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TRANSFORMADA DE LAPLACE
DefiniciΓ³n: Sea π una funciΓ³n definida para π‘ β₯ 0 a la integral
β{π(π‘)} = β« πβπ π‘β
0
π(π‘)ππ‘ = limπβΆβ
β« πβπ π‘π(π‘)ππ‘π
0
Se llama transformada de Laplace de π, siempre y cuando la integral converja.
β es una transformaciΓ³n lineal, siempre que las integrales converjan se tendrΓ‘
β{πΌπ(π‘) + π½π(π‘)} = πΌβ{π(π‘)} + π½β{π(π‘)} = πΌπΉ(π ) + π½πΊ(π )
EJ 59
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para π(π‘) = π, π constante real.
SegΓΊn la definiciΓ³n se tiene
β{π} = β« πβπ π‘β
0
πππ‘ = limπβΆβ
π β« πβπ π‘ππ‘π
0
= limπβΆβ
βππβπ π‘
π |π0
=π
π
Entonces,
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β{π} =π
π
Observe que si 0 > π , la integral no existe, por lo que diremos que β{π(π‘)} =π
π , π π, π > 0.
EJ 60
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para π(π‘) = π‘.
De acuerdo a la definiciΓ³n
β{π‘} = β« πβπ π‘π‘ππ‘β
0
Integrando por partes, haciendo π’ = π‘ , ππ£ = πβπ π‘ππ‘, obtenemos:
β{π‘} =βπ‘πβπ π‘
π |β0
+1
π β« πβπ π‘ππ‘
β
0
=1
π β{1} =
1
π (
1
π ) =
1
π 2
Que al igual que en el ejemplo anterior, la integral existe, si y sΓ³lo si π > 0.
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EJ 61
Calcular, si existe, la transformada de Laplace para π(π‘) = πππ‘, donde π β β.
Como π(π‘) = πππ‘, entonces calculamos
β{πππ‘} = β« πβπ π‘πππ‘β
0
ππ‘ = β« π(βπ +π)π‘β
0
ππ‘ =βπβ(π βπ)π‘
π β π|β0
=1
π β π
Esta integral existe, siempre y cuando π β π > 0, es decir cuando π > π.
EJ 62
EvalΓΊe β{π ππ 2π‘}.
De acuerdo con la definiciΓ³n e integrando por partes.
β{π ππ 2π‘} = β« πβπ π‘π ππ 2π‘ππ‘ =βπβπ π‘π ππ 2π‘
π |β0
+2
π β« πβπ π‘ cos 2π‘ππ‘
β
0
β
0
=2
π β« πβπ π‘ cos 2π‘ππ‘, π > 0
β
0
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=2
π [βπβπ π‘ cos 2π‘
π |β0
β2
π β« πβπ π‘π ππ 2π‘ππ‘
β
0
]
Limπ‘ββ
πβπ π‘ cos 2π‘ = 0, π > 0 Transformada de Laplace de π ππ 2π‘
=2
π [βπβπ π‘ cos 2π‘
π |β0
β2
π β« πβπ π‘π ππ2π‘ππ‘
β
0
] =2
π 2β
4
π 2β{π ππ 2π‘}
β{π ππ 2π‘} =2
π 2 + 4, π > 0
CCCI
Ya familiarizados con la definiciΓ³n de transformada de Laplace, es muy ΓΊtil contar con una
tabla donde estΓ‘n las transformadas de algunas funciones bΓ‘sicas.
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FunciΓ³n Transformada de Laplace
CondiciΓ³n
π(π‘) = 1 β{1} =
1
π
π > 0
π(π‘) = π β{π} =
π
π
π > 0
π(π‘) = π‘π β{π‘π} =
π!
π π+1
π β β€+
π(π‘) = πππ‘ β{πππ‘} =
1
π β π
π < π
π(π‘) = cos(ππ‘) β{cos(ππ‘)} =π
π 2 + π2 π > 0
π(π‘) = s ππ(ππ‘) β{sen(ππ‘)} = π
π 2 + π2 π > 0
π(π‘) = cos β(ππ‘) β{cosh(ππ‘)} =π
π 2 β π2 π > 0
π(π‘) = s ππβ(ππ‘) β{senh(ππ‘)} = π
π 2 β π2 π > 0
Como observamos en los ejemplos y en la tabla, no podemos garantizar siempre, la
existencia de la transformada de Laplace, debemos colocar en casi todos los casos ciertas
restricciones, que garanticen que bajo esas condiciones, la transformada de Laplace existe.
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Existencia de la Transformada de Laplace: Sea π(π‘) definida y continua a trozos para π‘ β₯
0, si
|π(π‘)| β€ ππππ‘ , π‘ > π
Para constantes π, π > 0, entonces β(π(π‘)) existe para todo π > π.
En el desarrollo de esta guΓa consideraremos, en adelante, ΓΊnicamente funciones cuya
transformada de Laplace exista.
Al observar β(π(π‘)), notamos que la transformada de Laplace depende de π , entonces
llamemos
β(π(π‘)) = πΉ(π )
Supongamos entonces que conocemos la transformada de dos funciones π y π, que serΓan
respectivamente πΉ y πΊ, veamos quien es β(ππ(π‘) + ππ(π‘)), donde π, π β β.
β(ππ(π‘) + ππ(π‘)) = limπβΆβ
β« (ππ(π‘) + ππ(π‘))πβπ π‘ππ‘ π
0
= limπβΆβ
π β« πβπ π‘π(π‘)ππ‘ π
0
+ limπβΆβ
π β« πβπ π‘π(π‘)ππ‘ π
0
Como π, π β β
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π limπβΆβ
β« πβπ π‘π(π‘)ππ‘ π
0
+ π limπβΆβ
β« πβπ π‘π(π‘)ππ‘ π
0
= ππΉ(π ) + ππΊ(π )
Ejemplo: Calcular, la transformada de Laplace para πππ (3π‘ +π
4).
Primero, observemos que cos (π
4) = sin (
π
4) =
β2
2 entonces πππ (3π‘ +
π
4) =
β2
2cos(3π‘) β
β2
2sin(3π‘) consideremos
π =β2
2 , π = β
β2
2 , π(π‘) = cos(3π‘) π(π‘) = sin(3π‘), por tanto aplicamos la transformada
hacemos uso de la tabla anterior,
β (πππ (3π‘ +π
4)) =
β2
2[β(πππ (3π‘)) β β(sin(3π‘))] =
β2
2[
π
π 2 + 9β
3
π 2 + 9] =
β2
2
π β 3
π 2 + 9
L
Ejercicios:
1. Encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
a. π(π‘) = π ππ2(π‘) i. π(π‘) = (π‘ + 2)3
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b. π(π‘) = πππ 2(π‘) j. π(π‘) = (ππ‘ + πβπ‘)2
c. π(π‘) = π‘3 k. π(π‘) = πβπ‘sin (3π‘)
d. π(π‘) = π3π‘ l. π(π‘) = π‘4 β 5π‘3 +1
2π‘ + 7
e. π(π‘) = cos(3π‘) cos (5π‘) m. π(π‘) = π‘3/2
f. π(π‘) = π‘2π3π‘ n. π(π‘) = ππ‘+5
g. π(π‘) = π‘2cos (3π‘) o. π(π‘) = ππ‘+5