11-02
Edison Alonso
Karen Hernández
Jhoan Moreno
APLICACIONES DE LA DERIVADAMÁXIMOS Y MÍNIMOS
16 de Julio de 2012
PASOS:
1. Derivar la función
2. Hallar un(os) valor(es) tal(es) que
3. Formar intervalos con los valores hallados.
4. Se toma un valor de cada intervalo, se sustituye en la primer derivada, si:
• Si f'(x) > 0 es creciente.
• Si f'(x) < 0 es decreciente.
EJEMPLO:
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EN UNA FUNCIÓN
Grafica de la función
CALCULAR MÁXIMOS Y MÍNIMOS
PASOS:
1. Hallar la primer derivada de la función.
2. Buscar números para sustituir en la variable, tales que.
3. Se realiza la segunda derivada
4. Se sustituye x por los valores encontrados en el punto 2, se mira el resultado y si:
• f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
• f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
MÁXIMOS
f'(a) = 0
f''(a) < 0
MÍNIMOS
f'(a) = 0
f''(a) > 0
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
EJEMPLO
1.
2.
3.
4.
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
-6<0 → máximo
6>0→mínimo
PASOS:
1. Se toma la función original y se sustituyen los valores hallados en la primer derivada para igualar a 0
2. Se escribe como coordenadas para saber en que puntos van.
PUNTOS DE GRÁFICA DEMÁXIMOS Y MÍNIMOS
GRÁFICA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
• Para que haya máximo y mínimo en un intervalo, entonces este debe ser cerrado.
• La función debe ser continua.
[a, b]
CARACTERÍSTICAS
PUNTOS EN MÁXIMOS Y MÍNIMOS
PUNTOS CRÍTICOS• Fronterizos:
puntos finales.
• Estacionarios:
• Singulares:
EJEMPLO1. Encuentre los puntos críticos de en
SOLUCIÓN
• Los puntos fronterizos son y .
• Los puntos estacionarios son:
x=1 x=0
• No hay puntos singulares.
R/ los puntos críticos son .
• Halle el valor máximo y mínimo de en
SOLUCIÓN:Como ya se encontraron los puntos críticos, entonces
EJEMPLO
Gráfica de la función