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Al finalizar la sesin, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestin e ingeniera a partir de Ecuaciones Diferenciales (ED) con una condicin inicial, usando el clculo de antiderivadas inmediatas y las reglas bsicas de integracin indefinida. Logros de Aprendizaje
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Departamento de CienciasLa Antiderivada y La Integral Indefinida
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CASO 01:Encontrar la velocidad y la posicin de una partcula en cualquier instante t si sta se mueve en lnea recta con una aceleracin dada por si adems la velocidad y la posicin en el instante t = 1 sg. Son v = 7/6 m/sg y s = 1 m.
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DistanciaVelocidadIngresosIngresos MarginalesCostoCosto MarginalPoblacinRazn de Crecimiento de la poblacinDerivadaAntiderivada
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Esquema
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Ejemplo 1:Son antiderivadas1. Antiderivada
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Significado geomtrico: si es una antiderivada de en I , cualquier otra antiderivada de f en I es una curva paralela al grfico de Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada ms general de f sobre I es:2. Interpretacin GeomtricaTeorema Donde:C es una constante
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Miembros de la familia de Antiderivadas de dees
Dando valores a la constante C, obtenemos una familia de funciones cuyas grficas son traslaciones verticales de una a otra .Del Ejemplo 1, la antiderivada ms general
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Para resolver la ecuacin: Reescribirla:Donde:3. Integral Indefinida
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4. Propiedad de la LinealidadLas constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida.La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las integrales indefinidas.
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5. Reglas Bsicas de Integrales Inmediatas
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Encontrar las siguientes Integrales:EJEMPLOS:
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6. Ecuacin Diferencial (ED)Una ED en x e y, es una ecuacin que involucra a x, y y a la derivada de y.Ejemplo:Ecuacin DiferencialCondicin Inicial
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Un tanque con rea seccional constante de 50 m2 y un agujero de un rea seccional constante de 0.05 m2, localizado en la parte inferior del tanque.
El tanque se llena con agua hasta una altura de h metros y se deja vaciar, la altura del agua disminuye a razn:Determinar la altura del agua en cualquier instante t. Vaciado de un TanqueEcuacin DiferencialSi su altura es de 5 metros.Condicin Inicial
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Pasos para Resolver la ED: