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- 81 DISEÑO DE MÁQUINAS I
5. Vibraciones en Máquinas
Una vibración es una pequeña oscilación alrededor de la posición de equilibrio.
Los movimientos vibratorios en máquinas se presentan cuando sobre las piezas elásticas actúan
fuerzas variables. Generalmente, estos movimientos son indeseables, aún cuando en algunos casos
(transportadores vibratorios, p.e) se diseñan deliberadamente en la máquina.
El análisis de las vibraciones requiere el siguiente procedimiento general:
� Evaluar las masas y la elasticidad de las piezas a estudio
� Calcular la cantidad de rozamiento actuante
� Idealizar el implemento mecánico real, reemplazándolo por un sistema aproximadamente
equivalente de masas, resortes y amortiguadores
� Escribir la ecuación diferencial de movimiento del sistema idealizado
� Resolver la ecuación e interpretar los resultados
El sistema ideal más sencillo consiste de una masa única, un resorte único y un amortiguador,
como muestra la siguiente figura. Este sistema se define como un sistema de un grado de libertad.
Figura 1
La ecuación diferencial de movimiento para este sistema es:
)t(Fkxxcxm =++ &&& (1)
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Donde:
� m: masa
� k: constante del resorte (fuerza por unidad de deformación)
� c: constante de amortiguamiento (fuerza por unidad de velocidad). Se supone que el
amortiguamiento es viscoso, es decir, que la fuerza resistente es proporcional a la velocidad.
� F(t): fuerza externa, función del tiempo
� x: desplazamiento de la masa desde la posición de equilibrio estático
� x,x &&& : derivadas primera y segunda respectivamente de x con respecto a t.
Cualquier sistema de un solo grado de libertad puede describirse por medio de la misma forma
de ecuación diferencial escrita anteriormente, si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento
y la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Para el sistema general de un solo grado de
libertad podemos escribir:
)t(Fxkxcxm eee =++ &&& (2)
Donde me,ce,ke son la masa equivalente, la constante de amortiguamiento equivalente y la
constante del resorte equivalente, respectivamente. El desplazamiento x puede ser lineal o angular.
Ejemplo:
5.1. VIBRACIONES LIBRES
Se presenten cuando después de una perturbación inicial, no existe ninguna fuerza externa de
excitación, esto es, F(t)=0. La ecuación diferencial es:
0xkxcxm eee =++ &&& (3)
Se buscan soluciones de la forma: tseCx ⋅⋅=
Así, la solución de esta ecuación puede escribirse: tsts 21 eBeAx ⋅⋅ ⋅+⋅=
Donde:
e
e
2
e
e
e
e1 m
k
m2
c
m2
cs −
+−= y
e
e
2
e
e
e
e2 m
k
m2
c
m2
cs −
−−= (4) y (5)
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- 83 DISEÑO DE MÁQUINAS I
y A1 y A2 son constantes determinadas por las condiciones iniciales.
Al valor ee mk2 ⋅ se denomina amortiguamiento crítico cc.
Se define el amortiguamiento relativo como el cociente entre el amortiguamiento real y el
amortiguamiento crítico.
c
e
c
c=ξ (6)
Se pueden distinguir tres casos:
CASO 1: AMOTIGUAMIENTO SUPERCRÍTICO eeee
e
2
e
e mk2cm
k
m2
c⋅>→>
Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas, reales y negativas:
tsts 21 eBeAx ⋅⋅ ⋅+⋅= (7)
La solución no es del tipo ondulatorio sino que es del tipo exponencial decreciente, y tiende
antes a cero conforme mayor es el amortiguamiento ce:
x=xo
x
t
Figura 2
CASO 2: AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO eeee
e
2
e
e mk2cm
k
m2
c⋅=→=
Las raíces de la ecuación son dos soluciones iguales, reales y negativas:
( )t
m2
c
e
e
eBAx⋅−
⋅+= (8)
Si el amortiguamiento es igual o mayor que el crítico, entonces la solución de la ecuación para
vibraciones libres no contiene términos periódicos. La masa, después de la perturbación inicial, regresa
a la posición de equilibrio pero no oscila. Es decir, en este caso, al igual que en el caso 1, la solución
no es del tipo ondulatorio sino del tipo exponencial decreciente.
El Caso 1 corresponde con 1>ξ y el Caso 2 con 1=ξ .
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DISEÑO DE MÁQUINAS I - 84 -
Figura 3
CASO 3: AMORTIGUAMIENTO SUBCRÍTICO ceeee
e
2
e
e cmk2cm
k
m2
c=⋅<→<
Este caso corresponde con 1<ξ .
Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas y complejas.
BeeAxt
m2
c
m
kj
tm2
c2
e
e
e
e
e
e
+⋅⋅−=
⋅
−⋅
⋅−
(9)
( )γ+⋅⋅= ⋅α− twsineXx dt
(10)
donde las constantes γ,X se determinan de las condiciones iniciales.
e
e
m2
c=α (11)
2
e
e
e
ed m2
c
m
kw
−= (12)
wd es la frecuencia amortiguada del sistema. Si el amortiguamiento fuera cero, la frecuencia
sería e
en m
kw = , la cual se llama frecuencia natural.
Figura 4
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Caso particular: amortiguamiento nulo (ejes)
En este caso, ( )γ+⋅= twsinXx d . El sistema tras la perturbación inicial se queda oscilando de
forma indefinida ya que no ha rozamiento. La frecuencia de oscilación es
ne
ed w
m
kw == (13)
Figura 5
5.2. VIBRACIONES FORZADAS
En este caso, se considera que actúa la fuerza armónica ( )wtsinF)t(F o=
( )wtsinF)t(Fxkxcxm oeee ==++ &&& (14)
La solución de la ecuación diferencial es la dada anteriormente para vibraciones libres,
adicionada de una integral particular. La solución puede escribirse en la forma:
( ) ( )φ−⋅+γ+⋅⋅= ⋅α− wtsinYtwsineXx dt
(15)
La primera parte de la expresión anterior representa la vibración transitoria, la cual desaparece
con el tiempo. La segunda parte se llama vibración en estado estacionario y es la parte que
generalmente presenta más interés, ya que superado el periodo transitorio, el sistema permanecerá
oscilando con una amplitud Y y una frecuencia w.
Figura 6
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DISEÑO DE MÁQUINAS I - 86 -
Conclusiones:
Para un sistema determinado (definido k,m,c), la amplitud Y depende de la frecuencia w:
( ) 2
e2
ee
o
wcwmk
FY
+−= (16)
La función Y=Y(w) tiene un máximo, que se produce en la frecuencia crítica wc.
2
cncmax,Ymax c
c21wwwY
−==→ (17)
Cuando la frecuencia de la excitación coincide con wc, la deformación que se produce es
máxima. Si 0c ≈ , entonces nc ww = .
No se debe trabajar en un eje en las proximidades de la velocidad crítica, ya que se producirán
amplitudes máximas. Cuando un sistema trabaja a frecuencias cercanas a la velocidad crítica, se dice
que se produce la resonancia. La frecuencia de operación (velocidad de giro del eje) se limita por ello a
co w65.0w ⋅≤
5.3. VELOCIDAD CRÍTICA EN EJES
Todos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación. La
magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total del eje, y
de las piezas que se le añaden, del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación y del
amortiguamiento presente en el sistema.
La deformación, considerada como una función de la velocidad de giro del eje, presenta sus
valores máximos en las llamadas velocidades críticas. Un sistema de 1 masa, será un sistema de 1
gdl, y tendrá 1 velocidad crítica. Para sistemas de n masas, esto es n gdl, habrán n velocidades
críticas.
Normalmente, sólo la velocidad crítica más baja (primera) y ocasionalmente la segunda tienen
relevancia. Las otras son generalmente tan altas que están muy alejadas de la s velocidades de
operación.
En la primera velocidad crítica, la flexión del eje sigue la forma más sencilla posible. En la
segunda, la flexión sigue la segunda forma más sencilla, etc. Por ejemplo, un eje soportado en sus
extremos y con dos masas relativamente grandes (en comparación con la del eje), se deforma según
la configuración mostrada en las figuras siguientes, cuando rota en la primera y la segunda velocidad
crítica respectivamente.
Figura 7
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Para un eje que lleva una sola masa, y asumiendo que su masa es pequeña en comparación
con la masa que lleva unida:
Figura 8
Donde:
• x: deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa
• e: excentricidad
• ndeformació
fuerzak =
( )2
22
mwk
emwxkxexmw
−=→=+ (18)
De la ecuación anterior se deduce que si la excentricidad e es nula, la deformación x del eje
también será nula, salvo que se cumpla que mk
wmwk 2 =→= . Entonces, 0
0mwx
2 ⋅= ,
indeterminación.
Por lo tanto, si la excentricidad es nula, el único valor de velocidad en el cual se puede producir
deformación del eje se denomina frecuencia natural de oscilación wn, y viene dada por la expresión
siguiente:
mk
wn = (19)
Sea W el peso de la masa mgW = y δ la deformación estática (deformación producida por
una fuerza mgW = , en el punto de localización de la masa, esto es, deformación debida a su propio
peso), y g es la constante de gravitación.
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DISEÑO DE MÁQUINAS I - 88 -
δ=
δ==→
δ=
=g
gWW
mk
wW
k
gW
m
n . Este valor es la primera velocidad crítica del eje.
Puesto que hemos considerado un sistema de 1 gdl, será la única velocidad crítica.
Para un eje de masa despreciable con varias masas concentradas unidas a él (n grados de
libertad) existen distintos métodos de cálculo de las n velocidades críticas:
� Método de Rayleigh: proporciona una aproximación para la primera velocidad crítica de un
sistema de masas múltiples (sobrestimación)
� Método de ecuación de frecuencias: proporciona valores exactos de las n velocidades, pero
resulta un método complejo para n>3
� Método de Dunkerley: proporciona otra aproximación para la primera velocidad crítica de un
sistema de masas múltiples (subestimación)
Obsérvese que las ecuaciones de Rayleigh y Dunkerley son aproximaciones a la primera
frecuencia natural de vibración, la cual se supone igual a la velocidad crítica de rotación (caso para
c=0). En general, la ecuación de Rayleigh sobrestima la frecuencia natural, mientras que la de
Dunkerley la subestima.
5.3.1. MÉTODO DE RAYLEIGH
Consideremos un eje con n masas, y asumamos rozamiento nulo. Designemos por y la
deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa. Sean δ las
deformaciones debidas a los pesos.
Figura 9
La energía cinética del sistema es:
( ) ( ) ( ) ∑ ⋅⋅=⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=2
nn
22
nn
2
22
2
11c ym2
wywm
2
1...ywm
2
1ywm
2
1E (20)
La energía cinética adquirida es igual al trabajo de deformación necesario para llevar las masas
a las posiciones n21 yyy ,...,, . Este trabajo de deformación es:
∑ ⋅=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=2
nn
2
nn
2
22
2
11nn2211d yk2
1yk
2
1...yk
2
1yk
2
1yF
2
1...yF
2
1yF
2
1W I
gualando las expresiones, se obtiene:
∑∑
⋅
⋅=
2
nn
2
nn2
ym
ykw (21)
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La aproximación de Rayleigh consiste en considerar que las deformaciones o amplitudes Y son
proporcionales a las deformaciones debidas a los pesos δ :
ii Cy δ⋅= (22)
Y como:
g
Wm i
i = y i
ii
Wk
δ= (23)
sustituyendo,
∑∑
δ⋅
δ⋅⋅=
2nn
nn2
W
Wgw (24)
de donde se obtiene la primera velocidad crítica:
∑∑
δ⋅
δ⋅⋅=
2nn
nn1c
W
Wgw (25)
La misma ecuación puede usarse para calcular la primera velocidad crítica de un eje que tiene
una masa distribuida.
Figura 10
Se divide la masa distribuida en un número de partes, m1,m2, etc. Se considera la masa de cada
parte como si estuviera concentrada en su propio centro de gravedad. La experiencia da el número de
subdivisiones que debe usarse, pero puede verse que con una partición no muy refinada se obtiene
una buena precisión.
Para un eje sin masas adicionales, se deduce que:
max
cg
45
wδ
⋅= (26)
δmax
Figura 11
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DISEÑO DE MÁQUINAS I - 90 -
5.3.2. MÉTODO DE ECUACIÓN DE FRECUENCIAS
Este método permite el cálculo exacto de las n velocidades críticas de un eje.
Se plantea el análisis para un sistema de dos masas, y luego se extrapolará para el caso
general de n masas.
La ecuación que se plantea es la ecuación de frecuencias, e incluye unos factores que se
denominan coeficientes de influencia y que se definen a continuación.
� a11: deformación obtenida en el punto 1 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 1
� a22: deformación obtenida en el punto 2 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 2
� a12: deformación obtenida en el punto 1 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 2
� a21: deformación obtenida en el punto 2 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 1
Debido al teorema de reciprocidad de Maxwell, se cumple que a12=a21
Figura 12
Demostración del método
2
222c
12
11c
ywmF
ywmF
=
= (27)
Las deformaciones son:
2c221c212
2c121c111
FaFay
FaFay
⋅+⋅=
⋅+⋅= (28)
Luego, sustituyendo las expresiones (27) en (28),
2
22221
21212
22
21212
1111
ywmaywmay
ywmaywmay
⋅+⋅=
⋅+⋅= (29)
Dividiendo ambas expresiones por w2 y transformando el sistema anterior en uno homogéneo:
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( )
( ) 0yw
1mayma
0ymayw
1ma
222221121
221212111
=
−⋅+⋅
=⋅+
−⋅
(30)
Para que exista una solución distinta de la trivial nula, el determinante del sistema homogéneo
anterior debe ser nulo:
( )
( )0
w
1mama
maw
1ma
2222121
2122111
=
−⋅⋅
⋅
−⋅
(31)
Desarrollando este determinante:
( ) ( ) 0mamaw
1ma
w
1ma 21212122222111 =⋅⋅⋅−
−⋅⋅
−⋅
( ) ( ) 0mmaaaaw
1mama
w
1212112221122221114
=−+⋅+−
( ) ( ) 0mmaaaaxmamax 21211222112221112 =−+⋅+−
( ) ( ) ( )
2
mmaaaa4mamamamax 2121122211
2222111222111
2,1
−−+±+= (32)
Se obtienen así dos soluciones positivas y dos soluciones negativas. Las soluciones negativas
no tienen sentido físico, ya que no existen frecuencias negativas. Las soluciones positivas son las
velocidades críticas 1cw y 2cw , tal que: 1c2c ww >
Para sistemas con más de dos masas, el cálculo del determinante se vuelve complejo, e
interesará más obtener la solución aproximada por otro método (Rayleigh, p.e)
Las unidades de los coeficientes aij son
=
Nm
FL
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DISEÑO DE MÁQUINAS I - 92 -
5.3.3. MÉTODO DE DUNKERLEY
De la ecuación de frecuencias se deduce una ecuación aproximada llamada de Dunkerley, para
el cálculo de la primera velocidad crítica.
22211122c
21c
mamaw
1
w
1+=
+
, ya que bxx 21 −=+ (33)
Se puede despreciar el término en wc22, ya que
>>
2
2c2
1c w
1
w
1, con lo que:
ggg
Wa
gW
amamaw
1 2211222
1112221112
1c
δ+
δ=⋅+⋅=+=
(34)
Ya que 11111 Wa ⋅=δ y 22222 Wa ⋅=δ .
Y como δ
=→δ
=g
wg
w 2 , sustituyendo en la expresión anterior,
2
22
12
1c w
1
w
1
w
1+=
(35)
w1: frecuencia natural o crítica del eje si sólo tuviera la masa 1.
w2: frecuencia natural o crítica del eje si sólo tuviera la masa 2.
Así, en general
111
1
11111
1
111
1
1
11
11111
Wa
gwg
m
gm
m
W
m
kw
Wa
⋅=→
δ=
δ=
δ==
⋅=δ
…
nnn
n
nnnnn
n
nnn
n
n
nn
nnnn
Wa
gwg
m
gm
m
W
m
kw
Wa
⋅=→
δ=
δ=
δ==
⋅=δ
2n
22
21
21c w
1...
w
1
w
1
w
1+++= (36)
Es muy importante distinguir entre δ e y. Recordemos que y designa la deformación del eje
durante la rotación a la frecuencia crítica. Debido al fenómeno de resonancia, esta deformación es
superior a la correspondiente a la deformación correspondiente a los pesos δ .