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Elemento Finito Viga Pg.2
x, u
z, w
iMF
q(x)
)( xw
dxdw=
, B
, A
, B
, A
)( xu
, A
, B B
Z
Fig. 4.1.2 Desplazamientos de la seccin de una viga
Segn las hiptesis establecidas el campo de desplazamiento de un punto cualquiera se
puede escribir como:
=),,( z y xu dxdw z
0),,( = z y xv
) (1.1)(),,( xw z y xw =
La deformacin en un punto material se obtiene por las respectivas definiciones:
2
2
dxwd
zdxdu
x ==
0===== yz xz xy z y (1.2)
El nico esfuerzo no nulo x se relaciona con su correspondiente deformacin x por:
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Elemento Finito Viga Pg.3
2
2
dxwd
zE E x x == (1.3)
Se define el momento flector positivo M (segn Fig.1.3) de una seccin como:
EI dx
wd EI dA
dxwd
E zdA z M A A
x ==== 22
2
22 (1.4)
Donde I es el momento de inercia de la seccin transversal con respecto al eje y siendo
la curvatura del eje de la viga.
z
x
x
M M
x
x
x
Fig. 4.1.3 Convenio de signos para los esfuerzos y el momento flector M .
El equilibrio de la viga est dado por el principio de los trabajos virtuales ( PTV ), que se
escribe de la siguiente forma:
= =
++=
V
L P
i
q
j j
ji x x M dx
dwF wdx xwqdV
0 1 11)( (1.5)
La integral sobre el volumen de la viga del primer miembro representa el trabajo
generado por la deformacin virtual y puede simplificarse de la siguiente forma:
=
= dxdx
wd dA E zdV
V
L
A x x x 2
2
0
2
( ) Mdxdxdxwd
EI dxwd L L
=
=0
2
2
02
2
(1.6)
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Elemento Finito Viga Pg.4
El trabajo de deformacin virtual, es la integral sobre la longitud de la viga del producto
del momento flector por la correspondiente curvatura virtual.
4.1.2 Discretizacin en elementos finitos de dos nodosLa ecuacin de equilibrio dada por el PTV , indica que solamente es necesario
determinar el campo de desplazamientos verticales ( ) xw , para satisfacer el equilibrio.Sin embargo se observa que el trabajo virtual interno depende de la segunda derivada de
la flecha w (curvatura ), lo cual implica que se tiene que utilizar elementos con
continuidad de clase C 1 (la variable y su primera derivada han de ser continuas) para
evitar singularidades en el clculo de las integrales. Esta condicin puede interpretarsefsicamente, pues la primera derivada
dxdw
coincide con la pendiente de la deformada de
la viga. Por tanto, dicha derivada debe ser continua para garantizar que la deformada
sea una curva suave. El elemento ms sencillo de clase C 1 es el unidimensional de dos
nodos. La condicin de continuidad de la primera derivada de la flecha, obliga a tomar
el girodxdw como variable. Por consiguiente el nmero total de variables nodales del
elemento es cuatro ( yiwidx
dw
por nodo)
L 2)(
dx
dw
)(e x
1)( dxdw
)(e z
1w 2w
1 2
Fig. 4.1.4 Variables en el elemento de dos nodos
Las variables anteriores definen perfectamente una variacin cbica de la flecha
( ) 332210 xa xa xaa xw +++= (1.7)
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Elemento Finito Viga Pg.5
Las constantes se calculan sustituyendo adecuadamente los valores de la flecha y sus
derivados en los nodos, lo que genera un sistema de ecuaciones algebraicas con cuatro
incgnitas.
ia
313
2121101 xa xa xaaw +++=
213121
1
32 xa xaadxdw ++=
323
2222102 xa xa xaaw +++=
223121
2
32 xa xaadxdw ++=
(1.8)
Una vez resuelto el sistema anterior se puede escribir como:
( ) ( ) ( ) ( )2
)(222
1
)(111 22
++
+=
dxdw L N w N
dxdw L N w N w
ee (1.9)
Para lo cual se utilizan los funciones de forma hermticas en un sistema de coordenadas
parametrizado [ ]1,1 .
1= 1+=
L
Fig. 4.1.5 Coordenadas parametrizadas
En este sistema parametrizado la flecha se aproxima como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2221
111 ++ +=
d dw N w N
d dw N w N w (1.10)
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Elemento Finito Viga Pg.6
1 N
2 N
2 N
1
11
1
1 N
Fig. 4.1.6 Funciones Hermticas
Las funciones de forma hermticas estn dadas por:
( ) ( )2231 3241;32
41
+=+= N N
( ) ( )32231 141;32
41
++=+= N N (1.11)
Con ( )me x x L= )(2 y 2
21 x x xm += (1.12)
La ecuacin (1.9) puede escribirse haciendo uso del clculo matricial de la siguiente
manera:
(1.13))(ew Nu=
donde:
=2
;;2
,)(
22
)(
11
ee L N N
L N N N y
T
e
dxdw
wdxdw
w
=
22
11
)( ;;;u (1.14)
Son las matrices de las funciones de forma y el vector de desplazamientos nodales del
elemento.
Las funciones de forma estn aproximados por polinomios hermticos la figura 1.6
muestra las funciones de forma hermticas , se puede observar que las funciones y1 N
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Elemento Finito Viga Pg.8
(1.18))()()()( eeee f quK =
donde la matriz de rigidez se calcula en forma explcita por:
( ) ( )
( )
==
+
2)(
)(
2)()(2)(
)()(
1
1
)(
3
)()(
4612
264612612
2e
e
eee
ee
ee
f T f
e
Lsim
L
L L L
L L
L EI
d L
EI BBK (1.19)
La matriz de rigidez coincide con las obtenidas haciendo uso de las clsicas ecuaciones
de resistencia en el clculo matricial de estructuras. Esto se debe a que las funciones
hermticas que aproximan al desplazamiento en el elemento de dos nodos, coincide
exactamente con la que se obtiene integrando la ecuacin diferencial de equilibrio de la
viga.
Por otra parte, el vector de fuerzas nodales equivalentes debido a una fuerza
uniformemente distribuida de intensidad q sobre el elemento es:
== +
1221
,12;21
2
)()()(
1
1
)()(
eee
eT e L L
qLd L
q Nq (1.20)
Y el vector de fuerzas nodales de equilibrio necesario para el ensamblaje)(ef
(1.21)[ T e M V M V 2211)( ,,,=f ]
una vez determinados los desplazamientos y giros nodales, se puede calcular el
momento flector en cualquier punto del elemento a travs de la siguiente expresin:
(1.22))(e f EI EI M uB==
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Elemento Finito Viga Pg.9
Ejemplo: Calcular los desplazamientos en los extremos y las reacciones en el extremoempotrado de una viga en voladizo bajo la accin de una carga uniformemente
distribuida, utilizando un solo elemento.
q
EI
L
olucin por el Mtodo de los Elementos Finitos ( Diagrama de Cuerpo Libre)
1V
q
1Mu x ,
w z,
Fig. 4.1.7 Viga en voladizo bajo carga uniforme
=
12
2
2
2
4612
264612612
2
1
2
1
2
2
1
1
2
22
3
qL
qL
M qL
V qL
W
W
L
L
L L L
L L
L EI (1.23)
Sabiendo que y1w 1 = 0 , por ser un empotramiento, se pueden prescindir de las dos
primeras filas y columnas correspondientes a dichos grados de libertad, obteniendo
luego los desplazamientos ( y2w 2 ) del nodo dos.
EI
ql
dx
dw
EI
qlw
6;
8
3
2
2
4
2 =
== (1.24)
Con estos valores se determinan las reacciones en el empotramiento.
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Elemento Finito Viga Pg.10
yqlV =1 2
2
1ql
M = (1.25)
Dichos valores coinciden con los valores exactos, sin embargo dicha coincidencia
ocurre slo en los nodos ya que la variacin exacta de la flecha es un polinomio de
cuarto grado, mientras que la utilizada en la aproximacin es una de tercer grado.
En la figura a continuacin se muestra la ley de momentos flectores obtenida por el
mtodo de los elementos finitos y la exacta.
46
22 qlql EI EI M f MEF === uB
(2
2
18 = qL
M Ex ) (1.26)
-1=
Elemento)(1MEFSolucin
1+=
ExactaSolucin
2
2qL
3
1-=
3
1+=
Fig. 4.1.8 Ley de momentos
Es interesante advertir que amas soluciones coinciden con los dos puntos de Gauss para
31= . Esta coincidencia no es fortuita y dada su importancia en la integracin
numrica estudiaremos con ms detalle en el apartado siguiente.
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Elemento Finito Viga Pg.11
4.1.3 Puntos ptimos para el clculo de esfuerzos y deformaciones
Al obtener los esfuerzos a partir de las derivadas de los desplazamientos su
aproximacin es siempre de menor orden que la de los desplazamientos. Por lo general,
si las funciones de forma son polinomios de grado p, la aproximacin de las tensiones
ser de polinomios de grado p-1 p-2, segn se obtenga en funcin de la primera o
segunda derivada del campo de desplazamientos.
Est demostrado que las tensiones obtenidas en el mtodo de los elementos finitos
pueden considerarse como un ajuste por mnimos cuadrados ponderados de la solucin
exacta de los esfuerzos ( Zienkiewcz ). Esta propiedad cobra una vital importancia en
la evalucin de los esfuerzos dentro de los elementos finitos, que justamente
coinciden en los puntos de interseccin con la solucin exacta . La dificultad surge
que en la mayora de los casos no se conoce una distribucin real del campo de
esfuerzos.
Esta dificultad puede sortearse haciendo uso de la siguiente propiedad de la integracin
numrica de Gauss Legendre : en los puntos de una cuadratura de Gauss- Legendre de
orden n, un polinomio de grado n y otro de grado n-1, obtenido como ajuste por mnimo
cuadrado del anterior toman el mismo valor. Aclaremos esta propiedad en dos
ejemplos.
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Elemento Finito Viga Pg.12
Ejemplo 1: comprobar que un polinomio de segundo orden y otro de primer ordenobtenido por ajuste por mnimo cuadrado del anterior se cortan en los puntos de la
cuadratura de Gauss-Legendre de orden 2.
Tomemos un polinomio de segundo grado ( n = 2)
( ) 21 x x x f ++=
y obtengamos el de primer grado (n = 1) que ajusta a por mnimos cuadrados. Tal
que:
)( x f
bxa xg +=)(y de forma que:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] dx x xbadx xg x f M +
+
++==1
1
1
1
222 11
Sea un mnimo
Las constantes a y b se obtienen de las siguientes condiciones:
( ) ( )[ ]+
=++= 1
1
2 01120 dx x xbaa
M
( ) ( )[ ]+
=++= 1
1
2 01120 dx x xbabb
M
y resolviendo se obtiene34=a y b =1.
En la figura 1.9, se muestran las funciones f ( x) y g( x). Puede observarse que ambos
polinomios se cortan en los puntos de la cuadratura de Gauss-Legendre de orden 2.
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Elemento Finito Viga Pg.13
31-= x 3
1+= x1- 1+
2xx1f(x) ++=
x+=34
g(x)
x
y
Fig. 4.1.9 Puntos de interseccin de los polinomios )()( xg y x f
Ejemplo 2:comprobar que un polinomio cbico y otro cuadrtico obtenido por ajuste por mnimos cuadrados del anterior se cortan en los puntos de la cuadratura de Gauss-
Legendre de orden 3. (se deja al lector la solucin de este ejemplo, los puntos de la
cuadraturas de Gauss-Legendre son: x1 = -0.7746; x2 = 0; x3 = 0.7746)
De lo anterior pueden realizarse las dos siguientes conclusiones:
1) Si la distribucin exacta de los esfuerzos (o las deformaciones ), es un
polinomio de grado n, y la aproximada obtenida por elementos finitos es de grado
n-1, la evaluacin de los esfuerzos o de las deformaciones en los puntos de la
cuadratura de Gauss-Legendre de orden n es exacta.
2) Si los polinomios que representan las soluciones exactas y de elementos finitos para
y difieren en ms de un grado, la evaluacin de y en los puntos de la
cuadratura de Gauss-Legendre aproxima un trmino ms del desarrollo de la serie
de Taylor de la solucin exacta que en cualquier otro punto del elemento.
Resumiendo se puede decir que los puntos de la cuadratura de Gauss-Legendre tienen la
interesante propiedad de aproximar con un orden mayor los esfuerzos (y las
deformaciones) y por consiguiente deben evaluarse en dichos puntos y a partir de los
valores obtenidos proceder si se desea, a la extrapolacin a los nodos. Por ello dichos
puntos de consideran ptimos para el clculo de los esfuerzos y deformaciones. Los
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Elemento Finito Viga Pg.14
conceptos anteriormente mencionados son rigurosamente vlidos para elementos
unidimensionales. Asimismo, se ha comprobado que la utilizacin de las mismas ideas
para la integracin numrica de Gauss-Legendre en dos y tres dimensiones lleva a una
mejora sustancial en la evaluacin de los esfuerzos y deformaciones.
En la Fig. 1.10 se muestran los puntos ptimos para el clculo de esfuerzos y
deformaciones en algunos de los elementos uni y bidimensionales.
Barra a traccin Flexin de vigas
1C
{0C
xx
xx x
x
x
x
Elasticidad 2D
XX
X
x
x x xx
xxO
xx
xx
Placas y Lminas
{0C
1C
x
x
x
xx
xx
X xx
xx
x
x
xO
xx
xx
Fig. 4.1.10 Puntos ptimos para la evaluacin de los esfuerzos
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Elemento Finito Viga Pg.15
4.2 FLEXIN DE VIGAS DE TIMOSHENKO
4.2.1 Teora bsica
La nueva hiptesis introducida por Timoshenko es la de considerar que las secciones
planas normales al eje de la viga antes de la deformacin, permanecen planos pero nonecesariamente normales al eje despus de la deformacin.
iF
q(x)
)( xw
=dxdw
u x,
w z,
Fig. 4.2.1 Teora de flexin de vigas de Timoshenko
Esta hiptesis represente una mejor aproximacin a la deformacin real de la seccintransversal. Esta hiptesis tiene su sustento para las vigas de gran canto donde lassecciones transversales dejan de conservarse despus de la deformacin. Esta hiptesisasume un giro medio para la seccin, de manera que para efectos prcticos se considera plana. De la figura 1.11 se deduce que el giro de la seccin se expresa como
+= xd wd
(1.27)
dondedxdw
es la pendiente de la deformada del eje de la viga y un giro adicional
debido a la deformacin por cortante.El campo de desplazamiento se expresa como
( ) ( ) x z z y xu =,,
( ) 0,, = z y xv
( ) ( xw z y xw =,, ) (1.28) De dicho campo de desplazamientos podemos ahora determinar las deformaciones no
nulas
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Elemento Finito Viga Pg.16
xd
d z
xd
ud x
==
==+= xd
wd
zd
ud
xd
wd xz (1.29)
Por lo tanto la teora de Timoshenko equivale a considerar el efecto de la deformacin por cortante transversal coincidiendo la magnitud de dicha deformacin con el giroadicional de la normal .
Las deformaciones no nulas generan tensiones que estn relacionadas por lasrespectivas ecuaciones constitutivas:
zE
xd
d zE E x x ===
==
xd wd
GG xz xz (1.30)
Aqu G es el mdulo de corte y xd
d = la curvatura del eje de la viga.
El momento flector y el esfuerzo cortante que generan dichas tensiones se defines como
EI dA xd d
E z Ad z M A A
x === 2
con zd yd dA =
xz A
xz GA xd wd
GA Ad Q =
== (1.31)
x M
x
z
x xz
Q
z z
x
Q
Tensin NormalDistribucin supuesto=Distri. exacta
x Tensin tangencialDistri. supuesto
Tensin TangencialDistri. exacta
xz
xz
xz
Fig. 4.2.2 Teora de vigas de Timoshenko. Distribucin de tensiones normales y tangenciales
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Elemento Finito Viga Pg.17
Obsrvese que la variacin de x en el canto es lineal, lo cual puede considerarse comoexacto dentro de la hiptesis de la teora de vigas. Por el contrario, la variacin de latensin tangencial xz en el canto se supone constante, lo cual est en claracontradiccin con la distribucin polinmica de la teora de vigas. Para sortear este problema se acepta la hiptesis de tensin tangencial constante pero modificada por uncoeficiente de manera que el trabajo de deformacin de tensin tangencial constantecoincida con el exacto de la teora de vigas. As se toma
xz xy G = y
(1.32) xz xz G AG AQ ==
donde es el coeficiente de forma o distorsin de la seccin y se denominarea reducida. Con las tensiones, deformaciones y desplazamientos antes planteados
podemos ahora expresar el principio de los trabajos virtuales (PTV ) de la siguienteforma
A A =
(1.33)( ) ==
++=+q
j j j
p
iii
L
v xz xz x x M F w xd qwdV
110
El primer miembro de la ecuacin anterior puede modificarse como:
dV xd wd
xd d
zV
xz x
+
=
= =dxdAdA z L
A xz xz
A x
+
0
= [ ] =dxQ M L
xz +0
= dx xd
wd GA
xd
wd
xd
d EI
xd
d L
+
0
(1.34)
En la ecuacin (1.34) se aprecia que en el integrando aparecen nicamente derivadas primeras de las flechas y el giro. Esto exige nicamente su continuidad para garantizarla integrabilidad, lo que permite la utilizacin de elementos finitos de clase C 0.
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Elemento Finito Viga Pg.18
4.2.2 Elementos Finitos para la flexin de vigas de Timoshenko
Primeramente consideraremos el elemento viga de Timoshenko ms sencillo de dosnodos. A diferencia de la teora de vigas de Euler Bernoulli, la flecha y el giro sonvariables independientes y de continuidad C 0. As podemos interpolar por separado
cada una de ellas por
( ) ( ) ( )2211 w N w N w +=
( ) ( ) ( )2211 N N += (1.35)
con ( = 121
1 N ) ;y ( += 121
2 N ) y adems 11 , w y ,2w 2 son lasflechas y giros de los nodos 1 y 2 del elemento.
Haciendo uso de la ecuacin (1.35) la curvatura se obtiene
+=== 2211
d
dN
d
N d
xd
d
d
d
xd
d
xd
d (1.36)
y la deformacin de cortante (o cizalladura)
( )22112211
N N wd
dN w
d
dN
xd d
xd wd
xz +
+== (1.37)
Utilizando una formulacin isoparamtrica se tiene que ( )e L xd d 2= y con ello las
ecuaciones (1.36) y (1.37) pueden ser escritas en forma matricial como
( )e f uB=
(1.38)( )ec xz uB=
donde
( ) ( ) ( ) ( )
=
=eeee f L Ld
dN Ld
dN L
1;0;1;02;0;2,0 21
B
( ) ( ) ( )( )
+=
=2
)1(;1;2
1;1;2;;2 )(22
11
eeeec L L N
d dN
L N
d dN
LB (1.39)
Son las matrices de deformacin de flexin y cortante del elemento, y
(1.40)( ) [ ]T e ww 2211 ;;; =u es el vector de desplazamientos nodales.
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Elemento Finito Viga Pg.19
La expresin de los trabajos virtuales (1.33) puede escribirse como
=( )[ ] ( ) ( )[ ]( )
( )e
L
cT c f
T f
T e
e
dxGA EI uBBBBu
+
= (1.41)( )[ ] ( )( )
( )
+ e
L
T T e xd que
f N
y tras simplificar los desplazamientos virtuales queda
( ) ( ) ( ) ( ) ( )eeeec
e f f quKK =+ (1.42)
donde( ) ( ) ( )e
ce
f e KKK +=
y( ) ( )
( )
( ) ( )( )
xd GA xd EI c L
T c
ec f
L
T f
e f
ee
BBKBBK == ; (1.43)
son las matrices de rigidez correspondientes a los efectos de flexin y cortante cuyasuma es la matriz de rigidez total del elemento;
con( )( )
; xd qe L
T e
= Nq [ ]0;0; 21 N N =N (1.44)
es el vector de fuerzas nodales equivalentes debidas a la carga distribuida q; y
(1.45)( ) [ ]T e M V M V 2211 ;;;=f el vector de fuerzas nodales de equilibrio que permite ensamblar las contribuciones delos distintos elementos en la matriz de rigidez y el vector de fuerzas globales.
Todas las integrales anteriores pueden transformarse sobre el dominio normalizado del
elemento. As teniendo en cuenta que ( ) d L xd e
2= se tiene que:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
d L
GAd L
EI e
cT c
ec
e
f T f
e f 2
;2
1
1
1
1
BBKBBK
== (1.46)
y( )
( )
=1
1 2 d
Lq
eT e Nq (1.47)
Expresiones que pueden evaluarse numricamente por una cuadratura unidimensionalde Gauss-Legendre.
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Elemento Finito Viga Pg.20
4.2.3 Efecto del bloqueo de la solucin
Para determinar los valores exactos de la matriz de rigidez a la flexin es necesarioun solo punto de integracin ya que todos los trminos del integrando son constantes,obteniendo finalmente
f K
( )( )
=
101000001010
0000e
e f L
EI K (1.48)
Para determinar la matriz de rigidez de cortante es necesario la utilizacin de dos puntosde integracin para hallar los valores exactos por aparecer en el integrando detrminos de segundo orden en
cK (debido a los productos ), obtenindose ji N N
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( )
=
3
21
6)(
23
21
21
2
22
e
e
eee
ee
e
ec
L
L
L L L
L L
LGAK (1.49)
Para apreciar el efecto de la integracin numrica estudiaremos la flexin de la viga envoladizo bajo la accin de una carga puntual. La ecuacin matricial del equilibrioglobal es la siguiente:
L b
h
P
1 2 A
A
A -A
Fig. 4.2.3 Viga en voladizo con un elemento de viga de Timoshenko de 2 nodos
( ) ( ) ( ) f uKK =+ 111 c f (1.50)
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Elemento Finito Viga Pg.21
=
+
+
0
3
2
623
22
1
1
2
2
1
1
P
M
V
w
w
L EI
LGA
Simtrico
GA L
GA
L EI
LGAGA
L EI
LGA
GA L
GAGA L
GA
(1.51)
sabiendo que por el empotramiento se tiene la siguientes condiciones de borde00 11 == yw
Eliminando fila y columna correspondiente a los desplazamientos anteriores se obtieneel sistema de ecuaciones simplificado:
=
+
032
22
2 Pw
L EI
LGAGA
GA L
GA
(1.52)
La solucin se encuentra por
+
+==
031 2
23
2
2 P
EI L
EI L
EI
L
EI
L
GA
Lw
f F (1.53)
donde es la matriz de flexibilidad y1=KF 212
LGA EI
= . De (1.53) se deduce la flecha
en el extremo libre y vale
P EI L
GA L
w
+
+=
31
3
2 (1.54)
En el caso de una seccin rectangular12
3bh I = ; bh A
65= y 25,0=
2
3
= Lh
= 23
(1.55)
donde
=
h L
se denomina coeficiente de esbeltez de la viga.
La expresin exacta de la matriz de flexibilidad de una viga con y sin la inclusin delefecto del esfuerzo cortante de acuerdo con la teora de vigas clsica es:
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-
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Elemento Finito Viga Pg.22
a) Sin esfuerzo cortante b) Con esfuerzo cortante(Euler-Bernoulli) (Timoshenko)
= EI L
EI L EI
L
EI
L
223 2
23
F
+
=
EI L
EI L
EI L
EI L
GA
L
2
232
23
F (1.56)
Por lo tanto, la flecha exacta en el extremo de la viga es:
a) Sin esfuerzo cortante b) Con esfuerzo cortante
( ) P EI L
w f exacta 3
3
2 = ( ) P EI L
GA
Lw C exacta
+=
3
3
2 (1.57)
Para una viga esbelta (valores de elevados) el efecto del esfuerzo cortante esdespreciable y la solucin numrica obtenida debe coincidir con la expresin (a) de laecuacin (1.57). De la ecuacin (1.54) y (1.57) se deduce el cociente entre la solucinde elementos finitos y la teora para vigas esbeltas es
( )( )
( )34343
3
31 22
2
3
3
2
2
++=
+
+==
P EI L
P EI L
GA L
w
w f exacta
(1.58)
Lgicamente, el valor de debera tender a la unidad a medida que la esbeltez de laviga aumenta (mayor ).
Solucin exacta
1 elemento
1 elemento
2 elementos )1( punto
(e)ckdereducidanIntegraci}
puntoscon 2
(e)ckdereducidanIntegraci
}= ;938,0
= ;75,0
2
2
4
34
+
)3(4
)34(322
2
++
1 2 3 4 5
1
2
3
4
Fig. 4.2.4 Viga en voladizo analizado con un elemento de Timoshenko de dos nodos. Variacin delcociente entre la solucin obtenida para la flecha en el extremo y la exacta de la teora deEuler-Bernoulli con el coeficiente de esbeltez
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Elemento Finito Viga Pg.23
La figura 4.2.4 nos muestra que para vigas muy esbeltas el valor de tiende acero. Este comportamiento nos dice que el elemento finito viga de Timoshenko de dosnodos es incapaz de reproducir en el lmite la solucin de la teora clsica de vigas. Existe un fenmeno de sobre rigidizacin numrica que llega a bloquear la solucin
hacindola en el lmite infinitamente rgida. Este elemento slo funciona para vigasde relacin canto/longitud elevadas y an as su precisin no es buena, lo que lo haceinutilizable para la mayora de los casos.Para sortear este problema, buscaremos disminuir la influencia de la cortantesubintegrando los trminos de ( )ecK utilizando un nmero de puntos de integracininferior al necesario para su clculo exacto. Este procedimiento parece queintuitivamente realizamos una subevaluacin de los trminos de rigidez que tendrncomo consecuencia que la flexibilidad de la viga aumente.
Integraremos ahora con un punto de integracin( )ecK
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
=
4
21
424
21
21
2
22
e
e
eee
ee
e
ec
LSimtrico
L
L L L
L L
LGAK (1.59)
Utilizando esta matriz de rigidez de cortante encontraremos la matriz de rigidez yflexibilidad de la viga en voladizo estudiado en este ejemplo
+
=
L EI
LGA
LGA
GA L
GA
4
2K y
+
=
EI L
EI L
EI L
EI L
GA
L
2
242
23
F (1.60)
Observamos que F coincide con la expresin (1.56) a excepcin del coeficiente .Resolviendo obtenemos el valor de la flecha
11F
P
EI L
GA L
PF w
+==
4
3
112 (1.61)
La relacin entre este valor y el exacto para vigas esbeltas nos da:
( ) 22
2
2
433
+==
f exactaw
w (1.62)
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