3 El movimiento vibratorio1 Descripción cinemática del m.v.a.s.
Un sistema constituye un oscilador armónico cuando <<oscila>> entre dos puntos A1 y A2 equidistantes, situados a ambos lados de la posición de equilibrio
Al acercarse al punto de equilibrio, el cuerpo aumenta su velocidad, pasando por él, a la velocidad máxima
Al alejarse del punto de equilibrio, va disminuyendo su velocidad, de forma que en los extremos se detiene y cambia el sentido del movimiento, a la velocidad máxima
A
A
A 2
A 1
Posición de equilibrio
Física 2º BACHILLERATO
3 El movimiento vibratorio2 Ecuación del movimiento vibratorio armónico
simple
P0
o A A
x1 x2
P
P’
A
A
A A
P
o P’t2+0
x = A cos (t+0)
La ecuación de un m.v.a.s. se obtiene a partir de la proyección de un movimiento circular sobre una recta
- Si la proyección se realiza sobre el eje x, resulta: x = A cos (t+0)
- Si la proyección se realiza sobre el eje y, resulta: y = A sen (t+0)
Elongación x: Distancia en un instante dado al punto de equilibrio
Amplitud A: Elongación máxima. El valor de x varía entre A y +A
Fase : Describe el movimiento angular en el punto P
Fase inicial 0: Determina la elongación inicial: x0 = x (t = 0) = A cos 0
t1+0
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3 El movimiento vibratorio3 Características del m.v.a.s. como movimiento
periódico
P
o
A
El período es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dicho movimiento. Se mide en segundos (s)
Los movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales se denominan periódicos
Dado que: cos = cos ( + 2)
x = A cos t = A cos (t + 2)
2
tcosAx
El m.v.a.s. se repite cada período:
2T
La frecuencia es la inversa del período e indica el número de veces que se repite una posición en cada segundo. Se mide en (s-1) o Hertzios (Hz)
2T1
2
La frecuencia angular o pulsación se mide en (radianes/segundo)
+ 2
x1 P’
A
A
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3 El movimiento vibratorio4 Posición en el movimiento vibratorio armónico
simple
X
O t
La ecuación más general del m.v.a.s. : x = A cos (t+0)
Dependiendo de la fase inicial, la función que define este movimiento puede ser un seno o un coseno
A
-A
ωt 0
2
ωt 0 2
3
ωt 0πω
t 02 π
ωt 0
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3 El movimiento vibratorio5 Velocidad en el movimiento vibratorio armónico
simple
Derivando la ecuación general del m.v.a.s., x = A cos (t + 0) resulta:
)t(senAdt
dxv 0
)t(cosAA)t(cos1Av 002222
sen2 + cos2 = 1 sen (t+0) = )t(cos1 02
Como x = A cos (t+0) x2 = A2 cos2 (t+0)
xAv 22
La velocidad es máxima cuando x = 0
Vmáx = A El columpio se detiene en los extremos. En
el centro alcanza su máxima velocidad
Física 2º BACHILLERATO
3 El movimiento vibratorio6 Aceleración del movimiento vibratorio armónico
simple
X=A
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
X=0
X=Aa >0
Derivando la ecuación de la velocidad: v = A sen (t + 0) resulta:
)t(cosAtdxd
dt
dva 0
22
2
Como x = A cos (t + 0)
a = 2 x
El valor máximo se alcanza en los extremos, en los que x = A amáx = 2 A
Es proporcional a la elongación, máxima en los extremos y nula en el centro
x >0v >0a <0
x >0v =0a <0
x >0v <0a <0
x =0v <0a =0 x <0
v <0a >0
x <0v >0a >0
x =0v >0a =0
x <0v =0
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3 El movimiento vibratorio7 Dinámica del movimiento vibratorio armónico
simple
Según la ley de Hooke: F = kx
Por la segunda ley de Newton: F = m a = m 2 x k = m 2
Si x = 0 F = 0 (no aparecen fuerzas)
Si el móvil se encuentra fuera de la posición de equilibrio, la fuerza que actúa sobre él está dirigida desde el punto en que se encuentra a la posición de equilibrio
La fuerza tiene el sentido contrario al desplazamiento
2
T
m
k
m
k
2
1
T
1
km
2T
O
x
x
F
F
Física 2º BACHILLERATO
3 El movimiento vibratorio8 Energía cinética del oscilador armónico
Aplicando la definición de energía cinética:
)t(senAm2
1vm
2
1E 0
2222c
Por las relaciones trigonométricas:
xAm2
1E 222
c
Si x = 0 energía cinética máxima
Am2
1E 22
máx,c
Am21 22
ω
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3 El movimiento vibratorio9 Energía potencial del oscilador armónico
Por tratarse de fuerzas centrales:
Integrando entre dos posiciones A y B:
dEp = F dx = kx dx
xk2
1xk
2
1dxxkEE
2A
2BB,PB,P
x
x
B
A
Para cada posición, la Ep es de la forma:
)t(cosAm2
1E 0
222P
Es máxima cuando cos (t + 0) = 1
Am2
1E
22máx,P
Aωm21 22
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3 El movimiento vibratorio100
Conservación de la energía mecánica en el oscilador armónico
La energía total que tiene el oscilador armónico en cada instante es la suma de la energía cinética y potencial
Sacando factor común:
E = Ep + Ec )t(cosAm21
0222 )t(senAm
21
0222
)t(sen)t(cosAm2
1E 00
2222
Simplificando:
Am2
1EEE 22
cp
1
En el oscilador armónico, la energía mecánica permanece constante en cualquier instante
)xA(ωm2
1E 222
c
22
c xωm2
1E
Aω22
m2
1
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3 El movimiento vibratorio111
El péndulo simple como oscilador armónico
Consiste en un hilo inextensible de masa despreciable suspendida de un extremo; del otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual
Eje Y: T – Py = m an
Eje X: Px = m ax – mg sen = m ax
Puede considerarse como un m.a.s. si la separación de A del punto de equilibrio es tan pequeña como para despreciar la curvatura de la trayectoria
ax = – g Para ángulos pequeños, sen =
Simplificando resulta: – g sen = ax
Sustituyendo el ángulo por el arco:
L = x xLg
ax
xa 2
L
g2
g
L2T
m
y
P= mg
T
Py= mg cos
L
x
Px = – mg sen
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3 El movimiento vibratorio122
Estudio energético del péndulo
Cuando el péndulo está parado en uno de los extremos de su trayectoria, toda la energía almacenada es Ep = mgh
Al pasar por el punto más bajo de su trayec-toria, toda la energía almacenada es EC
La suma de ambas indica el valor de su energía en cualquier punto intermedio de su trayectoria
vm2
1E 2
c
vm2
1hgmEEE 2
cP
La relación entre su altura máxima y la velocidad es:
hg2vvm2
1hgm 2
h
mghEE p
v
vm2
1EE 2
c
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3 El movimiento vibratorio133
Aplicación al cálculo del tiempo de atraso de un péndulo
Se dice que un reloj de péndulo <<bate segundos>> cuando su manecilla avanza dos segundos por cada oscilación completa. Suponiendo que por efecto del calor, el péndulo se dilata en una centésima parte de su longitud, ¿cuánto atrasará el reloj en cada hora?
Si el péndulo bate segundos, su período será: T0 = 2 s g
L22T0
Si su longitud se dilata, su período será:10
101T
100
101
g
L2
g100
LL
2T 0
Luego, 10
101TT 0
Cada 2 segundos reales se atrasa, por tanto: s10.97,9110
101TTT 3
00
En 1 hora se retrasará: t = 9,97 . 10-3 . 1800 = 17,9 s t = 17,9 s
Física 2º BACHILLERATO
3 El movimiento vibratorio144
Aplicación al cálculo de la x, v, T, A y frecuencia del m.v.a.s.
Una partícula lleva el movimiento dado por la expresión . Calcular:
4
t2sen5x
a) La posición cuando t = 0,1 s
b) La velocidad en ese instante
c) El período, la amplitud y la frecuencia
a) Cálculo de la posición cuando t = 0,1 s
b) Cálculo de la velocidad en ese instante
c) Cálculo del período, amplitud y frecuencia
167,44
1,0.2sen54
t2sen5x
525,54
1,0.2cos104
t2cos10x
Período:
2
22T
Amplitud:
T = s
A = 5 m
Frecuencia:
1
T
1 Hz1
x = 4,167 m
v = 5,525 m/s
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3 El movimiento vibratorio155
Aplicación al cálculo de la velocidad y aceleración máxima
Física 2º BACHILLERATO
Calcula los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de un punto dotado de movimiento armónico simple de amplitud 10 cm y período 2 s
a) Cálculo de la velocidad máxima:
b) Cálculo de la aceleración máxima:
.Avmáx
Partiendo de la ecuación general para la posición del punto dotado de m.v.a.s., al efectuar la primera derivada se obtiene la velocidad, y al efectuar la segunda derivada se obtiene la aceleración
tcosAxLa posición:
tsen.AvLa velocidad:
La aceleración: tcos.Aa 2
s/rad2
2
T
2
s/m314,0.10,0vmáx
2máx .Aa s/m.10,0 22
máxa
3 El movimiento vibratorio166
Aplicación al cálculo de energías de un m.v.a.s.
Un oscilador de 2 kg tiene una frecuencia de 40 Hz, una amplitud de 3 m y comienza
su movimiento en la posición de equilibrio. ¿En qué posición se encuentra cuando su energía potencial es la mitad de su energía cinética?
La frecuencia angular de este movimiento es:
Como en general, la expresión de la Ep es:
Si la Ec = 2Ep la energía total es: E3EEAm2
1E ppc
22
de donde la Ep será: AE22
p m6
1
xm2
1E
22p
Igualando y simplificando ambas expresiones: 3A
x2
2 m3x
= 2 = 80 rad/s
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