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AREAS
Si la func ión es pos i t i va en un in te rva lo [a , b ] en tonces la grá f ica de la
func ión es tá por enc ima de l e je de absc isas . E l área de la función v iene
dada por :
Para ha l la r e l área segui remos los s igu ientes pasos :
1º Se ca lcu lan los puntos de corte con e l e je OX, hac iendo f ( x ) = 0 y
reso lv iendo la ecuac ión .
2º E l área es igua l a la in tegral def in ida de la función que t iene como
l ími tes de in tegrac ión los pun tos de cor te .
Ejemplos1. Calcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a curva y = 4x − x 2 y e l e je OX.
En p r imer lugar ha l lamos los pun tos de cor te con e l e je OX para
representa r la curva y conocer los l ím i tes de in tegrac ión .
En segundo lugar se ca lcu la la in tegra l :
2. Hal la r e l á rea de la reg ión de l p lano encer rada por la curva y = ln x ent re
e l punto de cor te con e l e je OX y e l pun to de absc isa x = e .
En pr imer lugar ca lcu lamos e l punto de cor te con e l e je de absc isas .
2. La función es negat ivaSi la func ión es negat iva en un in te rva lo [a , b ] en tonces la grá f ica de la
func ión es tá por deba jo de l e je de absc isas . E l área de la función v iene
dada por un v iene dada por :
Ejemplos1. Calcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a curva y = x 2 − 4x y e l e je OX.
2. Hal la r e l á rea l im i tada por l a curva y = cos x y e l e je Ox ent re π/2 y
3π/2 .
3. La función toma va lores posi t ivos y negat ivosEn ese caso e l e l rec in to t i ene zonas por enc ima y por debajo de l e je de
absc isas . Para ca lcu lar e l área de la función segui remos los s igu ien tes
pasos :
1º Se ca lcu lan los pun tos de cor te con con e l e je OX, hac iendo f ( x ) = 0 y
reso lv iendo la ecuac ión .
2º Se ordenan de menor a mayor las ra íces , que serán los l ím i tes de
in tegrac ión .
3º E l área es igua l a la suma de las integrales def in idas en va lo r abso lu to
de cada in terva lo .
Ejemplos1. Calcu lar e l á rea de las reg iones de l p lano l im i tada por la curva f ( x ) = x 3
− 6x 2 + 8x y e l e je OX.
El á rea , por razones de s imet r ía , se puede escr ib i r :
2. Calcu lar e l á rea de l c í rcu lo de rad io r .
Par t imos de la ecuac ión de la c i r cun fe renc ia x ² + y ² = r ² .
E l á rea de l c í r cu lo es cuat ro veces e l á rea de l p r imer cuadran te .
Ca lcu lamos la in tegra l indef in ida por cambio de var iab le .
Ha l lamos los nuevos l ími tes de in tegrac ión .
E l á rea comprend ida en t re dos func iones es igua l a l área de la func ión que
es tá s i tuada por enc ima menos e l á rea de la func ión que es tá s i tuada por
debajo .
Ejemplos1. Calcu lar e l á rea l im i tada por l a curva y = x 2 -5x + 6 y l a rec ta y = 2x .
En p r imer lugar ha l lamos los pun tos de cor te de las dos func iones para
conocer los l ími tes de in tegrac ión.
De x = 1 a x = 6 , la rec ta queda por enc ima de la parábola .
2.Calcu lar e l á rea l im i tada por l a parábola y 2 = 4x y la rec ta y = x .
De x = o a x = 4 , la parábo la queda por enc ima de la rec ta .
3.Calcu lar e l á rea l im i tada por l as g ráf icas de las func iones 3y =x 2 e y =
−x 2 + 4x .
En p r imer lugar representamos las parábo las a par t i r de l vér t i ce y los
pun tos de cor te con los e jes .
Ha l lamos también los pun tos de cor te de las func iones , que nos darán los
l ími tes de in tegrac ión.
4. Calcu la e l área de la f igura p lana l im i tada por las parábo las y= x 2 − 2x , y
= −x 2 + 4x .
Representamos las parábolas a par t i r de l vér t i ce y los puntos de cor te con
los e jes .
5.Hal la r e l á rea de de la reg ión l im i tada por las func iones :
y = sen x , y = cos x , x = 0 .
En pr imer lugar ha l lamos e l punto de in tersecc ión de las func iones :
La gráf ica de l coseno queda por enc ima de la g rá f ica de l seno en e l
in te rva lo de in tegrac ión.
Ejercic ios apl icac iones de la integral . Áreas1. Ha l la r e l á rea l im i tada por la rec ta x + y = 10, e l e je OX y las o rdenadas
de x = 2 y x = 8 .
2 . Ca lcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a curva y = 9 − x 2 y e l e je OX.
3. Ca lcu lar e l á rea de l t r iángu lo de vér t ices A(3 , 0 ) , B (6, 3 ) , C (8 , 0 ) .
4 . Ca lcu lar e l á rea l im i tada por las g ráf icas de las func iones y 2 = 4x e y
= x 2 .
5 . Ca lcu lar e l á rea l im i tada por l a curva xy = 36, e l e je OX y las rec tas : x =
6 , x = 12 .
6 . Ca lcu lar e l á rea l im i tada por l a curva y = 2 (1 − x 2 ) y la rec ta y = −1.
7. Ca lcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a parábola y = x 2 + 2 y la rec ta
que pasa por los puntos (−1 , 0 ) y (1 , 4 ) .
8 . Ha l la r e l á rea l im i tada por la rec ta , e l e je de absc isas y las
ordenadas cor respondien tes a x = 0 y x = 4 .
9 . Ca lcu lar e l á rea l im i tada por l a curva y = 6x 2 − 3x 3 y e l e je de absc isas .
10 . Ha l la r e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por l as curvas y = ln x ,
y = 2 y los e jes coordenados.
11 . Ca lcu lar e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por e l c í r cu lo x 2 +y 2 =9.
12 . Ha l la r e l á rea de una e l i pse de semie jes a y b .
13 . Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.
14 . Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2
15 . Ha l la r e l á rea de l rec in to p lano y l im i tado por l a parábo la y = 4x − x 2
y las tangentes a la curva en los puntos de in tersecc ión con e l e je OX.
Ejercic ios resueltos de apl icaciones de la in tegra l . Áreas1Hal la r e l á rea l im i tada por la rec ta x + y = 10, e l e je OX y las o rdenadas de
x = 2 y x = 8 .
2Calcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a curva y = 9 − x 2 y e l e je OX.
En p r imer lugar ha l lamos los pun tos de cor te con e l e je OX para
representa r la curva y conocer los l ím i tes de in tegrac ión .
Como la parábola es s imét r i ca respecto a l e je OY, e l á rea será igua l a l
dob le de l á rea comprend ida en t re x = 0 y x = 3 .
Ca lcu lar e l á rea de l t r iángu lo de vér t ices A(3 , 0 ) , B (6, 3 ) , C (8 , 0 ) .
Ecuac ión de la rec ta que pasa por AB:
Ecuac ión de la rec ta que pasa por BC:
4Calcu lar e l á rea l im i tada por l as g ráf icas de las func iones y 2 = 4x e y = x 2 .
5Calcu lar e l á rea l im i tada por la curva xy = 36 , e l e je OX y las rec tas : x = 6 ,
x = 12 .
·
6Calcu lar e l á rea l im i tada por l a curva y = 2 (1 − x 2 ) y la rec ta y = −1.
7Calcu lar e l á rea de l rec in to l im i tado por l a parábola y = x 2 + 2 y la rec ta
que pasa por los puntos (−1 , 0 ) y (1 , 4 ) .
8
Hal la r e l á rea l im i tada por la rec ta , e l e je de absc isas y las
ordenadas cor respondien tes a x = 0 y x = 4 .
9Calcu lar e l á rea l im i tada por l a curva y = 6x 2 − 3x 3 y e l e je de absc isas .
10Hal la r e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por l as curvas y = ln x , y = 2 y
los e jes coordenados.
Ca lcu lamos e l punto de cor te de la curva y la rec ta y = 2 .
E l á rea es igua l a l área de l rec tángu lo OABC menos e l área ba jo la curva y
= ln x .
E l á rea de rec tángulo es base por a l tu ra .
E l á rea ba jo la curva y = ln x es :
11Calcu lar e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por e l c í r cu lo x 2 + y 2 = 9 .
E l á rea de l c í r cu lo es cuat ro veces e l área encer rada en e l p r imer
cuadran te y los e jes de coordenadas.
Ha l lamos los nuevos l ími tes de in tegrac ión .
12Hal la r e l á rea de una e l i pse de semie jes a y b .
Por ser la e l ipse una curva s imét r i ca, e l á rea pedida será 4 veces e l á rea
encer rada en e l p r imer cuadran te y l os e jes de coordenadas.
Hal lamos los nuevos l ími tes de in tegrac ión .
13Calcu lar e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por la curva: f ( x ) = |x 2 − 4x
+ 3 | y e l e je OX.
14Hal la r e l á rea de la f i gu ra l im i tada por : y = x 2 , y = x , x = 0 , x = 2
Puntos de cor te de la parábola y la rec ta y = x .
De x = 0 a x = 1 , la rec ta queda por enc ima de la parábola .
De x = 1 a x = 2 , la rec ta queda por deba jo de la parábola .
15Hal la r e l á rea de l rec in to p lano y l im i tado por l a parábo la y = 4x − x 2 y l as
tangentes a la curva en los pun tos de in tersecc ión con e l e je OX.
Puntos de in te rsecc ión:
Ecuac ión de la tangente a la parábola en e l pun to (0 , 0) :
Ecuac ión de la tangente a la parábola en e l pun to (4 , 0) :
Volumen El vo lumen de l cuerpo de revo luc ión engendrado a l g i ra r l a curva f (x )
a l rededor de l e je OX y l im i tado por x = a y x = b , v iene dado por :
Ejemplos1. Hal la r e l vo lumen engendrado por las super f ic ies l im i tadas por l as curvas
y las rec tas dadas a l g i ra r en to rno a l e je OX:
y = sen xx = 0x = π
2. Calcu lar e l vo lumen de l c i l i nd ro engendrado por e l rec tángu lo l im i tado
por las rec tas y = 2 , x = 1 y x = 4 , y e l e je OX a l g i ra r a l rededor de es te
e je .
3. Calcu lar e l vo lumen de la es fe ra de rad io r .
Par t imos de la ecuac ión de la c i r cun fe renc ia x ² + y ² = r ² .
G i rando un semic í rcu lo en to rno a l e je de absc isas se ob t iene una es fe ra .
4. Calcu lar e l vo lumen engendrado por la ro tac ión de l á rea l im i tada por la
parábo la y 2 = x y la rec ta x = 2 , a l rededor de l e je OY.
Como g i ra a l rededor de l e je OY, ap l icamos:
El vo lumen será la d i ferenc ia de l engendrado por la rec ta y e l engendrado
por la parábo la en t re los ex t remos y = −4 e y = 4 .
Como la parábola es s imét r i ca con respecto a l e je OX, e l vo lumen es igua l
a dos veces e l vo lumen engendrado en t re y = 0 e y = 4 .
5. Hal la r e l vo lumen de l e l ipso ide engendrado por la e l ipse 16x 2 + 25y 2 =
400 , a l g i rar :
1 A l rededor de su e je mayor .
2 Al rededor de su e je menor .
Como la e l ipse es s imét r i ca a l respecto de los dos e jes e l vo lumen es e l
dob le de l engendrado por la porc ión de e l i pse de l pr imer cuadran te en
ambos casos .
6. Calcu lar e l vo lumen engendrado a l g i ra r a l rededor de l e je OX e l rec in to
l im i tado por l as g ráf icas de y = 2x −x 2 , y = −x + 2 .
Puntos de in te rsecc ión en t re la parábola y la rec ta :
La parábo la es tá por enc ima de la rec ta en e l in te rva lo de in tegrac ión.
Ejercic ios de volúmenes de funcionesHal la r e l vo lumen de l t ronco de cono engendrado por la ro tac ión a l rededor
OX de l á rea l im i tada por y = 6 − x , y = 0 , x = 0 , x = 4 .
Ca lcu lar e l vo lumen que engendra un t r i ángu lo de vér t ices A(3 , 0) , B(6, 3 ) ,
C(8 , 0 ) a l g i rar 360° a l rededor de l e je OX.
Ha l la r e l vo lumen de l t ronco de cono engendrado por e l t rapec io que l im i ta
e l e je de absc isas , la rec ta y = x + 2 y l as coordenadas cor respond ientes a
x = 4 y x = 10 , a l g i ra r a l rededor de OX.
Ca lcu lar e l vo lumen engendrado por una semionda de la s inuso ide y = sen
x , a l g i ra r a l rededor de l e je OX.
Ca lcu lar e l vo lumen engendrado a l g i ra r a l rededor de l e je OX e l rec in to
l im i tado por l as g ráf icas de y = 2x −x 2 , y = −x + 2 .
Ha l la r e l vo lumen de l cuerpo revo luc ión engendrado a l g i ra r a l rededor de l
e je OX, la reg ión dete rminada por la func ión f ( x ) = 1 /2 + cos x , e l e je de
absc isas y las rec tas x = 0 y x = π.
Ca lcu lar e l vo lumen de l cuerpo engendrado a l g i rar a l rededor de l e je OX e l
rec in to l im i tado por las gráf icas de y = 6x − x 2 , y = x .
Ha l la r e l vo lumen engendrado por e l c í rcu lo x 2 + y 2 − 4x = −3 a l g i rar
a l rededor de l e je OX.
Ha l la r e l vo lumen de la f i gu ra engendrada a l g i ra r la e l ipse
a l rededor de l e je OX.
Ejercic ios resueltos de volúmenes de funciones1Hal la r e l vo lumen de l t ronco de cono engendrado por la ro tac ión a l rededor
OX de l á rea l im i tada por y = 6 − x , y = 0 , x = 0 , x = 4 .
2Calcu lar e l vo lumen que engendra un t r i ángu lo de vér t ices A(3 , 0) , B(6, 3 ) ,
C(8 , 0 ) a l g i rar 360° a l rededor de l e je OX.
Ecuac ión de la rec ta que pasa por AB:
Ecuac ión de la rec ta que pasa por BC:
3Hal la r e l vo lumen de l t ronco de cono engendrado por e l t rapec io que l im i ta
e l e je de absc isas , la rec ta y = x + 2 y l as coordenadas cor respond ientes a
x = 4 y x = 10 , a l g i ra r a l rededor de OX.
4Calcu lar e l vo lumen engendrado por una semionda de la s inuso ide y = sen
x , a l g i ra r a l rededor de l e je OX.
5Calcu lar e l vo lumen engendrado a l g i ra r a l rededor de l e je OX e l rec in to
l im i tado por l as g ráf icas de y = 2x −x 2 , y = −x + 2 .
Puntos de in te rsecc ión en t re la parábola y la rec ta :
La parábo la es tá por enc ima de la rec ta en e l in te rva lo de in tegrac ión.
6Hal la r e l vo lumen de l cuerpo revo luc ión engendrado a l g i ra r a l rededor de l
e je OX, la reg ión dete rminada por la func ión f ( x ) = 1 /2 + cos x , e l e je de
absc isas y las rec tas x = 0 y x = π.
7Calcu lar e l vo lumen de l cuerpo engendrado a l g i rar a l rededor de l e je OX e l
rec in to l im i tado por las gráf icas de y = 6x − x 2 , i = x .
Puntos de in te rsecc ión:
La parábo la queda por enc ima de la rec ta en e l in te rva lo de in tegrac ión.
8Hal la r e l vo lumen engendrado por e l c í rcu lo x 2 + y 2 − 4x = −3 a l g i rar
a l rededor de l e je OX.
El cen t ro de la c i rcunfe renc ia es C(0, 1) y e l rad io r = 1 .
Puntos de cor te con e l e je OX:
9
Hal la r e l vo lumen de la f i gu ra engendrada a l g i ra r la e l ipse
a l rededor de l e je OX.
Por ser la e l ipse una curva s imét r i ca, e l vo lumen ped ido es 2 en veces e l
vo lumen engendrado por e l arco en t re x = 0 y x = a .
LONGITUD DE ARCOLa longi tud de l arco , de la curva f (x ) , comprend ido en t re las absc isas x =
a y x = b v iene dado por la in tegra l de f in ida :
Ejemplo
Hal la r la longi tud del arco de curva en e l i n terva lo [0 , 1 ] .