Download - Area de Momentos
INTRODUCCION
En el análisis de las vigas suelen dividirse en vigas isostaticas e hiperestáticas recordemos
que esta división corresponde a las condiciones de apoyo que presente el elemento a analizar. Si la
viga tiene un numero igual o inferior o tres incognitas en sus reacciones, bastara aplicar las
condiciones de equilibrio estatico para resolverla.
Si en cambio, la viga presenta un mayor numero de incognitas, no bastara con las
ecuaciones antes indicadas sino que será necesario incorporar nuevas expresiones
En este capitulo denominado Método del Área de Momento. Se utilizarán algunas
propiedades geométricas de la curva de la elástica para así poder determinar tanto la pendiente
como la deflexión de la viga en un punto cualquiera.
En el presente trabajo podremos apreciar que en lugar de expresar el momento flector como
una función M(x) e integrar esta función analíticamente, haremos el diagrama que representa la
variación de M/EI a lo largo de toda la viga, además evaluaremos algunas áreas definidas por el
diagrama así mismo los momentos de las mismas áreas.
Este método del área de momento es un procedimiento que generalmente es muy útil
cuando se desea obtener las pendientes y las deflexiones solamente en ciertos puntos
seleccionados a lo largo de la viga.
Se podría decir también que este método del área de momento es mucho más conveniente
que el método de integración cuando la viga es sometida a varias cargas concentradas o a cargas
distribuidas discontinuas y es particularmente efectivo cuando se trata de una viga de sección
transversal variable.
El método que estudiamos está basado en dos teoremas el cual detallaremos mas adelante
pero que presentaremos a continuación:
1. El ángulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de una
elástica continua es igual al área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos.
2. La distancia de un punto B” de una elástica continua medida perpendicularmente al eje
primitivo AB a la tangente trazada por otro punto A” de dicha curva es igual al momento respecto a B
del área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos.
GENERALIDADES
OBJETIVOS:
El objetivo principal de estudiar y de aprender el método del área de momento es que el alumno
esté en la capacidad de poder graficar correctamente los diagramas de momentos flectores. Además
de que pueda calcular las pendientes y las deflexiones en cualquier punto de una viga.
LIMITACIONES DEL TRABAJO:
Aplicar los teoremas en vigas hiperestáticas.
Interpretar correctamente los teoremas de Mohr.
Graficar correctamente el Diagrama de Momentos.
JUSTIFICACION DEL TRABAJO:
Conocer la teoría o conceptos básicos del método del área de momentos para así poder dar
solución a problemas relacionados con la pendiente y la deflexión en vigas.
Analizar la curva elástica de la viga la que se deforma debido a las cargas existentes para
así saber como diseñar estructuras considerando la deformación que pueda tener al ser
sometido a cargas.
GLOSARIO DE TERMINOS:
EI: Rigidez a la Rigidez
MARCO TEORICO
Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y deflexión en las vigas es el Método
del Área de Momentos, en el que intervienen el área del diagrama de momentos y el momento de
dicha área. Se comienza, en primer lugar, por lo dos teoremas básicos de este método; luego, una
vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de momentos, se aplica el
método a varios tipos de problemas. El método está especialmente indicado en la determinación de
la pendiente o de la deflexión en puntos determinados, más que para hallar la ecuación general de la
elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta la forma y relaciones geométricas en la
elástica, no se pierde el significado físico de lo que se está calculando.
El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de la doble
integración. Sin embargo para verlo en su totalidad, como un conjunto completamente
independiente, se repite una pequeña parte de lo dicho en la sección cualquiera. La figura 1-a
representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La Elástica, como intersección
de la superficie neutra con el plano vertical que pasa por los centroides de las secciones, se
representa en la figura 1-b, aun que sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone
que es el representado en lafigura1-c.
Al igual que en la deducción de la fórmula de la deflexión, dos secciones planas adyacentes,
distantes una longitud dx sobre una viga inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respecto a la
otra. Se puede ver con más detalle en la parte CD ampliada en la figura 1-b. el arco ds medido a lo
largo de la elástica entre las dos secciones es igual , siendo ρ el radio de curvatura de la
elástica en ese punto. Se tiene la ecuación:
Y como , ahora escribimos:
O bien:
En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se comete error
apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En estas condiciones, se tiene:
Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en la figura 1-b, forman
el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC y OD, por lo que la desviación angular, o
ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual a la suma de
estos pequeños ángulos:
Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la elástica, medida
perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por otro
punto cualquiera A, es la suma de los segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas
trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las
tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt
puede considerarse como un arco de radio x y ángulo
De donde
Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b) (d)
La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente trazada por A, o bien,
desviación tangencial de B con respecto a A. La figura 2 aclara la diferencia que existe entre la
desviación tangencial tB/A de B respecto de A y la desviación tA/B de A con respecto a B. En
general, dichas desviaciones son distintas.
Figura 2. En general, tA/B no es igual a tB/A
El significado geométrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas
fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama de momentos flexionantes de la
figura, se observa que M dx es el área del elemento diferencial rayado situado a distancia x de la
ordenada que pasa por B. Ahora bien, como es la suma de tales elementos, la ecuación (c) se
puede escribir en la forma:
Esta es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue:
Teorema 1:
La derivación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos
cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el área del diagrama de momentos flexionantes
entre estos dos puntos.
La figura 6-8c muestra como la expresión que aparece dentro de la integral en la
ecuación (d) es el momento del área del elemento rayado con respecto a la ordenada en B.
Por tanto, el significado geométrico de la integral de es el momento con respecto
a la ordenada en B del área de la porción del diagrama de momentos flexionantes comprendida
entre A y B. Con ello la expresión algebraica es:
El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las
pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.
Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.
Se mide en radianes.
Áreas positivas indican que la pendiente crece.
Teorema 2:
La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la elástica en
otro punto cualquiera A, en direccion perpendicular a la inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI
por el momento con respecto a B delo área de la porción del diagrama de momentos entre los
puntos A y B.
El producto EI se llama rigidez a la flexión. Obsérvese que se ha supuesto tácticamente que
permanecían constantes en toda la longitud de la viga, que es un caso muy común.
Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo integral, y hay
que conocerla en función de x. tales variaciones suelen tenerse en cuenta dividiendo entre EI las
ordenadas del diagrama de momentos para obtener de esta manera un diagrama de M/EI al que se
aplican los dos teoremas, en vez de aplicarlos al diagrama de M.
En los dos teoremas representa el área de diagrama de momentos entre las
ordenadas correspondientes a los puntos es el brazo de momento de ésta área con
respecto a B. El momento de área se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya
desviación se desea obtener.
Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:
Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las
tangentes en A y B.
Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B.
El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con
respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva
M/EI entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.
Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por aarticulaciones.Esta
desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.
Convencion de signos
Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: la esviacion tangencial de un
punto cualquiera es positiva si el punto uqeda por encima de la tangente con respecto a la cual se
toma esta desviación, y negativa si queda debajo de dicha tangente.
El otro convencionalismo es el que se refiere a las pendientes. Un valor positivo de la
variacion de pendiente qAB indica que la tangente en el punto situado a la derecha, B, se obtiene
girando en sentido contrario al del reloj la tangente trazada enel punto mas a la izquierda, A, es
decir, que para pasar de la tangente en A a la tangente en B se gira en sentido contrario al del reloj,
y viceversa para los valores negativos de
EJERCICIOS
EJERCICIO Nº 1: Calcular la flecha máxima de la figura mostrada. Donde EI=Constante
q
L
SOLUCIÓN:
GRAFICO DEL DIAGRAMA DEL MOMENTO FLECTOR:
GRAFICO DEL DIAGRAMADE MOMENTOS REDUCIDOS
GRAFICA DEL EJE ELASTICO DEFORMADO
CALCULO DE LAS DESVIACIONES:
⁄
(
) (
)
⁄
(
) (
(
))
⁄
( ⁄)
EJERCICIO N° 2
Calcular en el ejercicio los giros en B y C; además la ubicación de la flecha máxima en BC. Utilizar
para su solución el método área de momentos.
Datos:
EI=KTE para toda la viga
SOLUCION: Lo primero a realizar es trazar sus diagramas de momento flector y sus diagramas de
momento reducido. Suponemos al momento en C negativo
Luego dibujamos una deformación aproximada:
TRAMO
Entonces aplicamos el principio de en la viga
Luego el segundo teorema:
(
)
Luego reemplazando y simplificando:
TRAMO
Luego el segundo teorema:
(
)
Luego reemplazando y simplificando:
Al salir el resultado negativo quiere decir que la suposición no fue la correcta.
Luego reemplazando en cualquiera de las ecuaciones
Con los resultados obtenidos la grafica sería: en BC
Y para hallar hacemos
(
)
Ahora en la viga BC dibujada correctamente con sus momentos calculamos su ubicación de la
flecha máxima. Aplicando el primer teorema en
(
(
))
De la grafica se tiene
Despejando x se tiene
X = 1.1698
EJERCICiO N° 3 : Halle la pendiente y la deflexión en el punto D
EJERCICIO N° 4
∑
⁄
⁄
⁄
(
)
⁄
⁄
(
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⁄ (
) (
)
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⁄
ANEXOS:
AREAS Y CENROS DE GRAVEDAD. PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS: