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SEMANA 9
CURSO : MATEMTICA II
Tema :
INTRODUCCIN
El mtodo de los casquetes cilndricos, proporciona una forma alternativa de calcular
volmenes de slidos de revolucin. En
ciertos casos es el nico mtodo viable porque
el de las arandelas (anillos) puede resultar a
veces difcil de aplicar o no puede aplicarse
en absoluto.
Piense por ejemplo en el problema de hallar el
volumen del solido de revolucin que se
genera al hacer girar sobre el eje Y la regin
que est comprendida, en el primer cuadrante,
entre la curva 3y x 4x 3x 1y la recta
vertical x 3 .
A primera vista puede parecer que el mtodo ms adecuado para este clculo consiste en
hacer repetidas secciones trasversales horizontales del slido- tajarlo por decirlo as- y en
integrar luego los volmenes de todos los trazos. Sin embargo, se presentan varias
dificultades. La primera est en que las secciones transversales son, en unas zonas del
slido, discos completos y, en otras,
arandelas (anillos), es decir discos con
hueco. Esto conduce a tener que dividir la
regin de integracin en varias
subregiones, lo que resulta engorroso.
Pero por otra parte, para plantear la
integral es necesario expresar tanto el
radio de los discos con el radio interior
(radio menor) y exterior (radio mayor) de
las arandelas en funcin de la variable y,
lo que no es fcil de lograr en este caso
(Vase la figura a la derecha).
Clculo de volmenes de slidos de revolucin: mtodo de la corteza cilndrica
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En cambio, el mtodo de los casquetes cilndricos
funciona muy bien en esta situacin. Bsicamente
consiste en dividir el slido de revolucin en una serie
de casquetes cilndricos que se incrustan unos dentro
de otros y en integrar luego los volmenes de estos
casquetes para obtener el volumen total. En la Figura
mostrada a la derecha se puede ver cmo se van
agregando y se van retirando sucesivamente estos
elementos y cmo se produce el slido de revolucin.
Es por eso por lo que a este mtodo se le conoce
tambin como el mtodo de las capas, las
envolturas, las envolventes o los cascarones cilndricos.
PLANTEAMIENTO GENERAL: MTODO DE LOS CASQUETES CILNDRICOS
Para comenzar a entender en detalle el mtodo de
los casquetes cilndricos debemos establecer
cmo calcular el volumen V de un casquete
cilndrico de altura h cuyo radio interior es 1r y
cuyo radio exterior es 2r como el que aparece en
la Figura. Naturalmente procedemos restando el
volumen 1V del cilindro interior al volumen 2V del
cilindro exterior, as:
1 2
2 22 1
2 22 1
2 1 2 1
2 12 1
V V V
r h r h
r r h
r r r r h
r r2 r r h
2
En esta expresin podemos reconocer varias cosas. Si
ponemos
2 1r r
r2
, el radio medio de los cilindros, y
si ponemos 2 1r r r , el grosor del casquete
cilndrico, entonces podemos expresar el volumen de
la forma siguiente:
V 2 rh r
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Esta expresin puede recordarse fcilmente si se piensa en que el casquete cilndrico se
abre y se aplana convirtindose en una caja rectangular de escaso grosor como lo muestra la
grfica.
Ahora bien, consideremos el problema general de hallar el volumen del slido de
revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje Y la regin que est comprendida
entre la curva y f(x) , con f(x) 0 , el eje X, es decir, la recta horizontal y 0 y las rectas
verticales x a y x b , donde 0 a b . La regin aparece representada en la Figura a y el
slido de revolucin que engendra en la Figura b.
Dividamos en intervalo a;b en n subintervalos i 1 ix ;x , todos con el mismo ancho:
b ax
n . Sea
*ix el punto medio del i-simosubintervalo. Consideremos el rectngulo
iR construido sobre el i-simosubintervalo con
una altura de *if(x ) y hagmoslo girar en torno del
eje Y. Entonces se produce un casquete
cilndrico que tiene como radio medio*ix , como
altura *if(x ) y cuyo grosor es i 1 ix x x (Vase
la figura). Por lo tanto, el volumen iV de este
casquete cilndrico est dado por:
* *i i iV 2 x f(x ) x
Figura a Figura b
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Para obtener un clculo aproximado del volumen total del slido de revolucin debemos
poner n casquetes cilndricos se stos, unos
dentro de los otros, como lo ilustra la figura y despus sumar los volmenes de todos ellos:
n n
* *i i i
i 1 i 1
V V 2 x f x x
Se puede probar que esta aproximacin ser mejor entre ms grande se n, el nmero de
casquetes cilndricos. Por eso, se puede poner:
bn
* *i i
ni 1 a
V lim 2 x f x x 2 xf(x)dx
Y de esta manera hemos llegado a formular una regla general para el clculo de volmenes
con el mtodo de los casquetes cilndricos. Es la siguiente:
MTODO DE LOS CASQUETES CILINDRICOS: UNA CURVA
El volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje Y la
regin que est comprendida entre la curva y f(x) , con f(x) 0 , el eje X y las rectas
verticales x a y x b , donde 0 a b , est dado por la integral:
b
a
Volumen V 2 xf(x)dx
Ejemplos:
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1. Determinar el volumen del slido generado al girar alrededor del eje Y la regin
limitada por la grfica de la funcin 2 3f(x) 2x x y el eje de las abscisas.
Solucin:
Hallemos los puntos de interseccin de la funcin 2 3f(x) 2x x con el eje X (eje de las
abscisas). Para esto hacemos f(x) 0 , es decir:
2 32x x 0
2 x 2 x 0 x 0 x 2
Entonces, la grfica de la funcin 2 3f(x) 2x x y del slido de revolucin formado al
rotar la regin generada por la funcin 2 3f(x) 2x x alrededor del eje Y se muestra en
la siguiente figura:
Luego, el volumen se determina de la siguiente manera:
b
a
V 2 xf(x)dx
Dnde:
a. 2 3f(x) 2x x
b. x 0 x 2 c. Entonces, tenemos que:
22 2 4 5
2 3 3 4
0 0 0
x xV 2 x 2x x dx 2 2x x dx 2
2 5
4 52 2 162 0
2 5 5
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16V (unidades cbicas)
5
2. Determinar el volumen del solido obtenido por revolucin, al hacer girar la regin
acotada por 1
yx
, el eje X y las rectas x 1 x 4 alrededor del eje Y.
Solucin:
La grfica de la funcin se muestra en la siguiente figura:
Sabemos que el volumen del solido obtenido por revolucin, se determina de la
siguiente manera:
b
2
a
V 2 f(x) dx
Donde:
a. 1
f(x)x
b. a 1 b 4
Entonces, tenemos:
44 4 312 2
00 0
x 2V 2 dx 2 x dx x
3x
28
V unidades cbicas3
3. Determinar el volumen del slido de revolucin generado al girar alrededor del eje Y la
regin limitada por la parbola 2f(x) 4x x y el eje de las abscisas.
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Solucin:
Determinemos los puntos de interseccin de la funcin 2f(x) 4x x con el eje X. Para
esto hacemos f(x) 0 , es decir:
24x x 0
x 4 x 0 x 0 x 4
Entonces, la grfica de la funcin 2f(x) 4x x y el slido de revolucin formado al
rotar la regin generada por la funcin 2f(x) 4x x alrededor del eje Y se muestra en
la siguiente figura:
Luego, el volumen se determina de la siguiente manera:
b
a
V 2 xf(x)dx
Donde:
a. 2f(x) 4x x
b. a 4 b 0
Entonces:
4 4
2 2 3
0 0
V 2 x 4x x dx 2 4x x dx
43 4
0
4x x 256 2562 2 0
3 4 3 4
128V unidades cbicas
3
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MTODO DE LOS CASQUETES CILINDRICOS: DOS CURVAS
El volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje Y la
regin que est comprendida entre la curva y f(x), y g(x) con f(x) g(x) x a;b , el eje
X y las rectas verticales x a y x b , donde 0 a b est dado por:
b
a
Volumen V 2 x f(x) g(x) dx
Ejemplos:
1. Determinar el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar sobre el
eje Y la regin comprendida por la parbola 2y x 4x 3 , por la cbica
3 2y x 6x 12x 5 y por las rectas verticales x 1 y x 3 .
Solucin:
La regin en cuestin aparece mostrada en la figura mostrada abajo. En este caso, a
diferencia de los ejemplos anteriores, hay dos funciones involucradas que son:
2y x 4x 3 e
3 2y x 6x 12x 5 .
El slido que se genera ala hacer girar esta regin alrededor del eje Y puede verse en la
figura mostrada abajo. Obsrvese que est limitado arriba y abajo por dos superficies
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de revolucin curvas y en la parte interior y en la exterior por dos superficies
cilndricas.
Luego, el volumen se determina de la siguiente manera:
b
a
V 2 x g(x) f(x) dx
Donde:
a. 3 2 2g(x) x 6x 12x 5 f(x) x 4x 3
b. a 1 b 3
Entonces:
4 4
3 2 2 3 2
0 0
V 2 x x 6x 12x 5 x 4x 3 dx 2 x x 5x 8x 2 dx
33 5 4 3
4 3 2 2
1 1
x 5x 8x2 x 5x 8x 2x dx 2 x
5 4 3
292V unidades cbicas
15
5. Determinar el volumen del slido generado al girar la regin acotada por x
y 2x, y2
y x 1alrededor del eje Y. Solucin:
Determinemos los puntos de interseccin entre las funciones y 2x e x
y2
. Para eso
igualemos ambas funciones:
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x
2x2
x 0
Luego, la grfica de la regin acotada por x
y 2x, y2
y x 1 se muestra en la
siguiente figura.
Luego, el volumen se determina de la siguiente manera:
b
a
V 2 x f(x) g(x) dx
Donde:
a. x
f(x) 2x g(x)2
b. a 0 b 1
Entonces:
1 1 2
0 0
x 3xV 2 x 2x dx 2 dx
2 2
13
0
3x 3
3 3
V unidades cbicas
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MTODO DE LOS CASQUETES CILINDRICOS:ALREDEDOR DE X K
El volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor del eje x k la
regin que est comprendida entre la curva y f(x) con f(x) 0 , el eje X y las rectas
verticales x a y x b , donde a b est dado por:
b
a
Volumen V 2 x k f(x)dx
OBSERVACIN:
a. El volumen V del slido de revolucin generado al girar la regin acotada por la
grficas de la funciones y f(x) y y g(x) , desde x ahasta x b , alrededor de la
recta x k ; donde k a;b ; adems f(x) g(x) x a;b viene dado por:
b
a
V 2 x k f(x) g(x) dx
b. El volumen V del slido de revolucin generado al girar la regin acotada por la
grficas de la funciones x f(y) y x g(y) , desde y c hasta y d , alrededor de la
recta y k ; donde k c;d ; adems f(y) g(y) y c;d viene dado por:
d
c
V 2 y k f(y) g(y) dy
Ejemplos:
6. Determine el volumen del slido generado por la rotacin de la regin limitada por las
grficas de 2x y 3y 6 0 y x y 3 0 , alrededor de la recta y 3 .
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Solucin:
Determinemos lo puntos de interseccin de ambas funciones. Despejando ambas
funciones, tenemos 2x y 3y 6 y x y 3 . Igualando ambas funciones:
2y 3y 6 y 3
2 y 2y 3 0
y 3 y 1
Luego, la grfica de la regin acotada por 2x y 3y 6 y x y 3 se muestra en la
siguiente figura.
Luego, el volumen se determina de la siguiente manera:
d
c
V 2 3 y f(y) g(y) dy
Donde:
a. 2f(y) y 3y 6 g(x) y 3
b. c 3 d 1
Entonces:
1 12 3 2
3 3
V 2 3 y 6 3y y 3 y dy 2 y y 9y 9 dy
14 3 2
3
y y 9y 2562 9y
4 3 2 3
256
V unidades cbicas3
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7. Determine el volumen del slido de revolucin que se genera al hacer girar alrededor
de la recta vertical x 1, la regin que est comprendida entre el eje X, las rectas
verticales x 2, x 3 , y la curva y f(x) donde 2y 2 x 2x .
Solucin:
Entonces, la grfica de la funcin 2f(x) 2 x 2x y el slido de revolucin formado
al rotar la regin generada por la funcin 2f(x) 2 x 2x alrededor del eje Y se
muestra en la siguiente figura:
Luego, el volumen se determina de la siguiente manera:
b
a
V 2 x k f(x)dx
Donde:
a. 2f(x) 2 x 2x
b. b 3 a 2
Entonces:
3 3 3
2 2
2 2 2
V 2 x 1 2 x 2x dx 4 x 1 dx 2 x 1 x 2xdx
La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda integral podemos hacer
la sustitucin 2w x 2x , por lo cual dw 2 x 1 dx y, respecto de los lmites de
integracin, si x 2 entonces w 0 y si x 3entonces w 3 . Luego:
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3 3
2 0
V 4 x 1 dx wdw
332 3
2 0
x 2 w4 x
2 3
V 6 2 3 unidaes cbicas
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. Calcule el volumen del slido de revolucin generado al girar la regin dada alrededor
del eje Y.
1. 2,0,0,12 xxyxy 2. 0,42 yxxy 3. 2,0,0,4 2 xxyxy
4. 4,0,0, xxyxy 5. 0,0,4 2 xyxy 6. 0,0,43 xyxxy
II. Calcular el volumen del slido de revolucin generado al girar la regin dada alrededor
del eje Y.
1. xyxxy ;4 2 2. 22 23;4 xyxxy 3. 032;224 yxxy
III. Resolver
1. Determine el volumen del slido generado al girar alrededor del eje Y la regin acotada por
la recta que pasa por los puntos 1;3 , 3;7 y las rectas x 1; x 3 .
2. Calcule el volumen generado al rotar la regin limitada por 2 2y x ; x y , alrededor de la
recta x 2 .
3. Calcule el volumen del slido generado al rotar 3 2y x ; y 2x x , alrededor de la recta
x 1.
4. Calcule el volumen del rea plana comprendida entre 2y x 3x 6; y 3 x engendrado
al girar alrededor de la recta x 1.
5. Diseo industrial. Un slido se genera al girar la regin acotada por 2 / 2y x y 2y
alrededor del eje y. Un hueco, centrado a lo largo del eje de revolucin, se taladra a travs
de este slido tal que se pierde un cuarto del volumen. Encontrar el dimetro del hueco.
6. Sean los puntos A( 2;4), B(1;1) sobre la parbola 2y x y los puntos C(1;s), D( 2;r) , tales que
el segmento de recta CD es tangente a la parbola y es paralelo al segmento de recta AB.
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Halle el volumen que se obtiene al girar el rea de la regin encerrada por la parbola y por
los segmentos AD, DC y CB, alrededor de la recta x 1.
7. Determine el volumen de los slidos generados al hacer girar las regiones alrededor de los
ejes dados. Si considera que sera mejor utilizar el mtodo de las arandelas en alguno de
ellos, hgalo.
a) El tringulo con vrtices (1,1), (1,2) y (2,2) alrededor de
a.1 El eje x a.2 El eje y a.3 La recta x = 10/3 a.4 La recta y = 1
b) La regin acotada por , 2, 0y x y x alrededor de
a.1 El eje x a.2 El eje y a.3 La recta x = 4 a.4 La recta y = 2
c) La regin acotada por 22y x x y y x alrededor de
a.1 El eje y a.2 La recta x = 1
8. La regin que se muestra a continuacin se hace girar alrededor del eje x para generar un
slido. Cul de los mtodos (el de discos, el de arandelas, o el de casquillos) podra
utilizarse para determinar el volumen del slido? Cuntas integrales son necesarias en
cada caso? Explique.