Analisis Real II

Renato Benazic

December 6, 2009

Prefacio

Renato Benazic

Introduccion

Contenido

1 Diferenciabilidad de funciones de Rm en Rn 11.1 Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 El Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Funciones de clase Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 El Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Principio de diferenciabilidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Sucesiones y Series de Funciones 212.1 Sucesion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Convergencia Uniforme y Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Series de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 La Curva de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5 La Funcion de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Funciones Definidas Implıcitamente 343.1 Difeomorfismos Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 El Teorema de la Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Inmersiones y Sumersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 El Teorema del Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Introduccion a la Teorıa de Superficies en Rn 504.1 Definicion de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Cambios de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 El Espacio Tangente a una Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 Superficies Definidas Implıcitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Integrales Multiples 66

3

5.1 La Definicion de Integral sobre m-bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2 Propiedades Basicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Conjuntos de Medida Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4 Caracterizacion de las Funciones Riemann Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.5 Integracion Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.6 Integrales sobre Conjuntos J-medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.7 Particiones de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.8 Integrales sobre conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.9 Cambio de Variables en la Integral Multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6 Formas Diferenciables en Rm 1096.1 Preliminares Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2 Formas Alternadas y Producto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3 Algebras de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4 Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.5 Pull-back de Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.6 La Diferencial Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7 Integrales de Superficie 1347.1 La integral de una k-forma diferencial sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.2 Superficies con frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3 El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Capıtulo 1

Diferenciabilidad de funciones de Rm

en Rn

1.1 Funciones Diferenciables

Definicion 1.1.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → Rn, a ∈ U y denotemos Ua = h ∈ Rm; a + h ∈ U.

1. Decimos que f es diferenciable en a si y solo si existe T ∈ L(Rm,Rn) tal que

f(a + h) = f(a) + T (h) + ra(h), ∀ h ∈ Ua

en donde limh→0

ra(h)‖h‖

= 0.

2. Decimos que f es diferenciable en U si y solo si f es diferenciable en a, ∀ a ∈ U .

Observaciones:

1. Si f es diferenciable en a entonces la transformacion lineal es unica (ejercicio) y sera denotada porf ′(a).

2. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U entonces f ′(a) ∈ L(Rm,Rn).

3. La funcion ra : Ua → Rn es llamada resto y por el hecho de satisfacer la propiedad limh→0

ra(h)‖h‖

= 0,

se acostumbra a decir que ra es un resto de orden 1. Es necesario enfatizar que este resto dependedel punto a (y de la funcion f).

4. Intuitivamente, una funcion f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en el punto a ∈ U si y solo si enuna vecindad de a puede ser aproximada por una transformacion lineal (su derivada).

1

Analisis Real II 2

Ejemplo 1.1.1 Sea f : Rm → Rn la funcion constante f(x) = c, ∀ x ∈ Rm. Dado cualquier a ∈ Rm secumple

f(a + h) = f(a) = f(a) + θ(h) + 0(h), ∀h ∈ Rm

Se sigue que f es diferenciable en Rm y f ′(a) = θ, ∀ a ∈ Rm.

Ejemplo 1.1.2 Sea T ∈ L(Rm,Rn), dado cualquier a ∈ Rm se cumple

T (a + h) = T (a) + T (h) = T (a) + T (h) + 0(h), ∀h ∈ Rm

Se sigue que T es diferenciable en Rm y T ′(a) = T , ∀ a ∈ Rm.

Ejemplo 1.1.3 Sea ϕ : Rm × Rn → Rp una transformacion bilineal, dado cualquier a = (a1, a2) ∈Rm × Rn, para h = (h1, h2) ∈ Rm × Rn tenemos

ϕ(a + h) = ϕ(a1 + h1, a2 + h2) = ϕ(a1, a2) + ϕ(a1, h2) + ϕ(h1, a2) + ϕ(h1, h2) (1.1)

Sea T : Rm × Rn → Rp definida por

T (h1, h2) = ϕ(a1, h2) + ϕ(h1, a2)

Un facil calculo muestra que T es una transformacion lineal. Por otro lado, como ϕ es bilineal, existe unC > 0 tal que

‖ϕ(x, y)‖ ≤ C‖x‖ ‖y‖, ∀x ∈ Rm ∀ y ∈ Rn

luego‖ϕ(h1, h2)‖‖(h1, h2)‖

≤ C‖h1‖ ‖h2‖‖(h1, h2)‖

≤ C‖(h1, h2)‖

Se sigue que

limh→0

‖ϕ(h1, h2)‖‖(h1, h2)‖

= 0

De (1.1) se sigue ϕ es diferenciable en Rm×Rn y para cualquier (a1, a2) ∈ Rm×Rn la derivada ϕ′(a1, a2) ∈L(Rm × Rn,Rp) es dada por

ϕ′(a1, a2)(h1, h2) = ϕ(a1, h2) + ϕ(h1, a2)

Ejemplo 1.1.4 Sea ϕ : Rm × Rm → R dada por ϕ(x, y) = 〈x, y〉. Claramente ϕ es bilineal, luego por elejemplo anterior ϕ es diferenciable en Rm × Rm y la transformacion lineal ϕ′(a1, a2) ∈ L(Rm × Rm,R)es dada por

ϕ′(a1, a2)(h1, h2) = 〈a1, h2〉+ 〈h1, a2〉

Analisis Real II 3

Ejemplo 1.1.5 Podemos generalizar el Ejemplo 1.1.3. En efecto, sea ϕ : Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk →Rn una transformacion k-lineal. Queda como ejercicio para el lector probar que ϕ es diferenciable enRm1 × Rm2 × · · · × Rmk y para cualquier a = (a1, a2, . . . , ak) ∈ Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk , la derivada

ϕ′(a) ∈ L(Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk ,Rn)

es dada por

ϕ′(a1, a2, . . . , ak)(h1, h2, . . . , hk) =k

∑

i=1

ϕ(a1, . . . , ai−1, hi, ai+1, . . . , ak)

Ejemplo 1.1.6 Como aplicacion del Ejemplo 1.1.5, vamos a analizar la funcion determinante. Primera-mente recordemos que

Rn×n ≈ Rn × Rn × · · · × Rn︸ ︷︷ ︸

n veces≈ Rn2

vıa el isomorfismo:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

=

A1A2...

An

←→ (A1, A2, . . . , An)

donde Ai = (ai1, ai2, . . . , ain) ∈ Rn. De esta manera la funcion determinante

det : Rn × · · · × Rn → R(A1, . . . , An) 7→ det(A1, . . . , An)

es una aplicacion n-lineal. Por el Ejemplo 1.1.5, la funcion det es diferenciable en Rn×· · ·×Rn y ademaspara A = (A1, . . . , An) ∈ Rn×n, la derivada det′(A) ∈ L(Rn×n;R) es dada por

det′(A1, . . . , An)(H1, . . . , Hn) =n

∑

i=1

det(A1, . . . , Ai−1,Hi, Ai+1, . . . , An)

Proposicion 1.1.1 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn y a ∈ U . Son equivalentes

1. f es diferenciable en a.

2. f1, . . . , fn son diferenciables en a.

En caso afirmativo se tienef ′(a) = (f ′1(a), . . . , f ′n(a))

Demostracion. (⇒) Por hipotesis se tiene que

f(a + h) = f(a) + f ′(a)(h) + ra(h), ∀ h ∈ Ua

Analisis Real II 4

en donde limh→0

ra(h)‖h‖

= 0. Haciendo f ′(a) = (T1, . . . , Tn) y ra = (r1,a, . . . , rn,a), donde Ti ∈ (Rm)∗ y

ri,a : Ua → R, tenemos

fi(a + h) = fi(a) + Ti(h) + ri,a(h)

= fi(a) + 〈ui, h〉+ ri,a(h), ∀ h ∈ Ua

en donde limh→0

ri,a(h)‖h‖

= 0 y ui ∈ Rm es el vector que representa al funcional lineal Ti, es decir Ti(x) =

〈ui, x〉, ∀ x ∈ Rm.Concluimos que fi es diferenciable en a y Ti = f ′i(a).

(⇐) Ejercicio.

Corolario. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U entonces f es continua en a.

Definicion 1.1.2 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → Rn, a ∈ U y v ∈ Rm. La derivada direccional de f

en a en la direccion de v, denotada por∂f∂v

(a), es definida como

∂f∂v

(a) = limt→0

f(a + tv)− f(a)t

cuando tal lımite existe.

Observaciones:

1.∂f∂v

(a) ∈ Rn.

2. Cuando n = 1, tenemos la definicion de derivada direccional que estudiamos en el curso anterior.

3. Podemos interpretar geometricamente∂f∂v

(a) de la manera siguiente: Sea δ > 0 suficientemente

pequeno tal que t ∈ Iδ(0) ⇒ a + tv ∈ U . Consideremos el camino rectilıneo

αv : Iδ(0) → Ut 7→ αv(t) = a + tv

luegof αv : Iδ(0) → Rn

t 7→ (f αv)(t)

es un camino en Rn. Observe que

f(a + tv)− f(a)t

=(f αv)(t)− (f αv)(0)

t

Concluımos que existe la derivada direccional∂f∂v

(a) si y solo si f αv es diferenciable en 0 y encaso afirmativo

∂f∂v

(a) = limt→0

f(a + tv)− f(a)t

= limt→0

(f αv)(t)− (f αv)(0)t

= (f αv)′(0)

Analisis Real II 5

Concluimos tambien que∂f∂v

(a) es el vector tangente en el punto f(a) del camino f αv.

4. Sea f : U ⊆ Rm → Rn una funcion que admite todas sus derivadas direccionales en el punto a ∈ U .Podemos definir la funcion

Tf,a : Rm → Rn

v 7→ Tf,a(v) =∂f∂v

(a)

Proposicion 1.1.2 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn a ∈ U y v ∈ Rm. Son equivalentes

1. Existe∂f∂v

(a).

2. Existen∂f1

∂v(a), . . . ,

∂fn

∂v(a).

En caso afirmativo se tiene∂f∂v

(a) =(

∂f1

∂v(a), . . . ,

∂fn

∂v(a)

)

Demostracion. Para t ∈ R− 0 tal que tv ∈ Ua, tenemos

f(a + tv)− f(a)t

=(

f1(a + tv)− f1(a)t

, . . . ,fn(a + tv)− fn(a)

t

)

luego existe∂f∂v

(a) si y solo si existe el limt→0

f(a + tv)− f(a)t

si y solo si existen limt→0

fi(a + tv)− fi(a)t

,

∀ 1 ≤ i ≤ n si y solo si existen∂fi

∂v(a), ∀ 1 ≤ i ≤ n.

Ademas∂f∂v

(a) = limt→0

f(a + tv)− f(a)t

=(

∂f1

∂v(a), . . . ,

∂fn

∂v(a)

)

Notacion: Cuando v = ei, escribiremos∂f∂xi

(a) en vez de∂f∂ei

(a). Por la proposicion anterior

∂f∂xi

(a) =(

∂f1

∂xi(a), . . . ,

∂fn

∂xi(a)

)

, ∀ 1 ≤ i ≤ m

Observaciones:

1. Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn diferenciable en a ∈ U . Dado v ∈ Rm, tomamost ∈ R tal que tv ∈ Ua. Por la diferenciabilidad tenemos

f(a + tv) = f(a) + f ′(a)(tv) + ra(tv)

luegof(a + tv)− f(a)

t= f ′(a)(v) +

ra(tv)t

Analisis Real II 6

se sigue que

limt→0

f(a + tv)− f(a)t

= f ′(a)(v)

luego, hemos probado que si f es diferenciable en a entonces existen todas las derivadas direccionales∂f∂v

(a) y f ′(a)(v) =∂f∂v

(a), ∀ v ∈ Rm .

2. Si f es diferenciable en a entonces podemos considerar la funcion

f ′(a) : Rm → Rn

v 7→ f ′(a)(v) =∂f∂v

(a)

3. Vamos a hallar la matriz asociada a la transformacion lineal f ′(a) en las bases canonicas de Rm yRn. Si f = (f1, . . . , fn) es diferenciable en a, entonces para 1 ≤ i ≤ m tenemos

f ′(a)(ei) =∂f∂xi

(a) =(

∂f1

∂xi(a),

∂f2

∂xi(a), . . . ,

∂fn

∂xi(a)

)

=∂f1

∂xi(a)e1 +

∂f2

∂xi(a)e2 + . . . +

∂fn

∂xi(a)en

Luego, la matriz asociada a f ′(a) en las bases canonicas es dada por

∂f1

∂x1(a)

∂f1

∂x2(a) . . .

∂f1

∂xm(a)

∂f2

∂x1(a)

∂f2

∂x2(a) . . .

∂f2

∂xm(a)

......

...∂fn

∂x1(a)

∂fn

∂x2(a) . . .

∂fn

∂xm(a)

=

∇f1(a)∇f2(a)

...∇fn(a)

=[

∂f∂x1

(a),∂f∂x2

(a), · · · , ∂f∂xm

(a)]

∈ Rn×m

Esta matriz es llamada Matriz Jacobiana de f en a y se denota por Jf(a) o∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm)

(a).

4. Si f : U → R es diferenciable en a ∈ U entonces Jf(a) = ∇f(a).

5. Si f : I ⊆ R→ Rn es diferenciable en a ∈ I entonces Jf(a) ∈ Rn×1 ≈ R1×n, mas aun

Jf(a) =

f ′1(a)f ′2(a)

...f ′n(a)

←→ (f ′1(a), f ′2(a), . . . , f ′n(a)) ∈ Rn

6. Si f : I ⊆ R→ R es diferenciable en a ∈ I entonces Jf(a) ∈ R1×1 ≈ R, mas aun

Jf(a) = f ′(a) ∈ R

Analisis Real II 7

Ejemplo 1.1.7 Vamos a hallar las derivadas parciales de la funcion determinante. Denotemos porEij ∈ Rn×n a la matriz cuya entrada ij es 1 y todas las otras entradas son ceros, es decir

Eij =

θ...θej

θ...θ

←→ ( θ, . . . , θ︸ ︷︷ ︸

i−1 veces

, ej , θ, . . . , θ).

Por ejemplo E24 ∈ R4×4 serıa

E24 =

0 0 0 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

←→ (θ, e4, θ, θ)

Es claro que Eij es una base de Rn×n, llamada base canonica. Para A ∈ Rn×n tenemos

∂ det∂xij

(A) = det′(A)(Eij) = det′(A1, . . . , An)(θ, . . . , θ, ej , θ, . . . , θ)

= det(θ, A2, . . . , An) + · · ·+ det(A1, . . . , Ai−1, ej , Ai+1, . . . , An) + · · ·+ det(A1 . . . , An−1, θ)

= det(A1, . . . , Ai−1, ej , Ai+1, . . . , An) = (−1)i−1 det(ej , A1, . . . , Ai−1, Ai+1, . . . , An)

= (−1)i+jA[i,j]

donde A[i,j] es el determinante de la matriz obtenida de A suprimiendo la i-esima fila y la j-esima columna.

Como caso particular, si A =

x11 x12 x13

x21 x22 x23

x31 x32 x33

∈ R3×3 entonces

∂ det∂x23

(A) = (−1)2+3A[2,3] = − det(

x11 x12

x31 x32

)

= x12x31 − x11x32

1.2 La Regla de la Cadena

Teorema 1.2.1 (Regla de la Cadena) Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos, f : U → V diferenciable ena ∈ U y g : V → Rp diferenciable en f(a) ∈ V . Entonces g f : U → Rp es diferenciable en a y

(g f)′(a) = g′(f(a))f ′(a)

Demostracion. Sea g = (g1, . . . , gp), por la Proposicion 1.1.1 las funciones gk : V → R son diferenciablesen f(a), (k = 1, . . . , p), luego (ver Analisis I) las funciones gk f : U → R son diferenciables en a,

Analisis Real II 8

(k = 1, . . . , p), nuevamente por la Proposicion 1.1.1 se sigue que g f = (g1 f, . . . , gp f) es diferenciableen a.

Por otro lado, para v ∈ Rm tenemos:

(g f)′(a)(v) = ((g1 f)′(a), . . . , (gn f)′(a)) (v) = (g′1(f(a))f ′(a)(v), . . . , g′n(f(a))f ′(a)(v))= (g′1(f(a)), . . . , g′n(f(a))) (f ′(a)(v)) = (g′(f(a)) f ′(a)) (v)

Se deduce que (g f)′(a) = g′(f(a))f ′(a).

La “version matricial” de la Regla de la Cadena viene dada en el siguiente resultado.

Corolario 1. Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos, f : U → V diferenciable en a ∈ U y g : V → Rp

diferenciable en f(a) ∈ V . Entonces

J(g f)(a) = Jg(f(a)) · Jf(a)

Observaciones.

1. Haciendo f = (f1, . . . , fn) y g = (g1, . . . , gp) se tiene que g f = (g1 f, . . . , gp f), luego

∂(g1 f, . . . , gp f)∂(x1, . . . , xm)

(a) =∂(g1, . . . , gp)∂(y1, . . . , yn)

(f(a)) · ∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm)

(a)

Se sigue que

∂(gk f)∂xi

(a) =n

∑

j=1

∂gk

∂yj(f(a))

∂fj

∂xi(a) ∀ 1 ≤ i ≤ m, ∀ 1 ≤ k ≤ np.

2. Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos, f : U → V diferenciable en U y g = (g1, . . . , gp) : V → Rp

diferenciable en V , con f(U) ⊆ V entonces

∂(gk f)∂xi

=n

∑

j=1

(

∂gk

∂yj f

)

∂fj

∂xi∀ 1 ≤ i ≤ m, ∀ 1 ≤ k ≤ p.

Corolario 2. Sean U ⊆ Rm abierto, f, g : U → Rn diferenciables en a ∈ U y r ∈ R. Se cumplen

1. f + g : U → Rn es diferenciable en a y (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).

2. f − g : U → Rn es diferenciable en a y (f − g)′(a) = f ′(a)− g′(a).

3. rf : U → Rn es diferenciable en a y (rf)′(a) = rf ′(a).

4. Si n = 3 entonces f + g : U → R3 es diferenciable en a y (f × g)′(a) = f ′(a)× g(a) + f(a)× g′(a).

Corolario 3. Sean U ⊆ Rm abierto, f, g : U → Rn diferenciables en a ∈ U y ϕ : Rn ×Rn → Rp bilineal.Entonces la funcion

ϕ(f, g) : U → Rp

x 7→ ϕ(f, g)(x) = ϕ(f(x), g(x))

Analisis Real II 9

es diferenciable en a y

(ϕ(f, g))′ (a)(v) = ϕ(f ′(a)(v), g(a)) + ϕ(f(a), g′(a)(v))

Demostracion. Observe que ϕ(f, g) = ϕ (f, g) la cual es diferenciable en a. Ademas

(ϕ(f, g))′ (a)(v) = (ϕ (f, g))′ (a)(v) = ϕ′(f(a), g(a))(f ′(a)(v), g′(a)(v))

= ϕ(f ′(a)(v), g(a)) + ϕ(f(a), g′(a)(v))

Corolario 4. Sean U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn diferenciable en a ∈ U . Suponga que existef−1 : V → Rm donde V ⊆ Rn es abierto y f−1 es diferenciable en f(a). Entonces f ′(a) ∈ L(Rm,Rn) esun isomorfismo cuyo inverso es (f−1)′(f(a)) ∈ L(Rn,Rm). En particular n = m.

Demostracion. f f−1 = idV y f−1 f = idU , por la regla de la cadena:

(f f−1)′(f(a)) = I =⇒ f ′(a) · (f−1)′(f(a)) = I

Analogamente (f−1)′(f(a)) · f ′(a) = I

1.3 El Teorema de Schwarz

Definicion 1.3.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → Rn y a ∈ U . Decimos que f es dos veces diferenciableen a si y solo si

1. f es diferenciable en U .

2. Las derivadas parciales∂f∂x1

, . . . ,∂f

∂xm: U → Rn son diferenciables en a.

Proposicion 1.3.1 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn y a ∈ U . Son equivalentes

1. f es dos veces diferenciable en a

2. Las funciones coordenadas f1, . . . , fn : U → R son dos veces diferenciables en a.

Demostracion. Ejercicio.

Observacion: Sea f = (f1, . . . , fn) : U ⊆ Rm → Rn dos veces diferenciable en a ∈ U entonces, pordefinicion, f es diferenciable en U , luego podemos considerar la funcion derivada f ′ : U → L(Rm,Rn) ≈Rn×m que a cada x ∈ U le asocia f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) ≈ Rn×m. Usando la identificacion canonica entreRn×m y Rnm, tenemos

f ′(x) =

∂f1

∂x1(x) . . .

∂f1

∂xm(x)

∂f2

∂x1(x) . . .

∂f2

∂xm(x)

......

∂fn

∂x1(x) . . .

∂fn

∂xm(x)

=(

∂f1

∂x1(x), . . . ,

∂f1

∂xm(x), . . . ,

∂fn

∂x1(x), . . . ,

∂fn

∂xm(x)

)

Analisis Real II 10

Por la definicion de funcion dos veces diferenciable se sigue que las funciones coordenadas de f ′ sondiferenciables en a, luego f ′ es diferenciable en a.

Notacion:∂2f

∂v∂w(a) =

∂∂v

(

∂f∂w

)

(a), ∀ v, w ∈ Rm.

Teorema 1.3.2 (Teorema de Schwartz) Sea U ⊆ Rm abierto, y f : U → Rn funcion dos vecesdiferenciable en a ∈ U . Entonces

∂2f∂xi∂xj

(a) =∂2f

∂xj∂xi(a), ∀ 1 ≤ i, j ≤ m

Demostracion. Sea f = (f1, . . . , fn) entonces fk : U → R son dos veces diferenciables en a ∈ U ,∀ 1 ≤ k ≤ n, luego:

∂2f∂xj∂xi

(a) =∂

∂xj

∂f∂xi

(a) =(

∂∂xj

∂f1

∂xi(a), . . . ,

∂∂xj

∂fn

∂xi(a)

)

=(

∂2f1

∂xj∂xi(a), . . . ,

∂2fn

∂xj∂xi(a)

)

=(

∂2f1

∂xi∂xj(a), . . . ,

∂2fn

∂xi∂xj(a)

)

=∂

∂xi

(

∂f1

∂xj(a), . . . ,

∂fn

∂xj(a)

)

=∂

∂xi

∂f∂xj

(a)

=∂2f

∂xi∂xj(a)

Corolario. Sean U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn dos veces diferenciable en a ∈ U . Entonces

∂2f∂v∂w

(a) =∂2f

∂w∂v(a), ∀ v, w ∈ Rm

Teorema 1.3.3 Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn funcion dos veces diferenciable en a ∈ U . Entonces

ϕf,a : Rm × Rm → Rn

(v, w) 7→ ϕf,a(v, w) =∂2f

∂w∂v(a)

es una transformacion bilineal simetrica.

Demostracion. La simetrıa es consecuencia del corolario anterior. Vamos a probar la bilinealidad:

ϕf,a(v, c1w1 + c2w2) =∂

∂(c1w1 + c2w2)

(

∂f∂v

)

(a) =(

∂f∂v

)′

(a)(c1w1 + c2w2)

= c1

(

∂f∂v

)′

(a)(w1) + c2

(

∂f∂v

)′

(a)(w2) = c1∂2f

∂w1∂v(a) + c2

∂2f∂w2∂v

(a)

= c1ϕf,a(v, w1) + c2ϕf,a(v, w2)

Usando la simetrıa se prueba la linealidad con respecto a la primera variable.

A continuacion vamos a averiguar que tipo de objeto es la segunda derivada f ′′(a) = (f ′)′(a) de unafuncion dos veces diferenciable en a.

Analisis Real II 11

Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn una funcion dos veces diferenciable en a ∈ U , por la observacionanterior sabemos que f ′ : U → L(Rm,Rn) es diferenciable en a, luego

f ′′(a) = (f ′)′(a) ∈ L (Rm,L(Rm,Rn))

Pero del algebra lineal, se sabe que existe un isomorfismo entreL (Rm,L(Rm,Rn)) y

L2(Rm,Rn) = ϕ : Rm × Rm → Rn : ϕ es bilineal

que asocia a cada transformacion lineal T : Rm → L(Rm,Rn) la transformacion bilineal BT : Rm×Rm →Rn definida por BT (v, w) = T (w)(v). (¡Ejercicio!). Vamos a determinar la transformacion bilinealasociada a f ′′(a). Si f = (f1, . . . , fn) entonces por la definicion de funcion dos veces diferenciable en a yla Proposicion 1.1.1 tenemos que f ′ = (f ′1, . . . , f

′n) : U → L(Rm,Rn) es diferenciable en a. Dado w ∈ Rm

tenemos

f ′′(a)(w) = (f ′)′(a)(w) =∂f ′

∂w(a) =

(

∂f ′1∂w

(a), . . . ,∂f ′n∂w

(a))

(1.2)

Por otro lado, como fi (1 ≤ i ≤ n) es dos veces diferenciable en a entonces f ′i : U → (Rm)∗ es

diferenciable en a y desde que f ′i puede ser identificado con el vector gradiente(

∂fi

∂x1, . . . ,

∂fi

∂xn

)

, por

Schwarz obtenemos

∂f ′i∂w

(a) =∂

∂w

(

∂fi

∂x1(a), . . . ,

∂fi

∂xm(a)

)

=(

∂∂x1

(

∂fi

∂w

)

(a), . . . ,∂

∂xm

(

∂fi

∂w

)

(a))

=(

∂fi

∂w

)′

(a) (1.3)

De (1.2) y (1.3)

f ′′(a)(w) =

(

(

∂f1

∂w

)′

(a), . . . ,(

∂fn

∂w

)′

(a)

)

=(

∂f∂w

)′

(a)

y por tanto

f ′′(a)(w)(v) =(

∂f∂w

)′

(a)(v) =∂2f

∂v∂w(a) = ϕf,a(v, w)

De esta manera ϕf,a es la transformacion bilineal asociada a f ′′(a), es decir podemos considerar f ′′(a)como

f ′′(a) : Rm × Rm → Rn

(v, w) 7→ f ′′(a)(v, w) =∂2f

∂v∂w(a)

1.4 Funciones de clase Ck

Definicion 1.4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn

1. Decimos que f es de clase C1 en U si y solo si se cumple

(a) Existen las derivadas parciales∂f∂x1

(x), . . . ,∂f

∂xm(x), ∀x ∈ U .

Analisis Real II 12

(b) Las funciones∂f∂x1

, . . . ,∂f∂x1

: U → Rn son continuas en U .

2. Decimos que f es de clase Ck en U (k ≥ 2) si y solo si se cumple

(a) Existen las derivadas parciales∂f∂x1

(x), . . . ,∂f

∂xm(x), ∀x ∈ U .

(b) Las funciones∂f∂x1

, . . . ,∂f∂x1

: U → Rn son de clase Ck−1 en U .

3. Decimos que f es de clase C∞ en U si y solo si f es de clase Ck en U , ∀ k ∈ N.

Notaciones:

1. Ck(U ;Rn) = f : U → Rn; f es de clase Ck en U (k ≥ 1).

2. C0(U ;Rn) = C(U ;Rn) = f : U → Rn; f es continua en U.

3. C∞(U ;Rn) = f : U → Rn; f es de clase C∞ en U.

Observaciones:

1. C∞(U ;Rn) =∞⋂

k=1

Ck(U ;Rn).

2. C∞(U ;Rn) ⊂ · · · ⊂ Ck(U ;Rn) ⊂ Ck−1(U ;Rn) ⊂ · · · ⊂ C1(U ;Rn) ⊂ C(U ;Rn).

3. f ∈ Ck(U ;Rn) si y solo si∂f∂xi

∈ Ck−1(U ;Rn), ∀ 1 ≤ i ≤ m.

4. Cuando n = 1 denotamos Ck(U) en vez de Ck(U ;R).

Proposicion 1.4.1 Sea U ⊆ Rm abierto y f = (f1, . . . , fn) : U → Rn. Son equivalentes

1. f ∈ Ck(U ;Rn).

2. f1, . . . , fn ∈ Ck(U).

Demostracion. Ejercicio.

Corolario. Sean U ⊆ Rm abierto, f, g ∈ Ck(U ;Rn) y c ∈ R entonces f + g, cf ∈ Ck(U ;Rn). Ademas, sidefinimos φ : U → Rn × Rn ≈ R2n como φ(x) = (f(x), g(x)), ∀ x ∈ U entonces φ ∈ Ck(U ;R2n).

Demostracion. Ejercicio.

Proposicion 1.4.2 Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos y f : U → Rn, g : V → Rp con f(U) ⊆ V . Sif ∈ Ck(U ;Rn) y g ∈ Ck(V ;Rp) entonces g f ∈ Ck(U ;Rp).

Analisis Real II 13

Demostracion. Si f = (f1, . . . , fn) y g = (g1, . . . , gp) entonces g f = (g1 f, . . . , gp f). De la hipotesisy la Proposicion 1.4.1 se sigue que fj ∈ Ck(U), ∀ 1 ≤ j ≤ n y gl ∈ Ck(V ), ∀ 1 ≤ l ≤ p. Sabemos que

∂(gl f)∂xi

=n

∑

j=1

(

∂gl

∂yj f

)

∂fj

∂xi

luego∂(gl f)

∂xi∈ Ck−1, ∀ 1 ≤ i ≤ n. Se sigue que gl f ∈ Ck(U), ∀ 1 ≤ l ≤ p, es decir g f ∈ Ck(U ;Rp),

lo que finaliza la prueba.

Es claro que las funciones constantes son de clase C∞ en Rm, a continuacion, daremos otros ejemplosde funciones de clase C∞.

Ejemplo 1.4.1 Si T ∈ L(Rm,Rn) entonces T ∈ C∞(Rm,Rn). En efecto, fijando v ∈ Rm, por el Ejemplo1.1.2 tenemos

∂T∂v

(x) = T ′(x)(v) = T (v) = T φ(x)

donde φ(x) = v es la funcion constante. Luego∂T∂v

= T φ y de aquı se sigue el resultado.

Ejemplo 1.4.2 Si ϕ : Rm × Rn → Rp es bilineal entonces ϕ ∈ C∞(Rm × Rn;Rp). En efecto, fijandov = (v1, v2) ∈ Rm × Rn, para cualquier x = (x1, x2) ∈ Rm × Rn, por el Ejemplo 1.1.3 tenemos

∂ϕ∂v

(x) = ϕ′(x)(v) = ϕ(v1, x2) + ϕ(x1, v2)

Si definimos φ1, φ2 : Rm × Rn → Rm × Rn por φ1(x) = (v1, π2(x)) y φ2(x) = (π1(x), v2), entonces por elejemplo anterior y el corolario a la Proposicion 1.4.1 se tiene que φ1 y φ2 son funciones de clase C∞. Dela igualdad anterior tenemos que

∂ϕ∂v

= ϕ φ1 + ϕ φ2

De aquı se sigue que ϕ ∈ C∞(Rm × Rn;Rp).

A continuacion probaremos que la funcion que a toda matriz inversible le asigna su inversa, es unafuncion de clase C∞.

En primer lugar recordemos que con las operaciones usuales de suma de funciones y producto deun escalar por una transformacion lineal, el conjunto L(Rm;Rn) se torna un R-espacio vectorial. SeaT ∈ L(Rm;Rn) entonces ∃K > 0 tal que ‖T (x)‖ ≤ K‖x‖, ∀x ∈ Rm.

Si x 6= 0 entonces‖T (x)‖‖x‖

≤ K, luego el conjunto

‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ Rm − 0

⊆ R

es acotado superiormente, luego existe su supremo, el cual sera denotado por ‖T‖, es decir

‖T‖ = sup

‖T (x)‖‖x‖

: x ∈ Rm − 0

Observaciones:

Analisis Real II 14

1.‖T (x)‖‖x‖

≤ ‖T‖, ∀x ∈ Rm − 0. Se sigue que ‖T (x)‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖, ∀ x ∈ Rm.

2. ‖T‖ = sup

‖T (x)‖ : x ∈ Sm−1.

Teorema 1.4.3 Se cumplen las siguientes propiedades:

1. ‖T‖ ≥ 0, ∀ T ∈ L(Rm;Rn).

2. ‖T‖ = 0 =⇒ T = 0.

3. ‖rT‖ = |r| ‖T‖, ∀ T ∈ L(Rm;Rn), ∀ r ∈ R.

4. ‖T1 + T2‖ ≤ ‖T1‖ + ‖T2‖, ∀ T1, T2 ∈ L(Rm;Rn).

5. ‖T1 T2‖ ≤ ‖T1‖ · ‖T2‖, ∀ T1 ∈ L(Rn;Rp), ∀ T2 ∈ L(Rm;Rn).

6. ‖Tn‖ ≤ ‖T‖n, ∀ T ∈ L(Rm) = L(Rm;Rm), ∀ n ∈ N.

Demostracion. Probaremos solamente (4) las demas quedaran como ejercicio para el lector. SeanT1, T2 ∈ L(Rm;Rn) y x ∈ Sm−1

‖(T1 + T2)(x)‖ ≤ ‖T1(x)‖+ ‖T2(x)‖ ≤ ‖T1‖+ ‖T2‖

Observacion. (L(Rm;Rn), ‖ · ‖) es un R-espacio normado isomorfo a Rn×m.Por otro lado A ∈ GL(Rm) ≈ Rm×m si y solo si det(A) 6= 0 si y solo si A ∈ det−1(R−0). Como det

es una funcion continua, concluimos que GL(Rm) ⊆ Rm×m ≈ Rm2es abierto. Denotemos U = GL(Rm).

Definimos f : U → Rm2por f(X) = X−1. Afirmo que f es diferenciable en U . En efecto, sea A ∈ U ,

vamos a “buscar un candidato” para f ′(A) y rA(H). Procediendo “informalmente” para H ∈ UA, seobserva que

f(A + H)− f(A) = (A + H)−1 −A−1 =[

A(I + A−1H)]−1 −A−1 = (I + A−1H)−1A−1 −A−1

=(

(I + A−1H)−1 − I)

A−1 = ((I −A−1H + · · ·)− I)A−1

= −A−1HA−1 + · · ·

Claramente TA : Rm2 → Rm2, definida por TA(H) = −A−1HA−1 es una transformacion lineal, la cual

serıa el “candidato” a f ′(A), luego el “candidato” a resto serıa rA : UA → Rm2definido por

rA(H) = f(A + H)− f(A)− TA(H)

Operando

rA(H) = (A + H)−1 −A−1 + A−1HA−1 = (A + H)−1 [

I − (A + H)A−1 + (A + H)A−1HA−1]

= (A + H)−1 [

I − I −HA−1 + HA−1 + HA−1HA−1] = (A + H)−1(HA−1)2

luego

‖rA(H)‖ = ‖(A + H)−1(HA−1)2‖ ≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖HA−1‖2 ≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖H‖2 · ‖A−1‖2

Analisis Real II 15

Para H 6= 0 se sigue que

‖rA(H)‖‖H‖

≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖H‖ · ‖A−1‖2 (1.4)

Lema 1.4.1 Si A ∈ GL(Rm) entonces existe C > 0 tal que si H ∈ L(Rm) es tal que ‖H‖ ≤ C, entonces

A + H ∈ GL(Rm) y ‖(A + H)−1‖ ≤ 1C

.

Demostracion. Sea C =1

2‖A−1‖. Dado x ∈ Rm se tiene

‖x‖ = ‖A−1Ax‖ ≤ ‖A−1‖ · ‖Ax‖

Se sigue que ‖Ax‖ ≥ 2C‖x‖, ∀ x ∈ Rm. Si H ∈ L(Rm) es tal que ‖H‖ ≤ C entonces

‖(A + H)x‖ = ‖Ax + Hx‖ ≥ ‖Ax‖ − ‖Hx‖ ≥ 2C‖x‖ − C‖x‖ = C‖x‖

Claramente esto implica que A + H es inyectiva y por tanto A + H ∈ GL(Rm). Ademas

‖x‖ = ‖(A + H)(A + H)−1x‖ ≥ C‖(A + H)−1x‖

de donde ‖(A + H)−1x‖ ≤ 1C‖x‖, luego ‖(A + H)−1‖ ≤ 1

C.

Del lema anterior y de (1.4): Dado ε > 0 tomemos δ < min

C,Cε

‖A−1‖2

. Si H ∈ UA es tal que

‖H‖ < δ, del lema anterior y de (1.4) tenemos

‖rA(H)‖‖H‖

≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖H‖ · ‖A−1‖2 <1C· Cε‖A−1‖2

· ‖A−1‖2 = ε

es decir limH→0

rA(H)‖H‖

= 0. Desde que A ∈ U fue arbitrario, concluimos que f es diferenciable en U y

f ′(A)(H) = −A−1HA−1, ∀ H ∈ L(Rm).

En particular f es continua en U .Para probar que f es de clase C∞, fijemos V ∈ L(Rm). Para cualquier X ∈ GL(Rm), se tiene

∂f∂V

(X) = f ′(X)(V ) = −X−1V X−1

Por otro lado, sea ϕ : L(Rm)×L(Rm) → L(Rm) dada por ϕ(X,Y ) = −XV Y . Es claro que ϕ es bilineal ypor tanto, de clase C∞. Si consideramos φ : U → U ×U definida por φ(X) = (f(X), f(X)), del corolarioa la Proposicion 1.4.1 tenemos que φ es continua. Observe que

(ϕ φ)(X) = ϕ(φ(X)) = ϕ(f(X), f(X)) = −X−1V X−1 =∂f∂V

(X) ∀ X ∈ U

Analisis Real II 16

luego∂f∂V

= ϕ φ

se sigue que∂f∂V

es continua, ∀ V ∈ Rm×m y por tanto f es de clase C1. Se tiene ahora que φ es de

clase C1 y por tanto∂f∂V

lo cual implica f de clase C2. Procediendo por induccion se tiene el resultadodeseado. Resumimos nuestros resultados en el siguiente:

Teorema 1.4.4 La funcion f : GL(Rn) → GL(Rn) definida por f(X) = X−1 es de clase C∞.

1.5 El Teorema de Taylor

Definicion 1.5.1 Sean U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn. Decimos que f es p veces diferenciable ena ∈ U (p ≥ 3) si solo si las funciones

∂f∂x1

,∂f∂x2

, · · · , ∂f∂xm

: U → Rn

son p− 1 veces diferenciables en a.

Proposicion 1.5.1 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn y a ∈ U . Son equivalentes

1. f es p veces diferenciable en a

2. f1, . . . , fn : U → R son p veces diferenciables en a.

Demostracion. Ejercicio.

Observacion: Si f ∈ Cp(U ;Rn) entonces f es p-veces diferenciable en a, ∀ a ∈ U . ¿Es cierto el recıproco?Dejamos la respuesta para el lector.

Sea f ∈ C2(U ;Rn), dado x ∈ U se tiene que f ′′(x) ∈ L2(Rm,Rn), luego podemos definir

f ′′ : U → L2(Rm;Rn)x 7→ f ′′(x)

Las derivadas de orden superior son definidas de manera analoga. Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn

funcion p veces diferenciable en a ∈ U . Definimos

f (p)(a) :

p veces︷ ︸︸ ︷

Rm × · · · × Rm → Rn

(v1, . . . , vp) 7→ f (p)(a)(v1, . . . , vp) =∂pf

∂vp · · · ∂v1(a)

Analisis Real II 17

No es difıcil probar que f (p)(a) es una transformacion p-lineal y simetrica. Si denotamos

Lp(Rm;Rn) =

ϕ :

p veces︷ ︸︸ ︷

Rm × · · · × Rm → Rn : ϕ es p-lineal

tenemos que f (p)(a) ∈ Lp(Rm;Rn). Si f ∈ Cp(U ;Rn) entonces f (p)(x) ∈ Lp(Rm;Rn), luego podemosdefinir

f (p) : U → Lp(Rm;Rn)x 7→ f (p)(x)

Notacion: f (p)(a)(v, v, · · · , v) = f (p)(a)vp.

Teorema 1.5.2 (Formula de Taylor Infinitesimal) Sea U ⊆ Rm abierto, y f : U → Rn funcion pveces diferenciable en a ∈ U . Entonces

f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +12!

f ′′(a)h2 + · · ·+ 1p!

f (p)(a)hp + ra(h), ∀h ∈ Ua

donde limh→0

ra(h)‖h‖p = 0.

Demostracion. Sea f = (f1, . . . , fn) entonces fk : U → R son p veces diferenciables en a ∈ U . Luegopara h ∈ Ua, se cumple:

fk(a + h) = fk(a) + f ′k(a)h +12!

f ′′k (a)h2 + · · ·+ 1p!

f (p)k (a)hp + rk

a(h)

donde limh→0

rka(h)‖h‖p = 0, ∀ 1 ≤ k ≤ n. Luego

f(a + h) = f(a) + (f ′1(a)h, . . . , f ′n(a)h) +12!

(f ′′1 (a)h2, . . . , f ′′n (a)h2) + · · ·+

+1p!

(f (p)1 (a)hp, . . . , f (p)

n (a)hp) + ra(h)

donde ra(h) = (r1a(h), . . . , rn

a (h). Se sigue que

f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +12!

f ′′(a)h2 + · · ·+ 1p!

f (p)(a)hp + ra(h), ∀h ∈ Ua

donde limh→0

ra(h)‖h‖p = 0.

Teorema 1.5.3 (Formula de Taylor con Resto de Lagrange) Sea U ⊆ Rm abierto, a ∈ U , h ∈Rm tal que [a, a + h] ⊆ U . Si f ∈ Cp(U ;Rn) es (p + 1) veces diferenciable en ]a, a + h[ con

∥

∥

∥f (p+1)(x)wp+1∥

∥

∥ ≤ M‖w‖p+1, ∀ x ∈ ]a, a + h[ ∀ w ∈ Rm

Analisis Real II 18

Entonces

f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +12!

f ′′(a)h2 + · · ·+ 1p!

f (p)(a)hp + ra(h), ∀h ∈ Ua

donde ‖ra(h)‖ ≤ M(p + 1)!

‖h‖p+1.

Demostracion. ¡Ejercicio!

Teorema 1.5.4 (Formula de Taylor con Resto Integral) Sea U ⊆ Rm abierto, a ∈ U , h ∈ Rm talque [a, a + h] ⊆ U . Si f ∈ Cp+1(U ;Rn) entonces

f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +12!

f ′′(a)h2 + · · ·+ 1p!

f (p)(a)hp +1p!

∫ 1

0(1− t)pf (p+1)(a + th)hp+1dt

Demostracion. ¡Ejercicio!

1.6 Principio de diferenciabilidad uniforme

Teorema 1.6.1 (Desigualdad del Valor Medio) Sea U ⊆ Rm abierto, f : U → Rn diferenciable enU , a ∈ U , h ∈ Rm tal que [a, a + h] ⊆ U . Si ∃M = sup‖f ′(x)‖; x ∈ ]a, a + h[ entonces

‖f(a + h)− f(a)‖ ≤ M‖h‖

Demostracion. Siα : [0, 1] → U

t 7→ α(t) = a + th

entoncesf α : [0, 1] → Rn

t 7→ (f α)(t) = f(a + th)

es un camino continuo en [0, 1] y diferenciable en ]0, 1[ , ademas para t ∈ ]0, 1[ , tenemos

‖(f α)′(t)‖ = ‖f ′(α(t))α′(t)‖ = ‖f ′(a + th)h‖ ≤ ‖f ′(a + th)‖ · ‖h‖ ≤ M‖h‖

Luego, por el T.V.M. para caminos:

‖f(a + h)− f(a)‖ = ‖(f α)(1)− (f α)(0)‖ ≤ M‖h‖

Corolario 1. Sean U ⊆ Rm abierto y convexo. Si f : U → Rn es diferenciable en U y ∃M =sup ‖f ′(x)‖; x ∈ U entonces f es Lipschitz y

‖f(x1)− f(x2)‖ ≤ M‖x1 − x2‖, ∀x1, x2 ∈ U

Corolario 2. Sean U ⊆ Rm abierto y conexo. Si f : U → Rn es diferenciable en U y f ′(x) = 0, ∀x ∈ U ,entonces f es constante.

Analisis Real II 19

Demostracion. Sea a ∈ U y consideremos A = x ∈ U : f(x) = f(a), B = x ∈ U : f(x) 6= f(a).Observe que A ∪ B = U y A ∩ B = ∅. Como f es continua, B es abierto. Vamos a probar que A esabierto. Sea x ∈ A, ∃ δ > 0 tal que Bδ(x) ⊆ U . Afirmo que Bδ(x) ⊆ A, en efecto:Si y ∈ Bδ(x) entonces [x, y] ⊆ Bδ(x) ⊆ U , luego por la desigualdad del valor medio

‖f(x)− f(y)‖ ≤ 0‖x− y‖

se sigue que f(y) = f(x) = f(a), es decir y ∈ A lo que prueba la afirmacion. Luego A, B es una escisionde U , se sigue que B = ∅, luego A = U .

Corolario 3. Sean U ⊆ Rm abierto, f : U → Rn diferenciable en U , a ∈ U , h ∈ Rm tal que [a, a+h] ⊆ Uy T ∈ L(Rm;Rn). Si ‖f ′(x)− T‖ ≤ M , ∀x ∈ ]a, a + h[ entonces

‖f(a + h)− f(a)− T (h)‖ ≤ M‖h‖

Demostracion. Considerog : U → Rm

x 7→ g(x) = f(x)− T (x)

Claramente g es diferenciable en U y ‖g′(x)‖ = ‖f ′(x)− T‖ ≤ M , ∀x ∈ ]a, a + h[ , por la desigualdad delvalor medio ‖g(a + h)− g(a)‖ ≤ M‖h‖, es decir

‖f(a + h)− f(a)− T (h)‖ = ‖f(a + h)− T (a + h)− f(a)− T (a)‖ ≤ M‖h‖

Lema 1.6.1 Sea X ⊆ Rm, f : X → Rn continua y K ⊆ X compacto. Entonces ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal quesi x ∈ X, y ∈ K y ‖x− y‖ < δ entonces ‖f(x)− f(y)‖ < ε.

Demostracion. Supongamos que ∃ ε0 > 0 tal que ∀ δ > 0, ∃xδ ∈ X y ∃ yδ ∈ K tales que ‖xδ − yδ‖ < δy ‖f(xδ)− f(yδ)‖ ≥ ε0 (Hip. Aux.)

Podemos construir (xk) ⊆ X, (yk) ⊆ K tales que ‖xk−yk‖ < 1k y ‖f(xk)−f(yk)‖ ≥ ε0, ∀ k ∈ N. Como

K es compacto, ∃ (yjk) ⊆ (yk) tal que limk→∞

yjk = y y y ∈ K, luego limk→∞

f(yjk) = f(y). Considerando

(xjk) ⊆ (xk), tenemos

‖xjk − y‖ ≤ ‖xjk − yjk‖+ ‖yjk − y‖ ≤ 1jk

+ ‖yjk − y‖, ∀ k ∈ N

Se sigue que limk→∞

xjk = y, luego limk→∞

f(xjk) = f(y). Ası: ε0 ≤ ‖f(xjk) − f(yjk)‖, ∀ k ∈ N, luego

ε0 ≤ limk→∞

‖f(xjk)− f(yjk)‖ = 0, lo cual es una contradiccion.

Teorema 1.6.2 (Diferenciabilidad Uniforme) Sean U ⊆ Rm abierto, K ⊆ U compacto y f ∈C1(U ;Rn). Se cumple que ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0 tal que si x ∈ K, h ∈ Rm con h ∈ Ux y ‖h‖ < δentonces

‖f(x + h)− f(x)− f ′(x)(h)‖ < ε‖h‖

Analisis Real II 20

Demostracion. Por una propiedad probada en el curso anterior, ∃ δ1 tal que si x ∈ K, y ∈ Rm y‖x− y‖ < δ1 entonces

[x, y] ⊆ U (1.5)

Ahora bien, como f ∈ C1(U ;Rn) entonces f ′ : U → L(Rm;Rn) es continua y como K es compacto,por el Lema 1.6.1, ∀ ε > 0, ∃ δ2 > 0 tal que si y ∈ U , x ∈ K y ‖x− y‖ < δ2, se tiene

‖f ′(y)− f ′(x)‖ <ε2

(1.6)

Sea δ = minδ1, δ2, para x ∈ K, h ∈ Rm con h ∈ Ux y ‖h‖ < δ, se cumple ‖x + h − x‖ = ‖h‖ < δ,luego por (1.5) tenemos que [x, x + h] ⊆ U . Por otro lado, si y ∈ ]x, x + h[ entonces ∃ t ∈ ]0, 1[ tal quey = x + th, luego ‖y − x‖ = t‖h‖ < ‖h‖ < δ, luego por (1.6) ‖f ′(y) − f ′(x)‖ <

ε2, ∀ y ∈ ]x, x + h[ y por

el Corolario 3‖f(x + h)− f(x)− f ′(x)(h)‖ < ε‖h‖.

Observacion: Dado x ∈ U (fijo), sabemos que

f(x + h) = f(x) + f ′(x)h + rx(h), ∀ h ∈ Ux

donde limh→0

rx(h)‖h‖

= 0. El Teorema de la diferenciabilidad uniforme nos dice que limh→0

rx(h)‖h‖

= 0, ∀ x ∈ K.

En efecto, sea V = (x, h) ∈ K × Rm; h ∈ Ux. Definimos r : V → Rn por

r(x, h) = rx(h) = f(x + h)− f(x)− f ′(x)(h).

Si f ∈ C1(U ;Rn), por el teorema de diferenciabilidad uniforme, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que (x, h) ∈ Vy ‖h‖ < δ entonces ‖r(x, h)‖ < ε‖h‖, es decir

limh→0

r(x, h)‖h‖

= 0.

1.7 Ejercicios

1. Si U → Rm es abierto, pruebe que Ua = h ∈ Rm : a + h ∈ U es abierto.

2. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U , pruebe que existe una unica transformacion linealT ∈ L(Rm,Rn) tal que

f(a + h) = f(a) + T (h) + ra(h), h ∈ Ua

en donde limh→0

ra(h)‖h‖

= 0.

3.

Capıtulo 2

Sucesiones y Series de Funciones

2.1 Sucesion de Funciones

Sea X ⊆ Rm, denotaremos por F(X;Rn) al conjunto de todas las funciones definidas en X y con valoresen Rn. Con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un numero real por una funcion,el conjunto F(X;Rn) se torna un R-espacio vectorial.

Definicion 2.1.1 Una sucesion de funciones en F(X;Rn) es una funcion f : N → F(X;Rn) tal que acada numero natural k le asocia una funcion f(k) = fk ∈ F(X;Rn), llamado el k-esimo termino de lasucesion.

Notacion. En sucesivo el sımbolo (fk) ⊆ F(X;Rn) significara que “(fk) es una sucesion de funcionesen F(X;Rn)”

Sea (fk) ⊆ F(X;Rn), para cada x ∈ X se tiene que fk(x) ∈ Rn, para todo k ∈ N, luego (fk(x)) esuna sucesion en Rn. Si la sucesion (fk(x)) ⊆ Rn es convergente para cada x ∈ X entonces existe unvector (que depende de x ∈ X) al que denotaremos f(x) ∈ Rn tal que lim

k→∞fk(x) = f(x). De esta manera

podemos definir la funcionf : X → Rn

x 7→ f(x) = limk→∞

fk(x)

es decir f ∈ F(X;Rn).

Definicion 2.1.2 Sea (fk) ⊆ F(X;Rn) y f ∈ F(X;Rn). Decimos que la sucesion de funciones (fk)converge puntualmente a f , lo que escribimos fk → f si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. (fk(x)) ⊆ Rn es convergente, para todo x ∈ X.

2. limk→∞

fk(x) = f(x), para todo x ∈ X.

21

Analisis Real II 22

Ejemplo 2.1.1 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesion (fk) ⊆ F(X;R) definida por

fk : X → Rx 7→ fk(x) = xk

Observe que

limk→∞

fk(x) = limk→∞

xk =

0, si 0 ≤ x < 11, si x = 1

Si definimosf : [0, 1] → R

x 7→ f(x) =

0, si 0 ≤ x < 11, si x = 1

tenemos que limk→∞

fk(x) = f(x), para todo x ∈ X, es decir fk → f .

Ejemplo 2.1.2 Sea (fk) ⊆ F(R;R) definida por

fk : R → R

x 7→ fk(x) =x2k

1 + x2k

Observe que

limk→∞

fk(x) = limk→∞

x2k

1 + x2k =

0, si |x| < 112 , si |x| = 11, si |x| > 1

Si definimosf : R → R

x 7→ f(x) =

0, si |x| < 112 , si |x| = 11, si |x| > 1

tenemos que limk→∞

fk(x) = f(x), para todo x ∈ R, es decir fk → f .

Analisis Real II 23

Si bien es cierto que la nocion de lımite puntual de una sucesion de funciones es bastante natural,ella tiene un grave defecto, por lo general la funcion lımite “no hereda” las propiedades de la sucesion.En efecto, en el ejemplo anterior todas las funciones fk eran continuas sin embargo la funcion lımite fno lo es. Concluimos que el lımite puntual de una sucesion de funciones continuas no necesariamente escontinuo.

Definicion 2.1.3 Sean X ⊆ Rm, (fk) ⊆ F(X;Rn) y f ∈ F(X;Rn). Decimos que la sucesion defunciones (fk) converge uniformemente a f en X, lo que escribimos fk → f unif. en X si y solo si paratodo ε > 0, existe un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces ‖fk(x)− f(x)‖ < ε, ∀x ∈ X.

Observaciones.

1. En el concepto de convergencia uniforme exigimos que el k0 ∈ N solo dependa del ε mientras queen la convergencia puntual el k0 depende del ε y del vector x.

2. Convergencia uniforme implica convergencia puntual. Es decir fk → f unif. en X ⇒ fk → f , oequivalentemente fk 6→ f ⇒ fk 6→ f unif. en X.

El siguiente es un criterio muy util para la convergencia uniforme de una sucesion de funciones.

Teorema 2.1.1 (Criterio de Cauchy) Sea (fk) ⊆ F(X;Rn). Las siguientes afirmaciones son equiva-lentes:

1. (fk) es uniformemente convergente en X.

2. (fk) es una sucesion de Cauchy, es decir para todo ε > 0 existe un k0 ∈ N tal que j, k ≥ k0 entonces

‖fj(x)− fk(x)‖ < ε, ∀x ∈ X.

Demostracion. (1. ⇒ 2.) Dado ε > 0, por hipotesis debe existir un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces‖fk(x)− f(x)| < ε

2 para cualquier x ∈ X.Si tomamos j, k ≥ k0, para cualquier x ∈ X tenemos

‖fk(x)− fj(x)‖ ≤ ‖fk(x)− f(x)‖+ ‖fj(x)− f(x)‖ < ε

Luego (fk) ⊆ F(X;Rn) es una sucesion de Cauchy.(2. ⇒ 1.) Fijemos x ∈ X, dado ε > 0 existe un k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entonces ‖fj(x)− fk(x)‖ < ε.Se sigue que (fk(x)) ⊆ Rn es una sucesion de Cauchy en Rn, luego ella es convergente, es decir, existe unvector f(x) ∈ Rn tal que lim

k→∞fk(x) = f(x). Definimos

f : X → Rn

x 7→ f(x) = limk→∞

fk(x)

Afirmo que fk → f unif. en X. En efecto: dado ε > 0, existe un k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entoncespara cualquier x ∈ X se tiene que ‖fj(x)− fk(x)‖ < ε

2 . Fijando el subındice k y tomando lımite cuandoj tiende al infinito tenemos ‖f(x)− fk(x)‖ < ε, ∀x ∈ X. Esto prueba la afirmacion y el teorema.

Note el lector que en el criterio de Cauchy no necesitamos del lımite f para determinar la convergenciauniforme de la sucesion (fk).

Analisis Real II 24

Teorema 2.1.2 (Continuidad del Lımite Uniforme) Sea (fk) ⊆ F(X;Rn) tal que fk es continuaen x0 ∈ X, ∀ k ∈ N. Si fk → f unif. en X entonces f es continua en x0.

Demostracion. Sea ε > 0, por hipotesis existe un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces

‖fk(x)− f(x)‖ <ε3, ∀x ∈ X. (2.1)

Por otro lado, desde que fk0 es continua en x0, tenemos que existe un δ > 0 tal que si x ∈ X y ‖x−x0‖ < δentonces

‖fk0(x)− fk0(x0)‖ <ε3

(2.2)

Luego, para x ∈ X con ‖x− x0‖ < δ, de (2.1) y (2.2) tenemos

‖f(x)− f(x0)‖ ≤ ‖f(x)− fk0(x)‖+ ‖fk0(x)− fk0(x0)‖+ ‖fk0(x0)− f(x0)‖ < ε

Esto prueba que f es continua en x0.

Corolario. Si (fk) ⊆ C(X;Rn) y fk → f unif. en X entonces f ∈ C(X;Rn).

Observacion. Aunque la convergencia uniforme es suficiente para asegurar que el lımite de una sucesionde funciones continuas es continua, no es una condicion necesaria.

Ejemplo 2.1.3 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesion (fk) ⊆ F(X;R) definida por

f1 : X → Rx 7→ f1(x) = 1

y si k ≥ 2 tenemosfk : X → R

x 7→ fk(x) =

kx, si 0 ≤ x ≤ 1k

2− kx, si1k

< x ≤ 2k

0, si2k

< x ≤ 1

Observe que si 0 < x ≤ 1 entonces limk→∞

fk(x) = 0 (puesto que f(x) = 0 para k > 2x ) y lim

k→∞fk(0) = 0,

Luego limk→∞

fk(x) = θ(x), ∀x ∈ [0, 1], es decir fk → θ.

Pero fk no converge uniformemente a θ en [0, 1], puesto que∣

∣

∣

∣

fk

(

1k

)

− θ(

1k

)∣

∣

∣

∣

= 1

Sin embargo el lımite puntual es continuo.

Analisis Real II 25

2.2 Convergencia Uniforme y Diferenciabilidad

Sea U ⊆ Rm un abierto y (fk) ⊆ C1(U ;Rn). Supongamos que fk → f unif. en U . De manera naturalsurge la pregunta ¿f ∈ C1(U ;Rn)? y en caso afirmativo ¿f ′k → f ′ unif. en U?

Ejemplo 2.2.1 Seafk : R → R

x 7→ fk(x) =sen kx√

k

Claramente (fk) ⊆ C1(R). Por otro lado, observe que

limk→∞

fk(x) = limk→∞

sen kx√k

= 0 = θ(x), ∀x ∈ R

es decir fk → θ.

Ademas, dado ε > 0, ∃ k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces1√k

< ε, luego

|fk(x)− θ(x)| =∣

∣

∣

∣

sen kx√k

∣

∣

∣

∣

≤ 1√k

< ε, ∀ k ≥ k0, ∀x ∈ R

es decir fk → θ unif. en R. Observe que θ ∈ C1(R), pero f ′k(x) =√

k cos kx y de aquı f ′k no convergeuniformemente a θ en R.

Teorema 2.2.1 Sea U ⊆ Rm abierto, convexo y acotado y sea (fk) ⊆ C1(U ;Rn). Suponga que

1. ∃x0 ∈ U tal que (fk(x0)) ⊆ Rn es convergente.

2. (f ′k) ⊆ C(U ;L(Rm;Rn)) es uniformemente en U .

Entonces ∃ f ∈ C1(U ;Rn) tal que fk → f unif. en U y f ′k → f ′ unif. en U

Demostracion. Como U es acotado y x0 ∈ U entonces ∃ r > 0 tal que U ⊆ Br[x0]. Por hipotesis(f ′k) ⊆ C(U ;L(Rm;Rn)) es uniformemente convergente en U , luego es sucesion de Cauchy, por lo tanto,dado ε > 0, ∃ k1 ∈ N tal que si j, k ≥ k1 entonces

‖f ′j(x)− f ′k(x)‖ <ε2r

, ∀x ∈ U. (2.3)

Para j, k ≥ k1 consideremos la funcion fj − fk : U → Rn la cual es diferenciable en U que por hipotesises abierto y convexo, luego por (2.3) y por el Corolario 1 de la desigualdad del valor medio:

‖(fj − fk)(x)− (fj − fk)(y)‖ <ε2r‖x− y‖, ∀x, y ∈ U, ∀ j, k ≥ k1 (2.4)

Por la hipotesis 1.) debe existir un k2 ∈ N tal que si j, k ≥ k2 entonces

‖fj(x0)− fk(x0)‖ <ε2

(2.5)

Analisis Real II 26

Tomando k0 = maxk1, k2, de (2.4) y (2.5), para j, k ≥ k0 y x ∈ U , tenemos

‖fj(x)− fk(x)‖ ≤ ‖(fj − fk)(x)− (fj − fk)(x0)‖+ ‖(fj − fk)(x0)‖ ≤ε2r‖x− x0‖+

ε2≤ ε

Hemos probado que ∃ k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entonces ‖fj(x)− fk(x)‖ < ε, ∀x ∈ U . Es decir (fk)es sucesion de Cauchy, luego ∃f ∈ F(U : Rn) tal que fk → f unif. en U .

Por otro lado, de la hipotesis 2. ∃ g ∈ C(U ;L(Rm;Rn)) tal que f ′k → g unif. en U . Vamos a probarque f es diferenciable en U y f ′ = g. Dado a ∈ U , debemos probar que

f(a + h) = f(a) + g(a)(h) + ra(h), ∀h ∈ Ua

con limh→0

ra(h)‖h‖

= 0.

Sea ra(h) = f(a + h)− f(a)− g(a)(h) entonces

‖ra(h)‖ = ‖f(a + h)− f(a)− g(a)(h)‖≤ ‖f(a + h)− f(a)− fk0(a + h) + fk0(a)‖+

‖fk0(a + h)− fk0(a)− f ′k0(a)(h)‖+ ‖f ′k0

(a)(h)− g(a)(h)‖ (2.6)

Por hipotesis, fk0 es diferenciable en a, luego

fk0(a + h) = fk0(a) + f ′k0(a)(h) + ρa(h), ∀h ∈ Ua

con limh→0

ρa(h)‖h‖

= 0. De esta manera, dado ε > 0, ∃ δ > 0 tal que si 0 < ‖h‖ < δ entonces

‖fk0(a + h)− fk0(a)− f ′k0(a)(h)‖

‖h‖<

ε3

(2.7)

De (2.4) tenemos‖(fj − fk0)(a + h)− (fj − fk0)(a)‖ <

ε3‖h‖, ∀ j ≥ k0

luego

‖f(a + h)− fk0(a + h)− f(a) + fk0(a)‖ = limj→∞

‖fj(a + h)− fk0(a + h)− fj(a) + fk0(a)‖ ≤ ε3‖h‖ (2.8)

De (2.3) tenemos que ‖f ′j(a)− f ′k0(a)‖ <

ε3, ∀ j ≥ k0, luego

‖g(a)− f ′k0(a)‖ = lim

j→∞‖f ′j(a)− f ′k0

(a)‖ ≤ ε3

(2.9)

De (2.7), (2.8), (2.9) y (2.6), para h ∈ Ua, se cumple que ∃ δ > 0 tal que si 0 < ‖h‖ < δ entonces

‖ra(h)‖‖h‖

≤ ‖f(a + h)− f(a)− fk0(a + h) + fk0(a)‖‖h‖

+

+‖fk0(a + h)− fk0(a)− f ′k0

(a)(h)‖‖h‖

+ ‖f ′k0(a)− g(a)‖ < ε

De esta manera f es diferenciable en a y f ′(a) = g(a). Como el a fue arbitrario, concluimos que f esdiferenciable en U y f ′ = g.

Analisis Real II 27

2.3 Series de Funciones

A continuacion definiremos el concepto de serie de funciones. Sea X ⊆ Rm y (fk) ⊆ F(X;Rn), definimoslas funciones s1 = f1, s2 = f1 +f2, . . . , sk = f1 +f2 + · · ·+fk. Como F(X;Rn) es un R-espacio vectorial,tenemos que (sk) ⊆ F(X;Rn) la cual es llamada sucesion de sumas parciales asociada a (fk). Para hacernotar que (sk) depende de la sucesion original (fk), escribiremos

∑

j,1

fk en vez de (sk).∑

j,1

fk es llamado

serie de funciones.

Desde que una serie de funciones es un caso particular de sucesion de funciones, podemos aplicarlelos conceptos de lımite puntual y lımite uniforme.

Definicion 2.3.1 Sean (fk) ⊆ F(X;Rn) y consideremos∑

j,1

fk.

1. Decimos que∑

j,1

fk converge puntualmente si y solo si su sucesion de sumas parciales sk =k

∑

j=1

fk

es una sucesion puntualmente convergente.

2. Decimos que∑

j,1

fk converge uniformemente en X si y solo si su sucesion de sumas parciales sk =

k∑

j=1

fk es una sucesion uniformemente convergente en X.

Notacion. El lımite S sera denotado por el sımbolo∞∑

j=1

fj .

El siguiente es un criterio sumamente util para la convergencia uniforme de una serie de funciones.

Teorema 2.3.1 (M-test de Weierstrass) Sean X ⊆ Rm, (Mk) ⊆ R+ y (fk) ⊆ F(X;Rn) tales que

1. ‖fk(x)‖ ≤ Mk, ∀x ∈ X, ∀ k ≥ 0.

2. La serie de numeros reales∑

j,1

Mj es convergente.

Entonces la serie de funciones∑

j,1

fj converge uniformemente en X.

Demostracion. Denotemos sk =k

∑

j=1

fj y σk =k

∑

j=1

Mj . Por hipotesis, la sucesion de numeros reales

positivos (σk) es convergente, luego es de Cauchy, de esta manera, dado un ε > 0 existe un k0 ∈ N talque si j, k ≥ k0 entonces |σj − σk| < ε. Por otro lado (para k ≥ i)

‖si(x)− sk(x)‖ =

∥

∥

∥

∥

∥

∥

i∑

j=1

fj(x)−k

∑

j=i

fj(x)

∥

∥

∥

∥

∥

∥

=

∥

∥

∥

∥

∥

∥

k∑

j=i+1

fj(x)

∥

∥

∥

∥

∥

∥

≤k

∑

j=i+1

‖fj(x)‖ ≤k

∑

j=i+1

Mj = |σk − σj |

Analisis Real II 28

procediendo de manera analoga para k ≤ i se tiene que

‖si(x)− sk(x)‖ ≤ |σj − σk|, ∀ i, k ∈ N, ∀x ∈ X

De esta manera, si tomamos i, k ≥ k0, tenemos ‖si(x)− sk(x)‖ ≤ |σj − σk| < ε, ∀x ∈ X. El Criterio deCauchy nos permite concluir que (sk) es uniformemente convergente en X.

El siguiente resultado es consecuencia directa del Teorema 2.1.2.

Teorema 2.3.2 Sea (fk) ⊆ C(X;Rn). Si∑

j,1

fj converge uniformemente en X entonces∞∑

j=1

fj ∈

C(X;Rn).

Demostracion. sk =k

∑

j=1

fj ∈ C(X;Rn), ∀ k ≥ 1, luego (sk) ⊆ C(X;Rn). Por hipotesis sk →∞∑

j=1

fj

unif. en X, luego∞∑

j=1

fj ∈ C(X;Rn).

Ejemplo 2.3.1 Sea (fk) ⊆ F(I1(0);R) definida por

fk : I1(0) → R

x 7→ fk(x) =xk

k2

y consideremos∑

j,1

fj Observe que

|fj(x)| =∣

∣

∣

∣

xj

j2

∣

∣

∣

∣

=|x|j

j2 ≤ 1j2 , ∀ x ∈ I1(0), ∀ j ∈ N

Como la serie de numeros reales∑

j,1

1j2 es convergente, por el M - test de Weierstrass,

∑

j,1

xj

j2 es uni-

formemente convergente en I1(0) y la funcion

S : I1(0) → R

x 7→ S(x) =∞∑

j=1

xj

j2

es continua en I1(0).

Finalmente, enunciemos para series el Teorema 2.2.1.

Teorema 2.3.3 Sea U ⊆ Rm abierto, convexo y acotado y sea (fk) ⊆ C1(U ;Rn). Suponga que

1. ∃x0 ∈ U tal que∑

j,1

fj(x0) es convergente.

Analisis Real II 29

2.∑

j,1

f ′j es uniformemente convergente en U .

Entonces ∃S ∈ C1(U ;Rn) tal que∑

j,1

fj → S unif. en U y∑

j,1

f ′j → S′ unif. en U

Demostracion. ¡Ejercicio!

2.4 La Curva de Peano

Usaremos los resultados de la seccion anterior para construir una curva continua que tenga interior novacıo.

Seaφ : [0, 2] → R

t 7→ φ(t) =

0, si 0 ≤ t ≤ 13, o

53≤ t ≤ 2

3t− 1, si13≤ t ≤ 2

3

1, si23≤ t ≤ 4

3

−3t + 5, si43≤ t ≤ 5

3Extendemos φ periodicamente a todos los reales haciendo φ(t + 2) = φ(t).

Observe que φ ∈ C(R) y es periodica de periodo 2. Dado k ∈ N, definimos (fk), (gk) ⊆ F(R;R) como

fk(t) =φ(32k−2t)

2k y gk(t) =φ(32k−1t)

2k , ∀ t ∈ R.

Analisis Real II 30

Es claro que (fk), (gk) ⊆ C(R). Observe que

|fk(t)| =∣

∣

∣

∣

φ(32k−2t)2k

∣

∣

∣

∣

≤ 12k , ∀ t ∈ R, ∀ k ∈ N

Ademas la sucesion de numeros reales positivos(

12k

)

es tal que∑

j,1

12j es convergente. Por el M-test

de Weierstrass∑

j,1

fj es uniformemente convergente en R, mas aun, por el Teorema 2.3.2,∑

j,1

fj ∈ C(R).

Analogamente se prueba que∑

j,1

gj ∈ C(R). Definimos las funciones

α1 : R → R

t 7→ α1(t) =∞∑

j=1

φ(32j−2t)2j

α2 : R → R

t 7→ α2(t) =∞∑

j=1

φ(32j−1t)2j

y seaα : R → R2

t 7→ α(t) = (α1(t), α2(t))

Se sigue que α ∈ C(R;R2). Vamos a probar que α([0, 1]) = [0, 1]× [0, 1]. En primer lugar

0 ≤ α1(t) =∞∑

j=1

φ(32j−2t)2j ≤

∞∑

j=1

12j = 1, ∀ t ∈ [0, 1]

Analogamente 0 ≤ α2(t) ≤ 1, ∀ t ∈ [0, 1]. De esta manera α(t) ∈ [0, 1] × [0, 1], es decir α([0, 1]) ⊆[0, 1]× [0, 1].

Sea (a, b) ∈ [0, 1]× [0, 1], vamos a probar que ∃ t0 ∈ [0, 1] tal que α(t0) = (a, b). Expresando a y b enel sistema binario, tenemos

a =∞∑

j=1

aj

2j , b =∞∑

j=1

bj

2j

en donde aj , bj ∈ 0, 1, ∀ j ∈ N. Defino

t0 = 2∞∑

j=1

cj

3j

donde c2j−1 = aj y c2j = bj , ∀ j ∈ N. Observe que

0 ≤ t0 = 2∞∑

j=1

cj

3j ≤ 2∞∑

j=1

13j = 1

es decir t0 ∈ [0, 1]. Afirmo que α(t0) = (a, b). En efecto, observe en primer lugar que es suficiente probar

φ(

3jt0)

= cj+1, ∀ j = 0, 1, 2, . . . (2.10)

Analisis Real II 31

Puesto que si (2.10) se cumple, tenemos:

α1(t0) =∞∑

j=1

φ(32j−2t0)2j =

∞∑

j=1

c2j−1

2j =∞∑

j=1

aj

2j = a

α2(t0) =∞∑

j=1

φ(32j−1t0)2j =

∞∑

j=1

c2j

2j =∞∑

j=1

bj

2j = b

lo cual prueba la afirmacion. Probemos entonces (2.10): Dado k = 0, 1, 2, . . . (fijo, arbitrario), tenemos:

3kt0 = 2∞∑

j=1

cj

3j−k = 2k

∑

j=1

3k−jcj + 2∞∑

j=k+1

cj

3j−k

= numero par + dk

donde dk = 2∞∑

j=1

cj+k

3j desde que φ tiene perıodo 2, tenemos φ(3kt0) = φ(dk).

Si ck+1 = 0 entonces 0 ≤ dk = 2∞∑

j=2

cj+k

3j ≤ 2∞∑

j=2

13j =

13, luego φ(dk) = 0, es decir φ(3kt0) = ck+1.

Si ck+1 = 1 entonces23≤ dk = 2

∞∑

j=1

cj+k

3j ≤ 2∞∑

j=1

13j = 1, luego φ(dk) = 1, es decir φ(3kt0) = ck+1.

2.5 La Funcion de Weierstrass

En 1872, Weiertrass dio un ejemplo de una funcion continua en todo R que no es diferenciable en ningunpunto de su dominio.

Consideremos la sucesion de funciones (fn) ⊆ C(R) definida por

fn(x) = bn cos(anπx), ∀ x ∈ R

en donde a es un entero impar mayor que 1 y 0 < b < 1. Por el M -test de Weierstrass concluimos que∑

n,1

fn converge uniformemente en R. Definimos W : R → R como W (x) =∞∑

n=1

bn cos(anπx). Se sigue

que W ∈ C(R). W es llamada funcion de Weierstrass. Vamos a demostrar que W no es diferenciable enningun punto de su dominio. En efecto, procediendo por contradiccion, supongamos que existe x0 ∈ Rtal que W es diferenciable en x0 (Hipotesis Auxiliar), luego existe lim

x→x0

W (x)−W (x0)x− x0

y por tanto si

(xm) ⊆ R− x0 es tal que limm→∞

xm = x0 entonces debe existir limm→∞

W (xm)−W (x0)xm − x0

.

Existe un unico k0 ∈ Z tal que −12

< x0 − k0 ≤12, denotemos x′1 = x0 − k0. Existe un unico k1 ∈ Z

tal que −12

< ax0 − k1 ≤12, denotemos x′2 = ax0 − k1. Prosiguiendo por induccion, existe un unico

km ∈ Z tal que −12

< amx0 − km ≤ 12, denotemos x′m+1 = amx0 − km.

Analisis Real II 32

De esta manera hemos construido dos sucesiones (km) ⊆ Z y (x′m) ⊆ R tales que −12

< x′m ≤ 12,

∀ m ∈ N. A continuacion definimos la sucesion (xm) ⊆ R por xm =km − 1

am , ∀ m ∈ N. Observe que

xm − x0 =km − 1

am − x0 =km − 1− amx0

am = −1 + x′m+1

am , ∀ m ∈ N

Como −12

< x′m ≤ 12

entonces12

< 1 + x′m ≤ 32. De aquı se desprende que xm − x0 < 0, ∀ m ∈ N y

limm→∞

xm = x0.

Para m ∈ N fijo tenemos

W (xm)−W (x0)xm − x0

=∞∑

n=0

bn cos(anxmπ)− cos(anx0π)xm − x0

=m−1∑

n=0

bn cos(anxmπ)− cos(anx0π)xm − x0

+∞∑

n=m

bn cos(anxmπ)− cos(anx0π)xm − x0

=m−1∑

n=0

(ab)n cos(anxmπ)− cos(anx0π)an(xm − x0)

+∞∑

n=0

bm+n cos(am+nxmπ)− cos(am+nx0π)xm − x0

= A + B (2.11)

Por trigonometrıa elemental, sabemos que cos(α + β) − cos(α − β) = −2sen αsen β. Haciendo α =

an(

xm + x0

2

)

π y β = an(

xm − x0

2

)

π (con n ≥ 0 fijo), tenemos

cos(anxmπ)− cos(anx0π) = −2sen(

an(

xm + x0

2

)

π)

· sen(

an(

xm − x0

2

)

π)

Luegocos(anxmπ)− cos(anx0π)

an(xm − x0)= −πsen

(

an(

xm + x0

2

)

π)

sen(

an(xm−x0

2

)

π)

an(xm−x0

2

)

π

Como limx→0

sen xx

= 1, debe existir un m0 ∈ N tal que si m ≥ m0 entonces

∣

∣

∣

∣

∣

sen(

an(xm−x0

2

)

π)

an(xm−x0

2

)

π

∣

∣

∣

∣

∣

<32

luego

|A| ≤ 32

m−1∑

n=0

(ab)nπ =3π2

(ab)m − 1ab− 1

<3π2

(ab)m

ab− 1

De aquı

|A| < 3π2

(ab)m

ab− 1, siempre que m ≥ m0 (2.12)

Analisis Real II 33

Por otro lado, como a es impar tenemos

cos(am+nxmπ) = cos(an(km − 1)π) = (−1)jm

cos(am+nx0π) = cos(an(km + x′m+1)π)= cos(ankmπ) · cos(anx′m+1π)− sen (ankmπ) · sen (anx′m+1π)

= −(−1)jm cos(anx′m+1π)

luego

B =∞∑

n=0

bn+m (−1)jm + (−1)jm cos(anx′m+1π)xm − x0

= (−1)jm

∞∑

n=0

bn+m 1 + cos(anx′m+1π)

− 1+x′m+1am

= (−1)jm−1(ab)m∞∑

n=0

bn 1 + cos(anx′m+1π)1 + x′m+1

= (−1)jm−1(ab)mB′ (2.13)

Observe que B′ =∞∑

n=0

bn 1 + cos(anx′m+1π)1 + x′m+1

es una serie de terminos no negativos cuyo primer termino es

1 + cos(x′m+1π)1 + x′m+1

≥ 23.

(Esto es debido a que −12

< x′m ≤ 12, un facil calculo muestra que 1+cos(x′m+1π) ≥ 1 y

23≤ 1

1 + x′m+1).

Reemplazando (2.13) en (2.11), para m ≥ m0 tenemos

W (xm)−W (x0)xm − x0

= (−1)jm−1(ab)m [

(−1)jm−1(ab)−mA + B′]

Si tomamos a, b tales que ab > 1 +9π4

, es decirπ

ab− 1<

49, de (2.12) tenemos

|(−1)jm−1(ab)−mA| = (ab)−m|A| < 3π2(ab− 1)

<23

luego

(−1)jm−1(ab)−mA + B′ > −23

+ B′ ≥ 0

Como limm→∞

(ab)m = +∞, tenemos

limm→∞

∣

∣

∣

∣

W (xm)−W (x0)xm − x0

∣

∣

∣

∣

= +∞

luego la sucesionW (xm)−W (x0)

xm − x0no esta acotada y por tanto no es convergente, lo cual es una con-

tradiccion.

Capıtulo 3

Funciones Definidas Implıcitamente

3.1 Difeomorfismos Locales

Definicion 3.1.1 Sean U, V ⊆ Rm dos abiertos. Decimos que f : U → V es un difeomorfismo entre U yV si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. f es una biyeccion.

2. f es diferenciable en U .

3. f−1 : V → U es diferenciable en V .

Observaciones.

1. Si f es un difeomorfismo entre los abiertos U, V ⊆ Rmentonces f es un homeomorfismo entre U yV .

2. La condicion 3. de la definicion anterior no se deduce de las dos primeras. En efecto, la funcion

f : R → Rx 7→ f(x) = x3

es una biyeccion y es diferenciable en R, sin embargo su inversa

f−1 : R → Rx 7→ f(x) = 3

√x

no es diferenciable en 0 ∈ R.

3. Si f : U → V es un difeomorfismo, por el Corolario 4 de la Regla de la Cadena f ′(x) ∈ GL(Rm),∀ x ∈ U .

34

Analisis Real II 35

4. El recıproco de la Observacion 3 es falso, en efecto, considerese la funcion

f : R2 → R2 − 0(x, y) 7→ f(x, y) = (ex cos y, exsen y)

Claramente f es diferenciable en R2, ademas

Jf(x, y) =[

ex cos y −exsen yexsen y ex cos y

]

luego det Jf(x, y) = e2x 6= 0, ∀ (x, y) ∈ R2, es decir f ′(x, y) ∈ GL(R2), ∀ (x, y) ∈ R2, sin embargof : R2 → R2 − 0 no es inyectiva, puesto que f(0, 0) = f(0, 2π).

5. Con relacion a la funcion del ejemplo anterior, si restringimos el dominio de f convenientemente,entonces f restringida a este dominio, si es un difeomorfismo. En efecto, dado a = (x0, y0) ∈ R2,definimos el conjunto (franja horizontal abierta de ancho 2π)

Wa = (x, y ∈ R2 : x ∈ R, |y − y0| < π

Claramente Wa ⊆ R2 es un abierto y f∣

∣

Wa: Wa → R2 − 0 es un difeomorfismo.

Definicion 3.1.2 Sean U ⊆ Rm un abierto. Decimos que f : U → Rm es un difeomorfismo local si ysolo si ∀ x ∈ U , ∃Wx ⊆ U y ∃W ′

x ⊆ Rm abiertos con x ∈ Wx, f(x) ∈ W ′x, tales que f

∣

∣

Wx: Wx → W ′

x esun difeomorfismo entre Wx y W ′

x.

Observaciones.

1. Los difeomorfismos de la Definicion 3.1.1 son llamados globales.

2. Todo difeomorfismo global es un difeomorfismo local, lo recıproco es falso.

3. Ya sabemos que si f : U → V es diferenciable y f ′(x) ∈ GL(Rm), ∀ x ∈ U entonces f no nece-sariamente es un difeomorfismo global. Surge la pregunta ¿si f ′(x) ∈ GL(Rm) entonces f es undifeomorfismo local en x?

3.2 El Teorema de la Funcion Inversa

Teorema 3.2.1 (Teorema del Punto Fijo para Contracciones) Sea X ⊆ Rm un conjunto cerradoy f : X → X una contraccion (i.e. f Lipschitz con Lip(f) < 1). Entonces existe un unico x0 ∈ X talque:

1. f(x0) = x0 (i.e. x0 es punto fijo de f).

2. limk→∞

fk(x) = x0, ∀ x ∈ X (i.e. x0 es un atractor de f).

Analisis Real II 36

Demostracion. ¡Ejercicio!

Observacion: Si X ⊆ Rm no es cerrado, entonces una contraccion f : X → X no necesariamente tieneun punto fijo. En efecto, considere X = ]0, 1[ y

f : X → X

x 7→ f(x) =x2

3

Para x1, x2 ∈ X se cumple

|f(x1)− f(x2)| =∣

∣

∣

∣

x21

3− x2

2

3

∣

∣

∣

∣

=13|(x1 − x2)(x1 + x2)| ≤

23|x1 − x2|

luego f es una contraccion, pero f no tiene punto fijo en X.El siguiente resultado garantiza la existencia de un punto fijo para una contraccion f : X → X cuando

X no necesariamente es un abierto.

Proposicion 3.2.2 Sea X ⊆ Rm y f : X → Rm una contraccion. Si ∃ a ∈ X y ∃ r > 0 tal que Br[a] ⊆ Xy

‖f(a)− a‖ ≤ (1− Lip(f))r

entonces f admite un unico punto fijo en Br[a].

Demostracion. Es suficiente probar que f(Br[a]) ⊆ Br[a]. Sea y ∈ f(Br[a]) entonces ∃x ∈ Br[a] talque f(x) = y, se cumple

‖y − a‖ = ‖f(x)− a‖ ≤ ‖f(x)− f(a)‖+ ‖f(a)− a‖ ≤ Lip(f)‖x− a‖+ (1− Lip(f))r = r

es decir y ∈ Br[a].

Teorema 3.2.3 (Perturbacion de la Identidad) Sea U ⊆ Rm abierto y ϕ : U → Rm una contraccion.Entonces la funcion

f : U → Rm

x 7→ f(x) = x + ϕ(x)

es un homeomorfismo de U sobre f(U) ⊆ Rm, en particular f(U) es un abierto. Ademas, si U = Rm

entonces f(U) = Rm.

Demostracion. Claramente f : U → Rm es continua. Dados x1, x2 ∈ U , tenemos

‖f(x1)− f(x2)‖ = ‖x1 + ϕ(x1)− x2 − ϕ(x2)‖ ≥ ‖x1 − x2‖ − ‖ϕ(x1)− ϕ(x2)‖≥ ‖x1 − x2‖ − Lip(ϕ)‖x1 − x2‖

Es decir

‖f(x1)− f(x2)‖ ≥ (1− Lip(ϕ))‖x1 − x2‖, ∀ x1, x2 ∈ U (3.1)

Si f(x1) = f(x2) entonces 0 = ‖f(x1) − f(x2)‖ ≥ (1 − Lip(ϕ))‖x1 − x2‖ ≥ 0, luego x1 = x2. De estamanera f es inyectiva, luego f : U → f(U) es una biyeccion. Vamos a probar que f−1 : f(U) → U es

Analisis Real II 37

continua. Sean y1, y2 ∈ f(U) entonces existen x1, x2 ∈ U tales que f(x1) = y1 y f(x2) = y2, de (3.1)tenemos

‖f−1(y1)− f−1(y2)‖ ≤1

1− Lip(ϕ)‖f(x1)− f(x2)‖ =

11− Lip(ϕ)

‖y1 − y2‖

Se sigue que f−1 es Lipschitz en f(U) y Lip(f−1) ≤ 11− Lip(ϕ)

, en particular f−1 es continua. De esta

manera hemos probado que f es un homeomorfismo de U sobre f(U).Probemos ahora que si U = Rm entonces f(U) = Rm. Sea a ∈ Rm, para cualquier r > 0 se tiene que

Br[a] ⊆ U .

Afirmacion: B(1−Lip(ϕ))r(f(a)) ⊆ f(Br[a]). En efecto, sea y ∈ B(1−Lip(ϕ))r(f(a)) para probar que∃x ∈ Br[a] tal que f(x) = y, consideremos la funcion

ξy : Rm → Rm

x 7→ ξy(x) = y − ϕ(x)

Para x1, x2 ∈ Rm, se cumple

‖ξy(x1)− ξy(x2)‖ = ‖y − ϕ(x1)− y + ϕ(x2)‖ = ‖ϕ(x1)− ϕ(x2)‖ ≤ Lip(ϕ)‖x1 − x2‖

Se sigue que ξy es una contraccion y Lip(ξy) ≤ Lip(ϕ), luego

‖ξy(a)− a‖ = ‖y − ϕ(a)− a‖ = ‖y − f(a)‖ < (1− Lip(ϕ))r ≤ (1− Lip(ξy))r

Por la Proposicion 3.2.2, existe un unico x ∈ Br[a] tal que ξy(x) = x, es decir y = x+ ϕ(x) = f(x), luegoy ∈ f(Br[a]) lo cual prueba la afirmacion. Ası

B(1−Lip(ϕ))r(f(a)) ⊆ f(Rm), ∀ r > 0

Haciendo rk =k

1− Lip(ϕ)(k ∈ N) tenemos Bk(f(a)) ⊆ f(Rm), ∀ k ∈ N. Se sigue que

Rm =⋃

k∈NBk(f(a)) ⊆ f(Rm)

lo que finaliza la demostracion.

Corolario. (Perturbacion de un Isomorfismo) Sea U ⊆ Rm abierto, T ∈ GL(Rm), ϕ : U → Rm

Lipschitz tal que Lip(ϕ) < ‖T−1‖−1. Entonces la funcion

f : U → Rm

x 7→ f(x) = T (x) + ϕ(x)

es un homeomorfismo de U sobre f(U) ⊆ Rm donde f(U) es un abierto. Ademas, si U = Rm entoncesf(U) = Rm.

Demostracion. Consideroψ : U → Rm

x 7→ ψ(x) = (T−1 ϕ)(x)

Analisis Real II 38

Para x1, x2 ∈ U se tiene

‖ψ(x1)− ψ(x2)‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖ϕ(x1)− ϕ(x2)‖ ≤ ‖T−1‖ · Lip(ϕ) · ‖x1 − x2‖

De esta manera ψ es Lipschitz y Lip(ψ) ≤ ‖T−1‖Lip(ϕ) < 1, es decir ψ es una contraccion. Luego, porel Teorema 3.2.3, la funcion

g : U → Rm

x 7→ g(x) = x + ψ(x)

es un homeomorfismo de U sobre g(U) y si U = Rm entonces g(U) = Rm.Como T ∈ GL(Rm) entonces T g : U → Rm es un homeomorfismo de U sobre el abierto (T g)(U)

y si U = Rm entonces (T g)(U) = Rm. Pero

(T g)(x) = T (x + ψ(x)) = T (x) + T (ψ(x)) = T (x) + ϕ(x) = f(x)

Luego T g = f .

Teorema 3.2.4 (Diferenciabilidad del Homeomorfismo Inverso) Sean U, V ⊆ Rm abiertos y f :U → V un homeomorfismo de U sobre V . Si f es diferenciable en a ∈ U y f ′(a) ∈ GL(Rm) entoncesf−1 : V → U es diferenciable en b = f(a) y (f−1)′(f(a)) = [f ′(a)]−1.

Demostracion. Como f es diferenciable en a, se cumple

f(a + h) = f(a) + f ′(a)(h) + ra(h), ∀ h ∈ Ua (3.2)

donde limh→0

ra(h)‖h‖

= 0.

Sea k ∈ Vb y considero h = f−1(b + k)− f−1(b) ∈ Rm, se sigue que a + h ∈ U luego de (3.2)

b + k = b + f ′(a)[f−1(b + k)− f−1(b)] + ra(f−1(b + k)− f−1(b))

Como f ′(a) ∈ GL(Rm) tenemos

[f ′(a)]−1 (k) = f−1(b + k)− f−1(b) + [f ′(a)]−1 (ra(f−1(b + k)− f−1(b)))

es decir

f−1(b + k) = f−1(b) + [f ′(a)]−1 (k) + ρb(k), ∀ k ∈ Vb (3.3)

donde ρb(k) = −(

[f ′(a)]−1 ra

)

(f−1(b + k) − f−1(b)). Debemos probar que limk→0

ρb(k)‖k‖

= 0. Ahora

bien, como f ′(a) ∈ GL(Rm) sabemos que ∃C > 0 tal que ‖f ′(a)(x)‖ ≥ C‖x‖, ∀ x ∈ Rm. Desde que

limh→0

ra(h)‖h‖

= 0, debe existir un δ > 0 tal que h ∈ Ua y 0 < ‖h‖ < δ implica‖ra(h)‖‖h‖

<C2

.

Si x ∈ U y es tal que 0 < ‖x− a‖ < δ, de (3.2) tenemos

‖f(x)− f(a)‖ = ‖f ′(a)(x− a) + ra(x− a)‖ ≥ ‖f ′(a)(x− a)‖ − ‖ra(x− a)‖

≥ C‖x− a‖ − C2‖x− a‖ =

C2‖x− a‖

Analisis Real II 39

Es decir si x ∈ Bδ(a) entonces ‖f(x) − f(a)‖ ≥ C2‖x − a‖. De esta manera, como f(Bδ(a)) es abierto

(puesto que f es homeomorfismo) y b ∈ f(Bδ(a)) entonces ∃ r > 0 tal que Br(b) ⊆ f(Bδ(a)). Si y ∈ Br(b)entonces ∃x ∈ Bδ(a) tal que y = f(x), luego

‖f−1(y)− f−1(b)‖ = ‖x− a‖ ≤ 2C‖f(x)− f(a)‖ =

2C‖y − b‖

Se sigue que‖f−1(y)− f−1(b)‖

‖y − b‖≤ 2

C, ∀ y ∈ Br(b)− b

Sea k ∈ Vb con 0 < ‖k‖ < r entonces b + k ∈ Br(b)− b, luego

‖f−1(b + k)− f−1(b)‖‖k‖

≤ 2C

.

Se sigue que

limk→0

ra(f−1(b + k)− f−1(b))‖k‖

= limk→0

[

ra(f−1(b + k)− f−1(b))‖f−1(b + k)− f−1(b)‖

]

·[

‖f−1(b + k)− f−1(b)‖‖k‖

]

= 0

luego

limk→0

[f ′(a)]−1(

ra(f−1(b + k)− f−1(b))‖k‖

)

= 0

es decir limk→0

ρk(b)‖k‖

= 0. De (3.3) concluimos que f−1 es diferenciable en b = f(a) y (f−1)′(f(a)) =

[f ′(a)]−1.

Corolario. Sean U, V ⊆ Rm abiertos y f : U → V un homeomorfismo de U sobre V . Si f es diferenciableen U y f ′(x) ∈ GL(Rm), ∀ x ∈ U entonces f−1 : V → U es diferenciable en V y (f−1)′(f(x)) = [f ′(x)]−1,∀ x ∈ U . En particular f es un difeomorfismo.

Definicion 3.2.1 Sean U, V ⊆ Rm dos abiertos. Decimos que f : U → V es un difeomorfismo de claseCk entre U y V si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. f es una biyeccion.

2. f es de clase Ck en U .

3. f−1 : V → U es de clase Ck en V .

Notacion: Dados U, V ⊆ Rm abiertos y k ∈ Z+, denotamos

Hom (U ;V ) = f : U → V ; f es un homeomorfismo entre U y V Diff k(U ; V ) = f : U → V ; f es un difeomorfismo de clase Ck entre U y V

Observacion. Sabemos que 1 y 2 no implica 3. El siguiente resultado nos da una condicion adicionalque anadida a 1 y 2 va a implicar 3.

Analisis Real II 40

Proposicion 3.2.5 Sean U, V ⊆ Rm abiertos y f : U → V una biyeccion de clase Ck (k ≥ 1). Sif−1 : V → U es diferenciable en V entonces f ∈ Diff k(U ;V ).

Demostracion. Recordemos que la funcion

inv : GL(Rm) → GL(Rm)T 7→ inv(T ) = T−1

es de clase C∞. Sea y ∈ V (fijo, arbitrario), sabemos que

(f−1)′(y) =[

f ′(f−1(y))]−1

= (inv f ′ f−1)(y), ∀ y ∈ V

De esta manera (f−1)′ = invf ′f−1. La demostracion se sigue por induccion sobre k: Si f ∈ C1(U ;Rm)entonces (f−1)′ ∈ C(U ;L(Rm)) luego f−1 ∈ C1(U ;L(Rm)), y ası sucesivamente.

Teorema 3.2.6 (Teorema de la Funcion Inversa) Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ Ck(U ;Rm) (k ≥ 1)tal que f ′(a) ∈ GL(Rm) (donde a ∈ U). Entonces existen abiertos Wa ⊆ U y W ′

a ⊆ Rm con a ∈ Wa yf(a) ∈ W ′

a tales que f∣

∣

Wa∈ Diff k(Wa; W ′

a).

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 y f(a) = 0 (caso contrario,consideramos traslaciones). Por hipotesis T = f ′(0) ∈ GL(Rm), como GL(Rm) es abierto entonces∃ r > 0 tal que Br(T ) ⊆ GL(Rm). Por otro lado f ′ : U → L(Rm) ≈ Rm2

es continua. Dado 0 < ε <

min

1‖T−1‖

, r

, ∃ δ > 0 tal que si ‖x‖ < δ entonces ‖f ′(x)−T‖ < ε, es decir f ′(x) ∈ Br(T ) ⊆ GL(Rm).

De esta manera, hemos probado que

x ∈ Bδ(0) ⇒ f ′(x) ∈ GL(Rm) y ‖f ′(x)− T‖ < ‖T−1‖−1 (3.4)

Como f es diferenciable en 0, para h ∈ U tenemos

f(h) = T (h) + ra(h) donde limh→0

ra(h)‖h‖

= 0

Observe que‖ra(h1)− ra(h2)‖ = ‖f(h1)− f(h2)− T (h1 − h2)‖

Por el Corolario 3 de la desigualdad del valor medio

‖ra(h1)− ra(h2)‖ ≤ ε‖h1 − h2‖, ∀ h1, h2 ∈ Bδ(0)

Luego r0 es Lipschitz en Bδ(0), con Lip(r0) ≤ ε < ‖T−1‖−1. De esta manera, por el Teorema de laperturbacion de un isomorfismo, concluimos que f es un homeomorfismo de Bδ(0) sobre f(Bδ(0)).

Denotando W0 = Bδ(0), W ′0 = f(Bδ(0)), claramente W0 ⊆ U y W ′

0 son abiertos y f∣

∣

Wa: Wa → W ′

a

es un homeomorfismo de W0 sobre W ′0. Sea y ∈ W ′

0 entonces ∃x ∈ W0 tal que f(x) = y. Como x ∈W0 = Bδ(0), de (3.4), f ′(x) ∈ GL(Rm), luego por el Teorema de la diferenciabilidad del homeomorfismoinverso, f−1 : W ′

0 → W0 es diferenciable en f(x) = y, ∀ y ∈ W ′0 de esta manera f−1 es diferenciable en

W ′0. Luego, por la Proposicion 3.2.5, f

∣

∣

Wa∈ Diff k(Wa; W ′

a).

Observacion: Si en el Teorema de la funcion inversa reemplazamos la hipotesis de ser f ∈ Ck(U ;Rm)(k ≥ 1) por f diferenciable en U , entonces el resultado no es necesariamente cierto.

Analisis Real II 41

3.3 Inmersiones y Sumersiones

Definicion 3.3.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una funcion diferenciable en U . Decimos que fes una inmersion de U en Rn si y solo si f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva, ∀ x ∈ U .

Observacion. Si f : U ⊆ Rm → Rn es una inmersion de U en Rn entonces m ≤ n.

Ejemplo 3.3.1 Sea m ≤ n y consideremos

f : Rm → Rn

x 7→ f(x) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0)

Como f es lineal se tiene que f ′(x) = f , ∀ x ∈ Rm. De esta manera f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva,∀ x ∈ Rm. Ası f es una inmersion la cual es llamada inmersion canonica de Rm en Rn.

Ejemplo 3.3.2 Es facil reconocer si un camino diferenciable es una inmersion. En efecto, sea I ⊆ Run intervalo y α : I → Rn un camino diferenciable. Luego α es una inmersion de I en Rn si y solo siα′(t) ∈ L(R;Rn) es inyectiva ∀ t ∈ I si y solo si α′(t) 6= 0, ∀ t ∈ I.

Ejemplo 3.3.3 Sea el caminoα : R → R2

t 7→ α(t) = (t2, t3)

Como α′(t) = (2t, 3t2) se sigue que α′(0) = (0, 0). Concluimos que α no es una inmersion de R en R2.

Ejemplo 3.3.4 Sea el camino

α : R → R2

t 7→ α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4)

Como α′(t) = (3t2 − 4, 2t), se tiene α′(t) 6= (0, 0), ∀ t ∈ R, luego α es una inmersion de R en R2.

Observaciones.

1. Una funcion inyectiva no necesariamente es una inmersion (ver Ejemplo 3.3.3).

2. Una inmersion no necesariamente es una funcion inyectiva (ver Ejemplo 3.3.4).

El Teorema siguiente nos muestra que toda inmersion suficientemente suave, se comporta localmentecomo la inclusion canonica y por lo tanto es “localmente inyectiva”.

Teorema 3.3.1 (Forma Local de las Inmersiones) Sea U ⊆ Rm un abierto, f ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1y n ≥ m) y a ∈ U . Si f ′(a) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva entonces existen abiertos Wa ⊆ U , Za ⊆ Rn−m yW ′

a ⊆ Rn con a ∈ Wa, 0 ∈ Za y f(a) ∈ W ′a y existe ha ∈ Diff k(W ′

a,Wa × Za) tales que ha(f(a)) = (a, 0)y

(ha f)(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0), ∀ (x1, . . . , xm) ∈ Wa.

Analisis Real II 42

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 ∈ Rm y f(a) = 0 ∈ Rn (casocontrario, consideramos traslaciones). Sea E = Im [f ′(0)], como f ′(0) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva entoncesdimRE = m. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que E es generado por las primeras m filasde la matriz f ′(0), es decir si f = (f1, f2, . . . , fn) entonces

∂(f1, . . . , fm)∂(x1, . . . , xm)

(0) ∈ GL(Rm).

Mas aun, por un cambio lineal de coordenadas podemos suponer que

∂(f1, . . . , fm)∂(x1, . . . , xm)

(0) = I

Observe que la igualdad anterior implica que

f(x) = (x1, . . . , xm, fm+1(x1, . . . , xm), . . . , fn(x1, . . . , xm))

Consideremos el mapeo

ϕ : U × Rn−m → Rn

(x′, x′′) 7→ ϕ(x′, x′′) = (x′, xm+1 + fm+1(x′), . . . , xn + fn(x′))

en donde x′ = (x1, · · · , xm) y x′′ = (xm+1, · · · , xn). Claramente ϕ ∈ Ck(U ×Rn−m;Rn), ϕ(0) = 0 ∈ Rn y

Jϕ(0) =∂(x1, · · · , xm, xm+1 + fm+1, . . . , xn + fn)

∂(x1, . . . , xn)(0)

=

∂(x1, · · · , xm)∂(x1, . . . , xm)

(0)∂(x1, · · · , xm)

∂(xm+1, . . . , xn)(0)

∂(xm+1+ fm+1, . . . , xn+fn)∂(x1, . . . , xm)

(0)∂(xm+1+fm+1, . . . , xn + fn)

∂(xm+1, . . . , xn)(0)

=[

I ΘB I

]

∈ GL(Rn)

Luego, por el Teorema de la funcion inversa, existen abiertos Va ⊆ U , Za ⊆ Rn−m y W ′a ⊆ Rn con

a = 0 ∈ Va, 0 ∈ Z0 y f(a) = 0 ∈ W ′a tales que ϕ

∣

∣

V0×Z0∈ Diff k(Va × Za,W ′

a). Ahora bien, seaψ = (fm+1, . . . , fn) : U → Rn−m, note que f(x′) = (x′, ψ(x′)). Se sigue que ψ es continua, luego

Wa = Va ∩ ψ−1(Za) es un abierto. Denotando ha =(

ϕ∣

∣

Wa×Za

)−1, tenemos

ϕ(x′, x′′) = (x′, x′′ + ψ(x′)) = (y′, y′′), ∀ (x′, x′′) ∈ Wa × Za

Luegoha(y′, y′′) = (x′, x′′) = (y′, y′′ − ψ(y′)), ∀ (y′, y′′) ∈ W ′

a

De esta manera, para cualquier x′ ∈ Wa se tiene

(ha f)(x′) = ha(f(x′)) = ha(x′, ψ(x′)) = (x′, ψ(x′)− ψ(x′)) = (x′, 0)

Esto prueba el teorema.

Corolario. Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1 y n ≥ m) una inmersion de U en Rn

entonces f es localmente inyectiva.

Analisis Real II 43

Definicion 3.3.2 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una funcion diferenciable en U . Decimos que fes una sumersion de U en Rn si y solo si f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, ∀ x ∈ U .

Observacion. Si f : U ⊆ Rm → Rn es una sumersion de U en Rn entonces m ≥ n.

Ejemplo 3.3.5 Sea m ≥ n y consideremos la proyeccion

π : Rm → Rn

x 7→ π(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn)

Como π es lineal se tiene que π′(x) = π, ∀ x ∈ Rm. De esta manera π′(x) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva,∀ x ∈ Rm. Ası π es una sumersion de Rm en Rn .

Ejemplo 3.3.6 Es facil reconocer si una funcion diferenciable a valores reales es una sumersion de sudominio en R. En efecto, sea U ⊆ Rm un abierto f : U → Rn una funcion diferenciable. Luego f esuna sumersion de U en Rn si y solo si f ′(x) ∈ L(Rm;R) = (Rm)∗ es sobreyectiva ∀ x ∈ U si y solo sif ′(x) ≈ ∇f(x) 6= 0, ∀ x ∈ U .

Ejemplo 3.3.7 Sea ϕ : I → R una funcion diferenciable sobre el intervalo I ⊆ R y consideremos

f : I × R → R(x, y) 7→ f(x, y) = y − ϕ(x)

Es claro que f es diferenciable en U = I × R ⊆ R2 y como ∇f(x, y) = (ϕ′(x), 1), concluimos que f esuna sumersion de U en R.

Ejemplo 3.3.8 Seaf : R3 → R

(x, y, z) 7→ f(x, y, z) = x2 + y2 + z2

Es claro que f es diferenciable en R3 y ∇f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z), luego ∇f(0, 0, 0) = (0, 0, 0). Concluimosque f no es una sumersion de R3 en R.

El Teorema siguiente nos muestra que toda sumersion suficientemente suave, se comporta localmentecomo una proyeccion.

Teorema 3.3.2 (Forma Local de las Sumersiones) Sea U ⊆ Rm un abierto, f ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1y n ≤ m) y a = (a′, a′′) ∈ U , donde a′ = (a1, . . . , an) y a′′ = (an+1, . . . , am). Si f ′(a) ∈ L(Rm;Rn) essobreyectiva entonces existen abiertos Wa ⊆ U , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa, f(a) ∈ Va y a′′ ∈ Zay existe ha ∈ Diff k(Va × Za, Wa) tales que ha(f(a), a′′) = a y

(f ha)(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yn), ∀ (y1, . . . , yn) ∈ Va × Za.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 ∈ Rm y f(a) = 0 ∈ Rn

(caso contrario, consideramos traslaciones). Por hipotesis f ′(0) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, luego

Analisis Real II 44

Im(f ′(0)) = f ′(0)(Rm) tiene dimension n, podemos suponer (salvo un cambio lineal de coordenadas) quef ′(0)(e1), . . . , f ′(0)(en) generan Im(f ′(0)). Si denotamos f = (f1, . . . , fn) entonces

A =∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xn)

(0) ∈ GL(Rn).

Denotemos ϕ1 = f1, . . . , ϕn = fn y considero ϕn+1 = πn+1, . . . , ϕm = πm ∈ Ck(U) (dondeπj(x1, . . . , xm) = xj). Si ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) : U → Rm, es claro que ϕ ∈ Ck(U ;Rm), ϕ(0) = 0 y

∂(ϕ1, . . . , ϕm)∂(x1, . . . , xm)

(0) =

∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xn)

(0)∂(f1, . . . , fn)

∂(xn+1, . . . , xm)(0)

∂(πn+1, . . . , πm)∂(x1, . . . , xn)

(0)∂(πn+1, . . . , πm)∂(xn+1, . . . , xm)

(0)

=[

A BΘ I

]

∈ GL(Rm)

es decir ϕ′(0) ∈ GL(Rm). Por el Teorema de la Funcion Inversa existen abiertos Wa ⊆ U y W ′a =

Va×Za ⊆ Rn×Rm−n con 0 ∈ Wa, f(0) ∈ Va, 0 ∈ Za tales que ϕ∣

∣

Wa: Wa → Va×Za es un difeomorfismo

de clase Ck. Denotemos ha =(

ϕ∣

∣

Wa

)−1: Va × Za → Wa. Observe que

ϕ(x) = (f1(x), . . . , fn(x), xn+1, . . . , xm) = (y1, . . . , yn, yn+1, . . . , ym)

luego para cualquier (y1, . . . , ym) ∈ Va × Za tenemos

(f ha)(y1, . . . , ym) = f(x) = (f1(x), · · · , fn(x)) = (y1, . . . , yn)

Observacion: Si en la demostracion del Teorema de la Forma Local de las Sumersiones suponemos quelos n ultimos vectores f ′(0)(em−n+1), . . . , f ′(0)(em) generan Im f ′(0), (esto es equivalente a decir que

∂(f1, . . . , fn)∂(xm−n+1, . . . , xm)

(0) ∈ GL(Rn)),

entonces f se comporta localmente como la proyeccion sobre las ultimas n coordenadas. Mas especıfi-camente, existen abiertos Wa ⊆ U , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa, f(a) ∈ Va y a′ ∈ Za (dondea = (a′, a′′) ∈ Rm−n × Rn) y existe ha ∈ Diff k(Za × Va, Wa) tales que

(f ha)(y′, y′′) = y′′, ∀ (y′, y′′) ∈ Za × Va.

Ademas, el lector puede probar sin dificultad que ha es del tipo

ha(y′, y′′) = (y′, h2(y′, y′′)), ∀ (y′, y′′) ∈ Za × Va.

Teorema 3.3.3 (Teorema de la Funcion Implıcita) Sea U ⊆ Rm un abierto, a = (a′, a′′) ∈ U cona′ ∈ Rm−n, a′′ ∈ Rn. Si f = (f1, . . . , fn) ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1 y n ≤ m) es tal que

∂(f1, . . . , fn)∂(xm−n+1, . . . , xm)

(a) ∈ GL(Rn).

Analisis Real II 45

Entonces existen abiertos Wa ⊆ U y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa y a′ ∈ Za tal que ∀ y′ ∈ Za, existe un unicoy′′ = y′′(x) ∈ Rn con la propiedad (y′, y′′) ∈ Wa y f(y′, y′′) = c = f(a). Ademas la funcion

ga : Za → Rn

y′ 7→ ga(y′) = y′′

es de clase Ck en Za y para cualquier y′ ∈ Za se tiene

g′a(y′) = −[

∂(f1, . . . , fn)∂(xm−n+1, . . . , xm)

(y′, ga(y′))]−1 ∂(f1, . . . , fn)

∂(x1, . . . , xm−n)(y′, ga(y′))

Demostracion. Por la observacion anterior, existen abiertos Wa ⊆ U , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n cona ∈ Wa, c = f(a) ∈ Va y a′ ∈ Za y existe un difeomorfismo de clase Ck

ha : Za × Va → Wa

(y′, y′′) 7→ (y′, h2(y′, y′′))

tales que(f ha)(y′, y′′) = y′′, ∀ (y′, y′′) ∈ Za × Va.

Sea y′ ∈ Za, defino y′′ = y′′(y′) = h2(y′, c), se sigue que (y′, y′′) = (y′, h2(y′, c)) = ha(y′, c) ∈ Wa y enconsecuencia f(y′, y′′) = f ha(y′, c) = c, ∀ y′ ∈ Za. Para demostrar que este y′′ es unico, sea y ∈ Rn talque (y′, y) ∈ Wa y f(y′, y) = c. Como ha ∈ Diff k(Za × Va,Wa) difeomorfismo, existe (z′, z′′) ∈ Za × Va

tal que(z′, h2(z′, z′′)) = ha(z′, z′′) = (y′, y)

Se sigue que z′ = y′, ademasz′′ = f ha(z′, z′′) = f(y′, y) = c,

luego y = h2(z′, z′′) = h2(y′, c) = y′′, esto prueba la unicidad de y′′. Defino

ga : Za → Rn

y′ 7→ ga(y′) = y′′ = h2(y′, c)

Claramente ga es de clase Ck en Za, ademas como para cualquier y′ ∈ Za se cumple f(y′, ga(y′)) = c,definiendo la funcion α : Za → Wa como α(y′) = (y′, ga(y′)), tenemos

f ′(α(y′))α′(y′) = 0 (3.5)

Pero si denotamos ga = (g1, . . . , gn) se tiene

α′(y′) =∂(y1, . . . , ym−n, g1, . . . , gn)

∂(y1, . . . , ym−n)(y′) =

∂(y1, . . . , ym−n)∂(y1, . . . , ym−n)

(y′)

∂(g1, . . . , gn)∂(y1, . . . , ym−n)

(y′)

=[

Ig′a(y′)

]

(3.6)

f ′(α(y′)) =∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm)

(α(y′)) =[

∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm−n)

(α(y′)),∂(f1, . . . , fn)

∂(xm−n+1, . . . , xm)(α(y′))

]

(3.7)

Analisis Real II 46

Reemplazando (3.6) y (3.7) en (3.5) tenemos

∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm)

(α(y′)) +∂(f1, . . . , fn)

∂(xm−n+1, . . . , xm)(α(y′)) · ga(y′) = 0

lo cual implica

g′a(y′) = −[

∂(f1, . . . , fn)∂(xm−n+1, . . . , xm)

(α(y′))]−1 ∂(f1, . . . , fn)

∂(x1, . . . , xm−n)(α(y′))

Observacion. En el caso que n = 1, tenemos el Teorema de la funcion implıcita estudiado en Analisis I.

3.4 El Teorema del Rango

Recordemos que el rango de una transformacion lineal T ∈ L(Rm,Rn) es definido como la dimension deIm (T ), o equivalentemente, como el numero maximo de vectores filas o vectores columnas linealmenteindependientes de cualquier matriz asociada a T .

Definicion 3.4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una funcion diferenciable en U . El rango de fen a ∈ U , denotado rang a(f) es el rango de f ′(a) ∈ L(Rm;Rn).

Observacion: Si U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn entonces rang a(f) ≤ minm, n, ∀ a ∈ U .

Ejemplo 3.4.1 Sea

f : R2 → R4

(x, y) 7→ f(x, y) = (x2 + y, x2 − y3, x− y, x2 + y2)

Se tiene que

Jf(x, y) =

2x 12x −3y2

1 −12x 2y

∈ R4×2

Concluimos que rang (x,y)(f) = 2, ∀ (x, y) ∈ R2.

Ejemplo 3.4.2 Sea f : Rm → Rn definida por

f(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)

donde k ≤ minm,n. Se sigue que rang x(f) = k, ∀ x ∈ Rm. Esta funcion f es llamada proyeccioncanonica de rango k.

Ejemplo 3.4.3 Sea α = (α1, . . . , αn) : I ⊆ R→ Rn diferenciable en el intervalo I. Si α′(t) = 0 entoncesα tiene rango 0 en t, pero si α′(t) 6= 0 entonces α tiene rango 1 en t.

Analisis Real II 47

Ejemplo 3.4.4 Sea f : U → R diferenciable en el abierto U ⊆ Rm I. Si f ′(x) = 0 entonces f tienerango 0 en x, pero si f ′(x) 6= 0 entonces f tiene rango 1 en x.

Ejemplo 3.4.5 Sea f : U ⊆ Rm → Rn. Si f es una inmersion entonces rang x(f) = m = minm,n,∀ x ∈ U , pero si f es una sumersion entonces rang x(f) = n = minm,n, ∀ x ∈ U . Es por esta razonque las inmersiones y sumersiones son llamadas funciones de rango maximo

El siguiente resultado establece que si f : U → Rn tiene rango constante k en el abierto U ⊆ Rm,entonces en cada punto de su dominio se comporta localmente (por un cambio de coordenadas) como laproyeccion canonica de rango k.

Teorema 3.4.1 (El Teorema del Rango) Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ Cp(U ;Rn) (p ≥ 1) tal querang x(f) = k, ∀ x ∈ U . Entonces para todo a ∈ U existen abiertos Ua ⊆ U , Ub ⊆ Rn, V ⊆ Rk, W ⊆Rm−k y Z ⊆ Rn−k con a ∈ Ua y b = f(a) ∈ Ub, 0 ∈ V , 0 ∈ W , 0 ∈ Z y existen Ga ∈ Diff p(Ua, V ×W ) yGb ∈ Diff p(Ub, V × Z) tales que Ga(a) = 0 ∈ Rm, Gb(b) = 0 ∈ Rn y Gb f G−1

a : V ×W → V × Z esdada por

(

Gb f G−1a

)

(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yk, 0, . . . , 0)

Demostracion. Sin perdida de generalidad podemos, podemos suponer a = 0 ∈ Rm, b = 0 ∈ Rn,ademas por un cambio de coordenadas lineal, podemos suponer tambien que

rang[

∂(f1, . . . , fk)∂(x1, . . . , xk)

(a)]

= k,

en donde f = (f1, . . . , fn).Definimos ϕ1 = f1, . . . , ϕk = fk y escogemos ϕk+1 = πk+1, . . . , ϕm = πm. Si ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) : U → Rn

entonces ϕ ∈ Cp(U ;Rm), ϕ(a) = 0 y

Jϕ(a) =∂(ϕ1, . . . , ϕm)∂(x1, . . . , xm)

(a) =

∂(f1, . . . , fk)∂(x1, . . . , xk)

(a)∂(f1, . . . , fk)

∂(xk+1, . . . , xm)(a)

∂(πk+1, . . . , πm)∂(x1, . . . , xk)

(a)∂(πk+1, . . . , πm)∂(xk+1, . . . , xm)

(a)

=[

A BΘ I

]

luego ϕ′(a) ∈ GL(Rm). Por el Teorema de la Funcion Inversa, existen abiertos U ′a ⊆ U y V ′

a ⊆ Rm cona ∈ U ′

a y 0 ∈ V ′a tales que ϕ

∣

∣

U ′a∈ Diff p(U ′

a, V ′a), denotemos Ga = ϕ

∣

∣

U ′a. Denotando (y1, . . . , ym) las

coordenadas de V ′a ⊆ Rm tenemos Ga(x) = y, es decir

(f1(x), . . . , fk(x), xk+1, . . . , xm) = (y1, . . . , ym)

luego

f G−1a (y) = f(x) = (f1(x), . . . , fk(x), fk+1(x), . . . , fn(x))

= (y1, . . . , yk, fk+1(G−1a (y)), . . . , fn(G−1

a (y))

= (y1, . . . , yk, hk+1(y), . . . , hn(y)) (3.8)

Analisis Real II 48

en donde hj = fj G−1a , k + 1 ≤ j ≤ n. Observe que hj ∈ Cp(V ′

a). Afirmo que las hj solo dependen delas variables y1, . . . , yk. En efecto, en primer lugar por la Regla de la Cadena

(

f G−1a

)′(y) = f ′(G−1

a (y)) · (G−1a )′(y), ∀ y ∈ V ′

a

Como (G−1a )′(y) ∈ GL(Rm) entonces

rang y

(

f G−1a

)

= rang y

(

f ′ G−1a

)

= k, ∀ y ∈ V ′a

Por otro lado

J(f G−1a )(y) =

∂(y1, . . . , yk, hk+1, . . . , hn)∂(y1, . . . , ym)

(y) =

∂(y1, . . . , yk)∂(y1, . . . , yk)

(y)∂(y1, . . . , yk)

∂(yk+1, . . . , ym)(y)

∂(hk+1, . . . , hn)∂(y1, . . . , yk)

(y)∂(hk+1, . . . , hn)∂(yk+1, . . . , ym)

(y)

=

I Θ

B∂(hk+1, . . . , hn)∂(yk+1, . . . , yn)

(y)

Como rang y

(

f G−1a

)

= k entonces

∂(hk+1, . . . , hn)∂(yk+1, . . . , ym)

(y) = Θ, ∀ y ∈ V ′a

y esto implica que hk+1, . . . , hn solo dependen de las variables y1, . . . , yk lo cual prueba la afirmacion.Luego de (3.8) tenemos que f G−1

a : V ′a → Rn es definida por

(

f G−1a

)

(y) = (y1, . . . , yk, hk+1(y1, . . . , yk), . . . , hn(y1, . . . , yk)) (3.9)

Por otro lado, sean W ′a ⊆ Rk, W ′′

a ⊆ Rm−k abiertos con 0 ∈ W ′a, 0 ∈ W ′′

a tales que W ′a ×W ′′

a ⊆ V ′a.

Definimos ψb : W ′a × Rn−k → Rn por

ψb(u) = (u1, . . . , uk, uk+1 + hk+1(u1, . . . , uk), . . . , un + hn(u1, . . . , uk)) (3.10)

Claramente ψb(0) = 0 = b y

Jψb(b)=∂(u1, . . . , uk, uk+1 + hk+1, . . . , un + hn)

∂(u1, . . . , un)(0)

=

I Θ

∂(uk+1 + hk+1, . . . , un + hn)∂(u1, . . . , uk)

∂(uk+1 + hk+1, . . . , un + hn)∂(uk+1, . . . , un)

=

I Θ

B I

∈ GL(Rn)

Luego, por el Teorema de la Funcion Inversa, existen abiertos V ⊆ W ′a, Z ⊆ Rn−k y Ub ⊆ Rn con

0 ∈ V , 0 ∈ Z y b ∈ Ub tales que ψb∣

∣

V×Z ∈ Diff p(V × Z,Ub). Sea W ⊆ W ′′a abierto con 0 ∈ W tal que

Analisis Real II 49

V ×W ⊆ (f G−1a )−1(Ub). Denotando Ua = G−1

a (V ×W ) y Gb =(

ψb∣

∣

V×Z

)−1: Ub → V ×Z de (3.9) y

(3.10) tenemos

G−1b (y1, . . . , yk, 0, . . . , 0) = ψb(y1, . . . , yk, 0, . . . , 0) = (y1, . . . , yk, hk+1(y1, . . . , yk), . . . , hn(y1, . . . , yk))

=(

f G−1a

)

(y)

luego(

Gb f G−1a

)

(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yk, 0, . . . , 0).

Corolario. Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ C1(U ;Rn) tal que el rango de f es constante en U . Entonces

1. f es localmente inyectiva si y solo si f es una inmersion.

2. f es abierta si y solo si f es una sumersion.

Demostracion. 1) (⇒) Supongamos que f no es una inmersion (Hip. Aux.) entonces ∃ a ∈ U tal quef ′(a) ∈ L(Rm;Rn) no es inyectiva, luego rang a(f) = k < m, por hipotesis rang x(f) = k < m, ∀ x ∈ U .Por el Teorema del Rango existen abiertos Ua ⊆ U , Ub ⊆ Rn, V ⊆ Rk, W ⊆ Rm−k y Z ⊆ Rn−k y existenGa ∈ Diff 1(Ua, V ×W ) y Gb ∈ Diff 1(Ub, V ×Z) tales que Gb f G−1

a : V ×W → V ×Z es de la forma

Gb f G−1a (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)

Por hipotesis, podemos suponer que f es inyectiva en Ua, luego Gb f G−1a serıa inyectiva en V ×W ,

lo cual es una contradiccion.(⇐) Forma local de las inmersiones.

2) (⇒) Supongamos que f no es una sumersion (Hip. Aux.) entonces ∃ a ∈ U tal que f ′(a) ∈ L(Rm;Rn)no es sobreyectiva, luego rang a(f) = k < n, por hipotesis rang x(f) = k < n, ∀ x ∈ U . Por elTeorema del Rango existen abiertos Ua ⊆ U , Ub ⊆ Rn, V ⊆ Rk, W ⊆ Rm−k y Z ⊆ Rn−k y existenGa ∈ Diff 1(Ua, V ×W ) y Gb ∈ Diff 1(Ub, V ×Z) tales que Gb f G−1

a : V ×W → V ×Z es de la forma

Gb f G−1a (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)

Como f es abierta, Ga, Gb son difeomorfismos y V ×W es abierto entonces(

Gb f G−1a

)

(V ×W ) =V × 0, lo cual es una contradiccion.

(⇐) Sea W ⊆ U abierto, dado a ∈ W , por hipotesis f ′(a) es sobreyectiva, luego por la Forma local delas sumersiones existen abiertos Wa ⊆ W , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa, f(a) ∈ Va y a′′ ∈ Za yexiste ha ∈ Diff 1(Va × Za,Wa) tal que f ha es una proyeccion y por tanto es una funcion abierta, ası(f ha) (Va × Za) es un conjunto abierto.

Por otro lado, observe queW =

⋃

a∈W

Wa =⋃

a∈W

ha(Va × Za)

luego

f(W ) = f

(

⋃

a∈W

ha(Va × Za)

)

=⋃

a∈W

(f ha)(Va × Za)

Se sigue que f(W ) es abierto.

Capıtulo 4

Introduccion a la Teorıa deSuperficies en Rn

4.1 Definicion de Superficie

Definicion 4.1.1 Sea V ⊆ Rn, una parametrizacion de clase Ck (k ≥ 1) y dimension m del conjuntoV es un par (V0, ϕ), donde V0 ⊆ Rm es un abierto y ϕ : V0 → V es una funcion que satisface las doscondiciones siguientes:

1. ϕ ∈ Hom (V0, V ).

2. ϕ es una inmersion de clase Ck.

Observaciones.

1. Si V ⊆ Rn y (V0, ϕ) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m de V entonces m ≤ n.

2. Si V ⊆ Rn y (V0, ϕ) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m de V entonces todo puntop ∈ V no obstante estar en Rn, necesita solo de m coordenadas para determinar su posicion, a saber

p = (ϕ1(x1, . . . , xm), . . . , ϕn(x1, . . . , xm))

Ejemplo 4.1.1 Sea U ⊆ Rn un abierto, entonces (U, id) es una parametrizacion de clase C∞ y dimensionn de U .

Ejemplo 4.1.2 Sean V = S1 − 0, V0 = ]0, 2π[ y

ϕ : V0 → Vt 7→ ϕ(t) = (cos t, sen t)

Entonces (V0, ϕ) es una parametrizacion de clase C∞ y dimension 1 de V .

50

Analisis Real II 51

Ejemplo 4.1.3 Sean V = (t3 − t, t2) : t ∈ ]− 1, +∞[, V0 = ]− 1, +∞[ y

ϕ : V0 → Vt 7→ ϕ(t) = (t3 − t, t2)

Es claro que ϕ es biyectiva, ademas como ϕ′(t) = (3t2 − 1, 2t) entonces ϕ′(t) 6= (0, 0), ∀ t ∈ V0 luego ϕ esuna inmersion de clase C∞ de V0 en V , sin embargo (V0, ϕ) no es una parametrizacion de clase C∞ de Vpuesto que ϕ no es un homeomorfismo entre V0 y V . En efecto, suponiendo por el absurdo que ϕ es un

homeomorfismo entonces ϕ−1 : V → V0 es continua. Consideremos tn =1n− 1, se tiene que (tn) ⊆ V0,

ϕ(tn) =(

(1n− 1)3 − (

1n− 1), (

1n− 1)2

)

luego limn→∞

ϕ(tn) = (0, 1) y como ϕ−1 es continua se tiene

−1 = limn→∞

tn = limn→∞

ϕ−1(ϕ(tn)) = ϕ−1(0, 1) = 1

lo cual es una contradiccion.

Definicion 4.1.2 Una superficie de dimension m y clase Ck (k ≥ 1) en Rn es un subconjunto M ⊆ Rn

tal que para todo punto p ∈ M , existe una vecindad abierta Up ⊆ Rn de p tal que Up ∩M admite unaparametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m.

Observaciones.

1. Up ∩M es llamada vecindad parametrizada del punto p ∈ M .

2. La funcion ϕp : Vp → Up ∩M es un homeomorfismo entre Vp y Up ∩M .

3. Si M ⊆ Rn es una superficie de dimension m, entonces denotaremos Mm.

4. Sea Mm ⊆ Rn una superficie, el numero n−m es llamado codimension de M .

5. Las superficies de dimension 1 en Rn son llamadas curvas. Las superficies de dimension n − 1 enRn son llamadas hiperficies.

Ejemplo 4.1.4 (Superficies de dimension n en Rn) Todo abierto U ⊆ Rn es una superficie dedimension n y de clase C∞ en Rn. En efecto, es suficiente considerar (U, id) la cual es una parametrizacionde clase C∞ y dimension n de U .

Ejemplo 4.1.5 (Superficies de dimension 0 en Rn) M0 ⊆ Rn es una superficie de clase Ck si y solosi para todo p ∈ M existe Up ⊆ Rn abierto tal que Up ∩M admite una parametrizacion (Vp, ϕp) de claseCk y dimension 0 si y solo si Vp = 0 y Up ∩M = p. Concluimos que M0 ⊆ Rn es una superficie declase Ck si y solo si M0 es un subconjunto discreto de Rn.

Ejemplo 4.1.6 (La esfera unitaria Sn−1 ⊆ Rn) Recordemos que

Sn−1 = x ∈ Rn : ‖x‖ = 1.

Analisis Real II 52

Afirmo que Sn−1 es una superficie de clase C∞ y dimension n− 1 de Rn. En efecto, sea i ∈ 1, 2, . . . , n,definimos los conjuntos

U+i = y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn : yi > 0

yU−

i = y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn : yi < 0Observe que U+

i y U−i son los semiespacios abiertos determinados por el hiperplano yi = 0. Claramente

U+i , U−

i 1≤i≤n es una coleccion de conjuntos abiertos que cubren Sn−1. Vamos a parametrizar U+i ∩Sn−1

y U−i ∩ Sn−1. Denotemos V0 = x ∈ Rn−1 : ‖x‖ < 1. Note que V0 ⊆ Rn−1 es un conjunto abierto.

Definimos las funciones

ϕ+i : V0 → U+

i ∩ Sn−1

x 7→ ϕ+i (x) = (x1, . . . , xi−1,

√

1− ‖x‖2, xi, . . . , xn−1)

yϕ−i : V0 → U−

i ∩ Sn−1

x 7→ ϕ+i (x) = (x1, . . . , xi−1,−

√

1− ‖x‖2, xi, . . . , xn−1)

Es facil ver que(

ϕ+i

)−1: U+

i ∩ Sn−1 → V0

y 7→(

ϕ+i

)−1(y) = (y1, . . . , yi−1, yi+1, . . . , yn)

y(

ϕ−i)−1

: U−i ∩ Sn−1 → V0

y 7→(

ϕ−i)−1

(y) = (y1, . . . , yi−1, yi+1, . . . , yn)

luego(

V0, ϕ+i

)

y(

V0, ϕ−i)

(1 ≤ i ≤ n) son parametrizaciones de clase C∞ y dimension n−1 de U+i ∩Sn−1

y U−i ∩ Sn−1 respectivamente.

Ejemplo 4.1.7 (Superficies Producto) Sean Mm11 ⊆ Rn1 y Mm2

2 ⊆ Rn2 dos superficies de clase Ck.Afirmo que M1 × M2 ⊆ Rn1+n2 es una superficie de clase Ck y dimension m1 + m2. En efecto, seap = (p1, p2) ∈ M1 ×M2 entonces existen abiertos U1 ⊆ Rn1 y U2 ⊆ Rn2 tales que p1 ∈ U1 ∩M1 y p2 ∈U2 ∩M2. Sean (V1, ϕ1) y (V2, ϕ2) parametrizaciones de clase Ck y dimensiones m1 y m2 respectivamentede U1 ∩M1 y U2 ∩M2. Defino V = V1 × V2 abierto de Rm1+m2 y

ϕ : V → (U1 ∩M1)× (U2 ∩M2)(x, y) 7→ ϕ(x, y) = (ϕ1(x), ϕ2(y))

Es facil ver que (V, ϕ) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m1+m2 de (U1∩M1)×(U2∩M2) =(U1 × U2) ∩ (M1 ×M2).

De manera analoga se prueba que si Mm11 ⊆ Rn1 , . . . , Mms

s ⊆ Rns son superficies de clase Ck entoncesM1 × · · · ×Ms ⊆ Rn1+···+ns es una superficie de clase Ck y dimension m1 + · · ·+ ms.

Ejemplo 4.1.8 (Toros n-dimensionales) Sabemos que S1 ⊆ R2 es una superficie (curva) de clase C∞

y dimension 1 entoncesTn = S1 × · · · × S1

︸ ︷︷ ︸

n veces⊆ R2n

es una superficie de clase C∞ y dimension n en R2n llamado Toro n-dimensional.

Analisis Real II 53

Ejemplo 4.1.9 (Cilindros) Si U ⊆ Rn es un abierto entonces

Cn+1 = S1 × U ⊆ Rn+2

es una superficie (hiperficie) de clase C∞ y dimension n+1 en Rn+2 llamada Cilindro n+1 dimensional.En particular C2 = S1 × I (donde I ⊆ R es un intervalo abierto) es un cilindro bidimensional en R3.

4.2 Cambios de Coordenadas

Sea Mm ⊆ Rn una superficie de clase Ck y p ∈ M entonces por definicion de superficie, debe existirUp ⊆ Rn vecindad abierta de p tal que Up ∩ M admite una parametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck ydimension m. Supongamos que exista U ′

p ⊆ Rn otra vecindad abierta de p tal que U ′p ∩M admita una

parametrizacion (V ′p , ϕ′p) de clase Ck y dimension m. Es claro que (Up ∩ U ′

p) ∩ M 6= ∅ y denotemosW = (Up ∩ U ′

p) ∩ M . Se tiene que cualquier punto q ∈ W (en particular p) es representado por dosm-uplas de numeros reales

ϕ−1p (q) = (x1(q), . . . , xm(q)) y (ϕ′p)

−1(q) = (y1(q), . . . , ym(q))

Ambas coordenadas son compatibles via el homeomorfismo

(ϕ′p)−1 ϕp : ϕ−1

p (W ) ⊆ Vp → (ϕ′p)−1(W ) ⊆ V ′

p

Las funciones (ϕ′p)−1 ϕp son llamadas cambios de coordenadas. Observe que por definicion de superficie,

los cambios de coordenadas son funciones continuas, resulta natural indagar sobre la diferenciabilidadde los cambios de coordenadas. En primer lugar se tiene que ϕp : ϕ−1

p (W ) ⊆ Rm → W ⊆ Rn es, pordefinicion de superficie, una funcion de clase Ck sin embargo no sabemos responder sobra la diferenciabili-dad de (ϕ′p)

−1 : W → (ϕ′p)−1(W ) ⊆ Rm puesto que ¡W no es un subconjunto abierto de Rn!. Recordemos

que si A ⊆ Rn es un conjunto no necesariamente abierto, f : A → Rm y a /∈ int (A) entonces tenemosdificultades en definir f ′(a). Una manera de subsanar este fenomeno serıa suponer que existe un abiertoU ⊆ Rn con A ⊆ U y que exista una funcion f : U → Rm tal que f

∣

∣

A = f (es decir f es una extensionde f). En estas condiciones podemos definir f ′(a) = f ′(a). ¿Podemos hacer esto cuando W ⊆ M?

Teorema 4.2.1 Sea M ⊆ Rn. Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. M es una superficie de clase Ck y dimension m.

2. Dado p ∈ M existen abiertos U ′p ⊆ Rn, V ′

p ⊆ Rm y W ′p ⊆ Rn−m con p ∈ U ′

p, 0 ∈ V ′p , 0 ∈ W ′

p yexiste ψp ∈ Diff k(U ′

p, V′p ×W ′

p) tal que ψp(p) = 0 y ψp(U ′p ∩M) = V ′

p × 0.

Demostracion. (1. ⇒ 2.) Si Mm ⊆ Rn es una superficie, dado p ∈ M , existe Up ⊆ Rn abierto conp ∈ Up tal que Up∩M admite una parametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m. Podemos suponer(vıa una traslacion) que 0 ∈ Vp y ϕp(0) = p.

Por la forma local de las inmersiones, existen abiertos V ′p ⊆ Vp ⊆ Rm, U ′

p ⊆ Up ⊆ Rn y W ′p ⊆ Rn−m

con 0 ∈ V ′p , p ∈ U ′

p y 0 ∈ W ′p y existe ψp ∈ Diff k(U ′

p, V′p ×W ′

p) tal que

ψp ϕp(x) = (x, 0) ∀x ∈ V ′p

Analisis Real II 54

Observe que si z ∈ U ′p ∩M entonces existe un x ∈ V ′

p tal que ϕp(x) = z, luego

ψp(z) = ψp(ϕp(x)) = (x, 0) ∈ V ′p × 0

es decir ψp(U ′p ∩M) ⊆ V ′

p × 0.Por otro lado, si (x, 0) ∈ V ′

p × 0 entonces ϕp(x) ∈ U ′p ∩M , luego (x, 0) = ψp(ϕp(x)) ∈ ψp(U ′

p ∩M),es decir V ′

p × 0 ⊆ ψp(U ′p ∩M).

(2. ⇒ 1.) Dado p ∈ M , por hipotesis ψ−1p ∈ Diff k(V ′

p ×W ′p, U

′p), sean

i : V ′p → V ′

p ×W ′p

x 7→ i(x) = (x, 0)y

π : V ′p ×W ′

p → V ′p

(x, y) 7→ π(x, y) = x

Claramente π∣

∣

V ′p×0es la inversa de i, se sigue que i ∈ Diff∞(V ′

p , V ′p × 0). Defino ϕp : V ′

p → U ′p ∩M

como ϕp = ψ−1p i. Inmediatamente se desprende que (V ′

p , ϕp) es una parametrizacion de clase Ck ydimension m de U ′

p ∩M .

Observacion: Con la notacion del teorema anterior, se tiene que ϕ−1p = (π ψp)

∣

∣

∣

∣

U ′p∩M, luego π ψp :

U ′p → V ′

p es una extension de ϕ−1p y como π ψp es de clase Ck concluimos que ϕ−1

p es de clase Ck enU ′

p ∩Mm . En particular los cambios de coordenadas son difeomorfismos de clase Ck.

El teorema anterior nos permite extender el concepto de diferenciabilidad a funciones que estandefinidas en superficies.

Definicion 4.2.1 Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : M → Rs

1. Decimos que f es diferenciable en el punto p ∈ M si y solo si existe una parametrizacion (Vp, ϕp)de clase Ck y dimension m, con p ∈ ϕp(Vp) ⊆ M tal que f ϕp : Vp → Rs es diferenciable en elpunto ϕ−1

p (p) ∈ Vp.

2. Decimos que f es diferenciable en M si y solo si f es diferenciable en p, ∀ p ∈ M .

A continuacion, probaremos que la definicion anterior no depende de la parametrizacion elegida.

Teorema 4.2.2 Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : M → Rs. Las dos afirmacionessiguientes son equivalentes:

1. f es diferenciable en p ∈ M .

2. Para toda parametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m, con p ∈ ϕp(Vp) ⊆ M se tiene quef ϕp : Vp → Rs es diferenciable en el punto ϕ−1

p (p) ∈ Vp.

Demostracion. (1. ⇒ 2.) Por hipotesis, existe parametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m, conp ∈ ϕp(Vp) ⊆ M tal que f ϕp : Vp → Rs es diferenciable en el punto ϕ−1

p (p) ∈ Vp. Sea (Wp, ψp) otraparametrizacion de clase Ck y dimension m con p ∈ ψp(Wp). Debemos probar que f ψp : Wp → Rs esdiferenciable en el punto ψ−1

p (p).

Analisis Real II 55

Observe que V = ϕp(Vp) ∩ ψp(Wp) 6= ∅ es un abierto en M , luego ϕ−1p (V ) y ψ−1

p (V ) son abiertos deRm. Como ϕ−1

p ψp : ψ−1p (V ) → ϕ−1

p (V ) es un difeomorfismo de clase Ck, tenemos

f ψp = (f ϕp) (ϕ−1p ψp) : ψ−1

p (V ) → Rs

es diferenciable en ψ−1p (p).

(2. ⇒ 1.) Trivial.

Observaciones:

1. La nocion de funcion de clase Cj definida en una superficie de clase Ck (1 ≤ j ≤ k) es analoga ala definicion de funcion diferenciable. En efecto, sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1)y f : M → Rs, decimos que f es de Clase Cj en M (1 ≤ j ≤ k) si y solo si ∀ p ∈ M , existe unaparametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m, con p ∈ ϕp(Vp) ⊆ M tal que f ϕp : Vp → Rs

es de clase Cj en Vp.

No es difıcil probar que esta definicion es independiente de la parametrizacion (Vp, ϕp) (¡Ejercicio!).

2. Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck y (Vp, ϕp) una parametrizacion de clase Ck y dimensionm, con ϕp(Vp) ⊆ M . Entonces ϕ−1

p : ϕp(Vp) → Rm es de clase Ck en ϕp(Vp).

3. Sean Mm ⊆ Rr y Nn ⊆ Rs superficies de clase Ck y f : M → N . Decimos que f es diferenciableen p ∈ M si y solo si f : M → Rs es diferenciable en p.

4.3 El Espacio Tangente a una Superficie

Una caracterıstica importante de las superficies es que ellas poseen, en cada uno de sus puntos, unaaproximacion lineal que es su espacio tangente.

Definicion 4.3.1 Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y p ∈ M . El conjunto tangente a Men el punto p, denotado por TpM es definido como el conjunto

TpM = v ∈ Rn : ∃λ : Iε(0) → M dif. en 0 tal que λ(0) = p y λ′(0) = v

Observacion: TpM 6= ∅. En efecto, basta considerar el camino constante

λ : Iε(0) → Mt 7→ λ(t) = p

Claramente λ es diferenciable en 0, λ(0) = p y λ′(0) = 0, luego 0 ∈ TpM .

Teorema 4.3.1 Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1), p ∈ M y (Vp, ϕp) una parametrizacionde clase Ck y dimension m, con p ∈ ϕp(Vp) ⊆ M . Entonces TpM = ϕ′p(a)(Rm), en donde a = ϕ−1

p (p).

Analisis Real II 56

Demostracion. Sea v ∈ ϕ′p(a)(Rm), entonces ∃u ∈ Rm tal que

v = ϕ′p(a)(u) =∂ϕp

∂u(a) = lim

t→0

ϕp(a + tu)− ϕp(a)t

Considero un ε > 0 suficientemente pequeno tal que a + tu ∈ Vp, ∀ t ∈ Iε(0) y considero el camino

λ : Iε(0) → Mt 7→ λ(t) = ϕp(a + tu)

Observe que λ es diferenciable en 0, λ(0) = p y

λ′(0) = limt→0

λ(t)− λ(0)t

= limt→0

ϕp(a + tu)− ϕp(a)t

= v

luego v ∈ TpM . Es decir ϕ′p(a)(Rm) ⊆ TpM .Por otro lado, sea v ∈ TpM entonces existe λ : Iε(0) → M diferenciable en 0 tal que λ(0) = p y

λ′(0) = v. Tomando ε > 0 suficientemente pequeno, podemos suponer que λ(Iε(0)) ⊆ ϕp(Vp). Seaβ = ϕ−1

p λ : Iε(0) → Vp. Se sigue que β es diferenciable en 0, β(0) = a y ademas, como ϕp β = λentonces por la regla de la cadena

v = λ′(0) = ϕ′p(β(0))β′(0) = ϕ′p(a)β′(0)

Denotando u = β′(0) ∈ Rm tenemos que ϕ′p(a)(u) = v es decir v ∈ ϕ′p(a)(Rm), luego TpM ⊆ ϕ′p(a)(Rm).

Observaciones:

1. Si Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y p ∈ M entonces TpM es un R espacio vectorialde dimension m. Mas aun, si (Vp, ϕp) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m, conp ∈ ϕp(Vp) ⊆ M entonces

TpM =⟨

ϕ′p(a)(e1), . . . , ϕ′p(a)(em)⟩

=⟨

∂ϕp

∂x1(a), . . . ,

∂ϕp

∂xm(a)

⟩

en donde a = ϕ−1p (p).

2. Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y p ∈ M . Si (Vp, ϕp) y (Wp, ψp) son dosparametrizaciones de clase Ck y dimension m con p ∈ ϕp(Vp) ⊆ M y p ∈ ψp(Wp) ⊆ M . Denotemosa = ϕ−1

p (p) y b = ψ−1p (p), entonces

TpM =⟨

∂ϕp

∂x1(a), . . . ,

∂ϕp

∂xm(a)

⟩

y TpM =⟨

∂ψp

∂y1(b), . . . ,

∂ψp

∂ym(b)

⟩

.

Para hallar la matriz de cambio de bases consideremos el cambio de coordenadas

ξ = ϕ−1p ψp : ψ−1

p (ϕp(Vp) ∩ ψp(Wp)) → ϕ−1p (ϕp(Vp) ∩ ψp(Wp))

el cual es un difeomorfismo de clase Ck. Si hacemos ξ = (ξ1, . . . , ξm) y desde que ψp(y) = (ϕpξ)(y),∀ y ∈ ψ−1

p (ϕp(Vp) ∩ ψp(Wp)) entonces, por la regla de la cadena

∂ψp

∂yj(b) =

m∑

i=1

∂ϕp

∂xi(a)

∂ξi

∂yj(b)

Analisis Real II 57

Luego la matriz de cambio de bases es la matriz jacobiana

∂(ξ1, . . . , ξm)∂(y1, . . . , ym)

(b)

3. Si U ⊆ Rr es un abierto y p ∈ U entonces TpU = Rr.

4. Si M0 ⊆ Rr es una superficie de clase Ck y p ∈ M entonces TpM = 0.

Sabemos que si U ⊆ Rr es un abierto y f : U → Rs es una funcion diferenciable en p ∈ U entoncesf ′(p) ∈ L(Rr,Rs). En el caso general, sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : Mm → Rs

una funcion diferenciable en p ∈ M entonces la derivada f ′(p) debe ser una transformacion lineal de TpMen Rs, es decir f ′(p) ∈ L(TpM,Rs). Vamos a demostrar que esto es ası. Sea (Vp, ϕp) una parametrizacionde clase Ck y dimension m con p ∈ ϕp(Vp) = V ⊆ M y denotemos a = ϕ−1

p (p), por el Teorema4.3.1 TpM = ϕ′p(a)(Rm). Sea v ∈ TpM entonces existe un unico v0 ∈ Rm tal que v = ϕ′p(a)(v0).Serıa natural definir f ′(p)(v) = (f ϕp)′(a)(v0), pero antes debemos verificar que esta definicion nodepende de la parametrizacion. Sea (Wp, ψp) otra parametrizacion de clase Ck y dimension m conp ∈ ψp(Wp) = W ⊆ M y denotemos b = ψ−1

p (p), nuevamente por el Teorema 4.3.1 TpM = ψ′p(b)(Rm),luego existe un unico w0 ∈ Rm tal que v = ψ′p(b)(w0). Como el cambio de coordenadas ξ = ϕ−1

p ψp :ψ−1

p (V ∩W ) ⊆ Rm → ϕ−1p (V ∩W ) ⊆ Rm es de clase Ck y ϕ−1

p ψp(b) = a, tenemos

ϕ′p(a)(v0) = v = ψ′p(b)(w0) = (ϕp ξ)′ (b)(w0) = ϕ′p(ξ(b)) (ξ′(b)(w0)) = ϕ′p(a) (ξ′(b)(w0))

y desde que ϕ′p(a) es inyectiva, concluimos que v0 = ξ′(b)(w0), luego

(f ψp)′(b)(w0) = ((f ϕp) ξ)′ (b)(w0) = (f ϕp)′(a)ξ′(b)(w0) = (f ϕp)′(a)(v0)

luego la definicion es independiente de la parametrizacion.

Definicion 4.3.2 Sea Mm ⊆ Rr una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : Mm → Rs una funciondiferenciable en p ∈ M . La derivada de f en p, es la funcion f ′(p) : TpM → Rs definida por

f ′(p)(v) = (f ϕp)′(a)(v0), ∀ v ∈ TpM

donde (Vp, ϕp) es una parametrizacion de clase Ck y dimension m con p ∈ ϕp(Vp), a = ϕ−1p (p) y

v = ϕ′p(a)(v0).

Observaciones:

1. No es difıcil probar que f ′(p) ∈ L(TpM ;Rs).

2. En el caso que M = U un abierto, la parametrizacion es la identidad y la definicion anterior coincidecon la derivada de funciones definidas en abiertos de Rr.

Sean Mm ⊆ Rr y Nn ⊆ Rs dos superficies de clase Ck (k ≥ 1) y f : Mm → Nn una funciondiferenciable en p ∈ M , en este caso probaremos que f ′(p) ∈ L(TpM, Tf(p)N). En efecto, sea v ∈ TpM

Analisis Real II 58

entonces existe λ : Iε(0) → M diferenciable en 0 tal que λ(0) = p y λ′(0) = v, luego f λ : Iε(0) → N esdiferenciable en 0 y (f λ)(0) = f(p), se sigue que

(f λ)′(0) ∈ Tf(p)N.

Sea (Vp, ϕp) una parametrizacion de clase Ck y dimension m con p ∈ ϕp(Vp) y denotemos a = ϕ−1p (p).

Sabemos que existe un unico v0 ∈ Rm tal que ϕ′p(a)(v0) = v, tomando ε > 0 suficientemente pequeno talque λ(Iε(0)) ⊆ ϕp(Vp) tenemos

(f λ)′(0) =(

fϕp ϕ−1p λ

)′(0) = (fϕp)′(a)(ϕ−1

p λ)′(0) (4.1)

Pero(ϕp)′(a)(v0) = v = λ′(0) =

(

ϕp ϕ−1p λ

)′(0) = (ϕp)′(a)

(

(ϕ−1p λ)′(0)

)

luego v0 = (ϕ−1p λ)′(0) y reemplazando en (4.1) tenemos

(f λ)′(0) = (f ϕp)′(a)(v0) = f ′(p)(v)

es decir f ′(p)(v) ∈ Tf(p)N .Para concluir la seccion, diremos que existen resultados analogos a la regla de la cadena, Teorema de

la funcion inversa, forma local de las sumersiones, etc. para funciones definidas en superficies.

4.4 Superficies Definidas Implıcitamente

Definicion 4.4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una funcion diferenciable. Decimos que c ∈ Rn

es un valor regular de f si y solo si f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, ∀x ∈ f−1(c).

Observaciones:

1. De la definicion anterior se deduce que m ≥ n.

2. Si f−1(c) = ∅ entonces c es un valor regular de f .

Ejemplo 4.4.1 Si f : U ⊆ Rm → R es diferenciable entonces f ′(x) ∈ (Rm)∗ o es cero o es sobreyectiva.Luego c ∈ R es un valor regular de f si y solo si f ′(x) 6= 0, ∀ x ∈ f−1(c) si y solo si ∇f(x) 6= θ,∀x ∈ f−1(c).

Sea U ⊆ Rm un abierto y f = (f1, . . . , fn) : U → Rn diferenciable en U . Dado x ∈ U la matrizasociada a f ′(x) ∈ L(Rm,Rn) es dada por

Jf(x) =∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xm)

(x) =

∇f1(x)∇f2(x)

...∇fn(x)

∈ Rn×m

De esta manera f ′(x) ∈ L(Rm,Rn) es sobreyectiva si y solo si el rango de Jf(x) es n si y solo si∇f1(x), . . .∇fn(x) son linealmente independientes. Ası, hemos probado el siguiente criterio:“c ∈ Rn es un valor regular de f = (f1, . . . , fn) : U ⊆ Rm → Rn si y solo si ∇f1(x), . . .∇fn(x) sonlinealmente independientes para todo x ∈ f−1(c)”.

Analisis Real II 59

Ejemplo 4.4.2 Seaf : R3 → R2

(x, y, z) 7→ f(x, y, z) = (x2 + y2 − z2, x)

y sea c = (0, 1). Es claro que

f−1(c) = (x, y, z) ∈ R3 : x = 1, z2 − y2 = 1 (hiperbola)

Como

Jf(x, y, z) =[

2x 2y −2z1 0 0

]

se sigue que ∇f1(x) y f2(x) son linealmente independientes para todo x ∈ f−1(0, 1). Concluimos que(0, 1) es un valor regular de f . Por otro lado, si c = (0, 0) entonces

f−1(c) = (x, y, z) ∈ R3 : x = 0, y2 − z2 = 0 (dos rectas)

En particular (0, 0, 0) ∈ f−1(0, 1) y ∇f1(0, 0, 0) = (0, 0, 0) y ∇f2(0, 0, 0) = (1, 0, 0) no son linealmenteindependientes. Luego (0, 0) no es valor regular de f .

Ejemplo 4.4.3 Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ Ck(U ;Rn) entonces el grafico de f , definido por

G(f) = (x, f(x)) ∈ Rm × Rn; x ∈ U

es una superficie de dimension m y de clase Ck de Rm+n. En efecto, basta considerar el par (U,ϕ), donde

ϕ : U → G(f)x 7→ ϕ(x) = (x, f(x))

claramente ϕ es un homeomorfismo entre U y G(f), ademas

Jϕ(x) =[

IJf(x)

]

∈ R(m+n)×m

es una matriz de rango m, luego ϕ′(x) es inyectiva, para todo x ∈ U , es decir ϕ es una inmersion de claseCk, luego (U,ϕ) es una parametrizacion de dimension m y clase Ck de G(f).

Teorema 4.4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f ∈ Ck(U ;Rn) y c ∈ Rn un valor regular de f entonces

1. f−1(c) ⊆ Rm es una superficie de clase Ck y codimension n.

2. Tpf−1(c) = Nu (f ′(p)), ∀ p ∈ f−1(c)

Demostracion. 1.) Sea p = (p′, p′′) ∈ f−1(c), desde que f ′(p) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, por elTeorema de la funcion implıcita, existen abiertos Zp ⊆ U , Vp ⊆ Rm−n con p ∈ Zp, p′ ∈ Vp y existeξp : Vp → Rn funcion de clase Ck tal que

G(ξp) = (x, ξp(x)) : x ∈ Vp = Zp ∩ f−1(c)

Analisis Real II 60

Seaϕp : Vp → Zp ∩ f−1(c)

x 7→ ϕp(x) = (x, ξp(x))

luego como en el ejemplo anterior, (Vp, ϕp), es una parametrizacion de clase Ck y dimension m − n deZp ∩ f−1(c). Ası f−1(c) es una superficie de dimension m− n y clase Ck.

2.) Sea v ∈ Tpf−1(c) entonces existe λ : Iε(0) → f−1(c) diferenciable en 0 con λ(0) = p y λ′(0) = v.Desde que f λ(t) = c, ∀ t ∈ Iε(0), tenemos

0 = (f λ)′(0) = f ′(λ(0))(λ′(0)) = f ′(p)(v)

Luego v ∈ Nu (f ′(p)), es decir Tpf−1(c) ⊆ Nu (f ′(p)). Por otro lado se tiene que dim Tpf−1(c) = m− ny f ′(p) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, luego por algebra lineal

m = dimRm = dim Nu (f ′(p)) + dim Im (f ′(p)) = dim Nu (f ′(p)) + n

se sigue que dimNu (f ′(p)) = m− n. Ası Tpf−1(c) = Nu (f ′(p)), ∀ p ∈ f−1(c).

Ejemplo 4.4.4 (La esfera Sn definida implıcitamente) Sea

f : Rn → Rx 7→ f(x) = ‖x‖2 = x2

1 + · · ·+ x2n

Se sigue que ∇f(x) = 2x y por lo tanto 1 es valor regular de f . Como f−1(1) = Sn−1, se sigue que Sn−1

es una superficie de clase C∞ y codimension 1. Mas aun

TpSn−1 = Nu (f ′(p)) = h ∈ Rn : 〈p, h〉 = 0 = 〈p〉⊥ .

Ejemplo 4.4.5 (El Grupo Especial Lineal SL(Rn)) Definimos el conjunto

SL(Rn) = A ∈ GL(Rn) : det(A) = 1

Recordemos que det : Rn×n → R es una funcion de clase C∞ y ademas

det ′(A)(H) =n

∑

i=1

det(A1, . . . , Ai−1,Hi, Ai+1, . . . , An)

en donde

A =

A1

A2...

An

, H =

H1

H2...

Hn

, Ai = (ai1, . . . , ain) y Hi = (hi1, . . . , hin)

luego SL(Rn) = det−1(1). Afirmo que 1 es un valor regular de det : Rn×n → R. En efecto, dadoA ∈ det−1(1) entonces debo probar que det′(A) ∈ (Rn×n)∗ es sobreyectiva. Por el Ejemplo 4.4.1 es

Analisis Real II 61

suficiente probar que det′(A) 6= 0, ∀ A ∈ SL(Rn), ahora bien dado A ∈ SL(Rn) tenemos que det′(A)(A) =n det(A) = n concluimos que det(A) 6= 0 y esto prueba la afirmacion. Concluimos que SL(Rn) es unasuperficie de clase C∞ y dimension n2 − 1. Mas aun, desde que I ∈ SL(Rn), por el Teorema 4.4.1TI(SL(Rn)) = Nu (det′(I)). Pero

det ′(I)(H) =n

∑

i=1

det(e1, . . . , ei−1, Hi, ei+1, . . . , en) =n

∑

i=1

hii = traz(H)

Por lo tanto TI(SL(Rn)) = H ∈ Rn×n : traz(H) = 0.

Ejemplo 4.4.6 (El Grupo Ortogonal O(Rn)) Sea A = (aij) ∈ Rn×n, la matriz transpuesta de A,denotada por At es definida por At = (aji) ∈ Rn×n. Se cumplen las siguientes propiedades:

1. Att = A.

2. (A + B)t = At + Bt.

3. (cA)t = cAt.

4. (AB)t = BtAt.

5. It = I.

6. ‖At‖ = ‖A‖, ∀ A ∈ Rn×n.

7. A ∈ GL(Rn) si y solo si At ∈ GL(Rn) y en caso afirmativo (At)−1 = (A−1)t.

Una matriz A ∈ Rn×n se llama simetrica si y solo si At = A y se llama antisimetrica si y solo si At = −A.Denotemos

A(Rn) = A ∈ Rn×n : A es simetrica

yS(Rn) = A ∈ Rn×n : A es antisimetrica

Es facil probar que A(Rn) y S(Rn) son subespacios vectoriales de Rn×n y dim RS(Rn) =n2

(n + 1),

dim RA(Rn) =n2

(n− 1).

Dado A ∈ Rn×n se cumplen las siguientes propiedades:

1. AAt, A + At ∈ S(Rn).

2. A−At ∈ A(Rn).

3. A =12(A + At) +

12(A−At).

Observe que la ultima propiedad implica que Rn×n = S(Rn)⊕A(Rn).El grupo ortonormal de Rn, denotado por O(Rn) es definido por

O(Rn) = A ∈ Rn×n : AAt = I

Analisis Real II 62

Se cumple que O(Rn) es un subgrupo de GL(Rn) (¡Ejercicio!) Sea T ∈ L(Rn) se cumple que T es unaisometrıa (i.e. ‖T (x)−T (y)‖ = ‖x−y‖, ∀x, y ∈ Rn) si y solo si su matriz asociada con respecto a la basecanonica de Rn, es ortogonal (¡Ejercicio!). Vamos a probar que O(Rn) es una superficie de clase C∞ ydimension

n2

(n− 1). Consideremos la funcion

f : Rn×n → S(Rn) ' Rn2 (n+1)

X 7→ f(X) = XXt

Afirmo que f es diferenciable en Rn×n. En efecto, sea X ∈ Rn×n, para H ∈ Rn×n tenemos

f(X + H) = (X + H)(X + H)t = (X + H)(Xt + Ht) = XXt + XHt + HXt + HHt

= f(X) + T (H) + rX(H)

dondeT : Rn×n → S(Rn)

H 7→ T (H) = XHt + HXt

y rX(H) = HHt. Es claro que T ∈ L(Rn×n,S(Rn)), ademas

‖rX(H)‖‖H‖

=‖HHt‖‖H‖

≤ ‖H‖

luego limH→Θ

‖rX(H)‖‖H‖

= Θ. Concluimos que f es diferenciable en X y f ′(X)(H) = XHt +HXt, ∀ X, H ∈

Rn×n. Mas aun f es de clase C∞ (¡Ejercicio!). Afirmo que I es un valor regular de f . En efecto, seaX ∈ f−1(I) = O(Rn), debo probar que f ′(X) ∈ L(Rn×n,S(Rn)) es sobreyectiva. Dada B ∈ S(Rn)

considero A =12BX, luego

f ′(X)(A) =12XXtBt +

12BXXt =

12B +

12B = B

esto prueba la afirmacion. Se sigue que O(Rn) es una superficie de clase C∞ y dimensionn2

(n− 1). Mas

aun O(Rn) = f−1(I) es compacto. Por otro lado

A ∈ Nu (f ′(I)) ⇔ f ′(I) = 0 ⇔ IAt + AIt = 0 ⇔ A + At = 0 ⇔ A = −At

Se sigue que TI(O(Rn)) = Nu (f ′(I)) = A(Rn).

Sea f : U ⊆ Rm → Rn de clase Ck, sabemos que G(f) = (x, f(x)) : x ∈ U es una superficie, perono toda superficie es el grafico de una funcion (por ejemplo Sn−1 es una superficie que no es un grafico).Sin embargo, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 4.4.2 Toda superficie de clase Ck es localmente el grafico de una funcion de clase Ck.

Demostracion. ¡Ejercicio!

Analisis Real II 63

4.5 Multiplicadores de Lagrange

Definicion 4.5.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → R y X ⊆ U . Decimos que x0 ∈ A es un maximo local(respectivamente mınimo local) de f

∣

∣

X : X → R si y solo si ∃ δ > 0 tal que f(x) ≤ f(x0) (respectivamentef(x) ≥ f(x0)), ∀ x ∈ Bδ(x0) ∩X.

Definicion 4.5.2 Sea U ⊆ Rm un abierto, Mr ⊆ U una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : U → Runa funcion diferenciable en U . Decimos que p ∈ M es un punto crıtico de f

∣

∣

M : M → R si y solo si〈∇f(p), v〉 = 0, ∀ v ∈ TpM .

Teorema 4.5.1 Sea U ⊆ Rm abierto Mr ⊆ U una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : U → R unafuncion diferenciable en U . Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. p ∈ M es un punto crıtico de f∣

∣

M .

2. (f λ)′(0) = 0, para toda curva λ : Iε(0) → M diferenciable en 0 con λ(0) = p.

Demostracion. (2. ⇒ 1.) Sea v ∈ TpM , entonces existe λ : Iε(0) → M diferenciable en 0 con λ(0) = py λ′(0) = v, luego

〈∇f(p), v〉 = 〈∇f(λ(0)), λ′(0)〉 = ∇(f λ)(0) = 0

(1. ⇒ 2.) Sea λ : Iε(0) → M diferenciable en 0 con λ(0) = p, luego λ′(0) ∈ TpM y por la regla de lacadena

∇(f λ)(0) = 〈∇f(λ(0)), λ′(0)〉 = 〈∇f(p), v〉 = 0,

luego p ∈ M es un punto crıtico de f∣

∣

M .

Observacion: Cuando M = U un abierto se tiene que p es un punto crıtico de f si y solo si 〈∇f(p), v〉 = 0,∀ v ∈ TpU = Rm si y solo si f ′(p) = 0, la cual es la definicion usual de punto crıtico que se estudia en elcalculo.

Teorema 4.5.2 Sea U ⊆ Rm abierto Mr ⊆ U una superficie de clase Ck (k ≥ 1) y f : U → R unafuncion diferenciable en U . Si p ∈ M es un extremo local de f

∣

∣

M entonces p es un punto crıtico de f∣

∣

M .

Demostracion. Sea p ∈ M un maximo local de f∣

∣

M , entonces existe un δ > 0 tal que f(x) ≤ f(p),∀x ∈ Bδ(p) ∩ M . Considero λ : Iε(0) → Bδ(p) ∩ M diferenciable en 0, con λ(0) = p y consideremosf λIε(0) → R, entonces (f λ)(t) = f(λ(t)) ≤ f(p) = (f λ)(0), luego 0 es maximo local de f λ, luego(f λ)′(0) = 0 y por lo tanto p es un punto crıtico de f

∣

∣

M .

Es posible caracterizar los punto crıticos de una funcion f∣

∣

M : M → R cuando M es una superficieobtenida como preimagen de un valor regular. Para ello necesitamos un concepto previo.

Definicion 4.5.3 Sea Mr ⊆ Rm una superficie de clase Ck (k ≥ 1). El espacio normal a M en el puntop ∈ M , denotado por TpM⊥, es definido como

TpM⊥ = w ∈ Rm : 〈w, v〉 = 0, ∀ v ∈ TpM

Analisis Real II 64

Observaciones:

1. TpM⊥ es un subespacio vectorial de Rm.

2. dim TpM⊥ = m− r = cod(M).

3. Los elementos de TpM⊥ son llamados vectores normales a M en el punto p.

4. Cuando M es una superficie obtenida como preimagen de un valor regular, es sencillo determinar unabase de TpM⊥. En efecto, sea U ⊆ Rm un abierto, g ∈ Ck(U,Rn) (con k ≥ 1) y c = (c1, . . . , cn) ∈ Rn

un valor regular de g. Sabemos que M = g−1(c) ⊆ U es una superficie de clase Ck y dimensionm− n, mas aun TpM = Nu (g′(p)), ∀ p ∈ M . Mas aun, si g = (g1, . . . , gn) entonces dado v ∈ TpM ,existe λ : Iε(0) → M diferenciable en 0, con λ(0) = p y λ′(0) = v, observe que (gj λ)(t) = cj ,∀ t ∈ Iε(0), luego:

〈∇gj(p), v〉 = 〈∇gj(λ(0)), λ′(0)〉 = (gj λ)′(0) = 0, ∀ 1 ≤ j ≤ n

Por lo tanto 〈∇gj(p), v〉 = 0, ∀ v ∈ TpM , ∀ 1 ≤ j ≤ n, entonces ∇gj(p) ∈ TpM⊥, ∀ 1 ≤ j ≤ n.Pero desde que ∇g1(p), . . . ,∇gn(p) son linealmente independientes y dim TpM⊥ = n, concluimosel siguiente resultado: Si M = g−1(c) entonces

TpM⊥ = 〈∇g1(p),∇g2(p), . . . ,∇gn(p)〉 .

De la ultima observacion, se desprende inmediatamente el siguiente criterio para determinar puntoscrıticos.

Teorema 4.5.3 (Multiplicadores de Lagrange) Sea U ⊆ Rm abierto, g = (g1, . . . , gn) ∈ C1(U,Rn),f : U → R una funcion diferenciable en U , c ∈ Rn un valor regular de g y denotemos M = g−1(c). Secumple que p ∈ M es un punto crıtico de f

∣

∣

M : M → R si y solo si existen λ1, . . . , λn ∈ R tales que

∇f(p) = λ1∇g1(p) + λ2∇g2(p) + · · ·+ λn∇gn(p)

Demostracion. p ∈ M es un punto crıtico de f∣

∣

M : M → R si y solo si 〈∇f(p), v〉 = 0, ∀ v ∈ TpMsi y solo si ∇f(p) ∈ TpM⊥ = 〈∇g1(p),∇g2(p), . . . ,∇gn(p)〉 si y solo si existen λ1, . . . , λn ∈ R tales que∇f(p) = λ1∇g1(p) + · · ·+ λn∇gn(p).

Observacion. Los numero reales λ1, . . . , λn son llamados multiplicadores de Lagrange.

Ejemplo 4.5.1 Vamos a determinar los extremos locales de f(x, y, z) = x + y + z bajo las condiciones∣

∣

∣

∣

x2 + y2 = 2x + z = 1

Para ello, consideramos la funcion g : R3 → R2 definida por

g(x, y, z) = (g1(x, y, z), g2(x, y, z)) = (x2 + y2, x + z)

Analisis Real II 65

Claramente ∇g1(x, y, z) = (2x, 2y, 0) y ∇g2(x, y, z) = (1, 0, 1). Observe que

∇g1(x, y, z)×∇g2(x, y, z) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k2x 2y 01 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (2y,−2x,−2y)

Se sigue que ∇g1(x, y, z) y ∇g2(x, y, z) son linealmente dependientes si y solo si (2y,−2x,−2y) = (0, 0, 0)si y solo si x = 0 y y = 0. Como

M = g−1(2, 1) = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 2 y x + z = 1,

claramente (0, 0, z) /∈ g−1(2, 1). De aquı, (2, 1) es un valor regular de g y por consiguiente M ⊆ R3 es unasuperficie de dimension 1 y clase C∞. Por otro lado (x, y, z) es un punto crıtico de f

∣

∣

M : M → R si y solosi (x, y, z) ∈ M y existen constantes λ1, λ2 ∈ R tales que ∇f(x, y, z) = λ1∇g1(x, y, z) + λ2∇g2(x, y, z) siy solo si (x, y, z) ∈ M y existen constantes λ1, λ2 ∈ R tales que (1, 1, 1) = λ1(2x, 2y, 0) + λ2(1, 0, 1) si ysolo si ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2λ1x + λ2 = 12λ1y = 1λ2 = 1x2 + y2 = 2x + z = 1

Resolviendo el sistema anterior tenemos que los puntos crıticos de f son (0,√

2, 1) y (0,−√

2, 1).

Capıtulo 5

Integrales Multiples

5.1 La Definicion de Integral sobre m-bloques

Primeramente introducimos la notacion necesaria. Decimos que B ⊆ Rm es un bloque m-dimensional osimplemente m-bloque si y solo si B es producto cartesiano de m intervalos I1, . . . , Im, es decir

B = I1 × I2 × · · · × Im =m∏

i=1

Ii.

Si todo los intervalos Ii son abiertos (resp. cerrados, acotados, compactos, etc.), diremos que el m-bloque

B =m∏

i=1

Ii es abierto (resp. cerrado, acotado, compacto, etc.) Si todos los intervalos Ii tienen la misma

longitud, entonces B =m∏

i=1

Ii es llamado m- cubo.

Para propositos posteriores, vamos a admitir que uno o mas de los intervalos Ii conste de un solo

punto. En este caso, decimos que B =m∏

i=1

Ii es un m-bloque degenerado.

Si I ⊆ R es un intervalo acotado (es decir, del tipo [a, b], ]a, b[, ]a, b], [a, b[ o inclusive [a]), el volumenunidimensional o longitud vol (I) de I, se define por

vol (I) = b− a.

Si B =m∏

i=1

Ii es un m-bloque acotado, el volumen m-dimensional o simplemente volumen de B, denotado

por vol (B) se define como el producto de las longitudes de los intervalos Ii, es decir

vol (B) =m∏

i=1

vol (Ii).

66

Analisis Real II 67

Observaciones:

1. El volumen de un m-bloque degenerado es cero.

2. Si m = 1, 2, 3 entonces el m-bloque B se denomina respectivamente intervalo, rectangulo, pa-ralelepıpedo y su volumen vol (B) pasa a ser llamado longitud, area y volumen, respectivamente.

Sea B =m∏

i=1

Ii un m-bloque acotado, donde Ii es un intervalo de extremos ai, bi. Una cara (m− 1)-

dimensional o simplemente (m− 1)-cara de B es un producto cartesiano del tipo

I1 × · · · × Ik−1 × ak × Ik+1 × · · · × Im o I1 × · · · × Ik−1 × bk × Ik+1 × · · · × Im

donde k = 1, 2, . . . m.Para m = 1, 2, 3, una (m− 1)-cara es un extremo del intervalo, un lado del rectangulo o una cara del

paralelepıpedo.Es claro que toda (m− 1)-cara de un m-bloque, tiene volumen (m-dimensional) cero.De manera analoga se definen las (m − k)-caras (k = 2, . . . ,m) de un m-bloque. Las 0-caras son

llamadas vertices del m-bloque.

Definicion 5.1.1 Sea B =m∏

i=1

[a1, bi] un m-bloque compacto.

1. Una particion P de B es un producto cartesiano P = P1 × · · · × Pm donde Pi ∈ P([ai, bi]),∀ 1 ≤ i ≤ m. Denotaremos por P(B) al conjunto de todas las particiones del m-bloque cerrado B.

2. Sea P = P1 × · · · × Pm ∈ P(B). La norma de P , denotada por ‖P‖ es definida como

‖P‖ = max‖Pi‖ : 1 ≤ i ≤ m

3. Sean P = P1 × · · · × Pm, Q = Q1 × · · · ×Qm ∈ P(B). Decimos que Q es un refinamiento de P si ysolo si Pi ⊆ Qi, ∀ 1 ≤ i ≤ m.

Observaciones:

1. Sea P = P1 × · · · × Pm ∈ P(B) donde

Pi = ai = ti,0 < ti,1 < · · · < ti,ki = bi ∈ P([ai, bi]), (1 ≤ i ≤ m)

Si denotamos por Ii,ji = [ti,ji−1, ti,ji ] (1 ≤ ji ≤ ki) al ji-esimo intervalo generado por Pi ∈ P([ai, bi])entonces

I1,j1 × I2,j2 × · · · × Im,jm

es un m-bloque contenido en B, al cual denotaremos por Bj1,...,jm y llamaremos m-subbloquegenerado por P ∈ P(B). En muchas ocasiones es conveniente enumerar consecutivamente a estossubbloques y denotarlos por Bi, con 1 ≤ i ≤ k = k1 · · · km. En cualquier caso, escribiremos

Analisis Real II 68

P = Bj1,...,jm o P = Bi ∈ P(B) para decir que los Bj1,...,jm (o los Bi) son los subbloquesgenerados por la particion P . Es claro que

vol (B) =k

∑

i=1

vol (Bi).

2. Si P, Q ∈ P(B) entonces P ∪ Q no necesariamente es una particion de B. En efecto, considereP = 0, 1×0, 1/2, 1 y Q = 0, 1/2, 1×0, 1. Es claro que P y Q son particiones de [0, 1]×[0, 1],sin embargo P ∪Q no es una particion de [0, 1]× [0, 1].

3. Sean P = P1 × · · · × Pm, Q = Q1 × · · · ×Qm ∈ P(B), denotaremos

P + Q = (P1 ∪Q1) ∪ (P2 ∪Q2) ∪ · · · ∪ (Pm ∪Qm)

Es claro que P + Q ∈ P(B) y P + Q es un refinamiento comun de P y Q, (es decir P ⊆ P + Q yQ ⊆ P + Q).

Sea B =m∏

i=1

[a1, bi] un m-bloque compacto y f : B → R una funcion acotada, denotemos

m(f) = inff(x) : x ∈ B y M(f) = supf(x) : x ∈ B

Es claro que m(f) ≤ f(x) ≤ M(f), ∀ x ∈ B.Si P = Bi ∈ P(B), denotamos

mi(f) = inff(x) : x ∈ Bi y Mi(f) = supf(x) : x ∈ Bi

Se cumplem(f) ≤ mi(f) ≤ f(x) ≤ Mi(f) ≤ M(f), ∀ x ∈ B, ∀ i

La suma inferior y la suma superior de f relativa a la particion P se definen respectivamente como

L(f, P ) =∑

i

mi(f) vol (Bi) y U(f, P ) =∑

i

Mi(f) vol (Bi)

Es claro quem(f) vol (B) ≤ L(f, P ) ≤ U(f, P ) ≤ M(f) vol (B), ∀ P ∈ P(B)

La Integral Superior y la Integral Inferior de una funcion acotada f : B → R se definen respectivamentecomo

∫

Bf(x)dx = infU(f, P ) : P ∈ P(B)

∫

Bf(x)dx = supL(f, P ) : P ∈ P(B)

En muchas ocasiones, denotaremos∫

Bf y

∫

Bf en vez de

∫

Bf(x)dx y

∫

Bf(x)dx, respectivamente.

Analisis Real II 69

Teorema 5.1.1 Sea B un m-bloque cerrado, P,Q ∈ P(B) y f : B → R una funcion acotada. Si Q esun refinamiento de P entonces L(f, P ) ≤ L(f, Q) y U(f,Q) ≤ U(f, P ).

Demostracion. Sean P = P1 × · · · × Pm, Q = Q1 × · · · × Qm ∈ P(B) donde Q es un refinamiento deP , luego P1 ⊆ Q1, . . . , Pm ⊆ Qm. Es suficiente considerar el caso en que Q1 = P1 ∪ t∗, P2 = Q2, . . . ,Pm = Qm.

Sabemos que un m-subbloque de la particion P es del tipo

Bi1,i2,...,im = Ii1 × Ii2 × · · · × Iim = Ii1 ×Bi2,...,im = Ii1 ×BJ

donde J = (i2, . . . , im).Si P1 = a1 = t0 < . . . < tk1 = b1 entonces existe i ∈ 1, . . . , k1 tal que ti−1 < t∗ < ti, luego

Q1 = a1 = t0 < t1 < . . . < ti−1 < t∗ < ti < · · · < tkn = b1. De esta manera tenemos

P = Ii1 ×BJ ; 1 ≤ i1 ≤ k1, ∀ JQ = Ii1 ×BJ ; 1 ≤ i1 6= i ≤ k1, ∀ J ∪ [ti−1, t∗]×BJ , [t∗, ti]×BJ ; ∀ J

Si denotamos

m∗i,J(f) = inff(x) : x ∈ [ti−1, t∗]×BJ y m∗∗

i,J(f) = inff(x) : x ∈ [t∗, ti]×BJ

es claro que se cumplen las siguientes desigualdades

mi,J(f) ≤ m∗i,J (f),m∗∗

i,J (f)

y de aquı

mi,J(f) vol (Bi,J) = mi,J(f) vol (B∗i,J ) + mi,J (f) vol (B∗∗

i,J )

≤ m∗i,J (f) vol (B∗

i,J ) + m∗∗i,J (f) vol (B∗∗

i,J )

Luego:

L(f, P ) =∑

i1

∑

J

mi1,J(f) vol (Bi1,J)

=∑

J

∑

i1 6=i

mi1,J(f) vol (Bi1,J )

+∑

J

mi,J (f) vol (Bi,J )

≤∑

J

∑

i1 6=i

mi1,J(f) vol (Bi1,J)

+∑

J

[

m∗i,J (f) vol (B∗

i,J ) + m∗∗i,J(f) vol (B∗∗

i,J)]

= L(f, Q)

La otra desigualdad se demuetra de manera analoga.

Corolario 1. Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una funcion acotada. Se cumple

L(f, P ) ≤ U(f, Q) ∀ P, Q ∈ P(B).

Analisis Real II 70

Demostracion. Sean P,Q ∈ P(B), sabemos que P + Q ∈ P(B) es un refinamiento comun de P y Q.Del teorema anterior se tiene:

L(f, P ) ≤ L(f, P + Q) ≤ U(f, P + Q) ≤ U(f,Q)

Corolario 2. Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada y P0 ∈ P(B) (fija,arbitraria). Entonces

∫

Bf = infU(f, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0

∫

Bf = supL(f, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0

Demostracion. Probaremos solo la segunda igualdad, la demostracion de la primera es similar. Es claroque

A = L(f, P ) : P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 ⊆ L(f, P ) : P ∈ P(B)

Luego

sup A ≤∫

Bf

Supongamos que sup A <∫

Bf (Hip. Aux.) luego existe P1 ∈ P(B) tal que sup A < L(f, P1). Pero

P0 +P1 ∈ P(B) es un refinamiento de P0, luego L(f, P0 +P1) ≤ sup A < L(f, P1) ≤ L(f, P0 +P1) lo cuales absurdo. Esta contradiccion prueba el resultado.

Corolario 3. Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada. Se cumple:

L(f, P ) ≤∫

Bf ≤

∫

Bf ≤ U(f, P )

Demostracion. Es suficiente probar que∫

Bf ≤

∫

Bf . Del Corolario 1 tenemos L(f, P ) ≤ U(f, Q),

∀ P, Q ∈ P(B). Luego∫

Bf = supL(f, P ) : P ∈ P(B) ≤ U(f, Q), ∀ Q ∈ P(B)

De aquı se sigue el resultado.

Definicion 5.1.2 Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada. Decimos que f esRiemann integrable sobre B si y solo si

∫

Bf =

∫

Bf

Analisis Real II 71

Si f es integrable sobre B entonces la integral de Riemann sobre B, denotada por∫

Bf(x)dx o

∫

Bf se

define como∫

Bf =

∫

Bf =

∫

Bf

Denotaremos por R(B) al conjunto de todas las funciones Riemann integrables sobre B.

Observacion: Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada. Si f ∈ R(B) entoncespor el Corolario 3 se tiene que

L(f, P ) ≤∫

Bf ≤ U(f, P ) ∀ P ∈ P(B)

En efecto, esto se deduce inmediatamente del Corolario 3.

Teorema 5.1.2 Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una funcion acotada. Se cumple f ∈ R(B)si y solo si dado ε > 0, existe P = P (ε) ∈ P(B) tal que U(f, P )− L(f, P ) < ε.

Demostracion. (⇒) Por hipotesis∫

Bf =

∫

Bf =

∫

Bf

luego∫

Bf = infU(f, P ) : P ∈ P(B) = supL(f, P ) : P ∈ P(B)

Dado ε > 0, existe P1 ∈ P(B) tal que U(f, P1) <∫

Bf +

ε2

y existe P2 ∈ P(B) tal que∫

Bf− ε

2< L(f, P2).

Tomando P = P1 + P2 tenemos

U(f, P )− ε2≤ U(f, P1)−

ε2

<∫

Bf < L(f, P2) +

ε2≤ L(f, P ) +

ε2

Ası, existe P ∈ P(B) tal que U(f, P )− L(f, P ) < ε.

(⇐) Dado ε > 0, por hipotesis existe P = P (ε) ∈ P(B) tal que U(f, P )−L(f, P ) < ε. Por el Corolario 3al Teorema 5.1.1 tenemos que

0 ≤∫

Bf −

∫

Bf ≤ U(f, P )− L(f, P ) < ε

Se sigue que∫

Bf =

∫

Bf .

Existe otra caracterizacion de funcion Riemann integrable, la cual usa el concepto de oscilacion.

Definicion 5.1.3 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcion acotada. La oscilacion de f sobre el conjuntoX, denotada por ω(f,X) es definida como

ω(f, X) = sup|f(x)− f(y)| : x, y ∈ X

Analisis Real II 72

Proposicion 5.1.3 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcion acotada, se cumple:

1. Si mX(f) = inff(x) : x ∈ X y MX(f) = supf(x) : x ∈ X entonces

ω(f, X) = MX(f)−mX(f)

2. Si Y ⊆ X entonces ω(f, Y ) ≤ ω(f, X).

3. Si P = Bi ∈ P(B) entonces U(f, P )− L(f, P ) =∑

i

ω(f,Bi) vol (Bi)

Demostracion. 1.) Sean x, y ∈ X, cosideremos dos casos: Si f(x) ≥ f(y) entonces |f(x) − f(y)| =f(x)− f(y) ≤ MX(f)−mX(f).Si f(x) < f(y) entonces |f(x)− f(y)| = f(y)− f(x) ≤ MX(f)−mX(f).En cualquier caso se tiene que |f(x)− f(y)| ≤ MX(f)−mX(f), ∀ x, y ∈ X, es decir ω(f,X) ≤ MX(f)−mX(f).

Supongamos que ω(f, X) < MX(f)−mX(f) (Hip. Aux.) entonces ω(f, X)+mX(f) < MX(f), luegoexiste un x0 ∈ X tal que ω(f, X) + mX(f) < f(x0), se sigue que mX(f) < f(x0)− ω(f, X), luego existeun y0 ∈ X tal que f(y0) < f(x0)− ω(f,X). Ası

ω(f, X) < f(x0)− f(y0) ≤ |f(x0)− f(y0)| ≤ ω(f,X)

lo cual es una contradiccion. La parte 2.) es evidente.

3.) De la definicion y la parte 1, tenemos

U(f, P )− L(f, P ) =∑

i

Mi(f) vol (Bi)−∑

i

mi(f) vol (Bi) =∑

i

[Mi(f)−mi(f)] vol (Bi)

=∑

i

ω(f,Bi) vol (Bi)

lo cual prueba el resultado.

Corolario. Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada. Se cumple f ∈ R(B) si ysolo si dado ε > 0, existe P = P (ε) = Bi ∈ P(B) tal que

∑

i

ω(f, Bi) vol (Bi) < ε.

Demostracion. Consecuencia directa del Teorema 5.1.2 y la parte 3 de la proposicion anterior.

Teorema 5.1.4 Si B un m-bloque compacto entonces C(B) ⊆ R(B).

Demostracion. Sea f ∈ C(B) entonces f es u. c. en B, luego dado ε > 0 ∃ δ > 0 tal que si x, y ∈ B y‖x− y‖ < δ entonces |f(x)− f(y)| < ε

2 vol (B).

Si tomamos P = Bi ∈ P(B) con ‖P‖ <δ√m

, para x, y ∈ Bi se cumple

‖x− y‖2 =m

∑

j=1

|xj − yj |2 <m

∑

j=1

‖Pj‖2 ≤ m‖P‖2 < δ2

Analisis Real II 73

Luego |f(x) − f(y)| <ε

2 vol (B), ∀ x, y ∈ Bi lo cual implica que ω(f,Bi) <

εvol (B)

y por lo tanto∑

i

ω(f,Bi) vol (Bi) < ε. De esta manera f ∈ R(B).

5.2 Propiedades Basicas de la Integral sobre m-Bloques Com-pactos

Teorema 5.2.1 Si B un m-bloque compacto y

f : B → Rx 7→ f(x) = 1

entonces f ∈ R(B) y∫

B1 = vol (B)

Demostracion. Dado P = Bi ∈ P(B), se cumple

L(1, P ) =∑

i

vol (Bi) = vol (B) y U(1, P ) =∑

i

vol (Bi) = vol (B).

Se sigue que f ∈ R(B) y∫

B1 = vol (B).

Teorema 5.2.2 Si B un m-bloque compacto, f ∈ R(B) y c ∈ R. Entonces cf ∈ R(B) y∫

Bcf = c

∫

Bf

Demostracion. Sea P = Bi ∈ P(B). Si c ≥ 0 entonces

mi(cf) = inf(cf)(x) : x ∈ Bi = c · inff(x) : x ∈ Bi = c ·mi(f)

Analogamente Mi(cf) = c ·Mi(f). Luego

L(cf, P ) =∑

i

mi(cf) vol (Bi) = c∑

i

mi(f) vol (Bi) = c L(f, P )

Analogamente U(cf, P ) = cU(f, P ). Por lo tanto∫

Bcf = supL(cf, P ); P ∈ P(B) = c · supL(f, P ); P ∈ P(B) = c

∫

Bf = c

∫

Bf

Analogamente∫

Bcf = c

∫

Bf . Se sigue que cf ∈ R(B) y

∫

Bcf = c

∫

Bf .

Analisis Real II 74

Lema 5.2.1 Si B un m-bloque compacto y f, g : B → R son funciones acotadas entonces se cumple

1.∫

B(f + g) ≥

∫

Bf +

∫

Bg.

2.∫

B(f + g) ≤

∫

Bf +

∫

Bg.

Demostracion. 1.) Sea P = Bi ∈ P(B). Dado x ∈ Bi se cumple

mi(f) + mi(g) ≤ f(x) + g(x) = (f + g)(x)

luegomi(f) + mi(g) ≤ mi(f + g), ∀ i

Por tanto

L(f + g, P ) =∑

i

mi(f + g) vol (Bi) ≥k

∑

i

mi(f) vol (Bi) +∑

i

mi(g) vol (Bi)

= L(f, P ) + L(g, P ), ∀ P ∈ P(B)

Sean P1, P2 ∈ P(B) y P = P1 + P2, luego

L(f, P1) + L(g, P2) ≤ L(f, P ) + L(g, P ) ≤ L(f + g, P ) ≤∫

B(f + g)

Se sigue que∫

B(f + g) ≥

∫

Bf +

∫

Bg.

Teorema 5.2.3 Si B un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces f + g ∈ R(B) y∫

B(f + g) =

∫

Bf +

∫

Bg

Demostracion. Por hipotesis y el lema anterior∫

Bf +

∫

Bg =

∫

Bf +

∫

Bg ≤

∫

B(f + g) ≤

∫

B(f + g) ≤

∫

Bf +

∫

Bg =

∫

Bf +

∫

Bg

Se sigue que f + g ∈ R(B) y∫

B(f + g) =

∫

Bf +

∫

Bg.

Observacion: Los resultados anteriores nos dice que R(B) es un R-espacio vectorial y el operador

Γ : R(B) → Rf 7→ Γ(f) =

∫

Bf

es un funcional lineal.

Analisis Real II 75

Teorema 5.2.4 Si B un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) tales que f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ B entonces∫

Bf ≤

∫

Bg

Demostracion. Sea P = Bi ∈ P(B). Para x ∈ Bi se cumple que mi(f) ≤ f(x) ≤ g(x), luegomi(f) ≤ mi(g). Se sigue que

L(f, P ) =∑

i

mi(f) vol (Bi) ≤∑

i

mi(g) vol (Bi) = L(g, P ) ≤∫

Bg =

∫

Bg, ∀ P ∈ P(B)

esto implica que∫

Bf ≤

∫

Bg.

Observaciones:

1. Si B un m-bloque compacto y f ∈ R(B) es tal que f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ B entonces∫

Bf ≥ 0.

2. El operador Γ : R(B) → R es monotono, es decir si f, g ∈ R(B) con f ≤ g entonces Γ(f) ≤ Γ(g).

Definicion 5.2.1 Sea X ⊆ Rm y f, g : X → R

1. El maximo de f y g, y el mınimo de f y g son las funciones maxf, g,minf, g : X → R definidaspor

maxf, g(x) = maxf(x), g(x) y minf, g(x) = minf(x), g(x), ∀ x ∈ X

2. La parte positiva de f y la parte negativa de f , denotadas respectivamente por f+, f− son lasfunciones f+, f− : X → R definidas por

f+ = maxf, 0 y f− = −minf, 0

Observaciones:

1. De las definiciones de maximo y mınimo se sigue directamente que:

maxf, g =12(f + g + |f − g|) y minf, g =

12(f + g − |f − g|)

luego

f+ =12(f + |f |) y f− =

12(|f | − f)

2. f+ y f− son funciones no negativas.

3. f = f+ − f−.

4. |f | = f+ + f−.

Analisis Real II 76

5. f ≥ 0 ⇒ f+ = f y f− = 0.

6. f ≤ 0 ⇒ f+ = 0 y f− = −f .

7. f+ · f− = 0.

Lema 5.2.2 Si B un m-bloque compacto y f : B → R una funcion acotada entonces se cumple

U(f, P )− L(f, P )=[U(f+, P )− L(f+, P )] + [U(f−, P )− L(f−, P )], ∀ P ∈ P(B)

Demostracion. Sea P = Bi ∈ P(B). Afirmo que

Mi(f)−mi(f) = Mi(f+)−mi(f+) + Mi(f−)−mi(f−)

En efecto, consideremos tres casos:

Caso 1: mi(f) ≥ 0. Se cumple Mi(f+) = Mi(f), mi(f+) = mi(f), Mi(f−) = mi(f−) = 0 y la igualdadse cumple trivialmente.

Caso 2: Mi(f) ≤ 0. Se cumple Mi(f+) = mi(f+) = 0 y Mi(f−) = −mi(f), mi(f−) = −Mi(f), ynuevamente la igualdad se cumple trivialmente.

Caso 3: mi(f) < 0 < Mi(f). En este caso Mi(f+) = Mi(f), mi(f+) = 0, Mi(f−) = −mi(f) ymi(f−) = 0, luego

Mi(f)−mi(f) = Mi(f+) + Mi(f−) = Mi(f+)−mi(f+) + Mi(f−)−mi(f−)

lo cual prueba la afirmacion.Multiplicando la igualdad por vol (Bi) y sumando sobre i, el lema se sigue.

Teorema 5.2.5 Si B es un m-bloque compacto y f : B → R es una funcion acotada, se tiene

f ∈ R(B) ⇐⇒ f+, f− ∈ R(B)

Demostracion. (⇒) Dado ε > 0, existe un P ∈ P(B) tal que U(f, P ) − L(f, P ) < ε. Por el lemaanterior

U(f+, P )− L(f+, P ) ≤ U(f, P )− L(f, P ) < ε y U(f−, P )− L(f−, P ) ≤ U(f, P )− L(f, P ) < ε

Luego f+, f− ∈ R(B).

(⇐) Si f+, f− ∈ R(B) entonces f = f+ − f− ∈ R(B).

Corolario. Si B es un m-bloque compacto y f, g ∈ R(B) entonces

1. |f | ∈ R(B) y∣

∣

∣

∣

∫

Bf∣

∣

∣

∣

≤∫

B|f |

Analisis Real II 77

2. maxf, g, minf, g ∈ R(B) y∫

Bmaxf, g ≥ max

∫

Bf,

∫

Bg

,∫

Bminf, g ≤ min

∫

Bf,

∫

Bg

Demostracion. Como f ∈ R(B) entonces f+, f− ∈ R(B), luego |f | = f+ + f− ∈ R(B). Por otro lado,desde que −|f | ≤ f ≤ |f |, se tiene que

−∫

B|f | ≤

∫

Bf ≤

∫

B|f |

De aquı, el resultado se sigue. La prueba de 2) es similar.

Teorema 5.2.6 Sea B un m-bloque compacto y f : B → R una funcion acotada. Si f ∈ R(B) entoncesf2 ∈ R(B).

Demostracion. Primeramente, consideremos el caso en que f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ B. Sea P = Bi ∈P(B), dado x ∈ Bi, se cumple f(x) ≤ Mi(f), luego f2(x) ≤ Mi(f)2 y por tanto Mi(f2) ≤ Mi(f)2.Analogamente mi(f2) ≥ mi(f)2. Por lo tanto

U(f2, P )− L(f2, P ) =∑

i

[Mi(f)2 −mi(f2)] vol (Bi) =∑

i

[Mi(f) + mi(f)][Mi(f)−mi(f)] vol (Bi)

≤ 2M∑

i

[Mi(f)−mi(f)] vol (Bi) = 2M [U(f, P )− L(f, P )], ∀ P ∈ P(B)

donde |f(x)| < M , ∀ x ∈ B. Dado ε > 0, como f ∈ R(B), existe P ∈ P(B) tal que U(f, P )− L(f, P ) <ε

2M. Se sigue que U(f2, P )− L(f2, P ) < ε y por lo tanto f2 ∈ R(B).

En el caso general, tenemos

f2 = (f+ − f−)2 = (f+)2 − 2f+f− + (f−)2 = (f+)2 + (f−)2

Como f ∈ R(B) entonces f+, f− ∈ R(B) y por lo tanto (f+)2, (f−)2 ∈ R(B). Ası f2 = (f+)2 +(f−)2 ∈R(B).

Corolario. Sea B un m-bloque compacto y f, g : B → R funciones acotadas. Si f, g ∈ R(B) entoncesfg ∈ R(B).

Demostracion. Es inmediato, puesto que fg =14(f + g)2 − 1

4(f − g)2.

Observacion: Si B es un m-bloque compacto entonces R(B) es un algebra.

Definicion 5.2.2 Sea X ⊆ Rm. La funcion caracterıstica de X, denotada por 1X es definida por

1X : Rm → R

x 7→ 1X (x) =

1, si x ∈ X0, si x ∈ Rm −X

Analisis Real II 78

Observacion: Se cumplen los siguientes resultados

1. 1X es discontinua en x si y solo si x ∈ ∂X.

2. Si Y ⊆ X entonces 1Y ≤ 1X .

3. 1X∪Y ≤ 1X + 1Y .

4. 1X∪Y + 1X∩Y = 1X + 1Y .

Teorema 5.2.7 Si A,B son m-bloques compactos con A ⊆ int (B) entonces 1A ∈ R(B) y∫

B1A = vol (A)

Demostracion. Sea P0 ∈ P(B) particion que contiene a A como subbloque. Dado P = Bi ∈ P(B)refinamiento de P0, denotemos por I al conjunto de ındices i tales que Bi ⊆ A. Se cumple:

L(1A, P ) =∑

i

mi(1A) vol (Bi) =∑

i∈I

vol (Bi) = vol(A)

U(1A, P ) =∑

i

Mi(1A) vol (Bi) ≥∑

i∈I

vol (Bi) = vol (A)

Se sigue que∫

B1A = supL(1A, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 = vol (A)

∫

B1A = infU(1A, P ); P ∈ P(B) y P es refinamiento de P0 ≥ vol (A)

Sea A′ m-bloque compacto tal que A ⊆ int (A′) ⊆ B y fijemos Q0 ∈ P(B) particion que contiene a A′

como subbloque. Dado P = Bi ∈ P(B) refinamiento de Q0, se cumple:

U(1A, P ) =∑

i

Mi(1A) vol (Bi) ≤ vol (A′)

Se sigue que

vol (A) ≤∫

B1A ≤ vol (A′)

Tomando A′ con volumen suficientemente proximo del volumen de A, el resultado se sigue.

5.3 Conjuntos de Medida Cero

Definicion 5.3.1 Decimos que X ⊆ Rm tiene medida m-dimensional cero o simplemente m-medida cero,si y solo si para todo ε > 0, existe una familia numerable Ckk∈N de m-cubos abiertos y acotados talesque

Analisis Real II 79

1. X ⊆∞⋃

k=1

Ck.

2.∞∑

k=1

vol (Ck) < ε.

Observaciones:

1. Todo conjunto unitario de Rm tiene m-medida cero.

2. Todo subconjunto finito de puntos de Rm tiene m-medida cero.

3. Todo subconjunto de un conjunto de m-medida cero tiene m-medida cero.

4. La union de una familia finita de conjuntos de m-medida cero tiene m-medida cero.

5. En la definicion anterior podemos reemplazar m-cubos abiertos por m-cubos cerrados, m-bloquescerrados, m-bloques abiertos, bolas abiertas o bolas cerradas de Rm.

Proposicion 5.3.1 Si Xkk∈N es una familia numerable de subconjuntos de Rm que tienen m-medida

cero, entonces X =∞⋃

k=1

Xk tiene m-medida cero.

Demostracion. Sea ε > 0, dado j ∈ Z+ (fijo, arbitrario), existe Cj,k coleccion numerable de m-cubos

abiertos tales que Xj =∞⋃

k=1

Cj,k y

∞∑

k=1

vol (Cj,k) <ε

2j+1 .

Considero Cj,kj,k∈N coleccion numerable de m-cubos abiertos, la cual satisface:

1. X ⊆∞⋃

j,k=1

Cj,k.

2. Sea F ⊆ N×N conjunto finito entonces existe k0 ∈ N tal que si (j, k) ∈ F entonces j, k ≤ k0. Luego

∑

(j,k)∈F

vol (Cj,k) ≤k0∑

j=1

(

k0∑

k=1

vol (Cj,k)

)

<k0∑

j=1

ε2j+1 <

ε2

se sigue que∞∑

j,k=1

vol (Cj,k) ≤ ε2

< ε

Analisis Real II 80

Concluimos que X tiene m-medida cero.

Observaciones:

1. Todo subconjunto numerable de Rm tiene m-medida cero.

2. N, Z y Q tienen medida unidimensional cero.

Lema 5.3.1 Sea B un m-bloque acotado. Si Cjj∈N es una familia numerable de m-cubos abiertos yacotados tales que B ⊆

⋃

j∈NCj entonces

vol (B) ≤∑

j,1

vol (Cj)

Demostracion. En primer lugar, consideramos B m-bloque cerrado, luego es compacto. Como B ⊆⋃

j∈NCj y Cj son m-cubos abiertos, tenemos que existen j1, . . . , jk ∈ N tales que B ⊆

k⋃

i=1

Cji . Sea B un

m-bloque compacto tal quek

⋃

i=1

Cji ⊆ B, entonces 1B ≤ 1 kS

i=1Cji

! ≤k

∑

i=1

1Cji

. Se sigue que

vol (B) =∫

B1B ≤

k∑

i=1

∫

B1

Cji=

k∑

i=1

vol (Cji) ≤∑

j,1

vol (Cj)

Si B es un m-bloque acotado cualquiera, entonces no es difıcil ver (¡Ejercicio!) que

vol (B) = sup vol (A) : A ⊆ B,A es un m-bloque compacto

Luego si A ⊆ B es un m-bloque compacto, por la primera parte tenemos que vol (A) ≤∑

j,1

vol (Cj) y

por la definicion de supremo, tenemos vol (B) ≤∑

j,1

vol (Cj).

Teorema 5.3.2 Sea B un m-bloque acotado. B tiene m-medida cero si y solo si B es degenerado.

Demostracion. (⇒) Sea B un m-bloque B de m-medida cero y supongamos que B es no degenerado(Hip. Aux.). Como vol (B) > 0 existe una coleccion numerable Cjj∈N de m-cubos abiertos tales que

B ⊆∞⋃

j∈NCj y

∞∑

j=1

vol (Cj) < vol (B), pero por el lema anterior

vol (B) ≤∑

j,1

vol (Cj) < vol (B)

lo cual es una contradiccion.

Analisis Real II 81

(⇐) Sea B un m-bloque degenerado. Es suficiente considerar B del tipo

B = I1 × · · · × Im−1 × a = B′ × a

donde I1, . . . , Im−1 son intervalos acotados no degenerados. Dado ε > 0 para j ∈ N, consideramos

Bj = B′×[

a− ε′

2j , a +ε′

2j

]

, (con ε′ > 0 dependiente de ε a elegir). Claramente Bjj∈N es una coleccion

de m-bloques cerrados tales que B ⊆⋃

j∈NBj y

∞∑

j=1

vol (Bj) =∞∑

j=1

vol (B′)ε′

2j−1 = 2 vol (B′)ε′

Si tomamos ε′ <ε

2 vol (B′), concluimos que B tiene m-medida cero.

Corolario. Si U ⊆ Rm es abierto y p ∈ Rn entonces U × p ⊆ Rm+n tiene (m + n)-medida cero.

Demostracion. Sea Cjj∈N coleccion de m-cubos tales que U ⊆⋃

j∈NCj , luego U×p ⊆

⋃

j∈N(Cj×p).

Por el teorema anterior el cubo degenerado Cj × p tiene (m + n)-medida cero y de aquı, el resultadose sigue.

Observaciones:

1. En la categorıa de los m-bloques degenerados, tener m-medida cero es equivalente a tener volumencero.

2. Las (m− k)-caras de los m-bloques tienen m-medida cero.

3. Sea X ⊆ Rm de m-medida cero entonces int (X) = ∅. El recıproco de este resultado es falso comose muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.3.1 (Conjunto de Cantor de medida positiva) Vamos a construir inductivamente unconjunto compacto X ⊆ [0, 1] de interior vacıo pero de 1-medida positiva. Para ello tomemos a ∈ ]0, 1/2[ ,se cumple

∞∑

n=1

an =1

1− a− 1 < 1,

tomemos δ = 1 −∞∑

n=1

an > 0. En la primera etapa de construccion de X, del intervalo [0, 1] retiramos

el intervalo abierto J1 de centro 1/2 y longitud a, quedando [0, 1]− J1 el cual es union de dos intervaloscerrados disjuntos. En la segunda etapa, de cada uno de los dos intervalos restantes de la etapa anterior,

retiramos el intervalo abierto (centrado en el centro de cada uno de los intervalos) y de longituda2

2,

denotemos J2,1 y J2,2 a estos intervalos y por J2 a su union. Queda entonces el conjunto [0, 1]− J1 − J2

el cual consta de 4 intervalos. Prosiguiendo inductivamente, en la etapa k tenemos el conjunto [0, 1] −J1 − · · · − Jk el cual consta de 2k intervalos disjuntos y se cumple

Js = Js,1 ∪ · · · ∪ Js,2s−1 , s = 2, . . . k

Analisis Real II 82

siendo la union disjunta y cada Js,i tiene longitudas

2s−1 , luego Js tiene longitud as.

Definimos X = [0, 1] −⋃

s∈NJs. Por construccion X es compacto, no puede contener ningun intervalo

(es decir int (X) = ∅) y ademas, afirmo que X no tiene m-medida cero. En efecto, en primer lugar observeque

∞∑

s=1

2s−1∑

j=1

vol (Js,j) =∞∑

s=1

as = 1− δ.

Si X tuviera m-medida cero (Hip. Aux.) entonces existirıa Cj familia numerable de intervalos abiertos

tal que X ⊆⋃

j∈NCj y

∞∑

j=1

vol (Cj) < δ. Pero

[0, 1] = X⋃

([0, 1]−X) ⊆

⋃

j∈NCj

⋃

(

⋃

s∈NJs

)

Por el Lema 5.3.1:

1 = vol ([0, 1]) ≤∞∑

j=1

vol (Cj) +∞∑

s=1

2s−1∑

j=1

vol (Js,j) < δ + (1− δ) = 1

lo cual es una contradiccion.

Proposicion 5.3.3 Sea X ⊆ Rm. Si para cada ε > 0 existe Y = Yε ⊆ Rm de m-medida cero y existeuna coleccion numerable de m-cubos abiertos y acotados Cjj∈N tales que

1.∞∑

j=1

vol (Cj) < ε.

2. X ⊆

∞⋃

j=1

Cj

⋃

Y .

Entonces X tiene m-medida cero.

Demostracion. Dado ε > 0, por hipotesis existe una coleccion numerable de m-cubos abiertos y acotadosCjj∈N tales que se satisfacen las dos condiciones anteriores. Como Y tiene m-medida cero, existe una

coleccion numerable de m-cubos abiertos y acotados C ′kk∈N tales que Y ⊆∞⋃

k=1

C ′k y∞∑

k=1

vol (C ′k) <ε2.

Considerando la coleccion numerable de m-cubos abiertos y acotados Cj , C ′k : j, k ∈ N, se cumple que

X ⊆

∞⋃

j=1

Cj

⋃

( ∞⋃

k=1

C ′k

)

Analisis Real II 83

y∞∑

j=1

vol (Cj) +∞∑

k=1

vol (C ′k) < ε

es decir X tiene m-medida cero.

Sea X un conjunto de m-medida cero y f : X → Rm ¿Bajo que condiciones f(X) tiene m-medidacero? Para responder esta interrogante, necesitamos una definicion.

Definicion 5.3.2 Sea X ⊆ Rm y f : X → Rn. Decimos que f es localmente Lipschitz en X si y solo sipara todo x ∈ X existe Vx ⊆ Rm vecindad abierta de X tal que la restriccion f

∣

∣

X∩Vx: X ∩ Vx → Rn es

Lipschitz en X ∩ Vx.

Proposicion 5.3.4 Si X ⊆ Rm tiene m-medida cero y f : X → Rm es localmente Lipschitz en Xentonces f(X) tiene m-medida cero.

Demostracion. Primeramente, consideremos el caso en que f es Lipschitz en X. Luego existe K > 0tal que si x, y ∈ X entonces ‖f(x)− f(y)‖ ≤ K‖x− y‖.

Como X tiene m-medida cero, dado ε > 0 existe una familia numerable Ckk∈N de m-cubos tales que

X ⊆∞⋃

k=1

Ck y∞∑

k=1

vol (Ck) <ε

(√

mK)m . Si `k es la longitud de la arista del m-cubo Ck entonces dados

y1, y2 ∈ f(X ∩ Ck), existen x1, x2 ∈ X ∩ Ck tales que f(x1) = y1 y f(x2) = y2, luego para 1 ≤ i ≤ mtenemos

|πi(y1)− πi(y2)| ≤ ‖y1 − y2‖ = ‖f(x1)− f(x2)‖ ≤ K‖x1 − x2‖ ≤ K√

m`k

Se sigue que y1, y2 ∈ Dk donde Dk es un m-cubo cuya arista tiene longitud K√

m`k, es decir f(X∩Ck) ⊆Dk, ∀ k ∈ N, luego

f(X) = f

(

X ∩∞⋃

k=1

Ck

)

= f

( ∞⋃

k=1

X ∩ Ck

)

=∞⋃

k=1

f(X ∩ Ck) ⊆∞⋃

k=1

Dk

Ademas∞∑

k=1

vol (Dk) =∞∑

k=1

(√

mK)m`mk = (

√mK)m

( ∞∑

k=1

vol (Ck)

)

< ε

Esto prueba que f(X) tiene m-medida cero.En el caso que f es localmente Lipschitz, dado x ∈ X existe Vx ⊆ Rm vecindad abierta de X tal que

la restriccion f∣

∣

X∩Vx: X ∩ Vx → Rm es Lipschitz en X ∩ Vx. Como X ⊆

⋃

x∈X

Vx, por Lindelof existen

x1, x2, . . . tales que X ⊆∞⋃

k=1

Vxk . Por la primera parte f(X ∩ Vxk) tiene m-medida cero, ∀ k ∈ N y desde

que

f(X) = f

(

X ∩∞⋃

k=1

Vxk

)

=∞⋃

k=1

f(X ∩ Vxk)

Analisis Real II 84

se sigue que f(X) tiene m-medida cero.

El resultado siguiente establece que la mayorıa de funciones de Rm a Rm que conocemos conserva lam-medida cero.

Corolario. Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ C1(U,Rm). Si X ⊆ U tiene m-medida cero entonces f(X) tienem-medida cero.

Demostracion. Es suficiente probar que f es localmente Lipschitz. Sea x ∈ X, existe un ε = εx > 0 talque Bε[x] ⊆ U . Denotemos

Kx = sup‖f ′(y)‖ : y ∈ Bε[x]

Por la desigualdad del valor medio

‖f(y)− f(x)‖ ≤ Kx‖y − z‖ ∀ y, z ∈ Bε[x]

es decir, f es localmente Lipschitz.

Proposicion 5.3.5 Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ C1(U,Rn) donde m < n entonces f(U) tiene n-medidacero.

Demostracion. Sea W = U × Rn−m ⊆ Rn y defino

g : W → Rn

(x, y) 7→ g(x, y) = f(x)

Se sigue que g ∈ C1(U,Rn) y g(U ×0) = f(U). Por el corolario al Teorema 5.3.2 tenemos que U ×0tiene n-medida cero luego f(U) = g(U × 0) tiene n-medida cero.

Observaciones:

1. Si I ⊆ R es un intervalo abierto tal que [0, 1] ⊆ I y f ∈ C1(I,Rn) entonces f([0, 1]) tiene n-medidacero, luego int (f([0, 1])) = ∅. Se deduce que en clase C1 no existen curvas de Peano.

2. La propiedad de que un conjunto tenga medida cero es preservada por funciones de clase C1.

5.4 Caracterizacion de las Funciones Riemann Integrables

En la presente seccion, daremos condiciones necesarias y suficientes para que una funcion acotada f :B → R, en donde B es un m-bloque compacto, sea Riemann integrable sobre B. Para ello, necesitamosalgunos resultados previos.

Sea X ⊆ Rm y f : X → R funcion acotada. Recordemos que la oscilacion de f en X se definio como

ω(f, X) = sup|f(x)− f(y)| : x, y ∈ X

y satisfacıa las siguientes propiedades:

1. Si MX(f) = supf(x) : x ∈ X y mX(f) = f(x) : x ∈ X entonces ω(f, X) = MX(f)−mX(f).

Analisis Real II 85

2. Si Y ⊆ X entonces ω(f, Y ) ≤ ω(f, X).

3. f ∈ R(B) si y solo si dado ε > 0, existe P = Pε = Bi ∈ P(B) tal que

U(f, P )− L(f, P ) =∑

i

ω(f ; Bi) vol (Bi) < ε

Nos proponemos definir la oscilacion de una funcion en un punto x ∈ XDado x ∈ X, definimos

Ωx : ]0, +∞[ → Rδ 7→ Ωx(δ) = ω(f, X ∩Bδ(x))

Esta funcion satisface las siguientes propiedades:

1. Ωx es acotada. En efecto, dado δ > 0 se tiene

Ωx(δ) = ω(f, X ∩Bδ(x)) ≤ ω(f, X) = MX(f)−mX(f)

2. Ωx es una funcion monotona creciente. En efecto dados δ1 < δ2 entonces

Ωx(δ1) = ω(f, X ∩Bδ1(x)) ≤ ω(f, X ∩Bδ2(x)) = Ωx(δ2).

Como 0 es punto de acumulacion a derecha de ]0,+∞[ , tenemos

limδ→0+

Ωx(δ) = infΩx(δ) : δ > 0 = infω(f,X ∩Bδ(x)); δ > 0

Definicion 5.4.1 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcion acotada. La oscilacion de f en el punto x,denotada por ω(f, x) se define como

ω(f, x) = infω(f,X ∩Bδ(x)); δ > 0

Teorema 5.4.1 Sea X ⊆ Rm y f : X → R una funcion acotada. Se cumplen las siguientes propiedades:

1. ω(f, x) ≥ 0, ∀ x ∈ X.

2. ω(f, x0) = 0 si y solo si f es continua en x0.

3. Si x ∈ int (Y ) e Y ⊆ X entonces ω(f, x) ≤ ω(f, Y ). En particular, si x ∈ int (X) entoncesω(f, x) ≤ ω(f, X).

4. Si ω(f, x0) < c entonces ∃ δ > 0 tal que ω(f, x) < c, ∀ x ∈ X ∩Bδ(x0).

5. Si X ⊆ Rm es cerrado (respectivamente compacto) entonces el conjunto x ∈ X : ω(f, x) ≥ c escerrado (respectivamente compacto), para todo c ≥ 0.

Analisis Real II 86

Demostracion. 2.) (⇒) Si ω(f, x0) = 0 entonces infω(f, X ∩ Bδ(x0)) : δ > 0 = 0, luego dado ε > 0existe un δ > 0 tal que ω(f, X ∩Bδ(x0)) < ε, luego |f(x)− f(y)| < ε, ∀ x, y ∈ X ∩Bδ(x0). En particularsi x ∈ X y ‖x− x0‖ < δ entonces |f(x)− f(x0)| < ε. Es decir, f es continua en x0.

(⇐) Dado ε > 0 existe un δ > 0 tal que si x ∈ X y ‖x − x0‖ < δ entonces |f(x) − f(x0)| <ε3. Sean

x, y ∈ X ∩Bδ(x0) entonces

|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− f(x0)|+ |f(x0)− f(y)| < 2ε3

Luego ω(f, X ∩Bδ(x0)) ≤2ε3

< ε y esto prueba que ω(f, x0) = 0.

3.) Si x ∈ int (Y ) entonces ∃ δ > 0 tal que Bδ(x) ⊆ Y , luego

ω(f, x) ≤ ω(f,X ∩Bδ(x)) = ω(f, Bδ(x)) ≤ ω(f, Y ).

Observacion: La propiedad 3.) no necesariamente se cumple si retiramos la hipotesis x ∈ int (Y ). Enefecto, sean X = R2, Y = ]−∞, 0]× R y f : R2 → R definida por

f(x, y) =

0, si x ≤ 01, si x > 0

Como ω(f, Bδ(0)) = supf(x, y); (x, y) ∈ Bδ(0) − inff(x, y); (x, y) ∈ Bδ(0) = 1, ∀ δ > 0, se cumple

ω(f, 0) = infω(f, Bδ(0)); δ > 0 = 1

Por otro ladoω(f, Y ) = supf(x, y); (x, y) ∈ Y − inff(x, y); (x, y) ∈ Y = 0

De esta manera ω(f, Y ) < ω(f, 0).

Teorema 5.4.2 (Lebesgue) Sea B un m-bloque compacto, f : B → R una funcion acotada y denotemos

Df = x ∈ B : f es discontinua en x

Entonces f ∈ R(B) si y solo si Df tiene m-medida cero.

Demostracion. (⇐) Sea K = ω(f, B). Dado ε > 0, existe una coleccion numerable de m-cubos abiertos

C ′j tales que Df ⊆∞⋃

j=1

C ′j y∞∑

j=1

vol (C ′j) <ε

2K.

Sea x ∈ B −Df . Afirmo que existe C ′′x m-cubo abierto tal que x ∈ C ′′x y

ω(f, C ′′x ∩B) <ε

2 vol (B)

En efecto, como f es continua en x entonces ω(f, x) = 0, luego existe un δ > 0 tal que ω(f, Bδ(x)∩B) <ε

2 vol (B). Tomando C ′′x un m-cubo abierto tal que C ′′x ⊆ Bδ(x), se prueba la afirmacion.

Analisis Real II 87

Observe que

B = Df ∪ (B −Df ) ⊆

∞⋃

j=1

C ′j

⋃

⋃

x∈B−Df

C ′′x

Como B es compacto se tiene que

B ⊆

r⋃

j=1

C ′j

⋃

(

s⋃

k=1

C ′′xk

)

Consideremos P = Bi ∈ P(B) tal que cumple por lo menos una de las dos alternativas siguientes:Bi ⊆ C ′j o Bi ⊆ C ′′xk

. Denotando por I = i; Bi ⊆ C ′j y J = i; Bi ⊆ C ′′xk, se cumple:

∑

i

ω(f, Bi) vol (Bi) ≤∑

i∈I

ω(f, Bi) vol (Bi) +∑

i∈J

ω(f,Bi) vol (Bi)

< K∑

i∈I

vol (Bi) +ε

2 vol (B)

∑

i∈J

vol (Bi)

< Kε

2K+

ε2 vol (B)

vol (B) = ε

Por lo tanto f ∈ R(B).

(⇒) Dado j ∈ N, definimos

Dj =

x ∈ B; ω(f, x) ≥ 1j

Claramente se tiene que Df ⊆∞⋃

j=1

Dj . Es suficiente probar que Dj tiene m-medida cero, ∀ j ∈ N.

Dados j ∈ N y ε > 0, por hipotesis, existe P = Bi ∈ P(B) tal que∑

i

ω(f, Bi) vol (Bi) <εj.

Sea I = i; Dj ∩ int (Bi) 6= ∅. Si x ∈ Dj ∩ int (Bi) entonces1j≤ ω(f, x) ≤ ω(f, Bi), luego

1j

∑

i∈I

vol (Bi) ≤∑

i∈I

ω(f,Bi) vol (Bi) ≤∑

i

ω(f,Bi) vol (Bi) <εj

es decir∑

i∈I

vol (Bi) < ε

Por otro lado Dj ⊆

(

⋃

i∈I

Bi

)

∪ Y , en donde Y es la union de las caras de los sub-bloques Bi tales

que i ∈ I. Como Y tiene m-medida cero, de la Proposicion 5.3.3 se sigue que Dj tiene m-medida cero,∀ j ∈ N.

Analisis Real II 88

5.5 Integracion Iterada

Sean B1 ⊆ Rm y B2 ⊆ Rn dos bloques compactos y f : B1×B2 → R una funcion acotada. Dado x ∈ B1,definimos

fx : B2 → Ry 7→ f2(y) = f(x, y)

Observe que fx es la restriccion de f al (m+n)-bloque degenerado x×B2 ¿Si f ∈ R(B1×B2) entoncesfx ∈ R(B2), ∀ x ∈ B1?

Ejemplo 5.5.1 Consideremos la funcion

f : [0, 1]× [0, 1] → R

(x, y) 7→ f(x, y) =

0, si x 6= 1/21, si x = 1/2, y ∈ Q0, si x = 1/2, y ∈ I

Claramente Df = 1/2 × [0, 1]. Como Df tiene medida cero, concluimos que f ∈ R([0, 1]× [0, 1]), pero

f1/2 : [0, 1] → R

y 7→ f1/2(y) =

1, si y ∈ Q0, si y ∈ I

se sigue que Df1/2 = [0, 1], luego f1/2 /∈ R([0, 1]).

Observacion: Se puede probar que si f ∈ R(B1 × B2) entonces el conjunto x ∈ B1 : fx /∈ R(B2)tiene m-medida nula. Este resultado es parte importante del Teorema de Fubini. Un caso especial es elsiguiente:

Teorema 5.5.1 (Integracion Iterada) Sean B1 ⊆ Rm, B2 ⊆ Rn bloques compactos y f ∈ R(B1×B2).Para cada x ∈ B1 denotamos

fx : B2 → Ry 7→ fx(y) = f(x, y)

Si definimos las funciones L y U como

L : B1 → Rx 7→ L(x) =

∫

B2

fx(y)dy

U : B1 → R

x 7→ U(x) =∫

B2

fx(y)dy

entonces L,U ∈ R(B1) y ademas

∫

B1

L(x)dx =∫

B1

(

∫

B2

f(x, y)dy

)

dx =∫

B1×B2

f

∫

B1

U(x)dx =∫

B1

(∫

B2

f(x, y)dy)

dx =∫

B1×B2

f

Analisis Real II 89

Demostracion. Sean P1 =

B1i

∈ P(B1) y P2 =

B2j

∈ P(B2) entonces P = P1×P2 =

B1i ×B2

j

∈P(B1 ×B2). Se cumple

L(f, P ) =∑

i,j

mi,j(f) vol (B1i ×B2

j ) =∑

i,j

mi,j(f) vol (B1i ) · vol (B2

j )

=∑

i

∑

j

mi,j(f) vol (B2j )

vol (B1i ) (5.1)

Por otro lado, si x ∈ B1i entonces

mi,j(f) = inff(x, y) : (x, y) ∈ B1i ×B2

j ≤ inffx(y) : y ∈ B2j = mj(fx)

Luego∑

j

mi,j(f) vol (B2j ) ≤

∑

j

mj(fx) vol (B2j ) = L(fx, P2) ≤

∫

B2

fx(y)dy = L(x)

es decir∑

j

mi,j(f) vol (B2j ) ≤ mi(L), ∀ x ∈ B1

i . Reemplazando en (5.1)

L(f, P ) ≤∑

i

mi(L) vol (B1i ) = L(L, P1) (5.2)

Analogamente

U(U , P1) ≤ U(f, P ) (5.3)

De (5.2) y (5.3)

L(f, P ) ≤ L(L, P1) ≤ U(L, P1) ≤ U(U , P1) ≤ U(f, P ), ∀ P = P1 × P2 ∈ P(B1 ×B2)

Como f ∈ R(B1×B2), dado ε > 0, existe P = Pε = P1×P2 ∈ P(B1×B2) tal que U(f, P )−L(f, P ) < ε,

luego existe P1 ∈ P(B1) tal que U(L, P1) − L(L, P1) < ε y esto implica que que L ∈ R(B1) y∫

B1

L =∫

B1×B2

f .

Observaciones:

1. Una demostracion analoga muestra que

∫

B1×B2

f =∫

B2

(

∫

B1

f(x, y)dx

)

dy =∫

B2

(∫

B1

f(x, y)dx)

dy

2. Si f ∈ C(B1 ×B2) entonces fx ∈ R(B2), ∀ x ∈ B1, luego∫

B2

fx(y)dy =∫

B2

fx(y) =∫

B2

fx(y)dy

Analisis Real II 90

Por lo tanto∫

B1

(∫

B2

f(x, y)dy)

dx =∫

B1×B2

f

Analogamente∫

B2

(∫

B1

f(x, y)dx)

dy =∫

B1×B2

f

3. Si B =m∏

i=1

[ai, bi] y f ∈ C(B) entonces

∫

Bf =

∫ bn

an

(

· · ·

(

∫ b1

a1

f(x1, . . . , xn)dx1

)

· · ·

)

dxn

5.6 Integrales sobre Conjuntos J-medibles

Hasta ahora solo sabemos integrar sobre m-bloques compactos, en la presente seccion vamos a ver que sepuede integrar sobre conjuntos mas generales.

Sea X ⊆ Rm, la funcion 1X : Rm → R definida por

1X(x) =

1, si x ∈ X0, si x /∈ X

es llamada funcion caracterıstica de X.

Definicion 5.6.1 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado.

1. Decimos que X es Jordan medible o simplemente J-medible en Rm si y solo si existe un m-bloquecompacto B con X ⊆ int (B) tal que 1X ∈ R(B).

2. Sea X un conjunto J-medible en Rm, el volumen m-dimensional de X o simplemente volumen deX, denotado por vol (X) se define como

vol (X) =∫

B1X

en donde B es un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B).

Observaciones:

1. No es difıcil probar que la definicion de conjunto J-medible ası como de su volumen no dependende la eleccion del m-bloque B con la propiedad X ⊆ int (B).

2. Denotaremos por J (Rm) a la coleccion de todos los subconjuntos acotados J-medibles en Rm.

Analisis Real II 91

Teorema 5.6.1 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. X ∈ J (Rm) si y solo si su frontera ∂X tienem-medida cero.

Demostracion. Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Denotemos

D1X= x ∈ B; 1X es discontinua en x

Se sigue que D1X= ∂X, por lo tanto X ∈ J (Rm) si y solo si 1X ∈ R(B) si y solo si D1X

= ∂X tienem-medida cero.

Observaciones:

1. Como la frontera de un m-bloque acotado es union (finita) de m-bloques degenerados, concluimosque los m-bloques acotados son J-medibles en Rm.

2. Las bolas abiertas y cerradas son conjuntos J-medibles en Rm.

3. Hasta ahora solo sabıamos calcular el volumen de m-bloques acotados, la definicion anterior extiendeel calculo del volumen a conjuntos J-medibles. Los Teoremas 5.2.7 y 5.6.1 establecen que esta esuna buena extension.

Proposicion 5.6.2 Sea X ⊆ Rm un conjunto acotado. X ∈ J (Rm) si y solo si ∂X ∈ J (Rm) yvol (∂X) = 0.

Demostracion. (⇒) Como ∂X es cerrado se tiene que ∂(∂X) ⊆ ∂X, de la hipotesis se sigue que ∂(∂X)tiene m-medida cero y por tanto ∂X ∈ J (Rm). Por otro lado, sea ε > 0, como ∂X tiene m-medida cero,

existe Cj coleccion numerable de m-cubos abiertos acotados tales que ∂X ⊆⋃

j∈NCj y

∞∑

j=1

vol (Cj) < ε.

Como ∂X es compacto, ∂X ⊆ C1 ∪ · · · ∪ Cs. Sea B un m-bloque compacto cuyo interior contenga a laclausura de C1 ∪ · · · ∪ Cs, se cumple

vol (∂X) =∫

B1∂X ≤

∫

B1C1∪···∪Cs ≤

s∑

j=1

∫

B1Cj =

s∑

j=1

vol (Cj) < ε

Se sigue que vol (∂X) = 0.

(⇐) Sea B un m-bloque compacto tal que ∂X ⊆ int (B). Por hipotesis

0 = vol (∂X) =∫

B1∂X = inf U(1∂X , P ); P ∈ P(B)

Dado ε > 0, existe P = Bi ∈ P(B) tal que U(1∂X , P ) < ε. Denotemos

I = i; ∂X ∩Bi 6= ∅

claramente ∂X ⊆⋃

i∈I

Bi y ademas

ε >∑

i

Mi(1∂X) vol (Bi) =∑

i∈I

vol (Bi)

Analisis Real II 92

Se sigue que ∂X tiene m-medida cero y por tanto X ∈ J (Rm).

Ejercicio: Sea X ∈ J (Rm), pruebe que vol (X) = 0 ⇐⇒ int (X) = ∅. Pruebe que el resultado es falsosi retiramos la hipotesis de ser X J-medible.

Teorema 5.6.3 Si X, Y ∈ J (Rm) entonces

1. X ∪ Y , X ∩ Y , X − Y ∈ J (Rm).

2. Si X ⊆ Y entonces vol (X) ≤ vol (Y ).

3. vol (X ∪ Y ) = vol (X) + vol (Y )− vol (X ∩ Y ).

Demostracion. Por hipotesis ∂X y ∂Y tienen m-medida cero.

1. Como ∂(X∪Y ) ⊆ ∂X∪∂Y , se sigue que ∂(X∪Y ) tiene m-medida cero y por lo tanto X∪Y ∈ J (Rm).

2. Ejercicio.

3. Sea B un m-bloque compacto tal que X, Y ⊆ int (B). Sabemos que 1X∪Y + 1X∩Y = 1X + 1Y , luego

vol (X ∪ Y ) + vol (X ∩ Y ) =∫

B(1X∪Y + 1X∩Y ) =

∫

B1X +

∫

B1X = vol (X) + vol (Y )

A continuacion, definiremos la integral de una funcion acotada sobre un conjunto J-medible.Sea X ∈ J (Rm) y f : X → R una funcion acotada, consideremos B un m-bloque compacto tal que

X ⊆ int (B). Definimos la funcion

fX : B → R

x 7→ fX(x) =

f(x), x ∈ X0, x ∈ B −X

Definicion 5.6.2 Sea X ∈ J (Rm) y f : X → R una funcion acotada. Decimos que f es RiemannIntegrable sobre X, lo que denotamos f ∈ R(X) si y solo si fX ∈ R(B), en donde B es un m-bloquecompacto tal que X ⊆ int (B). En caso afirmativo definimos

∫

Xf =

∫

BfX

Teorema 5.6.4 Sea X ∈ J (Rm), f : X → R una funcion acotada y denotemos

Df = x ∈ X; f es discontinua en x.

f ∈ R(X) si y solo si Df tiene m-medida cero.

Demostracion. En primer lugar afirmo que Df ⊆ DfX ⊆ Df ∪ ∂X. En efecto: Supongamos queDf ∩ (Rm − DfX ) 6= ∅ (Hip. Aux.) y tomemos x ∈ Df con x /∈ DfX entonces ∃ (xk) ⊆ X tal quelim

k→∞xk = x y lim

k→∞f(xk) 6= f(x). Como fX es continua en x entonces lim

k→∞fX(xk) = fX(x), luego

limk→∞

f(xk) = f(x) contradiccion! esto prueba que x ∈ DfX . El otro contenido es analogo, y ası la

afirmacion esta probada. Como X ∈ J (Rm), ∂X tiene m- medida cero, luego f ∈ R(X) si y solo sifX ∈ R(B) si y solo si DfX tiene m-medida cero si y solo si Df tiene m-medida cero.

Analisis Real II 93

Teorema 5.6.5 Dado X ∈ J (Rm), se cumple

1. Si f ∈ R(X) y c ∈ R entonces cf ∈ R(X) y∫

Xcf = c

∫

Xf .

2. Si f, g ∈ R(X) entonces f + g ∈ R(X) y∫

X(f + g) =

∫

Xf +

∫

Xg.

3. Si f, g ∈ R(X) y f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ X entonces∫

Xf ≤

∫

Xg. En particular, si m ≤ f(x) ≤ M ,

∀ x ∈ X entonces

m · vol (X) ≤∫

Xf ≤ M · vol (X)

4. f ∈ R(X) si y solo si f+, f− ∈ R(X).

5. Si f, g ∈ R(X) entonces maxf, g,minf, g ∈ R(X).

6. Si f ∈ R(X) entonces f2 ∈ R(X).

7. Si f, g ∈ R(X) entonces fg ∈ R(X).

8. Si f ∈ R(X) entonces |f | ∈ R(X) y∣

∣

∣

∣

∫

Xf∣

∣

∣

∣

≤∫

X|f |. En particular

∣

∣

∣

∣

∫

Xf∣

∣

∣

∣

≤ M · vol (X), donde

M = sup|f(x)|; x ∈ X.

9. Si f ∈ R(X) y vol (X) = 0 entonces∫

Xf = 0.

Demostracion. Sea B un m-bloque compacto tal que X ⊆ int (B). Desde que (f + g)X = fX + gX

(¡Ejercicio!) se sigue que si f, g ∈ R(X) entonces fX , gX ∈ R(B), luego (f + g)X = fX + gX ∈ R(B), esdecir f + g ∈ R(X). Ademas

∫

X(f + g) =

∫

B(f + g)X =

∫

B(fX + gX) =

∫

BfX +

∫

BgX =

∫

Xf +

∫

Xg

Las demas son analogas.

Observacion: Si X ∈ J (Rm), entonces R(X) es una R-algebra.

Teorema 5.6.6 (Teorema del Valor Medio para Integrales) Si X ∈ J (Rm) es conexo y f ∈ C(X)entonces existe un x0 ∈ X tal que

∫

Xf = f(x0) · vol (X)

Demostracion. Como f ∈ C(X) y X es conexo entonces f(X) es un intervalo cuyos extremos lodenotamos por m y M , luego m ≤ f(x) ≤ M , ∀ x ∈ X, ası

m · vol (X) =∫

Xm ≤

∫

Xf ≤

∫

XM = M · vol (X)

Se sigue que1

vol (X)

∫

Xf ∈ f(X) luego existe un x0 ∈ X tal que f(x0) =

1vol (X)

∫

Xf .

Analisis Real II 94

Teorema 5.6.7 Sean X,Y ∈ J (Rm). Se cumple que f ∈ R(X ∪ Y ) si y solo si f∣

∣

X ∈ R(X) yf∣

∣

Y ∈ R(Y ). En caso afirmativo∫

X∪Yf +

∫

X∩Yf =

∫

Xf +

∫

Yf

En particular, si int (X ∩ Y ) = ∅ entonces∫

X∪Yf =

∫

Xf +

∫

Yf

Demostracion. Se cumple que

Df∣

∣

X

∪Df∣

∣

Y

⊆ Df ⊆ Df∣

∣

X

∪Df∣

∣

Y

∪ ∂X ∪ ∂Y

Como X,Y ∈ J (Rm) se tiene que ∂X y ∂Y tienen m-medida cero, luego f ∈ R(X ∪ Y ) si y solo si Dftiene m-medida cero si y solo si D

f∣

∣

X

y Df∣

∣

Y

tienen m-medida si y solo si f∣

∣

X ∈ R(X) y f∣

∣

Y ∈ R(Y ).

Sea B un m-bloque compacto tal que X ∪ Y ⊆ int (B) y consideremos las funciones fX∪Y , fX∩Y :B → R, se cumple fX∪Y + fX∩Y = fX + fY , luego

∫

X∪Yf +

∫

X∩Yf =

∫

BfX∪Y +

∫

BfX∩Y =

∫

BfX +

∫

BfY =

∫

Xf +

∫

Yf

Finalmente como X,Y ∈ J (Rm) e int (X ∩ Y ) = ∅ entonces por el ejercicio vol (X ∩ Y ) = 0, luego∫

X∩Yf = 0 y por la parte 9 del Teorema 5.6.5 el resultado se sigue.

Corolario 1. Si X,Y ∈ J (Rm), Y ⊆ X, f ∈ R(X) e int (X − Y ) = ∅ entonces∫

Xf =

∫

Yf

Demostracion. X = (X−Y )∪Y , int ((X−Y )∩Y ) = ∅, X−Y ∈ J (Rm) y ademas como int (X−Y ) = ∅,por el ejercicio vol (X − Y ) = 0, luego

∫

Xf =

∫

(X−Y )∪Yf =

∫

X−Yf +

∫

Yf =

∫

Yf

Corolario 2. Sean X ∈ J (Rm) y f ∈ R(X). Si U = int (X) entonces∫

Xf =

∫

Uf

Demostracion. Como U = int (X) entonces ∂U ⊆ ∂X luego U ∈ J (Rm) e int (X −U) = int (∂X) = ∅.

Luego, por el Corolario 1:∫

Xf =

∫

Uf .

Analisis Real II 95

Observacion: En virtud del corolario anterior, de ahora en adelante podemos suponer que las integralesse realizan sobre conjuntos abiertos J-medibles.

Sea X ∈ J (Rm), se puede usar el Teorema 5.5.1 para calcular∫

Xf , puesto que, por definicion

∫

Xf =

∫

BfX , en donde B es un m-bloque tal que X ⊆ int (B).

Ejemplo 5.6.1 Sea X = [−1, 1] × [−1, 1] − B1(0) y f ∈ R(X), nos proponemos hallar∫

Xf , para ello

consideremos B = [−2, 2]× [−2, 2] y la funcion entonces

fX : B → R

(x, y) 7→ fX(x, y) =

f(x, y), si (x, y) ∈ X0, si (x, y) ∈ B −X

es decir

fX(x, y) =

f(x, y), si − 1 ≤ y ≤ −√

1− x2 o√

1− x2 ≤ y ≤ 1, −1 ≤ x ≤ 10, en otro caso.

De esta manera∫

Xf =

∫

BfX =

∫ 1

−1

[

∫ −√

1−x2

−1f(x, y)dy +

∫ 1

√1−x2

f(x, y)dy

]

dx

Para finalizar la seccion, probaremos que existen abiertos acotados que no son J-medibles. En efecto,sea X el conjunto de Cantor de medida positiva y denotamos Y = X × [0, 1]. Supongamos que Y tiene2-medida cero (Hip. Aux.) denotemos B = [0, 1] × [0, 1] ⊇ Y , como ∂Y ⊆ Y , por la hipotesis auxiliarconcluimos que f = 1Y ∈ R(B). Por el teorema de la integracion iterada, la funcion

L : [0, 1] → R

x 7→ L(x) =∫ 1

0fx(y)dy

es Riemann integrable sobre [0, 1]. Observe que para x ∈ X tenemos fx = 1 (puesto que si y ∈ [0, 1]entonces (x, y) ∈ Y , luego 1 = fx(y) = 1Y (x, y)). Analogamente, si x /∈ X entonces fx = 0. Luego

L(x) =∫ 1

0fx(y)dy =

∫ 1

0fx(y)dy =

1, si x ∈ X0, si x /∈ X

es decir L = 1X , concluimos que 1X ∈ R([0, 1]) y por tanto X = ∂X tiene 1-medida cero lo cual es unacontradiccion. De esta manera Y = X × [0, 1] tiene 2-medida cero. Ahora es facil construir un abiertode R2 cuya frontera no tiene 2-medida cero. En efecto, sea B cualquier 2-bloque abierto que contenga a[0, 1]× [0, 1] y sea U = B−Y . Como Y es cerrado tenemos que U es abierto y como Y ⊆ ∂U (¡Ejercicio!)deducimos que ∂U no tiene 2-medida cero.

La existencia de abiertos acotados que no sean J-medibles es mala para la teorıa de la integracion

puesto que si U es uno de tales abiertos, con la teorıa estudiada hasta el momento la integral∫

Uf no nece-

sariamente estarıa definida, aun suponiendo que f ∈ C(U). Nos proponemos corregir esta desagradablesituacion y para ello introduciremos el concepto de particion de la unidad.

Analisis Real II 96

5.7 Particiones de la Unidad

En esta seccion, estudiaremos una herramienta de extrema utilidad en la Teorıa de la Integracion. Paraello, necesitamos antes un concepto previo.

Definicion 5.7.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → R. El soporte de f , denotado por sopp (f), es lacerradura (relativa a U) del conjunto de todos los puntos de U en donde f no se anula, es decir

sopp (f) = x ∈ U ; f(x) 6= 0 ∩ U

Observaciones:

1. Por definicion, x ∈ sopp (f) si y solo si x ∈ U y existe (xn) ⊆ U con f(xn) 6= 0 tal que limn→∞

xn = x.

2. x ∈ U−sopp (f) si y solo si x ∈ int (x ∈ U ; f(x) = 0). En particular f(x) = 0, ∀ x ∈ U−sopp (f).

Proposicion 5.7.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f, g : U → R y λ ∈ R − 0. Se cumplen las siguientespropiedades:

1. sopp (f + g) ⊆ sopp (f) ∪ sopp (g).

2. sopp (f · g) ⊆ sopp (f) ∩ sopp (g).

3. sopp (λf) = sopp (f).

Demostracion. Solo probaremos 2.) Sea x ∈ sopp (f · g), entonces x ∈ U y existe (xn) ⊆ U con(fg)(xn) 6= 0 tal que lim

n→∞xn = x. Como (fg)(xn) 6= 0 ⇒ f(xn) 6= 0 y g(xn) 6= 0, concluimos que

x ∈ sopp (f) y x ∈ sopp (g).

Definicion 5.7.2 Sea X ⊆ Rm un conjunto y U = Uλλ∈Λ un cubrimiento abierto de X. Decimos quela familia Φ = ϕjj∈J es una Cr-particion de la unidad de X de subordinada al cubrimiento U si y solosi las funciones ϕj ∈ Cr(Rm) satisfacen las siguientes propiedades:

1. 0 ≤ ϕj(x) ≤ 1, ∀ x ∈ Rm y ∀ j ∈ J .

2. La familia de soportes sopp (ϕj)j∈J es localmente finita es decir, para todo x ∈ X existe r > 0tal que Br(x) ∩ sopp (ϕj) = ∅, salvo un numero finito de ındices j ∈ J .

3.∑

j∈J

ϕj(x) = 1, ∀ x ∈ X.

4. ∀ j ∈ J , existe λj ∈ Λ tal que sopp (ϕj) ⊆ Uλj .

Observaciones:

1. Por 2. de la definicion, la suma en 3. es finita.

Analisis Real II 97

2. A causa de la condicion 3., la familia Φ = ϕjj∈J es llamada particion de la unidad. El nombrede “particion subordinada al cubrimiento U” es debido a la condicion 4.

3. Si x ∈ X, por 3. debe existir por lo menos un j ∈ J tal que ϕj(x) > 0, es decir x ∈ sopp (ϕj). Deesta manera X ⊆

⋃

j∈J

sopp (ϕj).

4. Si Φ es una familia finita entonces la condicion 2. es innecesaria.

Nos proponemos probar que dado un abierto de Rm y cualquier cubrimiento abierto de el, entoncessiempre existe una C∞-particion de la unidad subordinada al cubrimiento.

Lema 5.7.1 Existe una funcion f ∈ C∞(Rm) que satisface las siguientes propiedades:

1. f(x) = 1, ∀ x ∈ B1[0].

2. 0 < f(x) ≤ 1, ∀ x ∈ B2(0)−B1[0].

3. f(x) = 0, ∀ x ∈ Rm −B2(0).

Demostracion. Del Analisis Real, se sabe que la funcion de Cauchy φ : R→ R definida por

φ(s) =

e−1/s, si s > 00, si s ≤ 0

es de clase C∞ en R. Definimos α : R→ R como

α(s) = φ(s + 2) · φ(−1− s) =

e−1/(s+1)(s+2), si s ∈ ]− 2,−1[0, si s ∈ R− ]− 2,−1[

Se sigue que α ∈ C∞(R). A continuacion, definimos γ : R→ R como

γ(t) =∫ t

−∞α(s)ds

Claramente γ ∈ C∞(R) y 0 ≤∫ ∞

−∞α(s)ds < ∞. Sea C =

∫ ∞

−∞α(s)ds y consideremos β : R→ R definida

por β(t) =γ(t)C

. Es claro que β ∈ C∞(R). Ademas, observe que

t ≤ −2 ⇒ β(t) =1C

∫ t

−∞α(s)ds = 0

−2 ≤ t ≤ −1 ⇒ β(t) =1C

∫ t

−∞α(s)ds ≤ 1

CC = 1

t ≥ −1 ⇒ β(t) =1C

∫ t

−∞α(s)ds =

1C

C = 1

Analisis Real II 98

Finalmente, consideramos f : Rm → R definida por

f(x) = β(−‖x‖)

Se sigue que f ∈ C∞(Rm) y

x ∈ B1[0] ⇒ −1 ≤ −‖x‖ ⇒ f(x) = β(−‖x‖) = 1

x ∈ B2(0)−B1[0] ⇒ 1 < ‖x‖ < 2 ⇒ f(x) = β(−‖x‖) ∈ ]0, 1[

x ∈ Rm −B2(0) ⇒ −‖x‖ ≤ −2 ⇒ f(x) = β(−‖x‖) = 0

Esto prueba el lema.

Lema 5.7.2 Sea U ⊆ Rm un abierto y p ∈ U . Entonces existe V ⊆ Rm abierto con B3(0) ⊆ V y existeψ ∈ Diff∞(V, U) tal que ψ(0) = p y ψ(B3(0)) ⊆ U .

Demostracion. Por hipotesis, existe r > 0 tal que Br(p) ⊆ U . Definimos H : Rm → Rm como

H(x) =r3x + p

Es claro que H es una transformacion afın inversible y que H(B3(0)) = Br(p) ⊆ U . El lema quedaprobado considerando V = H−1(U) y ψ = H

∣

∣

V : V → U .

Teorema 5.7.2 Si K ⊆ Rm es un compacto y U = Uλλ∈Λ es un cubrimiento abierto de K entoncesexiste una C∞-particion de la unidad de K subordinada al cubrimiento U .

Demostracion. Sea p ∈ K entonces existe λp ∈ Λ tal que p ∈ Uλp , luego existe rp > 0 tal queBrp(p) ⊆ Uλp . Por el Lema 5.7.2, existe Vp ⊆ Rm abierto con B3(0) ⊆ Vp y existe ψp ∈ Diff∞(Vp, Uλp)tal que ψp(0) = p y ψp(B3(0)) = Brp(p).

Ahora bien, como ψp(B1(0))p∈K es un cubrimiento abierto de K compacto, entonces existenp1, . . . , pn ∈ K tales que

K ⊆ ψp1(B1(0)) ∪ · · · ∪ ψpn(B1(0))

Sea f ∈ C∞(Rm) la funcion del Lema 5.7.1, definimos θi : Rm → R como

θi(x) =

(f ψ−1pi

)(x), si x ∈ ψpi(B3(0))0, si x ∈ Rm − ψpi(B3(0))

Se sigue que 0 ≤ θi ≤ 1, sopp (θi) ⊆ ψpi(B3(0)) ⊆ Uλi , θi ∈ C∞(Rm) y θi(x) = 1, ∀ x ∈ ψpi(B1(0)).Para obtener una particion de la unidad en K, vamos a modificar un poco las funciones θi. Definimosϕ1 = θ1, ϕ2 = (1 − θ1)θ2, ϕ3 = (1 − θ1)(1 − θ2)θ3, . . . , ϕn = (1 − θ1) · · · (1 − θn−1)θn. Observe queϕi ∈ C∞(Rm), 0 ≤ ϕi ≤ 1 y sopp (ϕi) ⊆ sopp (θi) ⊆ Uλi . Ademas, por induccion, se verifica para todo1 ≤ j ≤ n que

ϕ1 + · · ·+ ϕj = 1− (1− θ1) · · · (1− θj)

Luego, si x ∈ K ⊆ ψp1(B1(0)) ∪ · · · ∪ ψpn(B1(0)) se tiene

n∑

i=1

ϕi(x) = 1−n

∏

i=1

(1− θi(x)) = 1

Analisis Real II 99

De esta manera ϕ1, . . . , ϕn es la particion de la unidad buscada.

Observacion. Cuando K es compacto, la particion de la unidad es finita.

El siguiente resultado muestra que podemos suprimir la hipotesis de compacidad sobre el conjunto X.

Teorema 5.7.3 Si X ⊆ Rm es cualquier subconjunto y U = Uλλ∈Λ es un cubrimiento abierto de Xentonces existe una C∞-particion de la unidad de X subordinada al cubrimiento U .

Demostracion. Consideramos tres casos.

Caso 1: X = K1 ∪ K2 ∪ · · ·Kn ∪ · · · donde los Ki son compactos y Ki ⊂ int (Ki+1). Dado i ∈ N,consideramos la familia

Ui = Uλ ∩ (int (Ki+1)−Ki−2) ; λ ∈ Λ

en donde K0 = K−1 = ∅. Es claro que Ui es un cubrimiento abierto del conjunto compacto Xi =Ki − int (Ki−1). Por el Teorema 5.7.2 existe ϕijj∈Ji (en donde Ji es un conjunto finito de ındices)C∞-particion de la unidad de Xi subordinada al cubrimiento Ui.

Afirmo que la familia sopp (ϕij) : j ∈ Ji, i ∈ N es localmente finita. En efecto, en primer lugarobserve que dado x ∈ X, existe un unico i0 = i0(x) ∈ N tal que x ∈ Ki0 −Ki0−1 ⊂ int (Ki0+1)−Ki0−1

(basta tomar i0 = mini ∈ N, x ∈ Ki). Luego existe r > 0 tal que Br(x) ⊆ int (Ki0+1)−Ki0−1 y comosopp (ϕij) ⊆ int (Ki+1)−Ki−2, tenemos:

i > i0 + 2 ⇒ Ki0+1 ⊆ Ki−2 ⇒ sopp (ϕij) ⊆ Rm −Ki−2 ⊆ Rm −Ki0+1 luego sopp (ϕij) ∩Br(x) = ∅i < i0 − 1 ⇒ sopp (ϕij) ⊆ int (Ki+1) ⊆ int (Ki0−1) luego sopp (ϕij) ∩Br(x) = ∅

De esta manerasopp (ϕij) ∩Br(x) = ∅, ∀ i 6= i0 − 1, i0, i0 + 1, i0 + 2

y esto prueba la afirmacion. Se sigue que para x ∈ X la suma

σ(x) =∑

i

∑

j∈Ji

ϕij(x)

es finita y por tanto σ ∈ C∞(Rm). Mas aun, dado i ∈ N y x ∈ int (Ki+1) − Ki−2 se tiene que x ∈Xi+1 ∪ Xi ∪ Xi−1 (union disjunta), luego σ(x) > 0 y como sopp (ϕij) ⊆ int (Ki+1) − Ki−2, ∀ j ∈ Ji,definimos ψij : Rm → R por

ψij(x) =

ϕij(x)σ(x)

, si x ∈ int (Ki+1)−Ki−2

0, si x ∈ Rm − (int (Ki+1)−Ki−2)

Se sigue que ψij ∈ C∞(Rm), 0 ≤ ψij ≤ 1, sopp (ψij) ⊆ sopp (ϕij) ⊆ Uλij , sopp (ψij) : j ∈ Ji, i ∈ N eslocalmente finita y

∑

i

∑

j∈Ji

ψij(x) = 1, ∀ x ∈ X.

Caso 2: X es abierto. Dado i ∈ N, definimos

Ki = x ∈ X; d(x, ∂X) ≥ 1/i ∩Bi[0]

Analisis Real II 100

Se sigue que (¡Ejercicio!) Ki es compacto, Ki ⊆ int (Ki+1) y X = K1 ∪K2 ∪ · · · ∪Kn ∪ · · ·. Estamos enlas condiciones del caso anterior.

Caso 3: X es cualquier subconjunto de Rm. Denotemos U =⋃

λ

Uλ. Como U es abierto, por el Caso 2

existe una C∞-particion de la unidad de U subordinada a U . Desde que X ⊆ U esta es tambien unaparticion de la unidad de X.

Observacion: Todo subconjunto de Rm admite una particion de la unidad a lo mas numerable.

5.8 Integrales sobre conjuntos abiertos

A continuacion, daremos una aplicacion del concepto de particion de la unidad a la teorıa de integracion.Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → R una funcion acotada. Empezamos suponiendo que sopp (f) ⊆ U es

compacto. En estas condiciones afirmo que existe V abierto J-medible tal que

sopp (f) ⊆ V ⊆ U

En efecto, sea x ∈ sopp (f) ⊆ U , luego existe rx > 0 tal que Brx(x) ⊆ U y por tanto existe Cx m-cuboabierto tal que Cx ⊆ Brx . La familia Cxx∈sopp (f) es un cubrimiento abierto de sopp (f) el cual escompacto, luego existen x1, . . . , xs ∈ sopp (f) tales que

sopp (f) ⊆ Cx1 ∪ · · · ∪ Cxs ⊆ U.

Tomando V = Cx1 ∪ · · · ∪ Cxs , la afirmacion esta probada.En estas condiciones, decimos que f es Riemann-integrable en U , lo que escribimos f ∈ R(U) si y solo

si existe V abierto J-medible con sopp (f) ⊆ V ⊆ U tal que f ∈ R(V ) y en caso afirmativo escribimos∫

Uf =

∫

Vf

Observaciones:

1. Desde que f se anula fuera de sopp (f), no es difıcil probar que la definicion anterior no dependedel abierto J-medible V .

2. De acuerdo a lo realizado, no es necesario suponer que U sea acotado.

3. Siempre bajo la hipotesis de que sopp (f) es compacto, se cumple que f ∈ R(U) si y solo si Df

tiene m-medida cero. En efecto, como f se anula fuera de sopp (f) se tiene f ∈ R(U) si y solo sif ∈ R(V ) si y solo si Df tiene m-medida cero.

A continuacion consideremos el caso general.

Definicion 5.8.1 Sea U ⊆ Rm un abierto. Decimos que la familia U = Uλλ∈Λ es un J-cubrimientoabierto de U si y solo si cada Uλ ∈ U es un abierto J-medible y

U =⋃

λ∈Λ

Uλ

Analisis Real II 101

Observaciones:

1. No es difıcil probar que dado un abierto U ⊆ Rm, siempre existe un J-cubrimiento abierto de U .

2. Si U es un abierto acotado y U = Uλλ∈Λ es un J-cubrimiento abierto de U entonces Uλ es acotado,∀ λ ∈ Λ.

Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una funcion acotada. Dado U = Uλλ∈Λ J-cubrimientoabierto de U y ϕjj∈N una C∞-particion de la unidad de U subordinada a U entonces para cada j ∈ N,ϕjf : U → R es una funcion acotada tal que sopp (ϕjf) ⊆ sopp (ϕj) ⊆ Uλj ⊆ U , luego sopp (ϕjf) escompacto y podemos definir ϕjf ∈ R(U) como en el caso anterior. Si ϕjf ∈ R(U), ∀ j ∈ N y la serie∑

j,1

∫

Uϕjf es absolutamente convergente, entonces diremos que f es Riemann-integrable en U .

Definicion 5.8.2 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una funcion acotada. Decimos quef ∈ R(U) si y solo si existe U = Uλλ∈Λ J-cubrimiento abierto de U y existe ϕjj∈N una C∞-particionde la unidad de U subordinada a U tal que:

1. ϕjf ∈ R(U), ∀ j ∈ N.

2. La serie∑

j,1

∫

Uϕjf es absolutamente convergente.

En caso afirmativo, definimos∫

Uf =

∞∑

j=1

∫

Uϕjf.

Teorema 5.8.1 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una funcion acotada. La definicionanterior no depende de la eleccion del J-cubrimiento abierto ni de la particion de la unidad subordinadaa el.

Demostracion. Supongamos que existe U = Uλλ∈Λ J-cubrimiento abierto de U y existe ϕjj∈N una

C∞-particion de la unidad de U subordinada a U tal que ϕjf ∈ R(U), ∀ j ∈ N y la serie∑

j,1

∫

Uϕjf es

absolutamente convergente.Sea V = Vγγ∈Γ otro J-cubrimiento abierto de U y ψkk∈N otra C∞-particion de la unidad de U

subordinada a V. Es claro que U ∩ V = Uλ ∩ Vγ es un J-cubrimiento abierto de U y ϕj · ψk es unaC∞-particion de la unidad de U subordinada a U ∩ V .

Fijando k ∈ N, como V γk es compacto, se tiene que (¡Ejercicio!) sopp (ϕj)∩Vγk = ∅ salvo un numerofinito de j’s, luego, sobre Vγk , tenemos

ψkf =

∞∑

j=1

ϕj

ψkf =∞∑

j=1

ϕjψkf

Analisis Real II 102

Ahora bien como ϕjf ∈ R(U) entonces Dϕjf tiene m-medida cero y desde que ψk ∈ C∞(U) se sigueque Dϕjψkf ⊆ Dϕjf en efecto, puesto que x ∈ Rm −Dϕjf entonces ϕjf es continua en x, luego ϕjψkfes continua en x y por tanto x ∈ Rm −Dϕjψkf ). Por tanto tiene m-medida cero, luego ϕjψkf ∈ R(U),∀ j ∈ N y de la igualdad anterior se sigue que ψkf ∈ R(U).

Por otro lado, suponiendo f ≥ 0, para k ∈ N tenemos

∫

Uψkf =

∫

U

∞∑

j=1

ϕj

ψkf =∫

Vγk

∞∑

j=1

ϕj

ψkf =∞∑

j=1

∫

Vγk

ϕjψkf =∞∑

j=1

∫

Uϕjψkf,

luego para n ∈ N se tiene

n∑

k=1

∫

Uψkf =

n∑

k=1

∞∑

j=1

∫

Uϕjψkf =

∞∑

j=1

∫

U

(

n∑

k=1

ψk

)

ϕjf ≤∞∑

j=1

∫

Uϕjf =

∫

Uf

De esta manera la serie de terminos no negativos∑

k,1

∫

Uψkf es convergente y

∞∑

k=1

∫

Uψkf ≤

∞∑

j=1

∫

Uϕjf =

∫

Uf

Intercambiando j con k se llega a∞∑

j=1

∫

Uϕjf ≤

∞∑

k=1

∫

Uψkf

De esta manera∫

Uf =

∞∑

k=1

∫

Uψkf

Finalmente, si f es cualquiera, trabajamos con f+ y f− y el resultado se sigue (¡Ejercicio!).

El siguiente resultado da condiciones suficientes para que una funcion acotada sea Riemann integrablesobre un abierto.

Teorema 5.8.2 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y f : U → R una funcion acotada tal que Df tienem-medida cero. Entonces f ∈ R(U).

Demostracion. Por hipotesis, existe B un m-bloque compacto y M > 0 tales que U ⊆ B y |f(x)| ≤ M ,∀ x ∈ U . Sea U = Uλλ∈Λ J-cubrimiento abierto de U y ϕjj∈N una C∞-particion de la unidad de Usubordinada a U .

Como ϕj ∈ C∞(Rm) tenemos Dϕjf ⊆ Df , ∀ j ∈ N y por tanto tiene m-medida cero. Ademas, desdeque sopp (ϕjf) ⊆ U es compacto se tiene que ϕjf ∈ R(U), ∀ j ∈ N.

Por otro lado, dado n ∈ N tenemos

n∑

j=1

∣

∣

∣

∣

∫

Uϕjf

∣

∣

∣

∣

≤n

∑

j=1

∫

Uϕj |f | ≤ M

n∑

j=1

∫

Uϕj ≤ M

∫

B

n∑

j=1

ϕj

≤ M∫

B1 = M vol (B)

Analisis Real II 103

Se sigue que la serie∑

j,1

∫

Bfj es absolutamente convergente y, por tanto convergente.

Finalmente, vamos a probar que si U ⊆ Rm abierto J-medible entonces la definicion que acabamosde dar, coincide con la dada en la Seccion 5.6. En efecto, dado ε > 0 no es difıcil probar que existe K

compacto J-medible, K ⊆ U , tal que∫

U−K1 <

εM

.

Ahora bien, desde que K es compacto y sopp (ϕj) es localmente finita, se sigue que existe n0 ∈ Ntal que j ≥ n0 ⇒ sopp (ϕj) ∩K = ∅, luego para n ≥ n0 tenemos

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∫

Uf −

n∑

j=1

∫

Uϕjf

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤∫

U

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f −n

∑

j=1

ϕjf

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≤ M∫

U

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1−n

∑

j=1

ϕj

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= M∫

U

∞∑

j=n+1

ϕj

= M∫

U−K

∞∑

j=n+1

ϕj

≤ M∫

U−K1 < M

εM

= ε

De esta manera, hemos probado que∞∑

j=1

∫

Ufj =

∫

Uf .

5.9 Cambio de Variables en la Integral Multiple

Del Analisis en una variable real, tenemos el siguiente resultado: Sea f ∈ C([a, b]) y g : [c, d] → R tal queg′ ∈ R([c, d]) y g([c, d]) ⊆ [a, b]. Entonces

∫ g(d)

g(c)f(x)dx =

∫ d

cf(g(t))g′(t)dt

No es difıcil probar que si g es inyectiva e I = ]c, d[ , entonces∫

g(I)f =

∫

I(f g) · |g′|.

La generalizacion de este resultado a integrales multiples es la siguiente:“Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectiva tal que g(U) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0,

∀ x ∈ U . Si f ∈ R(g(U)) entonces∫

g(U)f =

∫

U(f g) · | det Jg|”

La presente seccion esta dedicada a probar este resultado, empezamos con el siguiente resultado.

Lema 5.9.1 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectiva tal que g(U) sea acotado ydet[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U . Si existe U = Uλλ∈Λ cubrimiento abierto de U que satisface

∫

g(Uλ)f =

∫

Uλ

(f g) · | det Jg|, ∀ λ ∈ Λ, ∀ f ∈ R(g(U))

Analisis Real II 104

entonces∫

g(U)f =

∫

U(f g) · | det Jg|, ∀ f ∈ R(g(U)).

Demostracion. Por hipotesis g tiene rango maximo, luego es una funcion abierta y por tanto g(U) =g(Uλ)λ∈Λ es un cubrimiento abierto de g(U). Sea ϕjj∈N una C∞-particion de la unidad de g(U)subordinada a g(U). Afirmo que si sopp (ϕj) ⊆ g(Uλj ) entonces sopp (ϕj g) ⊆ Uλj . En efecto, seax ∈ sopp (ϕj g) entonces existe (xn) ⊆ U con (ϕj g)(xn) 6= 0 tal que lim

n→∞xn = x. Se sigue que

(g(xn)) ⊆ g(U), ϕj(g(xn)) 6= 0 y limn→∞

g(xn) = g(x), es decir g(x) ∈ sopp (ϕj), luego g(x) ∈ g(Uλj ) y

como g es inyectiva tenemos x ∈ Uλj , esto prueba la afirmacion. Se sigue de aquı que ϕj gj∈N es unaC∞-particion de la unidad de U subordinada a U .

Sea f ∈ R(g(U)), para j ∈ N tenemos que ϕj · f ∈ R(g(U)). De esta manera, de la hipotesis y laafirmacion anterior, se cumple

∫

g(U)ϕj · f =

∫

g(Uλj )ϕj · f =

∫

Uλj

(ϕj · f g) · | det Jg| =∫

Uλj

(ϕj g) · (f g) · | det Jg|

=∫

U(ϕj g) · (f g) · | det Jg|

luego∫

g(U)f =

∞∑

j=1

∫

g(U)ϕj · f =

∞∑

j=1

∫

U(ϕj g) · (f g) · | detJg| =

∫

U(f g) · | det Jg|

lo cual prueba el Lema.

Corolario Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectiva tal que g(U) sea acotado ydet[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U . Si existe U = Uλλ∈Λ cubrimiento abierto de g(U) que satisface

∫

Uλ

f =∫

g−1(Uλ)(f g) · | detJg|, ∀ λ ∈ Λ, ∀ f ∈ R(g(U))

entonces∫

g(U)f =

∫

U(f g) · | det Jg|, ∀ f ∈ R(g(U)).

Demostracion. Por la continuidad de g se sigue que g−1(U) = g−1(Uλ)λ∈Λ es un cubrimiento abiertode U . Como g es inyectiva, por hipotesis tenemos

∫

g(g−1(Uλ))f =

∫

Uλ

f =∫

g−1(Uλ)(f g) · | detJg|

Aplicando el lema anterior al cubrimiento g−1(U), el resultado se sigue.

Lema 5.9.2 Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectiva tal que g(U) sea acotado ydet[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U . Si

∫

g(U ′)1 =

∫

U ′| detJg|, ∀ U ′ ⊆ U abierto

Analisis Real II 105

entonces∫

g(U)f =

∫

U(f g) · | detJg|, ∀ f ∈ R(g(U))

Demostracion. Como g(U) es abierto, existe un cubrimiento abierto U = Cλλ∈Λ donde cada Cλ esun m-cubo abierto. Por el Corolario anterior, es suficiente probar que para toda f ∈ R(g(U)) se cumple

∫

Cλ

f =∫

g−1(Cλ)(f g) · | detJg|, ∀ λ ∈ Λ

Sea C ∈ U y P = Bi ∈ P(C), por hipotesis, se tiene que

L(f, P ) =∑

i

mi(f) vol (Bi) =∑

i

mi(f)∫

int (Bi)1 =

∑

i

mi(f)∫

g−1(int (Bi))|det Jg|

≤∑

i

∫

g−1(int (Bi))(f g) · | det Jg| =

∫

g−1(C)(f g) · | det Jg|

Luego∫

Cf ≤

∫

g−1(C)(f g) · | det Jg|

Analogamente, trabajando con las sumas superiores se tiene∫

Cf ≥

∫

g−1(C)(f g) · | det Jg|

Concluimos que∫

Cf =

∫

g−1(C)(f g) · | det Jg|, ∀ C ∈ U

y el lema queda demostrado.

Lema 5.9.3 Sean U, V ⊆ Rm dos abiertos acotados, g ∈ C1(U ;Rm) y h ∈ C1(V ;Rm) funciones in-yectivas tales que g(U) ⊆ V , h(V ) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U y det[Jh(y)] 6= 0, ∀ y ∈ V .Si

∫

g(U)f =

∫

Uf g|det Jg|, ∀ f ∈ R(g(U))

y∫

h(g(U))f =

∫

g(U)f h| detJh|, ∀ f ∈ R(h(g(U)))

entonces∫

hg(U)f =

∫

Uf (h g) · | detJ(h g)|, ∀ f ∈ R(h(g(U))).

Analisis Real II 106

Demostracion. Para, f ∈ R(h(g(U))) tenemos∫

hg(U)f =

∫

h(g(U))f =

∫

g(U)(f h) · | det Jh| =

∫

U((f h) · | det Jh|) g · | det Jg|

=∫

U[(f h) g] · | detJh| g · | det Jg| =

∫

Uf (h g) · | detJh g · det Jg|

=∫

Uf (h g) · | det (Jh g · Jg) | =

∫

Uf (h g) · | det J(h g)|

Lema 5.9.4 (Cambio lineal de coordenadas) Sean U ⊆ Rm abierto acotado y T ∈ GL(Rm). Sif ∈ R(T (U)) entonces

∫

T (U)f =

∫

U(f T ) · | detT |

Demostracion. Por el Lema 5.9.2, es suficiente probar que∫

T (U ′)1 =

∫

U ′|det T |, ∀ U ′ ⊆ U abierto.

Sea U = Cλλ∈Λ es un cubrimiento abierto de U ′ formado por m-cubos. Por el Lema 5.9.1 es

suficiente probar que∫

T (Cλ)1 =

∫

Cλ

|det T |, ∀ λ ∈ Λ.

Consideremos tres casos:

Caso 1: T ∈ GL(Rm) es de la forma T (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , cxi, . . . , xm) con c 6= 0. Sea C =m∏

j=1

]aj , bj [∈ U , si c > 0 entonces T (C) = ]a1, b1[× · · ·× ]cai, cbi[× · · ·× ]am, bm[ es un m-bloque, luego

∫

T (C)1 = vol (T (C)) = c vol (C)

Por otro lado∫

C|det T | =

∫

Cc = c

∫

C= c vol (C)

De estas dos igualdades concluimos que∫

T (C)1 =

∫

C|det T |. Analogamente se procede para c < 0.

Caso 2: T ∈ GL(Rm) es de la forma T (x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xi +xm, . . . , xm). Sea C =m∏

j=1

]aj , bj [∈ U ,

si denotamos C ′ =m∏

j=1,j 6=i

]aj , bj [ un (m− 1)-cubo, no es difıcil probar que

T (C) = (y1, . . . , ym); y′ = (y1, . . . , yi−1, yi+1, . . . , ym) ∈ C ′ y ai + xm ≤ yi ≤ bi + xm

Luego, por el Teorema de Fubini∫

T (C)1 =

∫

C′

(

∫ bi+xm

ai+xm

dyi

)

dy′ =∫

C′(bi − ai)dy′ = vol (C)

Analisis Real II 107

Por otro lado∫

C|det T | =

∫

C1 = vol (C). De estas dos igualdades, concluimos que

∫

T (C)1 =

∫

C| detT |.

Caso 3: T ∈ GL(Rm) Se deduce de los dos casos anteriores y del Lema 5.9.3 teniendo en cuenta que todatransformacion lineal inversible se puede expresar como composicion de un numero finito de transforma-ciones del tipo presentado en los casos 1 y 2.

Teorema 5.9.1 (Cambio de coordenadas) Sea U ⊆ Rm un abierto acotado y g ∈ C1(U ;Rm) inyectivatal que g(U) sea acotado y det[Jg(x)] 6= 0, ∀ x ∈ U . Si f ∈ R(g(U)) entonces

∫

g(U)f =

∫

U(f g) · | detJg|.

Demostracion. Por el Lema 5.9.2, es suficiente probar que∫

g(U)1 =

∫

U| det Jg|.

Procediendo por induccion sobre la dimension, para n = 1, el resultado es valido (por Analisis I).Supuesto que el resultado es valido para n− 1, probaremos que tambien se cumple para n. En virtud del

Lema 5.9.1, basta probar que∫

g(Uλ)1 =

∫

Uλ

|det Jg| para algun U = Uλλ∈Λ cubrimiento abierto de U .

Sea a ∈ U , podemos suponer sin perdida de generalidad que Jg(a) = I. Definimos h : U → Rm porh(x) = (g1(x), . . . , gm−1(x), xm) (donde g = (g1, . . . , gm)). Se tiene que Jh(a) = I ∈ GL(Rm). Por elTeorema de la funcion inversa, existe U ′

a ⊆ U vecindad abierta de a tal que h ∈ Diff 1(U ′a, h(U ′

a)).Sea k : h(U ′

a) → Rm definida por k(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , ym−1, gm(h−1(y)). Observe que

∇(gm h−1)(y) = ∇gm(h−1(y)) · Jh−1(y) = ∇gm(h−1(y)) · [Jh(h−1(y))]−1

luego∇(gm h−1)(h(a)) = ∇gm(a) · [Jh(a)] = ∇gm(a) = em

De esta manera Jk(h(a)) = I ∈ GL(Rm) y nuevamente por el Teorema de la funcion inversa existeVa ⊆ h(U ′

a) vecindad abierta de h(a) tal que k ∈ Diff 1(Va, k(Va)). Denotando Ua = h−1(Va), tenemosque h : Ua → Va y k : Va → k(Va) son difeomorfismos de clase C1 y un facil calculo muestra que kh = g.

De esta manera, si el resultado es valido para k y para h, por el Lema 5.9.3 tambien sera valido parak h = g.

Sea Ba ⊆ Ua un m-bloque abierto tal que a ∈ Ba. Denotemos Ba = B′× ]am, bm[ donde B′ es un(m− 1)-bloque. No es difıcil ver que

h(Ba) = (y′, ym) ∈ Rm−1 × Rm; am ≤ ym ≤ bm, y′ ∈ P g(B′ × xm)

donde P : Rm → Rm−1 es la proyeccion P (x′, xm) = x′. Por el Teorema de integracion iterada tenemos

∫

h(Ba)1 =

∫ bm

am

(

∫

(Pg)(B′×xm)1dy′

)

dym

Dado xm ∈ ]am, bm[ definamos la funcion hxm : B′ → Rm−1 como

hxm(x′) = (g1(x′, xm), . . . , gm−1(x′, xm)) = (P g)(x′, xm)

Analisis Real II 108

De aquı se sigue que (P g)(B′ × xm) = hxm(B′). Ademas

Jhxm(x′) =∂(g1, . . . , gm−1)∂(x1, . . . , xm−1)

(x′) y Jh(x′, xm) =

∂(g1, . . . , gm−1)∂(x1, . . . , xm−1)

A

θ 1

(x′, xm)

de donde|det Jhxm(x′)| = | detJh(x′, xm)|

Usando la hipotesis inductiva, se sigue que

∫

h(Ba)1 =

∫ bm

am

(

∫

(Pg)(B′×xm)dy′

)

dym =∫ bm

am

(

∫

hxm (B′)dy′

)

dym

=∫ bm

am

(∫

B′|det Jhym(y′)|dy′

)

dym =∫ bm

am

(∫

B′| detJh(y′, ym)|dy′

)

dym

=∫

Ba

| detJh|

Analogamente se prueba que∫

k(Ba)1 =

∫

Ba

|det Jk|. Luego el resultado se cumple para g y esto prueba

la induccion.Finalmente, es claro que Baa∈U es un cubrimiento abierto de U y por tanto el teorema queda

demostrado.

Capıtulo 6

Formas Diferenciables en Rm

6.1 Preliminares Algebraicos

Sea V un R-espacio vectorial y k ∈ N, denotaremos V k =

k veces︷ ︸︸ ︷

V × V × · · · × V . Como en el Capıtulo 1,denotemos por L(V k;Rm) al conjunto de todas las funciones k-lineales T : V k → Rm.

Definicion 6.1.1 Un funcional T ∈ L(V k;R) es llamado tensor de orden k en V o simplemente k-tensor.

Observaciones:

1. Denotaremos por τk(V ) al conjunto de todos los k-tensores en V .

2. El funcional 0 : V k → R definido por 0(v1, . . . , vk) = 0, ∀ v1, . . . , vk ∈ V es obviamente un k-tensor.Luego τk(V ) 6= ∅, ∀ k ∈ N.

3. Con las operaciones usuales de suma y producto por escalares el conjunto τk(V ) se torna un R-espacio vectorial.

4. τ1(V ) = V ∗.

5. Por convencion τ0(V ) = R.

Existen operaciones entre tensores de distinto orden.

Definicion 6.1.2 Sean S ∈ τk(V ) y T ∈ τ l(V ). El producto tensorial de S y T , denotado por S ⊗ T , esla funcion S ⊗ T : V k+l → R definida por

(S ⊗ T )(v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vk+l) = S(v1, . . . , vk)T (vk+1, . . . , vk+l)

Proposicion 6.1.1 Si S ∈ τk(V ) y T ∈ τ l(V ) entonces S ⊗ T ∈ τk+l(V ).

109

Analisis Real II 110

Demostracion. ¡Ejercicio!

Observacion: Si S ∈ τk(V ) y T ∈ τ l(V ) entonces S ⊗ T 6= T ⊗ S.

Proposicion 6.1.2 El producto tensorial satisface las siguientes propiedades:

1. (S1 + S2)⊗ T = S1 ⊗ T + S2 ⊗ T , ∀ S1, S2 ∈ τk(V ), ∀ T ∈ τ l(V ).

2. S ⊗ (T1 + T2) = S ⊗ T1 + S ⊗ T2, ∀ S ∈ τk(V ), ∀ T1, T2 ∈ τ l(V ).

3. (cS)⊗ T = S ⊗ (cT ) = c(S ⊗ T ), ∀ S ∈ τk(V ), ∀ T ∈ τ l(V ), ∀ x ∈ R.

4. (S ⊗ T )⊗R = S ⊗ (T ⊗R), ∀ S ∈ τk(V ), ∀ T ∈ τ l(V ), ∀ R ∈ τ r(V ).

Demostracion. Probaremos solo una de ellas, las demas son analogas. Denotando v = (v1, . . . , vk) ∈ V k

y w = (vk+1, . . . , vk+l) ∈ V l, tenemos

[(S1 + S2)⊗ T ](v, w) = (S1 + S2)(v)T (w) = [S1(v) + S2(v)]T (w) = S1(v)T (w) + S2(v)T (w)

= (S1 ⊗ T )(v, w) + (S2 ⊗ T )(v, w) = [(S1 ⊗ T ) + (S2 ⊗ T )](v, w)

Observaciones:

1. Por la parte 4 de la proposicion anterior podemos escribir

S ⊗ T ⊗R = (S ⊗ T )⊗R = S ⊗ (T ⊗R)

2. Podemos generalizar la observacion anterior y definir los productos tensoriales de la manera si-guiente: Si T1 ∈ τk1 , . . . , Tn ∈ τkn entonces T1 ⊗ · · · ⊗ Tn ∈ τk1+···+kn(V ).

Proposicion 6.1.3 Sea V un R-espacio vectorial de dimension n, v1, . . . , vn una base ordenada de Vy ϕ1, . . . , ϕn su base dual asociada (es decir ϕi ∈ V ∗ y ϕi(vj) = δij). Entonces el conjunto

ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik ; 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n

es una base de τk(V ).

Demostracion. En primer lugar como ϕ1, . . . , ϕn ∈ V ∗ = τ1(V ) se tiene que ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik ∈ τk(V ),∀ 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n, ademas observe que

(ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik)(vj1 , . . . , vjk) = ϕi1(vj1) · · ·ϕik(vjk) =

1, si i1 = j1, . . . , ik = jk

0, en otro caso

Dado T ∈ τk(V ), consideremosn

∑

j1,...,jk=1

T (vj1 , . . . , vjk)(ϕj1 ⊗ · · · ⊗ ϕjk) ∈ τk(V ), para 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n

tenemos:

n∑

j1,...,jk=1

T (vj1 , . . . , vjk)(ϕj1 ⊗ · · · ⊗ ϕjk)

(vi1 , . . . , vik) = T (vi1 , . . . , vik)

Analisis Real II 111

De aquı se deduce que T =n

∑

j1,...,jk=1

T (vj1 , . . . , vjk)(ϕj1⊗· · ·⊗ϕjk). Luego el conjunto ϕi1⊗· · ·⊗ϕik ; 1 ≤

i1, . . . , ik ≤ n genera τk(V ). Para probar la independencia lineal, supongase que existen ai1...ik ∈ Rtales que

n∑

i1,...,ik=1

ai1...ik(ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik) = 0

Dados j1, . . . , jk ∈ 1, . . . , n, considerando (vj1 , . . . , vjk) ∈ V k se tiene

0 =n

∑

i1,...,ik=1

ai1...ik (ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik) (vj1 , . . . , vjk) =n

∑

i1,...,ik=1

ai1...ikϕi1(vj1) · · ·ϕik(vjk) = aj1...jk

Esto prueba la independencia lineal.

Corolario. Si V es un R-espacio vectorial de dimension n, entonces dim R τk(V ) = nk.

Ejemplo 6.1.1 Sea V = Rn, e1, . . . , en la base canonica de Rn y f1, . . . , fn su base dual asociada,entonces fi ⊗ fj : 1 ≤ i, j ≤ n es una base de τ2(Rn). Si consideramos

T : V × V → R(v, w) 7→ T (v, w) = 〈v, w〉

entonces T ∈ τ2(Rn), luego

T =n

∑

i=1

n∑

j=1

T (ei, ej)fi ⊗ fj =n

∑

i=1

fi ⊗ fi

De esta manera, el producto interno en Rn es un 2-tensor simetrico.

6.2 Formas Alternadas y Producto Exterior

Dado k ∈ N, denotemos por Sk al grupo de todas las permutaciones del conjunto 1, . . . , k dotado de laoperacion de composicion de funciones.

σ ∈ Sk ⇐⇒ σ : 1, . . . , k → 1, . . . , k tal que σ es biyectiva

Recordemos que toda permutacion es un producto de transposiciones, en donde una transposicion esuna permutacion σ ∈ Sk tal que existen i, j ∈ 1, 2, . . . , k con i 6= j tal que σ(i) = j, σ(j) = i y σ(r) = r,∀ r ∈ 1, 2, . . . , k − i, j.

Una permutacion es llamada par si puede ser representada como un producto de un numero par detransposiciones, caso contrario, la permutacion es llamada impar. Sea σ ∈ Sk, definimos el signo de σ,denotado sig (σ) como

sig (σ) =

1, si σ es par−1, si σ es impar

No es difıcil probar que sig : (Sk, ) → (−1, 1, ·) es un homomorfismo de grupos (¡Ejercicio!).

Analisis Real II 112

Dados T ∈ τk(V ) y σ ∈ Sk, definimos σ · T : V k → R mediante

(σ · T )(v1, . . . , vk) = T (vσ(1), . . . , vσ(k)), ∀ v1, . . . , vk ∈ V

Es claro que σ · T ∈ τk(V ), ademas tenemos el siguiente resultado:

Proposicion 6.2.1 Se cumplen las diguientes propiedades:

1. σ · (T + S) = σ · T + σ · S, ∀ T, S ∈ τk(V ), ∀ σ ∈ Sk.

2. σ · (aT ) = a(σ · T ), ∀ T ∈ τk(V ), ∀ σ ∈ Sk, ∀ a ∈ R.

3. (σ τ) · T = τ · (σ · T ), ∀ T ∈ τk(V ), ∀ σ, τ ∈ Sk.

Demostracion. 3.) Dados T ∈ τk(V ) y σ, τ ∈ Sk, tenemos:

[τ · (σ · T )] (v1, . . . , vk) = (σ · T )(vτ(1), . . . , vτ(k)) = T (vσ(τ(1)), . . . , vσ(τ(1)))

= T (v(στ)(1), . . . , v(στ)(k)) = [(σ τ) · T ] (v1, . . . , vk)

De aquı el resultado se sigue.

Observaciones:

1. Por induccion se cumple:

(a) σ ·

(

n∑

i=1

aiTi

)

=n

∑

i=1

ai(σ · Ti), ∀ T1, . . . Tn ∈ τk(V ), ∀ a1, . . . , an ∈ R, ∀ σ ∈ Sk.

(b) (σn · · · σ1) · T = σ1 · (· · · (σn · T ) · · ·), ∀ σ1, . . . , σn ∈ Sk, ∀ S ∈ τk(V ).

2. Podemos definir Γ : Sk × τk(V ) → τk(V ) como

Γ(σ, T ) = σ · T

La proposicion anterior muestra que Γ respeta la propiedad de grupo de Sk y la de espacio vectorialde τk(V ). Decimos que el grupo Sk actua sobre τk(V ).

Con la notacion anterior, podemos introducir el concepto de k-forma alternada.

Definicion 6.2.1 Sea V un R-espacio vectorial y ω : V k → R. Decimos que ω es una k-forma linealalternada si y solo si

1. ω ∈ τk(V ).

2. σ · ω = sig (σ)ω, ∀ σ ∈ Sk.

Observaciones:

1. Denotaremos por∧k(V ) al conjunto de todas las k-formas lineales alternadas sobre V .

Analisis Real II 113

2. Si w ∈∧k(V ) y σ ∈ Sk es una transposicion tal que σ(i) = j, σ(j) = i y σ(r) = r, ∀ r ∈

1, 2, . . . , k − i, j, entonces

ω(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk) = ω(vσ(1), . . . , vσ(i), . . . , vσ(j), . . . , vσ(k))

= (σ · ω)(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk)

= sig (σ)ω(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk)

= −ω(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk)

3. Es claro que∧k(V ) ⊆ τk(V ).

Proposicion 6.2.2∧k(V ) es un subsespacio vectorial de τk(V ).

Demostracion. Sean ω, η ∈∧k(V ) y a, b ∈ R. Sabemos que aω + bη ∈ τk(V ). Por otro lado, si σ ∈ Sk

tenemosσ · (aω + bη) = a σ · ω + b σ · η = a sig (σ)ω + b sig (σ)η = sig (σ)(aω + bη)

Por lo tanto aω + bη ∈∧k(V ).

Observacion: Es claro que∧1(V ) = V ∗. Vamos a convenir que

∧0(V ) = R.

Definicion 6.2.2 Si T ∈ τk(V ) entonces el alternado de T , denotado Alt (T ) se define como

Alt (T ) =1k!

∑

σ∈Sk

sig (σ)(σ · T )

Teorema 6.2.3 Se cumplen las siguientes propiedades:

1. Si T ∈ τk(V ) entonces Alt (T ) ∈∧k(V ).

2. Si ω ∈∧k(V ) entonces Alt (ω) = ω.

3. Si T ∈ τk(V ) entonces Alt (Alt (T )) = Alt (T ).

Demostracion. 1) Sea T ∈ τk(V ), es claro que Alt (T ) =1k!

∑

σ∈Sk

sig (σ)(σ · T ) ∈ τk(V ). Por otro lado,

para τ ∈ Sk, se cumple

τ · (Alt (T )) = τ ·

(

1k!

∑

σ∈Sk

sig (σ)(σ · T )

)

=1k!

∑

σ∈Sk

sig (σ) (τ · (σ · T ))

= sig (τ)1k!

∑

σ∈Sk

sig (σ τ) [(σ τ) · T ] = sig (τ)Alt (T )

es decir Alt (T ) ∈∧k(V ).

Analisis Real II 114

2.) Sea ω ∈∧k(V ),

Alt (ω) =1k!

∑

σ∈Sk

sig (σ)(σ · ω) =1k!

∑

σ∈Sk

sig (σ)2ω =1k!

∑

σ∈Sk

ω = ω

3.) Inmediato de 1. y 2.

Observacion: Podemos definir la funcion Alt : τk(V ) →∧k(V ) que a cada T ∈ τk(V ) le asocia

Alt (T ) ∈∧k(V ). No es difıcil probar Alt ∈ L(τk(V );

∧k(V )) (¡Ejercicio!).

Sean ω ∈∧k(V ) y η ∈

∧l(V ) entonces ω ⊗ η no necesariamente esta en∧k+l(V ).

Definicion 6.2.3 Sean ω ∈∧k(V ) y η ∈

∧l(V ), el producto exterior de ω y η, denotado por ω ∧ η sedefine como:

ω ∧ η =(k + l)!

k! l!Alt (ω ⊗ η)

Observacion: Si ω ∈∧k(V ) y η ∈

∧l(V ) entonces ω ∧ η ∈∧k+l(V ).

Las principales propiedades del producto exterior estan resumidas en la siguiente proposicion.

Proposicion 6.2.4 Se cumple

1. (ω1 + ω2) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η, ∀ ω1, ω2 ∈∧k(V ), ∀ η ∈

∧l(V ).

2. ω ∧ (η1 + η2) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2, ∀ ω ∈∧k(V ), ∀ η1, η2 ∈

∧l(V ).

3. (cω) ∧ η = ω ∧ (cη) = c(ω ∧ η), ∀ ω ∈∧k(V ), ∀ η ∈

∧l(V ), ∀ c ∈ R.

4. ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω, ∀ ω ∈∧k(V ), ∀ η ∈

∧l(V ).

Demostracion. 1.) Por la linealidad de Alt tenemos

(ω1 + ω2) ∧ η =(k + l)!

k! l!Alt [(ω1 + ω2)⊗ η] =

(k + l)!k! l!

Alt [ω1 ⊗ η + ω2 ⊗ η]

=(k + l)!

k! l![Alt (ω1 ⊗ η) + Alt (ω2 ⊗ η)] = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η

4.) Consideremos la permutacion

τ =(

1 2 · · · k − 1 k k + 1 · · · k + l − 1 k + ll + 1 l + 2 · · · l + k − 1 l + k 1 · · · l − 1 l

)

∈ Sk+l

Observe que

τ = (1, k + l) · · · (1, k + 1)(2, k + l) · · · (2, k + 1) · · · (k, k + l) · · · (k, k + 1),

Analisis Real II 115

luegosig (τ) = (−1)kl

Ademas, para v1, . . . , vk+l ∈ V tenemos:

[σ · (η ⊗ ω)] (v1, . . . , vk+l) = (η ⊗ ω)(vσ(1), . . . , vσ(k+l)) = η(vσ(1), . . . , vσ(l)) ω(vσ(l+1), . . . , vσ(k+l))= η(vσ(τ(k+1)), . . . , vσ(τ(k+l))) ω(vσ(τ(1)), . . . , vσ(τ(k)))

= ω(v(στ)(1), . . . , v(στ)(k)) η(v(στ)(k+1), . . . , v(στ)(k+l))

= (ω ⊗ η)(v(στ)(1), . . . , v(στ)(k+l)) = [(σ τ) · (ω ⊗ η)] (v1, . . . , vk+l)

Luego

Alt (η ⊗ ω) =1

(k + l)!

∑

σ∈Sk+l

sig (σ) [σ · (η ⊗ ω)] = sig (τ)1

(k + l)!

∑

σ∈Sk+l

sig (σ τ) [(σ τ) · (ω ⊗ η)]

= sig (τ)Alt (ω ⊗ η) = (−1)klAlt (ω ⊗ η)

lo que concluye la demostracion.

Teorema 6.2.5 Sean S ∈ τk(V ) tal que Alt (S) = 0 y T ∈ τ l(V ). Entonces

Alt (S ⊗ T ) = Alt (T ⊗ S) = 0

Demostracion. Considero

H = σ ∈ Sk+l; σ(k + 1) = k + 1, . . . , σ(k + l) = k + l

Observe que el mapeoψ : Sk → Sk+l

σ 7→ ψ(σ)definido por

ψ(σ)(j) =

σ(j), si 1 ≤ j ≤ kj, si k + 1 ≤ j ≤ k + l

es un monomorfismo de grupos e Im (ψ) = H. Luego H es un subgrupo de Sk+l (al cual lo podemosidentificar con Sk) y podemos considerar el conjunto cociente

Sk+l/H = Hσ : σ ∈ Sk+l

De la teorıa de grupos tenemos que

card (Sk+l/H) =o(Sk+l)o(H)

=(k + l)!

k!= (k + 1) · · · (k + l) = N

Luego Sk+l =N⋃

j=1

Hσj (union disjunta), donde σ1 = e ∈ Sk+l. Luego por definicion

(k + l)! [Alt (S ⊗ T )] =∑

σ∈Sk+l

sig (σ) [σ · (S ⊗ T )] =N

∑

j=1

∑

σ∈Hσj

sig (σ) [σ · (S ⊗ T )]

=∑

σ∈H

sig (σ) [σ · (S ⊗ T )] +N

∑

j=2

∑

σ∈H

sig (σ σj) [(σ σj) · (S ⊗ T )] (6.1)

Analisis Real II 116

Pero

[σ · (S ⊗ T )] (v1, . . . , vk+l) = S(vσ(1), . . . , vσ(k)) T (vσ(k+1), . . . , vσ(k+l))

= S(vσ(1), . . . , vσ(k)) T (vk+1, . . . , vk+l) = [(σ · S)⊗ T ] (v1, . . . , vk+l)

es decirσ · (S ⊗ T ) = (σ · S)⊗ T, ∀ σ ∈ Sk+l

luego

∑

σ∈H

sig (σ) [σ · (S ⊗ T )] =∑

σ∈H

sig (σ) [(σ · S)⊗ T ] =

(

∑

σ∈H

sig (σ)((σ · S)

)

⊗ T

= k! Alt (S)⊗ T = 0 (6.2)

y para j = 2, . . . , N se tiene:∑

σ∈H

sig (σ σj) [(σ σj) · (S ⊗ T )] =∑

σ∈H

sig (σ σj) [σj · ((σ · S)⊗ T )]

= sig (σj) σj ·

(

∑

σ∈H

sig (σ) [(σ · S)⊗ T )]

)

= sig (σj)σj · (k! Alt (S)⊗ T ) = 0 (6.3)

Reemplazando (6.2) y (6.3) en (6.1) tenemos que Alt (S ⊗ T ) = 0.

Corolario. Sean ω ∈∧k(V ), η ∈

∧l(V ) y θ ∈∧r(V ), se cumple

1. Alt (Alt (ω ⊗ η)⊗ θ) = Alt (ω ⊗ η ⊗ θ) = Alt (ω ⊗ (Alt (η ⊗ θ))).

2. (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) =(k + l + r)!

k! l! r!Alt (ω ⊗ η ⊗ θ).

Demostracion. 1) Primeramente observe que

Alt (Alt (η ⊗ θ)− η ⊗ θ) = Alt (Alt (η ⊗ θ))−Alt (η ⊗ θ) = 0

Luego por el Teorema 6.2.5

0 = Alt (ω ⊗ [Alt (η ⊗ θ)− η ⊗ θ)]) = Alt (ω ⊗Alt (η ⊗ θ)− ω ⊗ (η ⊗ θ))

= Alt (ω ⊗Alt (η ⊗ θ)−Alt (ω ⊗ (η ⊗ θ)))

Por lo tantoAlt (ω ⊗ (η ⊗ θ)) = Alt (ω ⊗Alt (η ⊗ θ))

2)

(ω ∧ η) ∧ θ =(k + l + r)!(k + l)! r!

Alt ((ω ∧ η)⊗ θ) =(k + l + r)!(k + l)! r!

Alt(

(k + l)!k! l!

Alt (ω ⊗ η)⊗ θ)

=(k + l + r)!(k + l)! r!

(k + l)!k! l!

Alt (Alt (ω ⊗ η)⊗ θ) =(k + l + r)!

k! l! r!Alt (ω ⊗ η ⊗ θ)

Analisis Real II 117

Observacion: Por la parte 2 del corolario anterior, denotamos

ω ∧ η ∧ θ =(k + l + r)!

k! l! r!Alt (ω ⊗ η ⊗ θ)

En general si ω1 ∈∧k1(V ), . . . , ωm ∈

∧km(V ) entonces

ω1 ∧ · · · ∧ ωm =(k1 + · · ·+ km)!

k1! · · · km!Alt (ω1 ⊗ · · · ⊗ ωm)

Cuando ϕ1, . . . , ϕm ∈∧1(V ) = V ∗ existe una manera sencilla de expresar el producto exterior

ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm. En efecto, del algebra lineal recordemos que si A = (aij) ∈ Rm×m entonces

det(A) =∑

σ∈Sm

sig (σ)a1σ(1) · · · amσ(m)

Proposicion 6.2.6 Sea V un R-espacio vectorial, v1, . . . , vm ∈ V y ϕ1, . . . , ϕm ∈∧1(V ) = V ∗ entonces

ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm ∈∧m(V ) y

(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm)(v1, . . . , vm) = det(ϕi(vj))

Demostracion. Por definicion:

(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm)(v1, . . . , vm) = m!Alt (ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕm)(v1, . . . , vm)

= m!1m!

∑

σ∈Sm

sig (σ) [σ · (ϕ1 ⊗ · · · ⊗ ϕm)] (v1, . . . , vm)

=∑

σ∈Sm

sig (σ)ϕ1(vσ(1)) · · ·ϕm(vσ(m)) = det(ϕi(vj))

lo cual prueba el resultado.

A continuacion, trataremos de hallar una base para los espacios∧k(V ).

Proposicion 6.2.7 Sea V un R-espacio vectorial, ω ∈∧k(V ) y v1, . . . , vk ∈ V . Si existen i, j ∈

1, . . . , k con i 6= j tal que vi = vj entonces ω(v1, . . . , vk) = 0.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, supongamos que 1 ≤ i < j ≤ k y consideremos σ ∈ Sk talque σ = (j, i). Como ω ∈

∧k(V ) tenemos

ω(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk) = ω(vσ(1), . . . , vσ(j), . . . , vσ(i), . . . , vσ(k))

= sig (σ)ω(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vk)

= −ω(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vk)

Se sigue que ω(v1, . . . , vk) = 0.

Corolario 1. Sea V un R-espacio vectorial de dimension n, v1, . . . , vn una base de V y ω, η ∈∧k(V ),

con k ≤ n tales que

ω(vi1 , . . . , vik) = η(vi1 , . . . , vik), ∀ 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n

Analisis Real II 118

Entonces ω = η.

Demostracion. Desde que v1, . . . , vn es una base de V , es suficiente probar que ω(vi1 , . . . , vik) =η(vi1 , . . . , vik), ∀ 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n.

Sean i1, . . . , ik ∈ 1, . . . , n, ocurren dos casos:

Caso 1. ir = is, por la Proposicion (6.2.7), (ω − η)(v1, . . . , vk) = 0.

Caso 2. ir 6= is, ∀ 1 ≤ r 6= s ≤ k. En este caso existe σ ∈ Sk tal que 1 ≤ σ(i1) < . . . < σ(ik) ≤ n, luego

(ω − η)(vi1 , . . . , vik) =1

sig (σ)[σ · (ω − η)] (vi1 , . . . , vik) = (ω − η)(vσ(i1), . . . , vσ(ik))

=1

sig (σ)[ω(σ(i1), . . . , σ(ik))− η(σ(i1), . . . , σ(ik))] = 0

Corolario 2. Sea V un R-espacio vectorial de dimension n entonces∧k(V ) = 0, ∀ k > n.

Demostracion. Es consecuencia de que si tomamos k-uplas de n elementos (k > n) entonces por lomenos dos se repiten.

Teorema 6.2.8 Sea V un R-espacio vectorial de dimension n, v1, . . . , vn una base de V y ϕ1, . . . , ϕnsu base dual asociada. Si k ≤ n entonces

ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik ; 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n

es una base de∧k(V ).

Demostracion. En primer lugar, afirmo que

(ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik)(vj1 , . . . , vjk) =

1, si i1 = j1, . . . , ik = jk0, en otro caso

En efecto, sean 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n y 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n, denotemos I = (i1, . . . , ik) yJ = (j1, . . . , jk).

Si I 6= J entonces existe un s ∈ 1, . . . , k tal que is /∈ j1, . . . , jk, luego ϕis(vj1) = · · · = ϕis(vjk) = 0y por lo tanto (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik)(vj1 , . . . , vjk) = 0.

Si I = J entonces (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik)(vj1 , . . . , vjk) = 1 y esto prueba la afirmacion.

Dado ω ∈∧k(V ), considero

η =∑

1≤i1<···<ik≤n

ω(vi1 , . . . , vik)ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik ∈k

∧

(V )

Si 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n, se tiene

η(vj1 , . . . , vjk) =∑

1≤i1<···<ik≤n

ω(vi1 , . . . , vik) (ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik) (vj1 , . . . , vjk) = ω(vj1 , . . . , vjk)

Analisis Real II 119

Se sigue que η = ω y por lo tanto

ω =∑

1≤i1<···<ik≤n

ω(vi1 , . . . , vik)ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik

Por otro lado, supongamos que existen constantes ai1···ik ∈ R tales que∑

1≤i1<···<ik≤n

ai1···ikϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik = 0

Para 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n, tenemos

aj1···jk =∑

1≤i1<···<ik≤n

ai1···ik(ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik)(vj1 , . . . , vjk) = 0,

y esto prueba que el conjunto ϕi1 ∧ · · · ∧ ϕik ; 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n es una base de∧k(V ).

Corolario. Si V es un R-espacio vectorial de dimension n, entonces dim R∧k(V ) =

n!(n− k)! k!

=(

nk

)

.

Observacion: Sea V un R-espacio vectorial de dimension n, v1, . . . , vn una base de V y ϕ1, . . . , ϕnsu base dual asociada.

1. Si ω ∈n∧

(V ) entonces ω = c ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn, donde c ∈ R.

2. Si ω ∈n−1∧

(V ) entonces ω =∑

i=1

ciϕ1 ∧ · · · ∧ ϕi ∧ · · · ∧ ϕn, donde c1, . . . , cn ∈ R.

3. Si ω ∈1

∧

(V ) entonces ω =∑

i=1

ciϕi, donde c1, . . . , cn ∈ R.

6.3 Algebras de Grassmann

Sea V es un R-espacio vectorial de dimension n entonces∧0(V ) = R,

∧1(V ) = V ∗,∧2(V ), . . .

∧n(V )son R-espacios vectoriales no triviales.

Definicion 6.3.1 Sea V es un R-espacio vectorial de dimension n. El Algebra de Grassmann asociada aV , denotada por

∧

(V ) se define como

∧

(V ) =0

∧

(V )⊕1

∧

(V )⊕ · · · ⊕n∧

(V )

Observaciones:

1.∧

(V ) es un R-espacio vectorial.

Analisis Real II 120

2. dim R

(∧

(V ))

=n

∑

k=0

dim R

(

k∧

(V )

)

=n

∑

k=0

(

nk

)

= 2n.

Definicion 6.3.2 Sean V , W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V,W ). Dada T ∈ τk(W ), definimos elpullback de T bajo f , lo cual denotamos por f∗(T ) como el mapeo f∗(T ) : V k → R definido por

f∗(T )(v1, . . . , vk) = T (f(v1), . . . , f(vk)), ∀ v1, . . . , vk ∈ V

Observacion: Si T ∈ τ0(W ) = R entonces convenimos que f∗(T ) = T .

Proposicion 6.3.1 Sean V , W dos R-espacios vectoriales, f ∈ L(V, W ) y T ∈ τk(W ). Entonces f∗(T ) ∈τk(V ).

Demostracion. Se sigue directamente de las definiciones.

Proposicion 6.3.2 Sean V , W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V,W ). Se cumple:

1. f∗(cT ) = cf∗(T ), ∀ T ∈ τk(W ).

2. f∗(S + T ) = f∗(S) + f∗(T ), ∀ S, T ∈ τk(W ).

3. f∗(S ⊗ T ) = f∗(S)⊗ f∗(T ), ∀ S ∈ τk(W ), ∀ T ∈ τ l(W ).

4. f∗(σ · T ) = σ · f∗(T ), ∀ T ∈ τk(W ), ∀ σ ∈ Sk.

Demostracion. 3.) Dados v1, . . . , vk+l ∈ V , tenemos

f∗(S ⊗ T )(v1, . . . , vk+l) = (S ⊗ T )(f(v1), . . . f(vk+l)) = S(f(v1), . . . f(vk))T (f(v1k + 1), . . . f(vk+l)

= f∗(S)(v1, . . . , vk)f∗(T )(vk+1, . . . , vk+l) = [f∗(S)⊗ f∗(T )] (v1, . . . , vk+l)

Por lo tanto f∗(S ⊗ T ) = f∗(S)⊗ f∗(T ).

4.) Dados v1, . . . , vk+l ∈ V , tenemos

[f∗(σ · T )] (v1, . . . , vk) = (σ · T )(f(v1), . . . f(vk)) = T (f(vσ(1)), . . . , (f(vσ(k)))

= f∗(T )(vσ(1), . . . , (f(vσ(k)) = [σ · f∗(T )] (v1, . . . , vk)

Por lo tanto f∗(σ · T ) = σ · f∗(T ).

Proposicion 6.3.3 Sean V , W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V, W ). Si ω ∈∧k(W ) entonces

f∗(ω) ∈∧k(V ).

Demostracion. Si ω ∈∧k(W ) entonces ω ∈ τk(W ) y por lo tanto f∗(ω) ∈ τk(V ). Por otro lado, para

σ ∈ Sk tenemosσ · f∗(ω) = f∗(σ · ω) = f∗(sig (σ)ω) = sig (σ)f∗(ω)

Por lo tanto f∗(ω) ∈∧k(V ).

Analisis Real II 121

Observaciones:

1. f∗ ∈ L(τk(W ), τk(V )).

2. f∗ ∈ L(∧k(W ),

∧k(V )).

3. f∗ ∈ L(∧

(V )).

4. Si Γ : Sk × τk(V ) → τk(V ) se define como Γ(σ, T ) = σ · T , entonces

f∗ (Γ(σ, T )) = Γ(σ, f∗(T )).

Proposicion 6.3.4 Sean V , W dos R-espacios vectoriales y f ∈ L(V,W ), se cumple:

1. f∗[Alt (T )] = Alt (f∗(T )), ∀ T ∈ τk(W )

2. f∗(ω ∧ η) = f∗(ω) ∧ f∗(η), ∀ ω ∈∧k(W ) y ∀ η ∈

∧l(W ).

Demostracion. 1.)

f∗[Alt (T )] = f∗(

1k!

∑

σ∈Sk

sig (σ)(σ · T )

)

=1k!

∑

σ∈Sk

sig (σ) f∗(σ · T ) =1k!

∑

σ∈Sk

sig (σ) (σ · f∗(T ))

= Alt (f∗(T ))

2.)

f∗(ω ∧ η) = f∗(

(k + l)!k! l!

Alt (ω ⊗ η))

=(k + l)!

k! l!f∗ (Alt (ω ⊗ η)) =

(k + l)!k! l!

Alt (f∗(ω ⊗ η))

=(k + l)!

k! l!Alt (f∗(ω)⊗ f∗(η)) = f∗(ω) ∧ f∗(η)

Observacion: De la parte 1 de la proposicion anterior, se tiene que el siguiente diagrama es conmutativo

τk(W ) Alt−→k

∧

(W )

f∗ ↓ ↓ f∗

τk(V )−→Alt

k∧

(V )

Proposicion 6.3.5 (Propiedad functorial del pullback) Sean V , W y X tres espacios vectoriales,f ∈ L(V,W ) y g ∈ L(W,X) entonces (g f)∗ ∈ L(τk(X), τk(V )) y (g f)∗ = f∗ g∗.

Demostracion. ¡Ejercicio!

El siguiente resultado es de utilidad cuando trabajamos con dos R-espacios vectoriales de la mismadimension.

Analisis Real II 122

Proposicion 6.3.6 Sean V , W dos R-espacios vectoriales de dimension m, consideremos v1, . . . , vmy w1, . . . , wm bases de V y W respectivamente y ϕ1, . . . , ϕm, ψ1, . . . , ψm sus respectivas basesduales. Si f ∈ L(V,W ) entonces

f∗(ψ1 ∧ · · · ∧ ψm) = det(f) ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm

Demostracion. Sabemos que ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm y ψ1 ∧ · · · ∧ ψm son bases de∧m(V ) y

∧m(W ), luegoexiste c ∈ R tal que

f∗(ψ1 ∧ · · · ∧ ψm) = c ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm

Para determinar el valor de c, evaluemos ambos lados en (v1, . . . , vm):

c = c (ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕm) (v1, . . . , vm) = [f∗(ψ1 ∧ · · · ∧ ψm)] (v1, . . . , vm)= (ψ1 ∧ · · · ∧ ψm) (f(v1), . . . , f(vm)) = (det(ψi(f(vj))))

Por otro lado, si denotamos por (aij) a la matriz asociada a f en las bases dadas de V y W , es decir:

f(vj) =m

∑

k=1

ajkwk, tenemos:

ψi(f(vj)) =m

∑

k=1

ajkψi(wk) = aji

reemplazando en la desigualdad anterior se llega a

c = det(aji) = det(f)

lo que prueba la proposicion.

6.4 Formas Diferenciales

De ahora en adelante, todas las superficies consideradas seran de clase C∞ (a este tipo de superficies seles acostumbra llamar suaves). Sea Mm ⊆ Rn una superficie, sabemos que para cada p ∈ M podemosconsiderar el espacio tangente TpM el cual es un R-espacio vectorial de dimension m, ası, podemos

considerar el espacio vectorial de las k-formas alternadask

∧

(TpM).

Definicion 6.4.1 Sea Mm ⊆ Rn una superficie suave y k ∈ N. Una forma exterior de grado k osimplemente k-forma sobre M es una funcion ω que a cada p ∈ M le asocia ω(p) = ωp ∈

∧k(TpM), esdecir

ω : M →⋃

p∈M

∧k(TpM)

p 7→ ωp ∈∧k(TpM)

Observaciones:

1. Denotaremos por Fk(M) al conjunto de todas las k-formas sobre M .

Analisis Real II 123

2. Como0

∧

(TpM) = R, concluimos que una 0-forma sobre X no viene a ser si no una funcion definidaen M a valores reales.

Definicion 6.4.2 Sea Mm ⊆ Rn

1. Si ω, η ∈ Fk(M), definimos la suma de ω y η denotada por ω + η como la funcion

ω + η : M →⋃

p∈M

∧k(TpM)

p 7→ (ω + η)p = ωp + ηp

2. Si ω ∈ Fk(M) y c ∈ R, definimos el producto de c por ω denotado por cω como la funcion

cω : M →⋃

p∈M

∧k(TpM)

p 7→ (cω)p = cωp

3. Si ω ∈ Fk(M) y f ∈ F0(M), definimos el producto de f y ω denotado por fω como la funcion

fω : M →⋃

p∈M

∧k(TpM)

p 7→ (fω)p = f(p)ωp

4. Si ω ∈ Fk(M) y η ∈ F l(M), definimos el producto exterior de ω y η denotado por ω ∧ η como lafuncion

ω ∧ η : M →⋃

p∈M

∧k(TpM)

p 7→ (ω ∧ η)p = ωp ∧ ηp

Observaciones:

1. La parte 2 de la definicion anterior es un caso particular de la parte 3.

2. Con las operaciones de suma y producto por numeros reales Fk(M), se torna un R-espacio vectorial.

3. Con las operaciones de suma y producto por una funcion, Fk(M) se torna un F0(M)-modulo.

4. Podemos generalizar la parte 4 de la definicion anterior: Sean ω1 ∈ Fk1(M), . . . , ωs ∈ Fks(M),definimos ω1 ∧ · · · ∧ ωs ∈ Fk(M) (k = k1 + · · ·+ ks) como

(ω1 ∧ · · · ∧ ωs)p = (ω1)p ∧ · · · ∧ (ωs)p, ∀ p ∈ M

Proposicion 6.4.1 Se cumplen las siguientes propiedades:

1. (ω1 + ω2) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η, ∀ ω1, ω2 ∈ Fk(M), ∀ η ∈ F l(M).

Analisis Real II 124

2. ω ∧ (η1 + η2) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2, ∀ ω ∈ Fk(M), ∀ η1, η2 ∈ F l(M).

3. (cω) ∧ η = ω ∧ (cη) = c(ω ∧ η), ∀ ω ∈ Fk(M), ∀ η ∈ F l(M), ∀ c ∈ R.

4. (fω) ∧ η = ω ∧ (fη) = f(ω ∧ η), ∀ ω ∈ Fk(M), ∀ η ∈ F l(M), ∀ f ∈ F0(M).

5. ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω, ∀ ω ∈ Fk(M), ∀ η ∈ F l(M).

6. (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ), ∀ ω ∈ Fk(M), ∀ η ∈ F l(M), ∀ θ ∈ Fr(M)

Demostracion. 5) Sea p ∈ M , se cumple

(ω ∧ η)p = ωp ∧ ηp = (−1)klηp ∧ ωp = (−1)kl(η ∧ ω)p

Se sigue que ω ∧ η = (−1)klη ∧ ω.

Ejemplo 6.4.1 Sea U ⊆ Rn abierto y ω1, . . . , ωk ∈ F1(U) entonces ω1∧· · ·∧ωk ∈ Fk(U). En particularsi denotamos por x1, . . . , xm a las coordenadas de U y si (e1)p, (e2)p, . . . , (en)p es la base canonica deRn

p , su base dual se acostumbra a denotar por (dx1)p, . . . , (dxn)p (i.e. (dxj)p(ei)p = δij) entoncesdados los subındices i1, . . . , ik ∈ 1, . . . , n tenemos que dxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∈ Fk(U).

Si k ≤ n y p ∈ U , del Teorema 6.2.8 sabemos que

(dxi1)p ∧ · · · ∧ (dxik)p; 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n

es una base de∧k(Rn

p ). Luego si ω ∈ Fk(U) y p ∈ U entonces ωp ∈∧k(Rn

p ), luego existen constantesai1...ik(p) ∈ R tales que

ωp =∑

1≤i1<···<ik≤n

ai1...ik(p)(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)p =

∑

1≤i1<···<ik≤n

ai1...ik(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)

p

,

es decirω =

∑

1≤i1<···<ik≤n

ai1...ik(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)

De esta manera, quedan definidas(

nk

)

funciones ai1...ik : U → R (con 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n) las cuales

son llamadas funciones coordenadas de ω.

Observaciones:

1. Con el objetivo de simplificar la notacion, indicaremos por I a la k-upla I = (i1, . . . , ik) donde1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n y usaremos dxI para representar a dxi1 ∧ · · · ∧ dxik . Con este convenio, lak-forma ω =

∑

1≤i1<···<ik≤n

ai1...ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik puede ser escrita de manera mas compacta como

ω =∑

I

aIdxI .

Analisis Real II 125

2. Con la notacion anterior, si ω =∑

I

aIdxI , η =∑

I

bIdxI ∈ Fk(U) y f ∈ F0(U) entonces

ω + η =∑

I

(aI + bI)dxI , cω =∑

I

(caI)dxI y fω =∑

I

(faI)dxI

3. Sean U ⊆ Rn abierto, ω =∑

I

aIdxI ∈ Fk(U), η =∑

J

bJdxJ ∈ F l(U) donde I = (i1, . . . , ik), con

1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n y J = (j1, . . . , jk), con 1 ≤ j1 < · · · < jl ≤ n. Dado p ∈ U tenemos

(ω ∧ η)p = ωp ∧ ηp =

(

∑

I

aI(p)(dxI)p

)

∧

(

∑

J

bJ(p)(dxJ )p

)

=∑

I

aI(p)

[

(dxI)p ∧∑

J

bJ(p)(dxJ)p

]

=∑

I

∑

J

aI(p)bJ(p)(dxI)p ∧ (dxJ)p

=∑

I

∑

J

(aIbJ )(p)(dxI ∧ dxJ)p =

(

∑

I

∑

J

(aI · bJ ) dxI ∧ dxJ

)

p

es decirω ∧ η =

∑

I

∑

J

(aI · bJ) dxI ∧ dxJ

Usando las funciones coordenadas de una k-forma definida en un abierto, podemos definir su diferen-ciabilidad.

Definicion 6.4.3 Sea U ⊆ Rn un abierto. Decimos que una k-forma ω es de clase Cr en U si y solo sitodas sus funciones coordenadas son de clase Cr en U , en donde r = 0, 1, . . . ,∞.

Observacion: Si bien es cierto que las funciones coordenadas fueron definidas usando las bases canonicas,no es difıcil probar que la definicion de diferenciabilidad no depende de que base usamos para construirlas funciones coordenadas. Queda como ejercicio para el lector justificar esto.

Denotaremos por Ωkr (U) al conjunto de todas las k-formas de clase Cr en U . Escribiremos Ωk(U) en

vez de Ωk∞(U). Observe que Ω0(U) = C∞(U).

Proposicion 6.4.2 Con las operaciones de suma y producto por funciones definidas anteriormente,Ωk(U) es un C∞(U)-modulo.

Demostracion. Ejercicio.

Observacion: Si ω ∈ Ωk(U) y η ∈ Ωl(U) entonces ω ∧ η ∈ Ωk+l(U).

Ejemplo 6.4.2 Si ω = x1dx2 − x3dx4 ∈ Ω1(R4) y η = 3x2dx1 ∧ dx2 − (x4 − x1)dx2 ∧ dx3 ∈ Ω2(R4)entonces

ω ∧ η = −3x2x3dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 + (x3x4 − x1x3)dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 ∈ Ω3(R4).

Analisis Real II 126

Observacion: Sabemos que dxi ∧ dxi = 0, sin embargo en general no se cumple que ω ∧ ω = 0. Enefecto, sea ω = x1dx1 ∧ dx2 + x2dx3 ∧ dx4 ∈ Ω2(R4), entonces

ω ∧ ω = 2x1x2dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 6= 0.

6.5 Pull-back de Formas Diferenciales

Con el objetivo de definir la diferenciabilidad de k-formas en superficies, introducimos el concepto depull-back.

Sean Mm ⊆ Rs, Nn ⊆ Rl superficies suaves y sea F ∈ C1(M, N), dado p ∈ M sabemos queF ′(p) : TpM → TF (p)N es una transformacion lineal. Sea ω ∈ Fk(N), si p ∈ M entonces F (p) ∈ N luegoωF (p) ∈

∧k(TF (p)N), por tanto podemos considerar (F ′(p))∗(ωF (p)) ∈∧k(TpM), donde

(F ′(p))∗(ωF (p))(v1, . . . , vk) = ωF (p)(F ′(p)(v1), . . . , F ′(p)(vk)), ∀ v1, . . . , vk ∈ TpM.

Definicion 6.5.1 Sean Mm ⊆ Rs, Nn ⊆ Rl superficies suaves y sea F ∈ C1(U, V ). Si ω ∈ Fk(N),definimos el pull-back de ω bajo F , denotado por F ∗(ω) como

F ∗(ω) : M →⋃

p∈M

∧k(TpM)

p 7→ [F ∗(ω)]p = (F ′(p))∗(ωF (p))

Observaciones:

1. Si ω ∈ Fk(N) entonces F ∗(ω) ∈ Fk(M).

2. Si g ∈ C∞(N) = F0(N) entonces por la observacion a la Proposicion 6.3.2 tenemos

[F ∗(g)]p = [F ′(p)] (gF (p)) = g(F (p)) = (g F )(p)

Luego F ∗(g) = g F .

Proposicion 6.5.1 Sean Mm ⊆ Rs, Nn ⊆ Rl superficies suaves y sea F ∈ C1(U, V ), se cumple:

1. F ∗(ω1 + ω2) = F ∗(ω1) + F ∗(ω2), ∀ ω1, ω2 ∈ Fk(N).

2. F ∗(cω) = cF ∗(ω), ∀ ω ∈ Fk(N), ∀ c ∈ R.

3. F ∗(fω) = F ∗(f)F ∗(ω), ∀ ω ∈ Fk(N), ∀ f ∈ F0(N).

4. F ∗(ω ∧ η) = F ∗(ω) ∧ F ∗(η), ∀ ω ∈ Fk(N), ∀ η ∈ F l(N).

Analisis Real II 127

Demostracion. Solo probaremos 3.) las demas son semejantes. Dado p ∈ M tenemos

[F ∗(fω)]p = (F ′(p))∗((fω)F (p)) = (F ′(p))∗(f(F (p))ωF (p))

= f(F (p))(F ′(p))∗(ωF (p)) = (f F )(p)[F ∗(ω)]p = [(f F )F ∗(ω)]p

Luego F ∗(fω) = F ∗(f)F ∗(ω).

Proposicion 6.5.2 Si U ⊆ Rn, V ⊆ Rm son abiertos, V con coordenadas y1, . . . , ym y sea F =(F1, . . . , Fm) ∈ C1(U, V ) entonces

F ∗(dyi) = dFi, ∀ 1 ≤ i ≤ m.

Demostracion. Sea p ∈ U y ej = (ej)p vector canonico de Rnp , denotando por x1, . . . , xn a las coorde-

nadas del abierto U , tenemos:

[F ∗(dyi)]p (ej) = (F ′(p))∗((dyi)F (p))(ej) = (dyi)F (p)(F ′(p)(ej)) = (dyi)F (p)

(

∂F∂xj

(p))

= (dyi)F (p)

(

m∑

k=1

∂Fk

∂xj(p)(ek)F (p)

)

=m

∑

k=1

∂Fk

∂xj(p)((dyi)F (p))((ek)F (p)) =

∂Fi

∂xj(p)

= F ′i (p)(ej)

Ası [F ∗(dyi)]p = F ′i (p) = (dFi)p, ∀ p ∈ U y la proposicion queda demostrada.

Observaciones: Sean U ⊆ Rn, V ⊆ Rm abiertos y F = (F1, . . . , Fm) ∈ C1(U, V ) entonces

1. Si ϕ =m

∑

i=1

aidyi ∈ F1(V ) entonces F ∗(ϕ) =m

∑

i=1

(ai F )dFi ∈ F1(V ).

2. F ∗(dyi1 ∧ · · · ∧ dyik) = dFi1 ∧ · · · ∧ dFik .

Mas aun, si para I = (i1, . . . , ik) (con i1 < · · · < ik) denotamos dFI = dFi1 ∧ · · · ∧ dFik , entonces

F ∗(dyI) = dFI

3. F ∗(

∑

I

aIdyI

)

=∑

I

(aI F ) dFI , para toda∑

I

aIdyI ∈ Fk(V ).

Proposicion 6.5.3 Sean U ⊆ Rn, V ⊆ Rm abiertos y F ∈ C∞(U, V ). Si ω ∈ Ωk(V ) entonces F ∗(ω) ∈Ωk(U).

Demostracion. Sabemos que si ω =∑

I

aIdyI ∈ Ωk(V ) entonces F ∗(ω) =∑

I

(aI F ) dFI

Como F : U → V es de clase C∞ entonces Fi ∈ C∞(U) luego

dFi =∂Fi

∂x1dx1 + · · ·+ ∂Fi

∂xmdxm ∈ Ω1(U)

Analisis Real II 128

Por lo tanto dFi1 ∧ · · · ∧ dFik ∈ Ωk(U) y de aquı concluimos que F ∗(ω) ∈ Ωk(U).

Observacion: Si F ∈ C∞(U, V ) entonces F ∗ : Ωk(V ) → Ωk(U).

Proposicion 6.5.4 Sean U ⊆ Rn, V ⊆ Rm y W ⊆ Rs abiertos, F : U → V y G : V → W mapeos declase C∞ y ω ∈ Ωk(W ). Entonces

(G F )∗(ω) = F ∗(G∗(ω))

Demostracion. Dado p ∈ U tenemos

[(G F )∗(ω)]p = ((G F )′(p))∗(ω(GF )(p)) = (G′(F (p)) · F ′(p))∗(ωG(F (p)))

= (F ′(p))∗(

(G′(F (p)))∗(ωG(F (p))))

= (F ′(p))∗(

G∗(ω)F (p))

= [F ∗(G∗(ω))]p

Se sigue que (G F )∗(ω) = F ∗(G∗(ω)).

Cuando U y V son abiertos de la misma dimension m, podemos obtener un resultado mas especıficosobre la expresion del pullback de una m-forma en funciones coordenadas:

Proposicion 6.5.5 Sean U, V ⊆ Rm abiertos con coordenadas x1, . . . , xm e y1, . . . , ym respectivamentey sea F ∈ C1(U ; V ). Si ω = fdy1 ∧ · · · ∧ dym ∈ Ωk(V ), entonces

F ∗(ω) = (f F )(det JF ) dx1 ∧ · · · ∧ dxm

Demostracion. Se tiene que F ∗(ω) = (f F ) F ∗(dy1 ∧ · · · ∧ dym). Por otro lado, usando la Proposicion6.3.6:

[F ∗(dy1 ∧ · · · ∧ dym)]p = [F ′(p)]∗(dy1 ∧ · · · ∧ dym)F (p) = [F ′(p)]∗(

(dy1)F (p) ∧ · · · ∧ (dym)F (p))

= [det JF ](p)(dx1)p ∧ · · · ∧ (dxm)p = (det JF (dx1 ∧ · · · ∧ dxm))p

es decirF ∗(dy1 ∧ · · · ∧ dym) = det JF (dx1 ∧ · · · ∧ dxm)

reemplazando este resultado en la igualdad anterior, el resultado se sigue.

Para finalizar la seccion, vamos a usar el pullback para definir diferenciabilidad de k-formas en super-ficies.

Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave, recordemos que para cada p ∈ M dado, existe U ⊆ Rm vecindadabierta de p tal que U ∩M admite una parametrizacion (V, ϕ) de dimension m (es decir V ⊆ Rm es unabierto, ϕ ∈ Hom(V, U ∩M) y ϕ es una inmersion de clase C∞.

Definicion 6.5.2 Un atlas suave de dimension m sobre la superficie Mm es una coleccion A(M) deparametrizaciones (Vα, ϕα)α de clase C∞ y dimension m tales que M =

⋃

α

ϕα(Vα).

Sea Mm ⊆ Rs una superficie con atlas A(M) y sea ω ∈ Fk(M), dado p ∈ M existe (Vα, ϕα) ∈ A(M)tal que p ∈ ϕα(Vα), luego podemos considerar ωα = ϕ∗α(ω) ∈ Fk(Vα) la cual es llamada representacionlocal de la k-forma ω en la parametrizacion (Vα, ϕα). Es claro que esta representacion local no es unica,

Analisis Real II 129

puesto que si (Vβ , ϕβ) ∈ A(M) es otra parametrizacion tal que p ∈ ϕβ(Vβ) entonces tenemos ωβ =ϕ∗β(ω) ∈ Fk(Vβ) A¿Existe alguna relacion entre las representaciones locales ωα y ωβ? Denotemos Wαβ =

ϕα(Vα) ∩ ϕβ(Vβ) y consideremos el cambio de coordenadas ϕ−1β ϕα ∈ Diff∞

(

ϕ−1α (Wαβ), ϕ−1

β (Wαβ))

.

Trabajando en el abierto ϕ−1α (Wαβ) ⊆ Vα tenemos

(ϕ−1β ϕα)∗(ωβ) = (ϕ−1

β ϕα)∗(ϕ∗β(ω)) = (ϕβϕ−1β ϕα)∗(ω) = ϕ∗α(ω) = ωα

Rec”ıprocamente, supongamos que para cada parametrizacion (Vα, ϕα) ∈ A(M) se tenga definida lak-forma ωα ∈ Fk(Vα) A¿Es posible definir a partir de ellas una k-forma ω ∈ Fk(M)? Vamos a probarque la respuesta es afirmativa si esta familia de k-formas satisface la condicion de compatibilidad

ωα = (ϕ−1β ϕα)∗(ωβ), en ϕ−1

α (Wαβ)

En efecto, dado p ∈ M , existe (Vα, ϕα) ∈ A(M) tal que p ∈ ϕα(Vα), luego (ϕ−1α )∗(ωα) ∈ Fk(ϕα(Vα)).

Serıa natural definir ω ∈ Fk(M) como ωp = [(ϕ−1α )∗(ωα)]p pero antes debemos probar que este valor es

independiente de la parametrizacion. Sea (Vβ , ϕβ) ∈ A(M) otra parametrizacion tal que p ∈ ϕβ(Vβ),luego (ϕ−1

β )∗(ωβ) ∈ Fk(ϕβ(Vβ)). Trabajando en Wαβ y usando la condicion de compatibilidad, tenemos:

(ϕ−1α )∗(ωα) = (ϕ−1

α )∗(

(ϕ−1β ϕα)∗(ωβ)

)

=(

ϕ−1β ϕαϕ−1

α

)∗(ωβ) = (ϕ−1

β )∗(ωβ)

y de esta manera la definicion es buena.Resumimos nuestros resultados en el siguiente

Teorema 6.5.6 Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave con atlas A(M). Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

1. ω es una k-forma en M .

2. Para cada parametrizacion (Vα, ϕα) ∈ A(M) existe ωα ∈ Fk(Vα) con la propiedad que si (Vα, ϕα),(Vβ , ϕβ) ∈ A(M) son tales que Wαβ = ϕα(Vα) ∩ ϕβ(Vβ) 6= ∅ entonces

ωα = (ϕ−1β ϕα)∗(ωβ), en ϕ−1

α (Wαβ)

Observaciones:

1. Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave con atlas A(M) = (Vα, ϕα)α. Por el teorema anterior, unak-forma en M puede ser definida como una coleccion ω = (ωα, Vα, ϕα)α en donde ωα ∈ Fk(Vα),∀ α satisfacen la condicion de compatibilidad.

2. Sea ω = (ωα, Vα, ϕα)α, η = (ηα, Vα, ϕα)α ∈ Fk(M), c ∈ R, f ∈ F0(M) entonces no es difıcilprobar que

(ω + η)α = ωα + ηα, (cω)α = cωα, (fω) = fαωα,

donde fα = f ϕα.

3. Sean ω = (ωα, Vα, ϕα)α ∈ Fk(M), η = (ηα, Vα, ϕα)α ∈ F l(M) entonces (ω ∧ η)α = ωα ∧ ηα.

Analisis Real II 130

Definicion 6.5.3 Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave con atlas A(M) = (Vα, ϕα)α. y sea ω ∈ Fk(M).Decimos que ω es de clase Cr en M si y solo si ωα ∈ Ωk(Vα), ∀ α.

Observacion: Usando la condicion de compatibilidad, no es difıcil probar que la definicion anterior esbuena.

Denotaremos por Ωkr (M) al conjunto de todas las k-formas de clase Cr sobre M . Como de costumbre

escribiremos Ωk(M) en vez de Ωk∞(M). Se puede probar que Ωk(M) es un C∞(M)-modulo.

6.6 La Diferencial Exterior

En esta seccion, vamos a definir una operacion sobre las formas diferenciables que generaliza la operacionde diferenciacion de funciones (0-formas). Sea U ⊆ Rn un abierto y a ∈ Ω0(U) recordemos que

da =n

∑

k=1

∂a∂xk

dxk ∈ Ω1(U)

Definicion 6.6.1 Sea U ⊆ Rn un abierto con coordenadas x1, . . . , xn y sea ω =∑

I

aIdxI ∈ Ωk(U). La

diferencial exterior de ω, denotada por dω, se define como

dω =∑

I

daI ∧ dxI

Observacion: Si ω ∈ Ωk(U) entonces dω ∈ Ωk+1(U).

Ejemplo 6.6.1 Si ω = x1dx2 − x3dx1 + x2dx3 ∈ Ω1(R3) entonces

dω = dx1 ∧ dx2 + dx1 ∧ dx3 + dx2 ∧ dx3 ∈ Ω2(R3).

Proposicion 6.6.1 Se cumple las siguientes propiedades

1. d(ω + η) = dω + dη, ∀ ω, η ∈ Ωk(U).

2. d(cω) = cdω, ∀ ω ∈ Ωk(U), ∀ c ∈ R.

3. d(fω) = df ∧ ω + fdω, ∀ ω ∈ Ωk(U), ∀ f ∈ Ω0(U).

4. d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη, ∀ ω ∈ Ωk(U), ∀ η ∈ Ωl(U).

Demostracion. Solo probaremos una de ellas, las demas son semejantes.

Analisis Real II 131

4) Sea ω =∑

I

aIdxI ∈ Ωk(U) y η =∑

J

bJdxJ ∈ Ωl(U) entonces ω ∧ η =∑

I

∑

J

aI · bJdxI ∧ dxJ , luego

d(ω ∧ η) =∑

I,J

d(aIbJ) ∧ dxI ∧ dxJ =∑

I,J

(bJdaI + aIdbJ) ∧ dxI ∧ dxJ

=∑

I,J

bJdaI ∧ dxI ∧ dxJ +∑

I,J

aIdbJ ∧ dxI ∧ dxJ

=

(

∑

I

daI ∧ dxI

)

∧

(

∑

J

bJdxJ

)

+ (−1)k

(

∑

I

aI ∧ dxI

)

∧

(

∑

J

dbJ ∧ dxJ

)

es decir d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)kω ∧ dη.

Obsevacion: d : Ωk(U) → Ωk+1(U) es un operador lineal.

Teorema 6.6.2 d(dω) = 0, ∀ ω ∈ Ωk(U)

Demostracion. Procedemos por induccion sobre k.

Para k = 0, f ∈ Ω0(U) = C∞(U), df =n

∑

i=1

∂f∂xi

dxi, luego

d(df) =n

∑

i=1

d(

∂f∂xi

)

∧ dxi =n

∑

i=1

n∑

j=1

∂∂xj

(

∂f∂xi

)

dxj

∧ dxi

=∑

1≤i<j≤n

∂2f∂xj∂xi

dxj ∧ dxi +∑

1≤j<i≤n

∂2f∂xj∂xi

dxj ∧ dxi

=∑

1≤i<j≤n

∂2f∂xj∂xi

dxj ∧ dxi +∑

1≤i<j≤n

∂2f∂xi∂xj

dxi ∧ dxj

= −∑

1≤i<j≤n

∂2f∂xj∂xi

dxi ∧ dxj +∑

1≤i<j≤n

∂2f∂xi∂xj

dxi ∧ dxj = 0

Sea k ≥ 1 si ω ∈ Ωk−1(U) entonces d(d(ω)) = 0 (Hip. Ind.) Probaremos que el resultado se cumple parak.

En primer lugar, observe que si ω ∈ Ωk(U) entonces

ω =∑

1≤i1<···<ik≤n

ai1...ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik =∑

1≤i1<···<ik≤n

ai1...ik(dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1) ∧ dxik

Luego∑

1≤i1<···<ik≤n

ηi1...ik−1 ∧ dxik , donde ηi1...ik−1 ∈ Ωk−1(U). De esta manera, por la linealidad del

operador d, es suficiente probar el resultado para k-formas del tipo η ∧ dxi con η ∈ Ωk−1(U). Observeque

d(η ∧ dxi) = dη ∧ dxi + (−1)k−1η ∧ (d(dxi)) = dη ∧ dxi

Analisis Real II 132

Luegod(d(η ∧ dxi)) = d(dη ∧ dxi) = d(dη) ∧ dxi + (−1)kdη ∧ (d(dxi)) = 0

Teorema 6.6.3 Sean U ⊆ Rn, V ⊆ Rm abiertos, F ∈ C∞(U, V ) y ω ∈ Ωk(V ) entonces

d(F ∗(ω)) = F ∗(dω)

Demostracion. Probaremos por induccion sobre k.Para k = 0, f ∈ Ω0(V ) = C∞(V ). Si denotamos por y1, . . . , ym las coordenadas de V , tenemos:

F ∗(df) = F ∗(

m∑

i=1

∂f∂yi

dyi

)

=m

∑

i=1

F ∗(

∂f∂yi

dyi

)

=m

∑

i=1

(

∂f∂yi

F)

dFi

=m

∑

i=1

(

∂f∂yi

F)

n∑

j=1

∂Fi

∂xjdxj

=m

∑

i=1

n∑

j=1

(

∂f∂yi

F)(

∂Fi

∂xjdxj

)

=n

∑

j=1

(

m∑

i=1

(

∂f∂yi

F)

∂Fi

∂xj

)

dxj =n

∑

j=1

∂(f F )∂xj

dxj = d(f F ) = d(F ∗(f))

Sea k ≥ 1: Para ω ∈ Ωk−1(U) se tiene F ∗(dω) = d(F ∗(ω)) (Hip. Ind.)Sea ω ∈ Ωk(U), como en la demostracion del teorema anterior es suficiente probar para ω = η ∧ dxi,

donde η ∈ Ωk−1(U) y 1 ≤ i ≤ n

F ∗(dω) = F ∗(d(η ∧ dxi)) = F ∗(dη ∧ dxi) = F ∗(dη) ∧ F ∗(dxi) = d(F ∗(η)) ∧ dFi

Por otro lado

d(F ∗(ω)) = d(F ∗(η ∧ dxi)) = d(F ∗(η) ∧ F ∗(dxi)) = d (F ∗(η) ∧ dFi)= d(F ∗(η)) ∧ dFi + (−1)kF ∗(η)d(dFi) = d(F ∗(η)) ∧ dFi

De las dos igualdades anteriores, se sigue d(F ∗(ω)) = F ∗(dω).

Observacion: Si U ⊆ Rn, V ⊆ Rm son abiertos y F ∈ C∞(U, V ) entonces se tienen los siguientesdiagramas conmutativos:

Ω0(V ) d−→ Ω1(V ) d−→ Ω2(V ) d−→ Ω3(V ) d−→ · · ·F ∗ ↓ F ∗ ↓ F ∗ ↓ F ∗ ↓

Ω0(U) d−→ Ω1(U) d−→ Ω2(U) d−→ Ω3(U) d−→ · · ·

Vamos a definir la diferencial exterior para k-formas sobre superficies.Sea Mm una superficie suave con atlas A(M) = (Vα, ϕα y sea ω ∈ Ωk(M), sabemos que ω puede

ser definida como una coleccion ω = (ωα, Vα, ϕα)α en donde ωα ∈ Ωk(Vα), ∀ α satisfacen la condicionde compatibilidad. Serıa natural definir

dω = ((dω)α, Vα, ϕα)α

Analisis Real II 133

donde (dω)α = dωα, ∀ α, per antes debemos verificar que ellas cumplan la condicion de compatibilidad.Sean (Vα, ϕα), (Vβ , ϕβ) ∈ A(M) tales que Wαβ = ϕα(Vα) ∩ ϕβ(Vβ) 6= ∅. Trabajando en ϕ−1

α (Wαβ),tenemos:

(

ϕ−1β ϕα

)∗((dω)β) =

(

ϕ−1β ϕα

)∗(dωβ) = d

((

ϕ−1β ϕα

)∗ωβ

)

= dωα = (dω)α

y por tanto la definicion es buena. Observe que dω ∈ Ωk+1(M).Con esta definicion, los Teoremas 6.6.2 y 6.6.3 pueden ser extendidos a superficies:

1. d(dω) = 0, ∀ ω ∈ Ωk(M)

2. Si F ∈ C∞(M,N) entonces F ∗(dω) = d (F ∗(ω)), ∀ ω ∈ Ωk(N)

La demostracion queda como ejercicio para el lector.

Capıtulo 7

Integrales de Superficie

7.1 La integral de una k-forma diferencial sobre superficies

El objetivo de esta seccion es definir lo que entendemos por integral de una k-forma sobre una superficie.Como las k-formas son generalizaciones del concepto de funcion y una superficie es la generalizacion de unconjunto abierto, entonces los resultados de esta seccion son una generalizacion de la integral estudiadaen el Capıtulo 5.

Para cumplir con nuestro objetivo, necesitamos dos definiciones.

Definicion 7.1.1 Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave y ω ∈ Ωk0(M). El soporte de ω, denotado por

sopp (ω), se define comosopp (ω) = p ∈ M ; ωp 6= 0 ∩M

Observaciones:

1. Si M es una superficie compacta entonces sopp (ω) es un subconjunto compacto de M .

2. Sea U ⊆ Rm un abierto con coordenadas x1, . . . , xm y ω ∈ Ωm0 (U) entonces ω = a dx1 ∧ · · · ∧ dxm

con a ∈ C(U). Queda como ejercicio para el lector demostrar que

sopp (ω) = sopp (a).

Definicion 7.1.2 Decimos que Mm ⊆ Rs es una superficie orientable si y solo si existe A(M) atlas deM tal que para cualquier par (Vα, ϕα), (Vβ , ϕβ) ∈ A(M) tales que ϕα(Vα) ∩ ϕβ(Vβ) 6= ∅ se tiene

det(

J(ϕ−1β ϕα)(ϕ−1

α (p)))

> 0, ∀ p ∈ ϕα(Vα) ∩ ϕβ(Vβ)

En este caso decimos que el atlas A(M) induce una orientacion en M .

134

Analisis Real II 135

Sea Mm ⊆ Rs una superficie suave, compacta, orientable con atlas A(M) y sea ω ∈ Ωm0 (M), vamos

a definir la integral de ω sobre M . Consideremos dos casos:

Caso 1: Existe (Vα, ϕα) ∈ A(M) tal que sopp (ω) ⊆ ϕα(Vα). Denotemos Kα = ϕ−1α (sopp (ω)) (el cual es

compacto en Rm), como ωα = ϕ∗α(ω) = aαdxα1 ∧ · · · ∧dxα

m y a ∈ C(Vα) donde sin perdida de generalidad,podemos considerar el abierto Vα ⊆ Rm como siendo acotado, entonces por el Teorema 5.8.2 tenemos quea ∈ R(Vα), luego estarıamos tentados a definir

∫

Mω =

∫

Vα

ωα =∫

Vα

aα dxα1 ∧ · · · ∧ dxα

m :=∫

Vα

aαdxα1 · · · dxα

m

Sin embargo debemos antes probar que esta definicion no depende de la parametrizacion. Suponga queexiste otra parametrizacion (Vβ , ϕβ) ∈ A(M) con Wαβ = ϕα(Vα)∩ϕβ(Vβ) 6= ∅ tal que sopp (ω) ⊆ ϕβ(Vβ),denotando Kβ = ϕ−1

β (sopp (ω)) y ωβ = aβ dxβ1 ∧ · · · ∧ dxβ

m, por la Proposicion 6.5.5, la orientabilidadde M , el Teorema del cambio de variable en la integral multiple y las condiciones de compatibilidad,tenemos:

∫

Vα

ωα =∫

ϕ−1α (Wαβ)

ωα =∫

ϕ−1α (Wαβ)

(

ϕ−1β ϕα

)∗(ωβ)

=∫

ϕ−1α (Wαβ)

(

aβ ϕ−1β ϕα

)

det(

J(

ϕ−1β ϕα

))

dxα1 ∧ · · · ∧ dxα

m

=∫

ϕ−1α (Wαβ)

(

aβ ϕ−1β ϕα

) ∣

∣

∣det(

J(ϕ−1β ϕα)

)∣

∣

∣ dxα1 · · · dxα

m

=∫

ϕ−1β (Wαβ)

aβ dxβ1 · · · dxβ

m =∫

ϕ−1β (Wαβ)

ωβ =∫

Vβ

ωβ

De esta manera, hemos probado que el valor de la integral no depende de la parametrizacion y portanto tiene sentido la siguiente definicion.

Definicion 7.1.3 Sea Mm una superficie suave, compacta, orientable con atlas A(M) y sea ω ∈ Ωm0 (M).

Si existe una parametrizacion (Vα, ϕα) tal que sopp (ω) ⊆ ϕα(Vα) entonces∫

Mω =

∫

Kα

ϕ∗α(ω) =∫

Kα

ωα =∫

Kα

aαdxα1 · · · dxα

m

en donde Kα = ϕ−1α (sopp (ω)) y ωα = aα dxα

1 ∧ · · · ∧ dxαm.

Caso 2: Caso general. La idea es reducir la definicion al Caso 1, usando particiones de la unidad. Enprimer lugar sabemos M =

⋃

α

ϕα(Vα) donde ϕα(Vα) es un abierto de M es decir, existe Uα ⊆ Rs abierto

tal que ϕα(Vα) = Uα ∩M . Es claro que U = Uαα es un cubrimiento abierto de la superficie compactaMm, luego existe φ1, . . . , φn una C∞-particion de la unidad de M subordinada a U , la cual llamaremosparticion de la unidad subordinada al atlas A(M). Consideremos φ1ω, . . . , φnω ∈ Ωm

0 (M), se cumple

sopp (φiω) ⊆ sopp (φi) ∩ sopp (ω) ⊆ Uαi ∩M = ϕαi(Vαi)

Analisis Real II 136

Ası, cada m-forma φiω cumple la condicion del Caso 1 y tiene sentido la integral de ella, luego serıanatural definir

∫

Mω =

n∑

i=1

∫

Mφiω

Sin embargo debemos probar que esta definicion es independiente de la particion de la unidad elegida.Sea ψ1, . . . , ψl una C∞-particion de la unidad de M subordinada al atlas A(M). Sabemos que la

familia φiψj ; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ l es una C∞-particion de la unidad de M subordinada al atlas A(M),luego

n∑

i=1

∫

Mφiω =

n∑

i=1

∫

Mφi

l∑

j=1

ψj

ω =n

∑

i=1

l∑

j=1

∫

Mφiψjω =

l∑

j=1

∫

M

(

n∑

i=1

φi

)

ψjω =l

∑

j=1

∫

Mψjω

De esta manera, tenemos la siguiente definicion.

Definicion 7.1.4 Sea Mm una superficie compacta, orientable, con atlas A(M) y sea ω ∈ Ωm0 (M). Si

φ1, . . . , φn es una C∞-particion de la unidad de M subordinada al atlas A(M) entonces la integral de

ω en M , denotada por∫

Mω se define como

∫

Mω =

n∑

i=1

∫

Mφiω

Proposicion 7.1.1 Sea Mm una superficie suave, compacta y orientable, se cumple:

1.∫

M(ω + η) =

∫

Mω +

∫

Mη, ∀ ω, η ∈ Ωm

0 (M).

2.∫

Mcω = c

∫

Mω, ∀ ω ∈ Ωm

0 (M), ∀ c ∈ R.

3. Si ω ∈ Ωm0 (M) es tal que ω ≥ 0 entonces

∫

Mω ≥ 0.

Demostracion. Ejercicio.

Sean Mm, Nm superficies orientadas, y sean A(M) y A(N) los atlas que inducen la orientacion enM y N respectivamente. Decimos que f ∈ Diff∞(M,N) preserva orientacion si y solo (Vα, ϕα) ∈ A(M)entonces (Vα, f ϕα) ∈ A(N).

Proposicion 7.1.2 Sean Mm, Nm superficies suaves, orientadas, compactas y f ∈ Diff∞(M,N) pre-serva orientacion, entonces

∫

Mf∗(ω) =

∫

Nω, ∀ ω ∈ Ωm

0 (N).

Demostracion. Ejercicio.

Analisis Real II 137

7.2 Superficies con frontera

La nocion de superficie estudiada hasta aquı no incluye a conjuntos del tipo

M = (x, y, z) ∈ R3; z ≥ 0, x2 + y2 + z2 = 1

En efecto, dado p = (1, 0, 0) ∈ M y Up ⊆ R3 vecindad abierta de p, el conjunto Up∩M no es homeomorfoa ningun abierto de R2 y, por tanto, no admite parametrizacion.

Para estudiar conjuntos de este tipo, introduciremos el concepto de superficie con frontera.

El conjuntoHm = (x1, . . . , xm) ∈ Rm; x1 ≤ 0

es llamado semiespacio de dimension m. Su frontera viene dada por

∂Hm = (x1, . . . , xm) ∈ Rm; x1 = 0

la cual puede identificarse con Rm−1.Dotaremos a Hm de la topologıa inducida por Rm, es decir V es abierto en Hm si y solo si existe

U ⊆ Rm tal que V = U ∩Hm. Se desprende de aquı que existen dos tipos de abiertos en Hm: los abiertoscomunes de Rm (cuando U ⊆ int (Hm)) y los abiertos que contienen puntos de ∂Hm.

Sea V ⊆ Hm abierto en Hm y f : V → Rn. Decimos que f es de clase Ck en V (k ≥ 1) si y solo siexiste U ⊆ Rm abierto con V = U ∩∂Hm y existe F : U → Rn funcion de clase Ck en U tal que F

∣

∣

V = f .

Observaciones:

1. Si x ∈ V − ∂Hm entonces existe r > 0 tal que Br(x) ⊆ V − ∂Hm, luego tiene sentido hablar de laderivada de f : V ⊆ Hm → Rn en x.

2. Si x ∈ V ∩ ∂Hm definimos la derivada de f en x como la derivada de su extension F ′(x). Afirmoque esta definicion es independiente de la extension F de f . En efecto, supongamos que existenU,U1 ⊆ Rm abiertos con V = U ∩ ∂Hm = U1 ∩ ∂Hm y existen F ∈ C1(U ;Rm), F1 ∈ C1(U1;Rm)tales que F

∣

∣

V = F1∣

∣

V = f . Tomemos (xk) ⊆ V − ∂Hm tal que limk→∞

xk = x, se tiene que

F ′1(xk) = f ′(xk) = F ′(xk) y por continuidad de la derivada se tiene que

F ′1(x) = limk→∞

F ′1(xk) = limk→∞

F ′(xk) = F ′(x)

Lema 7.2.1 Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Hm de clase C1. Si a ∈ U es tal que f(a) ∈ ∂Hm entoncesf ′(a)(Rn) ⊆ ∂Hm.

Demostracion. Sea v ∈ Rn entonces f ′(a)(v) = limt→0

f(a + tv)− f(a)t

, denotando f = (f1, . . . , fm)tenemos

π1[f ′(a)(v)] = limt→0

f1(a + tv)− f1(a)t

= limt→0

f1(a + tv)t

Analisis Real II 138

Si t > 0 entoncesf1(a + tv)

t≤ 0, luego π1[f ′(a)(v)] = lim

t→0+

f1(a + tv)t

≤ 0.

Si t < 0 entoncesf1(a + tv)

t≥ 0, luego π1[f ′(a)(v)] = lim

t→0−

f1(a + tv)t

≥ 0.

Se sigue que π1[f ′(a)(v)] = 0 y por tanto f ′(a)(Rn) ⊆ ∂Hm.

Teorema 7.2.1 Sean U, V ⊆ Hm abiertos en Hm y f : U → V difeomorfismo de clase Ck (k ≥ 1). Secumple

a ∈ U ∩ ∂Hm si y solo si f(a) ∈ U ∩ ∂Hm

Demostracion. (⇒) Sea a ∈ U ∩ ∂Hm y supongamos que f(a) ∈ V − ∂Hm (Hip. Aux.) Sea r > 0tal que Br(f(a)) ⊆ V − ∂Hm y consideremos f−1 : Br(f(a)) → Hm la cual es de clase Ck, tenemos quef(a) ∈ Br(f(a)) y f−1(f(a)) = a ∈ ∂Hm, entonces por el Lema 7.2.1 tenemos que (f−1)′(f(a))(Rm) ⊆∂Hm. Pero por hipotesis, existen U , V ⊆ Rm abiertos y existe F ∈ Diff k(U ; V ) tales que U = U ∩ Hm,V = V ∩ Hm, F

∣

∣

U = f y F−1∣

∣

V = f−1, mas aun (f−1)′(f(a)) = (F−1)′(f(a)) ∈ GL(Rm) y esto queimplica que Rm = (f−1)′(f(a))(Rm) ⊆ ∂Hm, lo cual es una contradiccion.

Definicion 7.2.1 Sea V ⊆ Rn. Una F-parametrizacion de clase Ck (k ≥ 1) y dimension m del conjuntoV es un par (V0, ϕ), donde V0 ⊆ Hm es un abierto de Hm y ϕ : V0 → V es una funcion que satisface lasdos condiciones siguientes:

1. ϕ ∈ Hom (V0, V ).

2. ϕ es una inmersion de clase Ck.

Definicion 7.2.2 Una superficie con frontera de dimension m y clase Ck (k ≥ 1) en Rn es un subcon-junto M ⊆ Rn tal que para todo punto p ∈ M , existe una vecindad abierta Up ⊆ Rn de p tal que Up ∩Madmite una F -parametrizacion (Vp, ϕp) de clase Ck y dimension m.

Un atlas de clase Ck y dimension m sobre una superficie con frontera Mm ⊆ Rn es una coleccionAF (M) de F-parametrizaciones (Vα, ϕα) de clase Ck y dimension m tales que M =

⋃

α

ϕα(Vα).

Al igual de lo que ocurrıa con las superficies sin frontera, vamos a demostrar que los cambios decoordenadas de una superficie de clase Ck, son difeomorfismos de clase Ck.

Lema 7.2.2 Toda F-parametrizacion de clase Ck y dimension m es un difeomorfismo de clase Ck.

Demostracion. Sea (V, ϕ) una F-parametrizacion de clase Ck y dimension m del conjunto X ⊆ Rn.Como ϕ : V → X es de clase Ck, existe V ⊆ Rm abierto con V ∩ Hm = V y existe ϕ ∈ Ck(V ,Rn) tal

que ϕ∣

∣

∣

∣

V= ϕ. Sea a ∈ V , sabemos que ϕ′(a) = ϕ′(a) ∈ L(Rm,Rn) que, por hipotesis, es inyectiva. Por

la Forma Local de las Inmersiones, existen abiertos V ′ ⊆ V , Z ⊆ Rn−m y U ⊆ Rn con a ∈ V ′, 0 ∈ Z,ϕ(a) ∈ U , y existe h ∈ Diff k(U, V ′ × Z) tal que (h ϕ)(x) = (x, 0), ∀ x ∈ V ′.

Analisis Real II 139

Sea la proyeccion π : V ′ × Z → V ′ dada por π(x, y) = x, se sigue que π∣

∣

∣

∣

V ′×0es la inversa de h ϕ.

Considero la composicion πh : U → V ′, la cual es de clase Ck, ademas como h(U∩X) =(

V ′ ∩Hm)

×0,

se sigue que (π h)∣

∣

∣

∣

U∩X= ϕ−1. Se sigue que ϕ−1 es de clase Ck y por tanto ϕ es un difeomorfismo de

clase Ck en una vecindad de a ∈ V . Desde que a ∈ V fue arbitrario, el lema se sigue.

Corolario Sea M ⊆ Rn superficie con frontera de clase Ck con atlas AF (M). Si (Vi, ϕi), (Vj , ϕj) ∈AF (M) son tales que W = ϕi(Vi) ∩ ϕj(Vj) 6= ∅ entonces el cambio de coordenadas ϕ−1

j ϕi : ϕ−1i (W ) ⊆

Hm → ϕ−1j (W ) ⊆ Hm es un difeomorfismo de clase Ck.

Demostracion. Ejercicio!

A continuacion caracterizaremos los puntos de una superficie M con frontera que son mapeados en∂Hm.

Lema 7.2.3 Sea Mm ⊆ Rn una superficie con frontera de clase Ck y atlas AF (M), y sea p ∈ M . Siexiste (Vi, ϕi) ∈ AF (M) con p ∈ ϕi(Vi) tal que ϕ−1

i (p) ∈ ∂Hm, entonces para cualquier (Vj , ϕj) ∈ AF (M)con p ∈ ϕj(Vj), se tiene que ϕ−1

j (p) ∈ ∂Hm.

Demostracion. Sea (Vj , ϕj) ∈ AF (M) con p ∈ ϕj(Vj). Como W = ϕi(Vi) ∩ ϕj(Vj) 6= ∅ entoncesel cambio de coordenadas ϕ−1

j ϕi : ϕ−1i (W ) → ϕ−1

j (W ) es un difeomorfismo de clase Ck. Comoϕ−1

i (p) ∈ ∂Hm, por el Teorema 7.2.1 se tiene que ϕ−1j (p) =

(

ϕ−1j ϕi

)

(ϕ−1i (p)) ∈ ∂Hm.

Definicion 7.2.3 Sea Mm ⊆ Rn una superficie con frontera de clase Ck. La frontera de M , denotadapor ∂M , se define como

∂M = p ∈ M ; ∃ (Vi, ϕi) ∈ AF (M) con p ∈ ϕi(Vi) tal que ϕ−1i (p) ∈ ∂Hm

Observaciones:

1. Por el Lema 7.2.3, ∂M esta bien definido.

2. De la definicion se desprende inmediatamente que ∂M ⊆ M . De aquı se sigue que el concepto defrontera que acabamos de definir no coincide con el concepto topologico de frontera, no obstantetener la misma notacion.

3. Si M es una superficie con frontera, el conjunto M − ∂M es llamado interior de M y se denotapor int (N). No se debe confundir este concepto con el de interior de un conjunto que se estudia entopologıa.

4. Si ∂M = ∅ entonces M es una superficie del tipo estudiado en las secciones anteriores. Talessuperficies las llamaremos superficies sin frontera.

Proposicion 7.2.2 Sea Mm ⊆ Rn una superficie con frontera de clase Ck entonces ∂M es una superficiede clase Ck y dimension m− 1.

Analisis Real II 140

Demostracion. Denotemos por AF (M) al atlas de M . Sea p ∈ ∂M ⊆ M , luego existe (Vα, ϕα) ∈AF (M) con p ∈ ϕα(Vα) = Uα ∩M (donde Uα ⊆ Rs es abierto) tal que ϕ−1

α (p) ∈ ∂Hm.Considero las funciones i : Rm−1 → ∂Hm y π : Rm → Rm−1 definidas por

i(y1, . . . , ym−1) = (0, y1, . . . , ym−1), π(x1, . . . , xm) = (x2, . . . , xm)

Es claro que π∣

∣

∂Hm = i−1, luego i ∈ Diff∞(Rm−1, ∂Hm). Denotemos

˜Vα = i−1(Vα ∩ ∂Hm), iα = i∣

∣

∣

∣eVα

y πα = π∣

∣

∣

∣

Vα∩∂Hm

Se sigue que ˜Vα es un abierto de Rm−1 y que πα = i−1α .

Defino ϕα = ϕα iα : ˜Vα → Uα ∩ ∂M . Se sigue que (˜Vα, ϕα) es una parametrizacion de clase Ck ydimension m− 1.

Observaciones:

1. Sea M una superficie con frontera. Si AF (M) = (Vα, ϕα) es un atlas de M entonces

A(∂M) = (˜Vα, ϕα) = (i−1α (Vα ∩ ∂Hm), ϕα iα)

es un atlas de ∂M al que llamaremos atlas de ∂M inducido por AF (M).

2. ∂M es una superficie sin frontera, es decir ∂(∂M) = ∅.

3. Sean (˜Vα, ϕα), (˜Vβ , ϕβ) ∈ A(∂M) tales que ϕα(˜Vα) ∩ ϕβ(˜Vβ) = ˜Wαβ 6= ∅. Como

ϕ−1α ϕβ = πα(ϕ−1

α ϕβ)iβ en ϕ−1β (˜Wαβ),

haciendo ϕ−1α ϕβ = (F1, . . . , Fm) y y = (y1, . . . , ym−1) ∈ ϕ−1

β (˜Wαβ) tenemos

(ϕ−1α ϕβ)′(y) = πα(ϕ−1

α ϕβ)′(0, y)iβ

luego

J(ϕ−1α ϕβ)(y) =

e2...

em

·∂(F1, . . . , Fm)∂(x1, . . . , xm)

(0, y) ·[

et2 · · · et

m

]

=∂(F1, . . . , Fm−1)∂(x1, . . . , xm−1)

(0, y)

Proposicion 7.2.3 Si Mm es una superficie de clase Ck, orientable, con frontera entonces ∂M es ori-entable

Demostracion. Sea AF (M) = (Vα, ϕα) el atlas que induce una orientacion en M y sea A(∂M) =(˜Vα, ϕα) el atlas de ∂M inducido por AF (M). Consideremos (˜Vα, ϕα), (˜Vβ , ϕβ) ∈ A(∂M) tales

Analisis Real II 141

que ˜Wαβ = ϕα(˜Vα) ∩ ϕβ(˜Vβ) 6= ∅, denotando yβ = (yβ1 , . . . , yβ

m−1) ∈ ϕ−1β (˜Wαβ) ⊆ Rm−1, yα =

(yα1 , . . . , yα

m−1) ∈ ϕ−1α (˜Wαβ) ⊆ Rm−1 y ϕ−1

α ϕβ = (F1, . . . , Fm), se cumple

(0, yα) = iα(yα) = (ϕ−1α ϕβ)(0, yβ) = (ϕ−1

α ϕβ)(

iβ(yβ))

= (F1(iβ(yβ)), . . . , Fm(iβ(yβ)))

Luego 0 = (F1 iβ)(yβ), derivando

θ = ∇F1(0, yβ) ·[

et2 · · · et

m

]

=

(

∂F1

∂xβ1

(0, yβ), . . . ,∂F1

∂xβm−1

(0, yβ)

)

se sigue que∂F1

∂xβ2

(0, yβ) = · · · = ∂F1

∂xβm

(0, yβ) = 0

Por otro lado

J(

ϕ−1α ϕβ

)

(0, yβ) =∂(F1, . . . , Fm)

∂(xβ1 , . . . , xβ

m)(0, yβ) =

∂F1

∂xβ1

(0, yβ) θ

A∂(F2 . . . , Fm)

∂(xβ2 , . . . , xβ

m)(0, yβ)

luego

0 < det[

J(

ϕ−1α ϕβ

)

(0, yβ)]

=∂F1

∂xβ1

(0, yβ) · det

[

∂(F2, . . . , Fm)

∂(xβ2 , . . . , xβ

m)(0, yβ)

]

Pero∂F1

∂xβ1

(0, yβ) = limh→0+

F1(yβ , h)− F1(yβ , 0)h

> 0

Usando la observacion anterior, se sigue que

0 < det

[

∂(F1, . . . , Fm)

∂(xβ1 , . . . , xβ

m)(0, yβ)

]

= det[

J(ϕ−1α ϕβ)(yβ)

]

= det[

J(ϕ−1α ϕβ)(ϕ−1

β (p))]

, ∀ p ∈ ˜Wαβ

Lo cual prueba que ∂M es orientable.

7.3 El Teorema de Stokes

Sea Mm una superficie suave, con frontera, compacta, orientable, sabemos entonces que ∂M es unasuperficie suave, compacta, sin frontera, orientable. Luego ∂M admite dos orientaciones. Decimos que∂M tiene la orientacion inducida por M si y solo si la inclusion i : ∂M → M preserva orientacion. Sepuede demostrar que en parametrizaciones, esto es equivalente a decir que iα : ˜Vα → Vα ∩ ∂Hm dado pori(y1, . . . , ym−1) = (0, y1, . . . , ym−1) preserva orientacion (esta es la razon por la cual hemos definido asıel semiespacio ∂Hm). En caso de dimensiones 2 y 3, geometricamente esto significa que el vector normala ∂M siempre apunta hacia afuera.

Analisis Real II 142

Teorema 7.3.1 (Stokes) Sea Mm una superficie suave, con frontera, compacta, orientable y sea ω ∈Ωm−1

1 (M). Si i : ∂M → M es la inclusion canonica y ∂M tiene la orientacion inducida por M entonces∫

∂Mi∗ω =

∫

Mdω.

Demostracion. Sea AF (M) = (Vα, ϕα) atlas de M y ω = (ωα, Vα, ϕα). Consideremos dos casos:

Caso 1: Existe (Vα, ϕα) ∈ AF (M) tal que sopp (ω) ⊆ ϕα(Vα). Denotemos Kα = ϕ−1α (sopp (ω)) ⊆ Vα,

como ωα ∈ Ωm−11 (Vα) entonces

ωα =m

∑

j=1

aj dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm

donde a1, . . . , am ∈ C1(Vα), luego

dωα =m

∑

j=1

daj ∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm

=m

∑

j=1

(

m∑

i=1

∂aj

∂xidxi

)

∧ dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm

=

m∑

j=1

(−1)j−1 ∂aj

∂xj

dx1 ∧ · · · ∧ dxm

Existen dos posibilidades

a) sopp (ω) ∩ ∂M = ∅. Es claro que∫

∂Mi∗ω = 0.

Por otro lado, definimos las funciones Aj : Hm → R como

Aj(x) =

aj(x) si x ∈ Vα0 si x ∈ Hm − Vα

Como aj ∈ C1(Vα) y sopp (aj) ⊆ Vα, se sigue que Aj ∈ C1(Hm). Sea B = [u1, v1] × · · · × [um, vm]m-bloque compacto tal que Vα ⊆ B, donde u1 < v1 = 0. Para j ∈ 1, . . . ,m denotemos

Bj = [u1, v1]× · · · × [uj−1, vj−1]× [uj+1, vj+1]× · · · × [um, vm]

Por el Teorema de Integracion Iterada tenemos:

∫

Mdω =

∫

Vα

(dω)α =∫

Vα

dωα =∫

Vα

m∑

j=1

(−1)j−1 ∂aj

∂xj

dx1 . . . dxm

=∫

B

m∑

j=1

(−1)j−1 ∂Aj

∂xj

dx1 . . . dxm =m

∑

j=1

(−1)j−1∫

B

∂Aj

∂xjdx1 . . . dxm

Analisis Real II 143

=m

∑

j=1

(−1)j−1∫

Bj

[

∫ vj

uj

∂Aj

∂xjdxj

]

dx1 . . . dxj−1dxj+1 . . . dxm

=m

∑

j=1

(−1)j−1∫

Bj

[Aj(x1, . . . , xj−1, vj , xj+1, . . . , xm)−Aj(x1, . . . , xj−1, uj , xj+1, . . . , xm)] = 0

Por tanto∫

∂Mi∗ω =

∫

Mdω.

b) sopp (ωα) ∩ ∂M 6= ∅. Sea ˜Vα = Vα ∩ ∂Hm, luego∫

∂Mi∗ω =

∫

eVα

(i∗ω)α =∫

eVα

i∗αωα

Pero desde que iα(y1, . . . , ym−1) = (0, y1, . . . , ym−1) = (x1, . . . , xm), tenemos que dx1 = 0 y por tanto

i∗α(ωα) =m

∑

j=1

(aj iα)i∗α(dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxm) = (a1 iα)dy1 ∧ · · · ∧ ym−1

luego∫

∂Mi∗ω =

∫

eVα

am iα (7.1)

Por otro lado∫

Mdω =

∫

Vα

dωα =m

∑

j=1

(−1)j−1∫

Vα

∂aj

∂xj

Tomando Aj , B y Bj como antes, tenemos

∫

∂Mdω =

m∑

j=1

(−1)j−1∫

B

∂Aj

∂xj

=m

∑

j=1

(−1)j−1∫

Bj

[

∫ vj

uj

∂Aj

∂xjdxj

]

dx1 . . . dxj−1dxj+1 . . . dxm

=∫

B1

[A1(0, x2, . . . , xm)−A1(u1, x2, . . . , xm)]dx2 · · · dxm +

+m

∑

j=2

(−1)j−1∫

Bj

[Aj(x1, . . . , xj−1, vj , xj+1, . . . , xm)−Aj(x1, . . . , xj−1, uj , xj+1, . . . , xm)]

=∫

B1

A1(0, x2, . . . , xm)dx2 · · · dxm =∫

eVα

a1(0, x2, . . . , xm)dx2 · · · dxm

Reemplazando este resultado en (7.1) llegamos a∫

∂Mi∗ω =

∫

Mdω.

Analisis Real II 144

Caso 2: Es el caso general, sea φ1, . . . , φn una C∞-particion de la unidad subordinada al atlas A(M).Observe que

n∑

j=1

∫

M[φjdω − d(φjω)] = −

n∑

j=1

∫

Mdφj ∧ ω =

∫

Md

n∑

j=1

φj

∧ ω = 0,

es decirn

∑

j=1

∫

Mφjdω =

n∑

j=1

∫

Md(φjω),

luego

∫

Mdω =

n∑

j=1

∫

Mφjdω =

n∑

j=1

∫

Md(φjω) =

n∑

j=1

∫

∂Mi∗(φjω) =

∫

∂Mi∗

n∑

j=1

φjω

=∫

∂Mi∗ω

lo cual finaliza la demostracion.