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PROYECTO FINAL
TUTOR: DIEGO FERNANDO SENDOYA
ALUMNOS
ORLANDO LEÓN QUINTERO
ISAI ROMERO CASTELLANOS
EDWIN LEONARDO CALDERÓN
JENNY VANESSA ARCE MATEUS
CONTROL DIGITAL
GRUPO: 299006-36
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
BOGOTA D.C
2013
INTRODUCCIÓN
El análisis y diseño de tales sistemas de control, hace necesario el conocimiento de
herramientas como la Transformada Z, la transformada de Fourier Muestreo y
Estabilidad las Técnicas de diseño digital basado en la frecuencia Técnicas de
diseño digital y Análisis en el espacio de estados. Más aún si a esto le sumamos la
gran capacidad de programas de análisis como Matlab, entonces por medio de su
estudio y uso adecuado podemos simular cualquier tipo de sistema que es aplicable
a la vida real.El estudio e investigación de los sistemas de control digital, basados
en desarrollar controladores, compensadores y reguladores digitales dentro de un
sistema, donde se busca verificar la respuesta en estado transitorio de un sistema
con la finalidad de reducir el error mediante procesos de modela miento
matemático, utilizando herramientas de modelado como MATLAB y SCILAB.Han
permitido que los estudiantes comprueben gráficamente las respuestas obtenidas
matemáticamente. De este modo la finalidad de este trabajo es la de dar a conocer
mediante operaciones analíticas y comprobaciones gráficas, los temas relacionados
con las técnicas de diseño digital basados en la frecuencia.
El presente trabajo está basado en los conocimientos adquiridos durante el
desarrollo del curso Control Digital, Controladores Digitales, dentro de los
controladores encontramos compensador en adelanto puede aumentar la
estabilidad o la velocidad de respuesta de un sistema; un compensador en atraso
puede reducir (pero no eliminar) el error en estado estacionario.
El presente trabajo está compuesto por una serie de ejercicios desarrollados de
forma práctica y teórica en los cuales utilizamos la herramienta de software Labview
y Matlab con el fin de graficar, simular y comprobar los resultados de manera
analítica e investigativa.
Se realizaran análisis y cálculos de cada uno dew los ejercicios propuestos, se
analizarán funciones de transferencia de una planta.
Generalmente, los compensadores en adelanto, en atraso, y en adelanto/atraso se
diseñan para un sistema en forma de función de transferencia.
También se analizaran las constantes de error de Posición Kp, el error en estado
estacionario y el tiempo de establecimiento para una función de transferencia de la
planta.
OBJETIVOS
Diseñar un controlador PID, digital para un sistema en lazo cerrado con unas
características específicas, como sobre impulso máximo y tiempo de
establecimiento según parámetros de la guía.
Emplear el software Labview, para analizar y comprender las respuestas de
los sistemas tanto a entradas impulso como escalón.
Calcular la constante de error Kp , el error en estado estacionario ante una
entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de
transferencia de una planta discretizada en lazo cerrado.
Aplicar los conocimientos adquiridos durante el curso de Control Digital y
analizar los deferentes sistemas en lazo cerrado..
DESARROLLO
Ejercicio 1: Suponga que la función de transferencia de la planta es:
𝐆𝐩(𝐬) =𝟏𝟎
(𝐬 + 𝟏)(𝐬 + 𝟐)
(a) Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario
ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la
función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo
cerrado.
𝐆𝐜(𝐬) = Controlador
𝐙𝐨𝐡 = Retenedor de orden cero
𝐆𝐩(𝐬) = Planta
𝐑(𝐳) = Entrada
𝐂(𝒛)) = Salida
Gp(s) = 10
(𝑠+1)(𝑠+2) Zoh =
1−𝑒−𝑠𝑡
𝑆= Gp(s)
10
𝑠2+3𝑠+2
𝐂(𝐬) = 𝐆𝐩(𝐬)𝐙𝐨𝐡 (𝐬)𝐄∗(𝐬) (𝟏)
𝐄(𝐬) = 𝐑(𝐬) − 𝐂(𝐬) (𝟐)
Ahora Reemplazando (1) en (2)
E(s) = R(s) − Gp(s)Zoh(s)E∗(s)
[E(s) = R(s) − Gp(s)Zoh(s)E∗(s)]∗
E∗(s) = R∗(s) − [Gp(s)Zoh(s)]∗E∗(s)
E∗(s) + [Gp(s)Zoh(s)]∗E∗(s) = R∗(s)
E∗(s)[1 + [Gp(s)Zoh(s)]∗] = R∗(s)
E∗(s) =R∗(s)
1+[GP(s)Zoh(s)]∗ ⇒ E(z) =
R(z)
1+Z(Gp(s)Zoh(s))
C(S) = Gp(s)Zoh(s)E∗(s)
C∗(s) = [Gp(s)Zoh(s)∗E∗(s)]
Al reemplazar
C∗(s) = [Gp(s)Zoh(s)]∗ R∗(S)
1+[Gp(s)Zoh(s)]∗
C∗(s)
R∗(S)=
[Gp(s)Zoh(s)]∗
1 + [Gp(s)Zoh(s)]∗
Como
C∗(s) = C(Z)
C(Z)
R(Z)=
ℤ{Gp(s)Zoh(s)}
1 + ℤ{Gp(s)Zoh(s)}
R∗(s) = R(Z)
ℤ(Zoh(s)Gp(s)) = ℤ [1 − e−st
T
1
s2 + 3s + 2]
Aplicamos en matlab
nGP = [1]; % Numerador Gp es S
dGP = [1 3 2]; % Denominador Gp e S
T = 0.1
[nGpZ, dGpZ] = C2dm (nGp, dGp, T, ′Zoh′)
nGpZ = 0 0,0045 0.0041
dGpZ = 1 − 1.723568 0,740818
ℤ(Zoh(s)Gp(s)) = 0,0045Z + 0.0041
z2 − 1.7236Z + 0,7408
C(z)
R(z)=
0.0045Z + 0.0041z2 − 1.7236Z + 0.7408
1 + 0.0045Z + 0.0041
z2 − 1.7236Z + 0.7408
ℤ(Zoh(s)Gp(s)) =0.0045Z + 0.0041
z2 − 1,7236Z + 0.7408 + 0.0045Z + 0,0041
ℤ(Zoh(s)Gp(s)) =0.0045Z + 0.0041
z2 − 1,71904Z + 0.7449
Para el cálculo del error de estado estable recordemos que:
ess = limt→∞
e(t) En el Dominio del Tiempo
lims→0
SE(S) En el dominio de la Frecuencia
limZ→1
(z − 1)E(z) En el dominio de la Frecuencia discreta
Para una entrada escalón
ess = ep = lims→0
SE(S)
lims→0
s R(s)
1+G(s)
lims→0
s1
s
1+G(s)
lims→0
1
1+kp
R(s) =1
s⇒ entrada escalon
E(s) =R(s)
1+G(s)
Kp = Constante de posicion
Kp = G(s)
En el dominio de Z
Ep = limz→1
(z − 1)E(z) = limz→1
(z − 1)R(z)
1+Z(Zoh(s)Gp(s))=
1
z(Zoh(s)Gp(s))
Ep = limz→1
Z
Z(Zoh(s)Gp(s))=
1
1+kp R(z) ⇒ Escalon R(z) =
Z
Z−1
C(Z)
R(Z)=
0.0045Z+0.0041
Z2−1,7190Z+0,7449
Entonces la constante de error de posición
Kp = Gp(z)Zoh(z)|Z = 1 = 0,0045(1) + 0.0041
12 − 1.7236(1) + 0.7408= 0.5
Error en estado estacionario
es =1
1 + kp−
1
1 + 0.5= 0.6667
Tiempo de establecimiento
ts = 4,6
ξwn=
4,6
1.7190= 2.675
C(s)
R(s)=
Wn2
s + 2EWnS + Wn2
Mp = e
−πξ
Wn√1−ξ2
Sobreimpulso
Mp = e(
−πξ
√1−ξ2)
5 = e(
−πξ
√1−ξ2)
In 5 = −πξ
√1 − ξ2
(In5)2 = (1 − ξ2) = π2ξ2
(In5)2 = π2ξ2 + (In5)2 ξ2
(In5)2 = (π2 + (In5)2) ξ2
ξ2 =(In5)2
π2 + (In5)2
ξ2 = 0,2079
ξ2 = 0,456
Para hallar la frecuencia natural del sistema utilizamos
ts =4
ξWn
Wn =4
ξts = 8,77 rad/s
Para hallar la frecuencia natural del sistema utilizamos
ts =4
ξWn
Wn =4
ξts = 8,77 rad/s
𝑋(𝑧) =0.04528𝑧 + 0.04097
𝑍2 − 1.724𝑧 + 0.7408
Los polos de la función X (z) son:
𝑃1 = 0.9048
𝑃2 = 0.8187
Se aplica valor final
Sea U (z) la entrada escalón unitario:
𝑈(𝑧) =1
1 − 𝑧1
𝑋(𝑧) =0.04528𝑧 + 0.04097
𝑍2 − 1.724𝑧 + 0.7408
1
1 − 𝑧1
Aplicación del teorema del Valor Final
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1
(1 − 𝑧1)0.04528𝑧 + 0.04097
𝑍2 − 1.724𝑧 + 0.7408∗
1
1 − 𝑧1
𝑒𝑠𝑠 =0.04528(1) + 0.04097
(1)2 − 1.724(1) + 0.7408∗
1
1 − 𝑧1
𝑒𝑠𝑠 =0.04528(1) + 0.04097
(1)2 − 1.724(1) + 0.7408=
0.08625
0.0168= 5.14
𝑒𝑠𝑠 = 5.14
Repusta de escalon del sistema
Si un polo simple se presenta en z=1, entonces el sistema se Convierte en
críticamente estable. También el sistema se convierte en críticamente
estable si un solo par de polos complejos conjugados se presentan sobre el
círculo unitario en el plano z. Cualquier polo múltiple en lazo cerrado sobre el
círculo unitario hace al sistema inestable.
Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo Tanto
pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z. Entonces, un
sistema de control en lazo cerrado en tiempo discreto Lineal e invariante con
el tiempo de una entrada/salida se vuelve Inestable si cualquiera de los polos
en lazo cerrado se presenta por fuera Del círculo unitario y/o cualquier
(b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga
un Sobreimpulso máximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 1
segundo. Suponga que el tiempo de muestreo es TS = 0.1 segundos.
Gd(Z) = kp +ki
1 − z−1 + kd(1 − z−1) = kp +
kiZ
z − 1+ kp
Z − 1
Z
Mp = 5 = 0.05 = e
−π.ζ2
√1−ζ2
𝜁 = √(ln(0.05))2
𝜋2 + (ln(0.05))2= 0.6901
wd = wn√1 − ζ2
wd = 2.91rad
s
Hallamos zoh
Gh(s) =1
1 +Ts2
=1
0.05s + 1=
10
5s + 10
Gs =10
(S2 + 3S + 2)(5s + 10)
Luego con 𝜁 = 0.6901 y 𝑊𝑛 = 4𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
S0 = −ζwn + wn√1 − ζ2 = 2.76 + 2,76√3j
Dc(s) = Ks + 2,76
s + 5.82
Por lo que la ecuación característica deseada se convierte en:
Pd(s) = s2 + 2 ∗ ζ ∗ Wn ∗ s + Wn2
Pd(s) = s2 + 5.52s + 16
El sistema en lazo cerrado tendrá la forma:
Gc =Gh(S) ∗ Gp(s)
1 + Gh(S) ∗ Gp(s)
GC =KD. S2 + KP. S + KI
0.5s4 + 2.5 ∗ S3 + (3 + KD). S2 + (2 + KP). S + KI
Ya que la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es de cuarto orden,
se iguala con la ecuación característica deseada añadiendo un término de más, de
la siguiente manera:
0.5s4 + 2.5 ∗ S3 + (3 + KD). S2 + (2 + KP). S + KI = (s2 + 5.52s + 16) ∗ (s2 + α. S + β)
= S4 + (α + 5.52). S3 + (5.52. α + β + 16). S2 + (16α + 5.52β)S + 16β
De donde se obtienen las siguientes ecuaciones:
2.5 = 𝛼 + 5.52 … … … … . 𝛼 = 3.02
(KD + 3) = (5.52 ∗ α + β + 16) … … . = KD = β + 29.67
(2 + KP) = (16α + 5.52β) = ⋯ … … … . KP = 5.52β + 46.32
(KI) = (16β)
Con lo que se llega a un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas (infinitas
soluciones), suponiendo el valor de 𝛽 con el fin que cumpla con la condición de
polos dominantes deseados, por ejemplo, si se quiere un par de polos remanentes
complejos conjugados (no dominantes):
Al solucionar 𝑺𝟐 + 𝜶𝑺 + 𝜷se tiene:
S1.2 = −α
2± √
α2
4 − β
α2
4− β < 0
β > 9.1
Escogiendo un β=50 se obtiene en Matlab
KD=79.67
KP=322.32
KI=800
Ejercicio 2: Suponga que la función de transferencia de la planta es:
𝐆𝐩(𝐬) =𝟏
𝐬(𝐬 + 𝟏)
(a) Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario
ante una entrada escalón unitario y el margen de fase. (b) Diseñe un compensador
en adelanto-atraso digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un margen de
fase de 80º y la constante de error de velocidad sea Kv = 2. Suponga que el tiempo
de muestreo es TS = 0.2 segundos.
DESARROLLO
(a) Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado
estacionario ante una entrada escalón unitario y el margen de fase.
Error de velocidad Kv (entrada rampa)
𝑅(𝑧) =𝑇𝑠
(1 − 𝑍−1)2
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1
[(1 − 𝑧−1)1
1 + 𝐺𝐻(𝑧)
0,2
(1 − 𝑍−1)2] = lim
𝑧→1[
0,2
(1 − 𝑧−1)𝐺𝐻(𝑧)]
𝐾𝑣 = lim𝑧→1
[(1 − 𝑧−1)𝐺𝐻(𝑧)
0,2]
Comando c2d para hallar GH(z)
𝐾 𝑣= lim
𝑧→1[(1 − 𝑧−1)
0,2×
0.01873𝑧 + 0.01752
𝑧2 − 1.819𝑧 + 0.817]
𝐾𝑣 = 0
El error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el margen de
fase
𝑅(𝑧) =1
1 − 𝑍−1
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1
[(1 − 𝑧−1)
11 − 𝑍−1
1 + 𝐺𝐻(𝑧)] = lim
𝑧→1[
1
1 + 𝐺𝐻(𝑧)]
𝑆𝑖 𝐾𝑃 = lim𝑧→1
𝐺𝐻(𝑧), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑒𝑠𝑠 =1
1+𝑘𝑝
Kp se trae
𝑆𝑖 𝐾𝑃 = lim𝑧→1
[0.01873𝑧 + 0.01752
𝑧2 − 1.819𝑧 + 0.817] = −18,125
𝑒𝑠𝑠 =1
1−18,125
𝑒𝑠𝑠 = −0,058394161
Margen de fase
GH(z) =0.01873𝑧 + 0.01752
𝑧2 − 1.819𝑧 + 0.817
GH(𝑧) =0.01873(𝑧 + 0.9355)
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)
𝑧 =1 + 0.5𝑇𝜔
1 − 0.5𝑇𝜔
𝑧 =1 + 0.5(0.2)𝜔
1 − 0.5(0.2)𝜔=
1 + 0.1𝜔
1 − 0.1𝜔
GH(𝑤) =0.01873(
1 + 0.1𝜔1 − 0.1𝜔 + 0.9355)
(1 + 0.1𝜔1 − 0.1𝜔 − 1)(
1 + 0.1𝜔1 − 0.1𝜔 − 0.8187)
𝐺𝐻(𝑤) =0.01873(1 + 0.1𝜔 + 0.9355 − 0.0935𝜔)
(1 + 0.1𝜔 − 1 + 0.1𝜔)(1 + 0.1𝜔 − 0.8187 + 0.0818𝜔)
𝐺𝐻(𝑤) =0.01873(1.9355 + 0.065𝜔)
0.2𝜔(0.1813 + 0.1818𝜔)=
0.00121𝜔 + 0.03625
0.03636𝜔2 + 0.03626𝜔
num2=[0.00121 0.03625];
den2=[0.03636 0.03626 0];
gw=tf(num2,den2);
bode(gw)
b) Diseñe un compensador en adelanto-atraso digital para que el sistema en
lazo cerrado tenga un margen de fase de 80º y la constante de error de
velocidad sea Kv = 2. Suponga que el tiempo de muestreo es TS = 0.2
segundos.
Compensador en Atraso
El componente compensa a 35º
kv=2;
pms=50;
T = 0.2;
num=1;
den=[1 1 0];
gp=tf(num,den);
gz=c2d(gp,T)
gz=tf(gz);
syms w tao alfa k
[numz,denz]=tfdata(gz,'v');
num=numz.*[ 1 -1 1];
den=denz.*[ 1 -1 1];
[numv,denv]=bilinear(num,den,0.5);
v=-T/2;
numw=numv.*[v^2 v 1];
denw=denv.*[v^2 v 1];
gw=tf(numw,denw);
gw1=zpk(gw);
[z p k]=zpkdata(gw1,'v');
p=sort(p);
n=length(p);
if p(n)<abs(1e-5)
p(n)=0;
else
p(n)=p(n);
end
gw1=zpk(z,p,k);
gw1=tf(gw1);
[numw,denw]=tfdata(gw1,'v');
gw2=poly2sym(numw,'w')/poly2sym(denw,'w');
f=limit(w*(1+tao*w)/(1+alfa*tao*w)*gw2,w,0);
k=kv/f;
k=eval(k);
gw2=k*gw1
figure
margin(gw2)
[gm pm]=margin(gw2)
pm1=pm;
while pm1<pms
phi=-(180-pms-delta);
phi1=phi-0.2;
phi2=phi+0.2;160
w=0.1:0.01:100;
[mag,fase]=bode(gw1,w);
i=find(fase>phi1 & fase<phi2);
gwmax=mag(i);
wmax=w(i);
wz=wmax(1,1)/10;
wp=wz(1,1)/gwmax(1,1);
kc=wp/wz;
gcw=zpk(-wz,-wp,kc);
gla=gcw*gw1;
[gm1,pm1]=margin(gla);
delta=delta+5;
end
figure
margin(gl
Compensador en Adelanto
Con una nueva función de transferencia, implementamos un compensador en
adelanto para lograr el margen de fase de 80º.
pms=80;
[gm pm]=margin(gla)
delta=5;
pm1=pm;
while pm1<pms
phi=pms-pm+delta;
phi=phi*pi/180;
alfa=(1-sin(phi))/(1+sin(phi));
ralfa=sqrt(alfa);
ralfa1=ralfa-0.005;
ralfa2=ralfa+0.005;
w=0.01:0.01:100;
[mag,fase,w]=bode(gla,w);
i=find(mag>ralfa1&mag<ralfa2);
w(i);
mag(i);
gwmax=mag(i);
wmax=w(i);
wz=wmax(1)*gwmax(1);
wp=wmax(1)/gwmax(1);
kc=1/alfa;
gcw=zpk(-wz,-wp,kc);
GlaSistema=gcw*gla;
[gm1 pm1]=margin(GlaSistema);
delta=delta+5;
end
figure
margin(GlaSistema)
fs=1/T;
[numw denw]=tfdata(gcw,'v');
[numz denz]=bilinear(numw,denw,fs);
gcz=tf(numz,denz,T);
gcz=zpk(gcz)
glaz=gz*gcz;
glcz=feedback(glaz,1);
figure
step(glcz)
Sistema sin compensar:
Compensado
Ejercicio 3: Suponga que la función de transferencia de la planta es:
𝐆𝐩(𝐬) =𝟑𝟔
𝐬(𝐬 + 𝟑. 𝟔)
Diseñe un regulador digital por el método de ubicación de polos para que el sistema
en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 10%, el tiempo de
establecimiento sea menor de 1 segundo y el error en estado estacionario ante una
entrada escalón unitario sea cero. Elija el tiempo de muestreo de tal manera que se
obtengan 20 muestras por cada ciclo.
DESARROLLO
Regulador Digital:
Para hallar una función de transferencia que represente los valores anteriores se
procede a utilizar la siguiente ecuación:
𝑀𝑝 = 100 ∗ 𝑒−𝜀𝜋
√1−𝜀2
𝑀𝑝
100= 𝑒
−𝜀𝜋
√1−𝜀2
De donde para eliminar el número Euler se proceder a sacar logaritmo natural a
ambos lados de la ecuación, resultando la siguiente expresión:
𝐿𝑛 (10
100) =
−𝜀𝜋
√1 − 𝜀2
De donde, se procede posteriormente a despejar Épsilon (𝜀):
𝐿𝑛(0.1) =−𝜀𝜋
√1 − 𝜀2
−2.3026 =−𝜀𝜋
√1 − 𝜀2
√1 − 𝜀2 =−𝜀𝜋
−2.3026
Eliminando el radical se eleva al cuadrado a ambos lados de la expresión
obteniendo:
√1 − 𝜀22
=𝜀2𝜋2
2.30262
1 − 𝜀2 =𝜀2𝜋2
5.302
1 =𝜀2𝜋2
5.302+ 𝜀2
1 = 𝜀2(𝜋2
5,302+ 1)
1 = 2.8615𝜀2
𝜀2 =1
2.8615
𝜀 = √1
2.8615
𝜺 = 𝟎. 𝟓𝟗𝟏𝟏𝟔
De donde, de la fórmula del tiempo de establecimiento se calcula Wn:
𝑡𝑠 =4
𝜀𝑊𝑛
Se despeja Wn:
𝑊𝑛 =4
𝜀𝑡𝑠
𝑊𝑛 =4
0.59116 ∗ 0.8
𝑾𝒏 = 𝟖. 𝟒𝟔
De donde, la función de transferencia para estas condiciones quedaría de la
siguiente forma:
𝐺(𝑠) =𝑊𝑛2
𝑠2 + (2 ∗ 𝜀 ∗ 𝑊𝑛)𝑠 + 𝑊𝑛2
𝐺(𝑠) =8.462
𝑠2 + (2 ∗ 0.59116 ∗ 8.46)𝑠 + 8.462
𝑮(𝒔) =𝟕𝟏. 𝟓𝟕𝟏𝟔
𝒔𝟐 + 𝟏𝟎. 𝟎𝟒𝒔 + 𝟕𝟏. 𝟓𝟕𝟏𝟔
Graficando la señal con la nueva planta del controlador y sus polos
correspondientes para los valores característicos indicados anterior mente versus
la gráfica sin esta nueva función de transferencia, quedaría expresada de la
siguiente forma, realizada en la herramienta de MATLAB Simulink:
2. Actividad Práctica: La segunda actividad está compuesta de una serie de
ejercicios que deberán ser desarrollados utilizando una herramienta de
software como SCILAB o MATLAB@.
Ejercicio 1: Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teórica, utilice SCILAB
o MATLAB@ para:
𝐆𝐩(𝐬) =𝟏𝟎
(𝐬 + 𝟏)(𝐬 + 𝟐)
(a) Dibujar la respuesta de la planta Gp(s) ante una entrada escalón unitario ¿Los
valores de ess y ts, corresponden a los encontrados en el inciso (a)? (b) Dibujar
la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario. ¿Los valores
de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados
en el inciso.
DESARROLLO
(a) Dibujar la respuesta de la planta Gp(s) ante una entrada escalón unitario ¿Los
valores de ess y ts, corresponden a los encontrados en el inciso (a)?
planta = tf(10,[1 3 2])
Transfer function:
10
-------------
s^2 + 3 s + 2
plantaz = c2d(planta,0.2,'zoh')
Transfer function:
0.1643 z + 0.1345
----------------------
z^2 - 1.489 z + 0.5488
>> numDz=[0.1643 0.1345];
>> denDz=[1 -1.489 0.5488];
>> IU = 1;
>> N = 101;
>> [x] = dstep (IU*numDz,denDz, N);
stairs (t,x)
(b) Dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario.
¿Los valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a
los encontrados en el inciso (b)?
>> planta = tf(10,[1 3 2])
Transfer function:
10
-------------
s^2 + 3 s + 2
>> plantaz = c2d(planta,0.2,'zoh')
Transfer function:
0.1643 z + 0.1345
----------------------
z^2 - 1.489 z + 0.5488
Sampling time: 0.2
>> plantaz = plantaz/(plantaz + 1)
Transfer function:
0.1643 z^3 - 0.1101 z^2 - 0.1101 z + 0.07382
---------------------------------------------
z^4 - 2.814 z^3 + 3.205 z^2 - 1.745 z + 0.375
Sampling time: 0.2
>> numDz=[0.1643 -0.1101 -0.1101 0.07382];
>> denDz=[1 -2.814 3.205 -1.745 0.375];
>> IU = 1;
>> N = 101;
>> [x] = dstep (IU*numDz,denDz, N);
>> t=0:0.05:5;
>> plot(x)
>> stairs (t,x);
Ejercicio 2: Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Teórica, utilice SCILAB o
MATLAB@ para:
𝐆𝐩(𝐬) =𝟏
𝐬(𝐬 + 𝟏)
(a) Dibujar el diagrama de Bode de la planta Gp(s) ¿El margen de fase corresponde
al encontrado en el inciso (a)? (b) Dibujar el diagrama de Bode del sistema
compensado. ¿El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (b)?
DESARROLLO
a) Dibujar el diagrama de Bode de la planta Gp(s) ¿El margen de fase
corresponde al encontrado en el inciso (a)?
Desarrollo punto a:
𝐺(𝑧) = [0.018 + (0.0175)𝑧−1]𝑧−1
(1 − 𝑧−1)(1 − 𝑒−0.2𝑧−1)=
[0.018 + (0.0175)]
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.81)=
0.018𝑧 + (0.0175)
𝑧2 − 1.81𝑧 + 0.81
𝐺𝑐(𝑧) = −5𝑧 − 9
3𝑧 − 5
∅ = 𝟏𝟗. 𝟒𝟕𝟎
Desarrollo parte b.
𝐺𝑐(𝑧) = 2.07 ∗41.4𝑧 − 39.4
−989𝑧 + 2=
85.69𝑧 − 81.55
−989𝑧 + 2
Ejercicio 3 (practico): Con los valores del Ejercicio 3 de la Actividad Teórica, utilice
LabVIEW® para dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado con regulador
digital ante un escalón unitario. ¿Los valores de tiempo de establecimiento y
sobreimpulso corresponden a los encontrados en la parte teórica?
Desarrollo:
𝐺(𝑧) = 2.77 ([(0.057)𝑧 + (0.0616)]
(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.69)) =
0.15𝑧 + 0.17
𝑧2 − 1.69𝑧 + 0.69
𝐺𝑑(𝑧) = 0.102𝑧 − 0.102
𝑧 − 0.559
CONCLUSIONES
Lo visto en el curso de de control digital, temas referentes al análisis de
diversos sistemas de tipo abierto y cerrado y con diferentes entradas. Con el
desarrollo de este trabajo hemos puesto en práctica los controladores dentro
de estos encontramos compensador en adelanto puede aumentar la
estabilidad o la velocidad de respuesta de un sistema; un compensador en
atraso puede reducir (pero no eliminar) el error en estado estacionario.
Mediante la realización de este trabajo se realizaron una serie de ejercicios
desarrollados de forma práctica y teórica en los cuales utilizamos la
herramienta de software Labview y Matlab con el fin de graficar, simular y
comprobar los resultados de manera analítica e investigativa.
Se reconoce la importancia del curso Control Digital aplicado a las ramas de
la Ingeniería, mediante las practicas se proponen soluciones a problemas
que se pueden presentar en la vida real.
BIBLIOGRAFÍA
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Universidad Abierta y A Distancia “UNAD”
Diseño de Sistemas de Control Mediante el Lugar Geométrico de las Raíces,
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http://www.ing.unlp.edu.ar/cys/pdf/apunte_muestreo.pdf Consultado 9 de
Diciembre de 2013
Sistemas de control,
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Céspedes, J. y Rodríguez, O. (2008), Modulo Control Digital, UNIVERSIDAD
NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA –UNAD