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8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILEDEPARTAMENTO DE MATEMTICA Y CC.
INTRODUCCIN A LA MATEMTICA PARAINGENIERA DE EJECUCIN.-
2009
Prof. Jorge Inostroza . L.Prof. Heraldo Gonzlez .S.
INTRODUCCIN:
En el curso de muchos aos de experiencia en la formacin de Ingenieros en la Universidadhemos podido formarnos una meridiana idea de las bondades y las carencias de lospostulantes que por ello su rendimiento no es todo lo esperado, al punto que en el ltimotiempo se ha visto incrementando motivo por el cual nos hemos propuesto una instanciaremedial mediante un proceso de homologacin que conlleve una revisin o consolidacinde conocimientos bsicos para una mejor insercin en el programa regular del primer nivelde matemtica. Junto a ello hemos pretendido dar una visin ms fundamentada de losconceptos, amn de insistir en las habilidades operacionales ms requeridas. No obstanteello se ver un tratamiento a veces algo superficial para profundizar en el curso normal delos estudios. Todo ello perdera su propsito si no contamos con la voluntad, la dedicacin
y el esfuerzo para iniciar un efectivo proceso de auto-estudio y auto-evaluacin por partedel estudiante.
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INDICE (Dos primeras semanas)
Materias pgs.
CALCULO APLICADO
TEMA N 1.- LENGUAJE Y NOMENCLATURAS 4
TEMA N 2.- CARACTERIZACIN DE LOS NMEROS REALES (R) 7
TEMA N 3.- IDEAS BSICAS DE TRIGONOMETRA 11
3.1 Razones Trigonomtricas 11
3.2 Ecuaciones Trigonomtricas 153.3 Otras Identidades Trigonomtricas 16
TEMA N 4.- GEOMETRA ANALTICA (Conceptos bsicos) 21
4.1 Plano Euclidiano 21
4.2 Distancia entre dos puntos 21
4.3 La recta 22
4.4. Rectas paralelas y rectas perpendiculares 244.5 La circunferencia
MATEMATICA GENERAL 26
TEMA N 5.- ELEMENTOS DE ALGEBRA CLSICA. 30
5.1 Expresiones Algebraicas 30
5.2 Valor numrico de una expresin algebraica 31
5.3 Reduccin de Trminos Semejantes 32
5.4 Resolucin de Parntesis 34
5.5 Suma de Expresiones Algebraicas 35
5.6 Producto de expresiones Algebraicas 375.7 Factorizacin de Expresiones Algebraicas 41
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5.8 Simplificacin de Expresiones Racionales 42
5.9 Cuociente de Expresiones Algebraicas 44
5.10 Cuociente de Polinomio con monomio 46
5.11 Cuociente entre multinomios 47
5.12 Expresiones Algebraicas Racionales 50
5.13 Operaciones con Fracciones Algebraicas 54
5.14 Producto de Fracciones Algebraicas 57
5.15 Fracciones Algebraicas Compuestas 60
5.16 Potencias 63
5.17 Races Aritmticas 66
5.18 Propiedades Operacionales 68
5.19 Racionalizacin 725.20 Logaritmo en Base A 76
5.21 Propiedades del Logaritmo 78
TEMA N 6.- PROBLEMAS Y ECUACIONES 87
6.1 Problemas Resueltos 111
6.2 Problemas Propuestos 119
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TEMA N 1.- LENGUAJE Y NOMENCLATURAS.
La matemtica se sirve, para su difusin, de un lenguaje o vocabulario y de una serie desmbolos o nomenclaturas a fin de universalizar sus proposiciones adems de dar mayor
coherencia y claridad a sus elaboraciones. Este aporte le corresponde a la Lgica y laTeora de conjuntos,
Para que podamos hablar este lenguaje comn, en lo que nos corresponde, incorporamosaqu los elementos ms bsicos requeridos y su uso.
Conjuntos y sus operaciones:
El conjunto entendido como un concepto primitivo denotado por letras maysculas:
ZYXCBA ,,.......,,, .; y que est compuesto por elementos sealados por letrasminsculas: .....,,....,,, zyxcba . La pertenencia de stos a un conjunto y la inclusinde un conjunto en otro se denotan por:
Aa Se lee a pertenece al conjunto A
Aa Se lee a no pertenece al conjunto A
BA Se lee A es un subconjunto de B o est contenido en el conjunto B
BA Se lee A es un subconjunto o igual al conjunto B
BA Se lee El conjunto A no es parte del conjunto B.
Un conjunto se puede expresar porextensin, es decir enumerando todos sus elementos o bien porcomprensin, sealando las caractersticas comunes de todos sus elementosmediante un clasificador:
}{ ....,,,, edcbaA = Por extensin.
{ xRxA = pares } Por comprensinClasificador que se lee A es el conjunto de todos los x de R , tal que x es un nmero
par.
Las operaciones principales entre conjuntos son: Unin e Interseccin:
}{ BxAxxBA =
Se lee es el conjunto de todos los elementos x que pertenecen a A pertenecen a B
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}{ BxAxxBA = :Se lee Es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B
Tambin requerimos del Complemento de un conjunto o sea el de aquellos elementosdel conjunto universal que no pertenecen al conjunto:
}{ AxUxAC =)(
La Diferencia entre dos conjuntos A y B est dada por:
}{ BxAxxBA = .
Las sentencias o proposiciones en matemtica son enunciados que admiten un valor deverdad, es decir pueden ser verdaderas o falsas: Ejemplo:
P = Dos naturales consecutivos no pueden ser ambos parQ = Todo nmero divisible por 3 y por 4 lo es por 12
Para expresar o conectar sentencias o proposiciones necesitamos adems de ciertossmbolos o conectores que nos entrega la lgica simblica.
QP Se lee P implica Q, o Si P entonces Q
QP Se lee P es equivalente con Q.
QP Se lee P y Q
QP Se lee P Q.
Adems se tienen los llamados cuantificadores:
para todo existe al menos uno
! existe un nico
Las siguientes sentencias o proposiciones las vemos en smbolos:
1.- Para todos los alumnos del curso , existen menores o igual a 20 aos
20 aCa .
2.- El curso est formado por los de edad entre 19 y 21 aos
2119 aCa
3.- Todo nmero natural multiplicado por dos es par
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parxNx = 2 .
Ejercicios:
Defina el conjunto y escriba en smbolos
1 Si un natural es divisible por 2 y por 6 entonces lo es por 12.2 Todo nmero divisible por 3 y por 4 lo es por 123 Si la suma de dos nmeros es par entonces uno es el 2 .Lea la sentencia:
1. {=A a }NmmaN = ,3 2. }{ 0= xRxB 3. }{ 8=+= babaC Para cerrar este tema debemos advertir que en el programa formal de la asignaturaMatemticas Generales y de Clculo Aplicado se tendr una mayor informacin alrespecto, razn por la que aqu se da una visin simplificada a fin de ponernos todos enun mismo nivel de informaciones.
TEMA N 2.- CARACTERIZACIN DE LOS NMEROS REALES (R)
El conjunto de los nmeros reales, protagonista principal y casi nico de nuestro quehacermatemtico requiere ser identificado con cierta claridad y precisin en aras del rigor quedebe acompaar todo nuestro quehacer, del mismo modo son necesarias lascaracterizaciones de los otros sistemas numricos que forman parte de los reales.
Los Reales conforman lo que se llama una Estructura Algebraica, es decir un conjunto deAxiomas y operaciones que le dan el carcter deun Cuerpo-Ordenado y Completo. Se
ver que en el enunciado de estos axiomas faltan muchas propiedades de los reales que sonconocidas y con las que hemos convivido desde nuestros primeros aos de estudio, y es quetodas ellas se derivan de estos enunciados y eso es lo grandioso de esta caracterizacin.
R es un Cuerpo: Es decir que admite dos operaciones llamadas suma y producto entrereales y que satisfacen los siguientes Axiomas
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RyxRyxAx + ,:01. ClausuraxyyxRyxAx +=+ ,:02. Conmutatividad
zyxzyxRzyxAx ++=++ )()(,,:03. AsociatividadxxxRxRAx =+=+ 000:04. Neutro aditivo
0)()(:05. =+ xxRxAx Inverso aditivoRyxRyxAx ,:06. Clausura
xyyxRyxAx = ,:07. Conmutatividad:08. Ax RxxxxR == ;111 Elemento unitario
1;0:09. 11 = xxxxAx ; )1
( 1x
x = Inverso multiplicativo
zxyxzyxRzyxAx +=+ )(,,:10. Distributividad.
Como se deca, de estos axiomas surgen otras propiedades de los reales que son objeto dedemostraciones, que denominamos Teoremas y que no son sino aquellas que hemos estadoasumiendo en nuestro quehacer cotidiano.
:01.Teo RR 10 .-son cosni zxzyyxRzyxTeo =+=+ ,,:02. zyzxy == ; ncancelaci
00;:03. = xRxTeo 00,:04. yxyxTeo .
00:06. 1 xxTeo xxRxxxRxTeo == 11)(};0{)(:07. Rx ;
yxyxyxyxTeo ==+ )()()(:08. ; Ryx ,xxTeo = )1(:09. ; Rx
111
)(0,:10.
=
yxxyRyxTeo 111 )()(0,,,:11. +=+ ywyzxwzwxyRwzyxTeo 111 )()()()(0,;,,,:12. = yzxwwzxyzyRwzyxTeo .
Las demostraciones son tema para ms adelante, por ahora baste saber que sonconsecuencias de los Axiomas.
R es Ordenado: Se admite axiomticamente que existe un sub-conjunto de Rdenominadode nmeros positivos sealado por +R que cumplen los Axiomas de
Orden:
++ + RyxRyxAx ,:01. ++ RyxRyxAx ,:02.
0;;:03. = ++ xRxRxRxAx .
Se definen los conceptos que le dan sentido al carcter de ordenado de R: Con los smbolos:
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igualomayor; ; mayor> igualomenor ; menor<
1.- )0(;, = + yxRyxyxRyx x mayor o igual a y
2.- )(;, +> RyxyxRyx x mayor que y3.- )(;, xyyxRyx .x menor o igual a y4.- )(;, xyyxRyx > + xRxTeo 0
RzyxzxzyyxSiTeo x
xSiTeo yx
yxSi11
0 >
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2. Z el conjunto de los enteros conformado por los naturales el cero y sus negativos:-3,-2,-1,0,1,2,3,..
3. Q el conjunto de los Racionales, son de la formay
xcon x e y enteros, e y no nulo.
As se tendr que: RQZN . Donde IQR = es el conjunto de losIrracionales. Adems existe otro conjunto y que contiene a los reales y que son LosComplejos, en l est, por ejemplo, las soluciones de la ecuacin:
012 =+x
R es Completo: Esto es, que cumplen el denominado Axioma del Supremo:
Previo algunas precisiones: Se dice
i) El conjunto S es Acotado superiormente si: RMMxSx ; , M es llamado Cota Superior del conjunto.
ii) El conjunto S se dice Acotado inferiormente si : RNNxSx , N es Cota Inferior del conjunto.
iii) El conjunto S es Acotado; si RMsi MxMSx .
Se llama Supremo del conjunto a la menor de las cotas superiores e nfimo del conjunto a
la mayor de las cotas inferiores .Ahora el Axioma del SupremoupremoStieneSnteSuperiormeadoaSRSAx cot,:. .-
Ejemplos:
1. Determinar cotas, Supremo e nfimo del conjunto:}
+== Nnn
xRxS ;1
1
Solucin:
Intuitivamente se observa que: 21 < x ,luego todo nmero menor que 1 es una cotainferior y la mayor de ellas es el 1 y es el nfimo, y todo valor mayor que 2 es cotasuperior , la menor de ellas es 2 es el Supremo.
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2. Determinar Supremo e nfimo de: }
+
== Nnn
xRxS n ;)1
1()1(
Solucin:
Una simple intuicin y dando valores a n, nos indica que Sup S = 1/3 y el Inf S = -1/2.Para que el estudiante reflexione cuidadosamente se incluyen algunas propiedadesderivadas de este Axioma del Supremo:
1. yxnNnRyx > +, -Propiedad Arquimediana.2. nxRxNn .3. 3.-
nxNnRx
1> + .
Aqu terminamos una presentacin medianamente formal de los conjuntos numricos y suspropiedades, lo que se ver complementada en el desarrollo normal de los temas del primercurso de matemticas superiores.
El objetivo de esta primera parte se ver cumplido cuando el estudiante use adecuadamenteeste lenguaje y nomenclaturas en su decir y hacer matemtico y ver como esta disciplinapuede ser llevada a todo su quehacer an el ms domstico.
____________________________________________________________
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TEMA N 3. - IDEAS BSICAS DE TRIGONOMETRA
RAZONES TRIGONOMTRICAS:
Definicin:
En el tringulo rectngulo ABC; se definen:
===2
;:AC
BCCos
AC
BCSen
===
2;:
AC
ABSen
AC
ABCos
AB
BCTg = ;
;BC
ABCotg =
20
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4. 21sec CotgCo += An ms, se pueden lograr relaciones de cada una de estas razones gracias a unsimple expediente grfico con ayuda del teorema de Pitgoras.
a) Sen b)
21 Cos
21 Sen Cos
c) 21 tg+ Tg eccos
d)
1cos 2 ec
e) 2cot1 g+ 1 f) Sec
12 Sec
1
En cada grfico buscamos la razn trigonomtrica segn la definicin:
As en a)1
1cos:
1
1sec:
1
2
22
sen
sensen
sentg
=
=
=
1
1
1
Cotg
1
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De este modo se puede construir en una tabla todas la relaciones o identidadesfundamentales de las razones entre s.
Sen cos tg eccos sec gcot
Sen ___ 2cos1
21 tg
tg
+
eccos
1
sec
1sec2 2cot1
1
g+
cos 21 sen ____ 21
1
tg+
ec
ec
cos
1cos 2 sec
1
2cot1
cot
g
g
+
tg
21 sen
sen
cos
cos1 2 ____ 1cos
12 ec
2secgcot
1
eccos sen1
2cos11
21 tgtg+
_____
sec1sec2
2cot1 g+
sec 211
sen
cos
1
21 tg+ 1cos
cos2
ec
ec ____
2cot1
cot
g
g
+
gcot
sen
sen21
2cos1
cos
tg
1
1cos 2 ec 1sec
12
_____
3) Siendo 360 = 2 rad. Donde 1 radin es el ngulo cuyo arco es la medida del radio,como ste esta contenido 2 veces en la circunferencia que equivale al ngulocompleto de 360. Entonces:
360 = 2 rad. 180 = rad.
90 =2
rad. .45 =
4
rad.
60 =3
rad. 30 =
6
rad.
4) Como en la fig. 1 : == cos2
Sen
=
2cosSen
=
2cos sen pues: sen=cos
=
2cot gtg y
=
2cot tgg
r
r
r
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5) Del grfico
22
21
4cos
4=== Sen
14
=
tg
2
32
3
32
1
6
2 ====
a
a
sen
a
Sena
2
32
3
6cos ==
a
a
Lo que podemos resumir en el siguiente cuadro
0 6
4
3
2
Sen 02
11
2
12
2
13
2
14
2
1
Cos 42
13
2
12
2
11
2
10
2
1
Identidades trigonomtricas:
Son relaciones de igualdad vlidas para todo valor del ngulo, cuya verificacin se logracon las identidades fundamentales y algunos recursos algebraicos
Ejemplo:
Verificar las identidades elementales
C
4
4 2
AB
C
1
1
3
3
6
6 23a
A
B
a
a
2a
2
a
2
a
2
a
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a) tgsen = sec Solucin.:
tgsensen cos
1sec
b) 1seccot = seng Solucin.:
1soc
1socseccot
Sen
nesseng
c)
Secec
sen
sen=
cos
cos
cos
Solucin.:
1. miembro :
cos
11
coscos
cos
cos
cos
sensen
sen
sensen
sen
2 miembro :
cos
11seccos
senec
d)
seccos
cos
2
=+sen
Solucin.:
sec
cos
1
cos
coscos
cos
222
+
+sensen
ECUACIONES TRIGONOMTRICAS
Son relaciones de igualdad validas para ciertos valores del ngulo, valores que buscamos
encontrar, pero ello demanda una mayor profundizacin en el tema veremos algunosejemplos muy elementales.
1)2
14 =xsen
Solucin.:
-
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16
2464
64
=== xxsenxsen
2)2
3
43cos =
+x
Solucin.:
41236336cos
43cos
===+
+ x
xxx
3)
=
+ xx 2
3cos
4cos
Solucin.:
364332
342
3cos
4cos
===+
=
+ xxxxxx
OTRAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Otras identidades que son de uso frecuente son:
1) ( ) sensenSen coscos =
S
TPST
OS
SPSen
0)(
+==+
OS
TP
OS
OR
OR
RQCosSen ==
OS
ST
OS
SR
SR
STSenCos ==
_____________________
SenCosCosSenSen +=+ )(
OP Q
R
S
T
-
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2)
SenSenCosCosCos = )(3) 3) ( )
tgtg
tgtgtg
1
+=
De ellas se puede deducir que (haciendo = )
a) cos22 senSen = b) 22cos2cos sen= c) c)
21
22tgtgtg
=
De aqu se puede obtener las siguientes nuevas identidades
a)2
cos1
2
=Sen b)
2
cos1
2cos
+= c)
sen
sentg
cos1
cos12
=
+=
En efecto:
a) Si tomamos2
= debemos probar que:
2
2cos1
=Sen como vemos que
2
2cos1
2
2cos1 2
=
= SenSen
( ) 1coscos12 22222 =+= sensensen
como esto ltimo es verdadero lo anterior lo es si argumentamos en reversa es decir apartir de esto ltimo y ( lo normal seria partir de este punto y construir lo que sigue en elproceso pero ello es ms laborioso). De igual modo se verifica las otras identidades.
Ejercicios
1) Calcular el valor numrico de:
12
7Sen
Solucin.:
-
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18
34cos
3cos
43412
7 SenSensenSen +=
+=
( )624
1
4
6
4
2
2
3
2
2
2
1
2
2+=+=+=
2) Calcular
+
2
Sen
Solucin.:
2cos
2cos
2
sensenSen +=
+
=+= 1cos0 Sen
cos=
3) Demuestre que ( ) ( ) coscos2coscos =++ Solucin.:
( ) ( ) ( )
( )+
+=++
sensen
sensen
coscos
coscoscoscos
a)
De igual forma se puede verificar que :
b)
c)
Ntese que haciendo22
yxyyx =+= se llega a:
a)
+=+
2cos
2cos2coscos
yxyxyx
( ) ( ) coscos2coscos =++
( ) ( ) cos2sensensen =++
( ) ( ) sensen2coscos =+
-
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19
b)
+=+
222
yxsen
yxsenysenxSen
c)
+=
222coscos
yxsen
yxSenxy
Estas identidades son de gran utilidad para estudios posteriores.
4.- Si ,15
4=tg Hallar el valor de
SenCos
CosSen
36
75
+.
Solucin.
Recurriendo al cuadro de identidades (Pg. 13)
24115
2414
11
1 22==
+=
+=
CosySen
tgCos
tgtgSen luego
78
125
1290
10520
36
75=
+=
+
SenCos
CosSen.
5.- Si ,2=+ SecTg Demostrar que5
3=Sen
Solucin.
)1(4)1(212 22 SenSenCosSenSecTg =+=+=+
5
3
10
820325 2 =
==++ SenSenSenSen
6.- Determinar el valor numrico de: X= 603
245560
4
1303 222 SenCotgSecTg ++
Solucin.
Con ayuda del cuadro de la pg.14:
2
360;145;260;
3
330 ==== SenCotgSecTg 6= X
7.- Comprobar las identidades:
a) 424 21 TgTgSec +=
-
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20
b)
sec2
11Co
Sec
Tg
Sec
Tg=
++
c)
Cotg
CosSenSen
CosCosSen=
+
221
2
d) 1=+ CotgSenCosTgCosSen
Solucin.a) Reescribiendo el primer miembro como: )1)(1( 22 + SecSec y el segundo
miembro como:)12)(1()2( 2222 +=+ SecSecTgTg ,
la identidad a demostrar quedara:
1122
+=+ SecSec , por lo que no hay nada que demostrar.
b) Como una identidad no puede trabajarse admitiendo la igualdad, es quedesarrollamos el primer miembro y/o el segundo por separado.
1 M
sec2
22
1
)1()1(
11 22Co
Sen
SecCos
Tg
SecTg
Sec
SecTgSecTg
Sec
Tg
Sec
Tg===
++=
++
c) 1M:
CotgSen
Cos
SenSen
SenCos
SenSenSen
SenCos==
=+
222 2
)12(
)1(1
)12(
d) 2SenTgCosSen = y 2CosCotgSenCos = , la suma resulta 1.
Algunos Problemas
1) Un poste colocado a 100 mts. de un punto de observacin, el observador ve su cspidebajo un ngulo de 30. Hallar la altura del poste.
Solucin.:
30
h
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3502
3
10030 === h
htg
1002) En la orilla de un canal hay dos personas a 50 mts. una de la otras; en la otra orilla y en
un lugar intermedio un observador ve a uno en un ngulo de 30 y al otro en uno de 45Cul es el ancho del canal?
Solucin.:
_______________2
330
150
45
==
=
=
x
htg
x
htg
===3
2503
2;50 hhhxxh
=
+
==
+
3
21
5050
3
21 hh
3) Pruebe que en el tringulo ABC su rea est dada por sebabSenacSenbcA
2
1
2
1
2
1===
Solucin.:
h
50-x x
45
h
A B50
30
B
C
b
c
a
h
A
-
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Senbhb
hSenhABA === :
2
1
.2
1SenbcA =
Los otros resultados se logran del mismo modo (rotando los vrtices)
4) Pruebe el llamado teorema del seno
c
sen
b
sen
a
sen == En un tringulo ABC
Solucin.:
== SenabSenacSenbcA2
1
2
1
2
1
abcSenabsenacsenbc :/ ==
c
sen
b
sen
a
sen ==
5) Pruebe el llamado teorema del cosenocos2222 bcbca +=
( ) =+= 222cos ahxcbx
( ) 22222 2 axbxcxc =++
A
B
h
C
b a
x c-x
-
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222 cos2 abcbc =+
Observacin
Al trmino de esta visin muy elemental del tema solo nos corresponde esperar
que el alumno a partir de ello pueda insertarse exitosamente en los contenidos del
programa regular de la signatura
-
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TEMA N 4.- GEOMETRA ANALTICA (Conceptos bsicos)
En esta parte del programa, contamos con que el estudiante en, algunos casos, ya tienealgn manejo de ciertos conceptos bsicos de la Geometra Analtica obtenidos en la
enseanza media. Sin embargo aqu daremos una breve informacin para homologar yponernos a un nivel comn. No se trata de contenido completo de un curso de este temasino ms bin una somera informacin.
4.1.- Plano Euclidiano
El plano Euclidiano plano geomtrico est conformado por puntos P, los que sonrepresentados mediante un sistema Cartesiano de ejes por pares ordenados de reales (x,y),establecindose una correspondencia biunvoca entre los puntos del plano y el conjunto delos pares ordenados .As el punto sealado por P se asocia al par (x,y) donde x es la
abscisa del punto e y la ordenada de l , como lo muestra la fig.
4.2.- Distancia entre dos puntos.
Los puntos: ),( 11 yxP y ),( 22 yxQ ,segn la fig. son vrtices del tringulo rectngulo PQR.Y por tanto la distancia d(P;Q) se define como la hipotenusa de dicho tringulo.Como: 12);( xxRQd = ; 12);( yyRPd = y de acuerdo al Teorema de Pitgoras:
R
);();();( 222 RQdRPdQPd += .)()();( 2122
12 yyxxQPd +=
x x
y
yP
Fig.
Y
y
y1 y2
yx1 x2
x
x
x
P(x1 ,
Q(x2 ,R
-
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Propiedades:
a)
d(P,Q) 0 b) d(P;Q)=0 QP= c) d(P;Q)=d(Q;P)d) d(P;Q)+d(Q;R) d(P;R) .Esto se puede verificar en la fig.
4.3 .- Divisin de un trazo en razn dada.
Si P es un punto del trazo 21PP 21 PPPP = con ),(),(),( 222111 yxPyxPyxP ===
+
+=
+
+===
11)()( 21212121
yyy
xxxyyyyxxxx
Luego si 1= el punto P dimidia al trazo 21PP
Ejemplo:
1.- Los puntos extremos de un segmento o trazo son: )4,8()4,2( 21 PyP .Hallar el puntoP(x,y) que divide en la razn -2.
Solucin:
P
Q
R
Y
X
Fig.
421
)4(24
114
21
822
12121 =
=
+
+==
=
+
+=
yyy
xxx
-
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2.- Los extremos de un segmento son los puntos: )4,1()4,7( 21 == PP ; el punto)2,1( =P lo divide en la razn ,determinar su valor.
Solucin.
31
)1(71 =+
+=
3.- Los puntos medios de los lados de un tringulo son: (2,5) , (4,2) y (1,1) .Hallar lascoordenadas de los vrtices.
Solucin
Sean ),(),(),( 212121 ccCbbBaaA los vrtices,
entonces
12125222;22;42221122112211 =+=+=+=+=+=+ acyaccbycbbayba
Planteando y resolviendo estos sencillos sistemas se tiene
: 462153 222111 ====== cbacba luego los vrtices son :A(3,-2) B(5,6)C(-1,4)
4.4 .-La Recta.
La entendemos como un Lugar Geomtrico, o sea una coleccin de puntos sujetos a unaley determinada , expresada en sus componentes. As:
Recta por dos puntos:P y Q
),(),( 2211 yxQyyxP
== )(
)(
)()(),( 2
12
122 xx
xx
yyyyyxL .
P
Qy2
y1
y
x1 x2x
y2 y1
x1 - x2 m = tg
-
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En la figura : =m12
12
xx
yy
, se llama la pendiente de la recta y corresponde a la )(tg
de modo que la ecuacin toma la forma:
)( 22 xxmyy += .
Que corresponde a la recta por el punto ),( 22 yxQ y con pendiente m .Si la escribimoscomo
)( 22 mxymxy += ,
bmxy += ,
Decimos que tiene la forma estndar; siendo b el punto en que corta al eje y coeficientede posicin y ello se ve cuando hacemos x=0.
b
a
Si los puntos fueran: ),0()0,( bQyaP , la recta tomara la llamada forma de segmentos:
1=+b
y
a
x,
lo que se consigue haciendo las sustituciones correspondientes en la primera ecuacin y quecorresponde a los segmentos que ella determina en los ejes coordenados como se ve en lafig:
y
x
b
a
-
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Por lo tanto toda recta tiene la forma General:
0=++ CByAx ,
o sea una relacin de primer grado en x e y. Despejando y :
BAm
BCx
BAy ==
Ejemplos:
1. Dada la recta : 5x +4y = 8. Encontrar : a) pendiente ;b)interseccin con los ejes ;c)verificar si el punto (3,-2) est en ella ;d) encontrar la ordenada para que (-1,y) sea de larecta.
Solucin:
a) 24
5845 +==+ xyyx , luego
4
5=m
b) En 845 =+ yx ; hacemos : 20 == yx ;5
80 == xy .
c) 87)2(43545 =++ yxEn , luego no contiene al punto.d) En
4
1384)1(5 ==+ yy .
2. Encontrar la ecuacin de la recta con pendiente 32=m y que contenga al punto (1,1).Solucin:
En2
3
3
2
2
31
3
21
3
2+==+=+=+= xybbbxybmxy .
3. Determinar la pendiente de la recta que pasa por: )3,1()5,2( QyP .Solucin :
Como 3
8
21
53
12
12
=+
=
= mxx
yy
m .
Rectas paralelas y rectas perpendiculares.
Entendamos que las rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente, es decir hacenigual ngulo con el eje x; y sern perpendiculares si el producto de las pendientes es -1.Lo
-
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primero se aprecia claramente en la figura y la perpendicularidad se comprueba teniendoque:
==
+===+ 0
2cot
1)(
22
g
CotgCotg
CotgCotgCotg
101101 ==+=+
TgTgTgTg
CotgCotg
Luego teniendo las rectas:
0: 1111 =++ CyBxAL y 02222 =++ CyBxAL con pendientes:
1
11
B
Am = y
2
22
B
Am = , Por lo tanto el paralelismo se expresa
por: 21 mm = o sea 1221 BABA = y la perpendicularidad
por: 121 = mm o sea 02121 =+ BBAA .
Finalmente el punto de concurrencia de las rectas no paralelas se determina resolviendo elsistema:
111 CyBxA =+
222 CyBxA =+ .-
L
L
Y
X
L1
L2
L
L
Y
X02121 =+ BBAA
02121 =+ BBAA
-
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Ejemplo:
Determinar el punto de concurrencia de las rectas:152;853 =+= yxyx
Solucin:
152
853
=+
=
yx
yx
_____________________/
5137 == yex
4.5 La circunferencia:
La entendemos como el Lugar Geomtrico de los puntos P(x,y) del plano cuya distancia aotro fijo C(a,b),llamado centro ,es la constante R, llamada el radio de ella. La figura queacompaa ahorra ms detalles.
De la definicin dada y el teorema de Pitgoras se deduce su expresin analtica:
222 )()( Rbyax =+ (a)
Donde (a,b) es su centro y R el radio ,luego si el centro es (0,0) tomar la forma:
R
x-a
(x,y)
y-bb
a
y
0R
x
-
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222 Ryx =+
.
Desarrollando la expresin analtica vemos que es de la forma:
022 =++++ FEyDxyx (c)
Sin embargo no toda expresin de esa naturaleza puede representar una circunferencia,
pues para que ello ocurra debe poder cumplir con lo demandado al completar los cuadradosde binomio:
22222
22
4
4
44)
2()
2( R
FEDF
EDEy
Dx =
+=+=+++
la condicin ser que : 0422 >+ FED ;de modo que )2
,2
(ED
es su centro y
FED 42
1 22 + el radio.
Para identificar la circunferencia necesitamos conocer 3 incgnitas, veamos los Ejemplos:
1. Hallar la circunferencia centro en el origen y contiene al punto P(1,-4).Solucin:
Ser de la forma (b) ,luego 17)4(1 222 ==+ RR 1722 =+ yx es la ecuacin.
17
-4
117
-
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2. Hallar la circunferencia centro en (3,0) y contiene al origen.Solucin.:
En la forma a) 222 )0()3( Ryx =+ y 222 )0.0()30( R=+ 3= R ;y la ecuacin ser:
9)3( 22 =+ yx .3. Encontrar la circunferencia tangente a los ejes y centro en (-3,3).
Solucin.:
En la forma a) 222 )3()3( Ryx =++ al ser tangente a los ejes: 3= R ,luego
9)3()3( 22 =++ yx es la solucin buscada.
4. Determinar la circunferencia que pase por los 3 puntos (0,6);(4,-2);(9,3).Solucin.:
La forma c) nos genera el sistema:
039981
024416
0636
=++++
=+++
=++
FED
FED
FE
3
-3
(0,6)
(4,-2)
(0,3)
5
3
-
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Cuya solucin es : 0;6;8 === FED y la ecuacin ser: 06822 =+ yxyx .
5. Encontrar radio y centro de la circunferencia : 07822 =++ yyx .Solucin.:
Debemos dar la forma a ) para ello completamos el cuadrado de binomio:
9)4( 22 =+ yx .
6. Sealar radio y centro de : .0102422 =++ yxyx Solucin.:
Para llegar a la forma b) completamos los cuadrados debinomio: 25144)5()12( 22 +=++ yx 13)5()12( 22 =++ yx .Debemos reiterar que nuestro propsito no es hacer un desarrollo acabado de estostemas, sino mas bien definir un piso mnimo para que el inicio de los estudios tenga una
base comn.
3
4
-
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-
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MATEMATICA GENERAL
TEMA N 5.- ELEMENTOS DE ALGEBRA CLSICA.
INTRODUCCION
Luego de conocer los fundamentos y consecuencias de los reales, nos disponemos aefectuar una revisin de ideas en torno a la operatoria con tales elementos; ello con elpropsito de observar con una ptica diferente, fundamentada y lgica, aquella operatoriaque nos debi parecer arbitraria o inexplicable; el beneficio de esta revisin es evidente.
Junto a esto est tambin la oportunidad de ejercitar un espritu crtico que esperamos haberfomentado en los captulos anteriores.
Este ltimo tema tendr una connotacin y estructura diferentes, por lo que se ha dicho;estar constituido bsicamente por listados de ejercicios operatorios de los temas deAlgebra de los Reales ms relevantes de la Enseanza Media.
Tiene por lo tanto tambin un carcter evaluativo que el alumno podr autoaplicarse unavez concluida la etapa de anlisis de conceptos y revisin de tcnicas operatorias. Sinembargo se incluyen, en algunos casos, el fundamento de algunas reglas operatorias paraque el alumno observe con igual sentido todos los algoritmos operacionales del texto.
5.1 Expresiones Algebraicas:Definicin:
Se llama Expresin Algebraica, a aquella constituida por las operaciones de suma y producto y otras entre factores numricos y literales, estos ltimos representativos devalores reales arbitrarios.
Ejemplos:
1. .253 cba + 2. (x-2)5y3.
ba
ba
32
22
4.5
3x
-
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36
5.2 Valor numrico de una expresin algebraica:
Se consigue sustituyendo en cada factor literal los valores numricos asignados.Ejemplo:
Determinar valor numrico de las siguientes expresiones.
a) 3a2 bc 2a ; Si a = 2; b = 1 ; c = 3b) ( )232 ba
4
3ba3 ++ ; Si a = 2; b = 1
c)( )
( )41
22
cbacba
baab+
+
; Si a = 2; b = 1; c = 3
Solucin.:
a) 3a2 bc 2a = 3 4 1 3 2 2 = 32 //
b)
( ) ( )
//4
3632
//42712
124
3143
4
33 2232
+=
+=
=++=++ baba
c) ( ) 422
4
16
33
2
4
1312
3)12(
1212+
=+
+
Ejercicios:
Determine el valor numrico para:
1) 3x2 - 6x + 5 ; Si x = 52) x2 - 2xy + y2 ; Si x = 4 ; y = 2
-
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3) (x + y) ( x y) - x2 + y2 ; Si x = 13 ; y = 144) ( )xyyx
3
z 22 ++ ; Si z = 10 ; x = 27 ; y = 3
5) ( ) ( )
yx
yxyx:yx 2233
++
; Si x = 10 ; y = 20
6)3
21
x
xx
+; Si x = 2
7) ( ) ( ) ( )cpbpapp ; Si a = 35 ; b = 28 ; c = 31( )cbap ++=
2
1
5.3 Reduccin de Trminos SemejantesEn una expresin algebraica, son trminos semejantes aquellos que tienen los mismosfactores literales y los mismos exponentes aunque el factor numrico sea diferente:
Ejemplo:
a) ( )222 ba2;ba4
3;ba7
b) 31
31
31
xy35,0;xy41;xy2,0
Reducir trminos semejantes es agrupar en un solo los trminos semejantes entre siefectuando las operaciones algebraicas que se sealen.
Ejemplos:
Reducir trminos semejantes:
a) -5 a3 b4 - 7a3 b4 -3a 43b + 12a3 b4 - 13a3 b4b) 24a - 7b + 12c - 11a - 3b + 11c - 5a + 9b + 6cc) bab2,0a25,0b
5
4a
3
2+++
-
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Solucin:
//16
1228
1312375a)
43
4343
4343434343
ba
baba
bababababa
=+
=+
b) 24a - 11a - 5a - 7b - 3b + 9b + 12c + 11c + 6c =
8a - b + 29c //
c) bb5
1b
5
4aa
4
1a
3
2+++
=+ bb5
3aa
12
11
//b5
2a
12
1+
Observacin:Esta reduccin recoge la propiedad asociativa de los reales
Ejercicios:
Reducir trminos semejantes:
1) 3m - 7m + 5m - 7m + 3n - 8p - 5n + 8p2) x - 5y + 8 + 7x - 3y3) b8a4
11c2
16c6
1b2
14a3
12c3
17b5a2
13 ++++
4) 12xy - 4x2y + 6xy2 - 4x2y + 3xy + 8xy2 - yx3 - x2y25) 0,75x - 0,6y +
2
1y + 1
2
1x - y
-
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6) 83
1a - 6,35b - 5,7a - 2
12
2 b + 1
6
1a + 7
3
1b
7) 32x + 17y + 14z - 21w - 0,86x -17
1y -
4
3z
5.4 Resolucin de Parntesis
Los parntesis se usan para agrupar o asociar expresiones y cuya resolucin se rige por laspropiedades de distributividad en los reales o asociatividad de estos:
Ejemplos:
Resolver parntesis en:
a) 5a + (3b 2a + c) - 4cb) 7x - (3x + 9) + (6x + 8)c) 3x (2a - b) + ( )[ ]xaxbxa 3
Solucin:
a) 5a + (3b - 2a + c) - 4c = 5a + 3b - 2a + c - 4c=3a + 3b-3c
b)
7x - (3x + 9) + (6x + 8) = 7x - 3x - 9 + 6x + 8=10x 1
c) 3x (2a - b) + (3xa - xb + xa) = 6xa - 3xb + 3xa - xb + xa = 10ax 4bx.
Observaciones:
Recurdese las siguientes propiedades de los reales:
- (a + b) = - a - b
- (a - b) = - a + b
- (-a - b) = a + b
-
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Ejercicios:
Resolver parntesis y reducir trminos semejantes:
1) (a - b + c) - (a + b - c) + (-a + b + c)2) m - [ ] )nm()nm()nm( ++ 3) (9a - 4c) - [ ])a6c4()ba3( 4) (7a - 2b) - [ ])c3b2()ca3( 5) 2a - 2b + { } ])ba()ba(a3x3 6) a - { }[ ])ba(b2a(a3x3b2 + 7) - [ ] )( bab [ ]( ))ab(
5.5. Suma de Expresiones Algebraicas
La suma de expresiones algebraicas se hace entre trminos semejantes; empleando laspropiedades asociativas, conmutativas y distributiva que caracteriza a los reales:
Ejemplo:
Si A = 3x2 - 4x + 8 ; B = 2x2 - 6x + 4 ; C = -6 + 4x + x2
Calcular
a) A + Bb) 3A + 2B - Cc) (A + B) + (-2A - 3B) - 6C
Solucin:
a) A + B = (3x2 - 4x + 8) + (2x2 - 6x + 4)= 3x2 + 2x2 - 4x - 6x + 8 + 4
= 5x2 - 10x + 12 //
-
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b) 3A + 2B - C = 3(3x2 - 4x + 8) + 2(2x2 - 6x + 4) - (-6 + 4x + x2)
= 9x2 + 4x2 - x2 - 12x - 12x - 4x + 24 +8 + 6
= 12x2 - 28x + 38 //
c) (A + B) + (-2A - 3B) - 6C = A - 2A + B - 3B - 6C
= -A - 2B - 6C
- (3x2 - 4x + 8) - 2(2 2x - 6x + 4) - 6 (-6 + 4x + x2) =
- 3x2 + 4x - 8 - 4x2 + 12x - 8 + 36 - 24x - 6x2 =
- 3x2 - 4x2 - 6x2 + 4x + 12x 24x - 8 - 8 + 36 =
- 13x2 - 8x +20 //
Ejercicios:
1. Sumar las expresiones:Si:
A = 5a + 6b - 7
B = 3a - 4b + 2C = -4a + 3b - 4
1) A + (B - C)2) A - (B 2C)3) 2A + 3B - (2C + 4A)
2. Calcule
a) De la suma de 6xy - 8x + 15 con - 7x2 + 8xy - 10 rstese
5x2 + 8xy 20
b) Sume xy5x2
1x
4
3 22 + con el doble de xy3x4
3x
2
1 23 +
-
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c) Al doble de 3x2 - 12x + 6 aumentado en 11, rstese un medio de la suma entre(x2 + 4x + 2) y (-2x2 + 6x + 4)
d) El Semi-permetro de un rectngulo es 3x + 2y + 7, y el ancho es:
x - 3y + 2 Cul es el largo?
5.6Producto de expresiones Algebraicas:
a) Producto de MonomiosPara ello se emplean las propiedades del producto de reales y se multiplican loscoeficientes numricos entre s y los coeficientes literales homlogos.
Ejemplo:
Multiplicar
a) 222
3
2
13 xaxa
b) (-8ab)
2
1ba
4
1 22
c) axn bxm c x
Solucin:
a) 3a2 2223
2
2
13
2
3
2
1xxaaxax =
= a3 x3 //
b) (-8ab) ( ) 2222 bbaa2
1
4
18
2
1ba
4
1
=
= a3 b3 //
c) axn bxm cx = a b c xn xm x
= abc xn+m+1
-
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Ejercicios:
Multiplicar los monomios
a) ( ) ( )32 a2a3
b) ( ) ( )abaa 422
3 3
c) 14a2 bcx (-8ab3 x)
d) 7ab3 c2 0,21 a2 b2 c2 14
1a3 bc2
e)22
2
q
pq
p
q
q
p
f) 5a3 b3 3a-3 b3 7ab
g) abccabbaa
b) Producto entre polinomios:
Su ejecucin contempla la propiedad distributiva del producto respecto a la suma y lasotras propiedades o axiomas del cuerpo .
Ejemplo:
a) (5ab - 3a) 2a2 b2
b) 3 (-2a2 - 6ab2) (a3 b3)
c) (2x - 6) (x + 4)
Solucin:a) (5ab - 3a) 2a2 b2 = 10 a3 b3 - 6 a3 b2 //
b) 3 (-2a2 - 6 ab2) (a3 b3) = (-6a2 - 18 ab2) (a3 b3)
= 6 a5 b3 - 18 a4 b5 //
c) (2x 6) (x + 4) = 2x (x + 4) - 6 (x + 4)
= 2x2 + 8x - 6x - 24
-
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44
= 2x2 + 2x - 24 //
Ejercicios:
Multiplicar y reducir trminos semejantes.
1) ( )
++ ab
2
1ba4ab8ba6 32322
2) (x - 8) (x + 6)
3) (x + 4) (x - 3) (x + 1)
4) (6x2y - 3xy + 4xy2 + 8x2y2 - 7x2y) (xy2 - x2 y2)
5) (x - y) (x2 + xy + y2) (x3 - y3)
6) 3(2x - 6) + 4 (3x + 4) - 7(2x - 1) + 8(x + 3) (x + 1)7) (x + 2y) (x + 2y) (x + 2y)
Observacin:
Hay ciertos productos usuales, que es necesario conocer su desarrollo.
1. Cuadrado de Binomio
(a + b) (a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b) (a - b) = (a - b)2 = a2 -2ab + b2
2. Cubo de Binomio
(a + b) (a + b) (a + b) = (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a - b) (a - b) (a - b) = (a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3
3. Producto de binomios que slo difieren de un signo
(a + b) (a - b) = a2 - b2
(-a - b) (-a + b) = a2 - b2
4. Binomio con un trmino comn
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) + ab
-
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45
5. Cuadrado de Polinomio
(a + b + c ..)2 = a2 + b2 + c2 . + 2(ab + ac +` bc + ..)
6. Suma de Cubos
(a3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)
(a3 - b3) = (a - b) (a2 + ab + b2)
Ejercicios:
Resolver los productos notables siguientes:1) (2a + b2)22) [ ]2)abb(2ba 3) (6x - 3y)24) (3ax + 2ay)25) (-2 - 2b)26) (x - 2)37) (2xy - 5y)
3
8) (3x - 2y + z)29) (2xy - x2 + y2)210) (3ax - 2ay) (3ax + 2ay)11) (2x - 3y) (3x - 2y) (2x + 3y) (3x + 2y)12) (2x - 6) (2x + 9)13) (x - xy) (x + x2)14) (x - 8) (x - 4) (2x - 3)15) (a + 32 + b + 2b2)216) (x - y + z)317) 232 zxy
4
1xy
3
1x
2
1
++
-
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46
5.7 Factorizacin de Expresiones Algebraicas
Se trata de restituir a un producto, una expresin algebraica desarrollada como unaaplicacin de la propiedad distributiva.
Ejemplo:
Factorizar las expresiones siguientes:
a) (2ax - 3x)b) 3ax2 - 2axc) 2a3 b2 c4 d - 6ab4 c3 + 8a2 b2 c4 d2d) x2 - 2x + 1e) 9x2 - 16f) x2 - x - 6
Solucin:
a) 2ax - 3x = x (2a - 3)b) 3ax2 - 2ax = a x (3x - 2)c) 2a3 b2 c4 d - 6ab4 c3 + 8a2 b2 c4 d2 = 2ab2 c3 (a2cd - 3b2 + 4acd2)d) x2 - 2x + 1 = (x - 1)2e) 9x2 - 16 = (3x - 4) (3x + 4)f) x2 - x - 6 = (x - 3) (x + 2)
Observacin:
Un problema de factorizacin frecuente es el caso de un trimonio cuadrtico.
ax2 + bx + c
Recurdese el producto:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
es decir, en el trinomio:
-
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47
x2 + sx + py
s representa la suma de los trminos no comunes y p el producto de los mismos; poreso en:
x2 - x - 6 ; s = -1
p = -6 o sea
a + b = -1
ab = -6 a = -3 ; b = 2
x2 - x - 6 = (x - 3) (x + 2)
Ejercicios:
Factorizar los trinomios
1) x2 - 5x + 62) x2 - 7x + 33) 10x2 + 17 + 34) -6x2 + 37x - 455) 6x2 + xy - 12y26) 10x2 + 17xy + 3y27) x2 + x + 18) 3x3 - 12x2 + 9x9) x5 - ax4 - a4x + a510) (a + b)2 - 4ab11) a12 + b12 (a4)3 + (b4)312) a12 - b12
5.8 Simplificacin de Expresiones Racionales
Simplificar una expresin racional es cancelar factores comunes que parecen en elnumerador y denominador de ella; esto es la aplicacin de la propiedad del inversomultiplicativo.
-
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48
Ejemplo:
Simplificar
a)2a4
4x2
+
b))ba(ab
ba2ab3 22
c)6xx
6x5x2
2
+
Solucin:
a) 11 )1a2(2)2x(2)1a2(2
)2x(2
2a4
4x2 +=
+
=
+
1a2
2x
)1a2()2x(1
)1a2()2x(221
1
+
=
+=
+=
b)ba
a2b3
)ba(ab
)a2b3(ab
)ba(ab
ba2ab3 22
=
=
c)2x
2x
)2x()3x(
)2x()3x(
6xx
6x5x2
2
+
=
+
=
+
Observacin:
Este trabajo de simplificacin, si no se hace concientemente es fuente de graves errores, deah el desarrollo detallado del ejemplo a) hago usted lo mismo con:
a)22 ba
ba
+
-
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49
b)y2x2
yx 22
+
c)22
33
baba
ba
++
Ejercicios:
Simplificar o cancelar factores comunes en:
1)6x2
9x3
+
+
2) 3226 bab3a3a
ba
+++
+
3)22
66
b2a2
ba
4))ba(
)ba(ab2ba 33
+
++
5)5a10a5
1a2
2
+
6)mymx
yxy2x 22
+
++
5.9 Cuociente de Expresiones Algebraicas
a) Cuociente entre Monomios: Se trata, como ya se sabe, de un producto del monomiodividendo por el inverso multiplicativo del monomio divisor.
Ejemplo:
a) 16 a2 b5 c6 : 4ab3c3b) -0,14a3b-2 c-4 : 10a3b3 c3
Solucin:
-
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50
a) 16 a2 b5 c6 : 4ab3 c3 = (16a2b5 c6) (4ab3 c3)-1= 16 a2 b5 c6 4-1 a-1 b-3 c-3
= 16 4-1 a2 a-1 b5 b-3 c5 c-3
= 4ab2 c3
otra forma 3233
652
cab4cab4
cba16=
Esta forma es una modalidad ms frecuente pero la justificacin para ello est en laprimera modalidad.
b) -0,14a3 b-2 c-4 : 10a3 b3 c =10
14,0a3-3 b-2-3 c-4-1
0,14b-5 c-5 =55
14,0
cb
Ntese que:
nmn
m
aa
a = ; puesto que
( ) === n,m;aaaaa
a
a nmnm1nmn
m
IN
Ya antes habamos usado el hecho que
am an = am+n ; m, n IN
y que est basada en la asociatividad del producto, por cuanto:
am an =
n vecesvecesm
a.........aaa.........aaa
=
n vecesm
a...........aaa+
Ejercicios:
-
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51
Efectuar las operaciones
1) 3432 zy9:zyx3
1
2) -12a4 b3 c-3 : -18 b-3 c4
3) 2111 zyx53:xy
53
5.10 Cuociente de Polinomio con monomio
Est basado en la propiedad distributiva del producto respecto a la suma.
Ejemplo:
a) (15x4 y2 - 9x2 y3 + 12 xy4) : 3xyb) 324423
2
3:
4
3
2
1bababa
+
Solucin:
a) (15x4 y2 9x2 y3 + 12xy4) 3-1 x-1 y-1 =3233023 43531239315
yxyxyxxyyx +=+
b) +=
+
32
34
32
23
32
433423
ba
ba
3
2
4
3
ba
ba
3
2
2
1
ba2
3
ba2
3ba
4
3ba
2
1
aba2
1ab
3
1
ba
ba
3
2
2
3 2132
43
+=
Ejercicios:
Efectuar las divisiones:
1) (8a2 b5 - 16a3 b3 + 24a-2 b5) : 8a2 b32) (-4x7 y8 - 12x20 y10 + 24x21 y42) : 4x9 y-10
-
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52
5.11 Cuociente entre multinomios
La divisin entre multinomio, an cuando est determinada por la distributividad en los
reales, tiene un algoritmo especial para conseguir el cuociente y el resto, si lo hay. Puestoque si A y B son dos expresiones se trata de encontrar las expresiones C y R tal que:
A = B C + R
C es el cuociente y R es resto
El algoritmo lo explicamos en el ejemplo
(a2
+ 4ab + 3b2
) : (a + b) = a + 3b
2
2
b3ab30
aba
++
00
b3ab3 2
Observacin:
Tngase presente que hay que:
Ordenar respecto a las potencias de una letra ambos multinomios.
a) Se busca un elemento que multiplicado por el primer elemento del divisor resulte elprimer elemento del dividendo.
b) Se multiplica el elemento encontrado por todo el divisor y el producto se resta deldividendo.
c) La diferencia es un nuevo dividendo y se repite el proceso hasta llegar a un resto ceroo un elemento que no permite continuar.
Ejemplos:
a) (3a5 - 6a2 + 9a - 7) : (2a2 - 3)
-
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53
Solucin:
3a5 - 6a2 + 9a - 7) : (2a2 - 3) =
cuociente
aa 34
9
2
3 3 +
7a9a6a2
9
a2
9a3
23
35
+
7a4
63a6
a4
27a
2
9
2
3
+
( )
16a4
639a6 2
+
(Resto)
Luego debe tenerse que
(3a5 6a2 + 9a - 7) = (2a2 -3)
+
+ 16a
4
633a
9
9a
2
3 3
En efecto, realizando el producto se llega a:
3a5 - 6a2 -4
27a + 9 Sumando el resto
7a9a6a3
16a4
63
25 +
+
Ejercicios:
Efectuar el cuociente y comprobar:
-
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54
1) (2x3 + 2x3 - 3x2) : ( 2x + 4)2) (x4 - 2x3 - 3x2 + 5x + 2) : ( x3 - 4x2 + 5x - 2)3) (x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 3x + 2 ) : ( x + 2)4) (x5 - 3x4 + x2 - 2x - 3 ) : (x - 3)5) (x7 + 3x6 + 2x3 + 3x2 - x + 1) : (x4 - x + 1)6) ((x + 1)3 - x2 + 2x ) : (x2 + x - 1)
Observacin:
El cuociente xn - yn : x - y ; tiene siempre resto cero cualquiera sea el valor de n
N.
Ejemplo:
x5 - y5 : x - y = x4 + x3 y + x2 y2 + xy3 + y4
( )54
45
yyx
yxx
( )523
234
yyx
yxyx
( )532
3223
yyx
yxyx
( )54
432
yxy
xyyx
( )0
yxy 54
De igual forma podr verificarse que:
x6 - y6 : x - y = x5 + x4y + x3y2 + x2y3 + xy4 + 5
y en general puede intuirse que:
xn - yn : x - y = xn-1 + xn-2 y + xn-3 y2 + . + x2 yn-3 + xyn-2 + yn-1
-
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55
Ejercicios:
Escriba el resultado directamente:a) a5 - x5 : a - xb) 8x3 - y3 : 2x - y
Igual situacin a la anterior se produce con los cuocientes.
a) xn + yn : x + y si n es par (n = 2p)
b) xn + yn : x + y si n es impar (n = 2p 1)
Verifquelo para:
a) x8 - y8 : x + yb) x7 + y7 : x + yc) x6 - y6 : x + yd) x5 + y5 : x + y
Adems conjeture una frmula general para dichos cuocientes.
5.12 Expresiones Algebraicas Racionales:
Son aquellas en forma de cuociente entre multinomios:
Ejemplo:
a)a8ba3ab4
6ab2ba3223
2
+
b)222 ba
1;
abx5
2;
bx7
a3
-
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56
A) Mnimo Comn MltiploEl mnimo comn mltiplo (m.c.m.) entre dos o ms expresiones; es la expresin que
se obtiene al multiplicar los factores primos numricos o literales cada uno con sumayor exponente.
Ejemplo:
m.c.m. entre: 15a2 b3 ; 8ab2 ; 3a3 b
3 5 a2 b3 ; 23 ; 3 a3 b es:
3 5 23 a3 b3 120 a3 b3 //
Observacin
El m.c.m. es entonces la expresin ms pequea que contiene a cada una de lasexpresiones dadas.
m.c.m. entre (1 + a) ; (1 - a) es (1 + a) (1 a)
m.c.m. entre a3 b ; xy2 ; uv5 es a3 bxy2uv5
m.c.m. entre 6(a - b) ; 9a2 - 9b2 ; 8(a2 + b2 - 2ab)
es:
Como 6(a - b) ; 9a2 - 9b2 ; 8 (a2 + b2 - 2ab) se puede expresar por:
3 2 (a b) ; 32 (a - b) (a + b) ; 23 (a - b) (a - b)
Entonces el m.c.m. ser:
32 23 (a - b)2 (a + b)
Ejercicios:
Determinar m.c.m. entre:
a) (1 - a) ; (1 + a) ; (1 - a2) ; (1 + a2)
b) 6a2 b ; 2abc ; 5a2 b2 ; 13 abc2d
c) (a - 1) ; (a + 1) ; (b - 1) ; (b + 1)
-
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57
B) Reducir dos o ms Expresiones Racionales o Fracciones Algebraicas a Funcionesde igual Denominador.
Se trata de obtener mediante un proceso de amplificacin, que cada fraccin tenga el
mismo denominador. Amplificar una fraccin algebraica es multiplicar numerador ydenominador por un mismo factor; con ello no se altera el valor de esta por cuantomediante un proceso de cancelacin o simplificacin se retorna a la expresin original.Amplificar y simplificar son procesos recprocos.
Ejemplos:
a) Amplificarab5
a2ba3 2 por b2 a3 ; luego queda:
( ) ( )43
232
32
232
ab5
a2ba3ab
ab5ab
a2ba3ab
=
b) Simplificarab5
a2ba3 2 : luego como
ab5
a2ba3 2 =
( )
ab5
2ab3a queda
b5
2ab3
Para determinar el denominador comn; entre dos o ms fracciones; (es convenienteque sea el mnimo posible) o ms bien el mnimo comn denominador; se busca elmnimo comn mltiplo entre denominadores y se amplifica cada fraccin por unaexpresin conveniente y lograr que el denominador sea ese m.c.m.
Ejemplos:
Reducir las fracciones dadas a expresin de igual denominador pero que sea el mnimocomn denominador.
a)yx
yx;
yx
x;
yx
322 +
b)c2
b;
a7
2;
b6
a3
-
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58
c)abc
5;
ba
a3;
ba2
c4222
Solucin:
a) m.c.m. entre (x - y) ; (x - y) (x + y) ; x + y es (x - y) (x + y) ;
luego
)yx()yx(
3
yx
3
+=
)yx()yx(
x
yx
x22 +=
)yx()yx(
)yx(yx
yx
yx
+
=
+
b) m.c.m. entre 6b ; 7a ; 2c es 6 7 abc = 42 abc (mnimo comn
denominador)
abc42
ca21
abc42
ac7a3
b6
a3 2==
abc42
bc12
abc42
bc62
a7
2==
abccab
cb
42212
2
=
c) m.c.m. entre 2a2 b ; a2 b2 ; abc
es: 2a2 b2 c ; luego
-
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59
c2b2
2
222a2
bc4
cba2
)bc()c4(
ba2
c4=
=
cba2
c6
cba2
)c4()a2(
ba
3222222 =
=
cba2
ab10
cba2
)ab2(5
abc
52222
=
=
Ejercicios:
Reducir al mnimo comn denominador las fracciones:
a)22
22
ba
ab;
ba
b;
ba
a
+
b)12
2
22
22
ba
ab2a3;
xaxa
xa2;
xa
ax
++
c)22
2
2 ba
x;
)ba(
yx;
)ba(
)ba(x
+
+
d)yx6
ba5;xy21ab8;
y14b5;
x7a3
2
2
22
5.13 Operaciones con Fracciones Algebraicas
1. Suma:La suma de fracciones algebraicas se realiza transformndolas a fracciones dedenominador comn; luego el resultado es la suma de los numeradores manteniendo el
denominador.
Ejemplo:
1) Sumar:22 b
a
a2
b2
a5
3
ab2
1++
-
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60
Solucin:
m.c.d: 10a2 b2
22
3
22
3
22
2
2222 ba10
a10
ba10
ab10
ba10
b6
ba10
ab5
b
a
a2
b2
a5
3
ab2
1++=++
=22
332
ba10
a10ab10b6ab5 ++
2) Sumar:ba
a
b
ba
a
ba
+
+
Solucin:
m.c.d.: (a - b) ab
)(
4
)(
)2(
;)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)((
2332
22232
22222
2
baab
abbaba
baab
baabababba
reduciendobaab
baababba
baab
ba
baab
aba
baab
bbaba
ba
a
b
ba
a
ba
=
++=
+=
+
+=
+
+
3) Sumar:1a
a4
1a
1a
2a2
1a
2a2
1a22
2
++
+
+
Solucin:
m.c.d entre 2(a - 1) ; 2(a + 1) ; (a + 1); (a + 1) (a -1) es
2(a + 1) (a - 1) = 2(a2 - 1)
-
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61
//1a
1a
ndoSimplifica)1a( )1a(1a 1a2a
ndoSimplifica)1a(2
2a4a2
ndoSimplifica)1a(2
a82a21a2a1a2a
duciendoRe
)1a(2
a8)1a(2)1a()1a(
1a
a4
1a
1a
)1a(2
1a
)1a(2
1a
2
2
2
2
2
2
2
222
2
222
22
2
+
=
=
+
+=
++++++
+++
=
++
+
+
Ejercicios:
Sumar y expresar el resultado en la forma ms simple:
a) =
+ xy
y
yx
x
yx
x222
2
b) =
+ 1a
2
2a3a
322
c) =
+
+ 1a
2
1a
a4
1a
2
d)5a6a
2
10a3a
a22 +
-
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62
5.14 Producto de Fracciones Algebraicas:
El producto de fracciones algebraicas se efecta multiplicando numeradores ydenominadores entre s y el cuociente se encuentra multiplicando la primera fraccin
por el inverso multiplicativo de la segunda.
Ejemplo:
1. ndoSimplificayab12
abx15
aby2
bx3
by6
ax522
2
=
//by4
x52
2
=
2 ndoSimplifica)x1()x2(b)x2()x1(a
x1x2
bxb2axa
22 +
+=
+
+
)x1(b
a
+=
3. +
+=
+
+
xx
xx
xx
xx
111
11
1
+
x1x
x1x
2
24
2
2 2121 xxx
xxx
+=+=
Se ha usado la distributividad en lugar de expresar los factores como fracciones o sea
+
+=
x
xx
x
xx 11 22
Ejercicios:
Resolver los productos, y simplificar si procede:
a) =
+
++
+
yx
yx
yxyx
yxyx22
22
-
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63
b) =+
+
ba
ba
ba
)ba(b 22
44
2
c) =
+ x
a
a
x
xa
ax
d) =
+
+
+ 1a
a
11a
a
1
e) =
+
ca
ca
ca
ca1
22
f) =
+
+22
2
ca
ca1
1a
ca
g) =++
++
22
22
33
33
baba
baba
ba
ba
Para dividir dos expresiones fraccionarias se reducen a un producto como ya se seal:
Ejemplo:
1)aby2
bx3:
bx6
ay5
Solucin:
Comobc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c:
b
a1
==
=
22
22
xb18
bya10
bx3
aby2
bx6
ay5
aby2
bx3:
bx6
ay5==
//bx9
ya52
22
=
2) =
+
+1
x
1:
x1
x2
x1
12
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
64/128
64
=
+
+ x
x1:
x1
x2
x1
12
( ) =
+
x1 xx1 x2x1 2
=
+
x1
x
x1
x12
//)x1(
x2
3) =
+
+
31512:
6253
xx
xxx
=
+
+
3
15)3()12(:
)3(2
53
x
xx
x
xx
rSimplificaxx
x
x
xx=
+
+
15)3()12(
)3(
)3(2
5)3(2 2
=
+
+
))15)3()12(()3(2
)3()5)3(2( 2
xxx
xxx
=+
+
30)3()12(2
5)3(2 2
xx
xx
30)372(2
18722
2
++
+
xx
xx
//2
1
)18x7x2(2
18x7x22
2
=+
+=
Ejercicios:
1)
+
2x
11:
x
11
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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65
2)
5
35
3
2
x4
x2x2:
x2
1x
3)
+
1a
11:
1a
11
4) +
+
22
22
b3cb3
a2xa2:
b2bc2
a3ax3
5)
+
+
+
ba
b1:1
ba
ba2
6)
323
3
b
a
b
1:
b
a1
7)
+
+
+
ba
ba1:
ba
ba
ba
ba
5.15 Fracciones Algebraicas Compuestas
Se trata de fracciones cuyo numerador y denominador son a su vez fracciones y sudesarrollo consiste en darle una forma simplificada.
Ejemplo:
1)
+++
=
++
+
x1
x2)x1()x1(
x1
1
x1
x2
x1
x1
1
2
2
2x2)x1()x1(
)x1(x1
1
++
+
=
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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66
2x1
)x1(x1
1
+
+
=
2
2
x1)x1(xx1(
1
+++
=
)1(
122
2
xxx
x
++
+=
//x1
x1 2
+
+=
Ejercicios:
Resolver:
1.
1x
x1
1xx
+
+
2. =
ba
1b
1a
3. =
1b
aa
b
b
a
4.
ca
1
b
1ca
1
b
1
:
cb
1
a
1cb
1
a
1
++
+
++
+
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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67
5.a
a
1
cb
1
ab
1
ba
1
+
6.
+
+
+
a
11
b
11
b
11
a
11
a
1
b
1a
b
b
a
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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68
5.16 PotenciasSiendo la notacin an una expresin para el producto de n factores a; para n IN osea.
an = a a a .. a (n veces). Para n = 0;
a0 = 1
Se tiene las siguientes consecuencias operacionales:
a) am an = am+n
b) am : an = am-n :
c) an bn = (ab)n
d) am : bm =m
b
a
e) (am)n = amn
Adems son inmediatas las siguientes propiedades:
f) a ; a2n 0
g) a ; a2n-1
0 si a 0a2n-1 0 si a 0
Ejemplos:
a) a ax+1 = ax+2
b) a2n-3 : a 1+n = a(2n-3)-(n+1) = an-4
c) 5x 7x = (35)x
d) 82n : 42n = nn2n2
424
8==
e) ( ) 1025 33 =
f) (-7)2 = 49
g) (-5)3 = -125 < 0
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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69
( 3)3 = 27 > 0
Observacin:
Si m Z ; Entonces
nn
mm
a
1a
a
1a ==
Ejercicios:
1. a) a2n+3 a3n =
b) 25x 8 =
c) 52p-1 25p+1 =
d) (x + y)3n (x + y)1-n
e) (a + b + c) (a + b + c)n-1 (a + b + c)n
f)26
3
5
5
3
g)
33
3
5
:5
3
h) (1 + 2xy)2 : (1 + 2xy)-3
i) ( )58
axabx3
1
j) (32xy)3 : (4x)3
k) (16-1 40) : 4-2
2. a) =
+
+
+
+ 532
ba
p
q
qp
qp
ba
b) =
5
4
625
5
43
x
ym:
x
ym
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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70
c) =
+nm
n2
m2m2
nm
nm
a
a
a
a
d) =
2
121
2
3
2
3
yx:yx
e) =
25
1
4
23
ba
ab
ab
ba
f) =+
+
+
1x1x
1x
)1x(x
1x
)2(
4:
2
2
h) (0,25)-2 + 160 + (-2)-3 =
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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71
5.17 Races Aritmticas
Si n IN ; nn baba == ; luego ( )nn aa = (*)
La Potenciacin es la operacin recproca de la radicacin
Ejemplo:
33 327327 ==
66 264264 ==
55 )3(2433243 ==
33 )2(828 ==
Denotemos tambin: n1
aan =
ya que si en n1
aan = / elevamos a n ambos lados, se tendr:
( ) aaatambiny;aa nn
n1 nnn ==
= quedando justificada la notacin.
De lo anterior se tiene: p naa pn
=
Ejemplos:
a) 3 5xx 35
=
b) 883
31
=
c) 45
2324 =
d) 22128 7 77 ==
e) 32727 331
==
f) 5555 21
168
16 8 ===
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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72
g) 12 83 2 aa =
12 34 aa =
12 66 3 aa =
Ejercicios:
1) Simplificar las racesa) 30 18x
b) 24 9a
2) Convertir en races de igual ndicea) 43 6;3;5
b) 10 66 55 3 a;a;a
3) Calcular:a) 333 275128 +
b) 433 16827425 +
c) 3 35 2n n4 4 )x2(2
1xx2x +
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
73/128
73
5.18 Propiedades Operacionales
a) nnn baba =
b) nnnb
ab:a =
c) nmm n aa =
d) ) n qpqn p aa =
El fundamento de ello es que:
a) == yb;xa nn
a = xn ; b = yn
ab = xn yn = (x y)n
nnn bayxab ==
b) Anlogamente:
n
n
n
y
x
y
x
b
a
==
n
n
n
b
a
y
x
b
a=
=
c) nmmnm n )u(auaua ===
a = umn
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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74
m nmn aua ==
d) ( ) ( ) n pqqqn p aaaa npqnp ===
Observacin:
( ) ( ) ( ) n pqpqnpn qqn p aaaa ===
Ejemplo:
a) axxaaxxa 3 333 23 2 ==
b) 22212 3333 xxxxx ==
c)3
332
3 23
ax
1
xa
1
xa
axa:a ===
d)
1
10
1510 33:3
=
e) ba
ab
b
a:ab
2
==
f) ( )( )723723723723 +=+
416723 ===
g) ( )2
1815
2
72102:18157210 +=+
105315610
9153610
=+=
+=
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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75
h) Reducir:
//2162
232
2
32
2
840
2
8220
28254
2
1822545,08504
===
==
=
=
i) Reducir:
210
224210224
246252264
216622522364326502724
=
+=
+=
+=+
Ejercicios:
Desarrollar las expresiones y reducir
1)
+
3
26246
2) 318318 +
3) ( ) ( ) ( )353523 2 +
4) ( ) ( )2322332483252 +
5) 634287
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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76
6)12
14
3
193275,0184 +
7) 33327
16858 ++
8) 983162450732583 ++++
9) 78:74
10) 25:15015
11) xy3:yx75 3
12) ( ) 2:18157210
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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77
5.19 Racionalizacin
Para una expresin Fraccionaria con races en el denominador, la racionalizacin es laoperacin de amplificacin que tiende a eliminar dicha raz.
Ejemplo:
a) Racionalizar:n
m
Solucin:
//n
nm
nn
nm
n
m
=
=
b) Racionalizar:ba
a
Solucin:
( )
( )( )
( )//
ba
baa
baba
6aa
ba
a
+=
+
+=
c) Racionalizar:ba
b
+
Solucin:
( )
( ) ( )
( )ba
bab
baba
bab
ba
b2
=
+
=
+
d) Racionalizar:ba
a
Solucin:
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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78
//2
2
22
2
2
ba
babaa
baba
babaa
ba
baa
baba
baa
ba
a
+=
+=
+=
+
+=
e) Racionalizar:cba
a
++
Solucin:
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( )( )( )
( )
( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )//
4)(
2
22
2
2
))(
2
2
bccba
bccbacbaa
bccbabccba
bccbacbaa
bccba
cbaa
cba
cbaa
cbacba
cbaa
cba
a
+=
+
+=
=
+
+=
+++
+=
++
f) Racionalizar:33 cb
a
+
Solucin:
Tngase presente que:
x3 + y3 = (x + y) (x2 - xy + y2) Si 3 bx =
3 cy =
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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79
))(( 3 2333 233 ccbbcbcb ++=+ (3 233 2
33 )(cbcb
cbcb
++
+=+
Luego:
cb
ycbba
cb
a
+
+==
+
32
31
31
32
33
Ejercicios:
Racionalizar:
1) m nx
x
2)m 5a
a
3)5 x
x
4)32
32
+
5)23
9
6)32
10
7)273
273
+
8) 2253
5223
+
+
9)2237
254
++
-
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80
10)33 23
7
11)33 35
2
+
12)3 yx
yx
+
+
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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81
5.20 Logaritmo en base a
Para la ecuacin ax = b , a 1 ; a > 0 la solucin se define por:
x = logab
luego:
ax = b x = loga b (*)
a) ba bloga =
b) xalog
x
a =
Observacin:
Ambas se logran por simple sustitucin de acuerdo a la relacin (*) y con ello sedetermina que la operacin de exponenciacin y la de logaritmacin son recprocas una dela otra.
Ejemplo:
1) log32 = x 3x = 2
2) log28 = 3 23 = 8
3) log2x = 5 25 = x x = 32
4) logx64 = 6 x6 = 64 x = 2646 =
Ejercicios:
1) Dar forma exponencial a
a) log981 = 2
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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82
b) log322 =5
1
c) log82 =3
1
d) log1010 = 1
2) Determinar el valor de x en:a) logx8 = 3
b) log749 = x
c) log8x =32
d) logx0,01 = -2
e) 5x = 3
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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83
5.21 Propiedades del Logaritmo
1) logaa = 1 a + - {1}
2) loga1 = 0 a + - {1}
3) loga(x y) = logax + logay
4) loga
y
x= logax - logay
5) logaxn = n logax
6) logbx =blog
xlog
a
a
7) xlogn
mxlog a
n m
a =
Demostracin:
1) y 2) son consecuencia inmediata de la definicin:
3) Sea loga(x y) = u
au = x y
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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84
Sea logax = m
logay = n
x = am
y = an
xy = am+n
= au
m + n = u
logax + logay = logax y
4) Seay
xalog = u a
u =y
x
Si logax = m logay = n
x = am y = an
== unm aay
x
m - n = u
loga ylogxlogy
xaa =
5) Es una reiteracin del caso 3 pues
logax2 = 2 logax
log3x3 = 3 logax
6) Si logbx = u x = bu
y m = logax ; n = logab
am = x ; an = b
x = am ; bu = (an)u
= anu
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
85/128
85
a m = anu m = nu
xlogblog
xlogu
n
mb
a
a ==
7) Se sabe que: nm
an m
a logxlog =
Sea nm
xlogu a=
nm
xau =
Sea = xlog
n
my a
xlogm
nya=
m
ny
a = x
ya = nm
x luego
au = ay u = y o sea
xlog
n
mxlog aa
nm
=
Ejemplo:
1) Probar que: logaa = 1
Solucin:
Si u = logaa
au = a u = 1
2) Calcular log216 ; log264 ; log21
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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86
Solucin:
log216 = log224 = 4 log22 = 4
log264 = log226 = 6 log22 = 6
log21 = log220 = 0 log22 = 0
3) Calcular x en log4x = 3 ; logx121 = 2
Solucin:
log4x = 3 43 = x x = 64
logx121 = 2 x2 = 121 x = 11
4) Desarrollar:xy4
cab3log
2
Solucin:
ylogxlog4logclog2
1blog2alog3log
)ylogxlog4(logclogblogalog3log
xy4logcab3logxy4
cab3log
2
22
+++=
+++++=
=
5) Calcular usando log10, el valor de:
y =2,0128
)001,032,0( 21
; Si log 2 = 0 , 30103
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
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87
Solucin:
2
1
2
312log
2
12log2log
2
5
10log2
12log
2
1128log10log
2
11log
2
110log
2
12log
2
1
10
2log
2
1128log
1000
1log
100
32log
2
1ylog
7
325
10
+=
++=
+=
50515,3ylog
230103,05
22log5
22log21725
10 =
=
=
=
Luego haciendo uso de la calculadora se puede verificar el resultado en que:
y = 0,000322499
Observacin
Cuando la base es 10 el logaritmo se denota log; y en el caso que la base sea el
nmero e, el logaritmo llamado natural se denota Ln.
(e = 2,7182818)
6) Resolver la ecuacin exponencial:
a) a2x b3x = c5
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
88/128
88
b) (a4 - 2a2 b2 + b4)x-1 = (a - b)2x (a + b)-2
Solucin:
a) Aplicamos log a ambos miembros o sea a toda la ecuacin:
log (a2x b3x) = log c5
2x log a + 3x log b = 5 log c
x (2 log a + 3 log b) = 5 log c
//
blog3alog2
clog5
+
=
b) Se tiene:
(a2 - b2)2(x-1) = (a - b)2x (a - b)2x (a + b)-2
[ (a - b) (a + b)]2x-2 = (a - b)2x (a + b)-2
(a - b)2x-2 (a + b)2x-2 = (a - b)2x (a + b)-2 / (a + b)2
(a - b)2x-2 (a + b)2x-2+2 = (a - b)2x / (a - b)-2x
(a - b)-2 (a + b)2x = 1 / (a - b)2
(a + b)2x = (a - b)2 / log
2x log (a + b) = 2 log (a - b)
)ba(log )ba(logx += //
7) Dado log 2 = 0,30103; hallar:
Log25200
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
89/128
89
Solucin:
5log2
10log22log
5log
)102(log
25log
2001200log
2
2
10
1025
+=
==
og
//2log22
22log
)2log10(log2
22log
2
10log2
22log
+=
+=
+=
Ejercicios:
1) Hallar logaritmo de:
a) 16 base ( )16log2 2 b) 125 base 5 5c) 0,0625 base 2
2) Hallar:
3a
215alog
-
8/2/2019 Apunte Usach - Introduccin a la Matemtica para Ingenieria de Ejecucin
90/128
90
3) Hallar el valor de:
49log;216
1log;128log 34368
4) Expresar en funcin de log a ; log b ; log c
a) 33 2 balog
b) 9 34. balog
c)
ab:ba3log 321
d)
5
32
13
34
2
cb
cb:
cb
bclog
5) Demostrar que:
3log3
22log
5
25log
4
1
218
25log
3
104
=
6) Resolver las ecuaciones exponenciales:
a) x21x
1x
cb
a=
+
b) ax = cbx
7) Dados log 2 y log 3, hallar:
3
42
2
53log
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8) Resolver el sistema:
2x+y = 6y
3x = 3 2y+1
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TEMA N 6. -PROBLEMAS Y ECUACIONES
Prof .Heraldo Gonzlez S
EcuacinUna ecuacin es toda igualdad entre dos expresiones matemticas ,denominadosmiembros de la ecuacin, por ejemplo xyxyx 3423 =+ es una ecuacin.
En muchos problemas matemticos, la condicin del problema se expresa en forma deecuacin algebraica; se llama solucin de la ecuacin a cualquier valor de las variables dela ecuacin que cumpla la igualdad, es decir, a cualquier elemento del conjunto de nmeroso elementos sobre el que se plantea la ecuacin que cumpla la condicin de satisfacer laecuacin. Al igual que en otros problemas matemticos, es posible que ningn valor de laincgnita haga cierta la igualdad. Tambin puede que todo valor posible de la incgnita
valga. Estas ltimas expresiones se llaman identidades.
Historia de las ecuaciones polinmicasLos primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los rabes, en un librollamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, lgebra (del r. algabruwalmuqbalah, reduccin y cotejo). La cosa era la incgnita. La primera traduccin fuehecha al latn en Espaa, y como la palabra rabe la cosa suena algo parecido a la Xespaola medieval (que a veces ha dado J y otra X porque su sonido era intermedio, comoen Mexico/Mjico, Ximnez/Jimnez), los matemticos espaoles llamaron a la cosaX.Para resolver ecuaciones hasta segundo grado, el hombre no encontr gran dificultad, lasituacin fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2.
En efecto, la ecuacin general de tercer grado: 023 =+++ dcxbxax requiriconsideraciones bastante profundas y resisti todos los esfuerzos de los matemticos de laantigedad. Slo se pudieron resolver a principios del siglo XVI, en la Era delRenacimiento en Italia. Aqu se presentar el ambiente en que aconteci el descubrimientode la solucin de las ecuaciones de tercer grado o cbicas. Los hombres que perfeccionaronlas cbicas, italianos todos, constituyeron un grupo de matemticos tan pintoresco comonunca se ha dado en la historia. La mayora de ellos eran autodidactas, trabajaban encontabilidad, en problemas de inters compuesto y de seguros.
Habindose elevado por encima del simple clculo prctico, los grandes algebristas
italianos constituan en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba ensu elemento tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban lasCallejas del Renacimiento, como en las ctedras de Universidad, a las que aspiraban yalgunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieronentre s competencias para la solucin de problemas. (Algo muy similar a lo que hacan loshindes siglos antes). Para hacer doblemente difcil su deporte, algunas veces hacanapuestas que depositaban en manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En estaatmsfera combativa estall la guerra en torno a la ecuacin cbica. La chispa pudo haber
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sido encendida, sin querer, por un padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicun compendio de lgebra, la "Suma Aritmtica". Con ella transmiti el lgebra inventadahasta la fecha y termin con la irritante observacin de que los matemticos no podrantodava solucionar ecuaciones cbicas por mtodos algebraicos.
El primer hombre en recoger el desafo de Pacioli en torno a las cbicas fue, como yadijimos Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que lleg a ser catedrtico dematemtica en la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solucin general paratodas las ecuaciones cbicas de la forma simplificada hnxx =+3 .
Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a losadversarios durante las competencias. Pero en sus ltimos das confo su solucin a unestudiante, Antonio Fior, quien la utiliz en una disputa de lgebra con un rival, NcoloFontana, llamado Tartaglia o tartamudo a causa de que padeca este defecto.
En la poca de la contienda con Fior, Tartaglia haba pasado a ser uno de los ms sagaces
solucionadores de ecuaciones de Italia, y haba ideado un arma secreta propia: Una solucingeneral para las cbicas del tipo hmxx =+ 23 .
Como resultado, cuando Fior le dio un grupo de ejemplos especficos del tipo03 =++ qpxx , le respondi con ejemplos del tipo nmxx =+ 23 . Durante el intervalo
concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia como Fior trabajaron ardorosamente,ocho das antes de finalizar el plazo, Tartaglia haba encontrado una solucin general paralas ecuaciones del tipo qpxx =+3 y en dos horas resolvi todas las ecuaciones de Fior; deesta suerte, cuando se acab el tiempo y lleg el da de hacer el cmputo, Tartaglia habasolucionado los problemas de Fior y ste no haba solucionado los de Tartaglia. Comonuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se encontr con un rival ms fuerte:Gerolamo Cardano, hijo ilegtimo de un abogado y a su vez padre de un asesino. Cardanoera un astrlogo que hacia horscopos para los reyes, un mdico que visitaba a susenfermos y un escritor cientfico de cuya pluma emanaron montaas de libros. Fue tambinun jugador inveterano, siempre balancendose al borde de la prisin. Pero Cardano siempresala bien parado. El Santo Padre lo pension solucionndole as sus problemas econmicosy Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solucin de la ecuacin cbica.
Aunque Cardano jur mantener secreta la solucin de Tartaglia, la public unos cuantosaos despus, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado "Ars Magna"(Gran Arte). Tartaglia, que haba estado a punto de escribir su propio libro, pas el resto desu vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconoca eldescubrimiento de Tartaglia. Tambin en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia aotro matemtico: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que muri a la edad de 43aos, envenenado por su propia hermana. As como Tartaglia haba solucionado la cbica,de la misma forma Ferran, cuando todava estudiaba con Cardano, solucin de las de cuartogrado (con frmulas ms complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra deambos hombres, Cardano en su "Ars Magna" pudo dar al mundo las soluciones generalesde las cbicas y las curticas, divulgando los dos avances del lgebra ms trascendentalesdesde la muerte de Diofanto, 1300 aos antes.
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En el Ars Magna, Cardano acept formalmente el concepto de los nmeros negativos yenunci las leyes que los rigen. Tambin anticip otro tipo nuevo de nmero que denominficticio o sofisticado. Tal fue la raz cuadrada de un nmero negativo, que es incluso msdifcil de comprender que un nmero negativo propiamente, ya que ningn nmero realmultiplicado por s mismo da un nmero negativo. En la actualidad los matemticos llaman
a la raz cuadrada de un nmero negativo nmero imaginario; cuando dicha cantidad secombina con un nmero real, el resultado se llama nmero complejo.
Los matemticos posteriores han mostrado que los nmeros complejos pueden tener todaclase de aplicaciones.
En gran parte debido a Cardano, la matemtica sali de su paso por las pugnas