Download - Algebra, 2013-1, Examen, Pauta
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Universidad Andrs Bello
Facultad de Ciencias Exactas
Departamento de Matemticas
lgebra (FMM013)
Examen
Julio 4, 2013.
Duracin: 90 minutos.
Importante: No se asignarn puntos por respuestas sin justicacin.
Problema 1 : (1;2 puntos) Descomponga en fracciones parciales
4x+ 12
x3 + 2x2 16
Solucin:
4x+ 12
x3 + 2x2 16 =4x+ 12
(x 2)(x2 + 4x+ 8)4x+ 12
x3 + 2x2 16 =A
(x 2) +Bx+ C
(x2 + 4x+ 8)
4x+ 2 = A(x2 + 4x+ 8) + (Bx+ C)(x 2)4x+ 2 = (A+B)x2 + (4A 2B + C)x+ 8A 2C
Obtenemos el sistema 8
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n
1
2n
2
+ 3
n
3
= 0
n 2 n!2!(n 2)! + 3
n!
3!(n 3)! = 0
n 2n(n 1)2
+3(n)(n 1)(n 2)
6= 0
2n 2n(n 1) + (n)(n 1)(n 2)2
= 0
2n 2n2 + 2n+ n3 3n2 + 2n = 0n3 5n2 + 6n = 0n(n2 5n+ 6) = 0n(n 3)(n 2) = 0
La soluciones de la ltima ecuacin son n = 0, n = 2 y n = 3,sin embargo la nica que tiene sentido en la ecuacin original es n = 3.
Problema 3 : En R f12g considere la operacin denida como
a b = a+ b+ 2ab
para a y b elementos de R f12g.a) (0;2 puntos) Demuestre que la operacin es asociativa.
b) (0;2 puntos) Demuestre que es conmutativa.
c) (0;3 puntos) Encuentre el neutro. Justique.
d) (0;3 puntos) Para cada elemento de R f12g encuentre el inverso. Justique.e) (0;2 puntos) Encuentre todos los x 2 R f1
2g, solucin de la ecuacin
2 x 3 = x
Solucin:
No se solicitaba en el ejercicio, pero es necesario probar que es una ley de composicininterna:
Si a 2 R f1=2g y b 2 R f1=2g queremos probar que a b 2 R f1=2g, esdecir a b 6= 1=2.Supongamos que a b = 1=2, tenemos:a+ b+ 2ab = 1=2a+ b+ 2ab+ 1=2 = 02(a+ 1=2)(b+ 1=2) = 0Como a 6= 1=2 y b 6= 1=2 tenemos una contradiccin.Por lo tanto debemos tener que a b 6= 1=2.
a) Sean a, b, c elementos de R f12g, tenemos
a (b c) = a (b+ c+ 2bc)= a+ b+ c+ 2bc+ 2a(b+ c+ 2bc)
= a+ b+ c+ 2bc+ 2ab+ 2ac+ 4abc
-
(a b) c = (a+ b+ 2ab) c= a+ b+ 2ab+ c+ 2(a+ b+ 2ab)c
= a+ b+ 2ab+ c+ 2ac+ 2bc+ 4abc
Por lo tanto (a b) c = a (b c), y la operacin es asociativa.b)
a b = a+ b+ 2ab= b+ a+ 2ba
= b ac) Dado a 2 R f1
2g, buscamos e 2 R f1
2g tal que a e = e a = a.Como la operacin es conmutativa, alcanza con probar a e = a.Tenemos
a e = aa+ e+ 2ae = a
e(1 + 2a) = 0
Como a 6= 1=2, debemos tener e = 0.Vericamos directamente a 0 = a+ 0 + 2a0 = a.
d) Sea a 2 R f12g, buscamos b 2 R f1
2g tal que a b = b a = e = 0.Como la operacin es conmutativa, alcanza con vericar a b = 0.Tenemos a b = 0a+ b+ 2ab = 0b(1 + 2a) = ab =
a1 + 2aVericamos
a a1 + 2a
= a+a
1 + 2a+ 2a
a1 + 2a
= a+ (1 + 2a)a
1 + 2a= a a = 0Por lo tanto a1 =
a1 + 2ae) 2 x 3 = x
(2 + x+ 4x) 3 = x2 + 5x+ 3 + 2(2 + 5x)3 = x34x+ 17 = 0x = 1=2
Pero x = 1=2 =2 R f12g.Por lo tanto la ecuacin no tiene solucin.
Problema 4 : (1;2 puntos) Considere el nmero complejo
z =p192 + 8i
Determine las races cuartas de z y graque su respuesta.
Puede ser til recordar que tan
6=
1p3
Solucin:
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a) Expresamos z = a+ ib en coordenadas polares, z = rei. Tenemos
r =pa2 + b2 =
qp192
2+ 82 =
p256 = 16
tan =b
a=
8p192
=1q19264
=1p3
Como z est en el primer cuadrante, tenemos que =
6.
Las races cuartas de z son de la formazk = r
1=4cos+2k
4
+ i sen
+2k
4
para k = 0; 1; 2; 3.Tenemos:
z0 = 2cos24
+ i sen
24
z1 = 2
cos1324
+ i sen
1324
z2 = 2
cos2524
+ i sen
2524
z3 = 2
cos3724
+ i sen
3724
b)
Problema 5 : Se dene la relacion R sobre NN
(m;n)R (r; t), m+ t = n+ r
a) (0;9 puntos) Demuestre que R es una relacion de equivalencia
b) (0;3 puntos) Determine [(0; 1)]R, la clase de equivalencia del elemento (0; 1).