(Delta de Kronecker)1ij = i = j0ij = i j
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Esfuerzos Principales y Deformaciones Principales
( ) 1003211 G2G2S +=+++=( ) 2003212 G2G2S +=+++=
( ) 3003213 G2G2S +=+++=
Slo se necesitan dos mdulos para relacionar el esfuerzo con la deformacin en una roca linealmente elstica, isotrpicay homognea.
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Esfuerzo efectivo y Esfuerzo efectivo y poroelasticidadporoelasticidad(Impacto del fluido en los poros sobre la (Impacto del fluido en los poros sobre la
deformacideformacin de la roca)n de la roca)
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Ley de esfuerzos efectivos de Terzaghi
Alberty and McLean
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Enfoque Mecnica del Continuo de Esfuerzo Efectivo
Esfuerzo = Fuerza/reaTotalS = F/AT
Para una membrana impermeable :
Suposiciones :Volumen grande comparado con los elementos Porosidad interconectadaVolmenes promediados de forma estadstica
a 0lim ac = gEsfuerzo Intergranular:
Esfuerzo efectivo:g = S - (1 - a) Pp = S - Pp
Equilibrio de Fuerzas a escala de granos :FT = FgS AT = Acc + (AT - Ac)PpS = ac + (1 - a)Pp
S = Esfuerzo Total
Ac
Esfuerzo en granos
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Esfuerzo Efectivo
Pp no afecta el esfuerzo o la deformacin por corte, pero s afecta los mdulos elsticos, la resistencia de la roca, la resistencia por friccin
Forma Simple (Terzaghi)
pijijij PS =Forma Exacta
pijijij PS =
Coeficiente de Biot
g
b
KK
1 = 10 Kb Mdulo volumtrico drenado Kg Mdulo volumtrico de los granos slidos
Roca slida sin poros. Sin influencia de presin de poro
Slido poroso extremadamente plstico. Influencia mxima de presin de poro.
Lim = 0 0Lim = 1
Kb 0
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Valores de Alfa medidos en el Laboratorio
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Poroelasticidad
ij = 12G Sij ijS00( )+ 13K ijS00 3K ijPp
(Deformacin de corte no afectadapor Pp)
KP
KS p00
00
=
Los mdulos elsticos (y la resistencia) son dependientes del esfuerzo efectivo
ComplejidadComplejidad: Los mdulos son dependientes de la tasa de carga, ya que las rocas no drenadas son ms rgidas que la rocas drenadas ( el fluido de poro da soporte al esfuerzo externo)
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Dispersin
2000
3000
4000
5000
4 5Frecuencia de Registro (Hz)
1 cp
10 cp
100 cp
Vp
Vs
Vel
o cid
ad (
m/s
)
RegistroLaboratorio
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Arena Lenticular Saturada con Metanol
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Efecto poroelstico de un cambio repentino de Presin de Poro (Pp)
Usando la aplicacin instantnea de fuerza y presin sin deformacin lateral:
Pp32SH =
1,25.0 ==if
( )pvpH PSPS = 1( )( ) pH P1
21S =
0
L: Extensin lateral del yacimiento [m]H: Espesor del yacimiento [m]PP: Cambio de presin de poro [MPa]SH: Cambio en los esfuerzos horizontales [MPa]SH Shmin SHmax: Relacin de Poisson: Biot
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Solucin Elstica:A=(1-2)/(1-)
: Parmetro de ruta de esfuerzos [ ]A SH/Pp
Reactivacin de fallas debido a poroelasticidad
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ViscoelasticidadViscoelasticidad(Deformaci(Deformacin de la roca dependiente del n de la roca dependiente del
tiempo)tiempo)
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Observaciones de deformaciones instantneas y viscosas en arenas secas de Wilmington
5
1
0
1
5
2
0
2
5
3
0
0
0
.
0
0
5
0
.
0
1
0
.
0
1
5
0
.
0
2
0
.
0
2
5
0
.
0
3
0
.
0
3
5
0
.
0
4
0
1
0
2
0
3
0
4
0
Drained Hydrostatic Load CyclingCleaned and Dried Wilmington Sand
C
o
n
f
i
n
i
n
g
P
r
e
s
s
u
r
e
(
M
P
a
)
Axial S
train (in/in)
Time (hr)
Confining Pressure
Instantaneous Strain
Creep Strain
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Relajacin de Esfuerzo de la Arena Wilmington
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Ejercicio en Clase 1 - Mtrico
Calcule el cambio en la magnitud de los esfuerzos horizontales si una arena no consolidada en el yacimiento tiene una Relacin de Poisson de 0.35 y experimenta un agotamiento (Presin de poro) de 13.8MPa.
Nota: Asuma que no ocurre compactacin de la arena. Cules seran las consecuencias para perforar esa
arena de yacimiento? Qu efecto podra tener ese agotamiento de presin
de poro sobre las fallas?
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Ejercicio en Clase 1 - Ingls
Calcule el cambio en la magnitud de los esfuerzos horizontales si una arena no consolidada en el yacimiento tiene una Relacin de Poisson de 0.35 y experimenta un agotamiento (Presin de poro) de 2000 psi.
Nota: Asuma que no ocurre compactacin de la arena. Cules seran las consecuencias para perforar esa
arena de yacimiento? Qu efecto podra tener ese agotamiento de presin
de poro sobre las fallas?
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Discusin en clase
Nombre 3 modelos constitutivos y el tipo de roca donde cada uno es ms apropiado