analisis tridimensional 2012 fcp005 ordenando

Ingeniería Antisísmica Fidel Copa Pineda 1

Capítulo 6

ANALISIS SISMICO TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS CON DIAFRAGMA RIGIDO

6.1 INTRODUCCION

El análisis sísmico de edificios cuyas losas de piso horizontal se comportan como diafragmas rígidos y los

sistemas de pórticos planos incluyen muros de cortante verticales, debido a ello el cálculo puede simplificarse en el

número de grados de libertad solo si la losa se comporta como un diafragma rígido, es decir, se modela a dicha losa

como un cuerpo rígido lo que nos permite una simplificación en el análisis sísmico mediante una condensación

cinemática de los grados de libertad de una estructura en el espacio a un análisis estructural tridimensional para

cargas laterales con tres grados de libertad por piso.

Asumiendo que cada losa es rígida en su propio plano, los componentes de los desplazamientos de cada

pórtico, se relacionan geométricamente, en cada nivel, con los del centro de masa en las direcciones (x, y, ), que

describen los desplazamientos lineales y el giro de torsión en planta, respectivamente. Para una estructura

tridimensional conformada por pórticos planos con muros de cortante se forman las matrices de rigidez lateral de

cada pórtico y, según su posición y geometría respecto al centro de masa, se ensambla la matriz de rigidez

tridimensional. Conociendo el vector de cargas sísmicas y calculando la inversa de la matriz de rigidez

tridimensional se encuentra el vector de los desplazamientos del centro de masa.

6.2 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DE OSCILACION DE PORTICOS PLANOS [KpK]

La matriz de rigidez total de pórtico plano [Ks], se obtiene en base al equilibrio de fuerzas de toda la

estructura considerando tres ecuaciones de equilibrio de fuerzas por nudo no es necesario hallar el equilibrio en los

nudos de los soportes es decir en las reacciones, dichas fuerzas se expresan en función de las matrices de rigidez de

cada miembro y de sus correspondientes desplazamientos y cargas equivalentes de extremo fijo. Debido a ello

primero hallamos las matrices de fuerzas, desplazamientos y cargas equivalentes de extremo fijo, en un sistema de

coordenadas locales y posteriormente las transformamos a un sistema de coordenadas globales, en donde se

establece una ecuación matricial de equilibrio cuyo coeficiente del vector de desplazamientos es la matriz de rigidez

total de la estructura. Con este método de rigideces calculamos la respuesta de la estructura aplicando fuerzas

unitarias en cada grado de liberta lateral de la estructura que es una combinación con el método de fuerzas para

determinar la matriz de flexibilidades y luego mediante su matriz inversa obtenemos la matriz de rigidez lateral este

proceso se detalla mas adelante.

METODO DE LAS FLEXIBILIDADES PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL.

Para la condición de carga sísmica en el modelo de masa concentrada se considera que la carga es

horizontal y solo actúa a nivel de cada piso, es decir, se considera un GDL por piso, por lo tanto, en la ecuación

matricial de equilibrio total de la estructura el vector de fuerzas de empotramiento perfecto no existe {FF} es decir,

se iguala el vector a {0} porque no hay cargas de verticales. Por tanto en base a estas condiciones podemos

encontrar la matriz de rigidez lateral del pórtico k-ésimo usando el método de las flexibilidades, y el método de la

rigidez a la vez, tal como se ilustra más adelante. Asimismo se presenta la idealización de los pórticos que incluyen

muros de cortante o vigas de cortante; Los desplazamientos totales se calculan por superposición.

Fig. 19 Pórtico hibrido modelo físico (Sistema de pórtico mas muro de corte).

Co

lum

na

Viga

Viga

Viga

Viga

MURO

DE

CORTE


Fig. 20 Fuerzas unitarias por piso aplicadas al modelo matemático, para encontrar la matriz de rigidez lateral.

La matriz de flexibilidad lateral se encuentra aplicando fuerzas unitarias en cada nivel por separado y se calcula la

respuesta de desplazamientos laterales y luego de aplicar para todos los GDL por piso. Usando el principio de

superposición se calculan los desplazamientos totales. Y donde se obtiene un vector de desplazamientos para cada

fuerza unitaria y en este caso como son 4 niveles se obtienen 4 vectores, con los cuales se ensambla la matriz de

flexibilidades

{D} = [] {F}

Donde:

D1 11 12 13 14 F1

D2 21 22 23 24 F2 Matriz de Rigidez [K] = []-1

D3 31 32 33 34 F3

D4 41 42 43 44 F4

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

44

34

14

24

43

33

23

13

42

22

12

32

41

31

21

11

0

0

0

1

Fig. 21 Procedimiento de flexibilidad para encontrar la matriz de rigidez lateral de un marco plano, se ensambla

en base a los corrimientos de cada condición de carga unitaria.

Extremo

Rígida

0

0

F3=1Tn

0

F1=1Tn

0

0

43F3

13F3

23F3

33F3

0

0

F4=1Tn

0

11F1

21F1

31F1

0

F2=1Tn

0

Contorno de

Muro de Cortante0

Eje

Centroidal

41F1 0

24F4

14F4

34F4

44F4

32F2

12F2

22F2

42F2


CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL por el método de las rigideces.

Este método es mas teórico pero directo y su procedimiento se puede sistematizar igual al método de flexibilidades,

sin embargo en este caso aplicamos desplazamientos unitarios en lugar de fuerzas unitarias es la diferencia.

K11 K12 K13 K14

[K] = K21 K22 K23 K24

K31 K32 K33 K34

K41 K42 K43 K44

DESPLAZAMIENTO

UNITARIO 4to NIVEL

DESPLAZAMIENTO

UNITARIO 3er NIVEL

DESPLAZAMIENTO

UNITARIO 2do NIVEL

DESPLAZAMIENTO

UNITARIO 1er NIVEL

D4,3=1

D4,3=-1

D3,2=1

D3,2=-1

D2,1=1

D2,1=D2-D1=-1

D1,0=D1-D0=1K14

K44

K24

K34

K13

K43

K21

K33

K12

K42

K22

K32

K11

K21

K31

K41

Nivel1

1

1

11

2

3

4

Fig. 22 Aplicación de desplazamientos unitarios para el cálculo de la matriz de rigidez lateral de oscilación.

El método de desplazamientos o rigidez consiste como primer paso en restringir toda la estructura excepto los giros

y como segundo paso se empieza a liberar solamente los grados de libertad de oscilación uno a uno como se ilustra

en la figura 22, por ejemplo son cuatro desplazamientos laterales debido a que son cuatro niveles entonces son 4

GDL. Por tanto, se han aplicado cuatro desplazamientos horizontales uno para cada GDL y para cada caso se

calculan las correspondientes rigideces.

Ejemplo de Aplicación

Calcular la Matriz de Rigidez Lateral del

pórtico por el método de flexibilidades, que se

muestran en la Fig. 25.

DATOS DE LA ESTRUCTURA: Módulo de elasticidad E = 2.1x106

Columnas: 30x40

Vigas: 30x30

Fig. 25a. Codificación de los GDL de la

estructura completa.

Solución

La matriz de rigidez lateral de este pórtico

típico se calcula por el método de

flexibilidades, para ello vamos a utilizar el

programa de análisis de marcos planos, que

contempla tres grados de libertad por nudo. Los

pórticos de un sistema estructural en tres

dimensiones están conectados por losas de piso,

que pueden actuar en algunos casos como

2

7

15

78

13

1

5

11

2

3.00

9

3

10

8

5

7

9

4

4

6

2

1

1

3.00

3.00

3.00

5

9

6

10

12 14 16

282624

22

12

21

15

3.00

3.0011 12

16

10

14

19

17

11

14

20

15

4

23

17

3

25

2019

27

13

18

13

8

3

6

18

GEOMETRIA Y GRADOS DE LIBERTAD DE LA ESTRUCTURA


diafragmas rígidos, por consiguiente todos los nudos de los pórticos correspondientes a un piso tienen el mismo

desplazamiento horizontal. En consecuencia todos los nudos de un nivel tienen el mismo grado de libertad en la

dirección x.

. ESTADO DE CARGAS # 4ESTADO DE CARGAS # 3ESTADO DE CARGAS # 2ESTADO DE CARGAS # 1

1 Tn

1 Tn

1 Tn

1 Tn

Fig. 25b Condiciones de carga sucesivas en forma consecutiva del método de fuerzas o flexibilidades.

Si aplicamos fuerzas unitarias en el pórtico en los grados de libertad de oscilación: 1, 2, 3 y 4, encontramos para

cada caso un vector de desplazamientos correspondiente. En la Fig. 25b se aprecian las cuatro condiciones de carga

aplicada, con las flexibilidades producidas para cada condición de carga, encontramos la matriz de flexibilidades. En

la siguiente matriz se muestran los grados de libertad de oscilación y los nudos en donde se aplicaron las fuerzas

unitarias.

MATRIZ DE FLEXIBILIDADES DEL PORTICO:

Columna de

estado de carga

Nudos

4321

4

3

2

1

4321

0.00056

0.00055

0.00052

0.00036

0.00153

0.00147

0.00123

0.00052

0.00255

0.00227

0.00147

0.00055

0.00345

0.00255

0.00153

0.00056

[ F ] =

4 7 10 13

4

7

10

13

Grados de oscilación

y la matriz inversa de [F], representa la matriz de rigidez de oscilación (lateral) [K], y ésta es:

[ K ] =

-197.25

937.74

-2674.61

1882.89

1349.67

-4291.08

5896.83

-4623.17

6729.42

Simétrica

7700.52

1 2 3 4

1

2

3

4

11

21

31

41

12

22

32

42

13

23

33

43

1

14

24

34

1

44


6.3. ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE UN SOLO NIVEL

Para comprender mejor el desarrollo matricial posterior se presenta en este punto el análisis tridimensional

para una estructura de un solo nivel que está conformada por varios pórticos. El vector de fuerza restauradora del

pórtico. El vector de fuerza restauradora del pórtico K-ésimo se encuentra con la ecuación.

FpK = KpKDPk (ec - 45)

Dx

Dy

Eje

p

órt

ico

K

ME

rd.Sen(

FP

K

FE

Y

FEX

K

DESPLAZAMIENTO DEL PORTICO Kpk EN SU PLANO

PARA UN CONPORTAMIENTO DE DIAFRAGMA RIGIDO

Ver Det. "A"

rd

Dy

Dx

i

C'

C

X'

Y'

X

Y

0'

rd.D

0C.M.

Donde rdK simboliza la distancia de un

punto cualquiera que pasa por el eje del

pórtico K-ésimo al centro de masa, ß es el

ángulo del pórtico y, es el ángulo del

vector posición rdK, ambos ángulos se

consideran respecto al eje x.

El vector de fuerzas restauradoras

del pórtico K-ésimo FpK respecto al centro

de masas (ver Fig. 27) se encuentra por

equilibrio en las direcciones (x,y,),

alcanzando a ensamblar el vector total de

fuerzas restauradoras para la estructura

tridimensional:

FEpx FpK cos ßK

{FE} = FEpy = FpK sen ßK

FEp FpK rdK sen (ßK - K)

(ec-47)

Fig. 26 Transformación de coordenadas de

desplazamientos laterales de un pórtico plano

a un sistema de coordenadas globales en el

centro de masas del diafragma rígido (x,y,).

Bajo la asunción de que la losa se

comporta como un diafragma rígido

horizontal, se deduce la relación

puramente geométrica que hay entre los

desplazamientos, DpK, de los pórticos, con

el vector de desplazamientos del centro de

masas de cada piso (Dx,Dy,D)T de la

(Ver, Fig. 26 arriba y debajo de esta

página) en base a ello establecemos la

siguiente relación para un pórtico K-

ésimo:

DpK=DxcoßK+DysenßK+rdKDsen(ßk-K)

(ec-46)

rd.D.S

en

(

)

Eje

del p

órt

ico

K

Dy.S

en

Dx.C

os

Componentes del vector de deformación Dpk

DETALLE "A"

Dp

j

jp

Direccio

n de rd

desplaza

do

Dire

ccio

n de

rd

despla

zado y

rota

do

C'p

DX

DY

i

rd.D

C'

C

ip

DpK = DxCosK+ DyCosK+ rdKDSen(K-K)


La fuerza restauradora del pórtico K-ésimo en función de la rigidez y desplazamiento lateral (ecuación 46), es:

FpK = KpK DpK = KpK DxcoßK + DysenßK + rdKDsen(ßk-K)

Reemplazando esta expresión en la ec-47, se tiene

FEpx KpK DxcosßK + DysenßK + rdKDsen(ßk-K) cos ßK

FEpy = KpK DxcosßK + DysenßK + rdKDsen(ßk-K) sen ßK (ec-47)

FEp KpK DxcosßK + DysenßK + rdKDsen(ßk-K) rdK sen (ßK - K)

FP

K

rd.Sen(

rd

C

Y

Fe

Fe

Y

FeX

Eje

del p

órt

ico

K

Xc.m.

Fig. 27 Transporte de la fuerza del pórtico k-ésimo FpK al centro de masas de cada piso.

Mediante un arreglo matricial, se logra expresar la ecuación (47) en forma compacta. (Dx, Dy, D)

FEpx cos2ßK cosßK senßK rdK cosßK sen (ßK-K) Dx

FEpy = KpK senßK cosßK sen2ßK rdK senßK sen (ßK-K) Dy (ec-47b)

FEp rdK cosßK sen(ßK-K) rdK senßK sen(ßK-K) rdK2 sen

2 (ßK-K) D

Expresando en forma compacta, las fuerzas de los pórticos en el centro de masas, así tenemos:

{FEpK

} = [KK] {D}

De donde la matriz de rigidez total se obtiene mediante la sumatoria de las matrices de todos los pórticos de la

estructura:

N P O R

{FE} = {F

EpK} (ec-48a)

K=1

Siendo [K] la matriz de rigidez tridimensional de toda la estructura y, [KK] la matriz de rigidez de un pórtico K-

ésimo respecto al centro de masa.

cos2ßK cosßKsenßK rdK cosßKsen (ßK-K)

[KK] = KpK senßK cosßK sen2ßK rdK senßKsen (ßK-K) (ec-47b)

rdK cosßKsen(ßK-K) rdK senßKsen(ßK-K) rdK2 sen

2 (ßK-K)


6.4. ANALISIS TRIDIMENSIONAL DE EDIFICIOS DE VARIOS NIVELES

El vector de fuerzas restauradoras {FEPK

} de un pórtico K-ésimo es:

{FEPK

} = [KPK

] {DPK

} (ec-48)

Donde, [KPK

] es la matriz de rigidez lateral de pórtico y, {DEPK

} es el respectivo vector de desplazamientos

laterales, expresando en forma matricial y en función de los desplazamientos del centro de masa {Dx}, {Dy}, {D}

que está dado por:

{DPK

} = [cosßK] {Dx} + [senß

K] {Dy} + [rd

K] [sen(ß

K-

K)] {D} (ec-49)

Donde la matriz [rdK] simboliza la distancia que hay entre el pórtico K-ésimo con respecto al centro de masas

y, [ [cosßK], [senß

K], y [ sen(ß

K-

K) ] son matrices que sirven para expresar sus componentes ortogonales. Estas

matrices tienen la siguiente estructura:

Matriz de rigidez de distancias del pórtico K-ésimo.

rd1 0 0 ...... 0 cosß1

0 0 ...... 0

0 rd2 0 ...... 0 0 cosß2 0 ...... 0

[rd]K = 0 0 rd3 ...... 0 , [cosß]

K = 0 0 cosß

3 ...... 0

. . . ...... . . . . ...... .

0 0 0 ...... rdM K 0 0 0 . ..... sen ßM K

Matriz de rigidez lateral del pórtico K-ésimo.

k11 k12 k13 .... k1M senß1 0 0 .... 0

k21 k22 k23 .... k2M 0 senß2 0 .... 0

[kp]K = k31 k32 k33 .... k3M , [senß]K = 0 0 senß3 .... 0

. . . .... . . . . .... .

kM1 kM2 kM3 .... kMM K 0 0 0 .... sen ßM K

sen (ß1-1) 0 0 .... 0

0 sen (ß2-2) 0 .... 0

[ sen ( ß - ) ] K = 0 0 sen (ß3-3) .... 0

. . . .... .

0 0 0 .... sen (ßM-M) K

Donde: M = es el número de pisos.

Las componentes en las direcciones x, y, del vector de fuerzas laterales de un pórtico K-ésimo con

respecto al centro de masas, se encuentran por equilibrio estático y se expresan en función de las matrices definidas

más arriba.

{FEKx} [cosßK] [KPK] {DPK}

{FeK} = {FEKy} = [senßK] [KPK] {DPK} (ec-50)

{FEK} [rdK] [sen(ßK - K )] [KPK] {DPK}


El vector total de fuerzas restauradoras de la estructura tridimensional, {FE}, se encuentra sumando las

fuerzas restauradoras de todos los pórticos.

N POR N POR

{FE} = {FEK} = [K] {D} = [KK] {D} (ec-51)

K=1 K=1

o, expresando en otra forma

{FEy} N POR {Dx}

{FE} = {FEx} = [KK] {D} , {D} = {Dy} (ec-52)

{FE} K=1

{D}

Donde [KK] representa la a matriz de rigidez tridimensional del pórtico K-ésimo y está dada por la expresión:

[Kxx] [Kxy] [Kx]

[KK] = [Kyx] [Kyy] [Ky] (ec-53)

[Kx] [Ky] [K] K

Cuyas sub matrices transformadas se hallan del siguiente modo:

[Kxx] = [cosßK] [KPK] [cosßK]

[Kxy] = [cosßK] [KPK] [cosßK]

[Kx] = [cosßK] [KPK] [rdK] [cos(ßK-K)]

[Kyx] = [senßK] [KPK] [cosßK]

[Kyy] = [senßK] [KPK] [senßK]

[Ky] = [senßK] [KPK] [rdk] [sen(ßK-K)]

[Kx] = [rdK] [sen(ßK-K)] [KPK] [cosßK]

[Ky] = [rdK] [sen(ßK-K)] [KPK] [senßK]

[K] = [rdK] [sen(ßK-K)] [KPK] [rdK ] [sen (ßK-K)]

Todas estas sub matrices fueron definidas anteriormente.

De la ecuación (51) se deriva la matriz de rigidez tridimensional de toda la estructura.

N POR

[K] = [KK] (ec-54)

K = 1

6.4.1 CENTRO DE RIGIDEZ RESPECTO AL CENTRO DE MASAS.

El centro de rigidez se calcula en base a los siguientes algoritmos: (ecuaciones 51 a 53).

N POR

{xR} = ( [Kyy] ) -1

{Ky}

K = 1

N POR

{yR} = ( [Kxx] ) -1

{Kx}

K = 1

Donde:

N POR

{Kx} = [cosßK] [KPK] [sen (ßK - K)] {rdK}

K = 1


N POR

{Ky} = [senßK] [KPK] [sen (ßK - K)] {rdK}

K = 1

[Kxx] y [Kyy] se toman de las matrices de cada pórtico K-ésimo.

O también alternativamente:

N POR

{Kx} = [cosßK] [KPK] [sen (ßK - K)] {rdK} {1} = [Kx] {1}

K = 1

N POR

{Ky} = [senßK] [KPK] [sen (ßK - K)] {rdK} {1} = [Ky] {1}

K = 1

6.4.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO.

El procedimiento para realizar el análisis tridimensional se resume en los siguientes pasos:

1. Se ensambla el vector de cargas considerando tres GDL por nivel, a saber: (Dx, Dy, D).

2. Se encuentran las masas y el momento de inercia polar en todos los niveles y luego con estos parámetros de

la estructura se ensambla el vector de cargas inerciales por nivel {F}, y por equilibrio de fuerzas y

momentos torsores en planta, se tiene:

{FE}3M x 1 = {F}3M x 1

3. Con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico y los vectores de: posición y su respectivo vector de

director de cada pórtico se procede a encontrar la matriz de rigidez tridimensional [KK], de cada pórtico, la

cual se forma en base a la ecuación (53), posteriormente sumando todas las rigideces espaciales de los

pórticos encontramos la matriz de rigidez tridimensional de la estructura [K], (ec-54).

4. Cálculo del vector de desplazamiento del centro de masas por nivel {D}. Una vez establecida la matriz de

rigidez tridimensional, [K], se procede a calcular su matriz inversa y multiplicándola por el vector de cargas

inerciales por nivel {F} encontramos el vector {D}, es decir:

{D}3M x 1 = [K] -1

M x M {F}M x 1

5. El vector de desplazamientos laterales del pórtico K-ésimo {DpK} se encuentra a partir del vector de

desplazamiento globales y de las matrices diagonales definidas por la ecuación (49), es decir:

{DPK} M x 1 = [cosßK] {Dx} + [sen ßK] {Dy} + [rdK] [sen (ßK - K)] {D}

Este vector pre multiplicando por su respectiva matriz de rigidez lateral de pórtico [KPK], nos proporciona

el vector de fuerzas que el pórtico K-ésimo adsorbe de toda la carga inercial por piso:

{FEK}M x 1 = [KPK]M x M {DPK}M x 1


KK5

0

0

0

0

900

3700.8

0

3700.8

15217.69

KK4

0

0

0

0

1500

5382

0

5382

19310.616

KK3

750

750

3084

750

750

3084

3084

3084

12681.408

KK2

2400

0

7516.8

0

0

0

7516.8

0

23542.618

KK1

3000

0

10704

0

0

0

10704

0

38191.872

KKK

cos K 2

sin K cos K

rdK

cos K sin K K

cos K sin K

sin K 2

rdK

sin K sin K K

rdK

cos K sin K K

rdK

sin K sin K K

rdK

2sin K K

2

KpK

Ensable de la Matriz de Rigidez Tridimensional para cada Portico de la Estructura:

Kp

3000

2400

1500

1500

900

0

0

45

90

90

180

270

90

0

180

0

180rd

3.568

3.132

4.112

3.588

4.112

Portico : K-ésimo

DATOS DE COORDENADAS POLARES Y RIGIDECES DE LOS PORTICOS.

P 10 20 25( )T

Carga en el centro de masas (Fx, Fy, M )

Analisis Sísmico Tridimensional de un edificio de 1 solo piso y 5 ejes. En la fig. 1 se

muestra el edificio en planta y se proporcionan las rigideces laterales según cada eje.

APLICACION DEL ANALISIS TRIDIMENSIONAL


TonFpT

3.451 1.056 7.77 8.607 5.898( )

FpK

KpK

DpK

Los esfuerzos que absorben cada pórtico K-ésimo se calculan en base a su matriz de

rigidez lateral y el desplazamiento respectivo y estos son:

m DpT

0.00115 0.00044 0.00518 0.005738 0.006554( )

DpK

Dx cos K Dy sin K D rdK

sin K K

Con los desplazamientos del Centro de Masas, es posible encontrar por la condición de

diafragma rígido los desplazamientos de cada pórtico con la expresión:

Dx

Dy

D

0.000772

0.006118

0.000106

D

0.000772

0.006118

0.000106

D KT1

P

Los desplazamientos del centro de masas se calculan en base a la matriz de rigidez

tridimensional total de la estructura y las cargas que actúan sobre el centro de masas

yr 1.02yr

KT1 3

KT1 1

xr 0.445xr

KT2 3

KT2 2

El centro de Rigidez con respecto al centro de masas, es:

KT

6150

750

6271.2

750

3150

1402.8

6271.2

1402.8

108944.203

KT

1

5

K

KKK

La matriz de Rigidez Tridimensional Total de la estructura se calcula sumando todas las

matrices de los pórticos en coordenadas globales (en el centro de masas) son cinco

pórticos y sumando las 5 matrices obtenemos la matriz total, esto es::


Kp2

1.268 104

7.005 103

1.518 103

186

27

7.005 103

1.089 104

6.746 103

1.473 103

150

1.518 103

6.746 103

1.084 104

6.657 103

1.245 103

186

1.473 103

6.657 103

1.018 104

4.823 103

27

150

1.245 103

4.823 103

3.701 103

Kp1

2.016 104

1.128 104

2.789 103

363

42

1.128 104

1.673 104

1.072 104

2.698 103

299

2.789 103

1.072 104

1.661 104

1.051 104

2.218 103

363

2.698 103

1.051 104

1.512 104

6.989 103

42

299

2.218 103

6.989 103

5.032 103

Matrices de rigidez lateral de los porticos

180

180

Y

5.50

0.30

5.50

0

0

0

X

0

0

0

5.65

0.20

5.65

0

0

0

90

90

90

90

270

270

180

180

0

rd

5.50

0.30

5.50

5.65

0.20

5.65

donde la fuerza esta expresada

F 5 10 16 21 22 5 11 17 22 23 50 130 190 250 260( )T

AI I

0el vector de cargas que se aplica sobre esta estructura es:

K 1 NPJ 1 NI 1 M

NP 6N 3 MM 5

Analisis Tridimensional de edificios con cargas laterales de un edif icio de 5 pisos y 5 ejes.

Se conocen las matrices de rigidez lateral de todos los pórticos. Y asumimos que el centro

geometrico de cada losa coincide con el centro de masas de su respectivo piso. Las cargas

actuan sobre la estructura se muestran abajo en forma vectorial y también se muestra en la

Fig. 1. Calcular los desplazamientos del centro de masa (Nudos Independientes) y los

deplazamientos laterales que sufre cada pórticos y las fuerzas que absorbe cada uno de

ellos.

Use Entorno: MathCad 2001

APLICACION DEL ANALISIS TRIDIMENSIONAL 5 niveles


Kp2

1.268 104

7.005 103

1.518 103

186

27

7.005 103

1.089 104

6.746 103

1.473 103

150

1.518 103

6.746 103

1.084 104

6.657 103

1.245 103

186

1.473 103

6.657 103

1.018 104

4.823 103

27

150

1.245 103

4.823 103

3.701 103

Kp3

2.016 104

1.128 104

2.789 103

363

42

1.128 104

1.673 104

1.072 104

2.698 103

299

2.789 103

1.072 104

1.661 104

1.051 104

2.218 103

363

2.698 103

1.051 104

1.512 104

6.989 103

42

299

2.218 103

6.989 103

5.032 103

Kp4

1.901 105

1.114 105

3.286 104

3.672 103

374

1.114 105

1.574 105

1.076 105

3.206 104

2.908 103

3.286 104

1.076 105

1.566 105

1.043 105

2.616 104

3.672 103

3.206 104

1.043 105

1.273 105

5.182 104

374

2.908 103

2.616 104

5.182 104

2.821 104

Kp5

1.901 105

1.114 105

3.286 104

3.672 103

374

1.114 105

1.574 105

1.076 105

3.206 104

2.908 103

3.286 104

1.076 105

1.566 105

1.043 105

2.616 104

3.672 103

3.206 104

1.043 105

1.273 105

5.182 104

374

2.908 103

2.616 104

5.182 104

2.821 104

Kp6

1.901 105

1.114 105

3.286 104

3.672 103

374

1.114 105

1.574 105

1.076 105

3.206 104

2.908 103

3.286 104

1.076 105

1.566 105

1.043 105

2.616 104

3.672 103

3.206 104

1.043 105

1.273 105

5.182 104

374

2.908 103

2.616 104

5.182 104

2.821 104

Se transforman las coordenadas de las matrices de rigidez lateral

KxxK

KpK

cos K

2

KxyK

KpK

cos K sin

K

KxK

KpK

rdK

cos K sin

K

K

KyxK

KpK

sin K cos

K

KyyK

KpK

sin K

2

KyK

KpK

rdK

sin K sin

K

K

KxK

KpK

rdK

cos K sin

K

K

KyK

KpK

rdK

sin K sin

K

K

KK

KpK

rdK

2sin

K

K

2


KTxx

1

6

K

KxxK

KTxx

KTxy

1

6

K

KxyK

KTxy

KTx

1

6

K

KxK

KTx

KTyx

1

6

K

KyxK

KTyx

KTyy

1

6

K

KyyK

KTyy

KTy

1

6

K

KyK

KTy


KTx

1

6

K

KxK

KTx

114684

64141.5

15794.9

2052.3

239.1

64141.5

95282

60983.8

15280.9

1689.5

15794.9

60983.8

94607

59802.1

12572.5

2052.3

15280.9

59802.1

86214

39886.4

239.1

1689.5

12572.5

39886.4

28786.3

KTy

1

6

K

KyK

KTy

38020

22280

6572

734.4

74.8

22280

31480

21520

6412

581.6

6572

21520

31320

20860

5232

734.4

6412

20860

25460

10364

74.8

581.6

5232

10364

5642

KT

1

6

K

KK

KT

12755520

7458639

2183765

245583

25166

7458639

10562562

7198913

2129900

194836

2183765

7198913

10507819

6981732

1738438

245583

2129900

6981732

8590857

3522372

25166

194836

1738438

3522372

1954747

Ensamble de la matriz de rigidez Tridimesnional en base a las submatrices

KK

KKi j

KTxxi j

KKi j M

KTxyi j

KKi j 2 M

KTxi j

KKi M j M

KTyyi j

KKi M j 2 M

KTyi j

KKi 2 M j 2 M

KTi j

j 1 Mfor

i 1 Mfor

KK

Reflejo de la simetria

KK

ddj i

KKi j

ddi j

KKi j

j i Nfor

i 1 Nfor

dd


Matriz de rigidez Tridimensional

KK

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

32840 -18285 4307 -549 69 0 -0 0 -0 0 114684 -64141 15795 -2052 239

-18285 27620 -17466 4171 -449 -0 0 -0 0 -0 -64141 95282 -60984 15281 -1690

4307 -17466 27450 -17167 3463 0 -0 0 -0 0 15795 -60984 94607 -59802 12573

-549 4171 -17167 25300 -11812 -0 0 -0 0 -0 -2052 15281 -59802 86214 -39886

69 -449 3463 -11812 8733 0 -0 0 -0 0 239 -1690 12573 -39886 28786

0 -0 0 -0 0 570300 -334200 98580 -11016 1122 -38020 22280 -6572 734 -75

-0 0 -0 0 -0 -334200 472200 -322800 96180 -8724 22280 -31480 21520 -6412 582

0 -0 0 -0 0 98580 -322800 469800 -312900 78480 -6572 21520 -31320 20860 -5232

-0 0 -0 0 -0 -11016 96180 -312900 381900 -155460 734 -6412 20860 -25460 10364

0 -0 0 -0 0 1122 -8724 78480 -155460 84630 -75 582 -5232 10364 -5642

114684 -64141 15795 -2052 239 -38020 22280 -6572 734 -75 12755520 -7458639 2183765 -245583 25166

-64141 95282 -60984 15281 -1690 22280 -31480 21520 -6412 582 -7458639 10562562 -7198913 2129900 -194836

15795 -60984 94607 -59802 12573 -6572 21520 -31320 20860 -5232 2183765 -7198913 10507819 -6981732 1738438

-2052 15281 -59802 86214 -39886 734 -6412 20860 -25460 10364 -245583 2129900 -6981732 8590857 -3522372

239 -1690 12573 -39886 28786 -75 582 -5232 10364 -5642 25166 -194836 1738438 -3522372 1954747

D KK1

F

DT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 0.00689 0.01721 0.02619 0.03241 0.03528 0.00107 0.00331 0.00592 0.00839 0.01054 0.00039 0.0012 0.00215 0.00303 0.00379

Asignamos los desplazamientos a cada vector Dx, Dy y D del vector de desplazamientos

Del centro de masas D

D KK1

F

Dx

Wj

Dj

j 1 Mfor

W

Dy

Wj

Dj M

j 1 Mfor

W

D

Wj

Dj 2 M

j 1 Mfor

W

Dx

0.006891

0.017206

0.026191

0.032406

0.035278

Dy

0.001066

0.003308

0.005916

0.008393

0.010535

D

0.000389

0.001205

0.002147

0.003035

0.003795

Los desplazamientos de cada pórtico K-ésimo, se calcula con la expresión

DpK

Dx cos K Dy sin K D rdK

sin K K

Dp1

0.004754

0.010579

0.014381

0.015715

0.014406

Dp2

0.007008

0.017568

0.026836

0.033316

0.036416

Dp3

0.009028

0.023834

0.038002

0.049097

0.056149

Dp4

0.001129

0.0035

0.006216

0.008753

0.010905

Dp5

0.000989

0.003067

0.005487

0.007786

0.009777

Dp6

0.003262

0.010116

0.018049

0.025539

0.031976

Los esfuerzos que absorben cada pórtico K-ésimo serán:

FpK

KpK

DpK

Fp1

0

0

0

0

0

Fp2

1.316595

4.805276

6.572889

9.457014

5.054437

Fp3

3.683405

5.194724

9.427111

11.542986

16.945563

Fx

1

3

K

KpK

DpK

FxT

5 10 16 21 22( )


Matriz de rigidez para miembros con extremos rígidos Estructuras

Tenemos estructuras tipo pórtico (viga-columna) y con muros de corte como podemos apreciar en los figura

1

Figura 1. Estructuras con muros de corte modelo matemático.

Para deducir la matriz nos fijamos en un miembro de una de estas estructuras y tenemos:


Figura .2 Miembro con extremos rígidos (end offsets).

De la figura 2. Sabemos

d L + c L + b L = L

Si: d = b = 0, simplificamos L tenemos que c = 1, entonces el miembro se comportara como una viga sin extremos

rígidos (end offsets), caso contrario el miembro estará sujeto con extremos rígidos para lo cual recurrimos a la

transportación de fuerzas y desplazamiento de los nudos del miembro con zona flexible a los nudos con extremos

rígidos, el cual se establece por equilibrio de fuerzas y geometría para el caso de los desplazamientos, como

demostraremos más adelante:

A) Transportación de fuerzas en nudos de los extremos del miembro

Para Fuerzas en los nudos J y K del miembro estructural, tenemos del gráfico:

f1 = f1

*

f2 = f2*

f3 = f2*.dL + f3

*

f4 = f4*

f5 = f5*

f6 = - f5*.bL + f6

*

{f} = [TF] . {f*} (I)

*

*

*

*

*

*

6

5

4

3

2

1

.

1.0000

010000

001000

0001.0

000010

000001

6

5

4

3

2

1

f

f

f

f

f

f

Lb

Ld

f

f

f

f

f

f


B) Transportación de desplazamientos en nudos de los extremos del miembro

{D} = [Td] . {D*} (II)

De la relación de la fuerza elástica o restauradora del miembro con zonas flexibles se conoce la matriz de rigidez y

lo que se desea como se dijo anteriormente es transportar las fuerzas y desplazamientos al extremo del miembro con

extremos rígidos

{f*} = [k

*].{D

*}

Reemplazando está en la ec-I, tenemos:

{f} = [Tf].([k*]{D

*}) (III)

Reemplazando está en la ec-II, tenemos:

{f} = ([Tf].[k*][Td]

-1){D} (IV)

D1 = D1*

D2 = D2*

-

dL.D3*

D3 = D3*

D4 = D4*

D5 = D5* +

bL.D6*

D6 = D6*

*

*

*

*

*

*

6

5

4

3

2

1

.

100000

10000

001000

000100

00010

000001

6

5

4

3

2

1

D

D

D

D

D

D

bL

dL

D

D

D

D

D

D


1

0

0

0

0

0

0

1

d L

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

b L

0

0

0

0

0

1

AE

c L

0

0

AE

c L

0

0

0

12 EI

c L( )3

6 EI

c L( )2

0

12 EI

c L( )3

6 EI

c L( )2

0

6 EI

c L( )2

4 EI

c L

0

6 EI

c L( )2

2 EI

c L

AE

c L

0

0

AE

c L

0

0

0

12 EI

c L( )3

6 EI

c L( )2

0

12 EI

c L( )3

6 EI

c L( )2

0

6 EI

c L( )2

2 EI

c L

0

6 EI

c L( )2

4 EI

c L

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

d L

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

b L

1

1

AE

c L

0

0

AE

c L

0

0

0

12EI

c3

L3

12d

L2

EI

c3

6EI

c2

L2

0

12 EI

c3

L3

12EI

c3

L2

b 6EI

c2

L2

0

12d

L2

EI

c3

6EI

c2

L2

12d

L2

EI

c3

6EI

c2

L2

d L 6d

L

EI

c2

4 EI

c L

0

12 d

L2

EI

c3

6EI

c2

L2

12EI

c3

L2

b 6EI

c2

L2

d L 6b

L

EI

c2

2 EI

c L

AE

c L

0

0

AE

c L

0

0

0

12 EI

c3

L3

12 d

L2

EI

c3

6EI

c2

L2

0

12EI

c3

L3

12 EI

c3

L2

b 6EI

c2

L2

0

12EI

c3

L2

b 6EI

c2

L2

12 d

L2

EI

c3

6EI

c2

L2

b L 6d

L

EI

c2

2 EI

c L

0

12 EI

c3

L2

b 6EI

c2

L2

12 EI

c3

L2

b 6EI

c2

L2

b L 6b

L

EI

c2

4 EI

c L


AE

c L

0

0

AE

c L

0

0

0

12EI

c3

L3

6 EI2 d c

c3

L2

0

12( )EI

c3

L3

6 EI2 b c

c3

L2

0

6 EI2 d c

c3

L2

EI

L

12 d2

12 d c 4 c2

c2

c3

0

6( ) EI2 d c

c3

L2

EI

L

12 b d 6 d c 6 b c 2 c2

c2

c3

AE

c L

0

0

AE

c L

0

0

0

12( )EI

c3

L3

6( ) EI2 d c

c3

L2

0

12EI

c3

L3

6( ) EI2 b c

c3

L2

0

6 EI2 b c

c3

L2

EI

L

12 b d 6 d c 6 b c 2 c2

c2

c3

0

6( ) EI2 b c

c3

L2

EI

L

12 b2

12 b c 4 c2

c2

c3

1

1

0 0 0 1 0 0 0 1 d L 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 b L 0 0 0 0 0 1 AE c L 0 0 AE c L 0 0 0 12 EI c L ( ) 3 6 EI c L ( ) 2 0 12 EI c L ( ) 3 6 EI c L ( ) 2 0 6 EI c L ( ) 2 4 EI c L 0 6 EI c L ( ) 2 2 EI c L AE c L 0 0 AE c L 0 0 0 12 EI c L ( ) 3 6 EI c L ( ) 2 0 12 EI c L ( ) 3 6 EI c L ( ) 2 0 6 EI c L ( ) 2 2 EI c L 0 6 EI c L ( ) 2 4 EI c L 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 d L 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 b L 1 1 AE c L 0 0 AE c L 0 0 0 12 EI c 3 L 3 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 0 12 EI c 3 L 3 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 0 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 d L 6 d L EI c 2 4 EI c L 0 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 d L 6 b L EI c 2 2 EI c L AE c L 0 0 AE c L 0 0 0 12 EI c 3 L 3 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 0 12 EI c 3 L 3 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 0 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 12 d L 2 EI c 3 6 EI c 2 L 2 b L 6 d L EI c 2 2 EI c L 0 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 12 EI c 3 L 2 b 6 EI c 2 L 2 b L 6 b L EI c 2 4 EI c L


6.5 ANALISIS DINAMICO TRIDIMENSIONAL DE ESTRUCTURAS

Consideremos el modelo de masas concentradas cuyas coordenadas tiene como origen el centro de masa

inercial de cada nivel. De este modo se evita el acoplamiento dinámico y la ecuación del movimiento se simplifica.

Aplicando el principio de equilibrio dinámico (D’Alambert) a las masas de la Fig. (28), se halla:

{FI}3M x 1 + {FE}3M x 1 = {0}3M x 1 (ec-55)

Siendo: {FI} = [M] {D} vector de fuerzas inerciales.

{FE} = [K] {D} vector de fuerzas restauradoras.

Sustituyendo en la ecuación (55).

[M] {D} + [K] {D} = {0} (ec-56)

Donde [M] es una matriz diagonal conformada por las sub matrices de masa [M] y de inercia polar [I], según la

siguiente configuración:

RANGO DEL ELEMENTO M I I

[M] [0] [0] 1 . . M

[M] = [0] [M] [0] M + 1 . . 2 x M (ec-57)

[0] [0] [I] N x N 2 x M . . 3 x M

Fig. 28 Modelaje de una estructura tridimensional de 5 niveles.

y [K], la matriz de rigidez tridimensional de 3M x 3M, esta expresada por: (ecuación repetida).


N POR

[K] = [Kk] (ec-58)

k = 1

En donde [Kk] representa la matriz de rigidez tridimensional del pórtico K-ésimo.

x y RANGO

[Kxx] [Kxx] [Kx] 1 . . M

[Kk] = [Kyx] [Kyy] [Ky] M + 1 . . 2 x M (ec-59)

[Kx] [Ky] [K] 2 x M . . 3 x M

Cuyas submatrices son de dimensión MxM y fueron definidas en la sección 6.4 (Ref.30).

Posteriormente para desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales se emplea el análisis modal.

6.5.1 VALORES PROPIOS Y LOS VECTORES PROPIOS.

Para determinar los valores propios y los vectores propios de la estructura, asumiremos la solución de la

ecuación (55) en la forma:

{Dx} {axo}

{D} = {Dy} = {ao} sen ( wt - ) = {ayo} sen ( wt - ) (ec-60)

{De} {aeo}

VECTOR DE AMPLITUDES

Derivando dos veces y sustituyendo la ecuación (60) en la ecuación (56) se obtiene la ecuación matricial

característica.

( [K] - w2 [M] ) {ao} sen ( wt - ) = {0} (ec-61)

cuya solución no trivial requiere que:

Det [K] - w 2 [M] = O

y que permite hallar n valores propios para la frecuencia circular natural wi; I = 1,2,3, ... n, (n = 3M, y : M= Número

de niveles) de la estructura, reemplazando estos valores propios en la ecuación (57) nos permite encontrar los

vectores propios normalizados que conforman la matriz modal.

w1 w2 w3 ..... wn ---- FRECUENCIAS

ø11 ø12 ø13 ..... ø1N

[ø] = ø21 ø22 ø23 ..... ø2N

ø31 ø32 ø33 ..... ø3N

.. .. .. ..... ..

øN1 øN2 øN3 ..... øNN

En donde: øij = aij / anj , representan los vectores propios.

6.6. RESPUESTA SISMICA DE UNA EXTRUCTURA TRIDIMENSIONAL


La ecuación diferencial del movimiento para el caso de solicitación externa y aceleración sísmica del

terreno tiene la forma.

{FI} + {Fc} + {FE} = { f (t) } (ec-62)

[M] {D+d} + [C] {D} + [K] {D} = { f (t) } (ec-63)

[M] {D} + [C] {D} + [K] {D} = { f (t) } - [M] {d} (ec-64)

donde :

{1} dx

{d} = {1} dy Vector de excitación en la base de la superestructura.

{1} d

{ f (t) } Vector de cargas excitadoras para cada grado de libertad.

Fig. 29 Desplazamientos del centro de masas con respecto a una referencia inercial.

Para resolver la ecuación (64), transformaremos el sistema de coordenadas globales {D} a un sistema de

coordenadas generalizadas {n}, aprovecharemos de la ortogonalidad de los modos de vibración que nos permite

desacoplar las ecuaciones cuyos desplazamientos y velocidades están acoplados. Dicha transformación es: {D}=[ø]

{n}, reemplazando en la ecuación (64), tenemos :


[M] [ø] {n} + [C] [ø] {n} + [K] [ø] {n} = { f (t) } - [M] {d} (ec-65)

pre multiplicando por [ø]T , la ecuación (65), se tiene

[ø]T [M] [ø] {n} + [ø]T [C] [ø] {n} + [ø]T [K] [ø] {n} = [ø]T { f (t) } - [M] {d} (ec-66)

Fig. 30 Fuerzas excitación externa en cada masa inercial, y excitación sísmica en la base.

La transformación conduce a coordenadas generalizadas, cuyas matrices generalizadas resultan ser matrices

diagonales, en consecuencia, se tiene un sistema de ecuaciones desacopladas. Para el caso en que la excitación

externa que actúa en las masas inerciales es nula: { f (t) }={0}, la ecuación (66) para el I-esimo modo de vibración

esta dado por:

* * * * * * *

MI nI + CI nI + KI nI = ( xI dx + yI dy + I d) MI (ec-67)

* * *

Donde MI, CI y KI, es la masa inercial generalizada, el amortiguamiento generalizado y la rigidez generalizada

respectivamente; para el I-ésimo modo de vibración, y los factores de participación están dados por:

* M * * 2xM * * 3xM *


xI = øsI Mss / MI , yI = øsI Ms s / MI , I = øsI Ms s / MI

s=1 s=M+1 s=2xM+1

La Ecuación (67), se puede simplificar, haciendo las sustituciones:

* * * * *

w1 = KI / MI , v = CI / Cc , CI = 2 MI , w1 v ,

donde :

w1 = Frecuencia natural del modo I-ésimo.

vI = Fracción de amortiguamiento crítico del modo I-ésimo.

Cc = Coeficiente de amortiguamiento crítico de la estructura.

* *

ni (t) + 2 Vi Wi ni (t) + Wi2 ni (t) = - xi dx - yi dx - i d (ec-68)

Entonces la ecuación del movimiento (68), es análoga a la ecuación para el movimiento en el plano, pero

con la diferencia, de que el miembro de la derecha está en función de las tres componentes de la aceleración

excitadora en la base cuya integración requiere de los espectros de respuesta en las tres direcciones.

6.7. RESPUESTA SISMICA DE LA ESTRUCTURA POR EL PROCEDIMIENTO ESPECTRAL

Si se asume que no existe excitación sísmica en la base torsión la ecuación (67) queda así:

* *

nI (t) + 2 VI WI nI (t) + WI 2

NI (t) = - xI dy - yI dy (ec-69)

Para encontrar la respuesta de la estructura se aplica el principio de superposición, en cuyo caso solo se

considera la excitación sísmica en una sola dirección para posteriormente calcular la respuesta en la otra dirección.

Por lo tanto, la ecuación (69) queda así:

*

nI (t) + 2 VI WI nI (t) + WI 2

NI (t) = - UI dU , ( U=x o y )

(ec-69)

Comparada con aquella que se obtiene en el análisis dinámico en el plano, se halla su completa

correspondencia; en consecuencia, su integración es similar.

Se definen como espectros sísmicos de respuesta a las soluciones de la ecuación (70) que dependen de sus

características dinámicas y están definidos como:

SDI = nIA (t) max ESPECTRO DE DESPLAZAMIENTO

SVI = nIA (t) max ESPECTRO DE VELOCIDAD

SAI = nIA (t) + d max ESPECTRO DE ACELERACION ABSOLUTA

SDI , SVI , SAI , son las ordenadas espectrales que corresponden al modo de vibración Y.


El valor máximo de la solución NIM de la ecuación (70) se puede obtener a partir de la relación:

*

NIM = - xI SUI , I = 1, 2, 3, ..., N, y , U = D, V, A (ec-71)

y la respuesta de la estructura puede calcularse volviendo a transformar las coordenadas generalizadas a coordenadas

globales, con las expresiones utilizadas para el desacoplamiento de las ecuaciones del movimiento. Con la matriz de

transformación evaluamos la respuesta de la estructura:

[D] = [ø] [n] (ec-72)

donde [n] es una matriz diagonal conformada por los elementos de la respuesta para cada modo de vibración. La

matriz de la respuesta inercial para los modos de vibrar, es:

[F] = [M] [D] (ec-73)

donde, las submatrices columna de la matriz [F] representan la respuesta de la estructura para cada modo de

vibración, cuyos elementos nos permiten evaluar la respuesta de la estructura, mediante el empleo de las

probabilidades según Norma Técnica E0.60 de Sismo-Resistencia se computa con la siguiente expresión.

N N

FI RSC = FI2

J + FIJ / 2 (ec-74)

J=1 J=1

6.7.1 ESPECTRO DE DISEÑO DE LA ACELERACION ABSOLUTA (RNC)

El Espectro la Aceleración de diseño proporcionado por la Norma Peruana de Diseño Sismo resistente, es:

ZUSC g

SA = -------- (Espectro del diseño de la aceleración absoluta)

R

donde : C = 2.5(T/Tp) , 0 C 0.40

Ts = Periodo fundamental del suelo: 0.3 seg Ts 0.9 seg.

T = Periodo de vibración según el modo de vibrar.

Rd = Factor de ductilidad según la dirección de análisis.

U = Factor de uso.

Z = Factor de zona.

S = Factor de magnificación de suelo.


APLICACION DEL ANALISIS DINAMICO TRIDIMENSIONAL

Ejemplo.- Análisis Sísmico Tridimensional de un edificio de 1 sólo piso y 5 ejes. En la fig. 1e, se muestra el edificio

en planta y se proporcionan las rigideces laterales según cada eje, así mismo, también se proporciona la masa por

unidad de área horizontal (m = M / A = 1.20 Ton-m).

Fig.1e. Planta del Edificio de un solo nivel.

bh3 b = 8 bh3 b = 3

Txx1 = ----- Txx2 = ------

12 h = 7 36 h = 3

SOLUCION :

1. CALCULO DEL CENTROIDE DE LA MASA.

-----------------------------------------------------------------

Sección Xi Yi Ai Xi Ai Yi Ai

-----------------------------------------------------------------

1 4 3.50 56 224 196

2 7 1 -4.5 31.5 4.5

-----------------------------------------------------------------

51.5 192.5 191.5

_ Xi Ai 192.5

x = ---------- = -------- = 3.738 m.

Ai 51.5


_ Yi Ai 191.5

x = ---------- = -------- = 3.718 m.

Ai 51.5

NOTA: El centroide geométrico de la losa generalmente coincide con el centroide de la masa tributaria, por ello se ha considerado así :

2. CARACTERISTICAS GEOMETRICAS Y MASA INERCIAL.

CALCULO DE LAS CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE LA LOSA.

------------------------------------------------------------------------------------------

Sección Xi-X Yi-Y (Xi X)2Ai (Yi Y)

2Ai Ixxi Iyyi

------------------------------------------------------------------------------------------

1 0.262 -0.218 3.844 2.661 228.666 298.666

2 3.262 -2.718 -47.883 -33.244 -2.250 -2.250

-------------------------------------------------------------------------------------------

-44.039 -30.583 226.416 296.416

Ixx = Txxi + (yi - y)2 Ai = 226.416 - 30.583 = 195.833

Iyy = Tyyi + (Xi - x)2 Ai = 296.416 - 44.039 = 252.373

de donde calculamos el momento de inercia polar geométrica de la planta de la losa es:

Ixx = 195.833 M4

Iyy = 252.373 M4 J = Ixx + Iyy = 448.21 M4

y en el momento de inercia polar de masa es igual al producto de la masa por unidad de área por el momento de

inercia polar geométrico.

I = J m = J M / A = 448.21 x 1.20

I = 537.852 Ton-m2

y la masa inercial es:

Mx = My = m A = 1.20 x 51.5 = 61.8 Ton

y con ellos se forma la matriz de masa inercial :

61.8 0 0

[M] = 0 61.8 0

0 0 537.852 3x3

3. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE R IGIDEZ TRIDIMENSIONAL.

Esta matriz es ensamblada en base a la teoría desarrollada en los párrafos anteriores:


CUADRO I

DE LAS COORDENADAS POLARES Y RIGIDECES DE LOS PORTICOS .

------------------------------------------------------------

Pórtico: K rdk[m] Âk ßk Kpk[Ton/m]

------------------------------------------------------------

1 3.568 270° O° 3000

2 3.132 90° O 2400

3 4.112 0° 45 1500

4 3.588 180° 9O 1500

5 4.112 0° 9O 900

------------------------------------------------------------

3.1. Matríz de Rigidez Tridimensional Total de la Estructura.

Estas matrices se ensamblan en base a la ecuación (47b).

Cos¨ß Cosß Senß rdk Cosß Sen (ß-Â)

[Kk] = KpkSenß Cosß Sen¨ß rdk Senß Cosß(ß-Â)

rdk Cosß Sen(ß-Â) rdk Senß Sen(ß-Â) rd¨k Sen¨(ß-Â) k

reemplazando en esta ecuación por los valores presentados en el cuadro de coordenadas polares y rigideces de los

pórticos, obtenemos, las matrices de los pórticos en tres dimensiones:

1 0 +3.568

[K1] = 3000 0 0 0 (pórtico 1).

3.568 0 12.731

1 0 +3.132

[K2] = 2400 0 0 0 (pórtico 2).

-3.132 0 9.809

0.5 0.5 2.056

[K3] = 1500 0.5 0.5 2.056 (pórtico 3).

2.056 2.056 8.454

0 0 0

[K4] = 1500 0 1 -3.588 (pórtico 4).

0 -3.588 12.874

0 0 0

[K5] = 900 0 1 4.112 (pórtico 5).

0 4.112 16.909

y la matriz de rigidez tridimensional total de la estructura se calcula sumando todas las matrices de los pórticos; es

decir:

s 6150 750 6271.2

[K] = ð [Kk] = 750 3150 1402.8

k=1 6271.2 1402.8 108944.7

4. CENTRO DE RIGIDEZ.


El centro de Rigideces se calcula en base a la matriz de rigidez tridimensional total de la estructura

(aplicando al ecuación de la sección 6.4.1), tenemos :

+ 1042.8

Xr = --------- = + 0.445 m.

3150

- 6271.2

Yr = --------- = - 1.020 m.

6150

Fig. 2e Centro de Rigidez de la Estructura.

5) ECUACIONES DE EQUILIBRIO DINAMICO TRIDIMENSIONAL DE LA ESTRUCTURAL.

El vector de fuerzas restauradoras se equilibra con el vector de fuerzas inerciales y de

amortiguamiento; esto es:

[M] ( {D}+{d}) + [C]{D} + [K]{D} = {O}

[M]{D} + [C]{D} + [K]{D} = -[M]{d}

Esta ecuación matricial, contiene un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, cuya solución se

encuentra por el método espectral y el desacoplamiento de las ecuaciones se realiza mediante el análisis modal.

Los desplazamientos, la velocidad y la aceleración del centro de masas de la estructura, tienen la siguiente

configuración:

Dx Dx Dx

{D} = Dy {D} = Dy {D} = Dy

De De De

el vector de aceleración del terreno {d}, es:

dx

{d} = dy

de

analisis tridimensional 2012 fcp005 ordenando

Engineering