Analisis Real II
Renato Benazic
December 6, 2009
Prefacio
Renato Benazic
Introduccion
Contenido
1 Diferenciabilidad de funciones de Rm en Rn 11.1 Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 El Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Funciones de clase Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 El Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Principio de diferenciabilidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Sucesiones y Series de Funciones 212.1 Sucesion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Convergencia Uniforme y Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Series de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 La Curva de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 La Funcion de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Funciones Definidas Implıcitamente 343.1 Difeomorfismos Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 El Teorema de la Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Inmersiones y Sumersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 El Teorema del Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Introduccion a la Teorıa de Superficies en Rn 504.1 Definicion de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Cambios de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 El Espacio Tangente a una Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 Superficies Definidas Implıcitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Integrales Multiples 66
3
5.1 La Definicion de Integral sobre m-bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Propiedades Basicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Conjuntos de Medida Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4 Caracterizacion de las Funciones Riemann Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 Integracion Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.6 Integrales sobre Conjuntos J-medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.7 Particiones de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.8 Integrales sobre conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.9 Cambio de Variables en la Integral Multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6 Formas Diferenciables en Rm 1096.1 Preliminares Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2 Formas Alternadas y Producto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Algebras de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4 Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.5 Pull-back de Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.6 La Diferencial Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7 Integrales de Superficie 1347.1 La integral de una k-forma diferencial sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.2 Superficies con frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3 El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Capıtulo 1
Diferenciabilidad de funciones de Rm
en Rn
1.1 Funciones Diferenciables
Definicion 1.1.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → Rn, a ∈ U y denotemos Ua = h ∈ Rm; a + h ∈ U.
1. Decimos que f es diferenciable en a si y solo si existe T ∈ L(Rm,Rn) tal que
f(a + h) = f(a) + T (h) + ra(h), ∀ h ∈ Ua
en donde limh→0
ra(h)‖h‖
= 0.
2. Decimos que f es diferenciable en U si y solo si f es diferenciable en a, ∀ a ∈ U .
Observaciones:
1. Si f es diferenciable en a entonces la transformacion lineal es unica (ejercicio) y sera denotada porf ′(a).
2. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U entonces f ′(a) ∈ L(Rm,Rn).
3. La funcion ra : Ua → Rn es llamada resto y por el hecho de satisfacer la propiedad limh→0
ra(h)‖h‖
= 0,
se acostumbra a decir que ra es un resto de orden 1. Es necesario enfatizar que este resto dependedel punto a (y de la funcion f).
4. Intuitivamente, una funcion f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en el punto a ∈ U si y solo si enuna vecindad de a puede ser aproximada por una transformacion lineal (su derivada).
1
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Ejemplo 1.1.1 Sea f : Rm → Rn la funcion constante f(x) = c, ∀ x ∈ Rm. Dado cualquier a ∈ Rm secumple
f(a + h) = f(a) = f(a) + θ(h) + 0(h), ∀h ∈ Rm
Se sigue que f es diferenciable en Rm y f ′(a) = θ, ∀ a ∈ Rm.
Ejemplo 1.1.2 Sea T ∈ L(Rm,Rn), dado cualquier a ∈ Rm se cumple
T (a + h) = T (a) + T (h) = T (a) + T (h) + 0(h), ∀h ∈ Rm
Se sigue que T es diferenciable en Rm y T ′(a) = T , ∀ a ∈ Rm.
Ejemplo 1.1.3 Sea ϕ : Rm × Rn → Rp una transformacion bilineal, dado cualquier a = (a1, a2) ∈Rm × Rn, para h = (h1, h2) ∈ Rm × Rn tenemos
ϕ(a + h) = ϕ(a1 + h1, a2 + h2) = ϕ(a1, a2) + ϕ(a1, h2) + ϕ(h1, a2) + ϕ(h1, h2) (1.1)
Sea T : Rm × Rn → Rp definida por
T (h1, h2) = ϕ(a1, h2) + ϕ(h1, a2)
Un facil calculo muestra que T es una transformacion lineal. Por otro lado, como ϕ es bilineal, existe unC > 0 tal que
‖ϕ(x, y)‖ ≤ C‖x‖ ‖y‖, ∀x ∈ Rm ∀ y ∈ Rn
luego‖ϕ(h1, h2)‖‖(h1, h2)‖
≤ C‖h1‖ ‖h2‖‖(h1, h2)‖
≤ C‖(h1, h2)‖
Se sigue que
limh→0
‖ϕ(h1, h2)‖‖(h1, h2)‖
= 0
De (1.1) se sigue ϕ es diferenciable en Rm×Rn y para cualquier (a1, a2) ∈ Rm×Rn la derivada ϕ′(a1, a2) ∈L(Rm × Rn,Rp) es dada por
ϕ′(a1, a2)(h1, h2) = ϕ(a1, h2) + ϕ(h1, a2)
Ejemplo 1.1.4 Sea ϕ : Rm × Rm → R dada por ϕ(x, y) = 〈x, y〉. Claramente ϕ es bilineal, luego por elejemplo anterior ϕ es diferenciable en Rm × Rm y la transformacion lineal ϕ′(a1, a2) ∈ L(Rm × Rm,R)es dada por
ϕ′(a1, a2)(h1, h2) = 〈a1, h2〉+ 〈h1, a2〉
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Ejemplo 1.1.5 Podemos generalizar el Ejemplo 1.1.3. En efecto, sea ϕ : Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk →Rn una transformacion k-lineal. Queda como ejercicio para el lector probar que ϕ es diferenciable enRm1 × Rm2 × · · · × Rmk y para cualquier a = (a1, a2, . . . , ak) ∈ Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk , la derivada
ϕ′(a) ∈ L(Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk ,Rn)
es dada por
ϕ′(a1, a2, . . . , ak)(h1, h2, . . . , hk) =k
∑
i=1
ϕ(a1, . . . , ai−1, hi, ai+1, . . . , ak)
Ejemplo 1.1.6 Como aplicacion del Ejemplo 1.1.5, vamos a analizar la funcion determinante. Primera-mente recordemos que
Rn×n ≈ Rn × Rn × · · · × Rn︸ ︷︷ ︸
n veces≈ Rn2
vıa el isomorfismo:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
......
an1 an2 . . . ann
=
A1A2...
An
←→ (A1, A2, . . . , An)
donde Ai = (ai1, ai2, . . . , ain) ∈ Rn. De esta manera la funcion determinante
det : Rn × · · · × Rn → R(A1, . . . , An) 7→ det(A1, . . . , An)
es una aplicacion n-lineal. Por el Ejemplo 1.1.5, la funcion det es diferenciable en Rn×· · ·×Rn y ademaspara A = (A1, . . . , An) ∈ Rn×n, la derivada det′(A) ∈ L(Rn×n;R) es dada por
det′(A1, . . . , An)(H1, . . . , Hn) =n
∑
i=1
det(A1, . . . , Ai−1,Hi, Ai+1, . . . , An)
Proposicion 1.1.1 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn y a ∈ U . Son equivalentes
1. f es diferenciable en a.
2. f1, . . . , fn son diferenciables en a.
En caso afirmativo se tienef ′(a) = (f ′1(a), . . . , f ′n(a))
Demostracion. (⇒) Por hipotesis se tiene que
f(a + h) = f(a) + f ′(a)(h) + ra(h), ∀ h ∈ Ua
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en donde limh→0
ra(h)‖h‖
= 0. Haciendo f ′(a) = (T1, . . . , Tn) y ra = (r1,a, . . . , rn,a), donde Ti ∈ (Rm)∗ y
ri,a : Ua → R, tenemos
fi(a + h) = fi(a) + Ti(h) + ri,a(h)
= fi(a) + 〈ui, h〉+ ri,a(h), ∀ h ∈ Ua
en donde limh→0
ri,a(h)‖h‖
= 0 y ui ∈ Rm es el vector que representa al funcional lineal Ti, es decir Ti(x) =
〈ui, x〉, ∀ x ∈ Rm.Concluimos que fi es diferenciable en a y Ti = f ′i(a).
(⇐) Ejercicio.
Corolario. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U entonces f es continua en a.
Definicion 1.1.2 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → Rn, a ∈ U y v ∈ Rm. La derivada direccional de f
en a en la direccion de v, denotada por∂f∂v
(a), es definida como
∂f∂v
(a) = limt→0
f(a + tv)− f(a)t
cuando tal lımite existe.
Observaciones:
1.∂f∂v
(a) ∈ Rn.
2. Cuando n = 1, tenemos la definicion de derivada direccional que estudiamos en el curso anterior.
3. Podemos interpretar geometricamente∂f∂v
(a) de la manera siguiente: Sea δ > 0 suficientemente
pequeno tal que t ∈ Iδ(0) ⇒ a + tv ∈ U . Consideremos el camino rectilıneo
αv : Iδ(0) → Ut 7→ αv(t) = a + tv
luegof αv : Iδ(0) → Rn
t 7→ (f αv)(t)
es un camino en Rn. Observe que
f(a + tv)− f(a)t
=(f αv)(t)− (f αv)(0)
t
Concluımos que existe la derivada direccional∂f∂v
(a) si y solo si f αv es diferenciable en 0 y encaso afirmativo
∂f∂v
(a) = limt→0
f(a + tv)− f(a)t
= limt→0
(f αv)(t)− (f αv)(0)t
= (f αv)′(0)
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Concluimos tambien que∂f∂v
(a) es el vector tangente en el punto f(a) del camino f αv.
4. Sea f : U ⊆ Rm → Rn una funcion que admite todas sus derivadas direccionales en el punto a ∈ U .Podemos definir la funcion
Tf,a : Rm → Rn
v 7→ Tf,a(v) =∂f∂v
(a)
Proposicion 1.1.2 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn a ∈ U y v ∈ Rm. Son equivalentes
1. Existe∂f∂v
(a).
2. Existen∂f1
∂v(a), . . . ,
∂fn
∂v(a).
En caso afirmativo se tiene∂f∂v
(a) =(
∂f1
∂v(a), . . . ,
∂fn
∂v(a)
)
Demostracion. Para t ∈ R− 0 tal que tv ∈ Ua, tenemos
f(a + tv)− f(a)t
=(
f1(a + tv)− f1(a)t
, . . . ,fn(a + tv)− fn(a)
t
)
luego existe∂f∂v
(a) si y solo si existe el limt→0
f(a + tv)− f(a)t
si y solo si existen limt→0
fi(a + tv)− fi(a)t
,
∀ 1 ≤ i ≤ n si y solo si existen∂fi
∂v(a), ∀ 1 ≤ i ≤ n.
Ademas∂f∂v
(a) = limt→0
f(a + tv)− f(a)t
=(
∂f1
∂v(a), . . . ,
∂fn
∂v(a)
)
Notacion: Cuando v = ei, escribiremos∂f∂xi
(a) en vez de∂f∂ei
(a). Por la proposicion anterior
∂f∂xi
(a) =(
∂f1
∂xi(a), . . . ,
∂fn
∂xi(a)
)
, ∀ 1 ≤ i ≤ m
Observaciones:
1. Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn diferenciable en a ∈ U . Dado v ∈ Rm, tomamost ∈ R tal que tv ∈ Ua. Por la diferenciabilidad tenemos
f(a + tv) = f(a) + f ′(a)(tv) + ra(tv)
luegof(a + tv)− f(a)
t= f ′(a)(v) +
ra(tv)t
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se sigue que
limt→0
f(a + tv)− f(a)t
= f ′(a)(v)
luego, hemos probado que si f es diferenciable en a entonces existen todas las derivadas direccionales∂f∂v
(a) y f ′(a)(v) =∂f∂v
(a), ∀ v ∈ Rm .
2. Si f es diferenciable en a entonces podemos considerar la funcion
f ′(a) : Rm → Rn
v 7→ f ′(a)(v) =∂f∂v
(a)
3. Vamos a hallar la matriz asociada a la transformacion lineal f ′(a) en las bases canonicas de Rm yRn. Si f = (f1, . . . , fn) es diferenciable en a, entonces para 1 ≤ i ≤ m tenemos
f ′(a)(ei) =∂f∂xi
(a) =(
∂f1
∂xi(a),
∂f2
∂xi(a), . . . ,
∂fn
∂xi(a)
)
=∂f1
∂xi(a)e1 +
∂f2
∂xi(a)e2 + . . . +
∂fn
∂xi(a)en
Luego, la matriz asociada a f ′(a) en las bases canonicas es dada por
∂f1
∂x1(a)
∂f1
∂x2(a) . . .
∂f1
∂xm(a)
∂f2
∂x1(a)
∂f2
∂x2(a) . . .
∂f2
∂xm(a)
......
...∂fn
∂x1(a)
∂fn
∂x2(a) . . .
∂fn
∂xm(a)
=
∇f1(a)∇f2(a)
...∇fn(a)
=[
∂f∂x1
(a),∂f∂x2
(a), · · · , ∂f∂xm
(a)]
∈ Rn×m
Esta matriz es llamada Matriz Jacobiana de f en a y se denota por Jf(a) o∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm)
(a).
4. Si f : U → R es diferenciable en a ∈ U entonces Jf(a) = ∇f(a).
5. Si f : I ⊆ R→ Rn es diferenciable en a ∈ I entonces Jf(a) ∈ Rn×1 ≈ R1×n, mas aun
Jf(a) =
f ′1(a)f ′2(a)
...f ′n(a)
←→ (f ′1(a), f ′2(a), . . . , f ′n(a)) ∈ Rn
6. Si f : I ⊆ R→ R es diferenciable en a ∈ I entonces Jf(a) ∈ R1×1 ≈ R, mas aun
Jf(a) = f ′(a) ∈ R
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Ejemplo 1.1.7 Vamos a hallar las derivadas parciales de la funcion determinante. Denotemos porEij ∈ Rn×n a la matriz cuya entrada ij es 1 y todas las otras entradas son ceros, es decir
Eij =
θ...θej
θ...θ
←→ ( θ, . . . , θ︸ ︷︷ ︸
i−1 veces
, ej , θ, . . . , θ).
Por ejemplo E24 ∈ R4×4 serıa
E24 =
0 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0
←→ (θ, e4, θ, θ)
Es claro que Eij es una base de Rn×n, llamada base canonica. Para A ∈ Rn×n tenemos
∂ det∂xij
(A) = det′(A)(Eij) = det′(A1, . . . , An)(θ, . . . , θ, ej , θ, . . . , θ)
= det(θ, A2, . . . , An) + · · ·+ det(A1, . . . , Ai−1, ej , Ai+1, . . . , An) + · · ·+ det(A1 . . . , An−1, θ)
= det(A1, . . . , Ai−1, ej , Ai+1, . . . , An) = (−1)i−1 det(ej , A1, . . . , Ai−1, Ai+1, . . . , An)
= (−1)i+jA[i,j]
donde A[i,j] es el determinante de la matriz obtenida de A suprimiendo la i-esima fila y la j-esima columna.
Como caso particular, si A =
x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33
∈ R3×3 entonces
∂ det∂x23
(A) = (−1)2+3A[2,3] = − det(
x11 x12
x31 x32
)
= x12x31 − x11x32
1.2 La Regla de la Cadena
Teorema 1.2.1 (Regla de la Cadena) Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos, f : U → V diferenciable ena ∈ U y g : V → Rp diferenciable en f(a) ∈ V . Entonces g f : U → Rp es diferenciable en a y
(g f)′(a) = g′(f(a))f ′(a)
Demostracion. Sea g = (g1, . . . , gp), por la Proposicion 1.1.1 las funciones gk : V → R son diferenciablesen f(a), (k = 1, . . . , p), luego (ver Analisis I) las funciones gk f : U → R son diferenciables en a,
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(k = 1, . . . , p), nuevamente por la Proposicion 1.1.1 se sigue que g f = (g1 f, . . . , gp f) es diferenciableen a.
Por otro lado, para v ∈ Rm tenemos:
(g f)′(a)(v) = ((g1 f)′(a), . . . , (gn f)′(a)) (v) = (g′1(f(a))f ′(a)(v), . . . , g′n(f(a))f ′(a)(v))= (g′1(f(a)), . . . , g′n(f(a))) (f ′(a)(v)) = (g′(f(a)) f ′(a)) (v)
Se deduce que (g f)′(a) = g′(f(a))f ′(a).
La “version matricial” de la Regla de la Cadena viene dada en el siguiente resultado.
Corolario 1. Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos, f : U → V diferenciable en a ∈ U y g : V → Rp
diferenciable en f(a) ∈ V . Entonces
J(g f)(a) = Jg(f(a)) · Jf(a)
Observaciones.
1. Haciendo f = (f1, . . . , fn) y g = (g1, . . . , gp) se tiene que g f = (g1 f, . . . , gp f), luego
∂(g1 f, . . . , gp f)∂(x1, . . . , xm)
(a) =∂(g1, . . . , gp)∂(y1, . . . , yn)
(f(a)) · ∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm)
(a)
Se sigue que
∂(gk f)∂xi
(a) =n
∑
j=1
∂gk
∂yj(f(a))
∂fj
∂xi(a) ∀ 1 ≤ i ≤ m, ∀ 1 ≤ k ≤ np.
2. Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos, f : U → V diferenciable en U y g = (g1, . . . , gp) : V → Rp
diferenciable en V , con f(U) ⊆ V entonces
∂(gk f)∂xi
=n
∑
j=1
(
∂gk
∂yj f
)
∂fj
∂xi∀ 1 ≤ i ≤ m, ∀ 1 ≤ k ≤ p.
Corolario 2. Sean U ⊆ Rm abierto, f, g : U → Rn diferenciables en a ∈ U y r ∈ R. Se cumplen
1. f + g : U → Rn es diferenciable en a y (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).
2. f − g : U → Rn es diferenciable en a y (f − g)′(a) = f ′(a)− g′(a).
3. rf : U → Rn es diferenciable en a y (rf)′(a) = rf ′(a).
4. Si n = 3 entonces f + g : U → R3 es diferenciable en a y (f × g)′(a) = f ′(a)× g(a) + f(a)× g′(a).
Corolario 3. Sean U ⊆ Rm abierto, f, g : U → Rn diferenciables en a ∈ U y ϕ : Rn ×Rn → Rp bilineal.Entonces la funcion
ϕ(f, g) : U → Rp
x 7→ ϕ(f, g)(x) = ϕ(f(x), g(x))
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es diferenciable en a y
(ϕ(f, g))′ (a)(v) = ϕ(f ′(a)(v), g(a)) + ϕ(f(a), g′(a)(v))
Demostracion. Observe que ϕ(f, g) = ϕ (f, g) la cual es diferenciable en a. Ademas
(ϕ(f, g))′ (a)(v) = (ϕ (f, g))′ (a)(v) = ϕ′(f(a), g(a))(f ′(a)(v), g′(a)(v))
= ϕ(f ′(a)(v), g(a)) + ϕ(f(a), g′(a)(v))
Corolario 4. Sean U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn diferenciable en a ∈ U . Suponga que existef−1 : V → Rm donde V ⊆ Rn es abierto y f−1 es diferenciable en f(a). Entonces f ′(a) ∈ L(Rm,Rn) esun isomorfismo cuyo inverso es (f−1)′(f(a)) ∈ L(Rn,Rm). En particular n = m.
Demostracion. f f−1 = idV y f−1 f = idU , por la regla de la cadena:
(f f−1)′(f(a)) = I =⇒ f ′(a) · (f−1)′(f(a)) = I
Analogamente (f−1)′(f(a)) · f ′(a) = I
1.3 El Teorema de Schwarz
Definicion 1.3.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → Rn y a ∈ U . Decimos que f es dos veces diferenciableen a si y solo si
1. f es diferenciable en U .
2. Las derivadas parciales∂f∂x1
, . . . ,∂f
∂xm: U → Rn son diferenciables en a.
Proposicion 1.3.1 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn y a ∈ U . Son equivalentes
1. f es dos veces diferenciable en a
2. Las funciones coordenadas f1, . . . , fn : U → R son dos veces diferenciables en a.
Demostracion. Ejercicio.
Observacion: Sea f = (f1, . . . , fn) : U ⊆ Rm → Rn dos veces diferenciable en a ∈ U entonces, pordefinicion, f es diferenciable en U , luego podemos considerar la funcion derivada f ′ : U → L(Rm,Rn) ≈Rn×m que a cada x ∈ U le asocia f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) ≈ Rn×m. Usando la identificacion canonica entreRn×m y Rnm, tenemos
f ′(x) =
∂f1
∂x1(x) . . .
∂f1
∂xm(x)
∂f2
∂x1(x) . . .
∂f2
∂xm(x)
......
∂fn
∂x1(x) . . .
∂fn
∂xm(x)
=(
∂f1
∂x1(x), . . . ,
∂f1
∂xm(x), . . . ,
∂fn
∂x1(x), . . . ,
∂fn
∂xm(x)
)
Analisis Real II 10
Por la definicion de funcion dos veces diferenciable se sigue que las funciones coordenadas de f ′ sondiferenciables en a, luego f ′ es diferenciable en a.
Notacion:∂2f
∂v∂w(a) =
∂∂v
(
∂f∂w
)
(a), ∀ v, w ∈ Rm.
Teorema 1.3.2 (Teorema de Schwartz) Sea U ⊆ Rm abierto, y f : U → Rn funcion dos vecesdiferenciable en a ∈ U . Entonces
∂2f∂xi∂xj
(a) =∂2f
∂xj∂xi(a), ∀ 1 ≤ i, j ≤ m
Demostracion. Sea f = (f1, . . . , fn) entonces fk : U → R son dos veces diferenciables en a ∈ U ,∀ 1 ≤ k ≤ n, luego:
∂2f∂xj∂xi
(a) =∂
∂xj
∂f∂xi
(a) =(
∂∂xj
∂f1
∂xi(a), . . . ,
∂∂xj
∂fn
∂xi(a)
)
=(
∂2f1
∂xj∂xi(a), . . . ,
∂2fn
∂xj∂xi(a)
)
=(
∂2f1
∂xi∂xj(a), . . . ,
∂2fn
∂xi∂xj(a)
)
=∂
∂xi
(
∂f1
∂xj(a), . . . ,
∂fn
∂xj(a)
)
=∂
∂xi
∂f∂xj
(a)
=∂2f
∂xi∂xj(a)
Corolario. Sean U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn dos veces diferenciable en a ∈ U . Entonces
∂2f∂v∂w
(a) =∂2f
∂w∂v(a), ∀ v, w ∈ Rm
Teorema 1.3.3 Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn funcion dos veces diferenciable en a ∈ U . Entonces
ϕf,a : Rm × Rm → Rn
(v, w) 7→ ϕf,a(v, w) =∂2f
∂w∂v(a)
es una transformacion bilineal simetrica.
Demostracion. La simetrıa es consecuencia del corolario anterior. Vamos a probar la bilinealidad:
ϕf,a(v, c1w1 + c2w2) =∂
∂(c1w1 + c2w2)
(
∂f∂v
)
(a) =(
∂f∂v
)′
(a)(c1w1 + c2w2)
= c1
(
∂f∂v
)′
(a)(w1) + c2
(
∂f∂v
)′
(a)(w2) = c1∂2f
∂w1∂v(a) + c2
∂2f∂w2∂v
(a)
= c1ϕf,a(v, w1) + c2ϕf,a(v, w2)
Usando la simetrıa se prueba la linealidad con respecto a la primera variable.
A continuacion vamos a averiguar que tipo de objeto es la segunda derivada f ′′(a) = (f ′)′(a) de unafuncion dos veces diferenciable en a.
Analisis Real II 11
Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn una funcion dos veces diferenciable en a ∈ U , por la observacionanterior sabemos que f ′ : U → L(Rm,Rn) es diferenciable en a, luego
f ′′(a) = (f ′)′(a) ∈ L (Rm,L(Rm,Rn))
Pero del algebra lineal, se sabe que existe un isomorfismo entreL (Rm,L(Rm,Rn)) y
L2(Rm,Rn) = ϕ : Rm × Rm → Rn : ϕ es bilineal
que asocia a cada transformacion lineal T : Rm → L(Rm,Rn) la transformacion bilineal BT : Rm×Rm →Rn definida por BT (v, w) = T (w)(v). (¡Ejercicio!). Vamos a determinar la transformacion bilinealasociada a f ′′(a). Si f = (f1, . . . , fn) entonces por la definicion de funcion dos veces diferenciable en a yla Proposicion 1.1.1 tenemos que f ′ = (f ′1, . . . , f
′n) : U → L(Rm,Rn) es diferenciable en a. Dado w ∈ Rm
tenemos
f ′′(a)(w) = (f ′)′(a)(w) =∂f ′
∂w(a) =
(
∂f ′1∂w
(a), . . . ,∂f ′n∂w
(a))
(1.2)
Por otro lado, como fi (1 ≤ i ≤ n) es dos veces diferenciable en a entonces f ′i : U → (Rm)∗ es
diferenciable en a y desde que f ′i puede ser identificado con el vector gradiente(
∂fi
∂x1, . . . ,
∂fi
∂xn
)
, por
Schwarz obtenemos
∂f ′i∂w
(a) =∂
∂w
(
∂fi
∂x1(a), . . . ,
∂fi
∂xm(a)
)
=(
∂∂x1
(
∂fi
∂w
)
(a), . . . ,∂
∂xm
(
∂fi
∂w
)
(a))
=(
∂fi
∂w
)′
(a) (1.3)
De (1.2) y (1.3)
f ′′(a)(w) =
(
(
∂f1
∂w
)′
(a), . . . ,(
∂fn
∂w
)′
(a)
)
=(
∂f∂w
)′
(a)
y por tanto
f ′′(a)(w)(v) =(
∂f∂w
)′
(a)(v) =∂2f
∂v∂w(a) = ϕf,a(v, w)
De esta manera ϕf,a es la transformacion bilineal asociada a f ′′(a), es decir podemos considerar f ′′(a)como
f ′′(a) : Rm × Rm → Rn
(v, w) 7→ f ′′(a)(v, w) =∂2f
∂v∂w(a)
1.4 Funciones de clase Ck
Definicion 1.4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn
1. Decimos que f es de clase C1 en U si y solo si se cumple
(a) Existen las derivadas parciales∂f∂x1
(x), . . . ,∂f
∂xm(x), ∀x ∈ U .
Analisis Real II 12
(b) Las funciones∂f∂x1
, . . . ,∂f∂x1
: U → Rn son continuas en U .
2. Decimos que f es de clase Ck en U (k ≥ 2) si y solo si se cumple
(a) Existen las derivadas parciales∂f∂x1
(x), . . . ,∂f
∂xm(x), ∀x ∈ U .
(b) Las funciones∂f∂x1
, . . . ,∂f∂x1
: U → Rn son de clase Ck−1 en U .
3. Decimos que f es de clase C∞ en U si y solo si f es de clase Ck en U , ∀ k ∈ N.
Notaciones:
1. Ck(U ;Rn) = f : U → Rn; f es de clase Ck en U (k ≥ 1).
2. C0(U ;Rn) = C(U ;Rn) = f : U → Rn; f es continua en U.
3. C∞(U ;Rn) = f : U → Rn; f es de clase C∞ en U.
Observaciones:
1. C∞(U ;Rn) =∞⋂
k=1
Ck(U ;Rn).
2. C∞(U ;Rn) ⊂ · · · ⊂ Ck(U ;Rn) ⊂ Ck−1(U ;Rn) ⊂ · · · ⊂ C1(U ;Rn) ⊂ C(U ;Rn).
3. f ∈ Ck(U ;Rn) si y solo si∂f∂xi
∈ Ck−1(U ;Rn), ∀ 1 ≤ i ≤ m.
4. Cuando n = 1 denotamos Ck(U) en vez de Ck(U ;R).
Proposicion 1.4.1 Sea U ⊆ Rm abierto y f = (f1, . . . , fn) : U → Rn. Son equivalentes
1. f ∈ Ck(U ;Rn).
2. f1, . . . , fn ∈ Ck(U).
Demostracion. Ejercicio.
Corolario. Sean U ⊆ Rm abierto, f, g ∈ Ck(U ;Rn) y c ∈ R entonces f + g, cf ∈ Ck(U ;Rn). Ademas, sidefinimos φ : U → Rn × Rn ≈ R2n como φ(x) = (f(x), g(x)), ∀ x ∈ U entonces φ ∈ Ck(U ;R2n).
Demostracion. Ejercicio.
Proposicion 1.4.2 Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos y f : U → Rn, g : V → Rp con f(U) ⊆ V . Sif ∈ Ck(U ;Rn) y g ∈ Ck(V ;Rp) entonces g f ∈ Ck(U ;Rp).
Analisis Real II 13
Demostracion. Si f = (f1, . . . , fn) y g = (g1, . . . , gp) entonces g f = (g1 f, . . . , gp f). De la hipotesisy la Proposicion 1.4.1 se sigue que fj ∈ Ck(U), ∀ 1 ≤ j ≤ n y gl ∈ Ck(V ), ∀ 1 ≤ l ≤ p. Sabemos que
∂(gl f)∂xi
=n
∑
j=1
(
∂gl
∂yj f
)
∂fj
∂xi
luego∂(gl f)
∂xi∈ Ck−1, ∀ 1 ≤ i ≤ n. Se sigue que gl f ∈ Ck(U), ∀ 1 ≤ l ≤ p, es decir g f ∈ Ck(U ;Rp),
lo que finaliza la prueba.
Es claro que las funciones constantes son de clase C∞ en Rm, a continuacion, daremos otros ejemplosde funciones de clase C∞.
Ejemplo 1.4.1 Si T ∈ L(Rm,Rn) entonces T ∈ C∞(Rm,Rn). En efecto, fijando v ∈ Rm, por el Ejemplo1.1.2 tenemos
∂T∂v
(x) = T ′(x)(v) = T (v) = T φ(x)
donde φ(x) = v es la funcion constante. Luego∂T∂v
= T φ y de aquı se sigue el resultado.
Ejemplo 1.4.2 Si ϕ : Rm × Rn → Rp es bilineal entonces ϕ ∈ C∞(Rm × Rn;Rp). En efecto, fijandov = (v1, v2) ∈ Rm × Rn, para cualquier x = (x1, x2) ∈ Rm × Rn, por el Ejemplo 1.1.3 tenemos
∂ϕ∂v
(x) = ϕ′(x)(v) = ϕ(v1, x2) + ϕ(x1, v2)
Si definimos φ1, φ2 : Rm × Rn → Rm × Rn por φ1(x) = (v1, π2(x)) y φ2(x) = (π1(x), v2), entonces por elejemplo anterior y el corolario a la Proposicion 1.4.1 se tiene que φ1 y φ2 son funciones de clase C∞. Dela igualdad anterior tenemos que
∂ϕ∂v
= ϕ φ1 + ϕ φ2
De aquı se sigue que ϕ ∈ C∞(Rm × Rn;Rp).
A continuacion probaremos que la funcion que a toda matriz inversible le asigna su inversa, es unafuncion de clase C∞.
En primer lugar recordemos que con las operaciones usuales de suma de funciones y producto deun escalar por una transformacion lineal, el conjunto L(Rm;Rn) se torna un R-espacio vectorial. SeaT ∈ L(Rm;Rn) entonces ∃K > 0 tal que ‖T (x)‖ ≤ K‖x‖, ∀x ∈ Rm.
Si x 6= 0 entonces‖T (x)‖‖x‖
≤ K, luego el conjunto
‖T (x)‖‖x‖
: x ∈ Rm − 0
⊆ R
es acotado superiormente, luego existe su supremo, el cual sera denotado por ‖T‖, es decir
‖T‖ = sup
‖T (x)‖‖x‖
: x ∈ Rm − 0
Observaciones:
Analisis Real II 14
1.‖T (x)‖‖x‖
≤ ‖T‖, ∀x ∈ Rm − 0. Se sigue que ‖T (x)‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖, ∀ x ∈ Rm.
2. ‖T‖ = sup
‖T (x)‖ : x ∈ Sm−1.
Teorema 1.4.3 Se cumplen las siguientes propiedades:
1. ‖T‖ ≥ 0, ∀ T ∈ L(Rm;Rn).
2. ‖T‖ = 0 =⇒ T = 0.
3. ‖rT‖ = |r| ‖T‖, ∀ T ∈ L(Rm;Rn), ∀ r ∈ R.
4. ‖T1 + T2‖ ≤ ‖T1‖ + ‖T2‖, ∀ T1, T2 ∈ L(Rm;Rn).
5. ‖T1 T2‖ ≤ ‖T1‖ · ‖T2‖, ∀ T1 ∈ L(Rn;Rp), ∀ T2 ∈ L(Rm;Rn).
6. ‖Tn‖ ≤ ‖T‖n, ∀ T ∈ L(Rm) = L(Rm;Rm), ∀ n ∈ N.
Demostracion. Probaremos solamente (4) las demas quedaran como ejercicio para el lector. SeanT1, T2 ∈ L(Rm;Rn) y x ∈ Sm−1
‖(T1 + T2)(x)‖ ≤ ‖T1(x)‖+ ‖T2(x)‖ ≤ ‖T1‖+ ‖T2‖
Observacion. (L(Rm;Rn), ‖ · ‖) es un R-espacio normado isomorfo a Rn×m.Por otro lado A ∈ GL(Rm) ≈ Rm×m si y solo si det(A) 6= 0 si y solo si A ∈ det−1(R−0). Como det
es una funcion continua, concluimos que GL(Rm) ⊆ Rm×m ≈ Rm2es abierto. Denotemos U = GL(Rm).
Definimos f : U → Rm2por f(X) = X−1. Afirmo que f es diferenciable en U . En efecto, sea A ∈ U ,
vamos a “buscar un candidato” para f ′(A) y rA(H). Procediendo “informalmente” para H ∈ UA, seobserva que
f(A + H)− f(A) = (A + H)−1 −A−1 =[
A(I + A−1H)]−1 −A−1 = (I + A−1H)−1A−1 −A−1
=(
(I + A−1H)−1 − I)
A−1 = ((I −A−1H + · · ·)− I)A−1
= −A−1HA−1 + · · ·
Claramente TA : Rm2 → Rm2, definida por TA(H) = −A−1HA−1 es una transformacion lineal, la cual
serıa el “candidato” a f ′(A), luego el “candidato” a resto serıa rA : UA → Rm2definido por
rA(H) = f(A + H)− f(A)− TA(H)
Operando
rA(H) = (A + H)−1 −A−1 + A−1HA−1 = (A + H)−1 [
I − (A + H)A−1 + (A + H)A−1HA−1]
= (A + H)−1 [
I − I −HA−1 + HA−1 + HA−1HA−1] = (A + H)−1(HA−1)2
luego
‖rA(H)‖ = ‖(A + H)−1(HA−1)2‖ ≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖HA−1‖2 ≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖H‖2 · ‖A−1‖2
Analisis Real II 15
Para H 6= 0 se sigue que
‖rA(H)‖‖H‖
≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖H‖ · ‖A−1‖2 (1.4)
Lema 1.4.1 Si A ∈ GL(Rm) entonces existe C > 0 tal que si H ∈ L(Rm) es tal que ‖H‖ ≤ C, entonces
A + H ∈ GL(Rm) y ‖(A + H)−1‖ ≤ 1C
.
Demostracion. Sea C =1
2‖A−1‖. Dado x ∈ Rm se tiene
‖x‖ = ‖A−1Ax‖ ≤ ‖A−1‖ · ‖Ax‖
Se sigue que ‖Ax‖ ≥ 2C‖x‖, ∀ x ∈ Rm. Si H ∈ L(Rm) es tal que ‖H‖ ≤ C entonces
‖(A + H)x‖ = ‖Ax + Hx‖ ≥ ‖Ax‖ − ‖Hx‖ ≥ 2C‖x‖ − C‖x‖ = C‖x‖
Claramente esto implica que A + H es inyectiva y por tanto A + H ∈ GL(Rm). Ademas
‖x‖ = ‖(A + H)(A + H)−1x‖ ≥ C‖(A + H)−1x‖
de donde ‖(A + H)−1x‖ ≤ 1C‖x‖, luego ‖(A + H)−1‖ ≤ 1
C.
Del lema anterior y de (1.4): Dado ε > 0 tomemos δ < min
C,Cε
‖A−1‖2
. Si H ∈ UA es tal que
‖H‖ < δ, del lema anterior y de (1.4) tenemos
‖rA(H)‖‖H‖
≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖H‖ · ‖A−1‖2 <1C· Cε‖A−1‖2
· ‖A−1‖2 = ε
es decir limH→0
rA(H)‖H‖
= 0. Desde que A ∈ U fue arbitrario, concluimos que f es diferenciable en U y
f ′(A)(H) = −A−1HA−1, ∀ H ∈ L(Rm).
En particular f es continua en U .Para probar que f es de clase C∞, fijemos V ∈ L(Rm). Para cualquier X ∈ GL(Rm), se tiene
∂f∂V
(X) = f ′(X)(V ) = −X−1V X−1
Por otro lado, sea ϕ : L(Rm)×L(Rm) → L(Rm) dada por ϕ(X,Y ) = −XV Y . Es claro que ϕ es bilineal ypor tanto, de clase C∞. Si consideramos φ : U → U ×U definida por φ(X) = (f(X), f(X)), del corolarioa la Proposicion 1.4.1 tenemos que φ es continua. Observe que
(ϕ φ)(X) = ϕ(φ(X)) = ϕ(f(X), f(X)) = −X−1V X−1 =∂f∂V
(X) ∀ X ∈ U
Analisis Real II 16
luego∂f∂V
= ϕ φ
se sigue que∂f∂V
es continua, ∀ V ∈ Rm×m y por tanto f es de clase C1. Se tiene ahora que φ es de
clase C1 y por tanto∂f∂V
lo cual implica f de clase C2. Procediendo por induccion se tiene el resultadodeseado. Resumimos nuestros resultados en el siguiente:
Teorema 1.4.4 La funcion f : GL(Rn) → GL(Rn) definida por f(X) = X−1 es de clase C∞.
1.5 El Teorema de Taylor
Definicion 1.5.1 Sean U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn. Decimos que f es p veces diferenciable ena ∈ U (p ≥ 3) si solo si las funciones
∂f∂x1
,∂f∂x2
, · · · , ∂f∂xm
: U → Rn
son p− 1 veces diferenciables en a.
Proposicion 1.5.1 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn y a ∈ U . Son equivalentes
1. f es p veces diferenciable en a
2. f1, . . . , fn : U → R son p veces diferenciables en a.
Demostracion. Ejercicio.
Observacion: Si f ∈ Cp(U ;Rn) entonces f es p-veces diferenciable en a, ∀ a ∈ U . ¿Es cierto el recıproco?Dejamos la respuesta para el lector.
Sea f ∈ C2(U ;Rn), dado x ∈ U se tiene que f ′′(x) ∈ L2(Rm,Rn), luego podemos definir
f ′′ : U → L2(Rm;Rn)x 7→ f ′′(x)
Las derivadas de orden superior son definidas de manera analoga. Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn
funcion p veces diferenciable en a ∈ U . Definimos
f (p)(a) :
p veces︷ ︸︸ ︷
Rm × · · · × Rm → Rn
(v1, . . . , vp) 7→ f (p)(a)(v1, . . . , vp) =∂pf
∂vp · · · ∂v1(a)
Analisis Real II 17
No es difıcil probar que f (p)(a) es una transformacion p-lineal y simetrica. Si denotamos
Lp(Rm;Rn) =
ϕ :
p veces︷ ︸︸ ︷
Rm × · · · × Rm → Rn : ϕ es p-lineal
tenemos que f (p)(a) ∈ Lp(Rm;Rn). Si f ∈ Cp(U ;Rn) entonces f (p)(x) ∈ Lp(Rm;Rn), luego podemosdefinir
f (p) : U → Lp(Rm;Rn)x 7→ f (p)(x)
Notacion: f (p)(a)(v, v, · · · , v) = f (p)(a)vp.
Teorema 1.5.2 (Formula de Taylor Infinitesimal) Sea U ⊆ Rm abierto, y f : U → Rn funcion pveces diferenciable en a ∈ U . Entonces
f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +12!
f ′′(a)h2 + · · ·+ 1p!
f (p)(a)hp + ra(h), ∀h ∈ Ua
donde limh→0
ra(h)‖h‖p = 0.
Demostracion. Sea f = (f1, . . . , fn) entonces fk : U → R son p veces diferenciables en a ∈ U . Luegopara h ∈ Ua, se cumple:
fk(a + h) = fk(a) + f ′k(a)h +12!
f ′′k (a)h2 + · · ·+ 1p!
f (p)k (a)hp + rk
a(h)
donde limh→0
rka(h)‖h‖p = 0, ∀ 1 ≤ k ≤ n. Luego
f(a + h) = f(a) + (f ′1(a)h, . . . , f ′n(a)h) +12!
(f ′′1 (a)h2, . . . , f ′′n (a)h2) + · · ·+
+1p!
(f (p)1 (a)hp, . . . , f (p)
n (a)hp) + ra(h)
donde ra(h) = (r1a(h), . . . , rn
a (h). Se sigue que
f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +12!
f ′′(a)h2 + · · ·+ 1p!
f (p)(a)hp + ra(h), ∀h ∈ Ua
donde limh→0
ra(h)‖h‖p = 0.
Teorema 1.5.3 (Formula de Taylor con Resto de Lagrange) Sea U ⊆ Rm abierto, a ∈ U , h ∈Rm tal que [a, a + h] ⊆ U . Si f ∈ Cp(U ;Rn) es (p + 1) veces diferenciable en ]a, a + h[ con
∥
∥
∥f (p+1)(x)wp+1∥
∥
∥ ≤ M‖w‖p+1, ∀ x ∈ ]a, a + h[ ∀ w ∈ Rm
Analisis Real II 18
Entonces
f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +12!
f ′′(a)h2 + · · ·+ 1p!
f (p)(a)hp + ra(h), ∀h ∈ Ua
donde ‖ra(h)‖ ≤ M(p + 1)!
‖h‖p+1.
Demostracion. ¡Ejercicio!
Teorema 1.5.4 (Formula de Taylor con Resto Integral) Sea U ⊆ Rm abierto, a ∈ U , h ∈ Rm talque [a, a + h] ⊆ U . Si f ∈ Cp+1(U ;Rn) entonces
f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +12!
f ′′(a)h2 + · · ·+ 1p!
f (p)(a)hp +1p!
∫ 1
0(1− t)pf (p+1)(a + th)hp+1dt
Demostracion. ¡Ejercicio!
1.6 Principio de diferenciabilidad uniforme
Teorema 1.6.1 (Desigualdad del Valor Medio) Sea U ⊆ Rm abierto, f : U → Rn diferenciable enU , a ∈ U , h ∈ Rm tal que [a, a + h] ⊆ U . Si ∃M = sup‖f ′(x)‖; x ∈ ]a, a + h[ entonces
‖f(a + h)− f(a)‖ ≤ M‖h‖
Demostracion. Siα : [0, 1] → U
t 7→ α(t) = a + th
entoncesf α : [0, 1] → Rn
t 7→ (f α)(t) = f(a + th)
es un camino continuo en [0, 1] y diferenciable en ]0, 1[ , ademas para t ∈ ]0, 1[ , tenemos
‖(f α)′(t)‖ = ‖f ′(α(t))α′(t)‖ = ‖f ′(a + th)h‖ ≤ ‖f ′(a + th)‖ · ‖h‖ ≤ M‖h‖
Luego, por el T.V.M. para caminos:
‖f(a + h)− f(a)‖ = ‖(f α)(1)− (f α)(0)‖ ≤ M‖h‖
Corolario 1. Sean U ⊆ Rm abierto y convexo. Si f : U → Rn es diferenciable en U y ∃M =sup ‖f ′(x)‖; x ∈ U entonces f es Lipschitz y
‖f(x1)− f(x2)‖ ≤ M‖x1 − x2‖, ∀x1, x2 ∈ U
Corolario 2. Sean U ⊆ Rm abierto y conexo. Si f : U → Rn es diferenciable en U y f ′(x) = 0, ∀x ∈ U ,entonces f es constante.
Analisis Real II 19
Demostracion. Sea a ∈ U y consideremos A = x ∈ U : f(x) = f(a), B = x ∈ U : f(x) 6= f(a).Observe que A ∪ B = U y A ∩ B = ∅. Como f es continua, B es abierto. Vamos a probar que A esabierto. Sea x ∈ A, ∃ δ > 0 tal que Bδ(x) ⊆ U . Afirmo que Bδ(x) ⊆ A, en efecto:Si y ∈ Bδ(x) entonces [x, y] ⊆ Bδ(x) ⊆ U , luego por la desigualdad del valor medio
‖f(x)− f(y)‖ ≤ 0‖x− y‖
se sigue que f(y) = f(x) = f(a), es decir y ∈ A lo que prueba la afirmacion. Luego A, B es una escisionde U , se sigue que B = ∅, luego A = U .
Corolario 3. Sean U ⊆ Rm abierto, f : U → Rn diferenciable en U , a ∈ U , h ∈ Rm tal que [a, a+h] ⊆ Uy T ∈ L(Rm;Rn). Si ‖f ′(x)− T‖ ≤ M , ∀x ∈ ]a, a + h[ entonces
‖f(a + h)− f(a)− T (h)‖ ≤ M‖h‖
Demostracion. Considerog : U → Rm
x 7→ g(x) = f(x)− T (x)
Claramente g es diferenciable en U y ‖g′(x)‖ = ‖f ′(x)− T‖ ≤ M , ∀x ∈ ]a, a + h[ , por la desigualdad delvalor medio ‖g(a + h)− g(a)‖ ≤ M‖h‖, es decir
‖f(a + h)− f(a)− T (h)‖ = ‖f(a + h)− T (a + h)− f(a)− T (a)‖ ≤ M‖h‖
Lema 1.6.1 Sea X ⊆ Rm, f : X → Rn continua y K ⊆ X compacto. Entonces ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal quesi x ∈ X, y ∈ K y ‖x− y‖ < δ entonces ‖f(x)− f(y)‖ < ε.
Demostracion. Supongamos que ∃ ε0 > 0 tal que ∀ δ > 0, ∃xδ ∈ X y ∃ yδ ∈ K tales que ‖xδ − yδ‖ < δy ‖f(xδ)− f(yδ)‖ ≥ ε0 (Hip. Aux.)
Podemos construir (xk) ⊆ X, (yk) ⊆ K tales que ‖xk−yk‖ < 1k y ‖f(xk)−f(yk)‖ ≥ ε0, ∀ k ∈ N. Como
K es compacto, ∃ (yjk) ⊆ (yk) tal que limk→∞
yjk = y y y ∈ K, luego limk→∞
f(yjk) = f(y). Considerando
(xjk) ⊆ (xk), tenemos
‖xjk − y‖ ≤ ‖xjk − yjk‖+ ‖yjk − y‖ ≤ 1jk
+ ‖yjk − y‖, ∀ k ∈ N
Se sigue que limk→∞
xjk = y, luego limk→∞
f(xjk) = f(y). Ası: ε0 ≤ ‖f(xjk) − f(yjk)‖, ∀ k ∈ N, luego
ε0 ≤ limk→∞
‖f(xjk)− f(yjk)‖ = 0, lo cual es una contradiccion.
Teorema 1.6.2 (Diferenciabilidad Uniforme) Sean U ⊆ Rm abierto, K ⊆ U compacto y f ∈C1(U ;Rn). Se cumple que ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0 tal que si x ∈ K, h ∈ Rm con h ∈ Ux y ‖h‖ < δentonces
‖f(x + h)− f(x)− f ′(x)(h)‖ < ε‖h‖
Analisis Real II 20
Demostracion. Por una propiedad probada en el curso anterior, ∃ δ1 tal que si x ∈ K, y ∈ Rm y‖x− y‖ < δ1 entonces
[x, y] ⊆ U (1.5)
Ahora bien, como f ∈ C1(U ;Rn) entonces f ′ : U → L(Rm;Rn) es continua y como K es compacto,por el Lema 1.6.1, ∀ ε > 0, ∃ δ2 > 0 tal que si y ∈ U , x ∈ K y ‖x− y‖ < δ2, se tiene
‖f ′(y)− f ′(x)‖ <ε2
(1.6)
Sea δ = minδ1, δ2, para x ∈ K, h ∈ Rm con h ∈ Ux y ‖h‖ < δ, se cumple ‖x + h − x‖ = ‖h‖ < δ,luego por (1.5) tenemos que [x, x + h] ⊆ U . Por otro lado, si y ∈ ]x, x + h[ entonces ∃ t ∈ ]0, 1[ tal quey = x + th, luego ‖y − x‖ = t‖h‖ < ‖h‖ < δ, luego por (1.6) ‖f ′(y) − f ′(x)‖ <
ε2, ∀ y ∈ ]x, x + h[ y por
el Corolario 3‖f(x + h)− f(x)− f ′(x)(h)‖ < ε‖h‖.
Observacion: Dado x ∈ U (fijo), sabemos que
f(x + h) = f(x) + f ′(x)h + rx(h), ∀ h ∈ Ux
donde limh→0
rx(h)‖h‖
= 0. El Teorema de la diferenciabilidad uniforme nos dice que limh→0
rx(h)‖h‖
= 0, ∀ x ∈ K.
En efecto, sea V = (x, h) ∈ K × Rm; h ∈ Ux. Definimos r : V → Rn por
r(x, h) = rx(h) = f(x + h)− f(x)− f ′(x)(h).
Si f ∈ C1(U ;Rn), por el teorema de diferenciabilidad uniforme, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que (x, h) ∈ Vy ‖h‖ < δ entonces ‖r(x, h)‖ < ε‖h‖, es decir
limh→0
r(x, h)‖h‖
= 0.
1.7 Ejercicios
1. Si U → Rm es abierto, pruebe que Ua = h ∈ Rm : a + h ∈ U es abierto.
2. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U , pruebe que existe una unica transformacion linealT ∈ L(Rm,Rn) tal que
f(a + h) = f(a) + T (h) + ra(h), h ∈ Ua
en donde limh→0
ra(h)‖h‖
= 0.
3.
Capıtulo 2
Sucesiones y Series de Funciones
2.1 Sucesion de Funciones
Sea X ⊆ Rm, denotaremos por F(X;Rn) al conjunto de todas las funciones definidas en X y con valoresen Rn. Con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un numero real por una funcion,el conjunto F(X;Rn) se torna un R-espacio vectorial.
Definicion 2.1.1 Una sucesion de funciones en F(X;Rn) es una funcion f : N → F(X;Rn) tal que acada numero natural k le asocia una funcion f(k) = fk ∈ F(X;Rn), llamado el k-esimo termino de lasucesion.
Notacion. En sucesivo el sımbolo (fk) ⊆ F(X;Rn) significara que “(fk) es una sucesion de funcionesen F(X;Rn)”
Sea (fk) ⊆ F(X;Rn), para cada x ∈ X se tiene que fk(x) ∈ Rn, para todo k ∈ N, luego (fk(x)) esuna sucesion en Rn. Si la sucesion (fk(x)) ⊆ Rn es convergente para cada x ∈ X entonces existe unvector (que depende de x ∈ X) al que denotaremos f(x) ∈ Rn tal que lim
k→∞fk(x) = f(x). De esta manera
podemos definir la funcionf : X → Rn
x 7→ f(x) = limk→∞
fk(x)
es decir f ∈ F(X;Rn).
Definicion 2.1.2 Sea (fk) ⊆ F(X;Rn) y f ∈ F(X;Rn). Decimos que la sucesion de funciones (fk)converge puntualmente a f , lo que escribimos fk → f si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
1. (fk(x)) ⊆ Rn es convergente, para todo x ∈ X.
2. limk→∞
fk(x) = f(x), para todo x ∈ X.
21
Analisis Real II 22
Ejemplo 2.1.1 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesion (fk) ⊆ F(X;R) definida por
fk : X → Rx 7→ fk(x) = xk
Observe que
limk→∞
fk(x) = limk→∞
xk =
0, si 0 ≤ x < 11, si x = 1
Si definimosf : [0, 1] → R
x 7→ f(x) =
0, si 0 ≤ x < 11, si x = 1
tenemos que limk→∞
fk(x) = f(x), para todo x ∈ X, es decir fk → f .
Ejemplo 2.1.2 Sea (fk) ⊆ F(R;R) definida por
fk : R → R
x 7→ fk(x) =x2k
1 + x2k
Observe que
limk→∞
fk(x) = limk→∞
x2k
1 + x2k =
0, si |x| < 112 , si |x| = 11, si |x| > 1
Si definimosf : R → R
x 7→ f(x) =
0, si |x| < 112 , si |x| = 11, si |x| > 1
tenemos que limk→∞
fk(x) = f(x), para todo x ∈ R, es decir fk → f .
Analisis Real II 23
Si bien es cierto que la nocion de lımite puntual de una sucesion de funciones es bastante natural,ella tiene un grave defecto, por lo general la funcion lımite “no hereda” las propiedades de la sucesion.En efecto, en el ejemplo anterior todas las funciones fk eran continuas sin embargo la funcion lımite fno lo es. Concluimos que el lımite puntual de una sucesion de funciones continuas no necesariamente escontinuo.
Definicion 2.1.3 Sean X ⊆ Rm, (fk) ⊆ F(X;Rn) y f ∈ F(X;Rn). Decimos que la sucesion defunciones (fk) converge uniformemente a f en X, lo que escribimos fk → f unif. en X si y solo si paratodo ε > 0, existe un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces ‖fk(x)− f(x)‖ < ε, ∀x ∈ X.
Observaciones.
1. En el concepto de convergencia uniforme exigimos que el k0 ∈ N solo dependa del ε mientras queen la convergencia puntual el k0 depende del ε y del vector x.
2. Convergencia uniforme implica convergencia puntual. Es decir fk → f unif. en X ⇒ fk → f , oequivalentemente fk 6→ f ⇒ fk 6→ f unif. en X.
El siguiente es un criterio muy util para la convergencia uniforme de una sucesion de funciones.
Teorema 2.1.1 (Criterio de Cauchy) Sea (fk) ⊆ F(X;Rn). Las siguientes afirmaciones son equiva-lentes:
1. (fk) es uniformemente convergente en X.
2. (fk) es una sucesion de Cauchy, es decir para todo ε > 0 existe un k0 ∈ N tal que j, k ≥ k0 entonces
‖fj(x)− fk(x)‖ < ε, ∀x ∈ X.
Demostracion. (1. ⇒ 2.) Dado ε > 0, por hipotesis debe existir un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces‖fk(x)− f(x)| < ε
2 para cualquier x ∈ X.Si tomamos j, k ≥ k0, para cualquier x ∈ X tenemos
‖fk(x)− fj(x)‖ ≤ ‖fk(x)− f(x)‖+ ‖fj(x)− f(x)‖ < ε
Luego (fk) ⊆ F(X;Rn) es una sucesion de Cauchy.(2. ⇒ 1.) Fijemos x ∈ X, dado ε > 0 existe un k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entonces ‖fj(x)− fk(x)‖ < ε.Se sigue que (fk(x)) ⊆ Rn es una sucesion de Cauchy en Rn, luego ella es convergente, es decir, existe unvector f(x) ∈ Rn tal que lim
k→∞fk(x) = f(x). Definimos
f : X → Rn
x 7→ f(x) = limk→∞
fk(x)
Afirmo que fk → f unif. en X. En efecto: dado ε > 0, existe un k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entoncespara cualquier x ∈ X se tiene que ‖fj(x)− fk(x)‖ < ε
2 . Fijando el subındice k y tomando lımite cuandoj tiende al infinito tenemos ‖f(x)− fk(x)‖ < ε, ∀x ∈ X. Esto prueba la afirmacion y el teorema.
Note el lector que en el criterio de Cauchy no necesitamos del lımite f para determinar la convergenciauniforme de la sucesion (fk).
Analisis Real II 24
Teorema 2.1.2 (Continuidad del Lımite Uniforme) Sea (fk) ⊆ F(X;Rn) tal que fk es continuaen x0 ∈ X, ∀ k ∈ N. Si fk → f unif. en X entonces f es continua en x0.
Demostracion. Sea ε > 0, por hipotesis existe un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces
‖fk(x)− f(x)‖ <ε3, ∀x ∈ X. (2.1)
Por otro lado, desde que fk0 es continua en x0, tenemos que existe un δ > 0 tal que si x ∈ X y ‖x−x0‖ < δentonces
‖fk0(x)− fk0(x0)‖ <ε3
(2.2)
Luego, para x ∈ X con ‖x− x0‖ < δ, de (2.1) y (2.2) tenemos
‖f(x)− f(x0)‖ ≤ ‖f(x)− fk0(x)‖+ ‖fk0(x)− fk0(x0)‖+ ‖fk0(x0)− f(x0)‖ < ε
Esto prueba que f es continua en x0.
Corolario. Si (fk) ⊆ C(X;Rn) y fk → f unif. en X entonces f ∈ C(X;Rn).
Observacion. Aunque la convergencia uniforme es suficiente para asegurar que el lımite de una sucesionde funciones continuas es continua, no es una condicion necesaria.
Ejemplo 2.1.3 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesion (fk) ⊆ F(X;R) definida por
f1 : X → Rx 7→ f1(x) = 1
y si k ≥ 2 tenemosfk : X → R
x 7→ fk(x) =
kx, si 0 ≤ x ≤ 1k
2− kx, si1k
< x ≤ 2k
0, si2k
< x ≤ 1
Observe que si 0 < x ≤ 1 entonces limk→∞
fk(x) = 0 (puesto que f(x) = 0 para k > 2x ) y lim
k→∞fk(0) = 0,
Luego limk→∞
fk(x) = θ(x), ∀x ∈ [0, 1], es decir fk → θ.
Pero fk no converge uniformemente a θ en [0, 1], puesto que∣
∣
∣
∣
fk
(
1k
)
− θ(
1k
)∣
∣
∣
∣
= 1
Sin embargo el lımite puntual es continuo.
Analisis Real II 25
2.2 Convergencia Uniforme y Diferenciabilidad
Sea U ⊆ Rm un abierto y (fk) ⊆ C1(U ;Rn). Supongamos que fk → f unif. en U . De manera naturalsurge la pregunta ¿f ∈ C1(U ;Rn)? y en caso afirmativo ¿f ′k → f ′ unif. en U?
Ejemplo 2.2.1 Seafk : R → R
x 7→ fk(x) =sen kx√
k
Claramente (fk) ⊆ C1(R). Por otro lado, observe que
limk→∞
fk(x) = limk→∞
sen kx√k
= 0 = θ(x), ∀x ∈ R
es decir fk → θ.
Ademas, dado ε > 0, ∃ k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces1√k
< ε, luego
|fk(x)− θ(x)| =∣
∣
∣
∣
sen kx√k
∣
∣
∣
∣
≤ 1√k
< ε, ∀ k ≥ k0, ∀x ∈ R
es decir fk → θ unif. en R. Observe que θ ∈ C1(R), pero f ′k(x) =√
k cos kx y de aquı f ′k no convergeuniformemente a θ en R.
Teorema 2.2.1 Sea U ⊆ Rm abierto, convexo y acotado y sea (fk) ⊆ C1(U ;Rn). Suponga que
1. ∃x0 ∈ U tal que (fk(x0)) ⊆ Rn es convergente.
2. (f ′k) ⊆ C(U ;L(Rm;Rn)) es uniformemente en U .
Entonces ∃ f ∈ C1(U ;Rn) tal que fk → f unif. en U y f ′k → f ′ unif. en U
Demostracion. Como U es acotado y x0 ∈ U entonces ∃ r > 0 tal que U ⊆ Br[x0]. Por hipotesis(f ′k) ⊆ C(U ;L(Rm;Rn)) es uniformemente convergente en U , luego es sucesion de Cauchy, por lo tanto,dado ε > 0, ∃ k1 ∈ N tal que si j, k ≥ k1 entonces
‖f ′j(x)− f ′k(x)‖ <ε2r
, ∀x ∈ U. (2.3)
Para j, k ≥ k1 consideremos la funcion fj − fk : U → Rn la cual es diferenciable en U que por hipotesises abierto y convexo, luego por (2.3) y por el Corolario 1 de la desigualdad del valor medio:
‖(fj − fk)(x)− (fj − fk)(y)‖ <ε2r‖x− y‖, ∀x, y ∈ U, ∀ j, k ≥ k1 (2.4)
Por la hipotesis 1.) debe existir un k2 ∈ N tal que si j, k ≥ k2 entonces
‖fj(x0)− fk(x0)‖ <ε2
(2.5)
Analisis Real II 26
Tomando k0 = maxk1, k2, de (2.4) y (2.5), para j, k ≥ k0 y x ∈ U , tenemos
‖fj(x)− fk(x)‖ ≤ ‖(fj − fk)(x)− (fj − fk)(x0)‖+ ‖(fj − fk)(x0)‖ ≤ε2r‖x− x0‖+
ε2≤ ε
Hemos probado que ∃ k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entonces ‖fj(x)− fk(x)‖ < ε, ∀x ∈ U . Es decir (fk)es sucesion de Cauchy, luego ∃f ∈ F(U : Rn) tal que fk → f unif. en U .
Por otro lado, de la hipotesis 2. ∃ g ∈ C(U ;L(Rm;Rn)) tal que f ′k → g unif. en U . Vamos a probarque f es diferenciable en U y f ′ = g. Dado a ∈ U , debemos probar que
f(a + h) = f(a) + g(a)(h) + ra(h), ∀h ∈ Ua
con limh→0
ra(h)‖h‖
= 0.
Sea ra(h) = f(a + h)− f(a)− g(a)(h) entonces
‖ra(h)‖ = ‖f(a + h)− f(a)− g(a)(h)‖≤ ‖f(a + h)− f(a)− fk0(a + h) + fk0(a)‖+
‖fk0(a + h)− fk0(a)− f ′k0(a)(h)‖+ ‖f ′k0
(a)(h)− g(a)(h)‖ (2.6)
Por hipotesis, fk0 es diferenciable en a, luego
fk0(a + h) = fk0(a) + f ′k0(a)(h) + ρa(h), ∀h ∈ Ua
con limh→0
ρa(h)‖h‖
= 0. De esta manera, dado ε > 0, ∃ δ > 0 tal que si 0 < ‖h‖ < δ entonces
‖fk0(a + h)− fk0(a)− f ′k0(a)(h)‖
‖h‖<
ε3
(2.7)
De (2.4) tenemos‖(fj − fk0)(a + h)− (fj − fk0)(a)‖ <
ε3‖h‖, ∀ j ≥ k0
luego
‖f(a + h)− fk0(a + h)− f(a) + fk0(a)‖ = limj→∞
‖fj(a + h)− fk0(a + h)− fj(a) + fk0(a)‖ ≤ ε3‖h‖ (2.8)
De (2.3) tenemos que ‖f ′j(a)− f ′k0(a)‖ <
ε3, ∀ j ≥ k0, luego
‖g(a)− f ′k0(a)‖ = lim
j→∞‖f ′j(a)− f ′k0
(a)‖ ≤ ε3
(2.9)
De (2.7), (2.8), (2.9) y (2.6), para h ∈ Ua, se cumple que ∃ δ > 0 tal que si 0 < ‖h‖ < δ entonces
‖ra(h)‖‖h‖
≤ ‖f(a + h)− f(a)− fk0(a + h) + fk0(a)‖‖h‖
+
+‖fk0(a + h)− fk0(a)− f ′k0
(a)(h)‖‖h‖
+ ‖f ′k0(a)− g(a)‖ < ε
De esta manera f es diferenciable en a y f ′(a) = g(a). Como el a fue arbitrario, concluimos que f esdiferenciable en U y f ′ = g.
Analisis Real II 27
2.3 Series de Funciones
A continuacion definiremos el concepto de serie de funciones. Sea X ⊆ Rm y (fk) ⊆ F(X;Rn), definimoslas funciones s1 = f1, s2 = f1 +f2, . . . , sk = f1 +f2 + · · ·+fk. Como F(X;Rn) es un R-espacio vectorial,tenemos que (sk) ⊆ F(X;Rn) la cual es llamada sucesion de sumas parciales asociada a (fk). Para hacernotar que (sk) depende de la sucesion original (fk), escribiremos
∑
j,1
fk en vez de (sk).∑
j,1
fk es llamado
serie de funciones.
Desde que una serie de funciones es un caso particular de sucesion de funciones, podemos aplicarlelos conceptos de lımite puntual y lımite uniforme.
Definicion 2.3.1 Sean (fk) ⊆ F(X;Rn) y consideremos∑
j,1
fk.
1. Decimos que∑
j,1
fk converge puntualmente si y solo si su sucesion de sumas parciales sk =k
∑
j=1
fk
es una sucesion puntualmente convergente.
2. Decimos que∑
j,1
fk converge uniformemente en X si y solo si su sucesion de sumas parciales sk =
k∑
j=1
fk es una sucesion uniformemente convergente en X.
Notacion. El lımite S sera denotado por el sımbolo∞∑
j=1
fj .
El siguiente es un criterio sumamente util para la convergencia uniforme de una serie de funciones.
Teorema 2.3.1 (M-test de Weierstrass) Sean X ⊆ Rm, (Mk) ⊆ R+ y (fk) ⊆ F(X;Rn) tales que
1. ‖fk(x)‖ ≤ Mk, ∀x ∈ X, ∀ k ≥ 0.
2. La serie de numeros reales∑
j,1
Mj es convergente.
Entonces la serie de funciones∑
j,1
fj converge uniformemente en X.
Demostracion. Denotemos sk =k
∑
j=1
fj y σk =k
∑
j=1
Mj . Por hipotesis, la sucesion de numeros reales
positivos (σk) es convergente, luego es de Cauchy, de esta manera, dado un ε > 0 existe un k0 ∈ N talque si j, k ≥ k0 entonces |σj − σk| < ε. Por otro lado (para k ≥ i)
‖si(x)− sk(x)‖ =
∥
∥
∥
∥
∥
∥
i∑
j=1
fj(x)−k
∑
j=i
fj(x)
∥
∥
∥
∥
∥
∥
=
∥
∥
∥
∥
∥
∥
k∑
j=i+1
fj(x)
∥
∥
∥
∥
∥
∥
≤k
∑
j=i+1
‖fj(x)‖ ≤k
∑
j=i+1
Mj = |σk − σj |
Analisis Real II 28
procediendo de manera analoga para k ≤ i se tiene que
‖si(x)− sk(x)‖ ≤ |σj − σk|, ∀ i, k ∈ N, ∀x ∈ X
De esta manera, si tomamos i, k ≥ k0, tenemos ‖si(x)− sk(x)‖ ≤ |σj − σk| < ε, ∀x ∈ X. El Criterio deCauchy nos permite concluir que (sk) es uniformemente convergente en X.
El siguiente resultado es consecuencia directa del Teorema 2.1.2.
Teorema 2.3.2 Sea (fk) ⊆ C(X;Rn). Si∑
j,1
fj converge uniformemente en X entonces∞∑
j=1
fj ∈
C(X;Rn).
Demostracion. sk =k
∑
j=1
fj ∈ C(X;Rn), ∀ k ≥ 1, luego (sk) ⊆ C(X;Rn). Por hipotesis sk →∞∑
j=1
fj
unif. en X, luego∞∑
j=1
fj ∈ C(X;Rn).
Ejemplo 2.3.1 Sea (fk) ⊆ F(I1(0);R) definida por
fk : I1(0) → R
x 7→ fk(x) =xk
k2
y consideremos∑
j,1
fj Observe que
|fj(x)| =∣
∣
∣
∣
xj
j2
∣
∣
∣
∣
=|x|j
j2 ≤ 1j2 , ∀ x ∈ I1(0), ∀ j ∈ N
Como la serie de numeros reales∑
j,1
1j2 es convergente, por el M - test de Weierstrass,
∑
j,1
xj
j2 es uni-
formemente convergente en I1(0) y la funcion
S : I1(0) → R
x 7→ S(x) =∞∑
j=1
xj
j2
es continua en I1(0).
Finalmente, enunciemos para series el Teorema 2.2.1.
Teorema 2.3.3 Sea U ⊆ Rm abierto, convexo y acotado y sea (fk) ⊆ C1(U ;Rn). Suponga que
1. ∃x0 ∈ U tal que∑
j,1
fj(x0) es convergente.
Analisis Real II 29
2.∑
j,1
f ′j es uniformemente convergente en U .
Entonces ∃S ∈ C1(U ;Rn) tal que∑
j,1
fj → S unif. en U y∑
j,1
f ′j → S′ unif. en U
Demostracion. ¡Ejercicio!
2.4 La Curva de Peano
Usaremos los resultados de la seccion anterior para construir una curva continua que tenga interior novacıo.
Seaφ : [0, 2] → R
t 7→ φ(t) =
0, si 0 ≤ t ≤ 13, o
53≤ t ≤ 2
3t− 1, si13≤ t ≤ 2
3
1, si23≤ t ≤ 4
3
−3t + 5, si43≤ t ≤ 5
3Extendemos φ periodicamente a todos los reales haciendo φ(t + 2) = φ(t).
Observe que φ ∈ C(R) y es periodica de periodo 2. Dado k ∈ N, definimos (fk), (gk) ⊆ F(R;R) como
fk(t) =φ(32k−2t)
2k y gk(t) =φ(32k−1t)
2k , ∀ t ∈ R.
Analisis Real II 30
Es claro que (fk), (gk) ⊆ C(R). Observe que
|fk(t)| =∣
∣
∣
∣
φ(32k−2t)2k
∣
∣
∣
∣
≤ 12k , ∀ t ∈ R, ∀ k ∈ N
Ademas la sucesion de numeros reales positivos(
12k
)
es tal que∑
j,1
12j es convergente. Por el M-test
de Weierstrass∑
j,1
fj es uniformemente convergente en R, mas aun, por el Teorema 2.3.2,∑
j,1
fj ∈ C(R).
Analogamente se prueba que∑
j,1
gj ∈ C(R). Definimos las funciones
α1 : R → R
t 7→ α1(t) =∞∑
j=1
φ(32j−2t)2j
α2 : R → R
t 7→ α2(t) =∞∑
j=1
φ(32j−1t)2j
y seaα : R → R2
t 7→ α(t) = (α1(t), α2(t))
Se sigue que α ∈ C(R;R2). Vamos a probar que α([0, 1]) = [0, 1]× [0, 1]. En primer lugar
0 ≤ α1(t) =∞∑
j=1
φ(32j−2t)2j ≤
∞∑
j=1
12j = 1, ∀ t ∈ [0, 1]
Analogamente 0 ≤ α2(t) ≤ 1, ∀ t ∈ [0, 1]. De esta manera α(t) ∈ [0, 1] × [0, 1], es decir α([0, 1]) ⊆[0, 1]× [0, 1].
Sea (a, b) ∈ [0, 1]× [0, 1], vamos a probar que ∃ t0 ∈ [0, 1] tal que α(t0) = (a, b). Expresando a y b enel sistema binario, tenemos
a =∞∑
j=1
aj
2j , b =∞∑
j=1
bj
2j
en donde aj , bj ∈ 0, 1, ∀ j ∈ N. Defino
t0 = 2∞∑
j=1
cj
3j
donde c2j−1 = aj y c2j = bj , ∀ j ∈ N. Observe que
0 ≤ t0 = 2∞∑
j=1
cj
3j ≤ 2∞∑
j=1
13j = 1
es decir t0 ∈ [0, 1]. Afirmo que α(t0) = (a, b). En efecto, observe en primer lugar que es suficiente probar
φ(
3jt0)
= cj+1, ∀ j = 0, 1, 2, . . . (2.10)
Analisis Real II 31
Puesto que si (2.10) se cumple, tenemos:
α1(t0) =∞∑
j=1
φ(32j−2t0)2j =
∞∑
j=1
c2j−1
2j =∞∑
j=1
aj
2j = a
α2(t0) =∞∑
j=1
φ(32j−1t0)2j =
∞∑
j=1
c2j
2j =∞∑
j=1
bj
2j = b
lo cual prueba la afirmacion. Probemos entonces (2.10): Dado k = 0, 1, 2, . . . (fijo, arbitrario), tenemos:
3kt0 = 2∞∑
j=1
cj
3j−k = 2k
∑
j=1
3k−jcj + 2∞∑
j=k+1
cj
3j−k
= numero par + dk
donde dk = 2∞∑
j=1
cj+k
3j desde que φ tiene perıodo 2, tenemos φ(3kt0) = φ(dk).
Si ck+1 = 0 entonces 0 ≤ dk = 2∞∑
j=2
cj+k
3j ≤ 2∞∑
j=2
13j =
13, luego φ(dk) = 0, es decir φ(3kt0) = ck+1.
Si ck+1 = 1 entonces23≤ dk = 2
∞∑
j=1
cj+k
3j ≤ 2∞∑
j=1
13j = 1, luego φ(dk) = 1, es decir φ(3kt0) = ck+1.
2.5 La Funcion de Weierstrass
En 1872, Weiertrass dio un ejemplo de una funcion continua en todo R que no es diferenciable en ningunpunto de su dominio.
Consideremos la sucesion de funciones (fn) ⊆ C(R) definida por
fn(x) = bn cos(anπx), ∀ x ∈ R
en donde a es un entero impar mayor que 1 y 0 < b < 1. Por el M -test de Weierstrass concluimos que∑
n,1
fn converge uniformemente en R. Definimos W : R → R como W (x) =∞∑
n=1
bn cos(anπx). Se sigue
que W ∈ C(R). W es llamada funcion de Weierstrass. Vamos a demostrar que W no es diferenciable enningun punto de su dominio. En efecto, procediendo por contradiccion, supongamos que existe x0 ∈ Rtal que W es diferenciable en x0 (Hipotesis Auxiliar), luego existe lim
x→x0
W (x)−W (x0)x− x0
y por tanto si
(xm) ⊆ R− x0 es tal que limm→∞
xm = x0 entonces debe existir limm→∞
W (xm)−W (x0)xm − x0
.
Existe un unico k0 ∈ Z tal que −12
< x0 − k0 ≤12, denotemos x′1 = x0 − k0. Existe un unico k1 ∈ Z
tal que −12
< ax0 − k1 ≤12, denotemos x′2 = ax0 − k1. Prosiguiendo por induccion, existe un unico
km ∈ Z tal que −12
< amx0 − km ≤ 12, denotemos x′m+1 = amx0 − km.
Analisis Real II 32
De esta manera hemos construido dos sucesiones (km) ⊆ Z y (x′m) ⊆ R tales que −12
< x′m ≤ 12,
∀ m ∈ N. A continuacion definimos la sucesion (xm) ⊆ R por xm =km − 1
am , ∀ m ∈ N. Observe que
xm − x0 =km − 1
am − x0 =km − 1− amx0
am = −1 + x′m+1
am , ∀ m ∈ N
Como −12
< x′m ≤ 12
entonces12
< 1 + x′m ≤ 32. De aquı se desprende que xm − x0 < 0, ∀ m ∈ N y
limm→∞
xm = x0.
Para m ∈ N fijo tenemos
W (xm)−W (x0)xm − x0
=∞∑
n=0
bn cos(anxmπ)− cos(anx0π)xm − x0
=m−1∑
n=0
bn cos(anxmπ)− cos(anx0π)xm − x0
+∞∑
n=m
bn cos(anxmπ)− cos(anx0π)xm − x0
=m−1∑
n=0
(ab)n cos(anxmπ)− cos(anx0π)an(xm − x0)
+∞∑
n=0
bm+n cos(am+nxmπ)− cos(am+nx0π)xm − x0
= A + B (2.11)
Por trigonometrıa elemental, sabemos que cos(α + β) − cos(α − β) = −2sen αsen β. Haciendo α =
an(
xm + x0
2
)
π y β = an(
xm − x0
2
)
π (con n ≥ 0 fijo), tenemos
cos(anxmπ)− cos(anx0π) = −2sen(
an(
xm + x0
2
)
π)
· sen(
an(
xm − x0
2
)
π)
Luegocos(anxmπ)− cos(anx0π)
an(xm − x0)= −πsen
(
an(
xm + x0
2
)
π)
sen(
an(xm−x0
2
)
π)
an(xm−x0
2
)
π
Como limx→0
sen xx
= 1, debe existir un m0 ∈ N tal que si m ≥ m0 entonces
∣
∣
∣
∣
∣
sen(
an(xm−x0
2
)
π)
an(xm−x0
2
)
π
∣
∣
∣
∣
∣
<32
luego
|A| ≤ 32
m−1∑
n=0
(ab)nπ =3π2
(ab)m − 1ab− 1
<3π2
(ab)m
ab− 1
De aquı
|A| < 3π2
(ab)m
ab− 1, siempre que m ≥ m0 (2.12)
Analisis Real II 33
Por otro lado, como a es impar tenemos
cos(am+nxmπ) = cos(an(km − 1)π) = (−1)jm
cos(am+nx0π) = cos(an(km + x′m+1)π)= cos(ankmπ) · cos(anx′m+1π)− sen (ankmπ) · sen (anx′m+1π)
= −(−1)jm cos(anx′m+1π)
luego
B =∞∑
n=0
bn+m (−1)jm + (−1)jm cos(anx′m+1π)xm − x0
= (−1)jm
∞∑
n=0
bn+m 1 + cos(anx′m+1π)
− 1+x′m+1am
= (−1)jm−1(ab)m∞∑
n=0
bn 1 + cos(anx′m+1π)1 + x′m+1
= (−1)jm−1(ab)mB′ (2.13)
Observe que B′ =∞∑
n=0
bn 1 + cos(anx′m+1π)1 + x′m+1
es una serie de terminos no negativos cuyo primer termino es
1 + cos(x′m+1π)1 + x′m+1
≥ 23.
(Esto es debido a que −12
< x′m ≤ 12, un facil calculo muestra que 1+cos(x′m+1π) ≥ 1 y
23≤ 1
1 + x′m+1).
Reemplazando (2.13) en (2.11), para m ≥ m0 tenemos
W (xm)−W (x0)xm − x0
= (−1)jm−1(ab)m [
(−1)jm−1(ab)−mA + B′]
Si tomamos a, b tales que ab > 1 +9π4
, es decirπ
ab− 1<
49, de (2.12) tenemos
|(−1)jm−1(ab)−mA| = (ab)−m|A| < 3π2(ab− 1)
<23
luego
(−1)jm−1(ab)−mA + B′ > −23
+ B′ ≥ 0
Como limm→∞
(ab)m = +∞, tenemos
limm→∞
∣
∣
∣
∣
W (xm)−W (x0)xm − x0
∣
∣
∣
∣
= +∞
luego la sucesionW (xm)−W (x0)
xm − x0no esta acotada y por tanto no es convergente, lo cual es una con-
tradiccion.
Capıtulo 3
Funciones Definidas Implıcitamente
3.1 Difeomorfismos Locales
Definicion 3.1.1 Sean U, V ⊆ Rm dos abiertos. Decimos que f : U → V es un difeomorfismo entre U yV si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. f es una biyeccion.
2. f es diferenciable en U .
3. f−1 : V → U es diferenciable en V .
Observaciones.
1. Si f es un difeomorfismo entre los abiertos U, V ⊆ Rmentonces f es un homeomorfismo entre U yV .
2. La condicion 3. de la definicion anterior no se deduce de las dos primeras. En efecto, la funcion
f : R → Rx 7→ f(x) = x3
es una biyeccion y es diferenciable en R, sin embargo su inversa
f−1 : R → Rx 7→ f(x) = 3
√x
no es diferenciable en 0 ∈ R.
3. Si f : U → V es un difeomorfismo, por el Corolario 4 de la Regla de la Cadena f ′(x) ∈ GL(Rm),∀ x ∈ U .
34
Analisis Real II 35
4. El recıproco de la Observacion 3 es falso, en efecto, considerese la funcion
f : R2 → R2 − 0(x, y) 7→ f(x, y) = (ex cos y, exsen y)
Claramente f es diferenciable en R2, ademas
Jf(x, y) =[
ex cos y −exsen yexsen y ex cos y
]
luego det Jf(x, y) = e2x 6= 0, ∀ (x, y) ∈ R2, es decir f ′(x, y) ∈ GL(R2), ∀ (x, y) ∈ R2, sin embargof : R2 → R2 − 0 no es inyectiva, puesto que f(0, 0) = f(0, 2π).
5. Con relacion a la funcion del ejemplo anterior, si restringimos el dominio de f convenientemente,entonces f restringida a este dominio, si es un difeomorfismo. En efecto, dado a = (x0, y0) ∈ R2,definimos el conjunto (franja horizontal abierta de ancho 2π)
Wa = (x, y ∈ R2 : x ∈ R, |y − y0| < π
Claramente Wa ⊆ R2 es un abierto y f∣
∣
Wa: Wa → R2 − 0 es un difeomorfismo.
Definicion 3.1.2 Sean U ⊆ Rm un abierto. Decimos que f : U → Rm es un difeomorfismo local si ysolo si ∀ x ∈ U , ∃Wx ⊆ U y ∃W ′
x ⊆ Rm abiertos con x ∈ Wx, f(x) ∈ W ′x, tales que f
∣
∣
Wx: Wx → W ′
x esun difeomorfismo entre Wx y W ′
x.
Observaciones.
1. Los difeomorfismos de la Definicion 3.1.1 son llamados globales.
2. Todo difeomorfismo global es un difeomorfismo local, lo recıproco es falso.
3. Ya sabemos que si f : U → V es diferenciable y f ′(x) ∈ GL(Rm), ∀ x ∈ U entonces f no nece-sariamente es un difeomorfismo global. Surge la pregunta ¿si f ′(x) ∈ GL(Rm) entonces f es undifeomorfismo local en x?
3.2 El Teorema de la Funcion Inversa
Teorema 3.2.1 (Teorema del Punto Fijo para Contracciones) Sea X ⊆ Rm un conjunto cerradoy f : X → X una contraccion (i.e. f Lipschitz con Lip(f) < 1). Entonces existe un unico x0 ∈ X talque:
1. f(x0) = x0 (i.e. x0 es punto fijo de f).
2. limk→∞
fk(x) = x0, ∀ x ∈ X (i.e. x0 es un atractor de f).
Analisis Real II 36
Demostracion. ¡Ejercicio!
Observacion: Si X ⊆ Rm no es cerrado, entonces una contraccion f : X → X no necesariamente tieneun punto fijo. En efecto, considere X = ]0, 1[ y
f : X → X
x 7→ f(x) =x2
3
Para x1, x2 ∈ X se cumple
|f(x1)− f(x2)| =∣
∣
∣
∣
x21
3− x2
2
3
∣
∣
∣
∣
=13|(x1 − x2)(x1 + x2)| ≤
23|x1 − x2|
luego f es una contraccion, pero f no tiene punto fijo en X.El siguiente resultado garantiza la existencia de un punto fijo para una contraccion f : X → X cuando
X no necesariamente es un abierto.
Proposicion 3.2.2 Sea X ⊆ Rm y f : X → Rm una contraccion. Si ∃ a ∈ X y ∃ r > 0 tal que Br[a] ⊆ Xy
‖f(a)− a‖ ≤ (1− Lip(f))r
entonces f admite un unico punto fijo en Br[a].
Demostracion. Es suficiente probar que f(Br[a]) ⊆ Br[a]. Sea y ∈ f(Br[a]) entonces ∃x ∈ Br[a] talque f(x) = y, se cumple
‖y − a‖ = ‖f(x)− a‖ ≤ ‖f(x)− f(a)‖+ ‖f(a)− a‖ ≤ Lip(f)‖x− a‖+ (1− Lip(f))r = r
es decir y ∈ Br[a].
Teorema 3.2.3 (Perturbacion de la Identidad) Sea U ⊆ Rm abierto y ϕ : U → Rm una contraccion.Entonces la funcion
f : U → Rm
x 7→ f(x) = x + ϕ(x)
es un homeomorfismo de U sobre f(U) ⊆ Rm, en particular f(U) es un abierto. Ademas, si U = Rm
entonces f(U) = Rm.
Demostracion. Claramente f : U → Rm es continua. Dados x1, x2 ∈ U , tenemos
‖f(x1)− f(x2)‖ = ‖x1 + ϕ(x1)− x2 − ϕ(x2)‖ ≥ ‖x1 − x2‖ − ‖ϕ(x1)− ϕ(x2)‖≥ ‖x1 − x2‖ − Lip(ϕ)‖x1 − x2‖
Es decir
‖f(x1)− f(x2)‖ ≥ (1− Lip(ϕ))‖x1 − x2‖, ∀ x1, x2 ∈ U (3.1)
Si f(x1) = f(x2) entonces 0 = ‖f(x1) − f(x2)‖ ≥ (1 − Lip(ϕ))‖x1 − x2‖ ≥ 0, luego x1 = x2. De estamanera f es inyectiva, luego f : U → f(U) es una biyeccion. Vamos a probar que f−1 : f(U) → U es
Analisis Real II 37
continua. Sean y1, y2 ∈ f(U) entonces existen x1, x2 ∈ U tales que f(x1) = y1 y f(x2) = y2, de (3.1)tenemos
‖f−1(y1)− f−1(y2)‖ ≤1
1− Lip(ϕ)‖f(x1)− f(x2)‖ =
11− Lip(ϕ)
‖y1 − y2‖
Se sigue que f−1 es Lipschitz en f(U) y Lip(f−1) ≤ 11− Lip(ϕ)
, en particular f−1 es continua. De esta
manera hemos probado que f es un homeomorfismo de U sobre f(U).Probemos ahora que si U = Rm entonces f(U) = Rm. Sea a ∈ Rm, para cualquier r > 0 se tiene que
Br[a] ⊆ U .
Afirmacion: B(1−Lip(ϕ))r(f(a)) ⊆ f(Br[a]). En efecto, sea y ∈ B(1−Lip(ϕ))r(f(a)) para probar que∃x ∈ Br[a] tal que f(x) = y, consideremos la funcion
ξy : Rm → Rm
x 7→ ξy(x) = y − ϕ(x)
Para x1, x2 ∈ Rm, se cumple
‖ξy(x1)− ξy(x2)‖ = ‖y − ϕ(x1)− y + ϕ(x2)‖ = ‖ϕ(x1)− ϕ(x2)‖ ≤ Lip(ϕ)‖x1 − x2‖
Se sigue que ξy es una contraccion y Lip(ξy) ≤ Lip(ϕ), luego
‖ξy(a)− a‖ = ‖y − ϕ(a)− a‖ = ‖y − f(a)‖ < (1− Lip(ϕ))r ≤ (1− Lip(ξy))r
Por la Proposicion 3.2.2, existe un unico x ∈ Br[a] tal que ξy(x) = x, es decir y = x+ ϕ(x) = f(x), luegoy ∈ f(Br[a]) lo cual prueba la afirmacion. Ası
B(1−Lip(ϕ))r(f(a)) ⊆ f(Rm), ∀ r > 0
Haciendo rk =k
1− Lip(ϕ)(k ∈ N) tenemos Bk(f(a)) ⊆ f(Rm), ∀ k ∈ N. Se sigue que
Rm =⋃
k∈NBk(f(a)) ⊆ f(Rm)
lo que finaliza la demostracion.
Corolario. (Perturbacion de un Isomorfismo) Sea U ⊆ Rm abierto, T ∈ GL(Rm), ϕ : U → Rm
Lipschitz tal que Lip(ϕ) < ‖T−1‖−1. Entonces la funcion
f : U → Rm
x 7→ f(x) = T (x) + ϕ(x)
es un homeomorfismo de U sobre f(U) ⊆ Rm donde f(U) es un abierto. Ademas, si U = Rm entoncesf(U) = Rm.
Demostracion. Consideroψ : U → Rm
x 7→ ψ(x) = (T−1 ϕ)(x)
Analisis Real II 38
Para x1, x2 ∈ U se tiene
‖ψ(x1)− ψ(x2)‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖ϕ(x1)− ϕ(x2)‖ ≤ ‖T−1‖ · Lip(ϕ) · ‖x1 − x2‖
De esta manera ψ es Lipschitz y Lip(ψ) ≤ ‖T−1‖Lip(ϕ) < 1, es decir ψ es una contraccion. Luego, porel Teorema 3.2.3, la funcion
g : U → Rm
x 7→ g(x) = x + ψ(x)
es un homeomorfismo de U sobre g(U) y si U = Rm entonces g(U) = Rm.Como T ∈ GL(Rm) entonces T g : U → Rm es un homeomorfismo de U sobre el abierto (T g)(U)
y si U = Rm entonces (T g)(U) = Rm. Pero
(T g)(x) = T (x + ψ(x)) = T (x) + T (ψ(x)) = T (x) + ϕ(x) = f(x)
Luego T g = f .
Teorema 3.2.4 (Diferenciabilidad del Homeomorfismo Inverso) Sean U, V ⊆ Rm abiertos y f :U → V un homeomorfismo de U sobre V . Si f es diferenciable en a ∈ U y f ′(a) ∈ GL(Rm) entoncesf−1 : V → U es diferenciable en b = f(a) y (f−1)′(f(a)) = [f ′(a)]−1.
Demostracion. Como f es diferenciable en a, se cumple
f(a + h) = f(a) + f ′(a)(h) + ra(h), ∀ h ∈ Ua (3.2)
donde limh→0
ra(h)‖h‖
= 0.
Sea k ∈ Vb y considero h = f−1(b + k)− f−1(b) ∈ Rm, se sigue que a + h ∈ U luego de (3.2)
b + k = b + f ′(a)[f−1(b + k)− f−1(b)] + ra(f−1(b + k)− f−1(b))
Como f ′(a) ∈ GL(Rm) tenemos
[f ′(a)]−1 (k) = f−1(b + k)− f−1(b) + [f ′(a)]−1 (ra(f−1(b + k)− f−1(b)))
es decir
f−1(b + k) = f−1(b) + [f ′(a)]−1 (k) + ρb(k), ∀ k ∈ Vb (3.3)
donde ρb(k) = −(
[f ′(a)]−1 ra
)
(f−1(b + k) − f−1(b)). Debemos probar que limk→0
ρb(k)‖k‖
= 0. Ahora
bien, como f ′(a) ∈ GL(Rm) sabemos que ∃C > 0 tal que ‖f ′(a)(x)‖ ≥ C‖x‖, ∀ x ∈ Rm. Desde que
limh→0
ra(h)‖h‖
= 0, debe existir un δ > 0 tal que h ∈ Ua y 0 < ‖h‖ < δ implica‖ra(h)‖‖h‖
<C2
.
Si x ∈ U y es tal que 0 < ‖x− a‖ < δ, de (3.2) tenemos
‖f(x)− f(a)‖ = ‖f ′(a)(x− a) + ra(x− a)‖ ≥ ‖f ′(a)(x− a)‖ − ‖ra(x− a)‖
≥ C‖x− a‖ − C2‖x− a‖ =
C2‖x− a‖
Analisis Real II 39
Es decir si x ∈ Bδ(a) entonces ‖f(x) − f(a)‖ ≥ C2‖x − a‖. De esta manera, como f(Bδ(a)) es abierto
(puesto que f es homeomorfismo) y b ∈ f(Bδ(a)) entonces ∃ r > 0 tal que Br(b) ⊆ f(Bδ(a)). Si y ∈ Br(b)entonces ∃x ∈ Bδ(a) tal que y = f(x), luego
‖f−1(y)− f−1(b)‖ = ‖x− a‖ ≤ 2C‖f(x)− f(a)‖ =
2C‖y − b‖
Se sigue que‖f−1(y)− f−1(b)‖
‖y − b‖≤ 2
C, ∀ y ∈ Br(b)− b
Sea k ∈ Vb con 0 < ‖k‖ < r entonces b + k ∈ Br(b)− b, luego
‖f−1(b + k)− f−1(b)‖‖k‖
≤ 2C
.
Se sigue que
limk→0
ra(f−1(b + k)− f−1(b))‖k‖
= limk→0
[
ra(f−1(b + k)− f−1(b))‖f−1(b + k)− f−1(b)‖
]
·[
‖f−1(b + k)− f−1(b)‖‖k‖
]
= 0
luego
limk→0
[f ′(a)]−1(
ra(f−1(b + k)− f−1(b))‖k‖
)
= 0
es decir limk→0
ρk(b)‖k‖
= 0. De (3.3) concluimos que f−1 es diferenciable en b = f(a) y (f−1)′(f(a)) =
[f ′(a)]−1.
Corolario. Sean U, V ⊆ Rm abiertos y f : U → V un homeomorfismo de U sobre V . Si f es diferenciableen U y f ′(x) ∈ GL(Rm), ∀ x ∈ U entonces f−1 : V → U es diferenciable en V y (f−1)′(f(x)) = [f ′(x)]−1,∀ x ∈ U . En particular f es un difeomorfismo.
Definicion 3.2.1 Sean U, V ⊆ Rm dos abiertos. Decimos que f : U → V es un difeomorfismo de claseCk entre U y V si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. f es una biyeccion.
2. f es de clase Ck en U .
3. f−1 : V → U es de clase Ck en V .
Notacion: Dados U, V ⊆ Rm abiertos y k ∈ Z+, denotamos
Hom (U ;V ) = f : U → V ; f es un homeomorfismo entre U y V Diff k(U ; V ) = f : U → V ; f es un difeomorfismo de clase Ck entre U y V
Observacion. Sabemos que 1 y 2 no implica 3. El siguiente resultado nos da una condicion adicionalque anadida a 1 y 2 va a implicar 3.
Analisis Real II 40
Proposicion 3.2.5 Sean U, V ⊆ Rm abiertos y f : U → V una biyeccion de clase Ck (k ≥ 1). Sif−1 : V → U es diferenciable en V entonces f ∈ Diff k(U ;V ).
Demostracion. Recordemos que la funcion
inv : GL(Rm) → GL(Rm)T 7→ inv(T ) = T−1
es de clase C∞. Sea y ∈ V (fijo, arbitrario), sabemos que
(f−1)′(y) =[
f ′(f−1(y))]−1
= (inv f ′ f−1)(y), ∀ y ∈ V
De esta manera (f−1)′ = invf ′f−1. La demostracion se sigue por induccion sobre k: Si f ∈ C1(U ;Rm)entonces (f−1)′ ∈ C(U ;L(Rm)) luego f−1 ∈ C1(U ;L(Rm)), y ası sucesivamente.
Teorema 3.2.6 (Teorema de la Funcion Inversa) Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ Ck(U ;Rm) (k ≥ 1)tal que f ′(a) ∈ GL(Rm) (donde a ∈ U). Entonces existen abiertos Wa ⊆ U y W ′
a ⊆ Rm con a ∈ Wa yf(a) ∈ W ′
a tales que f∣
∣
Wa∈ Diff k(Wa; W ′
a).
Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 y f(a) = 0 (caso contrario,consideramos traslaciones). Por hipotesis T = f ′(0) ∈ GL(Rm), como GL(Rm) es abierto entonces∃ r > 0 tal que Br(T ) ⊆ GL(Rm). Por otro lado f ′ : U → L(Rm) ≈ Rm2
es continua. Dado 0 < ε <
min
1‖T−1‖
, r
, ∃ δ > 0 tal que si ‖x‖ < δ entonces ‖f ′(x)−T‖ < ε, es decir f ′(x) ∈ Br(T ) ⊆ GL(Rm).
De esta manera, hemos probado que
x ∈ Bδ(0) ⇒ f ′(x) ∈ GL(Rm) y ‖f ′(x)− T‖ < ‖T−1‖−1 (3.4)
Como f es diferenciable en 0, para h ∈ U tenemos
f(h) = T (h) + ra(h) donde limh→0
ra(h)‖h‖
= 0
Observe que‖ra(h1)− ra(h2)‖ = ‖f(h1)− f(h2)− T (h1 − h2)‖
Por el Corolario 3 de la desigualdad del valor medio
‖ra(h1)− ra(h2)‖ ≤ ε‖h1 − h2‖, ∀ h1, h2 ∈ Bδ(0)
Luego r0 es Lipschitz en Bδ(0), con Lip(r0) ≤ ε < ‖T−1‖−1. De esta manera, por el Teorema de laperturbacion de un isomorfismo, concluimos que f es un homeomorfismo de Bδ(0) sobre f(Bδ(0)).
Denotando W0 = Bδ(0), W ′0 = f(Bδ(0)), claramente W0 ⊆ U y W ′
0 son abiertos y f∣
∣
Wa: Wa → W ′
a
es un homeomorfismo de W0 sobre W ′0. Sea y ∈ W ′
0 entonces ∃x ∈ W0 tal que f(x) = y. Como x ∈W0 = Bδ(0), de (3.4), f ′(x) ∈ GL(Rm), luego por el Teorema de la diferenciabilidad del homeomorfismoinverso, f−1 : W ′
0 → W0 es diferenciable en f(x) = y, ∀ y ∈ W ′0 de esta manera f−1 es diferenciable en
W ′0. Luego, por la Proposicion 3.2.5, f
∣
∣
Wa∈ Diff k(Wa; W ′
a).
Observacion: Si en el Teorema de la funcion inversa reemplazamos la hipotesis de ser f ∈ Ck(U ;Rm)(k ≥ 1) por f diferenciable en U , entonces el resultado no es necesariamente cierto.
Analisis Real II 41
3.3 Inmersiones y Sumersiones
Definicion 3.3.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una funcion diferenciable en U . Decimos que fes una inmersion de U en Rn si y solo si f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva, ∀ x ∈ U .
Observacion. Si f : U ⊆ Rm → Rn es una inmersion de U en Rn entonces m ≤ n.
Ejemplo 3.3.1 Sea m ≤ n y consideremos
f : Rm → Rn
x 7→ f(x) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0)
Como f es lineal se tiene que f ′(x) = f , ∀ x ∈ Rm. De esta manera f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva,∀ x ∈ Rm. Ası f es una inmersion la cual es llamada inmersion canonica de Rm en Rn.
Ejemplo 3.3.2 Es facil reconocer si un camino diferenciable es una inmersion. En efecto, sea I ⊆ Run intervalo y α : I → Rn un camino diferenciable. Luego α es una inmersion de I en Rn si y solo siα′(t) ∈ L(R;Rn) es inyectiva ∀ t ∈ I si y solo si α′(t) 6= 0, ∀ t ∈ I.
Ejemplo 3.3.3 Sea el caminoα : R → R2
t 7→ α(t) = (t2, t3)
Como α′(t) = (2t, 3t2) se sigue que α′(0) = (0, 0). Concluimos que α no es una inmersion de R en R2.
Ejemplo 3.3.4 Sea el camino
α : R → R2
t 7→ α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4)
Como α′(t) = (3t2 − 4, 2t), se tiene α′(t) 6= (0, 0), ∀ t ∈ R, luego α es una inmersion de R en R2.
Observaciones.
1. Una funcion inyectiva no necesariamente es una inmersion (ver Ejemplo 3.3.3).
2. Una inmersion no necesariamente es una funcion inyectiva (ver Ejemplo 3.3.4).
El Teorema siguiente nos muestra que toda inmersion suficientemente suave, se comporta localmentecomo la inclusion canonica y por lo tanto es “localmente inyectiva”.
Teorema 3.3.1 (Forma Local de las Inmersiones) Sea U ⊆ Rm un abierto, f ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1y n ≥ m) y a ∈ U . Si f ′(a) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva entonces existen abiertos Wa ⊆ U , Za ⊆ Rn−m yW ′
a ⊆ Rn con a ∈ Wa, 0 ∈ Za y f(a) ∈ W ′a y existe ha ∈ Diff k(W ′
a,Wa × Za) tales que ha(f(a)) = (a, 0)y
(ha f)(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0), ∀ (x1, . . . , xm) ∈ Wa.
Analisis Real II 42
Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 ∈ Rm y f(a) = 0 ∈ Rn (casocontrario, consideramos traslaciones). Sea E = Im [f ′(0)], como f ′(0) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva entoncesdimRE = m. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que E es generado por las primeras m filasde la matriz f ′(0), es decir si f = (f1, f2, . . . , fn) entonces
∂(f1, . . . , fm)∂(x1, . . . , xm)
(0) ∈ GL(Rm).
Mas aun, por un cambio lineal de coordenadas podemos suponer que
∂(f1, . . . , fm)∂(x1, . . . , xm)
(0) = I
Observe que la igualdad anterior implica que
f(x) = (x1, . . . , xm, fm+1(x1, . . . , xm), . . . , fn(x1, . . . , xm))
Consideremos el mapeo
ϕ : U × Rn−m → Rn
(x′, x′′) 7→ ϕ(x′, x′′) = (x′, xm+1 + fm+1(x′), . . . , xn + fn(x′))
en donde x′ = (x1, · · · , xm) y x′′ = (xm+1, · · · , xn). Claramente ϕ ∈ Ck(U ×Rn−m;Rn), ϕ(0) = 0 ∈ Rn y
Jϕ(0) =∂(x1, · · · , xm, xm+1 + fm+1, . . . , xn + fn)
∂(x1, . . . , xn)(0)
=
∂(x1, · · · , xm)∂(x1, . . . , xm)
(0)∂(x1, · · · , xm)
∂(xm+1, . . . , xn)(0)
∂(xm+1+ fm+1, . . . , xn+fn)∂(x1, . . . , xm)
(0)∂(xm+1+fm+1, . . . , xn + fn)
∂(xm+1, . . . , xn)(0)
=[
I ΘB I
]
∈ GL(Rn)
Luego, por el Teorema de la funcion inversa, existen abiertos Va ⊆ U , Za ⊆ Rn−m y W ′a ⊆ Rn con
a = 0 ∈ Va, 0 ∈ Z0 y f(a) = 0 ∈ W ′a tales que ϕ
∣
∣
V0×Z0∈ Diff k(Va × Za,W ′
a). Ahora bien, seaψ = (fm+1, . . . , fn) : U → Rn−m, note que f(x′) = (x′, ψ(x′)). Se sigue que ψ es continua, luego
Wa = Va ∩ ψ−1(Za) es un abierto. Denotando ha =(
ϕ∣
∣
Wa×Za
)−1, tenemos
ϕ(x′, x′′) = (x′, x′′ + ψ(x′)) = (y′, y′′), ∀ (x′, x′′) ∈ Wa × Za
Luegoha(y′, y′′) = (x′, x′′) = (y′, y′′ − ψ(y′)), ∀ (y′, y′′) ∈ W ′
a
De esta manera, para cualquier x′ ∈ Wa se tiene
(ha f)(x′) = ha(f(x′)) = ha(x′, ψ(x′)) = (x′, ψ(x′)− ψ(x′)) = (x′, 0)
Esto prueba el teorema.
Corolario. Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1 y n ≥ m) una inmersion de U en Rn
entonces f es localmente inyectiva.
Analisis Real II 43
Definicion 3.3.2 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una funcion diferenciable en U . Decimos que fes una sumersion de U en Rn si y solo si f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, ∀ x ∈ U .
Observacion. Si f : U ⊆ Rm → Rn es una sumersion de U en Rn entonces m ≥ n.
Ejemplo 3.3.5 Sea m ≥ n y consideremos la proyeccion
π : Rm → Rn
x 7→ π(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn)
Como π es lineal se tiene que π′(x) = π, ∀ x ∈ Rm. De esta manera π′(x) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva,∀ x ∈ Rm. Ası π es una sumersion de Rm en Rn .
Ejemplo 3.3.6 Es facil reconocer si una funcion diferenciable a valores reales es una sumersion de sudominio en R. En efecto, sea U ⊆ Rm un abierto f : U → Rn una funcion diferenciable. Luego f esuna sumersion de U en Rn si y solo si f ′(x) ∈ L(Rm;R) = (Rm)∗ es sobreyectiva ∀ x ∈ U si y solo sif ′(x) ≈ ∇f(x) 6= 0, ∀ x ∈ U .
Ejemplo 3.3.7 Sea ϕ : I → R una funcion diferenciable sobre el intervalo I ⊆ R y consideremos
f : I × R → R(x, y) 7→ f(x, y) = y − ϕ(x)
Es claro que f es diferenciable en U = I × R ⊆ R2 y como ∇f(x, y) = (ϕ′(x), 1), concluimos que f esuna sumersion de U en R.
Ejemplo 3.3.8 Seaf : R3 → R
(x, y, z) 7→ f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
Es claro que f es diferenciable en R3 y ∇f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z), luego ∇f(0, 0, 0) = (0, 0, 0). Concluimosque f no es una sumersion de R3 en R.
El Teorema siguiente nos muestra que toda sumersion suficientemente suave, se comporta localmentecomo una proyeccion.
Teorema 3.3.2 (Forma Local de las Sumersiones) Sea U ⊆ Rm un abierto, f ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1y n ≤ m) y a = (a′, a′′) ∈ U , donde a′ = (a1, . . . , an) y a′′ = (an+1, . . . , am). Si f ′(a) ∈ L(Rm;Rn) essobreyectiva entonces existen abiertos Wa ⊆ U , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa, f(a) ∈ Va y a′′ ∈ Zay existe ha ∈ Diff k(Va × Za, Wa) tales que ha(f(a), a′′) = a y
(f ha)(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yn), ∀ (y1, . . . , yn) ∈ Va × Za.
Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 ∈ Rm y f(a) = 0 ∈ Rn
(caso contrario, consideramos traslaciones). Por hipotesis f ′(0) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, luego
Analisis Real II 44
Im(f ′(0)) = f ′(0)(Rm) tiene dimension n, podemos suponer (salvo un cambio lineal de coordenadas) quef ′(0)(e1), . . . , f ′(0)(en) generan Im(f ′(0)). Si denotamos f = (f1, . . . , fn) entonces
A =∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xn)
(0) ∈ GL(Rn).
Denotemos ϕ1 = f1, . . . , ϕn = fn y considero ϕn+1 = πn+1, . . . , ϕm = πm ∈ Ck(U) (dondeπj(x1, . . . , xm) = xj). Si ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) : U → Rm, es claro que ϕ ∈ Ck(U ;Rm), ϕ(0) = 0 y
∂(ϕ1, . . . , ϕm)∂(x1, . . . , xm)
(0) =
∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xn)
(0)∂(f1, . . . , fn)
∂(xn+1, . . . , xm)(0)
∂(πn+1, . . . , πm)∂(x1, . . . , xn)
(0)∂(πn+1, . . . , πm)∂(xn+1, . . . , xm)
(0)
=[
A BΘ I
]
∈ GL(Rm)
es decir ϕ′(0) ∈ GL(Rm). Por el Teorema de la Funcion Inversa existen abiertos Wa ⊆ U y W ′a =
Va×Za ⊆ Rn×Rm−n con 0 ∈ Wa, f(0) ∈ Va, 0 ∈ Za tales que ϕ∣
∣
Wa: Wa → Va×Za es un difeomorfismo
de clase Ck. Denotemos ha =(
ϕ∣
∣
Wa
)−1: Va × Za → Wa. Observe que
ϕ(x) = (f1(x), . . . , fn(x), xn+1, . . . , xm) = (y1, . . . , yn, yn+1, . . . , ym)
luego para cualquier (y1, . . . , ym) ∈ Va × Za tenemos
(f ha)(y1, . . . , ym) = f(x) = (f1(x), · · · , fn(x)) = (y1, . . . , yn)
Observacion: Si en la demostracion del Teorema de la Forma Local de las Sumersiones suponemos quelos n ultimos vectores f ′(0)(em−n+1), . . . , f ′(0)(em) generan Im f ′(0), (esto es equivalente a decir que
∂(f1, . . . , fn)∂(xm−n+1, . . . , xm)
(0) ∈ GL(Rn)),
entonces f se comporta localmente como la proyeccion sobre las ultimas n coordenadas. Mas especıfi-camente, existen abiertos Wa ⊆ U , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa, f(a) ∈ Va y a′ ∈ Za (dondea = (a′, a′′) ∈ Rm−n × Rn) y existe ha ∈ Diff k(Za × Va, Wa) tales que
(f ha)(y′, y′′) = y′′, ∀ (y′, y′′) ∈ Za × Va.
Ademas, el lector puede probar sin dificultad que ha es del tipo
ha(y′, y′′) = (y′, h2(y′, y′′)), ∀ (y′, y′′) ∈ Za × Va.
Teorema 3.3.3 (Teorema de la Funcion Implıcita) Sea U ⊆ Rm un abierto, a = (a′, a′′) ∈ U cona′ ∈ Rm−n, a′′ ∈ Rn. Si f = (f1, . . . , fn) ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1 y n ≤ m) es tal que
∂(f1, . . . , fn)∂(xm−n+1, . . . , xm)
(a) ∈ GL(Rn).
Analisis Real II 45
Entonces existen abiertos Wa ⊆ U y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa y a′ ∈ Za tal que ∀ y′ ∈ Za, existe un unicoy′′ = y′′(x) ∈ Rn con la propiedad (y′, y′′) ∈ Wa y f(y′, y′′) = c = f(a). Ademas la funcion
ga : Za → Rn
y′ 7→ ga(y′) = y′′
es de clase Ck en Za y para cualquier y′ ∈ Za se tiene
g′a(y′) = −[
∂(f1, . . . , fn)∂(xm−n+1, . . . , xm)
(y′, ga(y′))]−1 ∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xm−n)(y′, ga(y′))
Demostracion. Por la observacion anterior, existen abiertos Wa ⊆ U , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n cona ∈ Wa, c = f(a) ∈ Va y a′ ∈ Za y existe un difeomorfismo de clase Ck
ha : Za × Va → Wa
(y′, y′′) 7→ (y′, h2(y′, y′′))
tales que(f ha)(y′, y′′) = y′′, ∀ (y′, y′′) ∈ Za × Va.
Sea y′ ∈ Za, defino y′′ = y′′(y′) = h2(y′, c), se sigue que (y′, y′′) = (y′, h2(y′, c)) = ha(y′, c) ∈ Wa y enconsecuencia f(y′, y′′) = f ha(y′, c) = c, ∀ y′ ∈ Za. Para demostrar que este y′′ es unico, sea y ∈ Rn talque (y′, y) ∈ Wa y f(y′, y) = c. Como ha ∈ Diff k(Za × Va,Wa) difeomorfismo, existe (z′, z′′) ∈ Za × Va
tal que(z′, h2(z′, z′′)) = ha(z′, z′′) = (y′, y)
Se sigue que z′ = y′, ademasz′′ = f ha(z′, z′′) = f(y′, y) = c,
luego y = h2(z′, z′′) = h2(y′, c) = y′′, esto prueba la unicidad de y′′. Defino
ga : Za → Rn
y′ 7→ ga(y′) = y′′ = h2(y′, c)
Claramente ga es de clase Ck en Za, ademas como para cualquier y′ ∈ Za se cumple f(y′, ga(y′)) = c,definiendo la funcion α : Za → Wa como α(y′) = (y′, ga(y′)), tenemos
f ′(α(y′))α′(y′) = 0 (3.5)
Pero si denotamos ga = (g1, . . . , gn) se tiene
α′(y′) =∂(y1, . . . , ym−n, g1, . . . , gn)
∂(y1, . . . , ym−n)(y′) =
∂(y1, . . . , ym−n)∂(y1, . . . , ym−n)
(y′)
∂(g1, . . . , gn)∂(y1, . . . , ym−n)
(y′)
=[
Ig′a(y′)
]
(3.6)
f ′(α(y′)) =∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm)
(α(y′)) =[
∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm−n)
(α(y′)),∂(f1, . . . , fn)
∂(xm−n+1, . . . , xm)(α(y′))
]
(3.7)
Analisis Real II 46
Reemplazando (3.6) y (3.7) en (3.5) tenemos
∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm)
(α(y′)) +∂(f1, . . . , fn)
∂(xm−n+1, . . . , xm)(α(y′)) · ga(y′) = 0
lo cual implica
g′a(y′) = −[
∂(f1, . . . , fn)∂(xm−n+1, . . . , xm)
(α(y′))]−1 ∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xm−n)(α(y′))
Observacion. En el caso que n = 1, tenemos el Teorema de la funcion implıcita estudiado en Analisis I.
3.4 El Teorema del Rango
Recordemos que el rango de una transformacion lineal T ∈ L(Rm,Rn) es definido como la dimension deIm (T ), o equivalentemente, como el numero maximo de vectores filas o vectores columnas linealmenteindependientes de cualquier matriz asociada a T .
Definicion 3.4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una funcion diferenciable en U . El rango de fen a ∈ U , denotado rang a(f) es el rango de f ′(a) ∈ L(Rm;Rn).
Observacion: Si U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn entonces rang a(f) ≤ minm, n, ∀ a ∈ U .
Ejemplo 3.4.1 Sea
f : R2 → R4
(x, y) 7→ f(x, y) = (x2 + y, x2 − y3, x− y, x2 + y2)
Se tiene que
Jf(x, y) =
2x 12x −3y2
1 −12x 2y
∈ R4×2
Concluimos que rang (x,y)(f) = 2, ∀ (x, y) ∈ R2.
Ejemplo 3.4.2 Sea f : Rm → Rn definida por
f(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)
donde k ≤ minm,n. Se sigue que rang x(f) = k, ∀ x ∈ Rm. Esta funcion f es llamada proyeccioncanonica de rango k.
Ejemplo 3.4.3 Sea α = (α1, . . . , αn) : I ⊆ R→ Rn diferenciable en el intervalo I. Si α′(t) = 0 entoncesα tiene rango 0 en t, pero si α′(t) 6= 0 entonces α tiene rango 1 en t.
Analisis Real II 47
Ejemplo 3.4.4 Sea f : U → R diferenciable en el abierto U ⊆ Rm I. Si f ′(x) = 0 entonces f tienerango 0 en x, pero si f ′(x) 6= 0 entonces f tiene rango 1 en x.
Ejemplo 3.4.5 Sea f : U ⊆ Rm → Rn. Si f es una inmersion entonces rang x(f) = m = minm,n,∀ x ∈ U , pero si f es una sumersion entonces rang x(f) = n = minm,n, ∀ x ∈ U . Es por esta razonque las inmersiones y sumersiones son llamadas funciones de rango maximo
El siguiente resultado establece que si f : U → Rn tiene rango constante k en el abierto U ⊆ Rm,entonces en cada punto de su dominio se comporta localmente (por un cambio de coordenadas) como laproyeccion canonica de rango k.
Teorema 3.4.1 (El Teorema del Rango) Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ Cp(U ;Rn) (p ≥ 1) tal querang x(f) = k, ∀ x ∈ U . Entonces para todo a ∈ U existen abiertos Ua ⊆ U , Ub ⊆ Rn, V ⊆ Rk, W ⊆Rm−k y Z ⊆ Rn−k con a ∈ Ua y b = f(a) ∈ Ub, 0 ∈ V , 0 ∈ W , 0 ∈ Z y existen Ga ∈ Diff p(Ua, V ×W ) yGb ∈ Diff p(Ub, V × Z) tales que Ga(a) = 0 ∈ Rm, Gb(b) = 0 ∈ Rn y Gb f G−1
a : V ×W → V × Z esdada por
(
Gb f G−1a
)
(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yk, 0, . . . , 0)
Demostracion. Sin perdida de generalidad podemos, podemos suponer a = 0 ∈ Rm, b = 0 ∈ Rn,ademas por un cambio de coordenadas lineal, podemos suponer tambien que
rang[
∂(f1, . . . , fk)∂(x1, . . . , xk)
(a)]
= k,
en donde f = (f1, . . . , fn).Definimos ϕ1 = f1, . . . , ϕk = fk y escogemos ϕk+1 = πk+1, . . . , ϕm = πm. Si ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) : U → Rn
entonces ϕ ∈ Cp(U ;Rm), ϕ(a) = 0 y
Jϕ(a) =∂(ϕ1, . . . , ϕm)∂(x1, . . . , xm)
(a) =
∂(f1, . . . , fk)∂(x1, . . . , xk)
(a)∂(f1, . . . , fk)
∂(xk+1, . . . , xm)(a)
∂(πk+1, . . . , πm)∂(x1, . . . , xk)
(a)∂(πk+1, . . . , πm)∂(xk+1, . . . , xm)
(a)
=[
A BΘ I
]
luego ϕ′(a) ∈ GL(Rm). Por el Teorema de la Funcion Inversa, existen abiertos U ′a ⊆ U y V ′
a ⊆ Rm cona ∈ U ′
a y 0 ∈ V ′a tales que ϕ
∣
∣
U ′a∈ Diff p(U ′
a, V ′a), denotemos Ga = ϕ
∣
∣
U ′a. Denotando (y1, . . . , ym) las
coordenadas de V ′a ⊆ Rm tenemos Ga(x) = y, es decir
(f1(x), . . . , fk(x), xk+1, . . . , xm) = (y1, . . . , ym)
luego
f G−1a (y) = f(x) = (f1(x), . . . , fk(x), fk+1(x), . . . , fn(x))
= (y1, . . . , yk, fk+1(G−1a (y)), . . . , fn(G−1
a (y))
= (y1, . . . , yk, hk+1(y), . . . , hn(y)) (3.8)
Analisis Real II 48
en donde hj = fj G−1a , k + 1 ≤ j ≤ n. Observe que hj ∈ Cp(V ′
a). Afirmo que las hj solo dependen delas variables y1, . . . , yk. En efecto, en primer lugar por la Regla de la Cadena
(
f G−1a
)′(y) = f ′(G−1
a (y)) · (G−1a )′(y), ∀ y ∈ V ′
a
Como (G−1a )′(y) ∈ GL(Rm) entonces
rang y
(
f G−1a
)
= rang y
(
f ′ G−1a
)
= k, ∀ y ∈ V ′a
Por otro lado
J(f G−1a )(y) =
∂(y1, . . . , yk, hk+1, . . . , hn)∂(y1, . . . , ym)
(y) =
∂(y1, . . . , yk)∂(y1, . . . , yk)
(y)∂(y1, . . . , yk)
∂(yk+1, . . . , ym)(y)
∂(hk+1, . . . , hn)∂(y1, . . . , yk)
(y)∂(hk+1, . . . , hn)∂(yk+1, . . . , ym)
(y)
=
I Θ
B∂(hk+1, . . . , hn)∂(yk+1, . . . , yn)
(y)
Como rang y
(
f G−1a
)
= k entonces
∂(hk+1, . . . , hn)∂(yk+1, . . . , ym)
(y) = Θ, ∀ y ∈ V ′a
y esto implica que hk+1, . . . , hn solo dependen de las variables y1, . . . , yk lo cual prueba la afirmacion.Luego de (3.8) tenemos que f G−1
a : V ′a → Rn es definida por
(
f G−1a
)
(y) = (y1, . . . , yk, hk+1(y1, . . . , yk), . . . , hn(y1, . . . , yk)) (3.9)
Por otro lado, sean W ′a ⊆ Rk, W ′′
a ⊆ Rm−k abiertos con 0 ∈ W ′a, 0 ∈ W ′′
a tales que W ′a ×W ′′
a ⊆ V ′a.
Definimos ψb : W ′a × Rn−k → Rn por
ψb(u) = (u1, . . . , uk, uk+1 + hk+1(u1, . . . , uk), . . . , un + hn(u1, . . . , uk)) (3.10)
Claramente ψb(0) = 0 = b y
Jψb(b)=∂(u1, . . . , uk, uk+1 + hk+1, . . . , un + hn)
∂(u1, . . . , un)(0)
=
I Θ
∂(uk+1 + hk+1, . . . , un + hn)∂(u1, . . . , uk)
∂(uk+1 + hk+1, . . . , un + hn)∂(uk+1, . . . , un)
=
I Θ
B I
∈ GL(Rn)
Luego, por el Teorema de la Funcion Inversa, existen abiertos V ⊆ W ′a, Z ⊆ Rn−k y Ub ⊆ Rn con
0 ∈ V , 0 ∈ Z y b ∈ Ub tales que ψb∣
∣
V×Z ∈ Diff p(V × Z,Ub). Sea W ⊆ W ′′a abierto con 0 ∈ W tal que
Analisis Real II 49
V ×W ⊆ (f G−1a )−1(Ub). Denotando Ua = G−1
a (V ×W ) y Gb =(
ψb∣
∣
V×Z
)−1: Ub → V ×Z de (3.9) y
(3.10) tenemos
G−1b (y1, . . . , yk, 0, . . . , 0) = ψb(y1, . . . , yk, 0, . . . , 0) = (y1, . . . , yk, hk+1(y1, . . . , yk), . . . , hn(y1, . . . , yk))
=(
f G−1a
)
(y)
luego(
Gb f G−1a
)
(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yk, 0, . . . , 0).
Corolario. Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ C1(U ;Rn) tal que el rango de f es constante en U . Entonces
1. f es localmente inyectiva si y solo si f es una inmersion.
2. f es abierta si y solo si f es una sumersion.
Demostracion. 1) (⇒) Supongamos que f no es una inmersion (Hip. Aux.) entonces ∃ a ∈ U tal quef ′(a) ∈ L(Rm;Rn) no es inyectiva, luego rang a(f) = k < m, por hipotesis rang x(f) = k < m, ∀ x ∈ U .Por el Teorema del Rango existen abiertos Ua ⊆ U , Ub ⊆ Rn, V ⊆ Rk, W ⊆ Rm−k y Z ⊆ Rn−k y existenGa ∈ Diff 1(Ua, V ×W ) y Gb ∈ Diff 1(Ub, V ×Z) tales que Gb f G−1
a : V ×W → V ×Z es de la forma
Gb f G−1a (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)
Por hipotesis, podemos suponer que f es inyectiva en Ua, luego Gb f G−1a serıa inyectiva en V ×W ,
lo cual es una contradiccion.(⇐) Forma local de las inmersiones.
2) (⇒) Supongamos que f no es una sumersion (Hip. Aux.) entonces ∃ a ∈ U tal que f ′(a) ∈ L(Rm;Rn)no es sobreyectiva, luego rang a(f) = k < n, por hipotesis rang x(f) = k < n, ∀ x ∈ U . Por elTeorema del Rango existen abiertos Ua ⊆ U , Ub ⊆ Rn, V ⊆ Rk, W ⊆ Rm−k y Z ⊆ Rn−k y existenGa ∈ Diff 1(Ua, V ×W ) y Gb ∈ Diff 1(Ub, V ×Z) tales que Gb f G−1
a : V ×W → V ×Z es de la forma
Gb f G−1a (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)
Como f es abierta, Ga, Gb son difeomorfismos y V ×W es abierto entonces(
Gb f G−1a
)
(V ×W ) =V × 0, lo cual es una contradiccion.
(⇐) Sea W ⊆ U abierto, dado a ∈ W , por hipotesis f ′(a) es sobreyectiva, luego por la Forma local delas sumersiones existen abiertos Wa ⊆ W , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa, f(a) ∈ Va y a′′ ∈ Za yexiste ha ∈ Diff 1(Va × Za,Wa) tal que f ha es una proyeccion y por tanto es una funcion abierta, ası(f ha) (Va × Za) es un conjunto abierto.
Por otro lado, observe queW =
⋃
a∈W
Wa =⋃
a∈W
ha(Va × Za)
luego
f(W ) = f
(
⋃
a∈W
ha(Va × Za)
)
=⋃
a∈W
(f ha)(Va × Za)
Se sigue que f(W ) es abierto.
Capıtulo 4
Introduccion a la Teorıa deSuperficies en Rn
4.1 Definicion de Superficie
Definicion 4.1.1 Sea V ⊆ Rn, una parametrizacion de clase Ck (k ≥ 1) y dimension m del conjuntoV es un par (V0, ϕ), donde V0 ⊆ Rm es un abierto y ϕ : V0 → V es una funcion que satisface las doscondiciones siguientes:
1. ϕ ∈ Hom (V0, V ).
2. ϕ es una inmersion de clase Ck.
Observaciones.
1. Si V ⊆ Rn y (V0, ϕ) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m de V entonces m ≤ n.
2. Si V ⊆ Rn y (V0, ϕ) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m de V entonces todo puntop ∈ V no obstante estar en Rn, necesita solo de m coordenadas para determinar su posicion, a saber
p = (ϕ1(x1, . . . , xm), . . . , ϕn(x1, . . . , xm))
Ejemplo 4.1.1 Sea U ⊆ Rn un abierto, entonces (U, id) es una parametrizacion de clase C∞ y dimensionn de U .
Ejemplo 4.1.2 Sean V = S1 − 0, V0 = ]0, 2π[ y
ϕ : V0 → Vt 7→ ϕ(t) = (cos t, sen t)
Entonces (V0, ϕ) es una parametrizacion de clase C∞ y dimension 1 de V .
50
Analisis Real II 51
Ejemplo 4.1.3 Sean V = (t3 − t, t2) : t ∈ ]− 1, +∞[, V0 = ]− 1, +∞[ y
ϕ : V0 → Vt 7→ ϕ(t) = (t3 − t, t2)
Es claro que ϕ es biyectiva, ademas como ϕ′(t) = (3t2 − 1, 2t) entonces ϕ′(t) 6= (0, 0), ∀ t ∈ V0 luego ϕ esuna inmersion de clase C∞ de V0 en V , sin embargo (V0, ϕ) no es una parametrizacion de clase C∞ de Vpuesto que ϕ no es un homeomorfismo entre V0 y V . En efecto, suponiendo por el absurdo que ϕ es un
homeomorfismo entonces ϕ−1 : V → V0 es continua. Consideremos tn =1n− 1, se tiene que (tn) ⊆ V0,
ϕ(tn) =(
(1n− 1)3 − (
1n− 1), (
1n− 1)2
)
luego limn→∞
ϕ(tn) = (0, 1) y como ϕ−1 es continua se tiene
−1 = limn→∞
tn = limn→∞
ϕ−1(ϕ(tn)) = ϕ−1(0, 1) = 1
lo cual es una contradiccion.
Definicion 4.1.2 Una superficie de dimension m y clase Ck (k ≥ 1) en Rn es un subconjunto M ⊆ Rn
tal que para todo punto p ∈ M , existe una vecindad abierta Up ⊆ Rn de p tal que Up ∩M admite unaparametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m.
Observaciones.
1. Up ∩M es llamada vecindad parametrizada del punto p ∈ M .
2. La funcion ϕp : Vp → Up ∩M es un homeomorfismo entre Vp y Up ∩M .
3. Si M ⊆ Rn es una superficie de dimension m, entonces denotaremos Mm.
4. Sea Mm ⊆ Rn una superficie, el numero n−m es llamado codimension de M .
5. Las superficies de dimension 1 en Rn son llamadas curvas. Las superficies de dimension n − 1 enRn son llamadas hiperficies.
Ejemplo 4.1.4 (Superficies de dimension n en Rn) Todo abierto U ⊆ Rn es una superficie dedimension n y de clase C∞ en Rn. En efecto, es suficiente considerar (U, id) la cual es una parametrizacionde clase C∞ y dimension n de U .
Ejemplo 4.1.5 (Superficies de dimension 0 en Rn) M0 ⊆ Rn es una superficie de clase Ck si y solosi para todo p ∈ M existe Up ⊆ Rn abierto tal que Up ∩M admite una parametrizacion (Vp, ϕp) de claseCk y dimension 0 si y solo si Vp = 0 y Up ∩M = p. Concluimos que M0 ⊆ Rn es una superficie declase Ck si y solo si M0 es un subconjunto discreto de Rn.
Ejemplo 4.1.6 (La esfera unitaria Sn−1 ⊆ Rn) Recordemos que
Sn−1 = x ∈ Rn : ‖x‖ = 1.
Analisis Real II 52
Afirmo que Sn−1 es una superficie de clase C∞ y dimension n− 1 de Rn. En efecto, sea i ∈ 1, 2, . . . , n,definimos los conjuntos
U+i = y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn : yi > 0
yU−
i = y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn : yi < 0Observe que U+
i y U−i son los semiespacios abiertos determinados por el hiperplano yi = 0. Claramente
U+i , U−
i 1≤i≤n es una coleccion de conjuntos abiertos que cubren Sn−1. Vamos a parametrizar U+i ∩Sn−1
y U−i ∩ Sn−1. Denotemos V0 = x ∈ Rn−1 : ‖x‖ < 1. Note que V0 ⊆ Rn−1 es un conjunto abierto.
Definimos las funciones
ϕ+i : V0 → U+
i ∩ Sn−1
x 7→ ϕ+i (x) = (x1, . . . , xi−1,
√
1− ‖x‖2, xi, . . . , xn−1)
yϕ−i : V0 → U−
i ∩ Sn−1
x 7→ ϕ+i (x) = (x1, . . . , xi−1,−
√
1− ‖x‖2, xi, . . . , xn−1)
Es facil ver que(
ϕ+i
)−1: U+
i ∩ Sn−1 → V0
y 7→(
ϕ+i
)−1(y) = (y1, . . . , yi−1, yi+1, . . . , yn)
y(
ϕ−i)−1
: U−i ∩ Sn−1 → V0
y 7→(
ϕ−i)−1
(y) = (y1, . . . , yi−1, yi+1, . . . , yn)
luego(
V0, ϕ+i
)
y(
V0, ϕ−i)
(1 ≤ i ≤ n) son parametrizaciones de clase C∞ y dimension n−1 de U+i ∩Sn−1
y U−i ∩ Sn−1 respectivamente.
Ejemplo 4.1.7 (Superficies Producto) Sean Mm11 ⊆ Rn1 y Mm2
2 ⊆ Rn2 dos superficies de clase Ck.Afirmo que M1 × M2 ⊆ Rn1+n2 es una superficie de clase Ck y dimension m1 + m2. En efecto, seap = (p1, p2) ∈ M1 ×M2 entonces existen abiertos U1 ⊆ Rn1 y U2 ⊆ Rn2 tales que p1 ∈ U1 ∩M1 y p2 ∈U2 ∩M2. Sean (V1, ϕ1) y (V2, ϕ2) parametrizaciones de clase Ck y dimensiones m1 y m2 respectivamentede U1 ∩M1 y U2 ∩M2. Defino V = V1 × V2 abierto de Rm1+m2 y
ϕ : V → (U1 ∩M1)× (U2 ∩M2)(x, y) 7→ ϕ(x, y) = (ϕ1(x), ϕ2(y))
Es facil ver que (V, ϕ) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m1+m2 de (U1∩M1)×(U2∩M2) =(U1 × U2) ∩ (M1 ×M2).
De manera analoga se prueba que si Mm11 ⊆ Rn1 , . . . , Mms
s ⊆ Rns son superficies de clase Ck entoncesM1 × · · · ×Ms ⊆ Rn1+···+ns es una superficie de clase Ck y dimension m1 + · · ·+ ms.
Ejemplo 4.1.8 (Toros n-dimensionales) Sabemos que S1 ⊆ R2 es una superficie (curva) de clase C∞
y dimension 1 entoncesTn = S1 × · · · × S1
︸ ︷︷ ︸
n veces⊆ R2n
es una superficie de clase C∞ y dimension n en R2n llamado Toro n-dimensional.
Analisis Real II 53
Ejemplo 4.1.9 (Cilindros) Si U ⊆ Rn es un abierto entonces
Cn+1 = S1 × U ⊆ Rn+2
es una superficie (hiperficie) de clase C∞ y dimension n+1 en Rn+2 llamada Cilindro n+1 dimensional.En particular C2 = S1 × I (donde I ⊆ R es un intervalo abierto) es un cilindro bidimensional en R3.
4.2 Cambios de Coordenadas
Sea Mm ⊆ Rn una superficie de clase Ck y p ∈ M entonces por definicion de superficie, debe existirUp ⊆ Rn vecindad abierta de p tal que Up ∩ M admite una parametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck ydimension m. Supongamos que exista U ′
p ⊆ Rn otra vecindad abierta de p tal que U ′p ∩M admita una
parametrizacion (V ′p , ϕ′p) de clase Ck y dimension m. Es claro que (Up ∩ U ′
p) ∩ M 6= ∅ y denotemosW = (Up ∩ U ′
p) ∩ M . Se tiene que cualquier punto q ∈ W (en particular p) es representado por dosm-uplas de numeros reales
ϕ−1p (q) = (x1(q), . . . , xm(q)) y (ϕ′p)
−1(q) = (y1(q), . . . , ym(q))
Ambas coordenadas son compatibles via el homeomorfismo
(ϕ′p)−1 ϕp : ϕ−1
p (W ) ⊆ Vp → (ϕ′p)−1(W ) ⊆ V ′
p
Las funciones (ϕ′p)−1 ϕp son llamadas cambios de coordenadas. Observe que por definicion de superficie,
los cambios de coordenadas son funciones continuas, resulta natural indagar sobre la diferenciabilidadde los cambios de coordenadas. En primer lugar se tiene que ϕp : ϕ−1
p (W ) ⊆ Rm → W ⊆ Rn es, pordefinicion de superficie, una funcion de clase Ck sin embargo no sabemos responder sobra la diferenciabili-dad de (ϕ′p)
−1 : W → (ϕ′p)−1(W ) ⊆ Rm puesto que ¡W no es un subconjunto abierto de Rn!. Recordemos
que si A ⊆ Rn es un conjunto no necesariamente abierto, f : A → Rm y a /∈ int (A) entonces tenemosdificultades en definir f ′(a). Una manera de subsanar este fenomeno serıa suponer que existe un abiertoU ⊆ Rn con A ⊆ U y que exista una funcion f : U → Rm tal que f
∣
∣
A = f (es decir f es una extensionde f). En estas condiciones podemos definir f ′(a) = f ′(a). ¿Podemos hacer esto cuando W ⊆ M?
Teorema 4.2.1 Sea M ⊆ Rn. Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:
1. M es una superficie de clase Ck y dimension m.
2. Dado p ∈ M existen abiertos U ′p ⊆ Rn, V ′
p ⊆ Rm y W ′p ⊆ Rn−m con p ∈ U ′
p, 0 ∈ V ′p , 0 ∈ W ′
p yexiste ψp ∈ Diff k(U ′
p, V′p ×W ′
p) tal que ψp(p) = 0 y ψp(U ′p ∩M) = V ′
p × 0.
Demostracion. (1. ⇒ 2.) Si Mm ⊆ Rn es una superficie, dado p ∈ M , existe Up ⊆ Rn abierto conp ∈ Up tal que Up∩M admite una parametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m. Podemos suponer(vıa una traslacion) que 0 ∈ Vp y ϕp(0) = p.
Por la forma local de las inmersiones, existen abiertos V ′p ⊆ Vp ⊆ Rm, U ′
p ⊆ Up ⊆ Rn y W ′p ⊆ Rn−m
con 0 ∈ V ′p , p ∈ U ′
p y 0 ∈ W ′p y existe ψp ∈ Diff k(U ′
p, V′p ×W ′
p) tal que
ψp ϕp(x) = (x, 0) ∀x ∈ V ′p
Analisis Real II 54
Observe que si z ∈ U ′p ∩M entonces existe un x ∈ V ′
p tal que ϕp(x) = z, luego
ψp(z) = ψp(ϕp(x)) = (x, 0) ∈ V ′p × 0
es decir ψp(U ′p ∩M) ⊆ V ′
p × 0.Por otro lado, si (x, 0) ∈ V ′
p × 0 entonces ϕp(x) ∈ U ′p ∩M , luego (x, 0) = ψp(ϕp(x)) ∈ ψp(U ′
p ∩M),es decir V ′
p × 0 ⊆ ψp(U ′p ∩M).
(2. ⇒ 1.) Dado p ∈ M , por hipotesis ψ−1p ∈ Diff k(V ′
p ×W ′p, U
′p), sean
i : V ′p → V ′
p ×W ′p
x 7→ i(x) = (x, 0)y
π : V ′p ×W ′
p → V ′p
(x, y) 7→ π(x, y) = x
Claramente π∣
∣
V ′p×0es la inversa de i, se sigue que i ∈ Diff∞(V ′
p , V ′p × 0). Defino ϕp : V ′
p → U ′p ∩M
como ϕp = ψ−1p i. Inmediatamente se desprende que (V ′
p , ϕp) es una parametrizacion de clase Ck ydimension m de U ′
p ∩M .
Observacion: Con la notacion del teorema anterior, se tiene que ϕ−1p = (π ψp)
∣
∣
∣
∣
U ′p∩M, luego π ψp :
U ′p → V ′
p es una extension de ϕ−1p y como π ψp es de clase Ck concluimos que ϕ−1
p es de clase Ck enU ′
p ∩Mm . En particular los cambios de coordenadas son difeomorfismos de clase Ck.
El teorema anterior nos permite extender el concepto de diferenciabilidad a funciones que estandefinidas en superficies.
Definicion 4.2.1 Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : M → Rs
1. Decimos que f es diferenciable en el punto p ∈ M si y solo si existe una parametrizacion (Vp, ϕp)de clase Ck y dimension m, con p ∈ ϕp(Vp) ⊆ M tal que f ϕp : Vp → Rs es diferenciable en elpunto ϕ−1
p (p) ∈ Vp.
2. Decimos que f es diferenciable en M si y solo si f es diferenciable en p, ∀ p ∈ M .
A continuacion, probaremos que la definicion anterior no depende de la parametrizacion elegida.
Teorema 4.2.2 Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : M → Rs. Las dos afirmacionessiguientes son equivalentes:
1. f es diferenciable en p ∈ M .
2. Para toda parametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m, con p ∈ ϕp(Vp) ⊆ M se tiene quef ϕp : Vp → Rs es diferenciable en el punto ϕ−1
p (p) ∈ Vp.
Demostracion. (1. ⇒ 2.) Por hipotesis, existe parametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m, conp ∈ ϕp(Vp) ⊆ M tal que f ϕp : Vp → Rs es diferenciable en el punto ϕ−1
p (p) ∈ Vp. Sea (Wp, ψp) otraparametrizacion de clase Ck y dimension m con p ∈ ψp(Wp). Debemos probar que f ψp : Wp → Rs esdiferenciable en el punto ψ−1
p (p).
Analisis Real II 55
Observe que V = ϕp(Vp) ∩ ψp(Wp) 6= ∅ es un abierto en M , luego ϕ−1p (V ) y ψ−1
p (V ) son abiertos deRm. Como ϕ−1
p ψp : ψ−1p (V ) → ϕ−1
p (V ) es un difeomorfismo de clase Ck, tenemos
f ψp = (f ϕp) (ϕ−1p ψp) : ψ−1
p (V ) → Rs
es diferenciable en ψ−1p (p).
(2. ⇒ 1.) Trivial.
Observaciones:
1. La nocion de funcion de clase Cj definida en una superficie de clase Ck (1 ≤ j ≤ k) es analoga ala definicion de funcion diferenciable. En efecto, sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1)y f : M → Rs, decimos que f es de Clase Cj en M (1 ≤ j ≤ k) si y solo si ∀ p ∈ M , existe unaparametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m, con p ∈ ϕp(Vp) ⊆ M tal que f ϕp : Vp → Rs
es de clase Cj en Vp.
No es difıcil probar que esta definicion es independiente de la parametrizacion (Vp, ϕp) (¡Ejercicio!).
2. Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck y (Vp, ϕp) una parametrizacion de clase Ck y dimensionm, con ϕp(Vp) ⊆ M . Entonces ϕ−1
p : ϕp(Vp) → Rm es de clase Ck en ϕp(Vp).
3. Sean Mm ⊆ Rr y Nn ⊆ Rs superficies de clase Ck y f : M → N . Decimos que f es diferenciableen p ∈ M si y solo si f : M → Rs es diferenciable en p.
4.3 El Espacio Tangente a una Superficie
Una caracterıstica importante de las superficies es que ellas poseen, en cada uno de sus puntos, unaaproximacion lineal que es su espacio tangente.
Definicion 4.3.1 Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y p ∈ M . El conjunto tangente a Men el punto p, denotado por TpM es definido como el conjunto
TpM = v ∈ Rn : ∃λ : Iε(0) → M dif. en 0 tal que λ(0) = p y λ′(0) = v
Observacion: TpM 6= ∅. En efecto, basta considerar el camino constante
λ : Iε(0) → Mt 7→ λ(t) = p
Claramente λ es diferenciable en 0, λ(0) = p y λ′(0) = 0, luego 0 ∈ TpM .
Teorema 4.3.1 Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1), p ∈ M y (Vp, ϕp) una parametrizacionde clase Ck y dimension m, con p ∈ ϕp(Vp) ⊆ M . Entonces TpM = ϕ′p(a)(Rm), en donde a = ϕ−1
p (p).
Analisis Real II 56
Demostracion. Sea v ∈ ϕ′p(a)(Rm), entonces ∃u ∈ Rm tal que
v = ϕ′p(a)(u) =∂ϕp
∂u(a) = lim
t→0
ϕp(a + tu)− ϕp(a)t
Considero un ε > 0 suficientemente pequeno tal que a + tu ∈ Vp, ∀ t ∈ Iε(0) y considero el camino
λ : Iε(0) → Mt 7→ λ(t) = ϕp(a + tu)
Observe que λ es diferenciable en 0, λ(0) = p y
λ′(0) = limt→0
λ(t)− λ(0)t
= limt→0
ϕp(a + tu)− ϕp(a)t
= v
luego v ∈ TpM . Es decir ϕ′p(a)(Rm) ⊆ TpM .Por otro lado, sea v ∈ TpM entonces existe λ : Iε(0) → M diferenciable en 0 tal que λ(0) = p y
λ′(0) = v. Tomando ε > 0 suficientemente pequeno, podemos suponer que λ(Iε(0)) ⊆ ϕp(Vp). Seaβ = ϕ−1
p λ : Iε(0) → Vp. Se sigue que β es diferenciable en 0, β(0) = a y ademas, como ϕp β = λentonces por la regla de la cadena
v = λ′(0) = ϕ′p(β(0))β′(0) = ϕ′p(a)β′(0)
Denotando u = β′(0) ∈ Rm tenemos que ϕ′p(a)(u) = v es decir v ∈ ϕ′p(a)(Rm), luego TpM ⊆ ϕ′p(a)(Rm).
Observaciones:
1. Si Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y p ∈ M entonces TpM es un R espacio vectorialde dimension m. Mas aun, si (Vp, ϕp) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m, conp ∈ ϕp(Vp) ⊆ M entonces
TpM =⟨
ϕ′p(a)(e1), . . . , ϕ′p(a)(em)⟩
=⟨
∂ϕp
∂x1(a), . . . ,
∂ϕp
∂xm(a)
⟩
en donde a = ϕ−1p (p).
2. Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y p ∈ M . Si (Vp, ϕp) y (Wp, ψp) son dosparametrizaciones de clase Ck y dimension m con p ∈ ϕp(Vp) ⊆ M y p ∈ ψp(Wp) ⊆ M . Denotemosa = ϕ−1
p (p) y b = ψ−1p (p), entonces
TpM =⟨
∂ϕp
∂x1(a), . . . ,
∂ϕp
∂xm(a)
⟩
y TpM =⟨
∂ψp
∂y1(b), . . . ,
∂ψp
∂ym(b)
⟩
.
Para hallar la matriz de cambio de bases consideremos el cambio de coordenadas
ξ = ϕ−1p ψp : ψ−1
p (ϕp(Vp) ∩ ψp(Wp)) → ϕ−1p (ϕp(Vp) ∩ ψp(Wp))
el cual es un difeomorfismo de clase Ck. Si hacemos ξ = (ξ1, . . . , ξm) y desde que ψp(y) = (ϕpξ)(y),∀ y ∈ ψ−1
p (ϕp(Vp) ∩ ψp(Wp)) entonces, por la regla de la cadena
∂ψp
∂yj(b) =
m∑
i=1
∂ϕp
∂xi(a)
∂ξi
∂yj(b)
Analisis Real II 57
Luego la matriz de cambio de bases es la matriz jacobiana
∂(ξ1, . . . , ξm)∂(y1, . . . , ym)
(b)
3. Si U ⊆ Rr es un abierto y p ∈ U entonces TpU = Rr.
4. Si M0 ⊆ Rr es una superficie de clase Ck y p ∈ M entonces TpM = 0.
Sabemos que si U ⊆ Rr es un abierto y f : U → Rs es una funcion diferenciable en p ∈ U entoncesf ′(p) ∈ L(Rr,Rs). En el caso general, sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : Mm → Rs
una funcion diferenciable en p ∈ M entonces la derivada f ′(p) debe ser una transformacion lineal de TpMen Rs, es decir f ′(p) ∈ L(TpM,Rs). Vamos a demostrar que esto es ası. Sea (Vp, ϕp) una parametrizacionde clase Ck y dimension m con p ∈ ϕp(Vp) = V ⊆ M y denotemos a = ϕ−1
p (p), por el Teorema4.3.1 TpM = ϕ′p(a)(Rm). Sea v ∈ TpM entonces existe un unico v0 ∈ Rm tal que v = ϕ′p(a)(v0).Serıa natural definir f ′(p)(v) = (f ϕp)′(a)(v0), pero antes debemos verificar que esta definicion nodepende de la parametrizacion. Sea (Wp, ψp) otra parametrizacion de clase Ck y dimension m conp ∈ ψp(Wp) = W ⊆ M y denotemos b = ψ−1
p (p), nuevamente por el Teorema 4.3.1 TpM = ψ′p(b)(Rm),luego existe un unico w0 ∈ Rm tal que v = ψ′p(b)(w0). Como el cambio de coordenadas ξ = ϕ−1
p ψp :ψ−1
p (V ∩W ) ⊆ Rm → ϕ−1p (V ∩W ) ⊆ Rm es de clase Ck y ϕ−1
p ψp(b) = a, tenemos
ϕ′p(a)(v0) = v = ψ′p(b)(w0) = (ϕp ξ)′ (b)(w0) = ϕ′p(ξ(b)) (ξ′(b)(w0)) = ϕ′p(a) (ξ′(b)(w0))
y desde que ϕ′p(a) es inyectiva, concluimos que v0 = ξ′(b)(w0), luego
(f ψp)′(b)(w0) = ((f ϕp) ξ)′ (b)(w0) = (f ϕp)′(a)ξ′(b)(w0) = (f ϕp)′(a)(v0)
luego la definicion es independiente de la parametrizacion.
Definicion 4.3.2 Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : Mm → Rs una funciondiferenciable en p ∈ M . La derivada de f en p, es la funcion f ′(p) : TpM → Rs definida por
f ′(p)(v) = (f ϕp)′(a)(v0), ∀ v ∈ TpM
donde (Vp, ϕp) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m con p ∈ ϕp(Vp), a = ϕ−1p (p) y
v = ϕ′p(a)(v0).
Observaciones:
1. No es difıcil probar que f ′(p) ∈ L(TpM ;Rs).
2. En el caso que M = U un abierto, la parametrizacion es la identidad y la definicion anterior coincidecon la derivada de funciones definidas en abiertos de Rr.
Sean Mm ⊆ Rr y Nn ⊆ Rs dos superficies de clase Ck (k ≥ 1) y f : Mm → Nn una funciondiferenciable en p ∈ M , en este caso probaremos que f ′(p) ∈ L(TpM, Tf(p)N). En efecto, sea v ∈ TpM
Analisis Real II 58
entonces existe λ : Iε(0) → M diferenciable en 0 tal que λ(0) = p y λ′(0) = v, luego f λ : Iε(0) → N esdiferenciable en 0 y (f λ)(0) = f(p), se sigue que
(f λ)′(0) ∈ Tf(p)N.
Sea (Vp, ϕp) una parametrizacion de clase Ck y dimension m con p ∈ ϕp(Vp) y denotemos a = ϕ−1p (p).
Sabemos que existe un unico v0 ∈ Rm tal que ϕ′p(a)(v0) = v, tomando ε > 0 suficientemente pequeno talque λ(Iε(0)) ⊆ ϕp(Vp) tenemos
(f λ)′(0) =(
fϕp ϕ−1p λ
)′(0) = (fϕp)′(a)(ϕ−1
p λ)′(0) (4.1)
Pero(ϕp)′(a)(v0) = v = λ′(0) =
(
ϕp ϕ−1p λ
)′(0) = (ϕp)′(a)
(
(ϕ−1p λ)′(0)
)
luego v0 = (ϕ−1p λ)′(0) y reemplazando en (4.1) tenemos
(f λ)′(0) = (f ϕp)′(a)(v0) = f ′(p)(v)
es decir f ′(p)(v) ∈ Tf(p)N .Para concluir la seccion, diremos que existen resultados analogos a la regla de la cadena, Teorema de
la funcion inversa, forma local de las sumersiones, etc. para funciones definidas en superficies.
4.4 Superficies Definidas Implıcitamente
Definicion 4.4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una funcion diferenciable. Decimos que c ∈ Rn
es un valor regular de f si y solo si f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, ∀x ∈ f−1(c).
Observaciones:
1. De la definicion anterior se deduce que m ≥ n.
2. Si f−1(c) = ∅ entonces c es un valor regular de f .
Ejemplo 4.4.1 Si f : U ⊆ Rm → R es diferenciable entonces f ′(x) ∈ (Rm)∗ o es cero o es sobreyectiva.Luego c ∈ R es un valor regular de f si y solo si f ′(x) 6= 0, ∀ x ∈ f−1(c) si y solo si ∇f(x) 6= θ,∀x ∈ f−1(c).
Sea U ⊆ Rm un abierto y f = (f1, . . . , fn) : U → Rn diferenciable en U . Dado x ∈ U la matrizasociada a f ′(x) ∈ L(Rm,Rn) es dada por
Jf(x) =∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm)
(x) =
∇f1(x)∇f2(x)
...∇fn(x)
∈ Rn×m
De esta manera f ′(x) ∈ L(Rm,Rn) es sobreyectiva si y solo si el rango de Jf(x) es n si y solo si∇f1(x), . . .∇fn(x) son linealmente independientes. Ası, hemos probado el siguiente criterio:“c ∈ Rn es un valor regular de f = (f1, . . . , fn) : U ⊆ Rm → Rn si y solo si ∇f1(x), . . .∇fn(x) sonlinealmente independientes para todo x ∈ f−1(c)”.
Analisis Real II 59
Ejemplo 4.4.2 Seaf : R3 → R2
(x, y, z) 7→ f(x, y, z) = (x2 + y2 − z2, x)
y sea c = (0, 1). Es claro que
f−1(c) = (x, y, z) ∈ R3 : x = 1, z2 − y2 = 1 (hiperbola)
Como
Jf(x, y, z) =[
2x 2y −2z1 0 0
]
se sigue que ∇f1(x) y f2(x) son linealmente independientes para todo x ∈ f−1(0, 1). Concluimos que(0, 1) es un valor regular de f . Por otro lado, si c = (0, 0) entonces
f−1(c) = (x, y, z) ∈ R3 : x = 0, y2 − z2 = 0 (dos rectas)
En particular (0, 0, 0) ∈ f−1(0, 1) y ∇f1(0, 0, 0) = (0, 0, 0) y ∇f2(0, 0, 0) = (1, 0, 0) no son linealmenteindependientes. Luego (0, 0) no es valor regular de f .
Ejemplo 4.4.3 Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ Ck(U ;Rn) entonces el grafico de f , definido por
G(f) = (x, f(x)) ∈ Rm × Rn; x ∈ U
es una superficie de dimension m y de clase Ck de Rm+n. En efecto, basta considerar el par (U,ϕ), donde
ϕ : U → G(f)x 7→ ϕ(x) = (x, f(x))
claramente ϕ es un homeomorfismo entre U y G(f), ademas
Jϕ(x) =[
IJf(x)
]
∈ R(m+n)×m
es una matriz de rango m, luego ϕ′(x) es inyectiva, para todo x ∈ U , es decir ϕ es una inmersion de claseCk, luego (U,ϕ) es una parametrizacion de dimension m y clase Ck de G(f).
Teorema 4.4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f ∈ Ck(U ;Rn) y c ∈ Rn un valor regular de f entonces
1. f−1(c) ⊆ Rm es una superficie de clase Ck y codimension n.
2. Tpf−1(c) = Nu (f ′(p)), ∀ p ∈ f−1(c)
Demostracion. 1.) Sea p = (p′, p′′) ∈ f−1(c), desde que f ′(p) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, por elTeorema de la funcion implıcita, existen abiertos Zp ⊆ U , Vp ⊆ Rm−n con p ∈ Zp, p′ ∈ Vp y existeξp : Vp → Rn funcion de clase Ck tal que
G(ξp) = (x, ξp(x)) : x ∈ Vp = Zp ∩ f−1(c)
Analisis Real II 60
Seaϕp : Vp → Zp ∩ f−1(c)
x 7→ ϕp(x) = (x, ξp(x))
luego como en el ejemplo anterior, (Vp, ϕp), es una parametrizacion de clase Ck y dimension m − n deZp ∩ f−1(c). Ası f−1(c) es una superficie de dimension m− n y clase Ck.
2.) Sea v ∈ Tpf−1(c) entonces existe λ : Iε(0) → f−1(c) diferenciable en 0 con λ(0) = p y λ′(0) = v.Desde que f λ(t) = c, ∀ t ∈ Iε(0), tenemos
0 = (f λ)′(0) = f ′(λ(0))(λ′(0)) = f ′(p)(v)
Luego v ∈ Nu (f ′(p)), es decir Tpf−1(c) ⊆ Nu (f ′(p)). Por otro lado se tiene que dim Tpf−1(c) = m− ny f ′(p) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, luego por algebra lineal
m = dimRm = dim Nu (f ′(p)) + dim Im (f ′(p)) = dim Nu (f ′(p)) + n
se sigue que dimNu (f ′(p)) = m− n. Ası Tpf−1(c) = Nu (f ′(p)), ∀ p ∈ f−1(c).
Ejemplo 4.4.4 (La esfera Sn definida implıcitamente) Sea
f : Rn → Rx 7→ f(x) = ‖x‖2 = x2
1 + · · ·+ x2n
Se sigue que ∇f(x) = 2x y por lo tanto 1 es valor regular de f . Como f−1(1) = Sn−1, se sigue que Sn−1
es una superficie de clase C∞ y codimension 1. Mas aun
TpSn−1 = Nu (f ′(p)) = h ∈ Rn : 〈p, h〉 = 0 = 〈p〉⊥ .
Ejemplo 4.4.5 (El Grupo Especial Lineal SL(Rn)) Definimos el conjunto
SL(Rn) = A ∈ GL(Rn) : det(A) = 1
Recordemos que det : Rn×n → R es una funcion de clase C∞ y ademas
det ′(A)(H) =n
∑
i=1
det(A1, . . . , Ai−1,Hi, Ai+1, . . . , An)
en donde
A =
A1
A2...
An
, H =
H1
H2...
Hn
, Ai = (ai1, . . . , ain) y Hi = (hi1, . . . , hin)
luego SL(Rn) = det−1(1). Afirmo que 1 es un valor regular de det : Rn×n → R. En efecto, dadoA ∈ det−1(1) entonces debo probar que det′(A) ∈ (Rn×n)∗ es sobreyectiva. Por el Ejemplo 4.4.1 es
Analisis Real II 61
suficiente probar que det′(A) 6= 0, ∀ A ∈ SL(Rn), ahora bien dado A ∈ SL(Rn) tenemos que det′(A)(A) =n det(A) = n concluimos que det(A) 6= 0 y esto prueba la afirmacion. Concluimos que SL(Rn) es unasuperficie de clase C∞ y dimension n2 − 1. Mas aun, desde que I ∈ SL(Rn), por el Teorema 4.4.1TI(SL(Rn)) = Nu (det′(I)). Pero
det ′(I)(H) =n
∑
i=1
det(e1, . . . , ei−1, Hi, ei+1, . . . , en) =n
∑
i=1
hii = traz(H)
Por lo tanto TI(SL(Rn)) = H ∈ Rn×n : traz(H) = 0.
Ejemplo 4.4.6 (El Grupo Ortogonal O(Rn)) Sea A = (aij) ∈ Rn×n, la matriz transpuesta de A,denotada por At es definida por At = (aji) ∈ Rn×n. Se cumplen las siguientes propiedades:
1. Att = A.
2. (A + B)t = At + Bt.
3. (cA)t = cAt.
4. (AB)t = BtAt.
5. It = I.
6. ‖At‖ = ‖A‖, ∀ A ∈ Rn×n.
7. A ∈ GL(Rn) si y solo si At ∈ GL(Rn) y en caso afirmativo (At)−1 = (A−1)t.
Una matriz A ∈ Rn×n se llama simetrica si y solo si At = A y se llama antisimetrica si y solo si At = −A.Denotemos
A(Rn) = A ∈ Rn×n : A es simetrica
yS(Rn) = A ∈ Rn×n : A es antisimetrica
Es facil probar que A(Rn) y S(Rn) son subespacios vectoriales de Rn×n y dim RS(Rn) =n2
(n + 1),
dim RA(Rn) =n2
(n− 1).
Dado A ∈ Rn×n se cumplen las siguientes propiedades:
1. AAt, A + At ∈ S(Rn).
2. A−At ∈ A(Rn).
3. A =12(A + At) +
12(A−At).
Observe que la ultima propiedad implica que Rn×n = S(Rn)⊕A(Rn).El grupo ortonormal de Rn, denotado por O(Rn) es definido por
O(Rn) = A ∈ Rn×n : AAt = I
Analisis Real II 62
Se cumple que O(Rn) es un subgrupo de GL(Rn) (¡Ejercicio!) Sea T ∈ L(Rn) se cumple que T es unaisometrıa (i.e. ‖T (x)−T (y)‖ = ‖x−y‖, ∀x, y ∈ Rn) si y solo si su matriz asociada con respecto a la basecanonica de Rn, es ortogonal (¡Ejercicio!). Vamos a probar que O(Rn) es una superficie de clase C∞ ydimension
n2
(n− 1). Consideremos la funcion
f : Rn×n → S(Rn) ' Rn2 (n+1)
X 7→ f(X) = XXt
Afirmo que f es diferenciable en Rn×n. En efecto, sea X ∈ Rn×n, para H ∈ Rn×n tenemos
f(X + H) = (X + H)(X + H)t = (X + H)(Xt + Ht) = XXt + XHt + HXt + HHt
= f(X) + T (H) + rX(H)
dondeT : Rn×n → S(Rn)
H 7→ T (H) = XHt + HXt
y rX(H) = HHt. Es claro que T ∈ L(Rn×n,S(Rn)), ademas
‖rX(H)‖‖H‖
=‖HHt‖‖H‖
≤ ‖H‖
luego limH→Θ
‖rX(H)‖‖H‖
= Θ. Concluimos que f es diferenciable en X y f ′(X)(H) = XHt +HXt, ∀ X, H ∈
Rn×n. Mas aun f es de clase C∞ (¡Ejercicio!). Afirmo que I es un valor regular de f . En efecto, seaX ∈ f−1(I) = O(Rn), debo probar que f ′(X) ∈ L(Rn×n,S(Rn)) es sobreyectiva. Dada B ∈ S(Rn)
considero A =12BX, luego
f ′(X)(A) =12XXtBt +
12BXXt =
12B +
12B = B
esto prueba la afirmacion. Se sigue que O(Rn) es una superficie de clase C∞ y dimensionn2
(n− 1). Mas
aun O(Rn) = f−1(I) es compacto. Por otro lado
A ∈ Nu (f ′(I)) ⇔ f ′(I) = 0 ⇔ IAt + AIt = 0 ⇔ A + At = 0 ⇔ A = −At
Se sigue que TI(O(Rn)) = Nu (f ′(I)) = A(Rn).
Sea f : U ⊆ Rm → Rn de clase Ck, sabemos que G(f) = (x, f(x)) : x ∈ U es una superficie, perono toda superficie es el grafico de una funcion (por ejemplo Sn−1 es una superficie que no es un grafico).Sin embargo, tenemos el siguiente resultado.
Teorema 4.4.2 Toda superficie de clase Ck es localmente el grafico de una funcion de clase Ck.
Demostracion. ¡Ejercicio!
Analisis Real II 63
4.5 Multiplicadores de Lagrange
Definicion 4.5.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → R y X ⊆ U . Decimos que x0 ∈ A es un maximo local(respectivamente mınimo local) de f
∣
∣
X : X → R si y solo si ∃ δ > 0 tal que f(x) ≤ f(x0) (respectivamentef(x) ≥ f(x0)), ∀ x ∈ Bδ(x0) ∩X.
Definicion 4.5.2 Sea U ⊆ Rm un abierto, Mr ⊆ U una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : U → Runa funcion diferenciable en U . Decimos que p ∈ M es un punto crıtico de f
∣
∣
M : M → R si y solo si〈∇f(p), v〉 = 0, ∀ v ∈ TpM .
Teorema 4.5.1 Sea U ⊆ Rm abierto Mr ⊆ U una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : U → R unafuncion diferenciable en U . Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:
1. p ∈ M es un punto crıtico de f∣
∣
M .
2. (f λ)′(0) = 0, para toda curva λ : Iε(0) → M diferenciable en 0 con λ(0) = p.
Demostracion. (2. ⇒ 1.) Sea v ∈ TpM , entonces existe λ : Iε(0) → M diferenciable en 0 con λ(0) = py λ′(0) = v, luego
〈∇f(p), v〉 = 〈∇f(λ(0)), λ′(0)〉 = ∇(f λ)(0) = 0
(1. ⇒ 2.) Sea λ : Iε(0) → M diferenciable en 0 con λ(0) = p, luego λ′(0) ∈ TpM y por la regla de lacadena
∇(f λ)(0) = 〈∇f(λ(0)), λ′(0)〉 = 〈∇f(p), v〉 = 0,
luego p ∈ M es un punto crıtico de f∣
∣
M .
Observacion: Cuando M = U un abierto se tiene que p es un punto crıtico de f si y solo si 〈∇f(p), v〉 = 0,∀ v ∈ TpU = Rm si y solo si f ′(p) = 0, la cual es la definicion usual de punto crıtico que se estudia en elcalculo.
Teorema 4.5.2 Sea U ⊆ Rm abierto Mr ⊆ U una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : U → R unafuncion diferenciable en U . Si p ∈ M es un extremo local de f
∣
∣
M entonces p es un punto crıtico de f∣
∣
M .
Demostracion. Sea p ∈ M un maximo local de f∣
∣
M , entonces existe un δ > 0 tal que f(x) ≤ f(p),∀x ∈ Bδ(p) ∩ M . Considero λ : Iε(0) → Bδ(p) ∩ M diferenciable en 0, con λ(0) = p y consideremosf λIε(0) → R, entonces (f λ)(t) = f(λ(t)) ≤ f(p) = (f λ)(0), luego 0 es maximo local de f λ, luego(f λ)′(0) = 0 y por lo tanto p es un punto crıtico de f
∣
∣
M .
Es posible caracterizar los punto crıticos de una funcion f∣
∣
M : M → R cuando M es una superficieobtenida como preimagen de un valor regular. Para ello necesitamos un concepto previo.
Definicion 4.5.3 Sea Mr ⊆ Rm una superficie de clase Ck (k ≥ 1). El espacio normal a M en el puntop ∈ M , denotado por TpM⊥, es definido como
TpM⊥ = w ∈ Rm : 〈w, v〉 = 0, ∀ v ∈ TpM
Analisis Real II 64
Observaciones:
1. TpM⊥ es un subespacio vectorial de Rm.
2. dim TpM⊥ = m− r = cod(M).
3. Los elementos de TpM⊥ son llamados vectores normales a M en el punto p.
4. Cuando M es una superficie obtenida como preimagen de un valor regular, es sencillo determinar unabase de TpM⊥. En efecto, sea U ⊆ Rm un abierto, g ∈ Ck(U,Rn) (con k ≥ 1) y c = (c1, . . . , cn) ∈ Rn
un valor regular de g. Sabemos que M = g−1(c) ⊆ U es una superficie de clase Ck y dimensionm− n, mas aun TpM = Nu (g′(p)), ∀ p ∈ M . Mas aun, si g = (g1, . . . , gn) entonces dado v ∈ TpM ,existe λ : Iε(0) → M diferenciable en 0, con λ(0) = p y λ′(0) = v, observe que (gj λ)(t) = cj ,∀ t ∈ Iε(0), luego:
〈∇gj(p), v〉 = 〈∇gj(λ(0)), λ′(0)〉 = (gj λ)′(0) = 0, ∀ 1 ≤ j ≤ n
Por lo tanto 〈∇gj(p), v〉 = 0, ∀ v ∈ TpM , ∀ 1 ≤ j ≤ n, entonces ∇gj(p) ∈ TpM⊥, ∀ 1 ≤ j ≤ n.Pero desde que ∇g1(p), . . . ,∇gn(p) son linealmente independientes y dim TpM⊥ = n, concluimosel siguiente resultado: Si M = g−1(c) entonces
TpM⊥ = 〈∇g1(p),∇g2(p), . . . ,∇gn(p)〉 .
De la ultima observacion, se desprende inmediatamente el siguiente criterio para determinar puntoscrıticos.
Teorema 4.5.3 (Multiplicadores de Lagrange) Sea U ⊆ Rm abierto, g = (g1, . . . , gn) ∈ C1(U,Rn),f : U → R una funcion diferenciable en U , c ∈ Rn un valor regular de g y denotemos M = g−1(c). Secumple que p ∈ M es un punto crıtico de f
∣
∣
M : M → R si y solo si existen λ1, . . . , λn ∈ R tales que
∇f(p) = λ1∇g1(p) + λ2∇g2(p) + · · ·+ λn∇gn(p)
Demostracion. p ∈ M es un punto crıtico de f∣
∣
M : M → R si y solo si 〈∇f(p), v〉 = 0, ∀ v ∈ TpMsi y solo si ∇f(p) ∈ TpM⊥ = 〈∇g1(p),∇g2(p), . . . ,∇gn(p)〉 si y solo si existen λ1, . . . , λn ∈ R tales que∇f(p) = λ1∇g1(p) + · · ·+ λn∇gn(p).
Observacion. Los numero reales λ1, . . . , λn son llamados multiplicadores de Lagrange.
Ejemplo 4.5.1 Vamos a determinar los extremos locales de f(x, y, z) = x + y + z bajo las condiciones∣
∣
∣
∣
x2 + y2 = 2x + z = 1
Para ello, consideramos la funcion g : R3 → R2 definida por
g(x, y, z) = (g1(x, y, z), g2(x, y, z)) = (x2 + y2, x + z)
Analisis Real II 65
Claramente ∇g1(x, y, z) = (2x, 2y, 0) y ∇g2(x, y, z) = (1, 0, 1). Observe que
∇g1(x, y, z)×∇g2(x, y, z) =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k2x 2y 01 0 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= (2y,−2x,−2y)
Se sigue que ∇g1(x, y, z) y ∇g2(x, y, z) son linealmente dependientes si y solo si (2y,−2x,−2y) = (0, 0, 0)si y solo si x = 0 y y = 0. Como
M = g−1(2, 1) = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 2 y x + z = 1,
claramente (0, 0, z) /∈ g−1(2, 1). De aquı, (2, 1) es un valor regular de g y por consiguiente M ⊆ R3 es unasuperficie de dimension 1 y clase C∞. Por otro lado (x, y, z) es un punto crıtico de f
∣
∣
M : M → R si y solosi (x, y, z) ∈ M y existen constantes λ1, λ2 ∈ R tales que ∇f(x, y, z) = λ1∇g1(x, y, z) + λ2∇g2(x, y, z) siy solo si (x, y, z) ∈ M y existen constantes λ1, λ2 ∈ R tales que (1, 1, 1) = λ1(2x, 2y, 0) + λ2(1, 0, 1) si ysolo si ∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
2λ1x + λ2 = 12λ1y = 1λ2 = 1x2 + y2 = 2x + z = 1
Resolviendo el sistema anterior tenemos que los puntos crıticos de f son (0,√
2, 1) y (0,−√
2, 1).
Capıtulo 5
Integrales Multiples
5.1 La Definicion de Integral sobre m-bloques
Primeramente introducimos la notacion necesaria. Decimos que B ⊆ Rm es un bloque m-dimensional osimplemente m-bloque si y solo si B es producto cartesiano de m intervalos I1, . . . , Im, es decir
B = I1 × I2 × · · · × Im =m∏
i=1
Ii.
Si todo los intervalos Ii son abiertos (resp. cerrados, acotados, compactos, etc.), diremos que el m-bloque
B =m∏
i=1
Ii es abierto (resp. cerrado, acotado, compacto, etc.) Si todos los intervalos Ii tienen la misma
longitud, entonces B =m∏
i=1
Ii es llamado m- cubo.
Para propositos posteriores, vamos a admitir que uno o mas de los intervalos Ii conste de un solo
punto. En este caso, decimos que B =m∏
i=1
Ii es un m-bloque degenerado.
Si I ⊆ R es un intervalo acotado (es decir, del tipo [a, b], ]a, b[, ]a, b], [a, b[ o inclusive [a]), el volumenunidimensional o longitud vol (I) de I, se define por
vol (I) = b− a.
Si B =m∏
i=1
Ii es un m-bloque acotado, el volumen m-dimensional o simplemente volumen de B, denotado
por vol (B) se define como el producto de las longitudes de los intervalos Ii, es decir
vol (B) =m∏
i=1
vol (Ii).
66
Analisis Real II 67
Observaciones:
1. El volumen de un m-bloque degenerado es cero.
2. Si m = 1, 2, 3 entonces el m-bloque B se denomina respectivamente intervalo, rectangulo, pa-ralelepıpedo y su volumen vol (B) pasa a ser llamado longitud, area y volumen, respectivamente.
Sea B =m∏
i=1
Ii un m-bloque acotado, donde Ii es un intervalo de extremos ai, bi. Una cara (m− 1)-
dimensional o simplemente (m− 1)-cara de B es un producto cartesiano del tipo
I1 × · · · × Ik−1 × ak × Ik+1 × · · · × Im o I1 × · · · × Ik−1 × bk × Ik+1 × · · · × Im
donde k = 1, 2, . . . m.Para m = 1, 2, 3, una (m− 1)-cara es un extremo del intervalo, un lado del rectangulo o una cara del
paralelepıpedo.Es claro que toda (m− 1)-cara de un m-bloque, tiene volumen (m-dimensional) cero.De manera analoga se definen las (m − k)-caras (k = 2, . . . ,m) de un m-bloque. Las 0-caras son
llamadas vertices del m-bloque.
Definicion 5.1.1 Sea B =m∏
i=1
[a1, bi] un m-bloque compacto.
1. Una particion P de B es un producto cartesiano P = P1 × · · · × Pm donde Pi ∈ P([ai, bi]),∀ 1 ≤ i ≤ m. Denotaremos por P(B) al conjunto de todas las particiones del m-bloque cerrado B.
2. Sea P = P1 × · · · × Pm ∈ P(B). La norma de P , denotada por ‖P‖ es definida como
‖P‖ = max‖Pi‖ : 1 ≤ i ≤ m
3. Sean P = P1 × · · · × Pm, Q = Q1 × · · · ×Qm ∈ P(B). Decimos que Q es un refinamiento de P si ysolo si Pi ⊆ Qi, ∀ 1 ≤ i ≤ m.
Observaciones:
1. Sea P = P1 × · · · × Pm ∈ P(B) donde
Pi = ai = ti,0 < ti,1 < · · · < ti,ki = bi ∈ P([ai, bi]), (1 ≤ i ≤ m)
Si denotamos por Ii,ji = [ti,ji−1, ti,ji ] (1 ≤ ji ≤ ki) al ji-esimo intervalo generado por Pi ∈ P([ai, bi])entonces
I1,j1 × I2,j2 × · · · × Im,jm
es un m-bloque contenido en B, al cual denotaremos por Bj1,...,jm y llamaremos m-subbloquegenerado por P ∈ P(B). En muchas ocasiones es conveniente enumerar consecutivamente a estossubbloques y denotarlos por Bi, con 1 ≤ i ≤ k = k1 · · · km. En cualquier caso, escribiremos
Analisis Real II 68
P = Bj1,...,jm o P = Bi ∈ P(B) para decir que los Bj1,...,jm (o los Bi) son los subbloquesgenerados por la particion P . Es claro que
vol (B) =k
∑
i=1
vol (Bi).
2. Si P, Q ∈ P(B) entonces P ∪ Q no necesariamente es una particion de B. En efecto, considereP = 0, 1×0, 1/2, 1 y Q = 0, 1/2, 1×0, 1. Es claro que P y Q son particiones de [0, 1]×[0, 1],sin embargo P ∪Q no es una particion de [0, 1]× [0, 1].
3. Sean P = P1 × · · · × Pm, Q = Q1 × · · · ×Qm ∈ P(B), denotaremos
P + Q = (P1 ∪Q1) ∪ (P2 ∪Q2) ∪ · · · ∪ (Pm ∪Qm)
Es claro que P + Q ∈ P(B) y P + Q es un refinamiento comun de P y Q, (es decir P ⊆ P + Q yQ ⊆ P + Q).
Sea B =m∏
i=1
[a1, bi] un m-bloque compacto y f : B → R una funcion acotada, denotemos
m(f) = inff(x) : x ∈ B y M(f) = supf(x) : x ∈ B
Es claro que m(f) ≤ f(x) ≤ M(f), ∀ x ∈ B.Si P = Bi ∈ P(B), denotamos
mi(f) = inff(x) : x ∈ Bi y Mi(f) = supf(x) : x ∈ Bi
Se cumplem(f) ≤ mi(f) ≤ f(x) ≤ Mi(f) ≤ M(f), ∀ x ∈ B, ∀ i
La suma inferior y la suma superior de f relativa a la particion P se definen respectivamente como
L(f, P ) =∑
i
mi(f) vol (Bi) y U(f, P ) =∑
i
Mi(f) vol (Bi)
Es claro quem(f) vol (B) ≤ L(f, P ) ≤ U(f, P ) ≤ M(f) vol (B), ∀ P ∈ P(B)
La Integral Superior y la Integral Inferior de una funcion acotada f : B → R se definen respectivamentecomo
∫
Bf(x)dx = infU(f, P ) : P ∈ P(B)
∫
Bf(x)dx = supL(f, P ) : P ∈ P(B)
En muchas ocasiones, denotaremos∫
Bf y
∫
Bf en vez de
∫
Bf(x)dx y
∫
Bf(x)dx, respectivamente.
Analisis Real II 69
Teorema 5.1.1 Sea B un m-bloque cerrado, P,Q ∈ P(B) y f : B → R una funcion acotada. Si Q esun refinamiento de P entonces L(f, P ) ≤ L(f, Q) y U(f,Q) ≤ U(f, P ).
Demostracion. Sean P = P1 × · · · × Pm, Q = Q1 × · · · × Qm ∈ P(B) donde Q es un refinamiento deP , luego P1 ⊆ Q1, . . . , Pm ⊆ Qm. Es suficiente considerar el caso en que Q1 = P1 ∪ t∗, P2 = Q2, . . . ,Pm = Qm.
Sabemos que un m-subbloque de la particion P es del tipo
Bi1,i2,...,im = Ii1 × Ii2 × · · · × Iim = Ii1 ×Bi2,...,im = Ii1 ×BJ
donde J = (i2, . . . , im).Si P1 = a1 = t0 < . . . < tk1 = b1 entonces existe i ∈ 1, . . . , k1 tal que ti−1 < t∗ < ti, luego
Q1 = a1 = t0 < t1 < . . . < ti−1 < t∗ < ti < · · · < tkn = b1. De esta manera tenemos
P = Ii1 ×BJ ; 1 ≤ i1 ≤ k1, ∀ JQ = Ii1 ×BJ ; 1 ≤ i1 6= i ≤ k1, ∀ J ∪ [ti−1, t∗]×BJ , [t∗, ti]×BJ ; ∀ J
Si denotamos
m∗i,J(f) = inff(x) : x ∈ [ti−1, t∗]×BJ y m∗∗
i,J(f) = inff(x) : x ∈ [t∗, ti]×BJ
es claro que se cumplen las siguientes desigualdades
mi,J(f) ≤ m∗i,J (f),m∗∗
i,J (f)
y de aquı
mi,J(f) vol (Bi,J) = mi,J(f) vol (B∗i,J ) + mi,J (f) vol (B∗∗
i,J )
≤ m∗i,J (f) vol (B∗
i,J ) + m∗∗i,J (f) vol (B∗∗
i,J )
Luego:
L(f, P ) =∑
i1
∑
J
mi1,J(f) vol (Bi1,J)
=∑
J
∑
i1 6=i
mi1,J(f) vol (Bi1,J )
+∑
J
mi,J (f) vol (Bi,J )
≤∑
J
∑
i1 6=i
mi1,J(f) vol (Bi1,J)
+∑
J
[
m∗i,J (f) vol (B∗
i,J ) + m∗∗i,J(f) vol (B∗∗
i,J)]
= L(f, Q)
La otra desigualdad se demuetra de manera analoga.
Corolario 1. Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una funcion acotada. Se cumple
L(f, P ) ≤ U(f, Q) ∀ P, Q ∈ P(B).
Analisis Real II 70
Demostracion. Sean P,Q ∈ P(B), sabemos que P + Q ∈ P(B) es un refinamiento comun de P y Q.Del teorema anterior se tiene:
L(f, P ) ≤ L(f, P + Q) ≤ U(f, P + Q) ≤ U(f,Q)
Corolario 2. Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada y P0 ∈ P(B) (fija,arbitraria). Entonces
∫
Bf = infU(f, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0
∫
Bf = supL(f, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0
Demostracion. Probaremos solo la segunda igualdad, la demostracion de la primera es similar. Es claroque
A = L(f, P ) : P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 ⊆ L(f, P ) : P ∈ P(B)
Luego
sup A ≤∫
Bf
Supongamos que sup A <∫
Bf (Hip. Aux.) luego existe P1 ∈ P(B) tal que sup A < L(f, P1). Pero
P0 +P1 ∈ P(B) es un refinamiento de P0, luego L(f, P0 +P1) ≤ sup A < L(f, P1) ≤ L(f, P0 +P1) lo cuales absurdo. Esta contradiccion prueba el resultado.
Corolario 3. Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada. Se cumple:
L(f, P ) ≤∫
Bf ≤
∫
Bf ≤ U(f, P )
Demostracion. Es suficiente probar que∫
Bf ≤
∫
Bf . Del Corolario 1 tenemos L(f, P ) ≤ U(f, Q),
∀ P, Q ∈ P(B). Luego∫
Bf = supL(f, P ) : P ∈ P(B) ≤ U(f, Q), ∀ Q ∈ P(B)
De aquı se sigue el resultado.
Definicion 5.1.2 Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada. Decimos que f esRiemann integrable sobre B si y solo si
∫
Bf =
∫
Bf
Analisis Real II 71
Si f es integrable sobre B entonces la integral de Riemann sobre B, denotada por∫
Bf(x)dx o
∫
Bf se
define como∫
Bf =
∫
Bf =
∫
Bf
Denotaremos por R(B) al conjunto de todas las funciones Riemann integrables sobre B.
Observacion: Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada. Si f ∈ R(B) entoncespor el Corolario 3 se tiene que
L(f, P ) ≤∫
Bf ≤ U(f, P ) ∀ P ∈ P(B)
En efecto, esto se deduce inmediatamente del Corolario 3.
Teorema 5.1.2 Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una funcion acotada. Se cumple f ∈ R(B)si y solo si dado ε > 0, existe P = P (ε) ∈ P(B) tal que U(f, P )− L(f, P ) < ε.
Demostracion. (⇒) Por hipotesis∫
Bf =
∫
Bf =
∫
Bf
luego∫
Bf = infU(f, P ) : P ∈ P(B) = supL(f, P ) : P ∈ P(B)
Dado ε > 0, existe P1 ∈ P(B) tal que U(f, P1) <∫
Bf +
ε2
y existe P2 ∈ P(B) tal que∫
Bf− ε
2< L(f, P2).
Tomando P = P1 + P2 tenemos
U(f, P )− ε2≤ U(f, P1)−
ε2
<∫
Bf < L(f, P2) +
ε2≤ L(f, P ) +
ε2
Ası, existe P ∈ P(B) tal que U(f, P )− L(f, P ) < ε.
(⇐) Dado ε > 0, por hipotesis existe P = P (ε) ∈ P(B) tal que U(f, P )−L(f, P ) < ε. Por el Corolario 3al Teorema 5.1.1 tenemos que
0 ≤∫
Bf −
∫
Bf ≤ U(f, P )− L(f, P ) < ε
Se sigue que∫
Bf =
∫
Bf .
Existe otra caracterizacion de funcion Riemann integrable, la cual usa el concepto de oscilacion.
Definicion 5.1.3 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcion acotada. La oscilacion de f sobre el conjuntoX, denotada por ω(f,X) es definida como
ω(f, X) = sup|f(x)− f(y)| : x, y ∈ X
Analisis Real II 72
Proposicion 5.1.3 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcion acotada, se cumple:
1. Si mX(f) = inff(x) : x ∈ X y MX(f) = supf(x) : x ∈ X entonces
ω(f, X) = MX(f)−mX(f)
2. Si Y ⊆ X entonces ω(f, Y ) ≤ ω(f, X).
3. Si P = Bi ∈ P(B) entonces U(f, P )− L(f, P ) =∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi)
Demostracion. 1.) Sean x, y ∈ X, cosideremos dos casos: Si f(x) ≥ f(y) entonces |f(x) − f(y)| =f(x)− f(y) ≤ MX(f)−mX(f).Si f(x) < f(y) entonces |f(x)− f(y)| = f(y)− f(x) ≤ MX(f)−mX(f).En cualquier caso se tiene que |f(x)− f(y)| ≤ MX(f)−mX(f), ∀ x, y ∈ X, es decir ω(f,X) ≤ MX(f)−mX(f).
Supongamos que ω(f, X) < MX(f)−mX(f) (Hip. Aux.) entonces ω(f, X)+mX(f) < MX(f), luegoexiste un x0 ∈ X tal que ω(f, X) + mX(f) < f(x0), se sigue que mX(f) < f(x0)− ω(f, X), luego existeun y0 ∈ X tal que f(y0) < f(x0)− ω(f,X). Ası
ω(f, X) < f(x0)− f(y0) ≤ |f(x0)− f(y0)| ≤ ω(f,X)
lo cual es una contradiccion. La parte 2.) es evidente.
3.) De la definicion y la parte 1, tenemos
U(f, P )− L(f, P ) =∑
i
Mi(f) vol (Bi)−∑
i
mi(f) vol (Bi) =∑
i
[Mi(f)−mi(f)] vol (Bi)
=∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi)
lo cual prueba el resultado.
Corolario. Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada. Se cumple f ∈ R(B) si ysolo si dado ε > 0, existe P = P (ε) = Bi ∈ P(B) tal que
∑
i
ω(f, Bi) vol (Bi) < ε.
Demostracion. Consecuencia directa del Teorema 5.1.2 y la parte 3 de la proposicion anterior.
Teorema 5.1.4 Si B un m-bloque compacto entonces C(B) ⊆ R(B).
Demostracion. Sea f ∈ C(B) entonces f es u. c. en B, luego dado ε > 0 ∃ δ > 0 tal que si x, y ∈ B y‖x− y‖ < δ entonces |f(x)− f(y)| < ε
2 vol (B).
Si tomamos P = Bi ∈ P(B) con ‖P‖ <δ√m
, para x, y ∈ Bi se cumple
‖x− y‖2 =m
∑
j=1
|xj − yj |2 <m
∑
j=1
‖Pj‖2 ≤ m‖P‖2 < δ2
Analisis Real II 73
Luego |f(x) − f(y)| <ε
2 vol (B), ∀ x, y ∈ Bi lo cual implica que ω(f,Bi) <
εvol (B)
y por lo tanto∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi) < ε. De esta manera f ∈ R(B).
5.2 Propiedades Basicas de la Integral sobre m-Bloques Com-pactos
Teorema 5.2.1 Si B un m-bloque compacto y
f : B → Rx 7→ f(x) = 1
entonces f ∈ R(B) y∫
B1 = vol (B)
Demostracion. Dado P = Bi ∈ P(B), se cumple
L(1, P ) =∑
i
vol (Bi) = vol (B) y U(1, P ) =∑
i
vol (Bi) = vol (B).
Se sigue que f ∈ R(B) y∫
B1 = vol (B).
Teorema 5.2.2 Si B un m-bloque compacto, f ∈ R(B) y c ∈ R. Entonces cf ∈ R(B) y∫
Bcf = c
∫
Bf
Demostracion. Sea P = Bi ∈ P(B). Si c ≥ 0 entonces
mi(cf) = inf(cf)(x) : x ∈ Bi = c · inff(x) : x ∈ Bi = c ·mi(f)
Analogamente Mi(cf) = c ·Mi(f). Luego
L(cf, P ) =∑
i
mi(cf) vol (Bi) = c∑
i
mi(f) vol (Bi) = c L(f, P )
Analogamente U(cf, P ) = cU(f, P ). Por lo tanto∫
Bcf = supL(cf, P ); P ∈ P(B) = c · supL(f, P ); P ∈ P(B) = c
∫
Bf = c
∫
Bf
Analogamente∫
Bcf = c
∫
Bf . Se sigue que cf ∈ R(B) y
∫
Bcf = c
∫
Bf .
Analisis Real II 74
Lema 5.2.1 Si B un m-bloque compacto y f, g : B → R son funciones acotadas entonces se cumple
1.∫
B(f + g) ≥
∫
Bf +
∫
Bg.
2.∫
B(f + g) ≤
∫
Bf +
∫
Bg.
Demostracion. 1.) Sea P = Bi ∈ P(B). Dado x ∈ Bi se cumple
mi(f) + mi(g) ≤ f(x) + g(x) = (f + g)(x)
luegomi(f) + mi(g) ≤ mi(f + g), ∀ i
Por tanto
L(f + g, P ) =∑
i
mi(f + g) vol (Bi) ≥k
∑
i
mi(f) vol (Bi) +∑
i
mi(g) vol (Bi)
= L(f, P ) + L(g, P ), ∀ P ∈ P(B)
Sean P1, P2 ∈ P(B) y P = P1 + P2, luego
L(f, P1) + L(g, P2) ≤ L(f, P ) + L(g, P ) ≤ L(f + g, P ) ≤∫
B(f + g)
Se sigue que∫
B(f + g) ≥
∫
Bf +
∫
Bg.
Teorema 5.2.3 Si B un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces f + g ∈ R(B) y∫
B(f + g) =
∫
Bf +
∫
Bg
Demostracion. Por hipotesis y el lema anterior∫
Bf +
∫
Bg =
∫
Bf +
∫
Bg ≤
∫
B(f + g) ≤
∫
B(f + g) ≤
∫
Bf +
∫
Bg =
∫
Bf +
∫
Bg
Se sigue que f + g ∈ R(B) y∫
B(f + g) =
∫
Bf +
∫
Bg.
Observacion: Los resultados anteriores nos dice que R(B) es un R-espacio vectorial y el operador
Γ : R(B) → Rf 7→ Γ(f) =
∫
Bf
es un funcional lineal.
Analisis Real II 75
Teorema 5.2.4 Si B un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) tales que f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ B entonces∫
Bf ≤
∫
Bg
Demostracion. Sea P = Bi ∈ P(B). Para x ∈ Bi se cumple que mi(f) ≤ f(x) ≤ g(x), luegomi(f) ≤ mi(g). Se sigue que
L(f, P ) =∑
i
mi(f) vol (Bi) ≤∑
i
mi(g) vol (Bi) = L(g, P ) ≤∫
Bg =
∫
Bg, ∀ P ∈ P(B)
esto implica que∫
Bf ≤
∫
Bg.
Observaciones:
1. Si B un m-bloque compacto y f ∈ R(B) es tal que f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ B entonces∫
Bf ≥ 0.
2. El operador Γ : R(B) → R es monotono, es decir si f, g ∈ R(B) con f ≤ g entonces Γ(f) ≤ Γ(g).
Definicion 5.2.1 Sea X ⊆ Rm y f, g : X → R
1. El maximo de f y g, y el mınimo de f y g son las funciones maxf, g,minf, g : X → R definidaspor
maxf, g(x) = maxf(x), g(x) y minf, g(x) = minf(x), g(x), ∀ x ∈ X
2. La parte positiva de f y la parte negativa de f , denotadas respectivamente por f+, f− son lasfunciones f+, f− : X → R definidas por
f+ = maxf, 0 y f− = −minf, 0
Observaciones:
1. De las definiciones de maximo y mınimo se sigue directamente que:
maxf, g =12(f + g + |f − g|) y minf, g =
12(f + g − |f − g|)
luego
f+ =12(f + |f |) y f− =
12(|f | − f)
2. f+ y f− son funciones no negativas.
3. f = f+ − f−.
4. |f | = f+ + f−.
Analisis Real II 76
5. f ≥ 0 ⇒ f+ = f y f− = 0.
6. f ≤ 0 ⇒ f+ = 0 y f− = −f .
7. f+ · f− = 0.
Lema 5.2.2 Si B un m-bloque compacto y f : B → R una funcion acotada entonces se cumple
U(f, P )− L(f, P )=[U(f+, P )− L(f+, P )] + [U(f−, P )− L(f−, P )], ∀ P ∈ P(B)
Demostracion. Sea P = Bi ∈ P(B). Afirmo que
Mi(f)−mi(f) = Mi(f+)−mi(f+) + Mi(f−)−mi(f−)
En efecto, consideremos tres casos:
Caso 1: mi(f) ≥ 0. Se cumple Mi(f+) = Mi(f), mi(f+) = mi(f), Mi(f−) = mi(f−) = 0 y la igualdadse cumple trivialmente.
Caso 2: Mi(f) ≤ 0. Se cumple Mi(f+) = mi(f+) = 0 y Mi(f−) = −mi(f), mi(f−) = −Mi(f), ynuevamente la igualdad se cumple trivialmente.
Caso 3: mi(f) < 0 < Mi(f). En este caso Mi(f+) = Mi(f), mi(f+) = 0, Mi(f−) = −mi(f) ymi(f−) = 0, luego
Mi(f)−mi(f) = Mi(f+) + Mi(f−) = Mi(f+)−mi(f+) + Mi(f−)−mi(f−)
lo cual prueba la afirmacion.Multiplicando la igualdad por vol (Bi) y sumando sobre i, el lema se sigue.
Teorema 5.2.5 Si B es un m-bloque compacto y f : B → R es una funcion acotada, se tiene
f ∈ R(B) ⇐⇒ f+, f− ∈ R(B)
Demostracion. (⇒) Dado ε > 0, existe un P ∈ P(B) tal que U(f, P ) − L(f, P ) < ε. Por el lemaanterior
U(f+, P )− L(f+, P ) ≤ U(f, P )− L(f, P ) < ε y U(f−, P )− L(f−, P ) ≤ U(f, P )− L(f, P ) < ε
Luego f+, f− ∈ R(B).
(⇐) Si f+, f− ∈ R(B) entonces f = f+ − f− ∈ R(B).
Corolario. Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces
1. |f | ∈ R(B) y∣
∣
∣
∣
∫
Bf∣
∣
∣
∣
≤∫
B|f |
Analisis Real II 77
2. maxf, g, minf, g ∈ R(B) y∫
Bmaxf, g ≥ max
∫
Bf,
∫
Bg
,∫
Bminf, g ≤ min
∫
Bf,
∫
Bg
Demostracion. Como f ∈ R(B) entonces f+, f− ∈ R(B), luego |f | = f+ + f− ∈ R(B). Por otro lado,desde que −|f | ≤ f ≤ |f |, se tiene que
−∫
B|f | ≤
∫
Bf ≤
∫
B|f |
De aquı, el resultado se sigue. La prueba de 2) es similar.
Teorema 5.2.6 Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una funcion acotada. Si f ∈ R(B) entoncesf2 ∈ R(B).
Demostracion. Primeramente, consideremos el caso en que f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ B. Sea P = Bi ∈P(B), dado x ∈ Bi, se cumple f(x) ≤ Mi(f), luego f2(x) ≤ Mi(f)2 y por tanto Mi(f2) ≤ Mi(f)2.Analogamente mi(f2) ≥ mi(f)2. Por lo tanto
U(f2, P )− L(f2, P ) =∑
i
[Mi(f)2 −mi(f2)] vol (Bi) =∑
i
[Mi(f) + mi(f)][Mi(f)−mi(f)] vol (Bi)
≤ 2M∑
i
[Mi(f)−mi(f)] vol (Bi) = 2M [U(f, P )− L(f, P )], ∀ P ∈ P(B)
donde |f(x)| < M , ∀ x ∈ B. Dado ε > 0, como f ∈ R(B), existe P ∈ P(B) tal que U(f, P )− L(f, P ) <ε
2M. Se sigue que U(f2, P )− L(f2, P ) < ε y por lo tanto f2 ∈ R(B).
En el caso general, tenemos
f2 = (f+ − f−)2 = (f+)2 − 2f+f− + (f−)2 = (f+)2 + (f−)2
Como f ∈ R(B) entonces f+, f− ∈ R(B) y por lo tanto (f+)2, (f−)2 ∈ R(B). Ası f2 = (f+)2 +(f−)2 ∈R(B).
Corolario. Sea B un m-bloque compacto y f, g : B → R funciones acotadas. Si f, g ∈ R(B) entoncesfg ∈ R(B).
Demostracion. Es inmediato, puesto que fg =14(f + g)2 − 1
4(f − g)2.
Observacion: Si B es un m-bloque compacto entonces R(B) es un algebra.
Definicion 5.2.2 Sea X ⊆ Rm. La funcion caracterıstica de X, denotada por 1X es definida por
1X : Rm → R
x 7→ 1X (x) =
1, si x ∈ X0, si x ∈ Rm −X
Analisis Real II 78
Observacion: Se cumplen los siguientes resultados
1. 1X es discontinua en x si y solo si x ∈ ∂X.
2. Si Y ⊆ X entonces 1Y ≤ 1X .
3. 1X∪Y ≤ 1X + 1Y .
4. 1X∪Y + 1X∩Y = 1X + 1Y .
Teorema 5.2.7 Si A,B son m-bloques compactos con A ⊆ int (B) entonces 1A ∈ R(B) y∫
B1A = vol (A)
Demostracion. Sea P0 ∈ P(B) particion que contiene a A como subbloque. Dado P = Bi ∈ P(B)refinamiento de P0, denotemos por I al conjunto de ındices i tales que Bi ⊆ A. Se cumple:
L(1A, P ) =∑
i
mi(1A) vol (Bi) =∑
i∈I
vol (Bi) = vol(A)
U(1A, P ) =∑
i
Mi(1A) vol (Bi) ≥∑
i∈I
vol (Bi) = vol (A)
Se sigue que∫
B1A = supL(1A, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 = vol (A)
∫
B1A = infU(1A, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 ≥ vol (A)
Sea A′ m-bloque compacto tal que A ⊆ int (A′) ⊆ B y fijemos Q0 ∈ P(B) particion que contiene a A′
como subbloque. Dado P = Bi ∈ P(B) refinamiento de Q0, se cumple:
U(1A, P ) =∑
i
Mi(1A) vol (Bi) ≤ vol (A′)
Se sigue que
vol (A) ≤∫
B1A ≤ vol (A′)
Tomando A′ con volumen suficientemente proximo del volumen de A, el resultado se sigue.
5.3 Conjuntos de Medida Cero
Definicion 5.3.1 Decimos que X ⊆ Rm tiene medida m-dimensional cero o simplemente m-medida cero,si y solo si para todo ε > 0, existe una familia numerable Ckk∈N de m-cubos abiertos y acotados talesque
Analisis Real II 79
1. X ⊆∞⋃
k=1
Ck.
2.∞∑
k=1
vol (Ck) < ε.
Observaciones:
1. Todo conjunto unitario de Rm tiene m-medida cero.
2. Todo subconjunto finito de puntos de Rm tiene m-medida cero.
3. Todo subconjunto de un conjunto de m-medida cero tiene m-medida cero.
4. La union de una familia finita de conjuntos de m-medida cero tiene m-medida cero.
5. En la definicion anterior podemos reemplazar m-cubos abiertos por m-cubos cerrados, m-bloquescerrados, m-bloques abiertos, bolas abiertas o bolas cerradas de Rm.
Proposicion 5.3.1 Si Xkk∈N es una familia numerable de subconjuntos de Rm que tienen m-medida
cero, entonces X =∞⋃
k=1
Xk tiene m-medida cero.
Demostracion. Sea ε > 0, dado j ∈ Z+ (fijo, arbitrario), existe Cj,k coleccion numerable de m-cubos
abiertos tales que Xj =∞⋃
k=1
Cj,k y
∞∑
k=1
vol (Cj,k) <ε
2j+1 .
Considero Cj,kj,k∈N coleccion numerable de m-cubos abiertos, la cual satisface:
1. X ⊆∞⋃
j,k=1
Cj,k.
2. Sea F ⊆ N×N conjunto finito entonces existe k0 ∈ N tal que si (j, k) ∈ F entonces j, k ≤ k0. Luego
∑
(j,k)∈F
vol (Cj,k) ≤k0∑
j=1
(
k0∑
k=1
vol (Cj,k)
)
<k0∑
j=1
ε2j+1 <
ε2
se sigue que∞∑
j,k=1
vol (Cj,k) ≤ ε2
< ε
Analisis Real II 80
Concluimos que X tiene m-medida cero.
Observaciones:
1. Todo subconjunto numerable de Rm tiene m-medida cero.
2. N, Z y Q tienen medida unidimensional cero.
Lema 5.3.1 Sea B un m-bloque acotado. Si Cjj∈N es una familia numerable de m-cubos abiertos yacotados tales que B ⊆
⋃
j∈NCj entonces
vol (B) ≤∑
j,1
vol (Cj)
Demostracion. En primer lugar, consideramos B m-bloque cerrado, luego es compacto. Como B ⊆⋃
j∈NCj y Cj son m-cubos abiertos, tenemos que existen j1, . . . , jk ∈ N tales que B ⊆
k⋃
i=1
Cji . Sea B un
m-bloque compacto tal quek
⋃
i=1
Cji ⊆ B, entonces 1B ≤ 1 kS
i=1Cji
! ≤k
∑
i=1
1Cji
. Se sigue que
vol (B) =∫
B1B ≤
k∑
i=1
∫
B1
Cji=
k∑
i=1
vol (Cji) ≤∑
j,1
vol (Cj)
Si B es un m-bloque acotado cualquiera, entonces no es difıcil ver (¡Ejercicio!) que
vol (B) = sup vol (A) : A ⊆ B,A es un m-bloque compacto
Luego si A ⊆ B es un m-bloque compacto, por la primera parte tenemos que vol (A) ≤∑
j,1
vol (Cj) y
por la definicion de supremo, tenemos vol (B) ≤∑
j,1
vol (Cj).
Teorema 5.3.2 Sea B un m-bloque acotado. B tiene m-medida cero si y solo si B es degenerado.
Demostracion. (⇒) Sea B un m-bloque B de m-medida cero y supongamos que B es no degenerado(Hip. Aux.). Como vol (B) > 0 existe una coleccion numerable Cjj∈N de m-cubos abiertos tales que
B ⊆∞⋃
j∈NCj y
∞∑
j=1
vol (Cj) < vol (B), pero por el lema anterior
vol (B) ≤∑
j,1
vol (Cj) < vol (B)
lo cual es una contradiccion.
Analisis Real II 81
(⇐) Sea B un m-bloque degenerado. Es suficiente considerar B del tipo
B = I1 × · · · × Im−1 × a = B′ × a
donde I1, . . . , Im−1 son intervalos acotados no degenerados. Dado ε > 0 para j ∈ N, consideramos
Bj = B′×[
a− ε′
2j , a +ε′
2j
]
, (con ε′ > 0 dependiente de ε a elegir). Claramente Bjj∈N es una coleccion
de m-bloques cerrados tales que B ⊆⋃
j∈NBj y
∞∑
j=1
vol (Bj) =∞∑
j=1
vol (B′)ε′
2j−1 = 2 vol (B′)ε′
Si tomamos ε′ <ε
2 vol (B′), concluimos que B tiene m-medida cero.
Corolario. Si U ⊆ Rm es abierto y p ∈ Rn entonces U × p ⊆ Rm+n tiene (m + n)-medida cero.
Demostracion. Sea Cjj∈N coleccion de m-cubos tales que U ⊆⋃
j∈NCj , luego U×p ⊆
⋃
j∈N(Cj×p).
Por el teorema anterior el cubo degenerado Cj × p tiene (m + n)-medida cero y de aquı, el resultadose sigue.
Observaciones:
1. En la categorıa de los m-bloques degenerados, tener m-medida cero es equivalente a tener volumencero.
2. Las (m− k)-caras de los m-bloques tienen m-medida cero.
3. Sea X ⊆ Rm de m-medida cero entonces int (X) = ∅. El recıproco de este resultado es falso comose muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.3.1 (Conjunto de Cantor de medida positiva) Vamos a construir inductivamente unconjunto compacto X ⊆ [0, 1] de interior vacıo pero de 1-medida positiva. Para ello tomemos a ∈ ]0, 1/2[ ,se cumple
∞∑
n=1
an =1
1− a− 1 < 1,
tomemos δ = 1 −∞∑
n=1
an > 0. En la primera etapa de construccion de X, del intervalo [0, 1] retiramos
el intervalo abierto J1 de centro 1/2 y longitud a, quedando [0, 1]− J1 el cual es union de dos intervaloscerrados disjuntos. En la segunda etapa, de cada uno de los dos intervalos restantes de la etapa anterior,
retiramos el intervalo abierto (centrado en el centro de cada uno de los intervalos) y de longituda2
2,
denotemos J2,1 y J2,2 a estos intervalos y por J2 a su union. Queda entonces el conjunto [0, 1]− J1 − J2
el cual consta de 4 intervalos. Prosiguiendo inductivamente, en la etapa k tenemos el conjunto [0, 1] −J1 − · · · − Jk el cual consta de 2k intervalos disjuntos y se cumple
Js = Js,1 ∪ · · · ∪ Js,2s−1 , s = 2, . . . k
Analisis Real II 82
siendo la union disjunta y cada Js,i tiene longitudas
2s−1 , luego Js tiene longitud as.
Definimos X = [0, 1] −⋃
s∈NJs. Por construccion X es compacto, no puede contener ningun intervalo
(es decir int (X) = ∅) y ademas, afirmo que X no tiene m-medida cero. En efecto, en primer lugar observeque
∞∑
s=1
2s−1∑
j=1
vol (Js,j) =∞∑
s=1
as = 1− δ.
Si X tuviera m-medida cero (Hip. Aux.) entonces existirıa Cj familia numerable de intervalos abiertos
tal que X ⊆⋃
j∈NCj y
∞∑
j=1
vol (Cj) < δ. Pero
[0, 1] = X⋃
([0, 1]−X) ⊆
⋃
j∈NCj
⋃
(
⋃
s∈NJs
)
Por el Lema 5.3.1:
1 = vol ([0, 1]) ≤∞∑
j=1
vol (Cj) +∞∑
s=1
2s−1∑
j=1
vol (Js,j) < δ + (1− δ) = 1
lo cual es una contradiccion.
Proposicion 5.3.3 Sea X ⊆ Rm. Si para cada ε > 0 existe Y = Yε ⊆ Rm de m-medida cero y existeuna coleccion numerable de m-cubos abiertos y acotados Cjj∈N tales que
1.∞∑
j=1
vol (Cj) < ε.
2. X ⊆
∞⋃
j=1
Cj
⋃
Y .
Entonces X tiene m-medida cero.
Demostracion. Dado ε > 0, por hipotesis existe una coleccion numerable de m-cubos abiertos y acotadosCjj∈N tales que se satisfacen las dos condiciones anteriores. Como Y tiene m-medida cero, existe una
coleccion numerable de m-cubos abiertos y acotados C ′kk∈N tales que Y ⊆∞⋃
k=1
C ′k y∞∑
k=1
vol (C ′k) <ε2.
Considerando la coleccion numerable de m-cubos abiertos y acotados Cj , C ′k : j, k ∈ N, se cumple que
X ⊆
∞⋃
j=1
Cj
⋃
( ∞⋃
k=1
C ′k
)
Analisis Real II 83
y∞∑
j=1
vol (Cj) +∞∑
k=1
vol (C ′k) < ε
es decir X tiene m-medida cero.
Sea X un conjunto de m-medida cero y f : X → Rm ¿Bajo que condiciones f(X) tiene m-medidacero? Para responder esta interrogante, necesitamos una definicion.
Definicion 5.3.2 Sea X ⊆ Rm y f : X → Rn. Decimos que f es localmente Lipschitz en X si y solo sipara todo x ∈ X existe Vx ⊆ Rm vecindad abierta de X tal que la restriccion f
∣
∣
X∩Vx: X ∩ Vx → Rn es
Lipschitz en X ∩ Vx.
Proposicion 5.3.4 Si X ⊆ Rm tiene m-medida cero y f : X → Rm es localmente Lipschitz en Xentonces f(X) tiene m-medida cero.
Demostracion. Primeramente, consideremos el caso en que f es Lipschitz en X. Luego existe K > 0tal que si x, y ∈ X entonces ‖f(x)− f(y)‖ ≤ K‖x− y‖.
Como X tiene m-medida cero, dado ε > 0 existe una familia numerable Ckk∈N de m-cubos tales que
X ⊆∞⋃
k=1
Ck y∞∑
k=1
vol (Ck) <ε
(√
mK)m . Si `k es la longitud de la arista del m-cubo Ck entonces dados
y1, y2 ∈ f(X ∩ Ck), existen x1, x2 ∈ X ∩ Ck tales que f(x1) = y1 y f(x2) = y2, luego para 1 ≤ i ≤ mtenemos
|πi(y1)− πi(y2)| ≤ ‖y1 − y2‖ = ‖f(x1)− f(x2)‖ ≤ K‖x1 − x2‖ ≤ K√
m`k
Se sigue que y1, y2 ∈ Dk donde Dk es un m-cubo cuya arista tiene longitud K√
m`k, es decir f(X∩Ck) ⊆Dk, ∀ k ∈ N, luego
f(X) = f
(
X ∩∞⋃
k=1
Ck
)
= f
( ∞⋃
k=1
X ∩ Ck
)
=∞⋃
k=1
f(X ∩ Ck) ⊆∞⋃
k=1
Dk
Ademas∞∑
k=1
vol (Dk) =∞∑
k=1
(√
mK)m`mk = (
√mK)m
( ∞∑
k=1
vol (Ck)
)
< ε
Esto prueba que f(X) tiene m-medida cero.En el caso que f es localmente Lipschitz, dado x ∈ X existe Vx ⊆ Rm vecindad abierta de X tal que
la restriccion f∣
∣
X∩Vx: X ∩ Vx → Rm es Lipschitz en X ∩ Vx. Como X ⊆
⋃
x∈X
Vx, por Lindelof existen
x1, x2, . . . tales que X ⊆∞⋃
k=1
Vxk . Por la primera parte f(X ∩ Vxk) tiene m-medida cero, ∀ k ∈ N y desde
que
f(X) = f
(
X ∩∞⋃
k=1
Vxk
)
=∞⋃
k=1
f(X ∩ Vxk)
Analisis Real II 84
se sigue que f(X) tiene m-medida cero.
El resultado siguiente establece que la mayorıa de funciones de Rm a Rm que conocemos conserva lam-medida cero.
Corolario. Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ C1(U,Rm). Si X ⊆ U tiene m-medida cero entonces f(X) tienem-medida cero.
Demostracion. Es suficiente probar que f es localmente Lipschitz. Sea x ∈ X, existe un ε = εx > 0 talque Bε[x] ⊆ U . Denotemos
Kx = sup‖f ′(y)‖ : y ∈ Bε[x]
Por la desigualdad del valor medio
‖f(y)− f(x)‖ ≤ Kx‖y − z‖ ∀ y, z ∈ Bε[x]
es decir, f es localmente Lipschitz.
Proposicion 5.3.5 Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ C1(U,Rn) donde m < n entonces f(U) tiene n-medidacero.
Demostracion. Sea W = U × Rn−m ⊆ Rn y defino
g : W → Rn
(x, y) 7→ g(x, y) = f(x)
Se sigue que g ∈ C1(U,Rn) y g(U ×0) = f(U). Por el corolario al Teorema 5.3.2 tenemos que U ×0tiene n-medida cero luego f(U) = g(U × 0) tiene n-medida cero.
Observaciones:
1. Si I ⊆ R es un intervalo abierto tal que [0, 1] ⊆ I y f ∈ C1(I,Rn) entonces f([0, 1]) tiene n-medidacero, luego int (f([0, 1])) = ∅. Se deduce que en clase C1 no existen curvas de Peano.
2. La propiedad de que un conjunto tenga medida cero es preservada por funciones de clase C1.
5.4 Caracterizacion de las Funciones Riemann Integrables
En la presente seccion, daremos condiciones necesarias y suficientes para que una funcion acotada f :B → R, en donde B es un m-bloque compacto, sea Riemann integrable sobre B. Para ello, necesitamosalgunos resultados previos.
Sea X ⊆ Rm y f : X → R funcion acotada. Recordemos que la oscilacion de f en X se definio como
ω(f, X) = sup|f(x)− f(y)| : x, y ∈ X
y satisfacıa las siguientes propiedades:
1. Si MX(f) = supf(x) : x ∈ X y mX(f) = f(x) : x ∈ X entonces ω(f, X) = MX(f)−mX(f).
Analisis Real II 85
2. Si Y ⊆ X entonces ω(f, Y ) ≤ ω(f, X).
3. f ∈ R(B) si y solo si dado ε > 0, existe P = Pε = Bi ∈ P(B) tal que
U(f, P )− L(f, P ) =∑
i
ω(f ; Bi) vol (Bi) < ε
Nos proponemos definir la oscilacion de una funcion en un punto x ∈ XDado x ∈ X, definimos
Ωx : ]0, +∞[ → Rδ 7→ Ωx(δ) = ω(f, X ∩Bδ(x))
Esta funcion satisface las siguientes propiedades:
1. Ωx es acotada. En efecto, dado δ > 0 se tiene
Ωx(δ) = ω(f, X ∩Bδ(x)) ≤ ω(f, X) = MX(f)−mX(f)
2. Ωx es una funcion monotona creciente. En efecto dados δ1 < δ2 entonces
Ωx(δ1) = ω(f, X ∩Bδ1(x)) ≤ ω(f, X ∩Bδ2(x)) = Ωx(δ2).
Como 0 es punto de acumulacion a derecha de ]0,+∞[ , tenemos
limδ→0+
Ωx(δ) = infΩx(δ) : δ > 0 = infω(f,X ∩Bδ(x)); δ > 0
Definicion 5.4.1 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcion acotada. La oscilacion de f en el punto x,denotada por ω(f, x) se define como
ω(f, x) = infω(f,X ∩Bδ(x)); δ > 0
Teorema 5.4.1 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcion acotada. Se cumplen las siguientes propiedades:
1. ω(f, x) ≥ 0, ∀ x ∈ X.
2. ω(f, x0) = 0 si y solo si f es continua en x0.
3. Si x ∈ int (Y ) e Y ⊆ X entonces ω(f, x) ≤ ω(f, Y ). En particular, si x ∈ int (X) entoncesω(f, x) ≤ ω(f, X).
4. Si ω(f, x0) < c entonces ∃ δ > 0 tal que ω(f, x) < c, ∀ x ∈ X ∩Bδ(x0).
5. Si X ⊆ Rm es cerrado (respectivamente compacto) entonces el conjunto x ∈ X : ω(f, x) ≥ c escerrado (respectivamente compacto), para todo c ≥ 0.
Analisis Real II 86
Demostracion. 2.) (⇒) Si ω(f, x0) = 0 entonces infω(f, X ∩ Bδ(x0)) : δ > 0 = 0, luego dado ε > 0existe un δ > 0 tal que ω(f, X ∩Bδ(x0)) < ε, luego |f(x)− f(y)| < ε, ∀ x, y ∈ X ∩Bδ(x0). En particularsi x ∈ X y ‖x− x0‖ < δ entonces |f(x)− f(x0)| < ε. Es decir, f es continua en x0.
(⇐) Dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que si x ∈ X y ‖x − x0‖ < δ entonces |f(x) − f(x0)| <ε3. Sean
x, y ∈ X ∩Bδ(x0) entonces
|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− f(x0)|+ |f(x0)− f(y)| < 2ε3
Luego ω(f, X ∩Bδ(x0)) ≤2ε3
< ε y esto prueba que ω(f, x0) = 0.
3.) Si x ∈ int (Y ) entonces ∃ δ > 0 tal que Bδ(x) ⊆ Y , luego
ω(f, x) ≤ ω(f,X ∩Bδ(x)) = ω(f, Bδ(x)) ≤ ω(f, Y ).
Observacion: La propiedad 3.) no necesariamente se cumple si retiramos la hipotesis x ∈ int (Y ). Enefecto, sean X = R2, Y = ]−∞, 0]× R y f : R2 → R definida por
f(x, y) =
0, si x ≤ 01, si x > 0
Como ω(f, Bδ(0)) = supf(x, y); (x, y) ∈ Bδ(0) − inff(x, y); (x, y) ∈ Bδ(0) = 1, ∀ δ > 0, se cumple
ω(f, 0) = infω(f, Bδ(0)); δ > 0 = 1
Por otro ladoω(f, Y ) = supf(x, y); (x, y) ∈ Y − inff(x, y); (x, y) ∈ Y = 0
De esta manera ω(f, Y ) < ω(f, 0).
Teorema 5.4.2 (Lebesgue) Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada y denotemos
Df = x ∈ B : f es discontinua en x
Entonces f ∈ R(B) si y solo si Df tiene m-medida cero.
Demostracion. (⇐) Sea K = ω(f, B). Dado ε > 0, existe una coleccion numerable de m-cubos abiertos
C ′j tales que Df ⊆∞⋃
j=1
C ′j y∞∑
j=1
vol (C ′j) <ε
2K.
Sea x ∈ B −Df . Afirmo que existe C ′′x m-cubo abierto tal que x ∈ C ′′x y
ω(f, C ′′x ∩B) <ε
2 vol (B)
En efecto, como f es continua en x entonces ω(f, x) = 0, luego existe un δ > 0 tal que ω(f, Bδ(x)∩B) <ε
2 vol (B). Tomando C ′′x un m-cubo abierto tal que C ′′x ⊆ Bδ(x), se prueba la afirmacion.
Analisis Real II 87
Observe que
B = Df ∪ (B −Df ) ⊆
∞⋃
j=1
C ′j
⋃
⋃
x∈B−Df
C ′′x
Como B es compacto se tiene que
B ⊆
r⋃
j=1
C ′j
⋃
(
s⋃
k=1
C ′′xk
)
Consideremos P = Bi ∈ P(B) tal que cumple por lo menos una de las dos alternativas siguientes:Bi ⊆ C ′j o Bi ⊆ C ′′xk
. Denotando por I = i; Bi ⊆ C ′j y J = i; Bi ⊆ C ′′xk, se cumple:
∑
i
ω(f, Bi) vol (Bi) ≤∑
i∈I
ω(f, Bi) vol (Bi) +∑
i∈J
ω(f,Bi) vol (Bi)
< K∑
i∈I
vol (Bi) +ε
2 vol (B)
∑
i∈J
vol (Bi)
< Kε
2K+
ε2 vol (B)
vol (B) = ε
Por lo tanto f ∈ R(B).
(⇒) Dado j ∈ N, definimos
Dj =
x ∈ B; ω(f, x) ≥ 1j
Claramente se tiene que Df ⊆∞⋃
j=1
Dj . Es suficiente probar que Dj tiene m-medida cero, ∀ j ∈ N.
Dados j ∈ N y ε > 0, por hipotesis, existe P = Bi ∈ P(B) tal que∑
i
ω(f, Bi) vol (Bi) <εj.
Sea I = i; Dj ∩ int (Bi) 6= ∅. Si x ∈ Dj ∩ int (Bi) entonces1j≤ ω(f, x) ≤ ω(f, Bi), luego
1j
∑
i∈I
vol (Bi) ≤∑
i∈I
ω(f,Bi) vol (Bi) ≤∑
i
ω(f,Bi) vol (Bi) <εj
es decir∑
i∈I
vol (Bi) < ε
Por otro lado Dj ⊆
(
⋃
i∈I
Bi
)
∪ Y , en donde Y es la union de las caras de los sub-bloques Bi tales
que i ∈ I. Como Y tiene m-medida cero, de la Proposicion 5.3.3 se sigue que Dj tiene m-medida cero,∀ j ∈ N.
Analisis Real II 88
5.5 Integracion Iterada
Sean B1 ⊆ Rm y B2 ⊆ Rn dos bloques compactos y f : B1×B2 → R una funcion acotada. Dado x ∈ B1,definimos
fx : B2 → Ry 7→ f2(y) = f(x, y)
Observe que fx es la restriccion de f al (m+n)-bloque degenerado x×B2 ¿Si f ∈ R(B1×B2) entoncesfx ∈ R(B2), ∀ x ∈ B1?
Ejemplo 5.5.1 Consideremos la funcion
f : [0, 1]× [0, 1] → R
(x, y) 7→ f(x, y) =
0, si x 6= 1/21, si x = 1/2, y ∈ Q0, si x = 1/2, y ∈ I
Claramente Df = 1/2 × [0, 1]. Como Df tiene medida cero, concluimos que f ∈ R([0, 1]× [0, 1]), pero
f1/2 : [0, 1] → R
y 7→ f1/2(y) =
1, si y ∈ Q0, si y ∈ I
se sigue que Df1/2 = [0, 1], luego f1/2 /∈ R([0, 1]).
Observacion: Se puede probar que si f ∈ R(B1 × B2) entonces el conjunto x ∈ B1 : fx /∈ R(B2)tiene m-medida nula. Este resultado es parte importante del Teorema de Fubini. Un caso especial es elsiguiente:
Teorema 5.5.1 (Integracion Iterada) Sean B1 ⊆ Rm, B2 ⊆ Rn bloques compactos y f ∈ R(B1×B2).Para cada x ∈ B1 denotamos
fx : B2 → Ry 7→ fx(y) = f(x, y)
Si definimos las funciones L y U como
L : B1 → Rx 7→ L(x) =
∫
B2
fx(y)dy
U : B1 → R
x 7→ U(x) =∫
B2
fx(y)dy
entonces L,U ∈ R(B1) y ademas
∫
B1
L(x)dx =∫
B1
(
∫
B2
f(x, y)dy
)
dx =∫
B1×B2
f
∫
B1
U(x)dx =∫
B1
(∫
B2
f(x, y)dy)
dx =∫
B1×B2
f
Analisis Real II 89
Demostracion. Sean P1 =
B1i
∈ P(B1) y P2 =
B2j
∈ P(B2) entonces P = P1×P2 =
B1i ×B2
j
∈P(B1 ×B2). Se cumple
L(f, P ) =∑
i,j
mi,j(f) vol (B1i ×B2
j ) =∑
i,j
mi,j(f) vol (B1i ) · vol (B2
j )
=∑
i
∑
j
mi,j(f) vol (B2j )
vol (B1i ) (5.1)
Por otro lado, si x ∈ B1i entonces
mi,j(f) = inff(x, y) : (x, y) ∈ B1i ×B2
j ≤ inffx(y) : y ∈ B2j = mj(fx)
Luego∑
j
mi,j(f) vol (B2j ) ≤
∑
j
mj(fx) vol (B2j ) = L(fx, P2) ≤
∫
B2
fx(y)dy = L(x)
es decir∑
j
mi,j(f) vol (B2j ) ≤ mi(L), ∀ x ∈ B1
i . Reemplazando en (5.1)
L(f, P ) ≤∑
i
mi(L) vol (B1i ) = L(L, P1) (5.2)
Analogamente
U(U , P1) ≤ U(f, P ) (5.3)
De (5.2) y (5.3)
L(f, P ) ≤ L(L, P1) ≤ U(L, P1) ≤ U(U , P1) ≤ U(f, P ), ∀ P = P1 × P2 ∈ P(B1 ×B2)
Como f ∈ R(B1×B2), dado ε > 0, existe P = Pε = P1×P2 ∈ P(B1×B2) tal que U(f, P )−L(f, P ) < ε,
luego existe P1 ∈ P(B1) tal que U(L, P1) − L(L, P1) < ε y esto implica que que L ∈ R(B1) y∫
B1
L =∫
B1×B2
f .
Observaciones:
1. Una demostracion analoga muestra que
∫
B1×B2
f =∫
B2
(
∫
B1
f(x, y)dx
)
dy =∫
B2
(∫
B1
f(x, y)dx)
dy
2. Si f ∈ C(B1 ×B2) entonces fx ∈ R(B2), ∀ x ∈ B1, luego∫
B2
fx(y)dy =∫
B2
fx(y) =∫
B2
fx(y)dy
Analisis Real II 90
Por lo tanto∫
B1
(∫
B2
f(x, y)dy)
dx =∫
B1×B2
f
Analogamente∫
B2
(∫
B1
f(x, y)dx)
dy =∫
B1×B2
f
3. Si B =m∏
i=1
[ai, bi] y f ∈ C(B) entonces
∫
Bf =
∫ bn
an
(
· · ·
(
∫ b1
a1
f(x1, . . . , xn)dx1
)
· · ·
)
dxn
5.6 Integrales sobre Conjuntos J-medibles
Hasta ahora solo sabemos integrar sobre m-bloques compactos, en la presente seccion vamos a ver que sepuede integrar sobre conjuntos mas generales.
Sea X ⊆ Rm, la funcion 1X : Rm → R definida por
1X(x) =
1, si x ∈ X0, si x /∈ X
es llamada funcion caracterıstica de X.
Definicion 5.6.1 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado.
1. Decimos que X es Jordan medible o simplemente J-medible en Rm si y solo si existe un m-bloquecompacto B con X ⊆ int (B) tal que 1X ∈ R(B).
2. Sea X un conjunto J-medible en Rm, el volumen m-dimensional de X o simplemente volumen deX, denotado por vol (X) se define como
vol (X) =∫
B1X
en donde B es un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B).
Observaciones:
1. No es difıcil probar que la definicion de conjunto J-medible ası como de su volumen no dependende la eleccion del m-bloque B con la propiedad X ⊆ int (B).
2. Denotaremos por J (Rm) a la coleccion de todos los subconjuntos acotados J-medibles en Rm.
Analisis Real II 91
Teorema 5.6.1 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. X ∈ J (Rm) si y solo si su frontera ∂X tienem-medida cero.
Demostracion. Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Denotemos
D1X= x ∈ B; 1X es discontinua en x
Se sigue que D1X= ∂X, por lo tanto X ∈ J (Rm) si y solo si 1X ∈ R(B) si y solo si D1X
= ∂X tienem-medida cero.
Observaciones:
1. Como la frontera de un m-bloque acotado es union (finita) de m-bloques degenerados, concluimosque los m-bloques acotados son J-medibles en Rm.
2. Las bolas abiertas y cerradas son conjuntos J-medibles en Rm.
3. Hasta ahora solo sabıamos calcular el volumen de m-bloques acotados, la definicion anterior extiendeel calculo del volumen a conjuntos J-medibles. Los Teoremas 5.2.7 y 5.6.1 establecen que esta esuna buena extension.
Proposicion 5.6.2 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. X ∈ J (Rm) si y solo si ∂X ∈ J (Rm) yvol (∂X) = 0.
Demostracion. (⇒) Como ∂X es cerrado se tiene que ∂(∂X) ⊆ ∂X, de la hipotesis se sigue que ∂(∂X)tiene m-medida cero y por tanto ∂X ∈ J (Rm). Por otro lado, sea ε > 0, como ∂X tiene m-medida cero,
existe Cj coleccion numerable de m-cubos abiertos acotados tales que ∂X ⊆⋃
j∈NCj y
∞∑
j=1
vol (Cj) < ε.
Como ∂X es compacto, ∂X ⊆ C1 ∪ · · · ∪ Cs. Sea B un m-bloque compacto cuyo interior contenga a laclausura de C1 ∪ · · · ∪ Cs, se cumple
vol (∂X) =∫
B1∂X ≤
∫
B1C1∪···∪Cs ≤
s∑
j=1
∫
B1Cj =
s∑
j=1
vol (Cj) < ε
Se sigue que vol (∂X) = 0.
(⇐) Sea B un m-bloque compacto tal que ∂X ⊆ int (B). Por hipotesis
0 = vol (∂X) =∫
B1∂X = inf U(1∂X , P ); P ∈ P(B)
Dado ε > 0, existe P = Bi ∈ P(B) tal que U(1∂X , P ) < ε. Denotemos
I = i; ∂X ∩Bi 6= ∅
claramente ∂X ⊆⋃
i∈I
Bi y ademas
ε >∑
i
Mi(1∂X) vol (Bi) =∑
i∈I
vol (Bi)
Analisis Real II 92
Se sigue que ∂X tiene m-medida cero y por tanto X ∈ J (Rm).
Ejercicio: Sea X ∈ J (Rm), pruebe que vol (X) = 0 ⇐⇒ int (X) = ∅. Pruebe que el resultado es falsosi retiramos la hipotesis de ser X J-medible.
Teorema 5.6.3 Si X, Y ∈ J (Rm) entonces
1. X ∪ Y , X ∩ Y , X − Y ∈ J (Rm).
2. Si X ⊆ Y entonces vol (X) ≤ vol (Y ).
3. vol (X ∪ Y ) = vol (X) + vol (Y )− vol (X ∩ Y ).
Demostracion. Por hipotesis ∂X y ∂Y tienen m-medida cero.
1. Como ∂(X∪Y ) ⊆ ∂X∪∂Y , se sigue que ∂(X∪Y ) tiene m-medida cero y por lo tanto X∪Y ∈ J (Rm).
2. Ejercicio.
3. Sea B un m-bloque compacto tal que X, Y ⊆ int (B). Sabemos que 1X∪Y + 1X∩Y = 1X + 1Y , luego
vol (X ∪ Y ) + vol (X ∩ Y ) =∫
B(1X∪Y + 1X∩Y ) =
∫
B1X +
∫
B1X = vol (X) + vol (Y )
A continuacion, definiremos la integral de una funcion acotada sobre un conjunto J-medible.Sea X ∈ J (Rm) y f : X → R una funcion acotada, consideremos B un m-bloque compacto tal que
X ⊆ int (B). Definimos la funcion
fX : B → R
x 7→ fX(x) =
f(x), x ∈ X0, x ∈ B −X
Definicion 5.6.2 Sea X ∈ J (Rm) y f : X → R una funcion acotada. Decimos que f es RiemannIntegrable sobre X, lo que denotamos f ∈ R(X) si y solo si fX ∈ R(B), en donde B es un m-bloquecompacto tal que X ⊆ int (B). En caso afirmativo definimos
∫
Xf =
∫
BfX
Teorema 5.6.4 Sea X ∈ J (Rm), f : X → R una funcion acotada y denotemos
Df = x ∈ X; f es discontinua en x.
f ∈ R(X) si y solo si Df tiene m-medida cero.
Demostracion. En primer lugar afirmo que Df ⊆ DfX ⊆ Df ∪ ∂X. En efecto: Supongamos queDf ∩ (Rm − DfX ) 6= ∅ (Hip. Aux.) y tomemos x ∈ Df con x /∈ DfX entonces ∃ (xk) ⊆ X tal quelim
k→∞xk = x y lim
k→∞f(xk) 6= f(x). Como fX es continua en x entonces lim
k→∞fX(xk) = fX(x), luego
limk→∞
f(xk) = f(x) contradiccion! esto prueba que x ∈ DfX . El otro contenido es analogo, y ası la
afirmacion esta probada. Como X ∈ J (Rm), ∂X tiene m- medida cero, luego f ∈ R(X) si y solo sifX ∈ R(B) si y solo si DfX tiene m-medida cero si y solo si Df tiene m-medida cero.
Analisis Real II 93
Teorema 5.6.5 Dado X ∈ J (Rm), se cumple
1. Si f ∈ R(X) y c ∈ R entonces cf ∈ R(X) y∫
Xcf = c
∫
Xf .
2. Si f, g ∈ R(X) entonces f + g ∈ R(X) y∫
X(f + g) =
∫
Xf +
∫
Xg.
3. Si f, g ∈ R(X) y f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ X entonces∫
Xf ≤
∫
Xg. En particular, si m ≤ f(x) ≤ M ,
∀ x ∈ X entonces
m · vol (X) ≤∫
Xf ≤ M · vol (X)
4. f ∈ R(X) si y solo si f+, f− ∈ R(X).
5. Si f, g ∈ R(X) entonces maxf, g,minf, g ∈ R(X).
6. Si f ∈ R(X) entonces f2 ∈ R(X).
7. Si f, g ∈ R(X) entonces fg ∈ R(X).
8. Si f ∈ R(X) entonces |f | ∈ R(X) y∣
∣
∣
∣
∫
Xf∣
∣
∣
∣
≤∫
X|f |. En particular
∣
∣
∣
∣
∫
Xf∣
∣
∣
∣
≤ M · vol (X), donde
M = sup|f(x)|; x ∈ X.
9. Si f ∈ R(X) y vol (X) = 0 entonces∫
Xf = 0.
Demostracion. Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Desde que (f + g)X = fX + gX
(¡Ejercicio!) se sigue que si f, g ∈ R(X) entonces fX , gX ∈ R(B), luego (f + g)X = fX + gX ∈ R(B), esdecir f + g ∈ R(X). Ademas
∫
X(f + g) =
∫
B(f + g)X =
∫
B(fX + gX) =
∫
BfX +
∫
BgX =
∫
Xf +
∫
Xg
Las demas son analogas.
Observacion: Si X ∈ J (Rm), entonces R(X) es una R-algebra.
Teorema 5.6.6 (Teorema del Valor Medio para Integrales) Si X ∈ J (Rm) es conexo y f ∈ C(X)entonces existe un x0 ∈ X tal que
∫
Xf = f(x0) · vol (X)
Demostracion. Como f ∈ C(X) y X es conexo entonces f(X) es un intervalo cuyos extremos lodenotamos por m y M , luego m ≤ f(x) ≤ M , ∀ x ∈ X, ası
m · vol (X) =∫
Xm ≤
∫
Xf ≤
∫
XM = M · vol (X)
Se sigue que1
vol (X)
∫
Xf ∈ f(X) luego existe un x0 ∈ X tal que f(x0) =
1vol (X)
∫
Xf .
Analisis Real II 94
Teorema 5.6.7 Sean X,Y ∈ J (Rm). Se cumple que f ∈ R(X ∪ Y ) si y solo si f∣
∣
X ∈ R(X) yf∣
∣
Y ∈ R(Y ). En caso afirmativo∫
X∪Yf +
∫
X∩Yf =
∫
Xf +
∫
Yf
En particular, si int (X ∩ Y ) = ∅ entonces∫
X∪Yf =
∫
Xf +
∫
Yf
Demostracion. Se cumple que
Df∣
∣
X
∪Df∣
∣
Y
⊆ Df ⊆ Df∣
∣
X
∪Df∣
∣
Y
∪ ∂X ∪ ∂Y
Como X,Y ∈ J (Rm) se tiene que ∂X y ∂Y tienen m-medida cero, luego f ∈ R(X ∪ Y ) si y solo si Dftiene m-medida cero si y solo si D
f∣
∣
X
y Df∣
∣
Y
tienen m-medida si y solo si f∣
∣
X ∈ R(X) y f∣
∣
Y ∈ R(Y ).
Sea B un m-bloque compacto tal que X ∪ Y ⊆ int (B) y consideremos las funciones fX∪Y , fX∩Y :B → R, se cumple fX∪Y + fX∩Y = fX + fY , luego
∫
X∪Yf +
∫
X∩Yf =
∫
BfX∪Y +
∫
BfX∩Y =
∫
BfX +
∫
BfY =
∫
Xf +
∫
Yf
Finalmente como X,Y ∈ J (Rm) e int (X ∩ Y ) = ∅ entonces por el ejercicio vol (X ∩ Y ) = 0, luego∫
X∩Yf = 0 y por la parte 9 del Teorema 5.6.5 el resultado se sigue.
Corolario 1. Si X,Y ∈ J (Rm), Y ⊆ X, f ∈ R(X) e int (X − Y ) = ∅ entonces∫
Xf =
∫
Yf
Demostracion. X = (X−Y )∪Y , int ((X−Y )∩Y ) = ∅, X−Y ∈ J (Rm) y ademas como int (X−Y ) = ∅,por el ejercicio vol (X − Y ) = 0, luego
∫
Xf =
∫
(X−Y )∪Yf =
∫
X−Yf +
∫
Yf =
∫
Yf
Corolario 2. Sean X ∈ J (Rm) y f ∈ R(X). Si U = int (X) entonces∫
Xf =
∫
Uf
Demostracion. Como U = int (X) entonces ∂U ⊆ ∂X luego U ∈ J (Rm) e int (X −U) = int (∂X) = ∅.
Luego, por el Corolario 1:∫
Xf =
∫
Uf .
Analisis Real II 95
Observacion: En virtud del corolario anterior, de ahora en adelante podemos suponer que las integralesse realizan sobre conjuntos abiertos J-medibles.
Sea X ∈ J (Rm), se puede usar el Teorema 5.5.1 para calcular∫
Xf , puesto que, por definicion
∫
Xf =
∫
BfX , en donde B es un m-bloque tal que X ⊆ int (B).
Ejemplo 5.6.1 Sea X = [−1, 1] × [−1, 1] − B1(0) y f ∈ R(X), nos proponemos hallar∫
Xf , para ello
consideremos B = [−2, 2]× [−2, 2] y la funcion entonces
fX : B → R
(x, y) 7→ fX(x, y) =
f(x, y), si (x, y) ∈ X0, si (x, y) ∈ B −X
es decir
fX(x, y) =
f(x, y), si − 1 ≤ y ≤ −√
1− x2 o√
1− x2 ≤ y ≤ 1, −1 ≤ x ≤ 10, en otro caso.
De esta manera∫
Xf =
∫
BfX =
∫ 1
−1
[
∫ −√
1−x2
−1f(x, y)dy +
∫ 1
√1−x2
f(x, y)dy
]
dx
Para finalizar la seccion, probaremos que existen abiertos acotados que no son J-medibles. En efecto,sea X el conjunto de Cantor de medida positiva y denotamos Y = X × [0, 1]. Supongamos que Y tiene2-medida cero (Hip. Aux.) denotemos B = [0, 1] × [0, 1] ⊇ Y , como ∂Y ⊆ Y , por la hipotesis auxiliarconcluimos que f = 1Y ∈ R(B). Por el teorema de la integracion iterada, la funcion
L : [0, 1] → R
x 7→ L(x) =∫ 1
0fx(y)dy
es Riemann integrable sobre [0, 1]. Observe que para x ∈ X tenemos fx = 1 (puesto que si y ∈ [0, 1]entonces (x, y) ∈ Y , luego 1 = fx(y) = 1Y (x, y)). Analogamente, si x /∈ X entonces fx = 0. Luego
L(x) =∫ 1
0fx(y)dy =
∫ 1
0fx(y)dy =
1, si x ∈ X0, si x /∈ X
es decir L = 1X , concluimos que 1X ∈ R([0, 1]) y por tanto X = ∂X tiene 1-medida cero lo cual es unacontradiccion. De esta manera Y = X × [0, 1] tiene 2-medida cero. Ahora es facil construir un abiertode R2 cuya frontera no tiene 2-medida cero. En efecto, sea B cualquier 2-bloque abierto que contenga a[0, 1]× [0, 1] y sea U = B−Y . Como Y es cerrado tenemos que U es abierto y como Y ⊆ ∂U (¡Ejercicio!)deducimos que ∂U no tiene 2-medida cero.
La existencia de abiertos acotados que no sean J-medibles es mala para la teorıa de la integracion
puesto que si U es uno de tales abiertos, con la teorıa estudiada hasta el momento la integral∫
Uf no nece-
sariamente estarıa definida, aun suponiendo que f ∈ C(U). Nos proponemos corregir esta desagradablesituacion y para ello introduciremos el concepto de particion de la unidad.
Analisis Real II 96
5.7 Particiones de la Unidad
En esta seccion, estudiaremos una herramienta de extrema utilidad en la Teorıa de la Integracion. Paraello, necesitamos antes un concepto previo.
Definicion 5.7.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → R. El soporte de f , denotado por sopp (f), es lacerradura (relativa a U) del conjunto de todos los puntos de U en donde f no se anula, es decir
sopp (f) = x ∈ U ; f(x) 6= 0 ∩ U
Observaciones:
1. Por definicion, x ∈ sopp (f) si y solo si x ∈ U y existe (xn) ⊆ U con f(xn) 6= 0 tal que limn→∞
xn = x.
2. x ∈ U−sopp (f) si y solo si x ∈ int (x ∈ U ; f(x) = 0). En particular f(x) = 0, ∀ x ∈ U−sopp (f).
Proposicion 5.7.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f, g : U → R y λ ∈ R − 0. Se cumplen las siguientespropiedades:
1. sopp (f + g) ⊆ sopp (f) ∪ sopp (g).
2. sopp (f · g) ⊆ sopp (f) ∩ sopp (g).
3. sopp (λf) = sopp (f).
Demostracion. Solo probaremos 2.) Sea x ∈ sopp (f · g), entonces x ∈ U y existe (xn) ⊆ U con(fg)(xn) 6= 0 tal que lim
n→∞xn = x. Como (fg)(xn) 6= 0 ⇒ f(xn) 6= 0 y g(xn) 6= 0, concluimos que
x ∈ sopp (f) y x ∈ sopp (g).
Definicion 5.7.2 Sea X ⊆ Rm un conjunto y U = Uλλ∈Λ un cubrimiento abierto de X. Decimos quela familia Φ = ϕjj∈J es una Cr-particion de la unidad de X de subordinada al cubrimiento U si y solosi las funciones ϕj ∈ Cr(Rm) satisfacen las siguientes propiedades:
1. 0 ≤ ϕj(x) ≤ 1, ∀ x ∈ Rm y ∀ j ∈ J .
2. La familia de soportes sopp (ϕj)j∈J es localmente finita es decir, para todo x ∈ X existe r > 0tal que Br(x) ∩ sopp (ϕj) = ∅, salvo un numero finito de ındices j ∈ J .
3.∑
j∈J
ϕj(x) = 1, ∀ x ∈ X.
4. ∀ j ∈ J , existe λj ∈ Λ tal que sopp (ϕj) ⊆ Uλj .
Observaciones:
1. Por 2. de la definicion, la suma en 3. es finita.
Analisis Real II 97
2. A causa de la condicion 3., la familia Φ = ϕjj∈J es llamada particion de la unidad. El nombrede “particion subordinada al cubrimiento U” es debido a la condicion 4.
3. Si x ∈ X, por 3. debe existir por lo menos un j ∈ J tal que ϕj(x) > 0, es decir x ∈ sopp (ϕj). Deesta manera X ⊆
⋃
j∈J
sopp (ϕj).
4. Si Φ es una familia finita entonces la condicion 2. es innecesaria.
Nos proponemos probar que dado un abierto de Rm y cualquier cubrimiento abierto de el, entoncessiempre existe una C∞-particion de la unidad subordinada al cubrimiento.
Lema 5.7.1 Existe una funcion f ∈ C∞(Rm) que satisface las siguientes propiedades:
1. f(x) = 1, ∀ x ∈ B1[0].
2. 0 < f(x) ≤ 1, ∀ x ∈ B2(0)−B1[0].
3. f(x) = 0, ∀ x ∈ Rm −B2(0).
Demostracion. Del Analisis Real, se sabe que la funcion de Cauchy φ : R→ R definida por
φ(s) =
e−1/s, si s > 00, si s ≤ 0
es de clase C∞ en R. Definimos α : R→ R como
α(s) = φ(s + 2) · φ(−1− s) =
e−1/(s+1)(s+2), si s ∈ ]− 2,−1[0, si s ∈ R− ]− 2,−1[
Se sigue que α ∈ C∞(R). A continuacion, definimos γ : R→ R como
γ(t) =∫ t
−∞α(s)ds
Claramente γ ∈ C∞(R) y 0 ≤∫ ∞
−∞α(s)ds < ∞. Sea C =
∫ ∞
−∞α(s)ds y consideremos β : R→ R definida
por β(t) =γ(t)C
. Es claro que β ∈ C∞(R). Ademas, observe que
t ≤ −2 ⇒ β(t) =1C
∫ t
−∞α(s)ds = 0
−2 ≤ t ≤ −1 ⇒ β(t) =1C
∫ t
−∞α(s)ds ≤ 1
CC = 1
t ≥ −1 ⇒ β(t) =1C
∫ t
−∞α(s)ds =
1C
C = 1
Analisis Real II 98
Finalmente, consideramos f : Rm → R definida por
f(x) = β(−‖x‖)
Se sigue que f ∈ C∞(Rm) y
x ∈ B1[0] ⇒ −1 ≤ −‖x‖ ⇒ f(x) = β(−‖x‖) = 1
x ∈ B2(0)−B1[0] ⇒ 1 < ‖x‖ < 2 ⇒ f(x) = β(−‖x‖) ∈ ]0, 1[
x ∈ Rm −B2(0) ⇒ −‖x‖ ≤ −2 ⇒ f(x) = β(−‖x‖) = 0
Esto prueba el lema.
Lema 5.7.2 Sea U ⊆ Rm un abierto y p ∈ U . Entonces existe V ⊆ Rm abierto con B3(0) ⊆ V y existeψ ∈ Diff∞(V, U) tal que ψ(0) = p y ψ(B3(0)) ⊆ U .
Demostracion. Por hipotesis, existe r > 0 tal que Br(p) ⊆ U . Definimos H : Rm → Rm como
H(x) =r3x + p
Es claro que H es una transformacion afın inversible y que H(B3(0)) = Br(p) ⊆ U . El lema quedaprobado considerando V = H−1(U) y ψ = H
∣
∣
V : V → U .
Teorema 5.7.2 Si K ⊆ Rm es un compacto y U = Uλλ∈Λ es un cubrimiento abierto de K entoncesexiste una C∞-particion de la unidad de K subordinada al cubrimiento U .
Demostracion. Sea p ∈ K entonces existe λp ∈ Λ tal que p ∈ Uλp , luego existe rp > 0 tal queBrp(p) ⊆ Uλp . Por el Lema 5.7.2, existe Vp ⊆ Rm abierto con B3(0) ⊆ Vp y existe ψp ∈ Diff∞(Vp, Uλp)tal que ψp(0) = p y ψp(B3(0)) = Brp(p).
Ahora bien, como ψp(B1(0))p∈K es un cubrimiento abierto de K compacto, entonces existenp1, . . . , pn ∈ K tales que
K ⊆ ψp1(B1(0)) ∪ · · · ∪ ψpn(B1(0))
Sea f ∈ C∞(Rm) la funcion del Lema 5.7.1, definimos θi : Rm → R como
θi(x) =
(f ψ−1pi
)(x), si x ∈ ψpi(B3(0))0, si x ∈ Rm − ψpi(B3(0))
Se sigue que 0 ≤ θi ≤ 1, sopp (θi) ⊆ ψpi(B3(0)) ⊆ Uλi , θi ∈ C∞(Rm) y θi(x) = 1, ∀ x ∈ ψpi(B1(0)).Para obtener una particion de la unidad en K, vamos a modificar un poco las funciones θi. Definimosϕ1 = θ1, ϕ2 = (1 − θ1)θ2, ϕ3 = (1 − θ1)(1 − θ2)θ3, . . . , ϕn = (1 − θ1) · · · (1 − θn−1)θn. Observe queϕi ∈ C∞(Rm), 0 ≤ ϕi ≤ 1 y sopp (ϕi) ⊆ sopp (θi) ⊆ Uλi . Ademas, por induccion, se verifica para todo1 ≤ j ≤ n que
ϕ1 + · · ·+ ϕj = 1− (1− θ1) · · · (1− θj)
Luego, si x ∈ K ⊆ ψp1(B1(0)) ∪ · · · ∪ ψpn(B1(0)) se tiene
n∑
i=1
ϕi(x) = 1−n
∏
i=1
(1− θi(x)) = 1
Analisis Real II 99
De esta manera ϕ1, . . . , ϕn es la particion de la unidad buscada.
Observacion. Cuando K es compacto, la particion de la unidad es finita.
El siguiente resultado muestra que podemos suprimir la hipotesis de compacidad sobre el conjunto X.
Teorema 5.7.3 Si X ⊆ Rm es cualquier subconjunto y U = Uλλ∈Λ es un cubrimiento abierto de Xentonces existe una C∞-particion de la unidad de X subordinada al cubrimiento U .
Demostracion. Consideramos tres casos.
Caso 1: X = K1 ∪ K2 ∪ · · ·Kn ∪ · · · donde los Ki son compactos y Ki ⊂ int (Ki+1). Dado i ∈ N,consideramos la familia
Ui = Uλ ∩ (int (Ki+1)−Ki−2) ; λ ∈ Λ
en donde K0 = K−1 = ∅. Es claro que Ui es un cubrimiento abierto del conjunto compacto Xi =Ki − int (Ki−1). Por el Teorema 5.7.2 existe ϕijj∈Ji (en donde Ji es un conjunto finito de ındices)C∞-particion de la unidad de Xi subordinada al cubrimiento Ui.
Afirmo que la familia sopp (ϕij) : j ∈ Ji, i ∈ N es localmente finita. En efecto, en primer lugarobserve que dado x ∈ X, existe un unico i0 = i0(x) ∈ N tal que x ∈ Ki0 −Ki0−1 ⊂ int (Ki0+1)−Ki0−1
(basta tomar i0 = mini ∈ N, x ∈ Ki). Luego existe r > 0 tal que Br(x) ⊆ int (Ki0+1)−Ki0−1 y comosopp (ϕij) ⊆ int (Ki+1)−Ki−2, tenemos:
i > i0 + 2 ⇒ Ki0+1 ⊆ Ki−2 ⇒ sopp (ϕij) ⊆ Rm −Ki−2 ⊆ Rm −Ki0+1 luego sopp (ϕij) ∩Br(x) = ∅i < i0 − 1 ⇒ sopp (ϕij) ⊆ int (Ki+1) ⊆ int (Ki0−1) luego sopp (ϕij) ∩Br(x) = ∅
De esta manerasopp (ϕij) ∩Br(x) = ∅, ∀ i 6= i0 − 1, i0, i0 + 1, i0 + 2
y esto prueba la afirmacion. Se sigue que para x ∈ X la suma
σ(x) =∑
i
∑
j∈Ji
ϕij(x)
es finita y por tanto σ ∈ C∞(Rm). Mas aun, dado i ∈ N y x ∈ int (Ki+1) − Ki−2 se tiene que x ∈Xi+1 ∪ Xi ∪ Xi−1 (union disjunta), luego σ(x) > 0 y como sopp (ϕij) ⊆ int (Ki+1) − Ki−2, ∀ j ∈ Ji,definimos ψij : Rm → R por
ψij(x) =
ϕij(x)σ(x)
, si x ∈ int (Ki+1)−Ki−2
0, si x ∈ Rm − (int (Ki+1)−Ki−2)
Se sigue que ψij ∈ C∞(Rm), 0 ≤ ψij ≤ 1, sopp (ψij) ⊆ sopp (ϕij) ⊆ Uλij , sopp (ψij) : j ∈ Ji, i ∈ N eslocalmente finita y
∑
i
∑
j∈Ji
ψij(x) = 1, ∀ x ∈ X.
Caso 2: X es abierto. Dado i ∈ N, definimos
Ki = x ∈ X; d(x, ∂X) ≥ 1/i ∩Bi[0]
Analisis Real II 100
Se sigue que (¡Ejercicio!) Ki es compacto, Ki ⊆ int (Ki+1) y X = K1 ∪K2 ∪ · · · ∪Kn ∪ · · ·. Estamos enlas condiciones del caso anterior.
Caso 3: X es cualquier subconjunto de Rm. Denotemos U =⋃
λ
Uλ. Como U es abierto, por el Caso 2
existe una C∞-particion de la unidad de U subordinada a U . Desde que X ⊆ U esta es tambien unaparticion de la unidad de X.
Observacion: Todo subconjunto de Rm admite una particion de la unidad a lo mas numerable.
5.8 Integrales sobre conjuntos abiertos
A continuacion, daremos una aplicacion del concepto de particion de la unidad a la teorıa de integracion.Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → R una funcion acotada. Empezamos suponiendo que sopp (f) ⊆ U es
compacto. En estas condiciones afirmo que existe V abierto J-medible tal que
sopp (f) ⊆ V ⊆ U
En efecto, sea x ∈ sopp (f) ⊆ U , luego existe rx > 0 tal que Brx(x) ⊆ U y por tanto existe Cx m-cuboabierto tal que Cx ⊆ Brx . La familia Cxx∈sopp (f) es un cubrimiento abierto de sopp (f) el cual escompacto, luego existen x1, . . . , xs ∈ sopp (f) tales que
sopp (f) ⊆ Cx1 ∪ · · · ∪ Cxs ⊆ U.
Tomando V = Cx1 ∪ · · · ∪ Cxs , la afirmacion esta probada.En estas condiciones, decimos que f es Riemann-integrable en U , lo que escribimos f ∈ R(U) si y solo
si existe V abierto J-medible con sopp (f) ⊆ V ⊆ U tal que f ∈ R(V ) y en caso afirmativo escribimos∫
Uf =
∫
Vf
Observaciones:
1. Desde que f se anula fuera de sopp (f), no es difıcil probar que la definicion anterior no dependedel abierto J-medible V .
2. De acuerdo a lo realizado, no es necesario suponer que U sea acotado.
3. Siempre bajo la hipotesis de que sopp (f) es compacto, se cumple que f ∈ R(U) si y solo si Df
tiene m-medida cero. En efecto, como f se anula fuera de sopp (f) se tiene f ∈ R(U) si y solo sif ∈ R(V ) si y solo si Df tiene m-medida cero.
A continuacion consideremos el caso general.
Definicion 5.8.1 Sea U ⊆ Rm un abierto. Decimos que la familia U = Uλλ∈Λ es un J-cubrimientoabierto de U si y solo si cada Uλ ∈ U es un abierto J-medible y
U =⋃
λ∈Λ
Uλ
Analisis Real II 101
Observaciones:
1. No es difıcil probar que dado un abierto U ⊆ Rm, siempre existe un J-cubrimiento abierto de U .
2. Si U es un abierto acotado y U = Uλλ∈Λ es un J-cubrimiento abierto de U entonces Uλ es acotado,∀ λ ∈ Λ.
Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una funcion acotada. Dado U = Uλλ∈Λ J-cubrimientoabierto de U y ϕjj∈N una C∞-particion de la unidad de U subordinada a U entonces para cada j ∈ N,ϕjf : U → R es una funcion acotada tal que sopp (ϕjf) ⊆ sopp (ϕj) ⊆ Uλj ⊆ U , luego sopp (ϕjf) escompacto y podemos definir ϕjf ∈ R(U) como en el caso anterior. Si ϕjf ∈ R(U), ∀ j ∈ N y la serie∑
j,1
∫
Uϕjf es absolutamente convergente, entonces diremos que f es Riemann-integrable en U .
Definicion 5.8.2 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una funcion acotada. Decimos quef ∈ R(U) si y solo si existe U = Uλλ∈Λ J-cubrimiento abierto de U y existe ϕjj∈N una C∞-particionde la unidad de U subordinada a U tal que:
1. ϕjf ∈ R(U), ∀ j ∈ N.
2. La serie∑
j,1
∫
Uϕjf es absolutamente convergente.
En caso afirmativo, definimos∫
Uf =
∞∑
j=1
∫
Uϕjf.
Teorema 5.8.1 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una funcion acotada. La definicionanterior no depende de la eleccion del J-cubrimiento abierto ni de la particion de la unidad subordinadaa el.
Demostracion. Supongamos que existe U = Uλλ∈Λ J-cubrimiento abierto de U y existe ϕjj∈N una
C∞-particion de la unidad de U subordinada a U tal que ϕjf ∈ R(U), ∀ j ∈ N y la serie∑
j,1
∫
Uϕjf es
absolutamente convergente.Sea V = Vγγ∈Γ otro J-cubrimiento abierto de U y ψkk∈N otra C∞-particion de la unidad de U
subordinada a V. Es claro que U ∩ V = Uλ ∩ Vγ es un J-cubrimiento abierto de U y ϕj · ψk es unaC∞-particion de la unidad de U subordinada a U ∩ V .
Fijando k ∈ N, como V γk es compacto, se tiene que (¡Ejercicio!) sopp (ϕj)∩Vγk = ∅ salvo un numerofinito de j’s, luego, sobre Vγk , tenemos
ψkf =
∞∑
j=1
ϕj
ψkf =∞∑
j=1
ϕjψkf
Analisis Real II 102
Ahora bien como ϕjf ∈ R(U) entonces Dϕjf tiene m-medida cero y desde que ψk ∈ C∞(U) se sigueque Dϕjψkf ⊆ Dϕjf en efecto, puesto que x ∈ Rm −Dϕjf entonces ϕjf es continua en x, luego ϕjψkfes continua en x y por tanto x ∈ Rm −Dϕjψkf ). Por tanto tiene m-medida cero, luego ϕjψkf ∈ R(U),∀ j ∈ N y de la igualdad anterior se sigue que ψkf ∈ R(U).
Por otro lado, suponiendo f ≥ 0, para k ∈ N tenemos
∫
Uψkf =
∫
U
∞∑
j=1
ϕj
ψkf =∫
Vγk
∞∑
j=1
ϕj
ψkf =∞∑
j=1
∫
Vγk
ϕjψkf =∞∑
j=1
∫
Uϕjψkf,
luego para n ∈ N se tiene
n∑
k=1
∫
Uψkf =
n∑
k=1
∞∑
j=1
∫
Uϕjψkf =
∞∑
j=1
∫
U
(
n∑
k=1
ψk
)
ϕjf ≤∞∑
j=1
∫
Uϕjf =
∫
Uf
De esta manera la serie de terminos no negativos∑
k,1
∫
Uψkf es convergente y
∞∑
k=1
∫
Uψkf ≤
∞∑
j=1
∫
Uϕjf =
∫
Uf
Intercambiando j con k se llega a∞∑
j=1
∫
Uϕjf ≤
∞∑
k=1
∫
Uψkf
De esta manera∫
Uf =
∞∑
k=1
∫
Uψkf
Finalmente, si f es cualquiera, trabajamos con f+ y f− y el resultado se sigue (¡Ejercicio!).
El siguiente resultado da condiciones suficientes para que una funcion acotada sea Riemann integrablesobre un abierto.
Teorema 5.8.2 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una funcion acotada tal que Df tienem-medida cero. Entonces f ∈ R(U).
Demostracion. Por hipotesis, existe B un m-bloque compacto y M > 0 tales que U ⊆ B y |f(x)| ≤ M ,∀ x ∈ U . Sea U = Uλλ∈Λ J-cubrimiento abierto de U y ϕjj∈N una C∞-particion de la unidad de Usubordinada a U .
Como ϕj ∈ C∞(Rm) tenemos Dϕjf ⊆ Df , ∀ j ∈ N y por tanto tiene m-medida cero. Ademas, desdeque sopp (ϕjf) ⊆ U es compacto se tiene que ϕjf ∈ R(U), ∀ j ∈ N.
Por otro lado, dado n ∈ N tenemos
n∑
j=1
∣
∣
∣
∣
∫
Uϕjf
∣
∣
∣
∣
≤n
∑
j=1
∫
Uϕj |f | ≤ M
n∑
j=1
∫
Uϕj ≤ M
∫
B
n∑
j=1
ϕj
≤ M∫
B1 = M vol (B)
Analisis Real II 103
Se sigue que la serie∑
j,1
∫
Bfj es absolutamente convergente y, por tanto convergente.
Finalmente, vamos a probar que si U ⊆ Rm abierto J-medible entonces la definicion que acabamosde dar, coincide con la dada en la Seccion 5.6. En efecto, dado ε > 0 no es difıcil probar que existe K
compacto J-medible, K ⊆ U , tal que∫
U−K1 <
εM
.
Ahora bien, desde que K es compacto y sopp (ϕj) es localmente finita, se sigue que existe n0 ∈ Ntal que j ≥ n0 ⇒ sopp (ϕj) ∩K = ∅, luego para n ≥ n0 tenemos
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∫
Uf −
n∑
j=1
∫
Uϕjf
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤∫
U
∣
∣
∣
∣
∣
∣
f −n
∑
j=1
ϕjf
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ M∫
U
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1−n
∑
j=1
ϕj
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= M∫
U
∞∑
j=n+1
ϕj
= M∫
U−K
∞∑
j=n+1
ϕj
≤ M∫
U−K1 < M
εM
= ε
De esta manera, hemos probado que∞∑
j=1
∫
Ufj =
∫
Uf .
5.9 Cambio de Variables en la Integral Multiple
Del Analisis en una variable real, tenemos el siguiente resultado: Sea f ∈ C([a, b]) y g : [c, d] → R tal queg′ ∈ R([c, d]) y g([c, d]) ⊆ [a, b]. Entonces
∫ g(d)
g(c)f(x)dx =
∫ d
cf(g(t))g′(t)dt
No es difıcil probar que si g es inyectiva e I = ]c, d[ , entonces∫
g(I)f =
∫
I(f g) · |g′|.
La generalizacion de este resultado a integrales multiples es la siguiente:“Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectiva tal que g(U) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0,
∀ x ∈ U . Si f ∈ R(g(U)) entonces∫
g(U)f =
∫
U(f g) · | det Jg|”
La presente seccion esta dedicada a probar este resultado, empezamos con el siguiente resultado.
Lema 5.9.1 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectiva tal que g(U) sea acotado ydet[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U . Si existe U = Uλλ∈Λ cubrimiento abierto de U que satisface
∫
g(Uλ)f =
∫
Uλ
(f g) · | det Jg|, ∀ λ ∈ Λ, ∀ f ∈ R(g(U))
Analisis Real II 104
entonces∫
g(U)f =
∫
U(f g) · | det Jg|, ∀ f ∈ R(g(U)).
Demostracion. Por hipotesis g tiene rango maximo, luego es una funcion abierta y por tanto g(U) =g(Uλ)λ∈Λ es un cubrimiento abierto de g(U). Sea ϕjj∈N una C∞-particion de la unidad de g(U)subordinada a g(U). Afirmo que si sopp (ϕj) ⊆ g(Uλj ) entonces sopp (ϕj g) ⊆ Uλj . En efecto, seax ∈ sopp (ϕj g) entonces existe (xn) ⊆ U con (ϕj g)(xn) 6= 0 tal que lim
n→∞xn = x. Se sigue que
(g(xn)) ⊆ g(U), ϕj(g(xn)) 6= 0 y limn→∞
g(xn) = g(x), es decir g(x) ∈ sopp (ϕj), luego g(x) ∈ g(Uλj ) y
como g es inyectiva tenemos x ∈ Uλj , esto prueba la afirmacion. Se sigue de aquı que ϕj gj∈N es unaC∞-particion de la unidad de U subordinada a U .
Sea f ∈ R(g(U)), para j ∈ N tenemos que ϕj · f ∈ R(g(U)). De esta manera, de la hipotesis y laafirmacion anterior, se cumple
∫
g(U)ϕj · f =
∫
g(Uλj )ϕj · f =
∫
Uλj
(ϕj · f g) · | det Jg| =∫
Uλj
(ϕj g) · (f g) · | det Jg|
=∫
U(ϕj g) · (f g) · | det Jg|
luego∫
g(U)f =
∞∑
j=1
∫
g(U)ϕj · f =
∞∑
j=1
∫
U(ϕj g) · (f g) · | detJg| =
∫
U(f g) · | det Jg|
lo cual prueba el Lema.
Corolario Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectiva tal que g(U) sea acotado ydet[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U . Si existe U = Uλλ∈Λ cubrimiento abierto de g(U) que satisface
∫
Uλ
f =∫
g−1(Uλ)(f g) · | detJg|, ∀ λ ∈ Λ, ∀ f ∈ R(g(U))
entonces∫
g(U)f =
∫
U(f g) · | det Jg|, ∀ f ∈ R(g(U)).
Demostracion. Por la continuidad de g se sigue que g−1(U) = g−1(Uλ)λ∈Λ es un cubrimiento abiertode U . Como g es inyectiva, por hipotesis tenemos
∫
g(g−1(Uλ))f =
∫
Uλ
f =∫
g−1(Uλ)(f g) · | detJg|
Aplicando el lema anterior al cubrimiento g−1(U), el resultado se sigue.
Lema 5.9.2 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectiva tal que g(U) sea acotado ydet[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U . Si
∫
g(U ′)1 =
∫
U ′| detJg|, ∀ U ′ ⊆ U abierto
Analisis Real II 105
entonces∫
g(U)f =
∫
U(f g) · | detJg|, ∀ f ∈ R(g(U))
Demostracion. Como g(U) es abierto, existe un cubrimiento abierto U = Cλλ∈Λ donde cada Cλ esun m-cubo abierto. Por el Corolario anterior, es suficiente probar que para toda f ∈ R(g(U)) se cumple
∫
Cλ
f =∫
g−1(Cλ)(f g) · | detJg|, ∀ λ ∈ Λ
Sea C ∈ U y P = Bi ∈ P(C), por hipotesis, se tiene que
L(f, P ) =∑
i
mi(f) vol (Bi) =∑
i
mi(f)∫
int (Bi)1 =
∑
i
mi(f)∫
g−1(int (Bi))|det Jg|
≤∑
i
∫
g−1(int (Bi))(f g) · | det Jg| =
∫
g−1(C)(f g) · | det Jg|
Luego∫
Cf ≤
∫
g−1(C)(f g) · | det Jg|
Analogamente, trabajando con las sumas superiores se tiene∫
Cf ≥
∫
g−1(C)(f g) · | det Jg|
Concluimos que∫
Cf =
∫
g−1(C)(f g) · | det Jg|, ∀ C ∈ U
y el lema queda demostrado.
Lema 5.9.3 Sean U, V ⊆ Rm dos abiertos acotados, g ∈ C1(U ;Rm) y h ∈ C1(V ;Rm) funciones in-yectivas tales que g(U) ⊆ V , h(V ) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U y det[Jh(y)] 6= 0, ∀ y ∈ V .Si
∫
g(U)f =
∫
Uf g|det Jg|, ∀ f ∈ R(g(U))
y∫
h(g(U))f =
∫
g(U)f h| detJh|, ∀ f ∈ R(h(g(U)))
entonces∫
hg(U)f =
∫
Uf (h g) · | detJ(h g)|, ∀ f ∈ R(h(g(U))).
Analisis Real II 106
Demostracion. Para, f ∈ R(h(g(U))) tenemos∫
hg(U)f =
∫
h(g(U))f =
∫
g(U)(f h) · | det Jh| =
∫
U((f h) · | det Jh|) g · | det Jg|
=∫
U[(f h) g] · | detJh| g · | det Jg| =
∫
Uf (h g) · | detJh g · det Jg|
=∫
Uf (h g) · | det (Jh g · Jg) | =
∫
Uf (h g) · | det J(h g)|
Lema 5.9.4 (Cambio lineal de coordenadas) Sean U ⊆ Rm abierto acotado y T ∈ GL(Rm). Sif ∈ R(T (U)) entonces
∫
T (U)f =
∫
U(f T ) · | detT |
Demostracion. Por el Lema 5.9.2, es suficiente probar que∫
T (U ′)1 =
∫
U ′|det T |, ∀ U ′ ⊆ U abierto.
Sea U = Cλλ∈Λ es un cubrimiento abierto de U ′ formado por m-cubos. Por el Lema 5.9.1 es
suficiente probar que∫
T (Cλ)1 =
∫
Cλ
|det T |, ∀ λ ∈ Λ.
Consideremos tres casos:
Caso 1: T ∈ GL(Rm) es de la forma T (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , cxi, . . . , xm) con c 6= 0. Sea C =m∏
j=1
]aj , bj [∈ U , si c > 0 entonces T (C) = ]a1, b1[× · · ·× ]cai, cbi[× · · ·× ]am, bm[ es un m-bloque, luego
∫
T (C)1 = vol (T (C)) = c vol (C)
Por otro lado∫
C|det T | =
∫
Cc = c
∫
C= c vol (C)
De estas dos igualdades concluimos que∫
T (C)1 =
∫
C|det T |. Analogamente se procede para c < 0.
Caso 2: T ∈ GL(Rm) es de la forma T (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xi +xm, . . . , xm). Sea C =m∏
j=1
]aj , bj [∈ U ,
si denotamos C ′ =m∏
j=1,j 6=i
]aj , bj [ un (m− 1)-cubo, no es difıcil probar que
T (C) = (y1, . . . , ym); y′ = (y1, . . . , yi−1, yi+1, . . . , ym) ∈ C ′ y ai + xm ≤ yi ≤ bi + xm
Luego, por el Teorema de Fubini∫
T (C)1 =
∫
C′
(
∫ bi+xm
ai+xm
dyi
)
dy′ =∫
C′(bi − ai)dy′ = vol (C)
Analisis Real II 107
Por otro lado∫
C|det T | =
∫
C1 = vol (C). De estas dos igualdades, concluimos que
∫
T (C)1 =
∫
C| detT |.
Caso 3: T ∈ GL(Rm) Se deduce de los dos casos anteriores y del Lema 5.9.3 teniendo en cuenta que todatransformacion lineal inversible se puede expresar como composicion de un numero finito de transforma-ciones del tipo presentado en los casos 1 y 2.
Teorema 5.9.1 (Cambio de coordenadas) Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectivatal que g(U) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U . Si f ∈ R(g(U)) entonces
∫
g(U)f =
∫
U(f g) · | detJg|.
Demostracion. Por el Lema 5.9.2, es suficiente probar que∫
g(U)1 =
∫
U| det Jg|.
Procediendo por induccion sobre la dimension, para n = 1, el resultado es valido (por Analisis I).Supuesto que el resultado es valido para n− 1, probaremos que tambien se cumple para n. En virtud del
Lema 5.9.1, basta probar que∫
g(Uλ)1 =
∫
Uλ
|det Jg| para algun U = Uλλ∈Λ cubrimiento abierto de U .
Sea a ∈ U , podemos suponer sin perdida de generalidad que Jg(a) = I. Definimos h : U → Rm porh(x) = (g1(x), . . . , gm−1(x), xm) (donde g = (g1, . . . , gm)). Se tiene que Jh(a) = I ∈ GL(Rm). Por elTeorema de la funcion inversa, existe U ′
a ⊆ U vecindad abierta de a tal que h ∈ Diff 1(U ′a, h(U ′
a)).Sea k : h(U ′
a) → Rm definida por k(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , ym−1, gm(h−1(y)). Observe que
∇(gm h−1)(y) = ∇gm(h−1(y)) · Jh−1(y) = ∇gm(h−1(y)) · [Jh(h−1(y))]−1
luego∇(gm h−1)(h(a)) = ∇gm(a) · [Jh(a)] = ∇gm(a) = em
De esta manera Jk(h(a)) = I ∈ GL(Rm) y nuevamente por el Teorema de la funcion inversa existeVa ⊆ h(U ′
a) vecindad abierta de h(a) tal que k ∈ Diff 1(Va, k(Va)). Denotando Ua = h−1(Va), tenemosque h : Ua → Va y k : Va → k(Va) son difeomorfismos de clase C1 y un facil calculo muestra que kh = g.
De esta manera, si el resultado es valido para k y para h, por el Lema 5.9.3 tambien sera valido parak h = g.
Sea Ba ⊆ Ua un m-bloque abierto tal que a ∈ Ba. Denotemos Ba = B′× ]am, bm[ donde B′ es un(m− 1)-bloque. No es difıcil ver que
h(Ba) = (y′, ym) ∈ Rm−1 × Rm; am ≤ ym ≤ bm, y′ ∈ P g(B′ × xm)
donde P : Rm → Rm−1 es la proyeccion P (x′, xm) = x′. Por el Teorema de integracion iterada tenemos
∫
h(Ba)1 =
∫ bm
am
(
∫
(Pg)(B′×xm)1dy′
)
dym
Dado xm ∈ ]am, bm[ definamos la funcion hxm : B′ → Rm−1 como
hxm(x′) = (g1(x′, xm), . . . , gm−1(x′, xm)) = (P g)(x′, xm)
Analisis Real II 108
De aquı se sigue que (P g)(B′ × xm) = hxm(B′). Ademas
Jhxm(x′) =∂(g1, . . . , gm−1)∂(x1, . . . , xm−1)
(x′) y Jh(x′, xm) =
∂(g1, . . . , gm−1)∂(x1, . . . , xm−1)
A
θ 1
(x′, xm)
de donde|det Jhxm(x′)| = | detJh(x′, xm)|
Usando la hipotesis inductiva, se sigue que
∫
h(Ba)1 =
∫ bm
am
(
∫
(Pg)(B′×xm)dy′
)
dym =∫ bm
am
(
∫
hxm (B′)dy′
)
dym
=∫ bm
am
(∫
B′|det Jhym(y′)|dy′
)
dym =∫ bm
am
(∫
B′| detJh(y′, ym)|dy′
)
dym
=∫
Ba
| detJh|
Analogamente se prueba que∫
k(Ba)1 =
∫
Ba
|det Jk|. Luego el resultado se cumple para g y esto prueba
la induccion.Finalmente, es claro que Baa∈U es un cubrimiento abierto de U y por tanto el teorema queda
demostrado.
Capıtulo 6
Formas Diferenciables en Rm
6.1 Preliminares Algebraicos
Sea V un R-espacio vectorial y k ∈ N, denotaremos V k =
k veces︷ ︸︸ ︷
V × V × · · · × V . Como en el Capıtulo 1,denotemos por L(V k;Rm) al conjunto de todas las funciones k-lineales T : V k → Rm.
Definicion 6.1.1 Un funcional T ∈ L(V k;R) es llamado tensor de orden k en V o simplemente k-tensor.
Observaciones:
1. Denotaremos por τk(V ) al conjunto de todos los k-tensores en V .
2. El funcional 0 : V k → R definido por 0(v1, . . . , vk) = 0, ∀ v1, . . . , vk ∈ V es obviamente un k-tensor.Luego τk(V ) 6= ∅, ∀ k ∈ N.
3. Con las operaciones usuales de suma y producto por escalares el conjunto τk(V ) se torna un R-espacio vectorial.
4. τ1(V ) = V ∗.
5. Por convencion τ0(V ) = R.
Existen operaciones entre tensores de distinto orden.
Definicion 6.1.2 Sean S ∈ τk(V ) y T ∈ τ l(V ). El producto tensorial de S y T , denotado por S ⊗ T , esla funcion S ⊗ T : V k+l → R definida por
(S ⊗ T )(v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vk+l) = S(v1, . . . , vk)T (vk+1, . . . , vk+l)
Proposicion 6.1.1 Si S ∈ τk(V ) y T ∈ τ l(V ) entonces S ⊗ T ∈ τk+l(V ).
109
Analisis Real II 110
Demostracion. ¡Ejercicio!
Observacion: Si S ∈ τk(V ) y T ∈ τ l(V ) entonces S ⊗ T 6= T ⊗ S.
Proposicion 6.1.2 El producto tensorial satisface las siguientes propiedades:
1. (S1 + S2)⊗ T = S1 ⊗ T + S2 ⊗ T , ∀ S1, S2 ∈ τk(V ), ∀ T ∈ τ l(V ).
2. S ⊗ (T1 + T2) = S ⊗ T1 + S ⊗ T2, ∀ S ∈ τk(V ), ∀ T1, T2 ∈ τ l(V ).
3. (cS)⊗ T = S ⊗ (cT ) = c(S ⊗ T ), ∀ S ∈ τk(V ), ∀ T ∈ τ l(V ), ∀ x ∈ R.
4. (S ⊗ T )⊗R = S ⊗ (T ⊗R), ∀ S ∈ τk(V ), ∀ T ∈ τ l(V ), ∀ R ∈ τ r(V ).
Demostracion. Probaremos solo una de ellas, las demas son analogas. Denotando v = (v1, . . . , vk) ∈ V k
y w = (vk+1, . . . , vk+l) ∈ V l, tenemos
[(S1 + S2)⊗ T ](v, w) = (S1 + S2)(v)T (w) = [S1(v) + S2(v)]T (w) = S1(v)T (w) + S2(v)T (w)
= (S1 ⊗ T )(v, w) + (S2 ⊗ T )(v, w) = [(S1 ⊗ T ) + (S2 ⊗ T )](v, w)
Observaciones:
1. Por la parte 4 de la proposicion anterior podemos escribir
S ⊗ T ⊗R = (S ⊗ T )⊗R = S ⊗ (T ⊗R)
2. Podemos generalizar la observacion anterior y definir los productos tensoriales de la manera si-guiente: Si T1 ∈ τk1 , . . . , Tn ∈ τkn entonces T1 ⊗ · · · ⊗ Tn ∈ τk1+···+kn(V ).
Proposicion 6.1.3 Sea V un R-espacio vectorial de dimension n, v1, . . . , vn una base ordenada de Vy ϕ1, . . . , ϕn su base dual asociada (es decir ϕi ∈ V ∗ y ϕi(vj) = δij). Entonces el conjunto
ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik ; 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n
es una base de τk(V ).
Demostracion. En primer lugar como ϕ1, . . . , ϕn ∈ V ∗ = τ1(V ) se tiene que ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik ∈ τk(V ),∀ 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n, ademas observe que
(ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik)(vj1 , . . . , vjk) = ϕi1(vj1) · · ·ϕik(vjk) =
1, si i1 = j1, . . . , ik = jk
0, en otro caso
Dado T ∈ τk(V ), consideremosn
∑
j1,...,jk=1
T (vj1 , . . . , vjk)(ϕj1 ⊗ · · · ⊗ ϕjk) ∈ τk(V ), para 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n
tenemos:
n∑
j1,...,jk=1
T (vj1 , . . . , vjk)(ϕj1 ⊗ · · · ⊗ ϕjk)
(vi1 , . . . , vik) = T (vi1 , . . . , vik)
Analisis Real II 111
De aquı se deduce que T =n
∑
j1,...,jk=1
T (vj1 , . . . , vjk)(ϕj1⊗· · ·⊗ϕjk). Luego el conjunto ϕi1⊗· · ·⊗ϕik ; 1 ≤
i1, . . . , ik ≤ n genera τk(V ). Para probar la independencia lineal, supongase que existen ai1...ik ∈ Rtales que
n∑
i1,...,ik=1
ai1...ik(ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik) = 0
Dados j1, . . . , jk ∈ 1, . . . , n, considerando (vj1 , . . . , vjk) ∈ V k se tiene
0 =n
∑
i1,...,ik=1
ai1...ik (ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik) (vj1 , . . . , vjk) =n
∑
i1,...,ik=1
ai1...ikϕi1(vj1) · · ·ϕik(vjk) = aj1...jk
Esto prueba la independencia lineal.
Corolario. Si V es un R-espacio vectorial de dimension n, entonces dim R τk(V ) = nk.
Ejemplo 6.1.1 Sea V = Rn, e1, . . . , en la base canonica de Rn y f1, . . . , fn su base dual asociada,entonces fi ⊗ fj : 1 ≤ i, j ≤ n es una base de τ2(Rn). Si consideramos
T : V × V → R(v, w) 7→ T (v, w) = 〈v, w〉
entonces T ∈ τ2(Rn), luego
T =n
∑
i=1
n∑
j=1
T (ei, ej)fi ⊗ fj =n
∑
i=1
fi ⊗ fi
De esta manera, el producto interno en Rn es un 2-tensor simetrico.
6.2 Formas Alternadas y Producto Exterior
Dado k ∈ N, denotemos por Sk al grupo de todas las permutaciones del conjunto 1, . . . , k dotado de laoperacion de composicion de funciones.
σ ∈ Sk ⇐⇒ σ : 1, . . . , k → 1, . . . , k tal que σ es biyectiva
Recordemos que toda permutacion es un producto de transposiciones, en donde una transposicion esuna permutacion σ ∈ Sk tal que existen i, j ∈ 1, 2, . . . , k con i 6= j tal que σ(i) = j, σ(j) = i y σ(r) = r,∀ r ∈ 1, 2, . . . , k − i, j.
Una permutacion es llamada par si puede ser representada como un producto de un numero par detransposiciones, caso contrario, la permutacion es llamada impar. Sea σ ∈ Sk, definimos el signo de σ,denotado sig (σ) como
sig (σ) =
1, si σ es par−1, si σ es impar
No es difıcil probar que sig : (Sk, ) → (−1, 1, ·) es un homomorfismo de grupos (¡Ejercicio!).
Analisis Real II 112
Dados T ∈ τk(V ) y σ ∈ Sk, definimos σ · T : V k → R mediante
(σ · T )(v1, . . . , vk) = T (vσ(1), . . . , vσ(k)), ∀ v1, . . . , vk ∈ V
Es claro que σ · T ∈ τk(V ), ademas tenemos el siguiente resultado:
Proposicion 6.2.1 Se cumplen las diguientes propiedades:
1. σ · (T + S) = σ · T + σ · S, ∀ T, S ∈ τk(V ), ∀ σ ∈ Sk.
2. σ · (aT ) = a(σ · T ), ∀ T ∈ τk(V ), ∀ σ ∈ Sk, ∀ a ∈ R.
3. (σ τ) · T = τ · (σ · T ), ∀ T ∈ τk(V ), ∀ σ, τ ∈ Sk.
Demostracion. 3.) Dados T ∈ τk(V ) y σ, τ ∈ Sk, tenemos:
[τ · (σ · T )] (v1, . . . , vk) = (σ · T )(vτ(1), . . . , vτ(k)) = T (vσ(τ(1)), . . . , vσ(τ(1)))
= T (v(στ)(1), . . . , v(στ)(k)) = [(σ τ) · T ] (v1, . . . , vk)
De aquı el resultado se sigue.
Observaciones:
1. Por induccion se cumple:
(a) σ ·
(
n∑
i=1
aiTi
)
=n
∑
i=1
ai(σ · Ti), ∀ T1, . . . Tn ∈ τk(V ), ∀ a1, . . . , an ∈ R, ∀ σ ∈ Sk.
(b) (σn · · · σ1) · T = σ1 · (· · · (σn · T ) · · ·), ∀ σ1, . . . , σn ∈ Sk, ∀ S ∈ τk(V ).
2. Podemos definir Γ : Sk × τk(V ) → τk(V ) como
Γ(σ, T ) = σ · T
La proposicion anterior muestra que Γ respeta la propiedad de grupo de Sk y la de espacio vectorialde τk(V ). Decimos que el grupo Sk actua sobre τk(V ).
Con la notacion anterior, podemos introducir el concepto de k-forma alternada.
Definicion 6.2.1 Sea V un R-espacio vectorial y ω : V k → R. Decimos que ω es una k-forma linealalternada si y solo si
1. ω ∈ τk(V ).
2. σ · ω = sig (σ)ω, ∀ σ ∈ Sk.
Observaciones:
1. Denotaremos por∧k(V ) al conjunto de todas las k-formas lineales alternadas sobre V .
Analisis Real II 113
2. Si w ∈∧k(V ) y σ ∈ Sk es una transposicion tal que σ(i) = j, σ(j) = i y σ(r) = r, ∀ r ∈
1, 2, . . . , k − i, j, entonces
ω(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk) = ω(vσ(1), . . . , vσ(i), . . . , vσ(j), . . . , vσ(k))
= (σ · ω)(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk)
= sig (σ)ω(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk)
= −ω(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk)
3. Es claro que∧k(V ) ⊆ τk(V ).
Proposicion 6.2.2∧k(V ) es un subsespacio vectorial de τk(V ).
Demostracion. Sean ω, η ∈∧k(V ) y a, b ∈ R. Sabemos que aω + bη ∈ τk(V ). Por otro lado, si σ ∈ Sk
tenemosσ · (aω + bη) = a σ · ω + b σ · η = a sig (σ)ω + b sig (σ)η = sig (σ)(aω + bη)
Por lo tanto aω + bη ∈∧k(V ).
Observacion: Es claro que∧1(V ) = V ∗. Vamos a convenir que
∧0(V ) = R.
Definicion 6.2.2 Si T ∈ τk(V ) entonces el alternado de T , denotado Alt (T ) se define como
Alt (T ) =1k!
∑
σ∈Sk
sig (σ)(σ · T )
Teorema 6.2.3 Se cumplen las siguientes propiedades:
1. Si T ∈ τk(V ) entonces Alt (T ) ∈∧k(V ).
2. Si ω ∈∧k(V ) entonces Alt (ω) = ω.
3. Si T ∈ τk(V ) entonces Alt (Alt (T )) = Alt (T ).
Demostracion. 1) Sea T ∈ τk(V ), es claro que Alt (T ) =1k!
∑
σ∈Sk
sig (σ)(σ · T ) ∈ τk(V ). Por otro lado,
para τ ∈ Sk, se cumple
τ · (Alt (T )) = τ ·
(
1k!
∑
σ∈Sk
sig (σ)(σ · T )
)
=1k!
∑
σ∈Sk
sig (σ) (τ · (σ · T ))
= sig (τ)1k!
∑
σ∈Sk
sig (σ τ) [(σ τ) · T ] = sig (τ)Alt (T )
es decir Alt (T ) ∈∧k(V ).
Analisis Real II 114
2.) Sea ω ∈∧k(V ),
Alt (ω) =1k!
∑
σ∈Sk
sig (σ)(σ · ω) =1k!
∑
σ∈Sk
sig (σ)2ω =1k!
∑
σ∈Sk
ω = ω
3.) Inmediato de 1. y 2.
Observacion: Podemos definir la funcion Alt : τk(V ) →∧k(V ) que a cada T ∈ τk(V ) le asocia
Alt (T ) ∈∧k(V ). No es difıcil probar Alt ∈ L(τk(V );
∧k(V )) (¡Ejercicio!).
Sean ω ∈∧k(V ) y η ∈
∧l(V ) entonces ω ⊗ η no necesariamente esta en∧k+l(V ).
Definicion 6.2.3 Sean ω ∈∧k(V ) y η ∈
∧l(V ), el producto exterior de ω y η, denotado por ω ∧ η sedefine como:
ω ∧ η =(k + l)!
k! l!Alt (ω ⊗ η)
Observacion: Si ω ∈∧k(V ) y η ∈
∧l(V ) entonces ω ∧ η ∈∧k+l(V ).
Las principales propiedades del producto exterior estan resumidas en la siguiente proposicion.
Proposicion 6.2.4 Se cumple
1. (ω1 + ω2) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η, ∀ ω1, ω2 ∈∧k(V ), ∀ η ∈
∧l(V ).
2. ω ∧ (η1 + η2) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2, ∀ ω ∈∧k(V ), ∀ η1, η2 ∈
∧l(V ).
3. (cω) ∧ η = ω ∧ (cη) = c(ω ∧ η), ∀ ω ∈∧k(V ), ∀ η ∈
∧l(V ), ∀ c ∈ R.
4. ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω, ∀ ω ∈∧k(V ), ∀ η ∈
∧l(V ).
Demostracion. 1.) Por la linealidad de Alt tenemos
(ω1 + ω2) ∧ η =(k + l)!
k! l!Alt [(ω1 + ω2)⊗ η] =
(k + l)!k! l!
Alt [ω1 ⊗ η + ω2 ⊗ η]
=(k + l)!
k! l![Alt (ω1 ⊗ η) + Alt (ω2 ⊗ η)] = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η
4.) Consideremos la permutacion
τ =(
1 2 · · · k − 1 k k + 1 · · · k + l − 1 k + ll + 1 l + 2 · · · l + k − 1 l + k 1 · · · l − 1 l
)
∈ Sk+l
Observe que
τ = (1, k + l) · · · (1, k + 1)(2, k + l) · · · (2, k + 1) · · · (k, k + l) · · · (k, k + 1),
Analisis Real II 115
luegosig (τ) = (−1)kl
Ademas, para v1, . . . , vk+l ∈ V tenemos:
[σ · (η ⊗ ω)] (v1, . . . , vk+l) = (η ⊗ ω)(vσ(1), . . . , vσ(k+l)) = η(vσ(1), . . . , vσ(l)) ω(vσ(l+1), . . . , vσ(k+l))= η(vσ(τ(k+1)), . . . , vσ(τ(k+l))) ω(vσ(τ(1)), . . . , vσ(τ(k)))
= ω(v(στ)(1), . . . , v(στ)(k)) η(v(στ)(k+1), . . . , v(στ)(k+l))
= (ω ⊗ η)(v(στ)(1), . . . , v(στ)(k+l)) = [(σ τ) · (ω ⊗ η)] (v1, . . . , vk+l)
Luego
Alt (η ⊗ ω) =1
(k + l)!
∑
σ∈Sk+l
sig (σ) [σ · (η ⊗ ω)] = sig (τ)1
(k + l)!
∑
σ∈Sk+l
sig (σ τ) [(σ τ) · (ω ⊗ η)]
= sig (τ)Alt (ω ⊗ η) = (−1)klAlt (ω ⊗ η)
lo que concluye la demostracion.
Teorema 6.2.5 Sean S ∈ τk(V ) tal que Alt (S) = 0 y T ∈ τ l(V ). Entonces
Alt (S ⊗ T ) = Alt (T ⊗ S) = 0
Demostracion. Considero
H = σ ∈ Sk+l; σ(k + 1) = k + 1, . . . , σ(k + l) = k + l
Observe que el mapeoψ : Sk → Sk+l
σ 7→ ψ(σ)definido por
ψ(σ)(j) =
σ(j), si 1 ≤ j ≤ kj, si k + 1 ≤ j ≤ k + l
es un monomorfismo de grupos e Im (ψ) = H. Luego H es un subgrupo de Sk+l (al cual lo podemosidentificar con Sk) y podemos considerar el conjunto cociente
Sk+l/H = Hσ : σ ∈ Sk+l
De la teorıa de grupos tenemos que
card (Sk+l/H) =o(Sk+l)o(H)
=(k + l)!
k!= (k + 1) · · · (k + l) = N
Luego Sk+l =N⋃
j=1
Hσj (union disjunta), donde σ1 = e ∈ Sk+l. Luego por definicion
(k + l)! [Alt (S ⊗ T )] =∑
σ∈Sk+l
sig (σ) [σ · (S ⊗ T )] =N
∑
j=1
∑
σ∈Hσj
sig (σ) [σ · (S ⊗ T )]
=∑
σ∈H
sig (σ) [σ · (S ⊗ T )] +N
∑
j=2
∑
σ∈H
sig (σ σj) [(σ σj) · (S ⊗ T )] (6.1)
Analisis Real II 116
Pero
[σ · (S ⊗ T )] (v1, . . . , vk+l) = S(vσ(1), . . . , vσ(k)) T (vσ(k+1), . . . , vσ(k+l))
= S(vσ(1), . . . , vσ(k)) T (vk+1, . . . , vk+l) = [(σ · S)⊗ T ] (v1, . . . , vk+l)
es decirσ · (S ⊗ T ) = (σ · S)⊗ T, ∀ σ ∈ Sk+l
luego
∑
σ∈H
sig (σ) [σ · (S ⊗ T )] =∑
σ∈H
sig (σ) [(σ · S)⊗ T ] =
(
∑
σ∈H
sig (σ)((σ · S)
)
⊗ T
= k! Alt (S)⊗ T = 0 (6.2)
y para j = 2, . . . , N se tiene:∑
σ∈H
sig (σ σj) [(σ σj) · (S ⊗ T )] =∑
σ∈H
sig (σ σj) [σj · ((σ · S)⊗ T )]
= sig (σj) σj ·
(
∑
σ∈H
sig (σ) [(σ · S)⊗ T )]
)
= sig (σj)σj · (k! Alt (S)⊗ T ) = 0 (6.3)
Reemplazando (6.2) y (6.3) en (6.1) tenemos que Alt (S ⊗ T ) = 0.
Corolario. Sean ω ∈∧k(V ), η ∈
∧l(V ) y θ ∈∧r(V ), se cumple
1. Alt (Alt (ω ⊗ η)⊗ θ) = Alt (ω ⊗ η ⊗ θ) = Alt (ω ⊗ (Alt (η ⊗ θ))).
2. (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) =(k + l + r)!
k! l! r!Alt (ω ⊗ η ⊗ θ).
Demostracion. 1) Primeramente observe que
Alt (Alt (η ⊗ θ)− η ⊗ θ) = Alt (Alt (η ⊗ θ))−Alt (η ⊗ θ) = 0
Luego por el Teorema 6.2.5
0 = Alt (ω ⊗ [Alt (η ⊗ θ)− η ⊗ θ)]) = Alt (ω ⊗Alt (η ⊗ θ)− ω ⊗ (η ⊗ θ))
= Alt (ω ⊗Alt (η ⊗ θ)−Alt (ω ⊗ (η ⊗ θ)))
Por lo tantoAlt (ω ⊗ (η ⊗ θ)) = Alt (ω ⊗Alt (η ⊗ θ))
2)
(ω ∧ η) ∧ θ =(k + l + r)!(k + l)! r!
Alt ((ω ∧ η)⊗ θ) =(k + l + r)!(k + l)! r!
Alt(
(k + l)!k! l!
Alt (ω ⊗ η)⊗ θ)
=(k + l + r)!(k + l)! r!
(k + l)!k! l!
Alt (Alt (ω ⊗ η)⊗ θ) =(k + l + r)!
k! l! r!Alt (ω ⊗ η ⊗ θ)
Analisis Real II 117
Observacion: Por la parte 2 del corolario anterior, denotamos
ω ∧ η ∧ θ =(k + l + r)!
k! l! r!Alt (ω ⊗ η ⊗ θ)
En general si ω1 ∈∧k1(V ), . . . , ωm ∈
∧km(V ) entonces
ω1 ∧ · · · ∧ ωm =(k1 + · · ·+ km)!
k1! · · · km!Alt (ω1 ⊗ · · · ⊗ ωm)
Cuando ϕ1, . . . , ϕm ∈∧1(V ) = V ∗ existe una manera sencilla de expresar el producto exterior
ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm. En efecto, del algebra lineal recordemos que si A = (aij) ∈ Rm×m entonces
det(A) =∑
σ∈Sm
sig (σ)a1σ(1) · · · amσ(m)
Proposicion 6.2.6 Sea V un R-espacio vectorial, v1, . . . , vm ∈ V y ϕ1, . . . , ϕm ∈∧1(V ) = V ∗ entonces
ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm ∈∧m(V ) y
(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm)(v1, . . . , vm) = det(ϕi(vj))
Demostracion. Por definicion:
(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm)(v1, . . . , vm) = m!Alt (ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕm)(v1, . . . , vm)
= m!1m!
∑
σ∈Sm
sig (σ) [σ · (ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕm)] (v1, . . . , vm)
=∑
σ∈Sm
sig (σ)ϕ1(vσ(1)) · · ·ϕm(vσ(m)) = det(ϕi(vj))
lo cual prueba el resultado.
A continuacion, trataremos de hallar una base para los espacios∧k(V ).
Proposicion 6.2.7 Sea V un R-espacio vectorial, ω ∈∧k(V ) y v1, . . . , vk ∈ V . Si existen i, j ∈
1, . . . , k con i 6= j tal que vi = vj entonces ω(v1, . . . , vk) = 0.
Demostracion. Sin perdida de generalidad, supongamos que 1 ≤ i < j ≤ k y consideremos σ ∈ Sk talque σ = (j, i). Como ω ∈
∧k(V ) tenemos
ω(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = ω(vσ(1), . . . , vσ(j), . . . , vσ(i), . . . , vσ(k))
= sig (σ)ω(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk)
= −ω(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk)
Se sigue que ω(v1, . . . , vk) = 0.
Corolario 1. Sea V un R-espacio vectorial de dimension n, v1, . . . , vn una base de V y ω, η ∈∧k(V ),
con k ≤ n tales que
ω(vi1 , . . . , vik) = η(vi1 , . . . , vik), ∀ 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n
Analisis Real II 118
Entonces ω = η.
Demostracion. Desde que v1, . . . , vn es una base de V , es suficiente probar que ω(vi1 , . . . , vik) =η(vi1 , . . . , vik), ∀ 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n.
Sean i1, . . . , ik ∈ 1, . . . , n, ocurren dos casos:
Caso 1. ir = is, por la Proposicion (6.2.7), (ω − η)(v1, . . . , vk) = 0.
Caso 2. ir 6= is, ∀ 1 ≤ r 6= s ≤ k. En este caso existe σ ∈ Sk tal que 1 ≤ σ(i1) < . . . < σ(ik) ≤ n, luego
(ω − η)(vi1 , . . . , vik) =1
sig (σ)[σ · (ω − η)] (vi1 , . . . , vik) = (ω − η)(vσ(i1), . . . , vσ(ik))
=1
sig (σ)[ω(σ(i1), . . . , σ(ik))− η(σ(i1), . . . , σ(ik))] = 0
Corolario 2. Sea V un R-espacio vectorial de dimension n entonces∧k(V ) = 0, ∀ k > n.
Demostracion. Es consecuencia de que si tomamos k-uplas de n elementos (k > n) entonces por lomenos dos se repiten.
Teorema 6.2.8 Sea V un R-espacio vectorial de dimension n, v1, . . . , vn una base de V y ϕ1, . . . , ϕnsu base dual asociada. Si k ≤ n entonces
ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik ; 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n
es una base de∧k(V ).
Demostracion. En primer lugar, afirmo que
(ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik)(vj1 , . . . , vjk) =
1, si i1 = j1, . . . , ik = jk0, en otro caso
En efecto, sean 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n y 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n, denotemos I = (i1, . . . , ik) yJ = (j1, . . . , jk).
Si I 6= J entonces existe un s ∈ 1, . . . , k tal que is /∈ j1, . . . , jk, luego ϕis(vj1) = · · · = ϕis(vjk) = 0y por lo tanto (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik)(vj1 , . . . , vjk) = 0.
Si I = J entonces (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik)(vj1 , . . . , vjk) = 1 y esto prueba la afirmacion.
Dado ω ∈∧k(V ), considero
η =∑
1≤i1<···<ik≤n
ω(vi1 , . . . , vik)ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik ∈k
∧
(V )
Si 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n, se tiene
η(vj1 , . . . , vjk) =∑
1≤i1<···<ik≤n
ω(vi1 , . . . , vik) (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik) (vj1 , . . . , vjk) = ω(vj1 , . . . , vjk)
Analisis Real II 119
Se sigue que η = ω y por lo tanto
ω =∑
1≤i1<···<ik≤n
ω(vi1 , . . . , vik)ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik
Por otro lado, supongamos que existen constantes ai1···ik ∈ R tales que∑
1≤i1<···<ik≤n
ai1···ikϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik = 0
Para 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n, tenemos
aj1···jk =∑
1≤i1<···<ik≤n
ai1···ik(ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik)(vj1 , . . . , vjk) = 0,
y esto prueba que el conjunto ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik ; 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n es una base de∧k(V ).
Corolario. Si V es un R-espacio vectorial de dimension n, entonces dim R∧k(V ) =
n!(n− k)! k!
=(
nk
)
.
Observacion: Sea V un R-espacio vectorial de dimension n, v1, . . . , vn una base de V y ϕ1, . . . , ϕnsu base dual asociada.
1. Si ω ∈n∧
(V ) entonces ω = c ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn, donde c ∈ R.
2. Si ω ∈n−1∧
(V ) entonces ω =∑
i=1
ciϕ1 ∧ · · · ∧ ϕi ∧ · · · ∧ ϕn, donde c1, . . . , cn ∈ R.
3. Si ω ∈1
∧
(V ) entonces ω =∑
i=1
ciϕi, donde c1, . . . , cn ∈ R.
6.3 Algebras de Grassmann
Sea V es un R-espacio vectorial de dimension n entonces∧0(V ) = R,
∧1(V ) = V ∗,∧2(V ), . . .
∧n(V )son R-espacios vectoriales no triviales.
Definicion 6.3.1 Sea V es un R-espacio vectorial de dimension n. El Algebra de Grassmann asociada aV , denotada por
∧
(V ) se define como
∧
(V ) =0
∧
(V )⊕1
∧
(V )⊕ · · · ⊕n∧
(V )
Observaciones:
1.∧
(V ) es un R-espacio vectorial.
Analisis Real II 120
2. dim R
(∧
(V ))
=n
∑
k=0
dim R
(
k∧
(V )
)
=n
∑
k=0
(
nk
)
= 2n.
Definicion 6.3.2 Sean V , W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V,W ). Dada T ∈ τk(W ), definimos elpullback de T bajo f , lo cual denotamos por f∗(T ) como el mapeo f∗(T ) : V k → R definido por
f∗(T )(v1, . . . , vk) = T (f(v1), . . . , f(vk)), ∀ v1, . . . , vk ∈ V
Observacion: Si T ∈ τ0(W ) = R entonces convenimos que f∗(T ) = T .
Proposicion 6.3.1 Sean V , W dos R-espacios vectoriales, f ∈ L(V, W ) y T ∈ τk(W ). Entonces f∗(T ) ∈τk(V ).
Demostracion. Se sigue directamente de las definiciones.
Proposicion 6.3.2 Sean V , W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V,W ). Se cumple:
1. f∗(cT ) = cf∗(T ), ∀ T ∈ τk(W ).
2. f∗(S + T ) = f∗(S) + f∗(T ), ∀ S, T ∈ τk(W ).
3. f∗(S ⊗ T ) = f∗(S)⊗ f∗(T ), ∀ S ∈ τk(W ), ∀ T ∈ τ l(W ).
4. f∗(σ · T ) = σ · f∗(T ), ∀ T ∈ τk(W ), ∀ σ ∈ Sk.
Demostracion. 3.) Dados v1, . . . , vk+l ∈ V , tenemos
f∗(S ⊗ T )(v1, . . . , vk+l) = (S ⊗ T )(f(v1), . . . f(vk+l)) = S(f(v1), . . . f(vk))T (f(v1k + 1), . . . f(vk+l)
= f∗(S)(v1, . . . , vk)f∗(T )(vk+1, . . . , vk+l) = [f∗(S)⊗ f∗(T )] (v1, . . . , vk+l)
Por lo tanto f∗(S ⊗ T ) = f∗(S)⊗ f∗(T ).
4.) Dados v1, . . . , vk+l ∈ V , tenemos
[f∗(σ · T )] (v1, . . . , vk) = (σ · T )(f(v1), . . . f(vk)) = T (f(vσ(1)), . . . , (f(vσ(k)))
= f∗(T )(vσ(1), . . . , (f(vσ(k)) = [σ · f∗(T )] (v1, . . . , vk)
Por lo tanto f∗(σ · T ) = σ · f∗(T ).
Proposicion 6.3.3 Sean V , W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V, W ). Si ω ∈∧k(W ) entonces
f∗(ω) ∈∧k(V ).
Demostracion. Si ω ∈∧k(W ) entonces ω ∈ τk(W ) y por lo tanto f∗(ω) ∈ τk(V ). Por otro lado, para
σ ∈ Sk tenemosσ · f∗(ω) = f∗(σ · ω) = f∗(sig (σ)ω) = sig (σ)f∗(ω)
Por lo tanto f∗(ω) ∈∧k(V ).
Analisis Real II 121
Observaciones:
1. f∗ ∈ L(τk(W ), τk(V )).
2. f∗ ∈ L(∧k(W ),
∧k(V )).
3. f∗ ∈ L(∧
(V )).
4. Si Γ : Sk × τk(V ) → τk(V ) se define como Γ(σ, T ) = σ · T , entonces
f∗ (Γ(σ, T )) = Γ(σ, f∗(T )).
Proposicion 6.3.4 Sean V , W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V,W ), se cumple:
1. f∗[Alt (T )] = Alt (f∗(T )), ∀ T ∈ τk(W )
2. f∗(ω ∧ η) = f∗(ω) ∧ f∗(η), ∀ ω ∈∧k(W ) y ∀ η ∈
∧l(W ).
Demostracion. 1.)
f∗[Alt (T )] = f∗(
1k!
∑
σ∈Sk
sig (σ)(σ · T )
)
=1k!
∑
σ∈Sk
sig (σ) f∗(σ · T ) =1k!
∑
σ∈Sk
sig (σ) (σ · f∗(T ))
= Alt (f∗(T ))
2.)
f∗(ω ∧ η) = f∗(
(k + l)!k! l!
Alt (ω ⊗ η))
=(k + l)!
k! l!f∗ (Alt (ω ⊗ η)) =
(k + l)!k! l!
Alt (f∗(ω ⊗ η))
=(k + l)!
k! l!Alt (f∗(ω)⊗ f∗(η)) = f∗(ω) ∧ f∗(η)
Observacion: De la parte 1 de la proposicion anterior, se tiene que el siguiente diagrama es conmutativo
τk(W ) Alt−→k
∧
(W )
f∗ ↓ ↓ f∗
τk(V )−→Alt
k∧
(V )
Proposicion 6.3.5 (Propiedad functorial del pullback) Sean V , W y X tres espacios vectoriales,f ∈ L(V,W ) y g ∈ L(W,X) entonces (g f)∗ ∈ L(τk(X), τk(V )) y (g f)∗ = f∗ g∗.
Demostracion. ¡Ejercicio!
El siguiente resultado es de utilidad cuando trabajamos con dos R-espacios vectoriales de la mismadimension.
Analisis Real II 122
Proposicion 6.3.6 Sean V , W dos R-espacios vectoriales de dimension m, consideremos v1, . . . , vmy w1, . . . , wm bases de V y W respectivamente y ϕ1, . . . , ϕm, ψ1, . . . , ψm sus respectivas basesduales. Si f ∈ L(V,W ) entonces
f∗(ψ1 ∧ · · · ∧ ψm) = det(f) ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm
Demostracion. Sabemos que ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm y ψ1 ∧ · · · ∧ ψm son bases de∧m(V ) y
∧m(W ), luegoexiste c ∈ R tal que
f∗(ψ1 ∧ · · · ∧ ψm) = c ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm
Para determinar el valor de c, evaluemos ambos lados en (v1, . . . , vm):
c = c (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm) (v1, . . . , vm) = [f∗(ψ1 ∧ · · · ∧ ψm)] (v1, . . . , vm)= (ψ1 ∧ · · · ∧ ψm) (f(v1), . . . , f(vm)) = (det(ψi(f(vj))))
Por otro lado, si denotamos por (aij) a la matriz asociada a f en las bases dadas de V y W , es decir:
f(vj) =m
∑
k=1
ajkwk, tenemos:
ψi(f(vj)) =m
∑
k=1
ajkψi(wk) = aji
reemplazando en la desigualdad anterior se llega a
c = det(aji) = det(f)
lo que prueba la proposicion.
6.4 Formas Diferenciales
De ahora en adelante, todas las superficies consideradas seran de clase C∞ (a este tipo de superficies seles acostumbra llamar suaves). Sea Mm ⊆ Rn una superficie, sabemos que para cada p ∈ M podemosconsiderar el espacio tangente TpM el cual es un R-espacio vectorial de dimension m, ası, podemos
considerar el espacio vectorial de las k-formas alternadask
∧
(TpM).
Definicion 6.4.1 Sea Mm ⊆ Rn una superficie suave y k ∈ N. Una forma exterior de grado k osimplemente k-forma sobre M es una funcion ω que a cada p ∈ M le asocia ω(p) = ωp ∈
∧k(TpM), esdecir
ω : M →⋃
p∈M
∧k(TpM)
p 7→ ωp ∈∧k(TpM)
Observaciones:
1. Denotaremos por Fk(M) al conjunto de todas las k-formas sobre M .
Analisis Real II 123
2. Como0
∧
(TpM) = R, concluimos que una 0-forma sobre X no viene a ser si no una funcion definidaen M a valores reales.
Definicion 6.4.2 Sea Mm ⊆ Rn
1. Si ω, η ∈ Fk(M), definimos la suma de ω y η denotada por ω + η como la funcion
ω + η : M →⋃
p∈M
∧k(TpM)
p 7→ (ω + η)p = ωp + ηp
2. Si ω ∈ Fk(M) y c ∈ R, definimos el producto de c por ω denotado por cω como la funcion
cω : M →⋃
p∈M
∧k(TpM)
p 7→ (cω)p = cωp
3. Si ω ∈ Fk(M) y f ∈ F0(M), definimos el producto de f y ω denotado por fω como la funcion
fω : M →⋃
p∈M
∧k(TpM)
p 7→ (fω)p = f(p)ωp
4. Si ω ∈ Fk(M) y η ∈ F l(M), definimos el producto exterior de ω y η denotado por ω ∧ η como lafuncion
ω ∧ η : M →⋃
p∈M
∧k(TpM)
p 7→ (ω ∧ η)p = ωp ∧ ηp
Observaciones:
1. La parte 2 de la definicion anterior es un caso particular de la parte 3.
2. Con las operaciones de suma y producto por numeros reales Fk(M), se torna un R-espacio vectorial.
3. Con las operaciones de suma y producto por una funcion, Fk(M) se torna un F0(M)-modulo.
4. Podemos generalizar la parte 4 de la definicion anterior: Sean ω1 ∈ Fk1(M), . . . , ωs ∈ Fks(M),definimos ω1 ∧ · · · ∧ ωs ∈ Fk(M) (k = k1 + · · ·+ ks) como
(ω1 ∧ · · · ∧ ωs)p = (ω1)p ∧ · · · ∧ (ωs)p, ∀ p ∈ M
Proposicion 6.4.1 Se cumplen las siguientes propiedades:
1. (ω1 + ω2) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η, ∀ ω1, ω2 ∈ Fk(M), ∀ η ∈ F l(M).
Analisis Real II 124
2. ω ∧ (η1 + η2) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2, ∀ ω ∈ Fk(M), ∀ η1, η2 ∈ F l(M).
3. (cω) ∧ η = ω ∧ (cη) = c(ω ∧ η), ∀ ω ∈ Fk(M), ∀ η ∈ F l(M), ∀ c ∈ R.
4. (fω) ∧ η = ω ∧ (fη) = f(ω ∧ η), ∀ ω ∈ Fk(M), ∀ η ∈ F l(M), ∀ f ∈ F0(M).
5. ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω, ∀ ω ∈ Fk(M), ∀ η ∈ F l(M).
6. (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ), ∀ ω ∈ Fk(M), ∀ η ∈ F l(M), ∀ θ ∈ Fr(M)
Demostracion. 5) Sea p ∈ M , se cumple
(ω ∧ η)p = ωp ∧ ηp = (−1)klηp ∧ ωp = (−1)kl(η ∧ ω)p
Se sigue que ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω.
Ejemplo 6.4.1 Sea U ⊆ Rn abierto y ω1, . . . , ωk ∈ F1(U) entonces ω1∧· · ·∧ωk ∈ Fk(U). En particularsi denotamos por x1, . . . , xm a las coordenadas de U y si (e1)p, (e2)p, . . . , (en)p es la base canonica deRn
p , su base dual se acostumbra a denotar por (dx1)p, . . . , (dxn)p (i.e. (dxj)p(ei)p = δij) entoncesdados los subındices i1, . . . , ik ∈ 1, . . . , n tenemos que dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∈ Fk(U).
Si k ≤ n y p ∈ U , del Teorema 6.2.8 sabemos que
(dxi1)p ∧ · · · ∧ (dxik)p; 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n
es una base de∧k(Rn
p ). Luego si ω ∈ Fk(U) y p ∈ U entonces ωp ∈∧k(Rn
p ), luego existen constantesai1...ik(p) ∈ R tales que
ωp =∑
1≤i1<···<ik≤n
ai1...ik(p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)p =
∑
1≤i1<···<ik≤n
ai1...ik(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)
p
,
es decirω =
∑
1≤i1<···<ik≤n
ai1...ik(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)
De esta manera, quedan definidas(
nk
)
funciones ai1...ik : U → R (con 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n) las cuales
son llamadas funciones coordenadas de ω.
Observaciones:
1. Con el objetivo de simplificar la notacion, indicaremos por I a la k-upla I = (i1, . . . , ik) donde1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n y usaremos dxI para representar a dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . Con este convenio, lak-forma ω =
∑
1≤i1<···<ik≤n
ai1...ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik puede ser escrita de manera mas compacta como
ω =∑
I
aIdxI .
Analisis Real II 125
2. Con la notacion anterior, si ω =∑
I
aIdxI , η =∑
I
bIdxI ∈ Fk(U) y f ∈ F0(U) entonces
ω + η =∑
I
(aI + bI)dxI , cω =∑
I
(caI)dxI y fω =∑
I
(faI)dxI
3. Sean U ⊆ Rn abierto, ω =∑
I
aIdxI ∈ Fk(U), η =∑
J
bJdxJ ∈ F l(U) donde I = (i1, . . . , ik), con
1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n y J = (j1, . . . , jk), con 1 ≤ j1 < · · · < jl ≤ n. Dado p ∈ U tenemos
(ω ∧ η)p = ωp ∧ ηp =
(
∑
I
aI(p)(dxI)p
)
∧
(
∑
J
bJ(p)(dxJ )p
)
=∑
I
aI(p)
[
(dxI)p ∧∑
J
bJ(p)(dxJ)p
]
=∑
I
∑
J
aI(p)bJ(p)(dxI)p ∧ (dxJ)p
=∑
I
∑
J
(aIbJ )(p)(dxI ∧ dxJ)p =
(
∑
I
∑
J
(aI · bJ ) dxI ∧ dxJ
)
p
es decirω ∧ η =
∑
I
∑
J
(aI · bJ) dxI ∧ dxJ
Usando las funciones coordenadas de una k-forma definida en un abierto, podemos definir su diferen-ciabilidad.
Definicion 6.4.3 Sea U ⊆ Rn un abierto. Decimos que una k-forma ω es de clase Cr en U si y solo sitodas sus funciones coordenadas son de clase Cr en U , en donde r = 0, 1, . . . ,∞.
Observacion: Si bien es cierto que las funciones coordenadas fueron definidas usando las bases canonicas,no es difıcil probar que la definicion de diferenciabilidad no depende de que base usamos para construirlas funciones coordenadas. Queda como ejercicio para el lector justificar esto.
Denotaremos por Ωkr (U) al conjunto de todas las k-formas de clase Cr en U . Escribiremos Ωk(U) en
vez de Ωk∞(U). Observe que Ω0(U) = C∞(U).
Proposicion 6.4.2 Con las operaciones de suma y producto por funciones definidas anteriormente,Ωk(U) es un C∞(U)-modulo.
Demostracion. Ejercicio.
Observacion: Si ω ∈ Ωk(U) y η ∈ Ωl(U) entonces ω ∧ η ∈ Ωk+l(U).
Ejemplo 6.4.2 Si ω = x1dx2 − x3dx4 ∈ Ω1(R4) y η = 3x2dx1 ∧ dx2 − (x4 − x1)dx2 ∧ dx3 ∈ Ω2(R4)entonces
ω ∧ η = −3x2x3dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 + (x3x4 − x1x3)dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 ∈ Ω3(R4).
Analisis Real II 126
Observacion: Sabemos que dxi ∧ dxi = 0, sin embargo en general no se cumple que ω ∧ ω = 0. Enefecto, sea ω = x1dx1 ∧ dx2 + x2dx3 ∧ dx4 ∈ Ω2(R4), entonces
ω ∧ ω = 2x1x2dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 6= 0.
6.5 Pull-back de Formas Diferenciales
Con el objetivo de definir la diferenciabilidad de k-formas en superficies, introducimos el concepto depull-back.
Sean Mm ⊆ Rs, Nn ⊆ Rl superficies suaves y sea F ∈ C1(M, N), dado p ∈ M sabemos queF ′(p) : TpM → TF (p)N es una transformacion lineal. Sea ω ∈ Fk(N), si p ∈ M entonces F (p) ∈ N luegoωF (p) ∈
∧k(TF (p)N), por tanto podemos considerar (F ′(p))∗(ωF (p)) ∈∧k(TpM), donde
(F ′(p))∗(ωF (p))(v1, . . . , vk) = ωF (p)(F ′(p)(v1), . . . , F ′(p)(vk)), ∀ v1, . . . , vk ∈ TpM.
Definicion 6.5.1 Sean Mm ⊆ Rs, Nn ⊆ Rl superficies suaves y sea F ∈ C1(U, V ). Si ω ∈ Fk(N),definimos el pull-back de ω bajo F , denotado por F ∗(ω) como
F ∗(ω) : M →⋃
p∈M
∧k(TpM)
p 7→ [F ∗(ω)]p = (F ′(p))∗(ωF (p))
Observaciones:
1. Si ω ∈ Fk(N) entonces F ∗(ω) ∈ Fk(M).
2. Si g ∈ C∞(N) = F0(N) entonces por la observacion a la Proposicion 6.3.2 tenemos
[F ∗(g)]p = [F ′(p)] (gF (p)) = g(F (p)) = (g F )(p)
Luego F ∗(g) = g F .
Proposicion 6.5.1 Sean Mm ⊆ Rs, Nn ⊆ Rl superficies suaves y sea F ∈ C1(U, V ), se cumple:
1. F ∗(ω1 + ω2) = F ∗(ω1) + F ∗(ω2), ∀ ω1, ω2 ∈ Fk(N).
2. F ∗(cω) = cF ∗(ω), ∀ ω ∈ Fk(N), ∀ c ∈ R.
3. F ∗(fω) = F ∗(f)F ∗(ω), ∀ ω ∈ Fk(N), ∀ f ∈ F0(N).
4. F ∗(ω ∧ η) = F ∗(ω) ∧ F ∗(η), ∀ ω ∈ Fk(N), ∀ η ∈ F l(N).
Analisis Real II 127
Demostracion. Solo probaremos 3.) las demas son semejantes. Dado p ∈ M tenemos
[F ∗(fω)]p = (F ′(p))∗((fω)F (p)) = (F ′(p))∗(f(F (p))ωF (p))
= f(F (p))(F ′(p))∗(ωF (p)) = (f F )(p)[F ∗(ω)]p = [(f F )F ∗(ω)]p
Luego F ∗(fω) = F ∗(f)F ∗(ω).
Proposicion 6.5.2 Si U ⊆ Rn, V ⊆ Rm son abiertos, V con coordenadas y1, . . . , ym y sea F =(F1, . . . , Fm) ∈ C1(U, V ) entonces
F ∗(dyi) = dFi, ∀ 1 ≤ i ≤ m.
Demostracion. Sea p ∈ U y ej = (ej)p vector canonico de Rnp , denotando por x1, . . . , xn a las coorde-
nadas del abierto U , tenemos:
[F ∗(dyi)]p (ej) = (F ′(p))∗((dyi)F (p))(ej) = (dyi)F (p)(F ′(p)(ej)) = (dyi)F (p)
(
∂F∂xj
(p))
= (dyi)F (p)
(
m∑
k=1
∂Fk
∂xj(p)(ek)F (p)
)
=m
∑
k=1
∂Fk
∂xj(p)((dyi)F (p))((ek)F (p)) =
∂Fi
∂xj(p)
= F ′i (p)(ej)
Ası [F ∗(dyi)]p = F ′i (p) = (dFi)p, ∀ p ∈ U y la proposicion queda demostrada.
Observaciones: Sean U ⊆ Rn, V ⊆ Rm abiertos y F = (F1, . . . , Fm) ∈ C1(U, V ) entonces
1. Si ϕ =m
∑
i=1
aidyi ∈ F1(V ) entonces F ∗(ϕ) =m
∑
i=1
(ai F )dFi ∈ F1(V ).
2. F ∗(dyi1 ∧ · · · ∧ dyik) = dFi1 ∧ · · · ∧ dFik .
Mas aun, si para I = (i1, . . . , ik) (con i1 < · · · < ik) denotamos dFI = dFi1 ∧ · · · ∧ dFik , entonces
F ∗(dyI) = dFI
3. F ∗(
∑
I
aIdyI
)
=∑
I
(aI F ) dFI , para toda∑
I
aIdyI ∈ Fk(V ).
Proposicion 6.5.3 Sean U ⊆ Rn, V ⊆ Rm abiertos y F ∈ C∞(U, V ). Si ω ∈ Ωk(V ) entonces F ∗(ω) ∈Ωk(U).
Demostracion. Sabemos que si ω =∑
I
aIdyI ∈ Ωk(V ) entonces F ∗(ω) =∑
I
(aI F ) dFI
Como F : U → V es de clase C∞ entonces Fi ∈ C∞(U) luego
dFi =∂Fi
∂x1dx1 + · · ·+ ∂Fi
∂xmdxm ∈ Ω1(U)
Analisis Real II 128
Por lo tanto dFi1 ∧ · · · ∧ dFik ∈ Ωk(U) y de aquı concluimos que F ∗(ω) ∈ Ωk(U).
Observacion: Si F ∈ C∞(U, V ) entonces F ∗ : Ωk(V ) → Ωk(U).
Proposicion 6.5.4 Sean U ⊆ Rn, V ⊆ Rm y W ⊆ Rs abiertos, F : U → V y G : V → W mapeos declase C∞ y ω ∈ Ωk(W ). Entonces
(G F )∗(ω) = F ∗(G∗(ω))
Demostracion. Dado p ∈ U tenemos
[(G F )∗(ω)]p = ((G F )′(p))∗(ω(GF )(p)) = (G′(F (p)) · F ′(p))∗(ωG(F (p)))
= (F ′(p))∗(
(G′(F (p)))∗(ωG(F (p))))
= (F ′(p))∗(
G∗(ω)F (p))
= [F ∗(G∗(ω))]p
Se sigue que (G F )∗(ω) = F ∗(G∗(ω)).
Cuando U y V son abiertos de la misma dimension m, podemos obtener un resultado mas especıficosobre la expresion del pullback de una m-forma en funciones coordenadas:
Proposicion 6.5.5 Sean U, V ⊆ Rm abiertos con coordenadas x1, . . . , xm e y1, . . . , ym respectivamentey sea F ∈ C1(U ; V ). Si ω = fdy1 ∧ · · · ∧ dym ∈ Ωk(V ), entonces
F ∗(ω) = (f F )(det JF ) dx1 ∧ · · · ∧ dxm
Demostracion. Se tiene que F ∗(ω) = (f F ) F ∗(dy1 ∧ · · · ∧ dym). Por otro lado, usando la Proposicion6.3.6:
[F ∗(dy1 ∧ · · · ∧ dym)]p = [F ′(p)]∗(dy1 ∧ · · · ∧ dym)F (p) = [F ′(p)]∗(
(dy1)F (p) ∧ · · · ∧ (dym)F (p))
= [det JF ](p)(dx1)p ∧ · · · ∧ (dxm)p = (det JF (dx1 ∧ · · · ∧ dxm))p
es decirF ∗(dy1 ∧ · · · ∧ dym) = det JF (dx1 ∧ · · · ∧ dxm)
reemplazando este resultado en la igualdad anterior, el resultado se sigue.
Para finalizar la seccion, vamos a usar el pullback para definir diferenciabilidad de k-formas en super-ficies.
Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave, recordemos que para cada p ∈ M dado, existe U ⊆ Rm vecindadabierta de p tal que U ∩M admite una parametrizacion (V, ϕ) de dimension m (es decir V ⊆ Rm es unabierto, ϕ ∈ Hom(V, U ∩M) y ϕ es una inmersion de clase C∞.
Definicion 6.5.2 Un atlas suave de dimension m sobre la superficie Mm es una coleccion A(M) deparametrizaciones (Vα, ϕα)α de clase C∞ y dimension m tales que M =
⋃
α
ϕα(Vα).
Sea Mm ⊆ Rs una superficie con atlas A(M) y sea ω ∈ Fk(M), dado p ∈ M existe (Vα, ϕα) ∈ A(M)tal que p ∈ ϕα(Vα), luego podemos considerar ωα = ϕ∗α(ω) ∈ Fk(Vα) la cual es llamada representacionlocal de la k-forma ω en la parametrizacion (Vα, ϕα). Es claro que esta representacion local no es unica,
Analisis Real II 129
puesto que si (Vβ , ϕβ) ∈ A(M) es otra parametrizacion tal que p ∈ ϕβ(Vβ) entonces tenemos ωβ =ϕ∗β(ω) ∈ Fk(Vβ) A¿Existe alguna relacion entre las representaciones locales ωα y ωβ? Denotemos Wαβ =
ϕα(Vα) ∩ ϕβ(Vβ) y consideremos el cambio de coordenadas ϕ−1β ϕα ∈ Diff∞
(
ϕ−1α (Wαβ), ϕ−1
β (Wαβ))
.
Trabajando en el abierto ϕ−1α (Wαβ) ⊆ Vα tenemos
(ϕ−1β ϕα)∗(ωβ) = (ϕ−1
β ϕα)∗(ϕ∗β(ω)) = (ϕβϕ−1β ϕα)∗(ω) = ϕ∗α(ω) = ωα
Rec”ıprocamente, supongamos que para cada parametrizacion (Vα, ϕα) ∈ A(M) se tenga definida lak-forma ωα ∈ Fk(Vα) A¿Es posible definir a partir de ellas una k-forma ω ∈ Fk(M)? Vamos a probarque la respuesta es afirmativa si esta familia de k-formas satisface la condicion de compatibilidad
ωα = (ϕ−1β ϕα)∗(ωβ), en ϕ−1
α (Wαβ)
En efecto, dado p ∈ M , existe (Vα, ϕα) ∈ A(M) tal que p ∈ ϕα(Vα), luego (ϕ−1α )∗(ωα) ∈ Fk(ϕα(Vα)).
Serıa natural definir ω ∈ Fk(M) como ωp = [(ϕ−1α )∗(ωα)]p pero antes debemos probar que este valor es
independiente de la parametrizacion. Sea (Vβ , ϕβ) ∈ A(M) otra parametrizacion tal que p ∈ ϕβ(Vβ),luego (ϕ−1
β )∗(ωβ) ∈ Fk(ϕβ(Vβ)). Trabajando en Wαβ y usando la condicion de compatibilidad, tenemos:
(ϕ−1α )∗(ωα) = (ϕ−1
α )∗(
(ϕ−1β ϕα)∗(ωβ)
)
=(
ϕ−1β ϕαϕ−1
α
)∗(ωβ) = (ϕ−1
β )∗(ωβ)
y de esta manera la definicion es buena.Resumimos nuestros resultados en el siguiente
Teorema 6.5.6 Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave con atlas A(M). Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:
1. ω es una k-forma en M .
2. Para cada parametrizacion (Vα, ϕα) ∈ A(M) existe ωα ∈ Fk(Vα) con la propiedad que si (Vα, ϕα),(Vβ , ϕβ) ∈ A(M) son tales que Wαβ = ϕα(Vα) ∩ ϕβ(Vβ) 6= ∅ entonces
ωα = (ϕ−1β ϕα)∗(ωβ), en ϕ−1
α (Wαβ)
Observaciones:
1. Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave con atlas A(M) = (Vα, ϕα)α. Por el teorema anterior, unak-forma en M puede ser definida como una coleccion ω = (ωα, Vα, ϕα)α en donde ωα ∈ Fk(Vα),∀ α satisfacen la condicion de compatibilidad.
2. Sea ω = (ωα, Vα, ϕα)α, η = (ηα, Vα, ϕα)α ∈ Fk(M), c ∈ R, f ∈ F0(M) entonces no es difıcilprobar que
(ω + η)α = ωα + ηα, (cω)α = cωα, (fω) = fαωα,
donde fα = f ϕα.
3. Sean ω = (ωα, Vα, ϕα)α ∈ Fk(M), η = (ηα, Vα, ϕα)α ∈ F l(M) entonces (ω ∧ η)α = ωα ∧ ηα.
Analisis Real II 130
Definicion 6.5.3 Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave con atlas A(M) = (Vα, ϕα)α. y sea ω ∈ Fk(M).Decimos que ω es de clase Cr en M si y solo si ωα ∈ Ωk(Vα), ∀ α.
Observacion: Usando la condicion de compatibilidad, no es difıcil probar que la definicion anterior esbuena.
Denotaremos por Ωkr (M) al conjunto de todas las k-formas de clase Cr sobre M . Como de costumbre
escribiremos Ωk(M) en vez de Ωk∞(M). Se puede probar que Ωk(M) es un C∞(M)-modulo.
6.6 La Diferencial Exterior
En esta seccion, vamos a definir una operacion sobre las formas diferenciables que generaliza la operacionde diferenciacion de funciones (0-formas). Sea U ⊆ Rn un abierto y a ∈ Ω0(U) recordemos que
da =n
∑
k=1
∂a∂xk
dxk ∈ Ω1(U)
Definicion 6.6.1 Sea U ⊆ Rn un abierto con coordenadas x1, . . . , xn y sea ω =∑
I
aIdxI ∈ Ωk(U). La
diferencial exterior de ω, denotada por dω, se define como
dω =∑
I
daI ∧ dxI
Observacion: Si ω ∈ Ωk(U) entonces dω ∈ Ωk+1(U).
Ejemplo 6.6.1 Si ω = x1dx2 − x3dx1 + x2dx3 ∈ Ω1(R3) entonces
dω = dx1 ∧ dx2 + dx1 ∧ dx3 + dx2 ∧ dx3 ∈ Ω2(R3).
Proposicion 6.6.1 Se cumple las siguientes propiedades
1. d(ω + η) = dω + dη, ∀ ω, η ∈ Ωk(U).
2. d(cω) = cdω, ∀ ω ∈ Ωk(U), ∀ c ∈ R.
3. d(fω) = df ∧ ω + fdω, ∀ ω ∈ Ωk(U), ∀ f ∈ Ω0(U).
4. d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη, ∀ ω ∈ Ωk(U), ∀ η ∈ Ωl(U).
Demostracion. Solo probaremos una de ellas, las demas son semejantes.
Analisis Real II 131
4) Sea ω =∑
I
aIdxI ∈ Ωk(U) y η =∑
J
bJdxJ ∈ Ωl(U) entonces ω ∧ η =∑
I
∑
J
aI · bJdxI ∧ dxJ , luego
d(ω ∧ η) =∑
I,J
d(aIbJ) ∧ dxI ∧ dxJ =∑
I,J
(bJdaI + aIdbJ) ∧ dxI ∧ dxJ
=∑
I,J
bJdaI ∧ dxI ∧ dxJ +∑
I,J
aIdbJ ∧ dxI ∧ dxJ
=
(
∑
I
daI ∧ dxI
)
∧
(
∑
J
bJdxJ
)
+ (−1)k
(
∑
I
aI ∧ dxI
)
∧
(
∑
J
dbJ ∧ dxJ
)
es decir d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη.
Obsevacion: d : Ωk(U) → Ωk+1(U) es un operador lineal.
Teorema 6.6.2 d(dω) = 0, ∀ ω ∈ Ωk(U)
Demostracion. Procedemos por induccion sobre k.
Para k = 0, f ∈ Ω0(U) = C∞(U), df =n
∑
i=1
∂f∂xi
dxi, luego
d(df) =n
∑
i=1
d(
∂f∂xi
)
∧ dxi =n
∑
i=1
n∑
j=1
∂∂xj
(
∂f∂xi
)
dxj
∧ dxi
=∑
1≤i<j≤n
∂2f∂xj∂xi
dxj ∧ dxi +∑
1≤j<i≤n
∂2f∂xj∂xi
dxj ∧ dxi
=∑
1≤i<j≤n
∂2f∂xj∂xi
dxj ∧ dxi +∑
1≤i<j≤n
∂2f∂xi∂xj
dxi ∧ dxj
= −∑
1≤i<j≤n
∂2f∂xj∂xi
dxi ∧ dxj +∑
1≤i<j≤n
∂2f∂xi∂xj
dxi ∧ dxj = 0
Sea k ≥ 1 si ω ∈ Ωk−1(U) entonces d(d(ω)) = 0 (Hip. Ind.) Probaremos que el resultado se cumple parak.
En primer lugar, observe que si ω ∈ Ωk(U) entonces
ω =∑
1≤i1<···<ik≤n
ai1...ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik =∑
1≤i1<···<ik≤n
ai1...ik(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1) ∧ dxik
Luego∑
1≤i1<···<ik≤n
ηi1...ik−1 ∧ dxik , donde ηi1...ik−1 ∈ Ωk−1(U). De esta manera, por la linealidad del
operador d, es suficiente probar el resultado para k-formas del tipo η ∧ dxi con η ∈ Ωk−1(U). Observeque
d(η ∧ dxi) = dη ∧ dxi + (−1)k−1η ∧ (d(dxi)) = dη ∧ dxi
Analisis Real II 132
Luegod(d(η ∧ dxi)) = d(dη ∧ dxi) = d(dη) ∧ dxi + (−1)kdη ∧ (d(dxi)) = 0
Teorema 6.6.3 Sean U ⊆ Rn, V ⊆ Rm abiertos, F ∈ C∞(U, V ) y ω ∈ Ωk(V ) entonces
d(F ∗(ω)) = F ∗(dω)
Demostracion. Probaremos por induccion sobre k.Para k = 0, f ∈ Ω0(V ) = C∞(V ). Si denotamos por y1, . . . , ym las coordenadas de V , tenemos:
F ∗(df) = F ∗(
m∑
i=1
∂f∂yi
dyi
)
=m
∑
i=1
F ∗(
∂f∂yi
dyi
)
=m
∑
i=1
(
∂f∂yi
F)
dFi
=m
∑
i=1
(
∂f∂yi
F)
n∑
j=1
∂Fi
∂xjdxj
=m
∑
i=1
n∑
j=1
(
∂f∂yi
F)(
∂Fi
∂xjdxj
)
=n
∑
j=1
(
m∑
i=1
(
∂f∂yi
F)
∂Fi
∂xj
)
dxj =n
∑
j=1
∂(f F )∂xj
dxj = d(f F ) = d(F ∗(f))
Sea k ≥ 1: Para ω ∈ Ωk−1(U) se tiene F ∗(dω) = d(F ∗(ω)) (Hip. Ind.)Sea ω ∈ Ωk(U), como en la demostracion del teorema anterior es suficiente probar para ω = η ∧ dxi,
donde η ∈ Ωk−1(U) y 1 ≤ i ≤ n
F ∗(dω) = F ∗(d(η ∧ dxi)) = F ∗(dη ∧ dxi) = F ∗(dη) ∧ F ∗(dxi) = d(F ∗(η)) ∧ dFi
Por otro lado
d(F ∗(ω)) = d(F ∗(η ∧ dxi)) = d(F ∗(η) ∧ F ∗(dxi)) = d (F ∗(η) ∧ dFi)= d(F ∗(η)) ∧ dFi + (−1)kF ∗(η)d(dFi) = d(F ∗(η)) ∧ dFi
De las dos igualdades anteriores, se sigue d(F ∗(ω)) = F ∗(dω).
Observacion: Si U ⊆ Rn, V ⊆ Rm son abiertos y F ∈ C∞(U, V ) entonces se tienen los siguientesdiagramas conmutativos:
Ω0(V ) d−→ Ω1(V ) d−→ Ω2(V ) d−→ Ω3(V ) d−→ · · ·F ∗ ↓ F ∗ ↓ F ∗ ↓ F ∗ ↓
Ω0(U) d−→ Ω1(U) d−→ Ω2(U) d−→ Ω3(U) d−→ · · ·
Vamos a definir la diferencial exterior para k-formas sobre superficies.Sea Mm una superficie suave con atlas A(M) = (Vα, ϕα y sea ω ∈ Ωk(M), sabemos que ω puede
ser definida como una coleccion ω = (ωα, Vα, ϕα)α en donde ωα ∈ Ωk(Vα), ∀ α satisfacen la condicionde compatibilidad. Serıa natural definir
dω = ((dω)α, Vα, ϕα)α
Analisis Real II 133
donde (dω)α = dωα, ∀ α, per antes debemos verificar que ellas cumplan la condicion de compatibilidad.Sean (Vα, ϕα), (Vβ , ϕβ) ∈ A(M) tales que Wαβ = ϕα(Vα) ∩ ϕβ(Vβ) 6= ∅. Trabajando en ϕ−1
α (Wαβ),tenemos:
(
ϕ−1β ϕα
)∗((dω)β) =
(
ϕ−1β ϕα
)∗(dωβ) = d
((
ϕ−1β ϕα
)∗ωβ
)
= dωα = (dω)α
y por tanto la definicion es buena. Observe que dω ∈ Ωk+1(M).Con esta definicion, los Teoremas 6.6.2 y 6.6.3 pueden ser extendidos a superficies:
1. d(dω) = 0, ∀ ω ∈ Ωk(M)
2. Si F ∈ C∞(M,N) entonces F ∗(dω) = d (F ∗(ω)), ∀ ω ∈ Ωk(N)
La demostracion queda como ejercicio para el lector.
Capıtulo 7
Integrales de Superficie
7.1 La integral de una k-forma diferencial sobre superficies
El objetivo de esta seccion es definir lo que entendemos por integral de una k-forma sobre una superficie.Como las k-formas son generalizaciones del concepto de funcion y una superficie es la generalizacion de unconjunto abierto, entonces los resultados de esta seccion son una generalizacion de la integral estudiadaen el Capıtulo 5.
Para cumplir con nuestro objetivo, necesitamos dos definiciones.
Definicion 7.1.1 Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave y ω ∈ Ωk0(M). El soporte de ω, denotado por
sopp (ω), se define comosopp (ω) = p ∈ M ; ωp 6= 0 ∩M
Observaciones:
1. Si M es una superficie compacta entonces sopp (ω) es un subconjunto compacto de M .
2. Sea U ⊆ Rm un abierto con coordenadas x1, . . . , xm y ω ∈ Ωm0 (U) entonces ω = a dx1 ∧ · · · ∧ dxm
con a ∈ C(U). Queda como ejercicio para el lector demostrar que
sopp (ω) = sopp (a).
Definicion 7.1.2 Decimos que Mm ⊆ Rs es una superficie orientable si y solo si existe A(M) atlas deM tal que para cualquier par (Vα, ϕα), (Vβ , ϕβ) ∈ A(M) tales que ϕα(Vα) ∩ ϕβ(Vβ) 6= ∅ se tiene
det(
J(ϕ−1β ϕα)(ϕ−1
α (p)))
> 0, ∀ p ∈ ϕα(Vα) ∩ ϕβ(Vβ)
En este caso decimos que el atlas A(M) induce una orientacion en M .
134
Analisis Real II 135
Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave, compacta, orientable con atlas A(M) y sea ω ∈ Ωm0 (M), vamos
a definir la integral de ω sobre M . Consideremos dos casos:
Caso 1: Existe (Vα, ϕα) ∈ A(M) tal que sopp (ω) ⊆ ϕα(Vα). Denotemos Kα = ϕ−1α (sopp (ω)) (el cual es
compacto en Rm), como ωα = ϕ∗α(ω) = aαdxα1 ∧ · · · ∧dxα
m y a ∈ C(Vα) donde sin perdida de generalidad,podemos considerar el abierto Vα ⊆ Rm como siendo acotado, entonces por el Teorema 5.8.2 tenemos quea ∈ R(Vα), luego estarıamos tentados a definir
∫
Mω =
∫
Vα
ωα =∫
Vα
aα dxα1 ∧ · · · ∧ dxα
m :=∫
Vα
aαdxα1 · · · dxα
m
Sin embargo debemos antes probar que esta definicion no depende de la parametrizacion. Suponga queexiste otra parametrizacion (Vβ , ϕβ) ∈ A(M) con Wαβ = ϕα(Vα)∩ϕβ(Vβ) 6= ∅ tal que sopp (ω) ⊆ ϕβ(Vβ),denotando Kβ = ϕ−1
β (sopp (ω)) y ωβ = aβ dxβ1 ∧ · · · ∧ dxβ
m, por la Proposicion 6.5.5, la orientabilidadde M , el Teorema del cambio de variable en la integral multiple y las condiciones de compatibilidad,tenemos:
∫
Vα
ωα =∫
ϕ−1α (Wαβ)
ωα =∫
ϕ−1α (Wαβ)
(
ϕ−1β ϕα
)∗(ωβ)
=∫
ϕ−1α (Wαβ)
(
aβ ϕ−1β ϕα
)
det(
J(
ϕ−1β ϕα
))
dxα1 ∧ · · · ∧ dxα
m
=∫
ϕ−1α (Wαβ)
(
aβ ϕ−1β ϕα
) ∣
∣
∣det(
J(ϕ−1β ϕα)
)∣
∣
∣ dxα1 · · · dxα
m
=∫
ϕ−1β (Wαβ)
aβ dxβ1 · · · dxβ
m =∫
ϕ−1β (Wαβ)
ωβ =∫
Vβ
ωβ
De esta manera, hemos probado que el valor de la integral no depende de la parametrizacion y portanto tiene sentido la siguiente definicion.
Definicion 7.1.3 Sea Mm una superficie suave, compacta, orientable con atlas A(M) y sea ω ∈ Ωm0 (M).
Si existe una parametrizacion (Vα, ϕα) tal que sopp (ω) ⊆ ϕα(Vα) entonces∫
Mω =
∫
Kα
ϕ∗α(ω) =∫
Kα
ωα =∫
Kα
aαdxα1 · · · dxα
m
en donde Kα = ϕ−1α (sopp (ω)) y ωα = aα dxα
1 ∧ · · · ∧ dxαm.
Caso 2: Caso general. La idea es reducir la definicion al Caso 1, usando particiones de la unidad. Enprimer lugar sabemos M =
⋃
α
ϕα(Vα) donde ϕα(Vα) es un abierto de M es decir, existe Uα ⊆ Rs abierto
tal que ϕα(Vα) = Uα ∩M . Es claro que U = Uαα es un cubrimiento abierto de la superficie compactaMm, luego existe φ1, . . . , φn una C∞-particion de la unidad de M subordinada a U , la cual llamaremosparticion de la unidad subordinada al atlas A(M). Consideremos φ1ω, . . . , φnω ∈ Ωm
0 (M), se cumple
sopp (φiω) ⊆ sopp (φi) ∩ sopp (ω) ⊆ Uαi ∩M = ϕαi(Vαi)
Analisis Real II 136
Ası, cada m-forma φiω cumple la condicion del Caso 1 y tiene sentido la integral de ella, luego serıanatural definir
∫
Mω =
n∑
i=1
∫
Mφiω
Sin embargo debemos probar que esta definicion es independiente de la particion de la unidad elegida.Sea ψ1, . . . , ψl una C∞-particion de la unidad de M subordinada al atlas A(M). Sabemos que la
familia φiψj ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ l es una C∞-particion de la unidad de M subordinada al atlas A(M),luego
n∑
i=1
∫
Mφiω =
n∑
i=1
∫
Mφi
l∑
j=1
ψj
ω =n
∑
i=1
l∑
j=1
∫
Mφiψjω =
l∑
j=1
∫
M
(
n∑
i=1
φi
)
ψjω =l
∑
j=1
∫
Mψjω
De esta manera, tenemos la siguiente definicion.
Definicion 7.1.4 Sea Mm una superficie compacta, orientable, con atlas A(M) y sea ω ∈ Ωm0 (M). Si
φ1, . . . , φn es una C∞-particion de la unidad de M subordinada al atlas A(M) entonces la integral de
ω en M , denotada por∫
Mω se define como
∫
Mω =
n∑
i=1
∫
Mφiω
Proposicion 7.1.1 Sea Mm una superficie suave, compacta y orientable, se cumple:
1.∫
M(ω + η) =
∫
Mω +
∫
Mη, ∀ ω, η ∈ Ωm
0 (M).
2.∫
Mcω = c
∫
Mω, ∀ ω ∈ Ωm
0 (M), ∀ c ∈ R.
3. Si ω ∈ Ωm0 (M) es tal que ω ≥ 0 entonces
∫
Mω ≥ 0.
Demostracion. Ejercicio.
Sean Mm, Nm superficies orientadas, y sean A(M) y A(N) los atlas que inducen la orientacion enM y N respectivamente. Decimos que f ∈ Diff∞(M,N) preserva orientacion si y solo (Vα, ϕα) ∈ A(M)entonces (Vα, f ϕα) ∈ A(N).
Proposicion 7.1.2 Sean Mm, Nm superficies suaves, orientadas, compactas y f ∈ Diff∞(M,N) pre-serva orientacion, entonces
∫
Mf∗(ω) =
∫
Nω, ∀ ω ∈ Ωm
0 (N).
Demostracion. Ejercicio.
Analisis Real II 137
7.2 Superficies con frontera
La nocion de superficie estudiada hasta aquı no incluye a conjuntos del tipo
M = (x, y, z) ∈ R3; z ≥ 0, x2 + y2 + z2 = 1
En efecto, dado p = (1, 0, 0) ∈ M y Up ⊆ R3 vecindad abierta de p, el conjunto Up∩M no es homeomorfoa ningun abierto de R2 y, por tanto, no admite parametrizacion.
Para estudiar conjuntos de este tipo, introduciremos el concepto de superficie con frontera.
El conjuntoHm = (x1, . . . , xm) ∈ Rm; x1 ≤ 0
es llamado semiespacio de dimension m. Su frontera viene dada por
∂Hm = (x1, . . . , xm) ∈ Rm; x1 = 0
la cual puede identificarse con Rm−1.Dotaremos a Hm de la topologıa inducida por Rm, es decir V es abierto en Hm si y solo si existe
U ⊆ Rm tal que V = U ∩Hm. Se desprende de aquı que existen dos tipos de abiertos en Hm: los abiertoscomunes de Rm (cuando U ⊆ int (Hm)) y los abiertos que contienen puntos de ∂Hm.
Sea V ⊆ Hm abierto en Hm y f : V → Rn. Decimos que f es de clase Ck en V (k ≥ 1) si y solo siexiste U ⊆ Rm abierto con V = U ∩∂Hm y existe F : U → Rn funcion de clase Ck en U tal que F
∣
∣
V = f .
Observaciones:
1. Si x ∈ V − ∂Hm entonces existe r > 0 tal que Br(x) ⊆ V − ∂Hm, luego tiene sentido hablar de laderivada de f : V ⊆ Hm → Rn en x.
2. Si x ∈ V ∩ ∂Hm definimos la derivada de f en x como la derivada de su extension F ′(x). Afirmoque esta definicion es independiente de la extension F de f . En efecto, supongamos que existenU,U1 ⊆ Rm abiertos con V = U ∩ ∂Hm = U1 ∩ ∂Hm y existen F ∈ C1(U ;Rm), F1 ∈ C1(U1;Rm)tales que F
∣
∣
V = F1∣
∣
V = f . Tomemos (xk) ⊆ V − ∂Hm tal que limk→∞
xk = x, se tiene que
F ′1(xk) = f ′(xk) = F ′(xk) y por continuidad de la derivada se tiene que
F ′1(x) = limk→∞
F ′1(xk) = limk→∞
F ′(xk) = F ′(x)
Lema 7.2.1 Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Hm de clase C1. Si a ∈ U es tal que f(a) ∈ ∂Hm entoncesf ′(a)(Rn) ⊆ ∂Hm.
Demostracion. Sea v ∈ Rn entonces f ′(a)(v) = limt→0
f(a + tv)− f(a)t
, denotando f = (f1, . . . , fm)tenemos
π1[f ′(a)(v)] = limt→0
f1(a + tv)− f1(a)t
= limt→0
f1(a + tv)t
Analisis Real II 138
Si t > 0 entoncesf1(a + tv)
t≤ 0, luego π1[f ′(a)(v)] = lim
t→0+
f1(a + tv)t
≤ 0.
Si t < 0 entoncesf1(a + tv)
t≥ 0, luego π1[f ′(a)(v)] = lim
t→0−
f1(a + tv)t
≥ 0.
Se sigue que π1[f ′(a)(v)] = 0 y por tanto f ′(a)(Rn) ⊆ ∂Hm.
Teorema 7.2.1 Sean U, V ⊆ Hm abiertos en Hm y f : U → V difeomorfismo de clase Ck (k ≥ 1). Secumple
a ∈ U ∩ ∂Hm si y solo si f(a) ∈ U ∩ ∂Hm
Demostracion. (⇒) Sea a ∈ U ∩ ∂Hm y supongamos que f(a) ∈ V − ∂Hm (Hip. Aux.) Sea r > 0tal que Br(f(a)) ⊆ V − ∂Hm y consideremos f−1 : Br(f(a)) → Hm la cual es de clase Ck, tenemos quef(a) ∈ Br(f(a)) y f−1(f(a)) = a ∈ ∂Hm, entonces por el Lema 7.2.1 tenemos que (f−1)′(f(a))(Rm) ⊆∂Hm. Pero por hipotesis, existen U , V ⊆ Rm abiertos y existe F ∈ Diff k(U ; V ) tales que U = U ∩ Hm,V = V ∩ Hm, F
∣
∣
U = f y F−1∣
∣
V = f−1, mas aun (f−1)′(f(a)) = (F−1)′(f(a)) ∈ GL(Rm) y esto queimplica que Rm = (f−1)′(f(a))(Rm) ⊆ ∂Hm, lo cual es una contradiccion.
Definicion 7.2.1 Sea V ⊆ Rn. Una F-parametrizacion de clase Ck (k ≥ 1) y dimension m del conjuntoV es un par (V0, ϕ), donde V0 ⊆ Hm es un abierto de Hm y ϕ : V0 → V es una funcion que satisface lasdos condiciones siguientes:
1. ϕ ∈ Hom (V0, V ).
2. ϕ es una inmersion de clase Ck.
Definicion 7.2.2 Una superficie con frontera de dimension m y clase Ck (k ≥ 1) en Rn es un subcon-junto M ⊆ Rn tal que para todo punto p ∈ M , existe una vecindad abierta Up ⊆ Rn de p tal que Up ∩Madmite una F -parametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m.
Un atlas de clase Ck y dimension m sobre una superficie con frontera Mm ⊆ Rn es una coleccionAF (M) de F-parametrizaciones (Vα, ϕα) de clase Ck y dimension m tales que M =
⋃
α
ϕα(Vα).
Al igual de lo que ocurrıa con las superficies sin frontera, vamos a demostrar que los cambios decoordenadas de una superficie de clase Ck, son difeomorfismos de clase Ck.
Lema 7.2.2 Toda F-parametrizacion de clase Ck y dimension m es un difeomorfismo de clase Ck.
Demostracion. Sea (V, ϕ) una F-parametrizacion de clase Ck y dimension m del conjunto X ⊆ Rn.Como ϕ : V → X es de clase Ck, existe V ⊆ Rm abierto con V ∩ Hm = V y existe ϕ ∈ Ck(V ,Rn) tal
que ϕ∣
∣
∣
∣
V= ϕ. Sea a ∈ V , sabemos que ϕ′(a) = ϕ′(a) ∈ L(Rm,Rn) que, por hipotesis, es inyectiva. Por
la Forma Local de las Inmersiones, existen abiertos V ′ ⊆ V , Z ⊆ Rn−m y U ⊆ Rn con a ∈ V ′, 0 ∈ Z,ϕ(a) ∈ U , y existe h ∈ Diff k(U, V ′ × Z) tal que (h ϕ)(x) = (x, 0), ∀ x ∈ V ′.
Analisis Real II 139
Sea la proyeccion π : V ′ × Z → V ′ dada por π(x, y) = x, se sigue que π∣
∣
∣
∣
V ′×0es la inversa de h ϕ.
Considero la composicion πh : U → V ′, la cual es de clase Ck, ademas como h(U∩X) =(
V ′ ∩Hm)
×0,
se sigue que (π h)∣
∣
∣
∣
U∩X= ϕ−1. Se sigue que ϕ−1 es de clase Ck y por tanto ϕ es un difeomorfismo de
clase Ck en una vecindad de a ∈ V . Desde que a ∈ V fue arbitrario, el lema se sigue.
Corolario Sea M ⊆ Rn superficie con frontera de clase Ck con atlas AF (M). Si (Vi, ϕi), (Vj , ϕj) ∈AF (M) son tales que W = ϕi(Vi) ∩ ϕj(Vj) 6= ∅ entonces el cambio de coordenadas ϕ−1
j ϕi : ϕ−1i (W ) ⊆
Hm → ϕ−1j (W ) ⊆ Hm es un difeomorfismo de clase Ck.
Demostracion. Ejercicio!
A continuacion caracterizaremos los puntos de una superficie M con frontera que son mapeados en∂Hm.
Lema 7.2.3 Sea Mm ⊆ Rn una superficie con frontera de clase Ck y atlas AF (M), y sea p ∈ M . Siexiste (Vi, ϕi) ∈ AF (M) con p ∈ ϕi(Vi) tal que ϕ−1
i (p) ∈ ∂Hm, entonces para cualquier (Vj , ϕj) ∈ AF (M)con p ∈ ϕj(Vj), se tiene que ϕ−1
j (p) ∈ ∂Hm.
Demostracion. Sea (Vj , ϕj) ∈ AF (M) con p ∈ ϕj(Vj). Como W = ϕi(Vi) ∩ ϕj(Vj) 6= ∅ entoncesel cambio de coordenadas ϕ−1
j ϕi : ϕ−1i (W ) → ϕ−1
j (W ) es un difeomorfismo de clase Ck. Comoϕ−1
i (p) ∈ ∂Hm, por el Teorema 7.2.1 se tiene que ϕ−1j (p) =
(
ϕ−1j ϕi
)
(ϕ−1i (p)) ∈ ∂Hm.
Definicion 7.2.3 Sea Mm ⊆ Rn una superficie con frontera de clase Ck. La frontera de M , denotadapor ∂M , se define como
∂M = p ∈ M ; ∃ (Vi, ϕi) ∈ AF (M) con p ∈ ϕi(Vi) tal que ϕ−1i (p) ∈ ∂Hm
Observaciones:
1. Por el Lema 7.2.3, ∂M esta bien definido.
2. De la definicion se desprende inmediatamente que ∂M ⊆ M . De aquı se sigue que el concepto defrontera que acabamos de definir no coincide con el concepto topologico de frontera, no obstantetener la misma notacion.
3. Si M es una superficie con frontera, el conjunto M − ∂M es llamado interior de M y se denotapor int (N). No se debe confundir este concepto con el de interior de un conjunto que se estudia entopologıa.
4. Si ∂M = ∅ entonces M es una superficie del tipo estudiado en las secciones anteriores. Talessuperficies las llamaremos superficies sin frontera.
Proposicion 7.2.2 Sea Mm ⊆ Rn una superficie con frontera de clase Ck entonces ∂M es una superficiede clase Ck y dimension m− 1.
Analisis Real II 140
Demostracion. Denotemos por AF (M) al atlas de M . Sea p ∈ ∂M ⊆ M , luego existe (Vα, ϕα) ∈AF (M) con p ∈ ϕα(Vα) = Uα ∩M (donde Uα ⊆ Rs es abierto) tal que ϕ−1
α (p) ∈ ∂Hm.Considero las funciones i : Rm−1 → ∂Hm y π : Rm → Rm−1 definidas por
i(y1, . . . , ym−1) = (0, y1, . . . , ym−1), π(x1, . . . , xm) = (x2, . . . , xm)
Es claro que π∣
∣
∂Hm = i−1, luego i ∈ Diff∞(Rm−1, ∂Hm). Denotemos
˜Vα = i−1(Vα ∩ ∂Hm), iα = i∣
∣
∣
∣eVα
y πα = π∣
∣
∣
∣
Vα∩∂Hm
Se sigue que ˜Vα es un abierto de Rm−1 y que πα = i−1α .
Defino ϕα = ϕα iα : ˜Vα → Uα ∩ ∂M . Se sigue que (˜Vα, ϕα) es una parametrizacion de clase Ck ydimension m− 1.
Observaciones:
1. Sea M una superficie con frontera. Si AF (M) = (Vα, ϕα) es un atlas de M entonces
A(∂M) = (˜Vα, ϕα) = (i−1α (Vα ∩ ∂Hm), ϕα iα)
es un atlas de ∂M al que llamaremos atlas de ∂M inducido por AF (M).
2. ∂M es una superficie sin frontera, es decir ∂(∂M) = ∅.
3. Sean (˜Vα, ϕα), (˜Vβ , ϕβ) ∈ A(∂M) tales que ϕα(˜Vα) ∩ ϕβ(˜Vβ) = ˜Wαβ 6= ∅. Como
ϕ−1α ϕβ = πα(ϕ−1
α ϕβ)iβ en ϕ−1β (˜Wαβ),
haciendo ϕ−1α ϕβ = (F1, . . . , Fm) y y = (y1, . . . , ym−1) ∈ ϕ−1
β (˜Wαβ) tenemos
(ϕ−1α ϕβ)′(y) = πα(ϕ−1
α ϕβ)′(0, y)iβ
luego
J(ϕ−1α ϕβ)(y) =
e2...
em
·∂(F1, . . . , Fm)∂(x1, . . . , xm)
(0, y) ·[
et2 · · · et
m
]
=∂(F1, . . . , Fm−1)∂(x1, . . . , xm−1)
(0, y)
Proposicion 7.2.3 Si Mm es una superficie de clase Ck, orientable, con frontera entonces ∂M es ori-entable
Demostracion. Sea AF (M) = (Vα, ϕα) el atlas que induce una orientacion en M y sea A(∂M) =(˜Vα, ϕα) el atlas de ∂M inducido por AF (M). Consideremos (˜Vα, ϕα), (˜Vβ , ϕβ) ∈ A(∂M) tales
Analisis Real II 141
que ˜Wαβ = ϕα(˜Vα) ∩ ϕβ(˜Vβ) 6= ∅, denotando yβ = (yβ1 , . . . , yβ
m−1) ∈ ϕ−1β (˜Wαβ) ⊆ Rm−1, yα =
(yα1 , . . . , yα
m−1) ∈ ϕ−1α (˜Wαβ) ⊆ Rm−1 y ϕ−1
α ϕβ = (F1, . . . , Fm), se cumple
(0, yα) = iα(yα) = (ϕ−1α ϕβ)(0, yβ) = (ϕ−1
α ϕβ)(
iβ(yβ))
= (F1(iβ(yβ)), . . . , Fm(iβ(yβ)))
Luego 0 = (F1 iβ)(yβ), derivando
θ = ∇F1(0, yβ) ·[
et2 · · · et
m
]
=
(
∂F1
∂xβ1
(0, yβ), . . . ,∂F1
∂xβm−1
(0, yβ)
)
se sigue que∂F1
∂xβ2
(0, yβ) = · · · = ∂F1
∂xβm
(0, yβ) = 0
Por otro lado
J(
ϕ−1α ϕβ
)
(0, yβ) =∂(F1, . . . , Fm)
∂(xβ1 , . . . , xβ
m)(0, yβ) =
∂F1
∂xβ1
(0, yβ) θ
A∂(F2 . . . , Fm)
∂(xβ2 , . . . , xβ
m)(0, yβ)
luego
0 < det[
J(
ϕ−1α ϕβ
)
(0, yβ)]
=∂F1
∂xβ1
(0, yβ) · det
[
∂(F2, . . . , Fm)
∂(xβ2 , . . . , xβ
m)(0, yβ)
]
Pero∂F1
∂xβ1
(0, yβ) = limh→0+
F1(yβ , h)− F1(yβ , 0)h
> 0
Usando la observacion anterior, se sigue que
0 < det
[
∂(F1, . . . , Fm)
∂(xβ1 , . . . , xβ
m)(0, yβ)
]
= det[
J(ϕ−1α ϕβ)(yβ)
]
= det[
J(ϕ−1α ϕβ)(ϕ−1
β (p))]
, ∀ p ∈ ˜Wαβ
Lo cual prueba que ∂M es orientable.
7.3 El Teorema de Stokes
Sea Mm una superficie suave, con frontera, compacta, orientable, sabemos entonces que ∂M es unasuperficie suave, compacta, sin frontera, orientable. Luego ∂M admite dos orientaciones. Decimos que∂M tiene la orientacion inducida por M si y solo si la inclusion i : ∂M → M preserva orientacion. Sepuede demostrar que en parametrizaciones, esto es equivalente a decir que iα : ˜Vα → Vα ∩ ∂Hm dado pori(y1, . . . , ym−1) = (0, y1, . . . , ym−1) preserva orientacion (esta es la razon por la cual hemos definido asıel semiespacio ∂Hm). En caso de dimensiones 2 y 3, geometricamente esto significa que el vector normala ∂M siempre apunta hacia afuera.
Analisis Real II 142
Teorema 7.3.1 (Stokes) Sea Mm una superficie suave, con frontera, compacta, orientable y sea ω ∈Ωm−1
1 (M). Si i : ∂M → M es la inclusion canonica y ∂M tiene la orientacion inducida por M entonces∫
∂Mi∗ω =
∫
Mdω.
Demostracion. Sea AF (M) = (Vα, ϕα) atlas de M y ω = (ωα, Vα, ϕα). Consideremos dos casos:
Caso 1: Existe (Vα, ϕα) ∈ AF (M) tal que sopp (ω) ⊆ ϕα(Vα). Denotemos Kα = ϕ−1α (sopp (ω)) ⊆ Vα,
como ωα ∈ Ωm−11 (Vα) entonces
ωα =m
∑
j=1
aj dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm
donde a1, . . . , am ∈ C1(Vα), luego
dωα =m
∑
j=1
daj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm
=m
∑
j=1
(
m∑
i=1
∂aj
∂xidxi
)
∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm
=
m∑
j=1
(−1)j−1 ∂aj
∂xj
dx1 ∧ · · · ∧ dxm
Existen dos posibilidades
a) sopp (ω) ∩ ∂M = ∅. Es claro que∫
∂Mi∗ω = 0.
Por otro lado, definimos las funciones Aj : Hm → R como
Aj(x) =
aj(x) si x ∈ Vα0 si x ∈ Hm − Vα
Como aj ∈ C1(Vα) y sopp (aj) ⊆ Vα, se sigue que Aj ∈ C1(Hm). Sea B = [u1, v1] × · · · × [um, vm]m-bloque compacto tal que Vα ⊆ B, donde u1 < v1 = 0. Para j ∈ 1, . . . ,m denotemos
Bj = [u1, v1]× · · · × [uj−1, vj−1]× [uj+1, vj+1]× · · · × [um, vm]
Por el Teorema de Integracion Iterada tenemos:
∫
Mdω =
∫
Vα
(dω)α =∫
Vα
dωα =∫
Vα
m∑
j=1
(−1)j−1 ∂aj
∂xj
dx1 . . . dxm
=∫
B
m∑
j=1
(−1)j−1 ∂Aj
∂xj
dx1 . . . dxm =m
∑
j=1
(−1)j−1∫
B
∂Aj
∂xjdx1 . . . dxm
Analisis Real II 143
=m
∑
j=1
(−1)j−1∫
Bj
[
∫ vj
uj
∂Aj
∂xjdxj
]
dx1 . . . dxj−1dxj+1 . . . dxm
=m
∑
j=1
(−1)j−1∫
Bj
[Aj(x1, . . . , xj−1, vj , xj+1, . . . , xm)−Aj(x1, . . . , xj−1, uj , xj+1, . . . , xm)] = 0
Por tanto∫
∂Mi∗ω =
∫
Mdω.
b) sopp (ωα) ∩ ∂M 6= ∅. Sea ˜Vα = Vα ∩ ∂Hm, luego∫
∂Mi∗ω =
∫
eVα
(i∗ω)α =∫
eVα
i∗αωα
Pero desde que iα(y1, . . . , ym−1) = (0, y1, . . . , ym−1) = (x1, . . . , xm), tenemos que dx1 = 0 y por tanto
i∗α(ωα) =m
∑
j=1
(aj iα)i∗α(dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm) = (a1 iα)dy1 ∧ · · · ∧ ym−1
luego∫
∂Mi∗ω =
∫
eVα
am iα (7.1)
Por otro lado∫
Mdω =
∫
Vα
dωα =m
∑
j=1
(−1)j−1∫
Vα
∂aj
∂xj
Tomando Aj , B y Bj como antes, tenemos
∫
∂Mdω =
m∑
j=1
(−1)j−1∫
B
∂Aj
∂xj
=m
∑
j=1
(−1)j−1∫
Bj
[
∫ vj
uj
∂Aj
∂xjdxj
]
dx1 . . . dxj−1dxj+1 . . . dxm
=∫
B1
[A1(0, x2, . . . , xm)−A1(u1, x2, . . . , xm)]dx2 · · · dxm +
+m
∑
j=2
(−1)j−1∫
Bj
[Aj(x1, . . . , xj−1, vj , xj+1, . . . , xm)−Aj(x1, . . . , xj−1, uj , xj+1, . . . , xm)]
=∫
B1
A1(0, x2, . . . , xm)dx2 · · · dxm =∫
eVα
a1(0, x2, . . . , xm)dx2 · · · dxm
Reemplazando este resultado en (7.1) llegamos a∫
∂Mi∗ω =
∫
Mdω.
Analisis Real II 144
Caso 2: Es el caso general, sea φ1, . . . , φn una C∞-particion de la unidad subordinada al atlas A(M).Observe que
n∑
j=1
∫
M[φjdω − d(φjω)] = −
n∑
j=1
∫
Mdφj ∧ ω =
∫
Md
n∑
j=1
φj
∧ ω = 0,
es decirn
∑
j=1
∫
Mφjdω =
n∑
j=1
∫
Md(φjω),
luego
∫
Mdω =
n∑
j=1
∫
Mφjdω =
n∑
j=1
∫
Md(φjω) =
n∑
j=1
∫
∂Mi∗(φjω) =
∫
∂Mi∗
n∑
j=1
φjω
=∫
∂Mi∗ω
lo cual finaliza la demostracion.