d)
-ÜFÍ
Cotx-b AxcCotb+nx
e)
b<^21 _JLíjbs4 b> 4 2 2 2
ArcSeax-b No ha y Senb No hay
solución solución
f)
b<0 Oibií b>i
AxcCoax-b No hay- x=Coab No hay
solución solución
Jbs^L . 2 2 2 2
AxcTeuix~b No bey x-T&nb No hay
soluciones solución
h!
ArcCotjfjb
b<0 0<b\n b>ü
ArcCotjfjb No hay
soluciones
x-Cotjb No hay
solución
378
III. Justificar el siguiente cuadro paso a paso e ilustrarlo
con ejemplos.
a)
Desigualdad b<-l b=-l - í í t . a b=l b>l
CoBx>b /
(—as, +m) (-x+2nn.x+2nK) rmZ (2ax -ArcCoab. 2nn+AccCo0b) no hay no hay
solución solución
CO0x<b No hay
solucion
No hay
solucion
(2nx+ArcCoob,2n-AxcCosb*2nx) (2ni,2H+2nK! (-»,+ffi)
b!
bí-l -í b<l b=l b>l
S*nx>b (-Ej+ffi) (^ *2nx, 3 nit, +2nn) (AxcSemb+2nx. 2nrt - ArcSenb) No hay solución
No hay
solucion
Senx<b No hay
solucion
No hay
solucion
(—x-AzcSenb+2nn,AzcSeob+2nx) 2 2
c!
|
Tnnx>b {AzcT&nb+nx, — ) 2 «
Ttuvc<b (+DX . AzcTanb+rm) Ttuvc<b 2
379
d)
- OO < b < +00 Cotx > b (mr,ArcCotb + n tr )
Cotx < b (ArcCotb + ni , n + mr )
e)
ArcSaax>Jt)
ArcSenx<b
b<-? h _7r h > ïï b= —2f- b > — 2 2 2
ArcSaax>Jt)
ArcSenx<b
[-1,1] [-1 ,1 ] (Senb,1] No hay solución
No hay solución
ArcSaax>Jt)
ArcSenx<b No hay solución
No hay solución
[-1, Senb] [-1,1] [-1,1]
f)
AxcCoax> b
AxcCoax<b
b <0 b = 0 0 < b < TT b = TT b >IT
AxcCoax> b
AxcCoax<b
[-1,1] [-1,1] [-1 , Cosb] No hay solución
No hay solución
AxcCoax> b
AxcCoax<b No hay solución
No hay solución
(Coab, 1) [-1 ,1] [-1,1]
9)
AxcT&nxìb
AxcTanx<.b
bi^* 2 2 2 2
AxcT&nxìb
AxcTanx<.b
( - CO , + OO ) (Tanb,+-) No hay solución
AxcT&nxìb
AxcTanx<.b No hay solución
( - œ, Tan b) ( + )
380
h)
b< 0 0< b <7T b > TT
ArcCotx>b (-<*>,+ OO ) ( -<» , Cotb) No hay solución
ArcCot<b No hay solución (Cotb, + «> ) ( _ œ , + œ )
381
3.3.13 FORMAS TRIGOHOMfiTRICAS DE HÚMEROS COMPLEJOS
Recuerde que en la sección sobre números, Be representó un
número complejo Z=x+iy, utilizando coordenadas polares, en la
forma:
Z=x+iy=rCos6+irSen6 con r-Jx2+y2 y .
Esta representación se conoce con el nombre de forma polar o
trigonométrica del número complejo Z=x+iy, y se utiliza
frecuentemente con el fin de simplificar cálculos, ya que
como se verá, utilizando identidades trigomométricas
adecuadas, facilita algunas operaciones entre números
complejos.
1. Si Z=rCos8+irSenO y W=pCosu+ipSenu son dos números
complejos en forma polar, entonces
Z .W = (rCosd+irSen6)(pCosu+ipS.enu)
=rpCos0Cosu+irpCos0Senu+irpSen0Cosu+i2rpSenOSenu
=rp(Cos0Cosu-SenOSenu)+irp(CosOSenu+SendCosn)
= rp[Cos(6+u) + iSen(0+u)].
Observe que del anterior resultado se deduce que:
|ZW| = |Z||W.| (Ejercicio).
382
2. Generalizando 1, para el producto de n números complejos •v
iguales se puede demostrar, utilizando inducción
matemática, el llamado Teorema de DeMoivre:
Si Z=rCos8+irSen0, entonces para todo n€N se tiene:
Z n=r n[Cosn8+iSennO] (Ejercicio)
3. Si Z=rCos0+irSen6 y W^pCosu+ipSenu entonces _Z _ zCosto+lzSei18 _ r ( C o a 8 + i S e n 8 ) (Cogii- i ffgnu) W ~ pCo8\x+ipSen\k p (Cos\x+lSen\i) (Cosn- iSer in)
i (Cog&Co8\x-íCo8&Senu,+lSer&Co8\x +Seü$Sen\L) P Cos2n+Sen2ii
= — I (Cos8Cos|i+Ser&Sen\i) + i (C08\xSer&-C08&Sen\x) ] P
= — (COO(6- | i )+ i5en<e- | i ) ) P
Ejemplos
1. Si Z=-l+i=x+iy=rCos8+irSen8, entonces:
T ' y f x ^ p ^ i - y i — 1 y así
pues Z se encuentra en el 2 d o cuadrante (Fig 3.92) V
383
Si Z-l-i/í-x+iy , entonces r*V*2+y2,aVl+ (-V^)a-/T-2 I
, por tanto 8=300°, pues el punto se x 1 encuentra en el 4 r t cuadrante (Fig 3.93)
Y
-l+i/J-x+iy , por tanto
y TanS" • •"" jffi , entonces pues el punto se
encuentra en el 2 d o cuadrante, luego
-l+Íy^-2(C0S-^-+ÍSeJI-^-) y así:
(-l+iy'S) 1 0-2 1 0(COS-^+¿Sen-^p-) —512+886. 8i
Calcular (l+¿)10
384
<l+i)10 -(v^(COS45°+i5eJ3450))10-
= (y^)10 (Cost450B +iSen450°)
= 32 (CO£r(360° +90°) +i£ten(360° +90°) )
= 32 (COS90° +lSen90°) -32i
5. Efectuar la operación -2(-l+1J5)(J5+1)
-2(-l+i^) (v^+i) =
= 2(COBlQQ°+lSenl8(f) (2) (Cosl2(f +lSenl2(f) (2) (COB3(f +isen3(f)
- 4 (Coa30(f +lSen300°) 2 ( Cob30° +iSen30°)
= 8 (COB33(f +Í5©n330a)
2 2
6. Efectuar la operación . -2^/5+2 i
4-4i/? _ 8 (COB300°+lSen300o) -2J3+21 4 (Casi50o +i£tenl50°)
= 2 (Cos(300° -150°) +i£>eil (300° -150°) )
2 2
3.3.13.1 RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO
Dado un número complejo Z=x+iy, se dice que el número
385
complejo W=u+iv, es una raiz n-ésima del número complejo Z,
si W"=Z.
Si Z=x+iy=rCos8+irSen0 y W=u+iv=pCosu+ipSenp. es una raíz
n-ésima de Z. ¿Cómo se representa el número complejo W en
términos de r y 8?. Para ello:
W"=Z«*(p(Cosn+iSenu) )n=r(Cos6+iSenO)*
p"(Cosnu+iSennu) = r(Cos9+iSen8) = r(Cos(0+2kn:)+iSen(8+2kit)
pn = t p = r'« y Cosnu=Cos(6+2kTt) y Sen(nu)=Sen(0+2kTc).
Entonces nu=0+2kn VkeZ , es decir, Ji" , luego para cada n
entero k el número complejo:
ai-r • (Cog( *+2kK ) +lsen( e+ 2 j c*)) , es raíz n-ésima de Z=x+iy; n n
pero es posible demostrar que entre estos valores solamente
hay n diferentes: para k=0,1,2,...,n-1 llamémoslos
Wia , Wi, . . . , Wn-i y que para cualquier otro valor de R, el
número complejo Wk coincide con alguno de estos, es decir, un
número complejo Z tiene exactamente n raices diferentes.
Ejemplo 1
Hallar las raices cuadradas de Z=l-i.
Como
386
1-i-v^ {Co8l35? +lSen315°) =
,/Z (COB (315*+2kl80° )+1COB (315°+2klB0°))2
M 315°+2*100° ̂ , y ^ / 315o+2jcl80* , „ (1-1)a-24(Cos( - )+¿Sejj( - )) para k=0
k=l, es decir; las raices son:
0 2 2
( C o g ( 315^360- ) + J 5 e n ( 315^3601,,
Ejemplo 2
Hallar las raíces cuartas del complejo Como -8-8v^¿«16 (COS240°+iSen240°) =
< - B - 9 # 0 * - 1 6 * (CÓS( 2AQ'\k36(f)+iSen( 2 * 0 m W } ) p a r 4 4 k=0,1,2,3, es decir; las raices son:
&r0=2 (Cos-^^+iSen-^^-) -2 (Cos6 0o +íSen6 0°) 4 4
A A
W^-2 (COS( 240°+360" ) +i5<?JJ( 240a+360° } } - 2 ( C o g l 5 ( f 1 5 Qo > 4 4
= 2
(COS ( 2 4 ° O t 7 2 0 ° ) +iseil ( 2 4 0 * + 2 7 0 ' ) ) -2 (COS24(7" +¿S<MJ240°) 4 4
387
y 3-2(CO g( 2 4 Q'^ 1 0 8 0 < >) +i Sen( 21011JL0801)) -2(00833?+ÍS61**0«) 4 4
= - 1
Ejemplo 3
Hallar las raices cuartas de Z=l.
Como l = l(Coso+ iSen0 )=Cos(0+2kit) + iSen(0+2krt) , entonces
k=0,1,2,3, es decir, 4 4
W0 - CoaO+lSenO" 1
Wx~COB < 4 ) +i5©il ( 4 ) -i » A
w2mCo8% +isenn —1
Wj—Cos ( ) +¿5e n (iJL) — ¿
Observe que estas raices son los vértices de un cuadrado
inscrito en la circunferencia x 2+y 2=l
388
EJERCICIOS
1. Escribir los siguientes números complejos en la forma
polar.
a) -3-3i b) 3+3i
c) -3+3i d) 3-3i
e) f) i
g) l-iyfS
2. Efectuar las operaciones indicadas en forma polar
. (3-3ÍV?)(-2-21V?) (I(l-i)(l+i)
=2 b ) (-v^+i) (^3+i)
-4VJ-4i
d)
e) (i(l-¿))"
f ) (l^i)'(v^-i)3
(1+ÍV5)'
3. Dar la forma rectangular de los complejos siguientes:
389
a) 2(C08600+Ísen60°)
b) 4(COSl20o+iSei3l20o)
c) A(Coal20°-lSenl20a)
8(Cos300°+lSen300°) 2 (Cosí 5 0a +iSonl 5 0o)
e ) 32 (Cos60° +I¿>en6 0°) (CoaAS*+lSen45°)) CCOS90o +¿501390°) (5 (COS27 0o +¿Ssn27 0o) )
4.
a) Hallar las raices terceras y quintas de 1 (¿Son vértices
de algún polígono?)
b) Hallar las raices cúbicas de Z-J3-i
c) Hallar las raices cuartas de Z--1+Í
d) Hallar las raices cuadradas de i
e) Hallar las raices cúbicas de Z--8Í y Z-27 i
390
3.3.13.2 SOLUCION DE TRIANGULOS
Resulta útil en algunas aplicaciones de la trigonometría, lo
que se conoce con el nombre de solución de triángulos, que
consiste en determinar las magnitudes de los ángulos internos
y las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera
dado, conociendo inicialmente algunos de estos datos. Para
ellos es necesario conocer tres teoremas fundamentales:
Teoréma del Seno, Del Coseno y de la Tangente
Teorema del seno
Sean A, B, C los ángulos y a, b, c sus respectivos lados
opuestos en un triángulo (Fig .3.94) Entonces
B
A C b F i g 3 . 9 4
SenA r SenB r SenC a b e
Para su demostración consideremos la figura 3.95
391
De la figura 3.95 a) se tiene:
SenAentonces h-cSenA ;
SenC-— entonces h-aSenC a
Por tanto cSenA-aSenC , es decir
SenA SenC • S • a c
Y de la figura 3.95 b) se tiene: Ir
SenA"— entonces k-bSenA b
Ir SenB»— entonces k-aSeríB a
Por tanto bSenA-aSenB , es decir:
SenA SenB a " b
y así . SenAm SenBM SenC a b e
392
Ejemplos
Hallar el valor de a en la figura siguiente:
c
A+B+C= 180° C=180°-(A+B)=180°-(28O+45O 20')=106° 20' -»de SenA SenC .. cSenA _ 120°.Sai328' • se tiene que ® —~ 'tt r 7 a c 4 SenC Senl06*20'
Teorema del coseno
Sea A, B, C, los ángulos y a, b, c sus respectivos lados
opuestos en un triángulo (Fig 3.96) entonces
c
Fig 3.96
393
i) a 2=b 2+c 2-2bcCosA
ii) b 2=a 2+c 2-2acCosB
i i i) c 2=a 2+b 2-2abCosC
Demostración
De la figura 3.96 h=aSenB, BD=aCosB entonces ÁD=ÁB-BD=c-aCosB
entonces
b 2 = h2+( ÁlT)2 = h 2 + ( c-aCosB ) 2=a 2Sen 2B+c 2-2acCosB+a 2Cos 2B
=a 2(Sen 2B+Cos 2B)+c 2-2acCosB=a 2+c 2-2acCosB entonces
b 2=a 2+c 2-2acCosB.
La parte ii) y i i i) se demuestran en forma análoga
(Ejercicio)
Ejemplo
En la figura siguiente se aprecia un triángulo cuyos lados
miden a=9.23 b=5.04 c=10.6, halle el ángulo A
c
408
a 2=b 2+c 2-2bcCosA - CosA- »*+c*-a* . (5.04) »+ (10.6) <9 .23)2 2be 2(5.04)(10.6) asi
¿-COS-' <5 • • « > • 2 -60• 5-2(5.04)(10.6)
Teoréna de la Tangente
Sean A, B C los ángulos y a , b, c sus respectivos lados
opuestos en un triángulo cualquiera (Fig 3.97) entonces:
T a n ( A j a-b
A-B k 2
A+B j i ) a~ J J -
a + i ,~ Tan(
, ran( b-c 2
2
fl-Cv 2
áat i ai i \ —— ;
Ü D £=SL 2 ^ T 2
Fig 3.97
406
Demostración
i) Por el teorema del seno se tiene que — — • 'f00^ c Sene c Sene
a-b _ a _ b _ SenA _ SenB _ SenA-SenE c c c Sene Sene Sene
a+jb _ a + b _ SenA + SenB _ SenA+Sen£ c c c Sene Sene* Sene
a-b c _ a-b _ SenC ^ SenA-SenB, _
a+jb a+jb SenC SenA+SenB
2Cos(-àlJl)Sen(-££)
r a n í - ^ ) a
ran(Aí^)
En forma análoga se demuestran ii) y iii) (Ejercicio)
396
EJERCICIOS
Los problemas del 1 al 4 se refieren a la figura siguiente:
B
1. Si A=50°40' , b=7.03mts, c=7.00mts, halle el ángulo A.
2. a=4mts, b=10mts, c=9mts, halle los ángulos A, B, C
3. Si b=125mts, A=41.6°, C=95°, halle el ángulo B
4. Si A=26°, a=10mts, b=18mts, halle el ángulo B
5. Si C=90° demuestre utilizando el teoréma del coseno que
a 2+b 2=c 2.
6. En el triángulo de la figura siguiente
A
Se tiene que a=322mts, c=212mts y B=110°50', halle el valor
de b, el ángulo A y el ángulo C.
397
3.3.14 FUNCION EXPONENCIAL
Dado un número real a>0, se definirá la función f(x)=a x paso
a paso, haciendo que "a" recorra los diferentes sistemas
numéricos conocidos.
I. Si neN.se define para a€R, a cualquiera:
a n= a*a*a*a*a*....*a (n veces)
Fácilmente se demuestra que esta función exponencial
satisface las propiedades siguientes:
el. a n a m = a n + m , n,meN
en efecto:
a na m= ( a*a*a* . . .*a)(a*a*a*. . . . *a )- a*a*a*a*a*a* *a=a n+ m
e2. (ab) n=a nb n
Demostración (Ejercicio)
e3. e*o C cn
que resulta inmediata de e2 haciendo
e4. <a n) a-a a n n,meN
Demostración (Ejercicio)
398
Ejemplos 1. 3°=3*3*3*3*3=243
2. 2 3*2 5=2 3 + 5=2 e=256
3. (-5*2) 3=(-5) 3*2 3=-1000
4. (23) * =2 3*2 3*2 3*2 3=2 1 2=4096
II. Se define a 0 = l, para a*0.
Por ejemplo <4)°-l 5 ; 7® = 1; (14299)®=1. 5 2
III. Si neN se define:
a*=Va p a r a n p a r y a > 0 y
si n e s impar y a € Í
Ejemplos
2.
399
3.
IV. Si n,m€N, se define:
a--(a-) "-(Va)" p a r a a > 0
Ejemplos
1.
2.
2 -A. *, 3 > < i > a - < 7 * )
3 -i 5 4 1
En conjunto; I, II, III, y IV definen a* para x€Q, pues
cualquier número racional cae en alguna de estas situaciones,
y se puede demostrar que la función f(x) así definida
(f(x)=a*) satisface las propiedades el, e2, e3 y e4 (Observe
que a diferencia de lo planteado en I, "a" ya no puede ser
cualquier real sino que debe ser mayor que cero).
V. En general dado un número xeR, se puede definir la función
f(x)=a x para a>0. Para el caso que no quedó definido en
IV, es decir para x irracional, se debe tener en cuenta
que cualquier número irracional se puede aproximar tanto
como se quiera por exceso o por defecto por un número
racional (posteriormente se verá que rigurosamente, esta
idea y la correspondiente definición de a x para x
400
irracional, se puede dar, utilizando el concepto de
sucesión convergente).
Se puede verificar que esta función exponencial asi definida
(f(x)=a*, a>0, x€&) satisface también las propiedades el, e2,
e3 y e4.
Ejemplos
1. 2V*-2.8284. . .
2 3^-6.7046...
3. 5*«»156 .9925 . . .
3.3.14.1. CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Teniendo en cuenta que el dominio de f(x)=a*, es el conjunto
de los números reales, tomando algúnos valores de x en I y
calculando sus correspondientes valores de y para dos casos
particulares de a: El primero a=2 (a>l) y el segundo para
(0<a<l) se puede construir las siguientes tablas:
401
X -5 -2.5 -n -1 0 1 1.8 3 TI 4
2X 0.031 0.176 0.375 0.5 1 1.414 2 3.48 8 8.824 16
X -5 -2.5 -1 0 H 1 1.8 3 K 4
32 5.656 2.665 2 1 0.707 0.5 0.287 0.125 0.113 0.062
Y plasmando estos valores en el plano xy se obtienen las
correspondientes gráficas para f(x) = 23t, y g(x) = C$)* (Fig
3.98)
-6. -4.
Fig 3.98
En general se puede apreciar que el gráfico de f(x)=ax para
a>l, tiene características similares al de f(x)=2x y para
0<a<l tiene características similares al de f(x)=(^)x (Fig
3.99)
402
flx\ -a * a>l g(x)-a* 0<a<l
De estas gráficas se pueden intuir algunas propiedades de las
funciones exponenciales, que se enunciarán a continuación,
pero cuya demostración rigurosa requiere elementos de cálculo
diferencial.
1. a0=l, para a>0
2. f(x)=ax>0 para todo x€l y a>0
3. La gráfica de f(x)=ax para cualquier a>0, no presenta
interrupciones, es decir, su trazo es continuo.
4. Si xi>x2 -aXl>aXl si a>l
aXi<aJI% si 0<a<l
ó dicho de otra forma, para a>l, la función f(x)=ax es
creciente, lo que significa gráficamente que a medida que
la variable x toma valores cada vez más grandes, sus
4«3
imágenes también toman valores cada vez más grandes, y
para 0<a<l es decreciente, lo que significa que a medida
que la variable x toma valores cada vez más grandes, sus
imágenes toman valores cada vez más pequeños.
5. Para a>l, la imágen de f(x)=ax, puede ser tan grande como
se quiera tomando a x suficientemente grande. (Cuando x
tiende a +<», f(x) tiende a +«) y tomando a x
suficientemente pequeño (x<0) sus imágenes tienden a
pegarse al eje x sin tocarlo. (Cuando x tiende a -« la
función f(x)=ax tiende a cero).
Para el caso 0<a<l a medida que x se hace más grande sus
imágenes se acercan a cero y para valores de x
suficientemente pequeños (x<0) sus imágenes tomarán valores
tan grandes como se quiera.
3.3.14.2. EL HUMERO e
Considérese la expresión " •
Dando algunos valores a n, y haciendo que estos valores sean
cada vez más grandes, se tiene la siguiente tabla:
404
n 1 100 1000 100000 1000000 10000000
(1+—) 11 a 2 2.7048 2.7169 2.71826 2.71828 2.71828
De ella se puede apreciar que (1+—) n es cada vez grande a n medida que n es mayor, pero nunca será mayor que 3. En
realidad en un curso posterior se podrá demostrar que esta
expresión tiende, cuando n tiende a +<*>, a un número, el cual
resulta ser irracional. A este número se le nota por e y
tiene aproximadamente el valor de:
©-2.71828182...
En la práctica la función exponencial en base "e" es la máá
utilizada, a tal punto que cuando se hace referencia a la
función exponencial sin especificar su base, se debe entender
que se trata de f(x)=ex.
3.3.15. FUNCIÓN LOGARITMO
Puesto que la función f(x) a*, a>0, a*l es inyectiva, entonces existe su inversa jf_1(x) , la cuál se llama función logaritmo en base a y se nota por :
f'1 (x) -Loga x Esta función satisface por tanto que:
y» a * - Loga y-x
405
y sirve para despejar x en una ecuación de la forma ax=b; ya
que : ax-b ** Logma*-Logmb ** x-Loga b (pues Log aa*-x ).
Recíprocamente, si se trata de despejar x en una ecuación de la forma, Loga x**b se hace utilizando la función
exponencial en base a, pues Loga x-b * aLoa,x«ato w X-a"
(pues a L o V a*mx >•
La función y~Logm x con a=e, es decir, la inversa de g(x) = e x se llama Función logaritmo natural y se nota por
F(x)=Ln(x).
En muchas ocasiones en el trabajo con logaritmos en base
diferente a e, se prefiere hacer una transformación adecuada
que nos permita trabajar en esta base.
Puesto que f(x)-Logax es la inversa de g(x)=ax, entonces sus gráficos deben ser simétricos respecto a la recta y=x
(Fig 3.100) y-a *
4§6
Ejemplos
1. Si x-25 - Log2 x-Log2 25-5
2. Si Log, 4 * x«3*
3. Si Log±x=-3 -
4. Si x*>8~2 "* Log„ x=LogB 8"2«-2
5. Logr5 53=3
6. 2-2
De las gráficas de la función logaritmo de pueden deducir las
siguientes propiedades:
1. Logm 1-0 , a
2. El dominio de la función logaritmo en base a es (0,°°) y su
recorrido es todo R.
3. Si a>l, f(x)<=Logax es una función creciente, y si 0<a<l es decreciente.
4. Si a> 1, f(x)-Logax tiende a cuando x tiende a +® y tiende a -«• cuando x tiende a cero.
Si 0<a<l, f(x)"Logax tiende a cuando x tiende a +» y* tiende a +» cuando x tiende a cero.
393
3.15.1. OTRAS PROPIEDADES
Loga xy~Logm x+Logm y
Demostración
Sea Z'Log„ x+Logm y - a *-a ̂ x+l08r" y - a * a y-xy
z a ~xy
decir por tanto Loga a *-Loga xy entonces
Z"Logm xy , y así Logm xy-Loga x*Logm y .
Ejemplo 1
i) Log3 (125) mLog3 5*5*5-Logr3 5 +Log3 5*Log3 5
ii) Log2 i+Log2 20 +Log2 10~Log2 4*20*10-Loga 800
Ejemplo 2
Hallar el valor de x tal que Log10 X"LogÍO 5 +Log10 4+Log10 5 .
Log10 x-Logx0 5+Log10 4 +Log10 5 =
Logí0 5*4*5«Logr10 100»Log10 102=2 entonces
Logí0 x-2 y así x»102
N o t a El logaritmo en base 10, se nota por Logx, es deci
Log10 xmLogx .
7 -Log* x-Logm y
Demostración (Ejercicio)
408
Ejemplos
i) Log(~) *Logl5-Log5
5
i i) Log2-Log4-Log3+Log24-Log2+Log24-Log4-Log3
Log48-Logl2"Log4 i u ) Log—— •Logabc-LogxyLoga*Logb*íogc-Logx-Logy
3 ) Loga x"=aiLogm x
Demostración (Ejercicio)
4) Log^B x*=~Loga x
Demostración
(a *)*-a mLoe' *-a ̂ x" -x"
y tomando logaritmo en base a B en esta igualdad se tiene
x-Loga a x«
Ejemplos
i) Log2 25=~Log2 2=5
U ) Log^ 64=Log ^ 2« = A L o g a 2=12 T
iii) Log9 6-Log3» 6-Log3í 2*3»Log3a 2 +Log3» 3
1 . 1 = - | L O G 3 2 + I - L O G 3 3 - I . + I . L O G 3 2
4#9
a * - b M h ' Demostración
»m^LoQb **max
Esta propiedad permite pasar una función exponencial en
una base dada, a cualquier otra base. En particular
a *=e*LOÍ*
Ejemplos
i ) 2x-3*Loflr» 3
i i ) 5x«2*Lotr* 9
Logh x Logm xm ° , es decir, Logb x~LogM x*Logb a i*ogb a
Demostración
bLoe'x*LcVhm-(bCoffbm)L°9mX-(a)Lca'x-x y tomando logaritmo en base b se tiene: Loga x*Logb a-Logb x • es decir
Logb x Log„ X« JX>
a Logb a
Esta propiedad permite cambiar de base en los logaritmos y
en particular es importante el cambio de cualquier base a
la base "e" pues, por ejemplo en las calculadoras manuales
solo figuran Ln y Log y no logaritmos en otras bases, por tanto para calcular LogB x se debe considerar:
418
r „ „ Lnx Log. x - — — Lna Ejemplos
Log2 x . ^ ^ - j g g
m ) LOO. 7«* «= 1 1 1 ; Log-j 5 Log7 5
7) Loga x«Log, y ~ x»y
Demostración (Ejercicio)
Ejemplos
i> Log3 x»iog3 5 -» x-5
ii) Si x=7 - Log2 X"Log2 1
3.3.15.2. ECUACIONES EN LOGARITMOS
1. Hallar x tal que 2 x = 5lt.
Tomando logaritmo natural en ambos lados de la ecuación se*
t iene:
Ln2 *=Ln5 * -» xLn2-xLn5 •* x(Ln5-Ln2) -0
- xLn(-j) =0 -» x-0
411
2. Hallar x tal que 3*»27 . Tomando logaritmo en base 3 en ambos lados de la ecuación
se tiene:
Log3 3*=Logy 27 -» x=Log3 33 x»3
3. Hallar x tal que Log(x-15)+Logx*2 •
En primer lugar x>0 y x-15>0, es decir, x>15 (¿Por qué). Log(x-15) +Logx-Log( (x-15)x) -2 entonces x(x-15)=100
x2-15x-100=0 - (x-20)(x+5)=0 -
x=20 ó x = -5 y así x=20 es el valor que satisface la
ecuac ion.
15 4. Hallar x tal que Log2 X+Lcgi X+Logl X+Log^ •
Pasamos todos los logaritmos a base 2 así:
Log\ x=Log3-x x=-Log2 x 2
Logm x=Log ± x=-^-Log2 x=2Log3 x v aJ ¿ 2
LogA X=Log2t X=^-Log2 X ; entonces
1 5 15 Log2 x-Log2 x+~Log2 x+2Log2 x=-—Log2 x- — ¿ 6 <H
412
entonces Log2 x«3 y así x=23=8 que es solución de la ecuación, ya que se encuentra en el intervalo (0,+«) y
satisface la ecuación. (Ejercicio).
Solucionar la ecuación VLogx~LogJx*-iLogx .
logxiO y x>0 -> x>l y x>0 -» x>l.
elevando al cuadrado ambos términos de la ecuación se
tiene: 1 1 1 -» Logx-—Log7 X" Logx (1--^-Logx) =0 Logx-0 ó l--±-2ogx-0 4 4 4
x—100 — 1 ó 1 '•—•Lox-, Logx=4 ó x=104 , así que: 4
x=l y x=104 satisfacen la ecuación (Ejercicio)
Solucionar la ecuación L°9 X
Logx 2 - — — - — - 3 - —-Log, x - „«•J 9K Log2 x 3 2 *" 2
Solucionar la ecuación LogK {Log2 (Log2 x)) «0
si Logi (Logs (Logax))«0 ~ Log3(Log2 x)) ~ 1 - Loga x-3 y así x=23
413
EJERCICIOS
I. Escribir las siguientes igualdades en forma logarítmica:
a) 2»=32 b) 103=1000 c) <7)4=-¿- d)
II. Escribir las siguientes igualdades en forma exponencial
a) Log2 64-6
b) Log3 81-4
c) Log% 125-3
d) LogO.01--2
III. Usando la definición de logaritmo, hallar x tal que:
a) X'Logj 27
b) x-Loga 16
c) x-Log2 0.125
d) Log5 x-o
e) LogA x - |
f > LogB x — 2
g) Logx'-O.02
IV. Para qué bases
a> Loga 36-2
b ) Logh 36 =1
414
C ) Loge 2 7 — |
d) Logd 2-0.5
V. ¿Cuáles de los siguientes pares de números es mayor?:
a) Logs 32 ; Log2 5
b) Logs 14 ; Log1 18
c) Log± J3 ; Log± J2
VI. Hallar el valor númerico de:
a) Log3 ((Log¡Log2 16))
b) Log2 *y/IE+LogB *</2-Log3 (27y/5)-Logs (v^T?)
VII. Resolver las ecuaciones siguientes:
1) 5X=125
2. Log2 (x-5) «3
3) Log(x-3) -3
4) Lnu-3)-3
4. Logx»2Log3+3Log5
5) Logx- 3 Log2 - 2 Log3+Log5
6) Logj. (x+1) -Log± (x-3)=l ' a a
7) Log2 (x+4)-4
8) Log3 Logñ Log2 (x+5)--1 +Log3 2
415
9) xLctpc"100x
10) Log2 (9*~1+7)-2+Log2 (3X_1+1)
11) i/xLo°Vx„10
12) Log2 x^Logi x+Log, x+Logit x-Logx 8
13) Logj x-9 Loga x«4
14) x+Log(l+2x)~xLog5+Log6
15) Log^/l+x+3Log^/l -X'LogJl -x2 +2
16) Log'1 x=2 +Logx~l
17) ì + -1 ' S-Logx l+Logx
416
3.3.15.3. ALGUNAS DESIGUALDADES
1. S i a> 1, 0 < x i < x 2 * Logm xy<Loga x^
Demostración
Como 0<xi<x2, existen Logm xx
y Logm x2 y así
X K X 2 - x 1 - a X o f l r " *l<x2-aLOVa ** - » i < a ¿ < v . - Loga xí<Logm x2 ,
pues para a>l, f(x)=a* es creciente.
Ejemplos
a) 22<24 "» Log2 22<Log2 24 pues a = 2> 1
b) 3<27 -» Log¡ 3<Log3 27 pues a = 3> 1
c) Si x<23 - Log2 x<Log2 8 -» Log2 x<3
d) Si Log5 x<2 - x<52
e) Si 3x>7 - Log3 3*>Log3 7 - x>Log3 7
f ) Si x>Log2 3 «• 2*>3
h) Si Loga x>4 x>2*
i) Si x>36 - Log3 x> 6
417
2. Si 0<a< 1; 0<xi<xz ~ Logm xv>Loga x^
Demostración (Ejercicio)
Ejemplos
a) - t t < - t L°9± >Log± (±) , p Ues a=>S<l l o 4 * 1
b) Log± (-£-)>Log± -i- - > P u e s a=2/3<l
1 3 c) Si Logx x<3 - ( i j ^ i ' w i j S - *>( i ) a v a; 2
d) Si x > ( A ) 5 - ( i j ^ ' x i ) » - Logx x<5 3 x 3 3 *
e) Si Logx x>4 -
f) Si Logx x >2 x<(^) 2 2 2
Otros Ejemplos
1) Solucionar Log3 (2x-5)<2 .
a=3>0; 2x-5>0, es decir x > \ > para que I<og2 (2x-5)
tenga sentido.
Log3 (2x-5) <2 -» 2x-5<3a -» 2x<9+5-14 -» x<7 . y como
X > 4 -»el conjunto solución es (-j/7) .
2. Hallar el conjunto solución de
418
Log3 | 2x-5 | >2 . En esta desigualdad x puede tomar cualquier valor real
x*5/2, luego si Log3 | 2x-5 | >2 ¡ 2x-5| >32 = 9 ̂ 2x-5| >9 y la solución de ésta desigualdad es:
|2x-5¡ 5-2x 2x-5
5-2x>9 (I) -| 2x-5 >9 (II)
i) Si x ¿ - | ¡ 2x-5 | «5-2x>9 5-9>2x -4>2x •• x-2 .
Luego la solución en i) es (-°°,-2)n(-oo,-j] = (-«•,-2)
ii) Si » 4 12x-5 | =2x-5>9 •• 2x>14 « x>7 , mí
Luego la solución en ii) es (-7 , +«•) n[-|-, +«•) = (7, +«•) .
419
Asi la solución total es (-«•, -2) U(l, +••) .
3. Hallar el conjunto solución de Logx (x+6) <2
a) Si x>l ;
Logx (x+6) <2 •» (x+6)<x2 - x2-x-6>0 ~
(x-3) (x+2) >0 -x€(-oo,-2)U(3,+«) (Ejercicio).
Como x+6>0 x>-6 por tanto la solución es
[ (-«, -2) C7(3, +«) ] n(i, +<») n(-6, +«) - <3, +••)
b) Si 0<x<l, Logx (x+6) <2 - (x+6) >x2 - x2-x-6 <0 - (x-3) (x+2) <0
xe(-2,3) (Ejercicio).
Y asi la solución para este caso es
(-2»3)n(o,i)n(-6,+«)=(o,i)
Luego la solución total es (3,+» )U(0,1) .
4. Hallar el conjunto solución de Log3 (x-3Vx+T+3)<1 .
Esta desigualdad tiene sentido si:
420
x+liO y si x-3/x+T+3>0 , es decir, X>-1 y
x+3>3/x+T
Para X>-1 ambos términos de la 2 d a desigualdad son positivos y así se puede elevar al cuadrado para obtener:
(x+3) 2>9 (x+1) - x2+6x+9>9x+9 ~ x2-3x>0 - x(x-3)>0 x€(—°°,0)U(3,+CO) (Ejercicio).
Luego tiene sentido si
x€[(-«,0)U(3,+«)]n(-l,») = t-l,0)U(3, f«) .
Ahora se resuelve la desigualdad:
Como a=3>l, entonces
Log3 (x-3>/x+T+3) <1 - (x-3/x+I+3) <3 x-3v/x+I<0 xO^x+1
a) Para -l<x<0, la desigualdad x O / x + T es válida, pues una expresión negativa (x) siempre es menor que una positiva (3/j¡rTT) > luego [-1,0) es solución.
b) Para x>0, los dos términos de la desigualdad xOyGt+T son positivos, entonces x2<9 (x+1)
- x2-9X-9 <0 (X2-9X+ 81 81 4 4 -9)-(x— - < 0 **
T 1 ! 4
(x-9.90)(x+0 . 90 ) <0**xf (0 . 90 , 9 . 90 ) . pero ^omo- x>3,
421
x€( -0 , 90 , 9, 90 )íl( 3 , +<» )-( 3, 9 . 90 ) .
Y asi la solución total es [-1,0)11(3,9.90).
EJERCICIOS
I. Hallar x tal que:
1. y ^ i -V 125
2. 3*4l+3x«36
3 22jc+2«9 *2x-2
4. 4^I*,-6»2^r*r+8<0
II. Solucionar las ecuaciones
1. 52jc+1¿53x_2
422
1 x-i i a*+3 2- <i> « i ' 3. 1 0 s * ~ 2 = 3 4 8
4. x*a~7*+12-l
3 3X-7 7 7X-3 5 . ( f )
III. Cuáles de las afirmaciones siguientes son válidas
a) Si x>2 *• 3X>32
b) Si x > 2 * ( - | ) ' < ( - | ) 2
c) Si x<5 "*• a*<a3 para a>0
d) Si x>-2 a*>a~2 para todo a>0
e) La función f(x)=2x es inyectiva y par
f) La función f(x) es creciente e impar 2*
g) La función jf(x)=3* tiene recorrido (0,+»)
h) Si ax<ar •*• x<y para a,b>0, x.yeR
IV. Justificar que para los valores de a y b asignados, las
desigualdades dadas tienen las soluciones que aparecen
en los cuadros:
b>0 b=0 b<0 a x>b (a> 1) (Loga b , +«)
(-oo,+oo)
423
ax<b (a>1) (-«,Loga b) No hay Solución
No hay solución
ax>b (0<a<1) (-«,Loga b) ( -00 f +C0 ) ( - « , + » )
ax<b (0<a<1) (Loga b, +») No hay solución
No hay solución
-w<b<+<»
Logmx>b (a> l) (ab,+w)
Loga x<£ (a>l) (0,ab)
Loga x>b <0<a<i) (0,ab )
Loga x<b <0<a<l) (ab,+co)
V. Resolver las siguientes desigualdades
1. Log3 x>5
2. Log2 (x-5) <3
3. Log2 (xa-x-6) <0
4. Log2 (xa-x-6) >0
5. Logx (x-1) <3
6. Logx (xa-2x) >1
7. Log2 \2£z1\<2
424
8. Log2 (-^_A)<4
9 . Log± I I <2 « x-3
10. Log(x2-l) ¿Log(x-l)2+Log\x-2 |
11. Log3 (l-JxZI) <2
12. (x2+x+l)*íl
13. Logx_2 (x-5) <4
1 4 2+Logr3 x ^ 6 X-l 2X-1
15. Log8 (x2-4x+3) >Tan~
16. Log^ (-^|-)>1
VI. ¿Cuáles de las desigualdades siguientes tienen las mismas
soluciones?
1. Log3 x 2>0 y 2Log3 x>0
2 . Log3 x2>0 y 2Log3 | X | > 0
3. Log3 x 2>0 y 2Log3 (-x)>0
4. Log2 (x+i)+Log2 (x-8)>0 y Log2 (x+7)(x-8)>0
5. L o g ^ (x-l) (x+l) >o y x>o y (x-i) (x+i) >o
6. Logx2>0 y Logx+Logx>0
7. Logxl (x-l) (x+l) <o y (x-l) (x+l)>o
425
8. Logx*>O y áLogx>O
VII. Resolver las siguientes desigualdades
1 - i/x<JxTT
2. v^=T+2>0
4. <Jx+2>x
5. v/3x+T-Vxr2>3
6. Vx+V3cíT>5
7. x+2>Vx+5
8. V*>-4
9 •
10. V^-x-V'x+K 2
3.3.16. FUNCIONES HIPERBOLICAS
A partir de la función exponencial se construye unas
funciones que tienen un comportamiento muy similar al de las
funciones trigonométricas; son las llamadas Funciones
hiperbólicas, definidas de la forma:
Seno hiperbólico de x
426
X -X Senhx- 0 ° 2
su dominio es (-oo,+co) y su recorrido es (-«,+«).
Es una función inyectiva.
Es una función impar.
Coseno hiperbólico de x
Coshx- e*+e~* 2
su dominio es (-<*>,+«) y su recorrido es [1,+«).
No es inyectiva.
Es una función par (Ejercicio).
Tangente hiperbólica de x
Tanhx- Senhxme^e^ Coshx e*+e~*
Dominio (-«,+«) y recorrido (-1,1)
es una función impar e inyectiva (Ejercicio)
427
C o t a n g e n t e h i p e r b ó l i c a d e x
Coshx Cothx- Senhx
Su dominio es ( -« ,0 )U(0 , ) y su recorrido (-<»,-1)0(1,+»)
Es inyectiva e impar. (Ejercicio)
S e c a n t e h i p e r b ó l i c a d e x
i Sech-
Coshx
Su recorrido es (-«»,+co) y su recorrido (0,1].
No es inyectiva.
Es una función par (Ejercicio).
C o s e c a n t e h i p e r b ó l i c a d e x
Cachx* Senhx
Su dominio es ( , 0 )U ( 0 , +» ) y su recorrido ( -«• ,0 )U(0 , +« )
Es una función impar e inyectiva (Ejercicio).
428
El nombre de hiperbólicas se origina en el hecho de que así
como las funciones trigonométricas Cosx y Senx se definen
como las coordenadas de los puntos sobre una circunferencia
unitaria, las funciones Coshx y Senhx corresponden a las
coordenadas de los puntos c y k (Fig 3,101) de la hipérbole
x 2+y 2 =1, siendo Coshx la abscisa y Senhx la ordenada y x es
el área del sector circular OCK (Fig 3.101) V
(Coah(x) ,Senh(x))
+ X
Fig 3.101 De las definiciones de las funciones hiperbólicas y haciendo
una tabulación se obtienen sus correspondientes gráficas, las
cuales aparecen en la figura 3.102 y sus respectivas inversas
con el dominio restringido para el caso del Coshx y de la
Sechx que no son inyectivas (Fig 3.103)
y — senhz
429
y — cosh x
y = tanhz
-1
(-00, +«) J ? f - ( - l , l )
1/ = coth X .y
D r m ( — l Q ) U { 0 , +o»)
V ( - « ( - i ) { / ( l f + M ) 430
y - sech ~1 x
Df- ( -00/ +00) /?r»{0<l]
0 M /
/ /
/ /
/ / 1
*
n.í „ nUr/n , Fifí 3.102 (-», 0) {7(0, + 0 9 )
0) //(O, -o») Así como en las funciones trigonométricas se considera una
Fig 3.103
identidad fundamental Sen2x+Cos2x=1 y a partir de ella se
deducen otras, en las funciones hiperbólicas sucede una
situación análoga y la identidad fundamental aqui es:
Cosh 2x-Senh2x=i
En efecto:
Cosh2x-Senh2x-( ex+e-x^2 t ex_e-x 2 ) - ( 2 ' 2
_ e 2 * + 2 + e ~ 2 x - e 2 * + 2 - e ~3* 4
431
De manera similar se puede demostrar las siguientes
identidades:
1• 1- Tanh2x=Sech2x
2. Coth2x-l-Cach2x
3. Co8hx+Senhx-e*
4 . Coahx- Senhx« e "*
5. Senh (-x) - - Senhx
6 . Coah (-x) - CoBhx
7. Senh(x±y) ~SenhxC03hy±SenhxC08hy
8. Cosh{x±y)-CoshxCoshyiSenhxSenhy
9. Tanh(x±y)~ Tanhx±Tanhy l±TanhxTanhy
10. Senh2x-2SenhxC0Shx
11. Coah2x= Coah 2x+Senh2x
12. SenA»x- O « * * * - ! 2
13. Coah2xfOBh2x+1 2
14 . Senhx*Senhy-2Senh ( ) cosA ( ) 2 2
15 . Senhx- Senhy* 2 Coah ( ) Senh (—^) 2 2
16 . Coshx+ Co shy=2 Cosh ( ) Cosh ( ) 2 2
17 . Coshx- Coshy-2Senh ( ) SenA ( ) 2 2
432