-
PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE RADICALES.
1º) Ordena de menor a mayor los siguientes radicales, reduciéndolos a índice común: 3,5,16 8 73 .
Solución: Reduzcamos los radicales a índice común, para ellos expresémoslos como potencia de exponente fraccionario.
21
87
31
8 73 3,5,163,5,16 ⇒ . Como sabemos, el índice de un radical es el denominador de la fracción del exponente. Así, si queremos reducir los radicales al mismo índice (reducción a índice común), tendremos que hallar fracciones equivalentes de los exponentes con el mismo denominador, pues, insisto, el denominador de un exponente es el índice del radical.
Así, ⇒⇒⇒ 24 1224 2124 82412
2421
248
21
87
31
3,5,163,5,163,5,16242424 531441,031254768371582,4294967296
Así, como tienen igual índice, el menor de esos radicales es el que menor radicando tenga, es decir,
242424 0312547683715824294967296531441
-
c)
32
1522
32
1512
1510
32
54
32
32
54
32
32
32
54
32
32
3524
3322
3522
3322
5322
3322
7532
278
7532
278 2
2
4
2
2
=⋅
+=⋅
+=⋅+⋅=⋅+⋅
=+=+=⋅
⋅+
⋅
⋅=+=+
.
Nota: Si se quiere, también se puede poner la solución como
45622
315622
3153222
33153222
315222
32
1522
32
1522
2=
⋅=
⋅=
⋅⋅
==⋅= .
3º) Simplificar las expresiones:
a) 172172
−+
b) 315
953227−−
+−
c) 33
33
5431631652
−−
Solución: a)
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )
( )
( )33
17233172
27
172
174172
17722172
17272172
172
172172172172172
172172
2
*2
22
22
2
+=
⋅
+=
+=
−⋅
+
=−⋅⋅⋅
+=
−⋅+
=−
+=
+⋅−+⋅+
=−+
Racionalizando la última expresión ( )
93212
3331372
3333172
33172
172172 +
=⋅
⋅+⋅⋅=
⋅⋅+
=+
=−+
* Téngase en cuenta que xx =2 . b)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1222222
2222253
222153
3225153153
315
315153
315
315353233315315
315953227315
953227
22
22
22
−=−
=−
=−
=−
−⋅+=
−−
+−⋅+=
=−−
+−⋅⋅+−=
+−⋅−−+−⋅+−
=−−
+−
c)
339
2329
29262102
2332232252
2332232252
5431631652
3
3
33
33
33
33
3 33 3
3 33
33
33
−=−−
=−−
=−
−=
⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−
=⋅−⋅
⋅−=
−−
4º) Racionalizar:
a) 515
2+
, b) 15
53
−, c)
2121
+− , d)
315
−, e)
457+
, f) 1273
+− , g)
52 , h)
3 72 ,
i) 12
1−
, j) 25
14 −
, k) 352
8+−
, l) 3 3
3
52281
-
Solución: a)
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )5
51551551515
102
105152
5155152
515
5152515515
5152515
222
−=−⋅=−⋅
=−⋅
=−
−⋅=
−
−⋅=
−⋅+−⋅
=+
b) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )
455
4555
4555
41555
4155
15155
15
1551515
15515
5
36 536 3236 36 2
3333
22
333
+=
+⋅=
+⋅
=⋅+⋅
=+
=−
+=
−
+=
+⋅−+
=−
c) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )( ) 2231
22311
1223
1223
12221
2122121
21
2121212121
2121
22
22
2
+−=+−
=−⋅−
−⋅−
=−
−=
−+−
=−
+⋅⋅−=
−
−=
−⋅+−⋅−
=+−
d) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
2355
23515
2315
213151
2315
31315
31
3153131
31531
522
−−=
⋅−⋅−=
+⋅−
=−⋅−+⋅⋅−
=−+⋅
=−+⋅
=−
+⋅=
+⋅−+⋅
=−
e) ( )
( )( ) ( ) ( )
112857
114757
11457
11457
165457
45
45745
722
+−
=⋅+⋅−
=−⋅−
=−
−⋅=
−−⋅
=−
−⋅=
+
f) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1472337143231
714323
12727323
12
1727132312121273
1273
22
−++−=+−−=+−−
=−
+⋅−−=
−
⋅+⋅−⋅−⋅=
−⋅+−⋅−
=+
−
Observación: La igualdad 14723371432 −++−=+−−3 es obvia y no es necesario ponerla. La he puesto para hacer coincidir esta solución 714323 +−− con la propuesta inicialmente 147233 −++− .
g) ( ) 552
552
5
5255
525
222
=⋅
=⋅
=⋅
⋅=
h) 7492
7492
7772
7772
72 3
3 3
3
3 2
3 2
3 23
3 2
3==
⋅=
⋅
⋅=
52281
-
i) ( )( ) ( ) ( ) 12112
1212
12
121212
12112
122
+=+
=−+
=−
+=
+⋅−+⋅
=−
j) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) 165
42524555
45
4525
45454525
4525
4525
25
252525
25125
1
44
22
4
44
4 2
4
224
4
44
4
4
−⋅+⋅+⋅+⋅
=−
+⋅+
=+⋅−+⋅+
=−+
=−
+=
−
+=
+⋅−+⋅
=−
Recuérdese que 554 ⋅ no se pueden multiplicar, a no ser que pongamos radicales equivalentes a cada uno que tengan el mismo índice (reducción a índice común). Así
4 244 5555 ⋅=⋅ .
( ) ( )( )
11854252125
11852545
1111852545
118525455
118525455
44444 3
44 344 244 24
−−−−=
−−−−
=−⋅−
−⋅+++=
−+++⋅
=−
+++⋅
¿Alguna duda en la última igualdad
11854252125
11852545 44444 3 −−−−
=−−−− ? Por supuesto que el lector/a se
habrá dado cuenta que está todo igual, salvo 44 2 2525252 == y salvo el orden de los sumandos, insistiendo en que “... la he puesto para hacer coincidir esta solución
11852545 44 3 −−−− con la propuesta inicialmente
11854252125 444 −−−− ”.
k)
( )( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]( )[ ]
( ) ( )( )[ ]
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )
( ) ( )( )[ ] ( )
( )( )[ ] ( )
( ) ( ) =⋅−+⋅−−
=−
+⋅⋅−−
=+⋅−
+⋅−−⋅=
−−−⋅
=−
−−⋅=
−−−
⋅
=−⋅
−−⋅=
−−−⋅
=−+−
−−⋅=
−+⋅⋅−
−−⋅
=−−
−−⋅=
−−⋅+−−−⋅
=+−
=+−
252542208352
252
2524352
2522522523524
2523524
2523524
252352
28
25223528
21043528
3521023528
355222
3528
352
3528352352
3528352
8352
8
22
222
22
52281
-
( ) ( )
( )
2361034247
232610342472
4662038294
4662038210028
46620382100404028
4623203821002204028
46232038220522208528
225422038322052852
++
=⋅−
++⋅−=
−−−−
=−
−−−
=−
−−−+−=
−⋅−−−⋅+−
=−
−−⋅−+⋅−=
⋅−⋅−⋅−⋅−+⋅−
l)
666
666 66 66 7
3 3
6 43
3 2
6 46 3
3 23
3 2
3
331333
333
333
333
33
333
3333
3333
33
=⋅=⋅
=⋅
=⋅
=⋅
==⋅
=⋅
⋅=
⋅
⋅=
2453500452 −+33 1654250 −−
baabbaa 533 +−
2252
258
92
−+
( )3 3
2725083 +−
( )
5º) Simplificar: a) b) 3
c) 3
d)
e)
f) 5
4
4580180455 −++
g) 12
34
ba
ab
ba
⋅
Solución: a)
( ) 55521106521510567531055327531055327531055322453500452 222222
−=−+=−+=⋅−⋅+⋅⋅
=−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+
b) ( ) 0202235222325
22325222325222325233333
33333 33 333 333 33 33 3
=⋅=⋅−−=⋅−−
=⋅−⋅−⋅=−−=⋅−⋅−⋅
c)
( ) ( ) abbaababaabaabbababaababbaaabaabbabaaabaabbaa
⋅−=⋅+−=+−
=⋅+⋅−⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=+−22222
2422533
433
333
52281
-
d)
3222
322
1510
15210
1522625
15222325
152
522
32
152
522
32
2252
258
92
2252
258
92 2
=⋅=⋅==−+
=−⋅+
=−+=−⋅
+=−+=−+
e) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3914
3914
33314
33314
314
327
3227
32262526
3232252223
3232252223
3232252223
32725083
3
3 3
3
3 2
3 2
3 23
3 2
333
333
2222
3
2222
3
=⋅
=⋅
⋅=
⋅
⋅==
⋅=
=+−
=⋅⋅+⋅−⋅⋅
=+−
=⋅⋅+⋅−⋅
=+−
f) ( ) ( ) ( )
5
4
5
4
5
42
5
4
4556
455456535
4552532535
4580180455
⋅
=−++
=⋅−⋅⋅++
=−++
Se recuerda que los radicales con distinto índice 4 55 ⋅ (el índice del primero es 2 y el del segundo es 4) no se pueden multiplicar, a no ser que se pongan radicales equivalentes a cada uno de los radicales de forma que tengan el mismo índice (reducción a índice común).
5
4 3
5
4 3
5
4 3
5
4 2
5
44 2
5
4
456
456
456
4556
4556
4556
⋅=⋅
=⋅
=⋅⋅
=⋅⋅
=⋅
Se recuerda que los radicales con distinto índice 5
4 3
45 (el índice del numerador es 4 y el
del denominador es 5) no se pueden dividir, a no ser que se pongan radicales equivalentes a cada uno de los radicales de forma que tengan el mismo índice (reducción a índice común).
204
15
20 4
20 15
5
4 3
456
4
56456 ⋅=⋅=⋅
g) 12
34
ba
ab
ba
⋅
Se recuerda que los radicales con distinto índice 34ab
ba
⋅ (el índice del primero es 4 y
el del segundo es 3) no se pueden multiplicar, a no ser que se pongan radicales equivalentes a cada uno de los radicales de forma que tengan el mismo índice (reducción a índice común). Así:
52281
-
612
2
122
2
12
12
12
12
1243
43
12
124
4
3
3
12
12
43
12
12
4
12
3
12
34
:
ab
ab
ab
ba
ab
baab
baabba
ba
ab
ba
ba
ab
ba
ba
ab
ba
ba
ab
ba
=
=
===⋅⋅
=⋅
=
=
⋅
=⋅
6º) Demuestra que los siguientes números son enteros:
a) 347347 −++
b) 324324 −−+
c) 33 2142021420 −++Pista: Dale nombre a cada número, por ejemplo x, y resuelve la ecuación con radicales resultante. Ten cuidado al llegar a la solución, pues al elevar los dos miembros de una ecuación a un número, se pueden introducir soluciones no válidas.
Solución: a) x=−++ 347347 Resolvamos esta ecuación con radicales:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )19228019231631628
38383163474383823472
38347238347234723434
34734723473473472347
347347347347347347
242422
24222222
2
222
22
22
22
22
+−=⇒+⋅−=⋅−
⇒⋅+⋅−=−⋅⇒+⋅⋅−=
−⋅
⇒−=
−⇒−=−⇒−−=+
⇒−+−−=+⇒
−+−−=+
⇒
−−=
+⇒−−=+⇒=−++
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxx
019228 24 =+− xx2xy = 0192282 =+− yy
La ecuación es una ecuación bicuadrada, la cual con el cambio , se convierte en la ecuación de segundo grado . Así:
( ) ( )
2428
21628
276878428
276878428
12192142828 2
±
=±
=−±
=−±
=⋅
⋅⋅−−±−−=y
Es decir: 162
322
4281 ==
+=y ; 12
224
2428
2 ==−
=y .
Como hicimos el cambio , no se puede olvidar el deshacer el cambio: 2xy =4161616 22 ±=±=⇒=⇒== xxyx
Ejercicios difíciles:
52281
-
3232121212 222 ±=⋅±=±=⇒=⇒== xxyx . Por tanto, las soluciones a la ecuación son 019228 24 =+− xx
32,32,4,4 −==−== xxxx .
Dado que x=−++ 347347 , y nos dicen que es un número entero y además es
fácil ver que 0347347 >−++ , así el número 347347 −++ será 4. Es
decir, 347347 −++ =4.
b) x=−−+ 324324 . Resolvamos esta ecuación con radicales:
( )
( ) ( ) ( ) ( )048161648381638316
3244383434324234234
324234324234324234
32432423243243242324
324324324324324324
24242242
2422
22222
22222
22
2
22
=+−⇒=+⇒⋅−=+⋅−⋅
⇒−⋅=+⋅−⋅⇒
−⋅=+⋅⋅−
⇒
−=−⇒−=−⇒−+=
⇒−+−+=+⇒
−+−+=+
⇒
−+=
+⇒−+=+⇒=−−+
xxxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxx
04816 24 =+− xx2xy = 0048162 ==+− yy
La ecuación es una ecuación bicuadrada, la cual con el cambio , se convierte en la ecuación de segundo grado . Así:
( ) ( )
2816
26416
219225616
219225616
1248141616 2
±
=±
=−±
=−±
=⋅
⋅⋅−−±−−=y
Es decir: 12224
2816
1 ==+
=y ; 428
2816
2 ==−
=y .
Como hicimos el cambio , no se puede olvidar (¡Hay del alumno olvidadizo que se le olvida deshacer siempre cualquier cambio!) el deshacer el cambio:
2xy =
3232121212 222 ±=⋅±=±=⇒=⇒== xxyx2444 22 ±=±=⇒=⇒== xxyx
Por tanto, las soluciones a la ecuación son 019228 24 =+− xx32,32,4,4 −==−== xxxx .
Dado que x=−−+ 324324 , y nos dicen que es un número entero y además es
fácil ver que 0324324 >−−+ , así el número 324324 −−+ será 2. Es
decir, 324324 −−+ =2.
c) x=−++ 33 2142021420 . Resolvamos esta ecuación con radicales:
⇒=
−++⇒=−++ 3
33333 21420214202142021420 xx
52281
-
33
32
33
32
33
3
2142021420214203
2142021420321420
x=
−+
−⋅
+⋅+
−⋅
+⋅+
+
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
333
333
333
33 33 3
333
333
333
33223
22
33
3
33 23 2
33 33 2333 23 3
2142021420604
21420621420604
2142023214202304
2142023221420304
2142083821420304
21420392400339240021420304
21420214214400321421440021420304
214202142032142021420340
214202142021420214203
214202142021420321420
21420214202142032142021420321420
21420214202142032142021420321420
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
−++⋅+⇒
=−+++⇒
=−⋅⋅++⋅⋅+⇒
=−⋅⋅+⋅+⋅+⇒
=−⋅⋅+⋅+⋅+⇒
=−⋅−⋅+−⋅+⋅+⇒
=−⋅⋅−⋅+⋅−⋅+⋅+⇒
=−⋅
−⋅+
−⋅+⋅+⇒
=−+−⋅−⋅+⋅+
−⋅+⋅+⋅++⇒
=−+−⋅+⋅+−⋅+⋅++⇒
=−+−⋅+⋅+−⋅+⋅++⇒
Pero resultaba que x=−++ 33 2142021420 . Por tanto la ecuación a resolver es 0406604 33 =−−⇒=+ xxxx .
Sabemos que las soluciones que sean números enteros de la ecuación , están entre los divisores de –40, a saber:
04063 =−− xx40,20,10,8,5,4,2,1 ±±±±±±±± . Probemos con
x=4, por Ruffini: 1 0 -6 -40
4 4 16 40 1 4 10 0
Por tanto, ( )( ) 01044406 23 =+−−=−− xxxxxIntentemos seguir descomponiendo el polinomio : 1042 +− xx
( ) ( )2
2442
4016412
101444 2 −±=
−±=
⋅⋅⋅−−±−−
=x
1042 +− xx
, es decir, el polinomio
no descompone más. Por tanto:
( )( )
+−
=⇒=−⇒=+−−=−−
reales números losen soluciones tieneno que104404
01044406 223
xxxx
xxxxx
Luego 42142021420 33 ==−++ x . 7º) Hallar dos números racionales positivos m y n tales que verifiquen:
a) nm +=+ 11211
52281
-
b) nm −=− 6411Solución: a)
( ) ( ) ( )nmnmnmnmnmnm
nnmmnmnm
++=+⇒+⋅+=+⇒++=+
+⋅⋅+=+⇒+=
+⇒+=+
411211211211211211
2112111121111211
2
2222
Por tanto, queda resolver el siguiente sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:
==+112411
mnnm
( )
=−+−⇒=−⇒=−
−=⇒
0281111244411211411
22 mmmmmmmn
Luego: ( ) ( )
( )
=−−
=−
−−=
=−−
=−
+−=
⇒−
±−=
−±−
=−
−±−=
−⋅−⋅−⋅−±−
=
72
142
311
428
2311
2311
2911
211212111
1228141111 2
m
m
m
Por tanto: • Si m 74114 =−=⇒= n• Si m 47117 =−=⇒= n
b)
( )nmnmnmnm
nmnmnmnm
+−=−⇒+⋅−=⋅−
⇒+−=−⇒−=
−⇒−=−
4961126411
2641164116411
22
22
Por tanto, queda resolver el siguiente sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:
==+96411
mnnm
( )
=−+−⇒=−⇒=−
−=⇒
02411964449611411
22 mmmmmmmn
Luego: ( ) ( )
( )
=−−
=−
−−=
=−−
=−
+−=
⇒−
±−=
−±−
=−
−±−=
−⋅−⋅−⋅−±−
=
82
162
511
326
2511
2511
22511
29612111
1224141111 2
m
m
m
Por tanto: • Si m 83113 =−=⇒= n• Si m .38118 =−=⇒= n
Pero si m=3 y n=8, resulta que 00963,183 =− , y por tanto, esta solución m=3 y n=8 hay que desecharla. Como conclusión, m=8, n=3 son los únicos dos números racionales positivos que
verifican nm −=− 6411 .
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