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7/25/2019 7 Material Adicional Derivadas
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DERIVADAS
INTRODUCCIN
En esta gua encuentra ejercicios en los que debe asociar la grfca de unauncin con la de su derivada y viceversa, determinar la derivada de uncionesdadas y utilizar el concepto de derivada para resolver problemas.
OBJETIVOS
Interpretar el concepto de derivada desde el punto de vista geomtrico ysico.
Interpretar la derivada de una uncin como una nueva uncin.
!tilizar las reglas de derivacin para encontrar la derivada de unciones noelementales.
CONCEPTOS BSICOS
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Defnicin:
"a pendiente de la recta tangente a la curva )(xfy= en el punto P ))(,( xfx
es#h
xfhxfm
h
)()(lim
0
+=
UNIVERSIDAD PRIVADA DEL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
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OTRA DEFINICIN
"a pendiente de la recta tangente a la curva )(xfy= en el punto P ))(,( afa
es#ax
afxfm
ax
=
)()(lim
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EJEMPLO
$alle la ecuacin de la recta tangente a la grfca de la uncin xxf =)( en elpunto %&,'(
En primer lugar )allemos la pendiente de la recta tangente usando lmites#
4
1
42
1
2
1
)(
1lim
)(lim
)(
)(lim
)(
))((limlim
0
0000
===++
=
++=
++
+=
++
+++=
+=
xxhx
xhxh
h
xhxh
xhx
xhxh
xhxxhx
h
xhxm
h
hhhh
*)ora )allemos la ecuacin de la recta con la e+presin# 00 )( yxxmy +=
14
121
4
12)4(
4
1+=+=+= xxxy
olucin# 14
1+= xy
VELOCIDAD
"a uncin f%x( que describe el movimiento se conoce con el nombre de uncinposicin del objeto. En el intervalo desde t- a)asta t- bel cambio de
posicin es )()( afhaf +
"a velocidad promedioen dic)o intervalo es#
h
afhaf
h
entodesplazamipromedioVelocidad
)()( +==
%donde hes la longitud del intervalo de tiempo %a,b(
"a velocidad en el instante t- a%elocidad instantnea( es#
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h
afhafav
h
)()(lim)(
0
+=
RAZONES DE CAMBIO
/ada)(xfy
= sixcambia de 1x
a 2x entonces el cambio enxse llamaincremento dex# 12 xxx =
El correspondiente incremento deyes )()( 12 xfxfy =
El cociente de estos incrementos se llama Razn de cambio promediodey conrespecto ax
Razn de cambio promedio=12
12 )()(
xx
xfxf
x
y
=
"a razn de cambio instantnea de y con respecto axen el punto )(,( 11 xfx
es#
Razn de cambio instantneo=12
12
00
)()(limlim
xx
xfxf
x
y
xx
=
LA DERIVADA
ea f%x( una uncin, la pendiente de la recta tangente %m( en un punto dadose llama derivada se llama derivada de fen dic)o punto y se escribe#
hxfhxfm
h
)()(lim0
+=
- /erivada de fen el punto %x,f%x((
No!cin
ea )(xfy= una uncin, notamos la derivada as#dx
dyxfy == )(''
En un punto particular %a,f%a(( escribimos# axdx
dyaf == |)('
EJEMPLO
$alle la derivada de2
xy= enx- '
xdx
dxEntonces
xhx
h
hxh
h
hxh
h
xhxhx
h
xhx
dx
dxy
h
hhhh
2:
2)2(lim
)2(lim
2lim
2lim
)(lim'
2
0
0
2
0
222
0
22
0
2
=
=+=
+=
+=
++=
+==
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Enx- ' la derivada es# '%'(-&
"a derivada de 3xy= es
23
233223
0
33
0
3
3:
333
lim)(
lim'
xdx
dxEntonces
x
h
xhxhhxx
h
xhx
dx
dxy
hh
=
=+++
=+
==
Gene"!#i$!cin
i usamos lmites para )allar la derivada de nxy= obtenemos# 1= nn
nxdx
dx
PROPIEDADES DE DERIVACIN
ean f, gdos unciones entonces#
0. [ ] )()()()( xgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d= '. 0)( =k
dx
d 1.
)()(. xfdx
dkxfk
dx
d =
&. [ ] )()()().()().( xfdx
dxgxg
dx
dxfxgxf
dx
d+=
[ ] 2)(
)()()()(
)(
)(.5
xg
xgdx
dxfxf
dx
dxg
xg
xf
dx
d
=
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
eay- f%x( una uncin entonces#
)()('' xfdx
dxfy == es la primera derivada o derivada de primer orden
)()(2
2'''' xf
dx
dxfy == es la segunda derivada o derivada de segundo orden
)()(3
3'''''' xf
dx
dxfy == es la tercera derivada o derivada tercer orden
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.
.
.
.
)()()()( xf
dx
dxfy
n
nnn
== es la ensima derivada o derivada de orden n
EJEMPLO
0. $alle todas las derivadas de orden superior para 223 234 ++= xxxy
0..........................................................00
721272'''21236''2612' 223
===
=+=++=++=nviv
iv
yyy
yxyxxyxxxy
'. $alle la tercera derivada dex
y 1=
432 6'''2''' === xyxyxy
REGLA DE LA CADENA
i f%u( es derivable en )(xgu= y g%x( derivable enx, entonces la compuesta))(()( )( xgfgf x = es derivable enx. *dems#
)(')).((')'()(
xgxgfgfx =
!sando la notacin de "eibniz, si )(,)( xguufy == entonces#
dx
du
du
dy
dx
dy==
REGLA DE LA CADENA PARA POTENCIAS
i )(xu es una uncin derivable entonces#
dx
dunuu
dx
d nn 1=
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EJEMPLOS
ea 42 )13( += xxy )alle su derivada
)13()13(4' 32 += xxxy
ea xxy += 3 calculedx
dy
xx
xxxx
dx
dyxxxxy
+
+=++=+=+=
3
222
1
32
1
33
2
13)13()(
2
1)(
DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOM%TRICAS
De"i&!'! 'e (eno 'e x
[ ]
)cos()1)(cos()0)(()(
lim)cos(1)cos(
lim)(
)cos()(lim
1))(cos((lim
)cos()()1))(cos((lim
)()cos()()cos()(lim)()(lim)(
00
000
00
xxxsenh
hsenx
h
hxsen
h
xhsen
h
hxsen
h
xhsenhxsen
hxsenxhsenhxsen
hxsenhxsenxsen
dxd
hh
hhh
hh
=+=+
=+
=+
=+=+=
De"i&!'! 'e co(eno 'e x
[ ]
)()1)(()0)(cos()(
lim)(1)cos(
lim)cos(
)()(lim
1))(cos(cos(lim
)()()1))(cos(cos(lim
)cos()()()cos()cos(lim
)cos()cos(lim)cos(
00
000
00
xsenxsenxh
hsenxsen
h
hx
h
xsenhsen
h
hx
h
xsenhsenhx
h
xxsenhsenhx
h
xhxx
dx
d
hh
hhh
hh
==
=
=
=
=+
=
2ara obtener las dems derivadas no es necesario usar lmites ya queempleamos las identidades que involucran a seno y a coseno.
De"i&!'! 'e !n)ene 'e x
)(sec)(cos
1
))(cos(
)()(cos
))(cos(
)())(()cos()cos(
)cos(
)()tan(
2
2
2
22
2
xx
x
xsenx
x
xsenxsenxx
x
xsen
dx
dx
dx
d
=
=+
=
=
=
El lector puede usar este mismo procedimiento para probar las siguientesderivadas#
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)cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( 2 xxxdx
dxxx
dx
dxx
dx
d===
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOM%TRICAS COMPUESTAS
dxduuuu
dxd
dxduuuu
dxd
dxduuu
dxd
dx
duuu
dx
d
dx
duusenu
dx
d
dx
duuusen
dx
d
)cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot(
)(sec)tan()()cos()cos()(
2
2
===
===
EJEMPLOS
0. /erive )( 2xseny= y3- 'sen+ 4 cos+
)cos(22)cos(' 22 xxxxy == 5.. y33- %'cos+46sen+('+7
'. /erive )2
11( =x
seny 5.
)211cos(1)1)(
211cos(' 22 == xxxx
y
DERIVACIN IMPL*CITA
!na uncin f%x( esta defnida implcitamente por una ecuacin si y solo si alsustituirypor f%x( se llega a una identidad.
EJEMPLOS
0. "a ecuacin xy =2 defne dos unciones implcitamente, ellas son#xxfyxxfy ==== )(,)(
2ara )allardx
dyxf =)(' debemos derivar implcitamente la ecuacin xy =2 , en
primer lugar vamos a sustituirypor f%x( en la ecuacin, as#
[ ] xxf =2)( a)ora derivamos en ambos miembros con respecto ax y usamos laregla de la cadena en el miembro izquierdo
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yxfxfxfxf
2
1
)(2
1)('1)(')(2 ===
'. uponga que 33 7 xyy =+ defne aycomo una uncin implcita dex, )alle
dx
dy
/erivando en ambos miembros#
73
3
3)73(
37.3
2
2
22
22
+=
=+
=+
y
x
dx
dy
xydx
dy
xdx
dy
dx
dyy
EJERCICIOS
0. 8elacione la grfca de cada uncin dada en las fguras a(6d( con lasgrfcas de sus derivadas I6I. E+plique las razones de su eleccin.
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'. 2ara cada una de las siguientes unciones trace la grfca de su derivada.
1. /etermine la derivada de cada una de las siguientes unciones#
a. 525163)( 34 +++= xxxxf b. ( )52 8516)( ++= xxxf c. )83()( 2 += xsenxf
d.2
4 153)(
x
xxf
+= e. xxxf cos)( 2= .
))1(tan()( 2 += xsenxf
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g.x
xxxf
15)(
23 ++= ). )cos(1)53()( 2xxxxf ++= i.
x
senxxxf
tan)(
3
=
&. Encuentre una ecuacin para la recta que es tangente a la curvaxxxy 565 23 = en el origen.
9. !n rectngulo tiene lados x y y . i y depende de x de la siguienteorma# ( ) 212 += xy y a los t segundos 2/1)( = ttx ,a. Encuentre la tasa de variacin instantnea del rea del rectngulo a los
'9 segundos, utilizando la regla de la cadena.b. /etermine la uncin que d el rea del rectngulo en uncin del
tiempo. /etermine con esta uncin la tasa la de variacin instantneadel rea a los '9 segundos.
:. !na piscina de base rectangular con rea &; 2m y proundidad ;m,
comienza a llenarse con rapidez constante. "a altura de lo que alta por
llenar se modela mediante la uncin tth
=5
18)( , ten )oras.
a. /etermine la uncin )(tQ que mide los metros cu relacin e+iste entre las unciones derivadas de )(th y )(tQ ?
@. i la recta tangente a )(xfy= en %&,1(, pasa por el punto %A,'( encuentre)4(')4( fyf
;. Brafque una uncin para la cual 1)2('0)1(',3)0(',0)0( ==== fyfffC. i xxxf 53)( 2 = encuentre )2('f y
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