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Apresentacao do Curso
Luiz Antonio da Silva Medeiros(1)
(1)UAMAT / UFCG
UFCG, 2019.1
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1 IntroducaoSistemas Lineares
2 Solucao de um Sistema Linear
3 Metodos NumericosClassificacao dos Metodos Numericos
4 (Mal) Condicionamento de Algoritmos
5 Nocoes de Problemas mal condicionados
6 Nocoes de Problemas mal condicionadosNormas MatriciaisNumero de Condicionamento
Medeiros Metodos Numericos
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1 IntroducaoSistemas Lineares
2 Solucao de um Sistema Linear
3 Metodos NumericosClassificacao dos Metodos Numericos
4 (Mal) Condicionamento de Algoritmos
5 Nocoes de Problemas mal condicionados
6 Nocoes de Problemas mal condicionadosNormas MatriciaisNumero de Condicionamento
Medeiros Metodos Numericos
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1 IntroducaoSistemas Lineares
2 Solucao de um Sistema Linear
3 Metodos NumericosClassificacao dos Metodos Numericos
4 (Mal) Condicionamento de Algoritmos
5 Nocoes de Problemas mal condicionados
6 Nocoes de Problemas mal condicionadosNormas MatriciaisNumero de Condicionamento
Medeiros Metodos Numericos
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1 IntroducaoSistemas Lineares
2 Solucao de um Sistema Linear
3 Metodos NumericosClassificacao dos Metodos Numericos
4 (Mal) Condicionamento de Algoritmos
5 Nocoes de Problemas mal condicionados
6 Nocoes de Problemas mal condicionadosNormas MatriciaisNumero de Condicionamento
Medeiros Metodos Numericos
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1 IntroducaoSistemas Lineares
2 Solucao de um Sistema Linear
3 Metodos NumericosClassificacao dos Metodos Numericos
4 (Mal) Condicionamento de Algoritmos
5 Nocoes de Problemas mal condicionados
6 Nocoes de Problemas mal condicionadosNormas MatriciaisNumero de Condicionamento
Medeiros Metodos Numericos
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1 IntroducaoSistemas Lineares
2 Solucao de um Sistema Linear
3 Metodos NumericosClassificacao dos Metodos Numericos
4 (Mal) Condicionamento de Algoritmos
5 Nocoes de Problemas mal condicionados
6 Nocoes de Problemas mal condicionadosNormas MatriciaisNumero de Condicionamento
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Sistemas Lineares
Representacao de uma Matriz
Representacao geral
Uma matriz A = [aij ]{m × n} disposta em m linhas e n colunas erepresentada por:
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Sistemas Lineares
Definicao: Caso Geral.
Definicao
Uma equacao linear nas incognitas x1, x2, . . . , xn e qualquerequacao que pode ser escrita na forma
a1x1 + a2x2 + . . . anxn = b,
onde os coeficiente a1, a2, . . . , an e b sao constantes (escalares,reais ou complexos).
Sao exemplos de equacoes lineares nas incognitas x , y e z :
1 3x − 4y = 5 + 10z .
2√
2x + π4 y − sen(π5 )z = 1.
3 sen(10π)x + e−8y = ln(2)z .
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Sistemas Lineares
Exemplo de equacoes nao-lineares.
Nao sao exemplos de equacoes lineares.
1 3xy + 4z = 5
2 x2 + y2 + z2 = 4.
3√
2x + 3y − z = 5.
4 sen(x) + e−8y = ln(2)z
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Sistemas Lineares
Sistema Equacoes Lineares
Definicao
Um sistema de equacoes lineares com m equacoes e n incognitasx1, x2, . . . , xn e um conjunto de equacoes lineares do tipo:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
......
. . ....
...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
onde os coeficientes aij , bi , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n saoconstantes (escalares, reais ou complexos).
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Sistemas Lineares
Representacao Matricial
Definicao
Um sistema de equacoes lineares com m equacoes e n incognitasx1, x2, . . . , xn e um conjunto de equacoes lineares do tipo:
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
·
x1x2...xn
=
b1b2...bm
onde os coeficientes aij , bi , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n saoconstantes (escalares, reais ou complexos).
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Sistemas Lineares
Nomenclatura
A matriz A = [aij ]m×n associada ao sistema linear e chamadamatriz dos coeficientes do sistema
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n
......
. . ....
am1 am2 . . . amn
Os vetores (matriz colunas)
x =
x1x2...xn
e b =
b1b2...bm
sao chamados vetor ou matriz das incognitas e vetor ou matrizdos termos independentes.Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Sistemas Lineares
Exemplo
Represente matricialmente o sistema abaixo, destacando cada umde seus termos.
x + y +z = 32x + 3y +z = 5x − y −2z = −5
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Solucao de uma equacao linear
Definicao
Uma solucao de uma equacao linear
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b
e um vetor (matriz coluna)
s = [s1, s2, . . . , sn]T
cujas coordenadas satisfazem a equacao quando substituimos xipor si com i = 1, 2, . . . , n.
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Exemplos
Verifique que os vetores dados sao solucoes da equacao lineardada:
1 s =
[54
]e 3x − 4y = −1.
2 s =
61−1
e a− b + 2c = 3.
3 Mostre que s =
3 + α− 2βαβ
e solucao de x − y + 2z = 3
quaisquer que sejam α, β ∈ R.
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Solucao de um sistema de equacoes lineares
Definicao
Uma solucao de um sistema lineara11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
......
. . ....
...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
e um vetor (matriz coluna) s =
s1s2...sn
cujas coordenadas
satisfazem TODAS as equacoes quando substituimos x1 por s1, x2por s2 e assim por diante. Medeiros Metodos Numericos
![Page 18: Apresentação do Curso - mat.ufcg.edu.brmat.ufcg.edu.br/medeiros/wp-content/uploads/sites/21/2019/08/Aula… · Apresenta˘c~ao do Curso Luiz Ant^onio da Silva Medeiros(1) medeiros@ufcg.edu.br](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022071220/605a8d5c4dde1f4cea140376/html5/thumbnails/18.jpg)
Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Exemplos
Verifique que os vetores dados sao solucoes da equacao lineardada:
1 s =
[21
]e
{2x − y = 3x + 3y = 5
2 s =
3−12
e
x − y − z = 2
y + 3z = 55z = 10
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Classificacao de um Sistema Linear quantoao numero de solucoes.
Possivel e Determinado: quando possui uma unica solucao.
Possivel e Indeterminado: quando possui uma unicasolucao.
Impossıvel: quando o conjunto solucao e vazio (nao hasolucoes no conjunto universo)
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Sistema com Solucao:
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Sistema sem Solucao:
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Classificacao
Metodos Diretos e Metodos Iterativos
Definicao
Metodos Diretos sao aqueles que conduzem a solucao exata dosistema, a menos de erros introduzidos pela maquina, apos umnumero finito de passos.
Definicao
Metodos Iterativos sao aqueles que conduzem a solucaoaproximada do sistema, por meio de um processo iterativo quegera uma sequencia {xk}k∈N de aproximacoes da solucao exata.
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Classificacao
Metodos Diretos × Metodos Iterativos
Metodos Diretos
VantagensNao Depende da condicao deConvergencia
Termina num numero finito de passos
DesvantagensNao e pratico para problemas de grandeporte
Inviavel para problemas malcondicionados
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Classificacao
Metodos Diretos × Metodos Iterativos
Metodos Iterativos
Vantagens
E apropriado para problemas de largaescala.
Sob hipotese apropriadas pode convergirmuito rapido.
DesvantagensPode convergir lentamente paraproblemas mal condicionados.
Pode exigir um numero grande deoperacoes.
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Problemas bem-postos.
Definicao: Um problema e bem posto quando ele satisfaz duascondicoes:
O problema tem uma unica solucao;
(?) quando pequenas pertubacoes nos dados de entradaprovocam pequenas pertubacoes nos dados de saıda.
A condicao (?) e chamada estabilidade do problema com relacaoaos dados.
Definicao: Um metodo e estavel se pequenas pertubacoes nosdados coonduzem a solucoes proximas.
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Exemplo.
Considere o problema de encontrar as raızes dex2 − 100.22x + 1.2371 = 0.Usando Baskara e aritmetica de ponto flutuante com cinco dıgitos,temos:
x1 =100.22 + 100.19
2= 100.20 e x2 =
100.22− 100.19
2= 0.015.
Por outro lado, usando o fato que x1x2 = ca e aritmetica de ponto
flutuante com cinco dıgitos, temos:
x1 =100.22 + 100.19
2= 100.20 e x2 =
c
ax1=
1.2371
100.20= 0.012346.
Veja que, o erro relativo usando o primeiro procedimento e de21.5%, ao passo que o erro relativo com o segundo procedimento ede 0.0052%.
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Conclusao.
“O equilıbrio entre as influencias dos erros de truncamento earredondamento depende do problema e da habilidade humana.”
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Problemas Mal Condicionados
Seja x∗ a solucao exata do sistema Ax = b, e x a solucaoaproximada computada. O erro (resıduo) e :
e = b − Ax . (1)
Example
Considere o sistema{x + 1.001y = 2.001
0.999x + y = 1.999
Observe que x∗ = [1, 1]T e a solucao do sistema.
Medeiros Metodos Numericos
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Agora, considere x = [2, 0.001]T . Observe que
e = b − Ax
=
[2.0011.999
]−[
1 1.0010.999 1
]·[
20.001
]=
[2.0011.999
]−[
2.0010011.999000
]=
[−0.000001
0
]
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Sistemas LinearesSistema Linear
Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Conclusao.
Como o resıduo e pequeno, x poderia ser considerada uma”boa”solucao, o que de fato nao ocorre!!
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Definicao.
Definicao
Uma matriz e bem condicionada quando pequenas alteracoes emseus elementos nao provocam grandes mudancas na solucao dosistema Ax = b. Caso contrario, ela e dita mal condicionada.
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Normas Matricias.
Definicao
Seja V um espaco vetorial. Uma norma || · || sobre V e umafuncao || · · · || : v → R tal que
(i) ||v || ≥ 0,∀v ∈ V
(ii) ||tv || = |t| · ||v ||,∀t ∈ R,∀v ∈ V
(iii) ||v || = 0⇔ v = 0.
(iv) ||u + v || ≤ ||u||+ ||v ||,∀u, v ∈ V .
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Normas Matricias.
Example
Seja V = Rn. Considere x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.
(i) ||x ||2 =√x21 + x22 + · · ·+ x2n
(ii) ||x ||1 = |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn|(iii) ||x ||∞ = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Exercıcio
1 Considerando V = Rn. Considere x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn.Mostre que
1
n||x ||1 ≤ ||x ||∞ ≤ ||x ||2
2 Mostre que existem constantes c1, c2 positivas tais que
c1||x ||∞ ≤ ||x ||1 ≤ c2||x ||2
3 Mais geralmente, se V e um espaco vetorial normado finitodimensional, quaisquer duas normas sao equivalentes.
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Definicao.
Definicao
Dado um espaco vetorial normado (V , || · ||), dizemos que a norma|| · || e consistente se
||A · B|| ≤ ||A|| · ||B||,∀A,B ∈ V .
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Exemplo: Norma de Frobenius
Definicao
Seja A = [aij ] ∈ M(Rn), defina
||A||F =
√√√√ n∑i=1
n∑j=1
a2ij . (2)
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Observe que:
||A · B||2F =∑i ,j=1
(∑k=1
aikbkj)2 (3)
≤∑i ,j=1
(∑k=1
a2ik
)·
(∑k=1
b2kj
)(4)
≤
(∑i=1
∑k=1
a2ik
)·
∑j=1
∑k=1
b2kj
(5)
= ||A||2F · ||B||2F . (6)
Ou seja, || · ||F , como norma matricial, e consistente.
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
E facil ver que:
(I)
||A||F =
√∑j=1
||aj ||22,
onde aj e a j-esima coluna de A.
(II)
||A||F =
√∑i=1
||ai ||22,
onde ai e a i-esima linha de A.
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Alem disso,
||A · x ||22 =∑i=1
∑j=1
aijxj
2
(7)
≤∑i=1
[∑j=1
a2ij ] · [∑j=1
x2j ]
(8)
= ||A||2F · ||x ||22. (9)
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Outras Normas matriciais
(A)
||A|| = maxx 6=0{||Ax ||||x ||
}
(B)
||A||1 = maxx 6=0{||Ax ||1||x ||1
}
(C)
||A||∞ = maxx 6=0{||Ax ||∞||x ||∞
}
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Teorema
||A||1 = max1≤j≤n
{∑i=1
|aij |}
e||A||∞ = max
1≤i≤n{∑j=1
|aij |
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Demonstracao: Seja α = max1≤j≤n{∑
i=1 |aij |} =∑
i=1 |aik |.Observe que:
||Ax ||1 =∑i=1
∣∣∣∣∣∣∑j=1
aijxj
∣∣∣∣∣∣ ≤∑i=1
∑j=1
|aij | · |xj | (10)
=∑j=1
|xj | ·
(∑i=1
|aij |
)≤ α||x1||. (11)
Isto e:
||Ax ||1||x ||1
≤ alpha⇒ ||A||1 = maxx 6=0{||Ax ||1||x ||1
} ≤ α.
Mas, por outro lado,
||A · ek ||1 = ||ak || = α⇒ ||A||1 = α.
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Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Analise de Erro
Seja A ∈ M(Rn) uma matriz invertıvel. Considere o sistemaAx = b.Chamemos x a solucao exata e y uma solucao aproximada, deforma que o erro da solucao e
e = x − y
Entao,||e|| := erro absoluto.
e||e||||x ||
=||y − x ||||x ||
:= erro relativo.
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Metodos Numericos(Mal) Condicionamento de Algoritmos
Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Analise de Erro
Sejam b = Ay e b = Ax Assim, o resıduo r e definido por
r = b − b = b − Ax
Segue que
r = b − Ay = Ax − Ay = A · e ⇒ e = A−1r .
Ou ainda,
||e|| ≤ ||A−1|| · ||r || e ||r || ≤ ||A · e|| ≤ ||A|| · ||e||.
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Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Analise de Erro
Das ultimas desigualdades, obtemos
||r ||||A||
≤ ||e|| ≤ ||A−1|| · ||r ||. (12)
Por outro lado,
||b|| = ||A · x || ≤ ||A|| · ||x || e ||x || = ||A−1 · b|| ≤ ||A−1|| · ||b||.
Que implica||b||||A||
≤ ||x || ≤ ||A−1|| · ||b||. (13)
Ou equivalente,
||A||||b||
≥ 1
||x ||≥ 1
||A−1|| · ||b||. (14)
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Nocoes de Mal CondicionamentoNocoes de Mal Condicionamento
Normas MatriciaisNumero de Condicionamento
Analise de Erro
Escrevendo cond(A) = ||A|| · ||A−1||, obtemos de (12) e (14) que
||r ||cond(A) · ||b||
≤ ||e||||x ||
≤ cond(A)||r ||||b||
. (15)
Conclusao:Se cond(A) ≈ 1, o erro relativo ||e||||x || e o resıduo relativo ||r ||||b|| estarao
proximos, caso contrario, isto e, cond(A) >> 1 o erro relativo dasolucao pode ser muitas vezes maior do que o resıduo relativo.
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