-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 1
Captulo 6
ANALISIS SISMICO TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS CON DIAFRAGMA RIGIDO
6.1 INTRODUCCION
El anlisis ssmico de edificios cuyas losas de piso horizontal se comportan como diafragmas rgidos y los
sistemas de prticos planos incluyen muros de cortante verticales, debido a ello el clculo puede simplificarse en el
nmero de grados de libertad solo si la losa se comporta como un diafragma rgido, es decir, se modela a dicha losa
como un cuerpo rgido lo que nos permite una simplificacin en el anlisis ssmico mediante una condensacin
cinemtica de los grados de libertad de una estructura en el espacio a un anlisis estructural tridimensional para
cargas laterales con tres grados de libertad por piso.
Asumiendo que cada losa es rgida en su propio plano, los componentes de los desplazamientos de cada
prtico, se relacionan geomtricamente, en cada nivel, con los del centro de masa en las direcciones (x, y, ), que
describen los desplazamientos lineales y el giro de torsin en planta, respectivamente. Para una estructura
tridimensional conformada por prticos planos con muros de cortante se forman las matrices de rigidez lateral de
cada prtico y, segn su posicin y geometra respecto al centro de masa, se ensambla la matriz de rigidez
tridimensional. Conociendo el vector de cargas ssmicas y calculando la inversa de la matriz de rigidez
tridimensional se encuentra el vector de los desplazamientos del centro de masa.
6.2 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE OSCILACION DE PORTICOS PLANOS [KpK]
La matriz de rigidez total de prtico plano [Ks], se obtiene en base al equilibrio de fuerzas de toda la
estructura considerando tres ecuaciones de equilibrio de fuerzas por nudo no es necesario hallar el equilibrio en los
nudos de los soportes es decir en las reacciones, dichas fuerzas se expresan en funcin de las matrices de rigidez de
cada miembro y de sus correspondientes desplazamientos y cargas equivalentes de extremo fijo. Debido a ello
primero hallamos las matrices de fuerzas, desplazamientos y cargas equivalentes de extremo fijo, en un sistema de
coordenadas locales y posteriormente las transformamos a un sistema de coordenadas globales, en donde se
establece una ecuacin matricial de equilibrio cuyo coeficiente del vector de desplazamientos es la matriz de rigidez
total de la estructura. Con este mtodo de rigideces calculamos la respuesta de la estructura aplicando fuerzas
unitarias en cada grado de liberta lateral de la estructura que es una combinacin con el mtodo de fuerzas para
determinar la matriz de flexibilidades y luego mediante su matriz inversa obtenemos la matriz de rigidez lateral este
proceso se detalla mas adelante.
METODO DE LAS FLEXIBILIDADES PARA EL CLCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL.
Para la condicin de carga ssmica en el modelo de masa concentrada se considera que la carga es
horizontal y solo acta a nivel de cada piso, es decir, se considera un GDL por piso, por lo tanto, en la ecuacin
matricial de equilibrio total de la estructura el vector de fuerzas de empotramiento perfecto no existe {FF} es decir,
se iguala el vector a {0} porque no hay cargas de verticales. Por tanto en base a estas condiciones podemos
encontrar la matriz de rigidez lateral del prtico k-simo usando el mtodo de las flexibilidades, y el mtodo de la
rigidez a la vez, tal como se ilustra ms adelante. Asimismo se presenta la idealizacin de los prticos que incluyen
muros de cortante o vigas de cortante; Los desplazamientos totales se calculan por superposicin.
Fig. 19 Prtico hibrido modelo fsico (Sistema de prtico mas muro de corte).
Co
lum
na
Viga
Viga
Viga
Viga
MURO
DE
CORTE
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 2
Fig. 20 Fuerzas unitarias por piso aplicadas al modelo matemtico, para encontrar la matriz de rigidez lateral.
La matriz de flexibilidad lateral se encuentra aplicando fuerzas unitarias en cada nivel por separado y se calcula la
respuesta de desplazamientos laterales y luego de aplicar para todos los GDL por piso. Usando el principio de
superposicin se calculan los desplazamientos totales. Y donde se obtiene un vector de desplazamientos para cada
fuerza unitaria y en este caso como son 4 niveles se obtienen 4 vectores, con los cuales se ensambla la matriz de
flexibilidades
{D} = [] {F} Donde:
D1 11 12 13 14 F1
D2 21 22 23 24 F2 Matriz de Rigidez [K] = []-1
D3 31 32 33 34 F3
D4 41 42 43 44 F4
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
44
34
14
24
43
33
23
13
42
22
12
32
41
31
21
11
0
0
0
1
Fig. 21 Procedimiento de flexibilidad para encontrar la matriz de rigidez lateral de un marco plano, se ensambla
en base a los corrimientos de cada condicin de carga unitaria.
Extremo
Rgida
0
0
F3=1Tn
0
F1=1Tn
0
0
43F3
13F3
23F3
33F3
0
0
F4=1Tn
0
11F1
21F1
31F1
0
F2=1Tn
0
Contorno de
Muro de Cortante0
Eje
Centroidal
41F1 0
24F4
14F4
34F4
44F4
32F2
12F2
22F2
42F2
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 3
CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL por el mtodo de las rigideces.
Este mtodo es mas terico pero directo y su procedimiento se puede sistematizar igual al mtodo de flexibilidades,
sin embargo en este caso aplicamos desplazamientos unitarios en lugar de fuerzas unitarias es la diferencia.
K11 K12 K13 K14
[K] = K21 K22 K23 K24
K31 K32 K33 K34
K41 K42 K43 K44
DESPLAZAMIENTO
UNITARIO 4to NIVEL
DESPLAZAMIENTO
UNITARIO 3er NIVEL
DESPLAZAMIENTO
UNITARIO 2do NIVEL
DESPLAZAMIENTO
UNITARIO 1er NIVEL
D4,3=1
D4,3=-1
D3,2=1
D3,2=-1
D2,1=1
D2,1=D2-D1=-1
D1,0=D1-D0=1K14
K44
K24
K34
K13
K43
K21
K33
K12
K42
K22
K32
K11
K21
K31
K41
Nivel1
1
1
11
2
3
4
Fig. 22 Aplicacin de desplazamientos unitarios para el clculo de la matriz de rigidez lateral de oscilacin.
El mtodo de desplazamientos o rigidez consiste como primer paso en restringir toda la estructura excepto los giros
y como segundo paso se empieza a liberar solamente los grados de libertad de oscilacin uno a uno como se ilustra
en la figura 22, por ejemplo son cuatro desplazamientos laterales debido a que son cuatro niveles entonces son 4
GDL. Por tanto, se han aplicado cuatro desplazamientos horizontales uno para cada GDL y para cada caso se
calculan las correspondientes rigideces.
Ejemplo de Aplicacin
Calcular la Matriz de Rigidez Lateral del
prtico por el mtodo de flexibilidades, que se
muestran en la Fig. 25.
DATOS DE LA ESTRUCTURA: Mdulo de elasticidad E = 2.1x106
Columnas: 30x40
Vigas: 30x30
Fig. 25a. Codificacin de los GDL de la
estructura completa.
Solucin
La matriz de rigidez lateral de este prtico
tpico se calcula por el mtodo de
flexibilidades, para ello vamos a utilizar el
programa de anlisis de marcos planos, que
contempla tres grados de libertad por nudo. Los
prticos de un sistema estructural en tres
dimensiones estn conectados por losas de piso,
que pueden actuar en algunos casos como
2
7
15
78
13
1
5
11
2
3.00
9
3
10
8
5
7
9
4
4
6
2
1
1
3.00
3.00
3.00
5
9
6
10
12 14 16
282624
22
12
21
15
3.00
3.0011 12
16
10
14
19
17
11
14
20
15
4
23
17
3
25
2019
27
13
18
13
8
3
6
18
GEOMETRIA Y GRADOS DE LIBERTAD DE LA ESTRUCTURA
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 4
diafragmas rgidos, por consiguiente todos los nudos de los prticos correspondientes a un piso tienen el mismo
desplazamiento horizontal. En consecuencia todos los nudos de un nivel tienen el mismo grado de libertad en la
direccin x.
. ESTADO DE CARGAS # 4ESTADO DE CARGAS # 3ESTADO DE CARGAS # 2ESTADO DE CARGAS # 1
1 Tn
1 Tn
1 Tn
1 Tn
Fig. 25b Condiciones de carga sucesivas en forma consecutiva del mtodo de fuerzas o flexibilidades.
Si aplicamos fuerzas unitarias en el prtico en los grados de libertad de oscilacin: 1, 2, 3 y 4, encontramos para
cada caso un vector de desplazamientos correspondiente. En la Fig. 25b se aprecian las cuatro condiciones de carga
aplicada, con las flexibilidades producidas para cada condicin de carga, encontramos la matriz de flexibilidades. En
la siguiente matriz se muestran los grados de libertad de oscilacin y los nudos en donde se aplicaron las fuerzas
unitarias.
MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL PORTICO:
Columna de
estado de carga
Nudos
4321
4
3
2
1
4321
0.00056
0.00055
0.00052
0.00036
0.00153
0.00147
0.00123
0.00052
0.00255
0.00227
0.00147
0.00055
0.00345
0.00255
0.00153
0.00056
[ F ] =
4 7 10 13
4
7
10
13
Grados de oscilacin
y la matriz inversa de [F], representa la matriz de rigidez de oscilacin (lateral) [K], y sta es:
[ K ] =
-197.25
937.74
-2674.61
1882.89
1349.67
-4291.08
5896.83
-4623.17
6729.42
Simtrica
7700.52
1 2 3 4
1
2
3
4
11
21
31
41
12
22
32
42
13
23
33
43
1
14
24
34
1
44
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 5
6.3. ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE UN SOLO NIVEL
Para comprender mejor el desarrollo matricial posterior se presenta en este punto el anlisis tridimensional
para una estructura de un solo nivel que est conformada por varios prticos. El vector de fuerza restauradora del
prtico. El vector de fuerza restauradora del prtico K-simo se encuentra con la ecuacin.
FpK = KpKDPk (ec - 45)
Dx
Dy
Eje
p
rt
ico
K
ME
rd.Sen(
FP
K
FE
Y
FEX
K
DESPLAZAMIENTO DEL PORTICO Kpk EN SU PLANO
PARA UN CONPORTAMIENTO DE DIAFRAGMA RIGIDO
Ver Det. "A"
rd
Dy
Dx
i
C'
C
X'
Y'
X
Y
0'
rd.D
0C.M.
Donde rdK simboliza la distancia de un
punto cualquiera que pasa por el eje del
prtico K-simo al centro de masa, es el
ngulo del prtico y, es el ngulo del
vector posicin rdK, ambos ngulos se
consideran respecto al eje x.
El vector de fuerzas restauradoras
del prtico K-simo FpK respecto al centro
de masas (ver Fig. 27) se encuentra por
equilibrio en las direcciones (x,y,),
alcanzando a ensamblar el vector total de
fuerzas restauradoras para la estructura
tridimensional:
FEpx FpK cos K
{FE} = FEpy = FpK sen K
FEp FpK rdK sen (K - K)
(ec-47)
Fig. 26 Transformacin de coordenadas de
desplazamientos laterales de un prtico plano
a un sistema de coordenadas globales en el
centro de masas del diafragma rgido (x,y,).
Bajo la asuncin de que la losa se
comporta como un diafragma rgido
horizontal, se deduce la relacin
puramente geomtrica que hay entre los
desplazamientos, DpK, de los prticos, con
el vector de desplazamientos del centro de
masas de cada piso (Dx,Dy,D)T de la
(Ver, Fig. 26 arriba y debajo de esta
pgina) en base a ello establecemos la
siguiente relacin para un prtico K-
simo:
DpK=DxcoK+DysenK+rdKDsen(k-K) (ec-46)
rd.D.S
en
(
)
Eje
del p
rt
ico
K
Dy.S
en
Dx.C
os
Componentes del vector de deformacin Dpk
DETALLE "A"
Dp
j
jp
Dire
ccio
n de
rd
desp
laza
do
Dire
ccio
n de
rd
desp
laza
do y
rota
do
C'p
DX
DY
i
rd.D
C'
C
ip
DpK = DxCosK+ DyCosK+ rdKDSen(K-K)
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 6
La fuerza restauradora del prtico K-simo en funcin de la rigidez y desplazamiento lateral (ecuacin 46), es:
FpK = KpK DpK = KpK DxcoK + DysenK + rdKDsen(k-K)
Reemplazando esta expresin en la ec-47, se tiene
FEpx KpK DxcosK + DysenK + rdKDsen(k-K) cos K
FEpy = KpK DxcosK + DysenK + rdKDsen(k-K) sen K (ec-47)
FEp KpK DxcosK + DysenK + rdKDsen(k-K) rdK sen (K - K)
FP
K
rd.Sen(
rd
C
Y
Fe
Fe
Y
FeX
Eje
del p
rt
ico
K
Xc.m.
Fig. 27 Transporte de la fuerza del prtico k-simo FpK al centro de masas de cada piso.
Mediante un arreglo matricial, se logra expresar la ecuacin (47) en forma compacta. (Dx, Dy, D)
FEpx cos2K cosK senK rdK cosK sen (K-K) Dx
FEpy = KpK senK cosK sen2K rdK senK sen (K-K) Dy (ec-47b)
FEp rdK cosK sen(K-K) rdK senK sen(K-K) rdK2 sen
2 (K-K) D
Expresando en forma compacta, las fuerzas de los prticos en el centro de masas, as tenemos:
{FEpK
} = [KK] {D}
De donde la matriz de rigidez total se obtiene mediante la sumatoria de las matrices de todos los prticos de la
estructura:
N P O R
{FE} = {F
EpK} (ec-48a)
K=1
Siendo [K] la matriz de rigidez tridimensional de toda la estructura y, [KK] la matriz de rigidez de un prtico K-
simo respecto al centro de masa.
cos2K cosKsenK rdK cosKsen (K-K)
[KK] = KpK senK cosK sen2K rdK senKsen (K-K) (ec-47b)
rdK cosKsen(K-K) rdK senKsen(K-K) rdK2 sen
2 (K-K)
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 7
6.4. ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES
El vector de fuerzas restauradoras {FEPK
} de un prtico K-simo es:
{FEPK
} = [KPK
] {DPK
} (ec-48)
Donde, [KPK
] es la matriz de rigidez lateral de prtico y, {DEPK
} es el respectivo vector de desplazamientos
laterales, expresando en forma matricial y en funcin de los desplazamientos del centro de masa {Dx}, {Dy}, {D}
que est dado por:
{DPK
} = [cosK] {Dx} + [sen
K] {Dy} + [rd
K] [sen(
K-
K)] {D} (ec-49)
Donde la matriz [rdK] simboliza la distancia que hay entre el prtico K-simo con respecto al centro de masas
y, [ [cosK], [sen
K], y [ sen(
K-
K) ] son matrices que sirven para expresar sus componentes ortogonales. Estas
matrices tienen la siguiente estructura:
Matriz de rigidez de distancias del prtico K-simo.
rd1 0 0 ...... 0 cos1
0 0 ...... 0
0 rd2 0 ...... 0 0 cos2 0 ...... 0
[rd]K = 0 0 rd3 ...... 0 , [cos]
K = 0 0 cos
3 ...... 0
. . . ...... . . . . ...... .
0 0 0 ...... rdM K 0 0 0 . ..... sen M K
Matriz de rigidez lateral del prtico K-simo.
k11 k12 k13 .... k1M sen1 0 0 .... 0
k21 k22 k23 .... k2M 0 sen2 0 .... 0
[kp]K = k31 k32 k33 .... k3M , [sen]K = 0 0 sen3 .... 0
. . . .... . . . . .... .
kM1 kM2 kM3 .... kMM K 0 0 0 .... sen M K
sen (1-1) 0 0 .... 0
0 sen (2-2) 0 .... 0
[ sen ( - ) ] K = 0 0 sen (3-3) .... 0
. . . .... .
0 0 0 .... sen (M-M) K
Donde: M = es el nmero de pisos.
Las componentes en las direcciones x, y, del vector de fuerzas laterales de un prtico K-simo con
respecto al centro de masas, se encuentran por equilibrio esttico y se expresan en funcin de las matrices definidas
ms arriba.
{FEKx} [cosK] [KPK] {DPK}
{FeK} = {FEKy} = [senK] [KPK] {DPK} (ec-50)
{FEK} [rdK] [sen(K - K )] [KPK] {DPK}
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 8
El vector total de fuerzas restauradoras de la estructura tridimensional, {FE}, se encuentra sumando las
fuerzas restauradoras de todos los prticos.
N POR N POR
{FE} = {FEK} = [K] {D} = [KK] {D} (ec-51)
K=1 K=1
o, expresando en otra forma
{FEy} N POR {Dx} {FE} = {FEx} = [KK] {D} , {D} = {Dy} (ec-52)
{FE} K=1
{D}
Donde [KK] representa la a matriz de rigidez tridimensional del prtico K-simo y est dada por la expresin:
[Kxx] [Kxy] [Kx]
[KK] = [Kyx] [Kyy] [Ky] (ec-53)
[Kx] [Ky] [K] K
Cuyas sub matrices transformadas se hallan del siguiente modo:
[Kxx] = [cosK] [KPK] [cosK]
[Kxy] = [cosK] [KPK] [cosK]
[Kx] = [cosK] [KPK] [rdK] [cos(K-K)]
[Kyx] = [senK] [KPK] [cosK]
[Kyy] = [senK] [KPK] [senK]
[Ky] = [senK] [KPK] [rdk] [sen(K-K)]
[Kx] = [rdK] [sen(K-K)] [KPK] [cosK]
[Ky] = [rdK] [sen(K-K)] [KPK] [senK]
[K] = [rdK] [sen(K-K)] [KPK] [rdK ] [sen (K-K)]
Todas estas sub matrices fueron definidas anteriormente.
De la ecuacin (51) se deriva la matriz de rigidez tridimensional de toda la estructura.
N POR
[K] = [KK] (ec-54)
K = 1
6.4.1 CENTRO DE RIGIDEZ RESPECTO AL CENTRO DE MASAS.
El centro de rigidez se calcula en base a los siguientes algoritmos: (ecuaciones 51 a 53).
N POR
{xR} = ( [Kyy] ) -1
{Ky}
K = 1
N POR
{yR} = ( [Kxx] ) -1
{Kx}
K = 1
Donde:
N POR
{Kx} = [cosK] [KPK] [sen (K - K)] {rdK}
K = 1
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 9
N POR
{Ky} = [senK] [KPK] [sen (K - K)] {rdK}
K = 1
[Kxx] y [Kyy] se toman de las matrices de cada prtico K-simo.
O tambin alternativamente:
N POR
{Kx} = [cosK] [KPK] [sen (K - K)] {rdK} {1} = [Kx] {1}
K = 1
N POR
{Ky} = [senK] [KPK] [sen (K - K)] {rdK} {1} = [Ky] {1}
K = 1
6.4.2 PROCEDIMIENTO DE CLCULO.
El procedimiento para realizar el anlisis tridimensional se resume en los siguientes pasos:
1. Se ensambla el vector de cargas considerando tres GDL por nivel, a saber: (Dx, Dy, D).
2. Se encuentran las masas y el momento de inercia polar en todos los niveles y luego con estos parmetros de
la estructura se ensambla el vector de cargas inerciales por nivel {F}, y por equilibrio de fuerzas y
momentos torsores en planta, se tiene:
{FE}3M x 1 = {F}3M x 1
3. Con las matrices de rigidez lateral de cada prtico y los vectores de: posicin y su respectivo vector de
director de cada prtico se procede a encontrar la matriz de rigidez tridimensional [KK], de cada prtico, la
cual se forma en base a la ecuacin (53), posteriormente sumando todas las rigideces espaciales de los
prticos encontramos la matriz de rigidez tridimensional de la estructura [K], (ec-54).
4. Clculo del vector de desplazamiento del centro de masas por nivel {D}. Una vez establecida la matriz de
rigidez tridimensional, [K], se procede a calcular su matriz inversa y multiplicndola por el vector de cargas
inerciales por nivel {F} encontramos el vector {D}, es decir:
{D}3M x 1 = [K] -1
M x M {F}M x 1
5. El vector de desplazamientos laterales del prtico K-simo {DpK} se encuentra a partir del vector de
desplazamiento globales y de las matrices diagonales definidas por la ecuacin (49), es decir:
{DPK} M x 1 = [cosK] {Dx} + [sen K] {Dy} + [rdK] [sen (K - K)] {D}
Este vector pre multiplicando por su respectiva matriz de rigidez lateral de prtico [KPK], nos proporciona
el vector de fuerzas que el prtico K-simo adsorbe de toda la carga inercial por piso:
{FEK}M x 1 = [KPK]M x M {DPK}M x 1
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 10
KK5
0
0
0
0
900
3700.8
0
3700.8
15217.69
KK4
0
0
0
0
1500
5382
0
5382
19310.616
KK3
750
750
3084
750
750
3084
3084
3084
12681.408
KK2
2400
0
7516.8
0
0
0
7516.8
0
23542.618
KK1
3000
0
10704
0
0
0
10704
0
38191.872
KKK
cos K 2
sin K cos K
rdK
cos K sin K K
cos K sin K
sin K 2
rdK
sin K sin K K
rdK
cos K sin K K
rdK
sin K sin K K
rdK
2sin K K
2
KpK
Ensable de la Matriz de Rigidez Tridimensional para cada Portico de la Estructura:
Kp
3000
2400
1500
1500
900
0
0
45
90
90
180
270
90
0
180
0
180rd
3.568
3.132
4.112
3.588
4.112
Portico : K-simo
DATOS DE COORDENADAS POLARES Y RIGIDECES DE LOS PORTICOS.
P 10 20 25( )T
Carga en el centro de masas (Fx, Fy, M )
Analisis Ssmico Tridimensional de un edificio de 1 solo piso y 5 ejes. En la fig. 1 se
muestra el edificio en planta y se proporcionan las rigideces laterales segn cada eje.
APLICACION DEL ANALISIS TRIDIMENSIONAL
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 11
TonFpT
3.451 1.056 7.77 8.607 5.898( )
FpK
KpK
DpK
Los esfuerzos que absorben cada prtico K-simo se calculan en base a su matriz de
rigidez lateral y el desplazamiento respectivo y estos son:
m DpT
0.00115 0.00044 0.00518 0.005738 0.006554( )
DpK
Dx cos K Dy sin K D rdK sin K K
Con los desplazamientos del Centro de Masas, es posible encontrar por la condicin de
diafragma rgido los desplazamientos de cada prtico con la expresin:
Dx
Dy
D
0.000772
0.006118
0.000106
D
0.000772
0.006118
0.000106
D KT1
P
Los desplazamientos del centro de masas se calculan en base a la matriz de rigidez
tridimensional total de la estructura y las cargas que actan sobre el centro de masas
yr 1.02yr
KT1 3
KT1 1
xr 0.445xr
KT2 3
KT2 2
El centro de Rigidez con respecto al centro de masas, es:
KT
6150
750
6271.2
750
3150
1402.8
6271.2
1402.8
108944.203
KT
1
5
K
KKK
La matriz de Rigidez Tridimensional Total de la estructura se calcula sumando todas las
matrices de los prticos en coordenadas globales (en el centro de masas) son cinco
prticos y sumando las 5 matrices obtenemos la matriz total, esto es::
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 12
Kp2
1.268 104
7.005 103
1.518 103
186
27
7.005 103
1.089 104
6.746 103
1.473 103
150
1.518 103
6.746 103
1.084 104
6.657 103
1.245 103
186
1.473 103
6.657 103
1.018 104
4.823 103
27
150
1.245 103
4.823 103
3.701 103
Kp1
2.016 104
1.128 104
2.789 103
363
42
1.128 104
1.673 104
1.072 104
2.698 103
299
2.789 103
1.072 104
1.661 104
1.051 104
2.218 103
363
2.698 103
1.051 104
1.512 104
6.989 103
42
299
2.218 103
6.989 103
5.032 103
Matrices de rigidez lateral de los porticos
180
180
Y
5.50
0.30
5.50
0
0
0
X
0
0
0
5.65
0.20
5.65
0
0
0
90
90
90
90
270
270
180
180
0
rd
5.50
0.30
5.50
5.65
0.20
5.65
donde la fuerza esta expresada
F 5 10 16 21 22 5 11 17 22 23 50 130 190 250 260( )T
AI I
0el vector de cargas que se aplica sobre esta estructura es:
K 1 NPJ 1 NI 1 M
NP 6N 3 MM 5
Analisis Tridimensional de edificios con cargas laterales de un edif icio de 5 pisos y 5 ejes.
Se conocen las matrices de rigidez lateral de todos los prticos. Y asumimos que el centro
geometrico de cada losa coincide con el centro de masas de su respectivo piso. Las cargas
actuan sobre la estructura se muestran abajo en forma vectorial y tambin se muestra en la
Fig. 1. Calcular los desplazamientos del centro de masa (Nudos Independientes) y los
deplazamientos laterales que sufre cada prticos y las fuerzas que absorbe cada uno de
ellos.
Use Entorno: MathCad 2001
APLICACION DEL ANALISIS TRIDIMENSIONAL 5 niveles
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 13
Kp2
1.268 104
7.005 103
1.518 103
186
27
7.005 103
1.089 104
6.746 103
1.473 103
150
1.518 103
6.746 103
1.084 104
6.657 103
1.245 103
186
1.473 103
6.657 103
1.018 104
4.823 103
27
150
1.245 103
4.823 103
3.701 103
Kp3
2.016 104
1.128 104
2.789 103
363
42
1.128 104
1.673 104
1.072 104
2.698 103
299
2.789 103
1.072 104
1.661 104
1.051 104
2.218 103
363
2.698 103
1.051 104
1.512 104
6.989 103
42
299
2.218 103
6.989 103
5.032 103
Kp4
1.901 105
1.114 105
3.286 104
3.672 103
374
1.114 105
1.574 105
1.076 105
3.206 104
2.908 103
3.286 104
1.076 105
1.566 105
1.043 105
2.616 104
3.672 103
3.206 104
1.043 105
1.273 105
5.182 104
374
2.908 103
2.616 104
5.182 104
2.821 104
Kp5
1.901 105
1.114 105
3.286 104
3.672 103
374
1.114 105
1.574 105
1.076 105
3.206 104
2.908 103
3.286 104
1.076 105
1.566 105
1.043 105
2.616 104
3.672 103
3.206 104
1.043 105
1.273 105
5.182 104
374
2.908 103
2.616 104
5.182 104
2.821 104
Kp6
1.901 105
1.114 105
3.286 104
3.672 103
374
1.114 105
1.574 105
1.076 105
3.206 104
2.908 103
3.286 104
1.076 105
1.566 105
1.043 105
2.616 104
3.672 103
3.206 104
1.043 105
1.273 105
5.182 104
374
2.908 103
2.616 104
5.182 104
2.821 104
Se transforman las coordenadas de las matrices de rigidez lateral
KxxK
KpK
cos K
2
KxyK
KpK
cos K sin K
KxK
KpK
rdK
cos K sin K K
KyxK
KpK
sin K cos K
KyyK
KpK
sin K
2
KyK
KpK
rdK
sin K sin K K
KxK
KpK
rdK
cos K sin K K
KyK
KpK
rdK
sin K sin K K
KK
KpK
rdK
2sin
K
K
2
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 14
KTxx
1
6
K
KxxK
KTxx
KTxy
1
6
K
KxyK
KTxy
KTx
1
6
K
KxK
KTx
KTyx
1
6
K
KyxK
KTyx
KTyy
1
6
K
KyyK
KTyy
KTy
1
6
K
KyK
KTy
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 15
KTx
1
6
K
KxK
KTx
114684
64141.5
15794.9
2052.3
239.1
64141.5
95282
60983.8
15280.9
1689.5
15794.9
60983.8
94607
59802.1
12572.5
2052.3
15280.9
59802.1
86214
39886.4
239.1
1689.5
12572.5
39886.4
28786.3
KTy
1
6
K
KyK
KTy
38020
22280
6572
734.4
74.8
22280
31480
21520
6412
581.6
6572
21520
31320
20860
5232
734.4
6412
20860
25460
10364
74.8
581.6
5232
10364
5642
KT
1
6
K
KK
KT
12755520
7458639
2183765
245583
25166
7458639
10562562
7198913
2129900
194836
2183765
7198913
10507819
6981732
1738438
245583
2129900
6981732
8590857
3522372
25166
194836
1738438
3522372
1954747
Ensamble de la matriz de rigidez Tridimesnional en base a las submatrices
KK
KKi j
KTxxi j
KKi j M
KTxyi j
KKi j 2 M
KTxi j
KKi M j M
KTyyi j
KKi M j 2 M
KTyi j
KKi 2 M j 2 M
KTi j
j 1 Mfor
i 1 Mfor
KK
Reflejo de la simetria
KK
ddj i
KKi j
ddi j
KKi j
j i Nfor
i 1 Nfor
dd
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 16
Matriz de rigidez Tridimensional
KK
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
32840 -18285 4307 -549 69 0 -0 0 -0 0 114684 -64141 15795 -2052 239
-18285 27620 -17466 4171 -449 -0 0 -0 0 -0 -64141 95282 -60984 15281 -1690
4307 -17466 27450 -17167 3463 0 -0 0 -0 0 15795 -60984 94607 -59802 12573
-549 4171 -17167 25300 -11812 -0 0 -0 0 -0 -2052 15281 -59802 86214 -39886
69 -449 3463 -11812 8733 0 -0 0 -0 0 239 -1690 12573 -39886 28786
0 -0 0 -0 0 570300 -334200 98580 -11016 1122 -38020 22280 -6572 734 -75
-0 0 -0 0 -0 -334200 472200 -322800 96180 -8724 22280 -31480 21520 -6412 582
0 -0 0 -0 0 98580 -322800 469800 -312900 78480 -6572 21520 -31320 20860 -5232
-0 0 -0 0 -0 -11016 96180 -312900 381900 -155460 734 -6412 20860 -25460 10364
0 -0 0 -0 0 1122 -8724 78480 -155460 84630 -75 582 -5232 10364 -5642
114684 -64141 15795 -2052 239 -38020 22280 -6572 734 -75 12755520 -7458639 2183765 -245583 25166
-64141 95282 -60984 15281 -1690 22280 -31480 21520 -6412 582 -7458639 10562562 -7198913 2129900 -194836
15795 -60984 94607 -59802 12573 -6572 21520 -31320 20860 -5232 2183765 -7198913 10507819 -6981732 1738438
-2052 15281 -59802 86214 -39886 734 -6412 20860 -25460 10364 -245583 2129900 -6981732 8590857 -3522372
239 -1690 12573 -39886 28786 -75 582 -5232 10364 -5642 25166 -194836 1738438 -3522372 1954747
D KK1
F
DT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 0.00689 0.01721 0.02619 0.03241 0.03528 0.00107 0.00331 0.00592 0.00839 0.01054 0.00039 0.0012 0.00215 0.00303 0.00379
Asignamos los desplazamientos a cada vector Dx, Dy y D del vector de desplazamientos
Del centro de masas D
D KK1
F
Dx
Wj
Dj
j 1 Mfor
W
Dy
Wj
Dj M
j 1 Mfor
W
D
Wj
Dj 2 M
j 1 Mfor
W
Dx
0.006891
0.017206
0.026191
0.032406
0.035278
Dy
0.001066
0.003308
0.005916
0.008393
0.010535
D
0.000389
0.001205
0.002147
0.003035
0.003795
Los desplazamientos de cada prtico K-simo, se calcula con la expresin
DpK
Dx cos K Dy sin K D rdK sin K K
Dp1
0.004754
0.010579
0.014381
0.015715
0.014406
Dp2
0.007008
0.017568
0.026836
0.033316
0.036416
Dp3
0.009028
0.023834
0.038002
0.049097
0.056149
Dp4
0.001129
0.0035
0.006216
0.008753
0.010905
Dp5
0.000989
0.003067
0.005487
0.007786
0.009777
Dp6
0.003262
0.010116
0.018049
0.025539
0.031976
Los esfuerzos que absorben cada prtico K-simo sern:
FpK
KpK
DpK
Fp1
0
0
0
0
0
Fp2
1.316595
4.805276
6.572889
9.457014
5.054437
Fp3
3.683405
5.194724
9.427111
11.542986
16.945563
Fx
1
3
K
KpK
DpK
FxT
5 10 16 21 22( )
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 17
Matriz de rigidez para miembros con extremos rgidos Estructuras
Tenemos estructuras tipo prtico (viga-columna) y con muros de corte como podemos apreciar en los figura
1
Figura 1. Estructuras con muros de corte modelo matemtico.
Para deducir la matriz nos fijamos en un miembro de una de estas estructuras y tenemos:
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 18
Figura .2 Miembro con extremos rgidos (end offsets).
De la figura 2. Sabemos
d L + c L + b L = L
Si: d = b = 0, simplificamos L tenemos que c = 1, entonces el miembro se comportara como una viga sin extremos
rgidos (end offsets), caso contrario el miembro estar sujeto con extremos rgidos para lo cual recurrimos a la
transportacin de fuerzas y desplazamiento de los nudos del miembro con zona flexible a los nudos con extremos
rgidos, el cual se establece por equilibrio de fuerzas y geometra para el caso de los desplazamientos, como
demostraremos ms adelante:
A) Transportacin de fuerzas en nudos de los extremos del miembro
Para Fuerzas en los nudos J y K del miembro estructural, tenemos del grfico:
f1 = f1
*
f2 = f2*
f3 = f2*.dL + f3
*
f4 = f4*
f5 = f5*
f6 = - f5*.bL + f6
*
{f} = [TF] . {f*} (I)
*
*
*
*
*
*
6
5
4
3
2
1
.
1.0000
010000
001000
0001.0
000010
000001
6
5
4
3
2
1
f
f
f
f
f
f
Lb
Ld
f
f
f
f
f
f
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 19
B) Transportacin de desplazamientos en nudos de los extremos del miembro
{D} = [Td] . {D*} (II)
De la relacin de la fuerza elstica o restauradora del miembro con zonas flexibles se conoce la matriz de rigidez y
lo que se desea como se dijo anteriormente es transportar las fuerzas y desplazamientos al extremo del miembro con
extremos rgidos
{f*} = [k
*].{D
*}
Reemplazando est en la ec-I, tenemos:
{f} = [Tf].([k*]{D
*}) (III)
Reemplazando est en la ec-II, tenemos:
{f} = ([Tf].[k*][Td]-1){D} (IV)
D1 = D1*
D2 = D2*
-
dL.D3*
D3 = D3*
D4 = D4*
D5 = D5* +
bL.D6*
D6 = D6*
*
*
*
*
*
*
6
5
4
3
2
1
.
100000
10000
001000
000100
00010
000001
6
5
4
3
2
1
D
D
D
D
D
D
bL
dL
D
D
D
D
D
D
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 20
1
0
0
0
0
0
0
1
d L
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
b L
0
0
0
0
0
1
AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12 EI
c L( )3
6 EI
c L( )2
0
12 EI
c L( )3
6 EI
c L( )2
0
6 EI
c L( )2
4 EIc L
0
6 EI
c L( )2
2 EIc L
AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12 EI
c L( )3
6 EI
c L( )2
0
12 EI
c L( )3
6 EI
c L( )2
0
6 EI
c L( )2
2 EIc L
0
6 EI
c L( )2
4 EIc L
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
d L
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
b L
1
1
AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12EI
c3
L3
12d
L2
EI
c3
6EI
c2
L2
0
12 EI
c3
L3
12EI
c3
L2
b 6EI
c2
L2
0
12d
L2
EI
c3
6EI
c2
L2
12d
L2
EI
c3
6EI
c2
L2
d L 6d
L
EI
c2
4 EIc L
0
12 d
L2
EI
c3
6EI
c2
L2
12EI
c3
L2
b 6EI
c2
L2
d L 6b
L
EI
c2
2 EIc L
AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12 EI
c3
L3
12 d
L2
EI
c3
6EI
c2
L2
0
12EI
c3
L3
12 EI
c3
L2
b 6EI
c2
L2
0
12EI
c3
L2
b 6EI
c2
L2
12 d
L2
EI
c3
6EI
c2
L2
b L 6d
L
EI
c2
2 EIc L
0
12 EI
c3
L2
b 6EI
c2
L2
12 EI
c3
L2
b 6EI
c2
L2
b L 6b
L
EI
c2
4 EIc L
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 21
AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12EI
c3
L3
6 EI2 d c
c3
L2
0
12( )EI
c3
L3
6 EI2 b c
c3
L2
0
6 EI2 d c
c3
L2
EI
L
12 d2
12 d c 4 c2
c2
c3
0
6( ) EI2 d c
c3
L2
EI
L
12 b d 6 d c 6 b c 2 c2
c2
c3
AE
c L
0
0
AE
c L
0
0
0
12( )EI
c3
L3
6( ) EI2 d c
c3
L2
0
12EI
c3
L3
6( ) EI2 b c
c3
L2
0
6 EI2 b c
c3
L2
EI
L
12 b d 6 d c 6 b c 2 c2
c2
c3
0
6( ) EI2 b c
c3
L2
EI
L
12 b2
12 b c 4 c2
c2
c3
1
1
0 0 0 1 0 0 0 1 d L 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 b L 0 0 0 0 0 1 AE c L 0 0 AE c L 0 0 0 12 EI c L ( ) 3 6 EI c L ( ) 2 0 12 EI c L ( ) 3 6 EI c L ( ) 2 0 6 EI c L ( ) 2 4 EI c L 0 6 EI c L ( ) 2 2 EI c L AE c L 0 0 AE c L 0 0 0 12 EI c L ( ) 3 6 EI c L ( ) 2 0 12 EI c L ( ) 3 6 EI c L ( ) 2 0 6 EI c L ( ) 2 2 EI c L 0 6 EI c L ( ) 2 4 EI c L 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 d L 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 b L 1 1 AE c L 0 0 AE c L 0 0 0 12 EI c 3 L 3 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 0 12 EI c 3 L 3 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 0 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 d L 6 d L EI c 2 4 EI c L 0 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 d L 6 b L EI c 2 2 EI c L AE c L 0 0 AE c L 0 0 0 12 EI c 3 L 3 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 0 12 EI c 3 L 3 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 0 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 b L 6 d L EI c 2 2 EI c L 0 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 b L 6 b L EI c 2 4 EI c L
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 22
6.5 ANALISIS DINAMICO TRIDIMENSIONAL DE ESTRUCTURAS
Consideremos el modelo de masas concentradas cuyas coordenadas tiene como origen el centro de masa
inercial de cada nivel. De este modo se evita el acoplamiento dinmico y la ecuacin del movimiento se simplifica.
Aplicando el principio de equilibrio dinmico (DAlambert) a las masas de la Fig. (28), se halla:
{FI}3M x 1 + {FE}3M x 1 = {0}3M x 1 (ec-55)
Siendo: {FI} = [M] {D} vector de fuerzas inerciales.
{FE} = [K] {D} vector de fuerzas restauradoras.
Sustituyendo en la ecuacin (55).
[M] {D} + [K] {D} = {0} (ec-56)
Donde [M] es una matriz diagonal conformada por las sub matrices de masa [M] y de inercia polar [I], segn la
siguiente configuracin:
RANGO DEL ELEMENTO M I I
[M] [0] [0] 1 . . M [M] = [0] [M] [0] M + 1 . . 2 x M (ec-57)
[0] [0] [I] N x N 2 x M . . 3 x M
Fig. 28 Modelaje de una estructura tridimensional de 5 niveles.
y [K], la matriz de rigidez tridimensional de 3M x 3M, esta expresada por: (ecuacin repetida).
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 23
N POR
[K] = [Kk] (ec-58)
k = 1
En donde [Kk] representa la matriz de rigidez tridimensional del prtico K-simo.
x y RANGO
[Kxx] [Kxx] [Kx] 1 . . M
[Kk] = [Kyx] [Kyy] [Ky] M + 1 . . 2 x M (ec-59)
[Kx] [Ky] [K] 2 x M . . 3 x M
Cuyas submatrices son de dimensin MxM y fueron definidas en la seccin 6.4 (Ref.30).
Posteriormente para desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales se emplea el anlisis modal.
6.5.1 VALORES PROPIOS Y LOS VECTORES PROPIOS.
Para determinar los valores propios y los vectores propios de la estructura, asumiremos la solucin de la
ecuacin (55) en la forma:
{Dx} {axo}
{D} = {Dy} = {ao} sen ( wt - ) = {ayo} sen ( wt - ) (ec-60)
{De} {aeo}
VECTOR DE AMPLITUDES
Derivando dos veces y sustituyendo la ecuacin (60) en la ecuacin (56) se obtiene la ecuacin matricial
caracterstica.
( [K] - w2 [M] ) {ao} sen ( wt - ) = {0} (ec-61)
cuya solucin no trivial requiere que:
Det [K] - w 2 [M] = O
y que permite hallar n valores propios para la frecuencia circular natural wi; I = 1,2,3, ... n, (n = 3M, y : M= Nmero
de niveles) de la estructura, reemplazando estos valores propios en la ecuacin (57) nos permite encontrar los
vectores propios normalizados que conforman la matriz modal.
w1 w2 w3 ..... wn ---- FRECUENCIAS
11 12 13 ..... 1N
[] = 21 22 23 ..... 2N
31 32 33 ..... 3N
.. .. .. ..... ..
N1 N2 N3 ..... NN
En donde: ij = aij / anj , representan los vectores propios.
6.6. RESPUESTA SISMICA DE UNA EXTRUCTURA TRIDIMENSIONAL
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 24
La ecuacin diferencial del movimiento para el caso de solicitacin externa y aceleracin ssmica del
terreno tiene la forma.
{FI} + {Fc} + {FE} = { f (t) } (ec-62)
[M] {D+d} + [C] {D} + [K] {D} = { f (t) } (ec-63)
[M] {D} + [C] {D} + [K] {D} = { f (t) } - [M] {d} (ec-64)
donde :
{1} dx
{d} = {1} dy Vector de excitacin en la base de la superestructura.
{1} d
{ f (t) } Vector de cargas excitadoras para cada grado de libertad.
Fig. 29 Desplazamientos del centro de masas con respecto a una referencia inercial.
Para resolver la ecuacin (64), transformaremos el sistema de coordenadas globales {D} a un sistema de
coordenadas generalizadas {n}, aprovecharemos de la ortogonalidad de los modos de vibracin que nos permite
desacoplar las ecuaciones cuyos desplazamientos y velocidades estn acoplados. Dicha transformacin es: {D}=[]
{n}, reemplazando en la ecuacin (64), tenemos :
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 25
[M] [] {n} + [C] [] {n} + [K] [] {n} = { f (t) } - [M] {d} (ec-65)
pre multiplicando por []T , la ecuacin (65), se tiene
[]T [M] [] {n} + []T [C] [] {n} + []T [K] [] {n} = []T { f (t) } - [M] {d} (ec-66)
Fig. 30 Fuerzas excitacin externa en cada masa inercial, y excitacin ssmica en la base.
La transformacin conduce a coordenadas generalizadas, cuyas matrices generalizadas resultan ser matrices
diagonales, en consecuencia, se tiene un sistema de ecuaciones desacopladas. Para el caso en que la excitacin
externa que acta en las masas inerciales es nula: { f (t) }={0}, la ecuacin (66) para el I-esimo modo de vibracin
esta dado por:
* * * * * * *
MI nI + CI nI + KI nI = ( xI dx + yI dy + I d) MI (ec-67)
* * *
Donde MI, CI y KI, es la masa inercial generalizada, el amortiguamiento generalizado y la rigidez generalizada
respectivamente; para el I-simo modo de vibracin, y los factores de participacin estn dados por:
* M * * 2xM * * 3xM *
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 26
xI = sI Mss / MI , yI = sI Ms s / MI , I = sI Ms s / MI
s=1 s=M+1 s=2xM+1
La Ecuacin (67), se puede simplificar, haciendo las sustituciones:
* * * * *
w1 = KI / MI , v = CI / Cc , CI = 2 MI , w1 v ,
donde :
w1 = Frecuencia natural del modo I-simo.
vI = Fraccin de amortiguamiento crtico del modo I-simo.
Cc = Coeficiente de amortiguamiento crtico de la estructura.
* *
ni (t) + 2 Vi Wi ni (t) + Wi2 ni (t) = - xi dx - yi dx - i d (ec-68)
Entonces la ecuacin del movimiento (68), es anloga a la ecuacin para el movimiento en el plano, pero
con la diferencia, de que el miembro de la derecha est en funcin de las tres componentes de la aceleracin
excitadora en la base cuya integracin requiere de los espectros de respuesta en las tres direcciones.
6.7. RESPUESTA SISMICA DE LA ESTRUCTURA POR EL PROCEDIMIENTO ESPECTRAL
Si se asume que no existe excitacin ssmica en la base torsin la ecuacin (67) queda as:
* *
nI (t) + 2 VI WI nI (t) + WI 2
NI (t) = - xI dy - yI dy (ec-69)
Para encontrar la respuesta de la estructura se aplica el principio de superposicin, en cuyo caso solo se
considera la excitacin ssmica en una sola direccin para posteriormente calcular la respuesta en la otra direccin.
Por lo tanto, la ecuacin (69) queda as:
*
nI (t) + 2 VI WI nI (t) + WI 2
NI (t) = - UI dU , ( U=x o y )
(ec-69)
Comparada con aquella que se obtiene en el anlisis dinmico en el plano, se halla su completa
correspondencia; en consecuencia, su integracin es similar.
Se definen como espectros ssmicos de respuesta a las soluciones de la ecuacin (70) que dependen de sus
caractersticas dinmicas y estn definidos como:
SDI = nIA (t) max ESPECTRO DE DESPLAZAMIENTO
SVI = nIA (t) max ESPECTRO DE VELOCIDAD
SAI = nIA (t) + d max ESPECTRO DE ACELERACION ABSOLUTA
SDI , SVI , SAI , son las ordenadas espectrales que corresponden al modo de vibracin Y.
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 27
El valor mximo de la solucin NIM de la ecuacin (70) se puede obtener a partir de la relacin:
*
NIM = - xI SUI , I = 1, 2, 3, ..., N, y , U = D, V, A (ec-71)
y la respuesta de la estructura puede calcularse volviendo a transformar las coordenadas generalizadas a coordenadas
globales, con las expresiones utilizadas para el desacoplamiento de las ecuaciones del movimiento. Con la matriz de
transformacin evaluamos la respuesta de la estructura:
[D] = [] [n] (ec-72)
donde [n] es una matriz diagonal conformada por los elementos de la respuesta para cada modo de vibracin. La
matriz de la respuesta inercial para los modos de vibrar, es:
[F] = [M] [D] (ec-73)
donde, las submatrices columna de la matriz [F] representan la respuesta de la estructura para cada modo de
vibracin, cuyos elementos nos permiten evaluar la respuesta de la estructura, mediante el empleo de las
probabilidades segn Norma Tcnica E0.60 de Sismo-Resistencia se computa con la siguiente expresin.
N N
FI RSC = FI2
J + FIJ / 2 (ec-74)
J=1 J=1
6.7.1 ESPECTRO DE DISEO DE LA ACELERACION ABSOLUTA (RNC)
El Espectro la Aceleracin de diseo proporcionado por la Norma Peruana de Diseo Sismo resistente, es:
ZUSC g
SA = -------- (Espectro del diseo de la aceleracin absoluta)
R
donde : C = 2.5(T/Tp) , 0 C 0.40
Ts = Periodo fundamental del suelo: 0.3 seg Ts 0.9 seg.
T = Periodo de vibracin segn el modo de vibrar.
Rd = Factor de ductilidad segn la direccin de anlisis.
U = Factor de uso.
Z = Factor de zona.
S = Factor de magnificacin de suelo.
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 28
APLICACION DEL ANALISIS DINAMICO TRIDIMENSIONAL
Ejemplo.- Anlisis Ssmico Tridimensional de un edificio de 1 slo piso y 5 ejes. En la fig. 1e, se muestra el edificio
en planta y se proporcionan las rigideces laterales segn cada eje, as mismo, tambin se proporciona la masa por
unidad de rea horizontal (m = M / A = 1.20 Ton-m).
Fig.1e. Planta del Edificio de un solo nivel.
bh3 b = 8 bh3 b = 3
Txx1 = ----- Txx2 = ------
12 h = 7 36 h = 3
SOLUCION :
1. CALCULO DEL CENTROIDE DE LA MASA.
-----------------------------------------------------------------
Seccin Xi Yi Ai Xi Ai Yi Ai
-----------------------------------------------------------------
1 4 3.50 56 224 196
2 7 1 -4.5 31.5 4.5
-----------------------------------------------------------------
51.5 192.5 191.5
_ Xi Ai 192.5
x = ---------- = -------- = 3.738 m.
Ai 51.5
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 29
_ Yi Ai 191.5
x = ---------- = -------- = 3.718 m.
Ai 51.5
NOTA: El centroide geomtrico de la losa generalmente coincide con el centroide de la masa tributaria, por ello se ha considerado as :
2. CARACTERISTICAS GEOMETRICAS Y MASA INERCIAL.
CALCULO DE LAS CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE LA LOSA.
------------------------------------------------------------------------------------------
Seccin Xi-X Yi-Y (Xi X)2Ai (Yi Y)
2Ai Ixxi Iyyi
------------------------------------------------------------------------------------------
1 0.262 -0.218 3.844 2.661 228.666 298.666
2 3.262 -2.718 -47.883 -33.244 -2.250 -2.250
-------------------------------------------------------------------------------------------
-44.039 -30.583 226.416 296.416
Ixx = Txxi + (yi - y)2 Ai = 226.416 - 30.583 = 195.833
Iyy = Tyyi + (Xi - x)2 Ai = 296.416 - 44.039 = 252.373
de donde calculamos el momento de inercia polar geomtrica de la planta de la losa es:
Ixx = 195.833 M4
Iyy = 252.373 M4 J = Ixx + Iyy = 448.21 M4
y en el momento de inercia polar de masa es igual al producto de la masa por unidad de rea por el momento de
inercia polar geomtrico.
I = J m = J M / A = 448.21 x 1.20
I = 537.852 Ton-m2
y la masa inercial es:
Mx = My = m A = 1.20 x 51.5 = 61.8 Ton
y con ellos se forma la matriz de masa inercial :
61.8 0 0
[M] = 0 61.8 0
0 0 537.852 3x3
3. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE R IGIDEZ TRIDIMENSIONAL.
Esta matriz es ensamblada en base a la teora desarrollada en los prrafos anteriores:
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 30
CUADRO I
DE LAS COORDENADAS POLARES Y RIGIDECES DE LOS PORTICOS .
------------------------------------------------------------
Prtico: K rdk[m] k k Kpk[Ton/m]
------------------------------------------------------------
1 3.568 270 O 3000
2 3.132 90 O 2400
3 4.112 0 45 1500
4 3.588 180 9O 1500
5 4.112 0 9O 900
------------------------------------------------------------
3.1. Matrz de Rigidez Tridimensional Total de la Estructura.
Estas matrices se ensamblan en base a la ecuacin (47b).
Cos Cos Sen rdk Cos Sen (-)
[Kk] = KpkSen Cos Sen rdk Sen Cos(-)
rdk Cos Sen(-) rdk Sen Sen(-) rdk Sen(-) k
reemplazando en esta ecuacin por los valores presentados en el cuadro de coordenadas polares y rigideces de los
prticos, obtenemos, las matrices de los prticos en tres dimensiones:
1 0 +3.568
[K1] = 3000 0 0 0 (prtico 1).
3.568 0 12.731
1 0 +3.132
[K2] = 2400 0 0 0 (prtico 2).
-3.132 0 9.809
0.5 0.5 2.056
[K3] = 1500 0.5 0.5 2.056 (prtico 3).
2.056 2.056 8.454
0 0 0
[K4] = 1500 0 1 -3.588 (prtico 4).
0 -3.588 12.874
0 0 0
[K5] = 900 0 1 4.112 (prtico 5).
0 4.112 16.909
y la matriz de rigidez tridimensional total de la estructura se calcula sumando todas las matrices de los prticos; es
decir:
s 6150 750 6271.2
[K] = [Kk] = 750 3150 1402.8
k=1 6271.2 1402.8 108944.7
4. CENTRO DE RIGIDEZ.
-
Ingeniera Antissmica Fidel Copa Pineda 31
El centro de Rigideces se calcula en base a la matriz de rigidez tridimensional total de la estructura
(aplicando al ecuacin de la seccin 6.4.1), tenemos :
+ 1042.8
Xr = --------- = + 0.445 m.
3150
- 6271.2
Yr = --------- = - 1.020 m.
6150
Fig. 2e Centro de Rigidez de la Estructura.
5) ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINAMICO TRIDIMENSIONAL DE LA ESTRUCTURAL.
El vector de fuerzas restauradoras se equilibra con el vector de fuerzas inerciales y de
amortiguamiento; esto es:
[M] ( {D}+{d}) + [C]{D} + [K]{D} = {O}
[M]{D} + [C]{D} + [K]{D} = -[M]{d}
Esta ecuacin matricial, contiene un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, cuya solucin se
encuentra por el mtodo espectral y el desacoplamiento de las ecuaciones se realiza mediante el anlisis modal.
Los desplazamientos, la velocidad y la aceleracin del centro de masas de la estructura, tienen la siguiente
configuracin:
Dx Dx Dx
{D} = Dy {D} = Dy {D} = Dy
De De De
el vector de aceleracin del terreno {d}, es:
dx
{d} = dy
de