ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

JUNIO - 2011

ANÁLISIS MATEMÁTICO

PROBLEMA DE APLICACIÓN A ECUACIONES DIFERENCIALES

OBJETIVOS

OBJETIVO PRINCIPAL

1. Realizar una investigación de una aplicación en la ingeniería civil de las

ecuaciones diferenciales de segundo orden.

OBJETIVOS SECUNDARIOS

1. Realizar un trabajo escrito de la aplicación de ecuaciones diferenciales.

2. Resolver un ejercicio de aplicación de las ecuaciones diferenciales de

segundo orden.

3. Realizar una investigación de diversas fuentes de consulta.

SOPORTES Y COLUMNAS

A una barra larga, delgada, sometida a compresión axial se le llama soporte, columna

o pilar. Frecuentemente, se usan estos términos para designar a los elementos

verticales, mientras que se suele llamar codal a las barras inclinadas.

En la ingeniería civil, la ecuación diferencial de segundo orden tiene una amplia

aplicación en el tema de flexión de vigas. Este tema se estudia en Resistencia De

Materiales la misma que se relaciona con la siguiente fórmula de flexión:

M=EI d2 yd x2

Donde:

M: Momento Flexionante

E: Modulo de Elasticidad del Material

I: Es el momento de segundo orden

La derivación sucesiva de esta fórmula nos da como resultado el esfuerzo cortante y la

carga externa.

Esfuerzo Cortante

V=dMdx

=EI d3 yd x3

Carga Externa

W=d2Md x2

=EI d4 yd x10

COLUMNA DE EULER

Es interesante mencionar un tema muy aplicativo a columnas la cual se resuelve según

Euler de la siguiente forma:

Consideremos una columna esbelta, de longitud L y sección transversal constante,

cuyos extremos están restringidos a mantenerse sobre una misma línea vertical pero

que puede girar libremente.

La columna se encuentra sometida a una carga vertical P. Si esta carga sobrepasa

cierto valor, la columna resistirá sin experimentar deformaciones transversales. Cuando

sobrepasa determinada carga la columna se abomba y se producen deformaciones

laterales.

El problema es una aplicación de la ecuación

diferencial, pues en la sección SS de la columna

se produce un momento dado por –PI el cual es

igual a EId2 yd x2

, esto es:

M=EI d

2 yd x2

O también:

x´´ + k² x = 0

PROBLEMA DE APLICACIÓN

Determinar la carga crítica para una barra delgada articulada en los extremos, cargada con una fuerza de compresión axial en cada extremo. La línea de acción de las fuerzas pasa por el centro de gravedad de la sección de la barra.

La carga crítica se define como la fuerza axial suficiente para mantener a la barra en una forma ligeramente deformada. Bajo la acción de la carga P, la barra tiene la forma flexada representada en la figura.

Para que se produzca la flexión lateral es necesario, individualmente, que un extremo de la barra pueda moverse axialmente respecto al otro. La ecuación diferencial de la curva deformada es:

M=EI d2 yd x2

→ Ecuación 1

Aquí, el momento flector en el punto A de coordenadas (x,y) no es más que el momento de la fuerza P aplicada en el extremo izquierdo de la barra, respecto a un eje por el punto A perpendicular al plano.

El momento flector es:

M= -Py

Reemplazamos en 1

−Py=EI d2 yd x2

→ Ecuación 2

Si hacemos que:

PEI

=K2 → Ecuación 3

Esta ecuación se transforma en:

d2 yd x2

+k2 y=0 → Ecuación 4

Resolviendo la ecuación:

y ' '+k2 y=0 → Ecuación Homogénea de Coeficientes Constantes

Ecuación Auxiliar: m2+k2=0

m2=−k2

CASO III

p= 0

q = ki

Soluciones Particulares

y1=epxcos (qx) y2=e

px sin (qx )

y1=e0 xcos (kx ) y2=e

0 xsin (kx )

y1=cos (kx) y2=sin (kx )

Solución General

y=epx¿

y=e0 x¿]

y=C1 cos (kx )+C2sin (kx ) → Ecuacion 5

Determinamos C1 y C2. En el extremo izquierdo de la barra, y= 0 cuando x= 0, sustituyendo los

valores en ecuación 5 se tiene:

C1=0

En el extremo derecho de la barra, y= 0 cuando x= L, sustituyendo los valores en la ecuación 5 se tiene:

0 = C sinkL

Evidentemente, C= 0 o sinkL= 0, pero si C= 0y es nulo en todos los puntos y tenemos solamente el caso trivial de una barra recta, que es la configuración anterior a producirse el pandeo. Como esta solución no es de nuestro interés, tomaremos:

sinkL = 0 → Ecuación 6

Para que sea cierto debemos tener:

kL= nπ radianes (n=1,2,3,….) → Ecuación 7

Sustituyendo PEI

=K2 en la ecuación 7 obtenemos:

√ PEI nπP=n

2 π2EIL2

→ Ecuación 8

Indudablemente, el menor valor de esta carga P corresponde a n= 1. Entonces tenemos el primer modo del pandeo, en que la carga crítica está dad por:

Pcr=π 2EIL2

→ Ecuación 9

Es la llamada carga de pandeo de Euler para una columna con extremos articulados. La forma flexada correspondiente a esta carga es:

y=C sin√ PEI x → Ecuación 10

Sustituyendo en esta ecuación el valor de (9), obtenemos:

y=C sin πxL

→ Ecuación 11

Por tanto, la deformación es un sinusoide. A causa de la aproximación adoptada en la deducción de la ecuación 1, no es posible obtener la amplitud del pandeo, representada por C en la ecuación 11.

Como se puede verse en la ecuación 9, el pandeo de la barra se produce respecto al eje de la sección para el cual I adopta un valor mínimo

BIBLIOGRAFÍA

Libro: “Resistencia De Materiales”Autor: William A. Nash

Libro: “Ecuaciones Diferenciales”Autor: René Sandoval