7 material adicional derivadas

7/25/2019 7 Material Adicional Derivadas

1/12

DERIVADAS

INTRODUCCIN

En esta gua encuentra ejercicios en los que debe asociar la grfca de unauncin con la de su derivada y viceversa, determinar la derivada de uncionesdadas y utilizar el concepto de derivada para resolver problemas.

OBJETIVOS

Interpretar el concepto de derivada desde el punto de vista geomtrico ysico.

Interpretar la derivada de una uncin como una nueva uncin.

!tilizar las reglas de derivacin para encontrar la derivada de unciones noelementales.

CONCEPTOS BSICOS

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

Defnicin:

"a pendiente de la recta tangente a la curva )(xfy= en el punto P ))(,( xfx

es#h

xfhxfm

h

)()(lim

0

+=

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS


2/12

OTRA DEFINICIN

"a pendiente de la recta tangente a la curva )(xfy= en el punto P ))(,( afa

es#ax

afxfm

ax

=

)()(lim


3/12

EJEMPLO

$alle la ecuacin de la recta tangente a la grfca de la uncin xxf =)( en elpunto %&,'(

En primer lugar )allemos la pendiente de la recta tangente usando lmites#

4

1

42

1

2

1

)(

1lim

)(lim

)(

)(lim

)(

))((limlim

0

0000

===++

=

++=

++

+=

++

+++=

+=

xxhx

xhxh

h

xhxh

xhx

xhxh

xhxxhx

h

xhxm

h

hhhh

*)ora )allemos la ecuacin de la recta con la e+presin# 00 )( yxxmy +=

14

121

4

12)4(

4

1+=+=+= xxxy

olucin# 14

1+= xy

VELOCIDAD

"a uncin f%x( que describe el movimiento se conoce con el nombre de uncinposicin del objeto. En el intervalo desde t- a)asta t- bel cambio de

posicin es )()( afhaf +

"a velocidad promedioen dic)o intervalo es#

h

afhaf

h

entodesplazamipromedioVelocidad

)()( +==

%donde hes la longitud del intervalo de tiempo %a,b(

"a velocidad en el instante t- a%elocidad instantnea( es#


4/12

h

afhafav

h

)()(lim)(

0

+=

RAZONES DE CAMBIO

/ada)(xfy

= sixcambia de 1x

a 2x entonces el cambio enxse llamaincremento dex# 12 xxx =

El correspondiente incremento deyes )()( 12 xfxfy =

El cociente de estos incrementos se llama Razn de cambio promediodey conrespecto ax

Razn de cambio promedio=12

12 )()(

xx

xfxf

x

y

=

"a razn de cambio instantnea de y con respecto axen el punto )(,( 11 xfx

es#

Razn de cambio instantneo=12

12

00

)()(limlim

xx

xfxf

x

y

xx

=

LA DERIVADA

ea f%x( una uncin, la pendiente de la recta tangente %m( en un punto dadose llama derivada se llama derivada de fen dic)o punto y se escribe#

hxfhxfm

h

)()(lim0

+=

- /erivada de fen el punto %x,f%x((

No!cin

ea )(xfy= una uncin, notamos la derivada as#dx

dyxfy == )(''

En un punto particular %a,f%a(( escribimos# axdx

dyaf == |)('

EJEMPLO

$alle la derivada de2

xy= enx- '

xdx

dxEntonces

xhx

h

hxh

h

hxh

h

xhxhx

h

xhx

dx

dxy

h

hhhh

2:

2)2(lim

)2(lim

2lim

2lim

)(lim'

2

0

0

2

0

222

0

22

0

2

=

=+=

+=

+=

++=

+==


5/12

Enx- ' la derivada es# '%'(-&

"a derivada de 3xy= es

23

233223

0

33

0

3

3:

333

lim)(

lim'

xdx

dxEntonces

x

h

xhxhhxx

h

xhx

dx

dxy

hh

=

=+++

=+

==

Gene"!#i$!cin

i usamos lmites para )allar la derivada de nxy= obtenemos# 1= nn

nxdx

dx

PROPIEDADES DE DERIVACIN

ean f, gdos unciones entonces#

0. [ ] )()()()( xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d= '. 0)( =k

dx

d 1.

)()(. xfdx

dkxfk

dx

d =

&. [ ] )()()().()().( xfdx

dxgxg

dx

dxfxgxf

dx

d+=

[ ] 2)(

)()()()(

)(

)(.5

xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d

=

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

eay- f%x( una uncin entonces#

)()('' xfdx

dxfy == es la primera derivada o derivada de primer orden

)()(2

2'''' xf

dx

dxfy == es la segunda derivada o derivada de segundo orden

)()(3

3'''''' xf

dx

dxfy == es la tercera derivada o derivada tercer orden


6/12

.

.

.

.

)()()()( xf

dx

dxfy

n

nnn

== es la ensima derivada o derivada de orden n

EJEMPLO

0. $alle todas las derivadas de orden superior para 223 234 ++= xxxy

0..........................................................00

721272'''21236''2612' 223

===

=+=++=++=nviv

iv

yyy

yxyxxyxxxy

'. $alle la tercera derivada dex

y 1=

432 6'''2''' === xyxyxy

REGLA DE LA CADENA

i f%u( es derivable en )(xgu= y g%x( derivable enx, entonces la compuesta))(()( )( xgfgf x = es derivable enx. *dems#

)(')).((')'()(

xgxgfgfx =

!sando la notacin de "eibniz, si )(,)( xguufy == entonces#

dx

du

du

dy

dx

dy==

REGLA DE LA CADENA PARA POTENCIAS

i )(xu es una uncin derivable entonces#

dx

dunuu

dx

d nn 1=


7/12

EJEMPLOS

ea 42 )13( += xxy )alle su derivada

)13()13(4' 32 += xxxy

ea xxy += 3 calculedx

dy

xx

xxxx

dx

dyxxxxy

+

+=++=+=+=

3

222

1

32

1

33

2

13)13()(

2

1)(

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOM%TRICAS

De"i&!'! 'e (eno 'e x

[ ]

)cos()1)(cos()0)(()(

lim)cos(1)cos(

lim)(

)cos()(lim

1))(cos((lim

)cos()()1))(cos((lim

)()cos()()cos()(lim)()(lim)(

00

000

00

xxxsenh

hsenx

h

hxsen

h

xhsen

h

hxsen

h

xhsenhxsen

hxsenxhsenhxsen

hxsenhxsenxsen

dxd

hh

hhh

hh

=+=+

=+

=+

=+=+=

De"i&!'! 'e co(eno 'e x

[ ]

)()1)(()0)(cos()(

lim)(1)cos(

lim)cos(

)()(lim

1))(cos(cos(lim

)()()1))(cos(cos(lim

)cos()()()cos()cos(lim

)cos()cos(lim)cos(

00

000

00

xsenxsenxh

hsenxsen

h

hx

h

xsenhsen

h

hx

h

xsenhsenhx

h

xxsenhsenhx

h

xhxx

dx

d

hh

hhh

hh

==

=

=

=

=+

=

2ara obtener las dems derivadas no es necesario usar lmites ya queempleamos las identidades que involucran a seno y a coseno.

De"i&!'! 'e !n)ene 'e x

)(sec)(cos

1

))(cos(

)()(cos

))(cos(

)())(()cos()cos(

)cos(

)()tan(

2

2

2

22

2

xx

x

xsenx

x

xsenxsenxx

x

xsen

dx

dx

dx

d

=

=+

=

=

=

El lector puede usar este mismo procedimiento para probar las siguientesderivadas#


8/12

)cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( 2 xxxdx

dxxx

dx

dxx

dx

d===

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOM%TRICAS COMPUESTAS

dxduuuu

dxd

dxduuuu

dxd

dxduuu

dxd

dx

duuu

dx

d

dx

duusenu

dx

d

dx

duuusen

dx

d

)cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot(

)(sec)tan()()cos()cos()(

2

2

===

===

EJEMPLOS

0. /erive )( 2xseny= y3- 'sen+ 4 cos+

)cos(22)cos(' 22 xxxxy == 5.. y33- %'cos+46sen+('+7

'. /erive )2

11( =x

seny 5.

)211cos(1)1)(

211cos(' 22 == xxxx

y

DERIVACIN IMPL*CITA

!na uncin f%x( esta defnida implcitamente por una ecuacin si y solo si alsustituirypor f%x( se llega a una identidad.

EJEMPLOS

0. "a ecuacin xy =2 defne dos unciones implcitamente, ellas son#xxfyxxfy ==== )(,)(

2ara )allardx

dyxf =)(' debemos derivar implcitamente la ecuacin xy =2 , en

primer lugar vamos a sustituirypor f%x( en la ecuacin, as#

[ ] xxf =2)( a)ora derivamos en ambos miembros con respecto ax y usamos laregla de la cadena en el miembro izquierdo


9/12

yxfxfxfxf

2

1

)(2

1)('1)(')(2 ===

'. uponga que 33 7 xyy =+ defne aycomo una uncin implcita dex, )alle

dx

dy

/erivando en ambos miembros#

73

3

3)73(

37.3

2

2

22

22

+=

=+

=+

y

x

dx

dy

xydx

dy

xdx

dy

dx

dyy

EJERCICIOS

0. 8elacione la grfca de cada uncin dada en las fguras a(6d( con lasgrfcas de sus derivadas I6I. E+plique las razones de su eleccin.


10/12

'. 2ara cada una de las siguientes unciones trace la grfca de su derivada.

1. /etermine la derivada de cada una de las siguientes unciones#

a. 525163)( 34 +++= xxxxf b. ( )52 8516)( ++= xxxf c. )83()( 2 += xsenxf

d.2

4 153)(

x

xxf

+= e. xxxf cos)( 2= .

))1(tan()( 2 += xsenxf


11/12

g.x

xxxf

15)(

23 ++= ). )cos(1)53()( 2xxxxf ++= i.

x

senxxxf

tan)(

3

=

&. Encuentre una ecuacin para la recta que es tangente a la curvaxxxy 565 23 = en el origen.

9. !n rectngulo tiene lados x y y . i y depende de x de la siguienteorma# ( ) 212 += xy y a los t segundos 2/1)( = ttx ,a. Encuentre la tasa de variacin instantnea del rea del rectngulo a los

'9 segundos, utilizando la regla de la cadena.b. /etermine la uncin que d el rea del rectngulo en uncin del

tiempo. /etermine con esta uncin la tasa la de variacin instantneadel rea a los '9 segundos.

:. !na piscina de base rectangular con rea &; 2m y proundidad ;m,

comienza a llenarse con rapidez constante. "a altura de lo que alta por

llenar se modela mediante la uncin tth

=5

18)( , ten )oras.

a. /etermine la uncin )(tQ que mide los metros cu relacin e+iste entre las unciones derivadas de )(th y )(tQ ?

@. i la recta tangente a )(xfy= en %&,1(, pasa por el punto %A,'( encuentre)4(')4( fyf

;. Brafque una uncin para la cual 1)2('0)1(',3)0(',0)0( ==== fyfffC. i xxxf 53)( 2 = encuentre )2('f y


12/12

7 material adicional derivadas

Documents