ASIGNATURA: Matemática.
CURSO: 3° Año
DOCENTES A CARGO: Popridkin, Cecilia - Druetta, Eliana
EJE 2: TEOREMA DE PITÁGORAS
Criterios de Valoración:
Los criterios que se enuncian a continuación, no son criterios de evaluación, porque durante este periodo
no serán evaluados mediante una nota, sino que se tendrán en cuenta diferentes criterios sobre los que
realizaremos nuestra valoración y devolución de sus trabajos. Es importante durante esta cuarentena, que
nos mantengamos comunicados y manteniendo el esfuerzo y dedicación en la resolución de las tareas
propuestas. En estos momentos, la responsabilidad y el compromiso son más necesarios que nunca, y nos
van a ayudar a salir adelante entre todos. Todos aquellos aprendizajes que consideramos fundamentales
serán retomados cuando volvamos a clases.
Se tendrán en cuenta, en el momento de corregir y devolver sus trabajos prácticos, los siguientes criterios:
El estudiante:
- Comprende la consigna.
- Cumple con la realización de la tarea en forma completa y prolija.
- Completa cada actividad usando un procedimiento apropiado:
Reconoce en que situaciones aplicar el teorema de Pitágoras.
Plantea el teorema de Pitágoras.
Opera correctamente.
Identifica y escribe la respuesta a cada situación presentada.
- Revisa y mejora sus producciones a partir de las correcciones.
- Trabaja colaborativamente: actitud de solidaridad con sus compañeros al comunicar
cualquier novedad al resto del curso, para que todos los estudiantes estén informados y
puedan realizar las actividades. Así mismo, tener la voluntad de enviar trabajos de otros
cuando éstos no tengan los medios para hacerlo.
- Honestidad en la presentación de los trabajos: es importante el compromiso con su propio
aprendizaje en estos tiempos, que resuelvan, dentro de sus propias posibilidades, cada uno
su tarea.
- Conocimientos previos y capacidades adquiridas en años anteriores: Es importante utilizar
la carpeta de años anteriores como material de consulta.
En esta propuesta de trabajo abordaremos los temas “triángulos rectángulos” y “Teorema de Pitágoras”.
En la primera parte, revisaremos conceptos estudiados años anteriores y posteriormente, definiremos el
teorema que vamos a estudiar y trabajaremos con algunas aplicaciones.
Les sugerimos leer detenidamente el material teórico, los ejemplos y mirar los videos. A medida que
avancen con la lectura, si les surgen dudas, anótenlas en la carpeta para poder consultarlas en la clase
virtual y/o en el aula virtual.
TRIÁNGULOS
Elementos de un triángulo
A continuación, les presentamos un triángulo a partir del cual recordaremos el nombre de sus
elementos.
a
b
g
a
b
ca
b
c
Vértices: a, b y c
Lados: 𝑎𝑏̅̅ ̅, 𝑏𝑐̅̅ ̅ 𝑦 𝑐𝑎̅̅ ̅
Ángulos interiores: �̂�, �̂� 𝑦 �̂�
Ángulos exteriores: �̂�, �̂� 𝑦 𝛾
Lados opuestos a ángulos:
�̂� 𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑏𝑐̅̅ ̅; �̂� 𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑎̅̅ ̅ 𝑦 �̂� 𝑒𝑠 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑏̅̅ ̅
Algunas propiedades de los triángulos
En todo triángulo, la suma de los tres ángulos interiores es igual a 180°.
Teniendo en cuenta el triángulo presentado en el punto anterior, en símbolos, podemos
escribir:
�̂� + �̂� + �̂� = 𝟏𝟖𝟎°
En todo triángulo, al mayor de los lados se opone el mayor de los ángulos y a lados iguales
se oponen ángulos iguales.
Un triángulo es un polígono de tres lados.
Clasificación de los triángulos.
Los triángulos pueden clasificarse según la longitud de sus lados y según la medida de sus ángulos
interiores.
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Como vimos en el apartado anterior, un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo interior recto, es
decir, un ángulo cuya medida es 90°. Estos triángulos son muy útiles para resolver diferentes situaciones de
la vida cotidiana.
Observemos el siguiente triángulo rectángulo.
Como podemos ver cada uno de los lados del triángulo rectángulo recibe un nombre y además están
indicados los tres ángulos interiores.
Lado 𝑎𝑐 : Cateto
Lado 𝑐𝑏: Cateto
Lado 𝑎𝑏: Hipotenusa
Ángulos agudos: �̂� , �̂�
TEOREMA DE PITÁGORAS
I. Introducción
El Teorema de Pitágoras nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es
de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero.
También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es
rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.
El teorema de Pitágoras lleva ese nombre porque recae en la escuela Pitagórica. Esta escuela fue fundada
por Pitágoras, un matemático y filósofo griego del siglo VI a. C.
Este teorema les sirvió a los egipcios en la antigüedad para poder trazar ángulos rectos cuando no
existían las escuadras y poder así trabajar sobre mediciones en las
crecientes del río Nilo.
Actualmente el teorema de Pitágoras sirve para resolver una gran
cantidad de problemas prácticos. Por ejemplo, si se tiene que construir
una escalera, podemos calcular el largo de la misma sabiendo las
dimensiones del lugar donde hay que instalarla.
También podemos usarlo para el cálculo de distancias en el plano, en los
mapas, en la realidad.
En general, el Teorema de Pitágoras se puede utilizar para encontrar
longitudes en donde intervienen triángulos rectángulos. Es una de las relaciones matemáticas más
importantes por sus diversas aplicaciones en la determinación de distancias, alturas y áreas de terrenos
y/o superficies.
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, es el lado opuesto al ángulo recto.
Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto; cada
cateto se opone a un ángulo agudo.
Además, la suma de los dos ángulos agudos es igual a 90°. Es decir �̂� y �̂� son ángulos
complementarios.
II. Definición y demostración del teorema
El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Gráficamente:
En este teorema, cada uno de los términos de la igualdad representa el área de un cuadrado de lados
c, a y b, respectivamente. Por lo tanto, la expresión anterior se puede plantear en términos de áreas
de la forma siguiente:
“El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma
de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”. Gráficamente:
Ahora observemos el ejemplo que les presentamos para poder comprender lo expresado anteriormente:
III. Ejemplos de aplicación
Recordemos, como dijimos anteriormente, que el teorema de Pitágoras permite relacionar los tres
lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos
y queremos saber el valor del tercero.
También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es
rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplir con dicho teorema.
EJEMPLO 1
A partir del triángulo rectángulo que se propone, calcular la medida
del cateto desconocido.
Hipotenusa 𝒂𝒃̅̅ ̅̅ : 10 cm
Cateto 𝒄𝒃̅̅̅̅ : 8 cm
Cateto 𝒂𝒄̅̅̅̅ : x
Te proponemos mirar los siguientes videos, en los que se muestra también la demostración sencilla de este teorema.
https://drive.google.com/file/d/1U3JhMFEfFSoehaXogQ7C4p
wOypfcRSLQ/view?usp=sharing
https://youtu.be/CAkMUdeB06o
a
bcm
n
or
s
t
v
w
j
I) II) III) IV)
10cm
8cm
x
x
30cm
34cm3cm
4cm
15cmx x
8cm
Planteamos el teorema de Pitágoras, luego remplazamos por los datos que se presentan en el
triángulo y resolvemos la ecuación que nos queda planteada.
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝟏𝟎𝟐 = 𝟖𝟐 + 𝒙𝟐
𝟏𝟎𝟎 = 𝟔𝟒 + 𝒙𝟐
𝟏𝟎𝟎 − 𝟔𝟒 = 𝒙𝟐
𝟑𝟔 = 𝒙𝟐
√𝟑𝟔 = 𝒙
𝟔 = 𝒙 El cateto desconocido mide 6 cm.
EJEMPLO 2
Se quiere sujetar un poste vertical de 5 metros de altura con un cable tirante desde su parte más alta hasta el suelo. Si la distancia desde el punto de anclaje del cable en el suelo a la base del poste es de 12 metros, ¿cuánto debe medir el cable? Como el poste vertical es perpendicular al suelo, forma un ángulo recto con él. Si consideramos el propio poste, el cable y la distancia entre la base del poste y el punto de anclaje al suelo, tenemos un triángulo rectángulo:
Llamando “x” a la longitud del cable, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se debe cumplir que:
𝒙𝟐 = 𝟓𝟐 + 𝟏𝟐𝟐 𝒙𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟒𝟒
𝒙𝟐 = 𝟏𝟔𝟗
𝒙 = √𝟏𝟔𝟗 𝒙 = 𝟏𝟑
Por lo tanto, el cable debe medir 13 metros.
IV. Videos
Te proponemos mirar el siguiente video, en los que se muestran
algunos ejemplos de aplicación del Teorema de Pitágoras con los
pasos a seguir en su resolución:
https://youtu.be/BhHgMtjlebc
Actividades Propuestas
Les presentamos las actividades que tendrán que resolver en esta propuesta.
Algunas cosas para tener en cuenta:
Leer la consigna de cada actividad. Si hay algo que no comprenden, anotarlo en la carpeta para
poder consultarlo en la clase virtual o por el aula virtual.
Resolver en forma completa, ordenada y prolija en la carpeta cada una de las actividades.
Sacar las fotos al finalizar todas las actividades y subirlas al aula virtual a la parte de TAREAS o
ASIGNACIÓN de la propuesta correspondiente. Por favor escriban con lapicera, pongan nombre a
todas las hojas y saquen las fotos nítidas, luego las pegan todas en un Word o PDF y suben el
archivo.
Actividad 1
Determina si cada uno de los triángulos es o no un triángulo rectángulo, a partir de las medidas de sus
lados. Para ello realiza el planteo correspondiente, resuelve y completa la tabla con la palabra “SI” (en caso
de que se trate de un triángulo rectángulo) y con la palabra “NO” (en caso de que no se trate de un triángulo
rectángulo). Recuerda que, en todo triángulo rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras.
Medidas de sus lados
¿Es un triángulo rectángulo?
TRIÁNGULO 1
24 cm
25 cm
7 cm
TRIÁNGULO 2
12 cm
4 cm
14 cm
TRIÁNGULO 3
30 cm
34 cm
16 cm
Actividad 2
En cada uno de los triángulos rectángulos que se presentan, calcula la medida del lado desconocido. Para
ello, realiza el planteo correspondiente, resuelve y escribe la respuesta.
1) 2)
5cm13cm27cm
45cm6cm
20cm
48cm
xa
bcm
n
or
s
t
v
w
j
I) II) III) IV)
8cm
xx
x
5cm13cm27cm
45cm6cm
20cm
48cm
xa
bcm
n
or
s
t
v
w
j
I) II) III) IV)
8cm
xx
x
Actividad 3
Para cada una de las situaciones problemáticas que se presentan:
- Realiza un gráfico de la situación presentada.
- Escribe los datos y la incógnita en el gráfico.
- Realiza el planteo usando el teorema correspondiente.
- Resuelve.
- Escribe la respuesta.
1. Una escalera de 65 dm de longitud está apoyada sobre la pared. ¿A qué distancia de la pared habrá
que colocar el pie de esta misma escalera para que la parte superior se apoye en la pared a una altura
de 52 dm?
2. El campo de fútbol Santiago Bernabeu tiene unas dimensiones de 105 metros de largo y 68 metros
de ancho. ¿Cuál es la medida de la diagonal de ese campo de fútbol?