PROYECTO FINAL

TUTOR: DIEGO FERNANDO SENDOYA

ALUMNOS

ORLANDO LEÓN QUINTERO

ISAI ROMERO CASTELLANOS

EDWIN LEONARDO CALDERÓN

JENNY VANESSA ARCE MATEUS

CONTROL DIGITAL

GRUPO: 299006-36

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

BOGOTA D.C

2013

INTRODUCCIÓN

El análisis y diseño de tales sistemas de control, hace necesario el conocimiento de

herramientas como la Transformada Z, la transformada de Fourier Muestreo y

Estabilidad las Técnicas de diseño digital basado en la frecuencia Técnicas de

diseño digital y Análisis en el espacio de estados. Más aún si a esto le sumamos la

gran capacidad de programas de análisis como Matlab, entonces por medio de su

estudio y uso adecuado podemos simular cualquier tipo de sistema que es aplicable

a la vida real.El estudio e investigación de los sistemas de control digital, basados

en desarrollar controladores, compensadores y reguladores digitales dentro de un

sistema, donde se busca verificar la respuesta en estado transitorio de un sistema

con la finalidad de reducir el error mediante procesos de modela miento

matemático, utilizando herramientas de modelado como MATLAB y SCILAB.Han

permitido que los estudiantes comprueben gráficamente las respuestas obtenidas

matemáticamente. De este modo la finalidad de este trabajo es la de dar a conocer

mediante operaciones analíticas y comprobaciones gráficas, los temas relacionados

con las técnicas de diseño digital basados en la frecuencia.

El presente trabajo está basado en los conocimientos adquiridos durante el

desarrollo del curso Control Digital, Controladores Digitales, dentro de los

controladores encontramos compensador en adelanto puede aumentar la

estabilidad o la velocidad de respuesta de un sistema; un compensador en atraso

puede reducir (pero no eliminar) el error en estado estacionario.

El presente trabajo está compuesto por una serie de ejercicios desarrollados de

forma práctica y teórica en los cuales utilizamos la herramienta de software Labview

y Matlab con el fin de graficar, simular y comprobar los resultados de manera

analítica e investigativa.

Se realizaran análisis y cálculos de cada uno dew los ejercicios propuestos, se

analizarán funciones de transferencia de una planta.

Generalmente, los compensadores en adelanto, en atraso, y en adelanto/atraso se

diseñan para un sistema en forma de función de transferencia.

También se analizaran las constantes de error de Posición Kp, el error en estado

estacionario y el tiempo de establecimiento para una función de transferencia de la

planta.

OBJETIVOS

Diseñar un controlador PID, digital para un sistema en lazo cerrado con unas

características específicas, como sobre impulso máximo y tiempo de

establecimiento según parámetros de la guía.

Emplear el software Labview, para analizar y comprender las respuestas de

los sistemas tanto a entradas impulso como escalón.

Calcular la constante de error Kp , el error en estado estacionario ante una

entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la función de

transferencia de una planta discretizada en lazo cerrado.

Aplicar los conocimientos adquiridos durante el curso de Control Digital y

analizar los deferentes sistemas en lazo cerrado..

DESARROLLO

Ejercicio 1: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

𝐆𝐩(𝐬) =𝟏𝟎

(𝐬 + 𝟏)(𝐬 + 𝟐)

(a) Calcule la constante de error de posición Kp, el error en estado estacionario

ante una entrada escalón unitario y el tiempo de establecimiento para la

función de transferencia de la planta discretizada sin controlador en lazo

cerrado.

𝐆𝐜(𝐬) = Controlador

𝐙𝐨𝐡 = Retenedor de orden cero

𝐆𝐩(𝐬) = Planta

𝐑(𝐳) = Entrada

𝐂(𝒛)) = Salida

Gp(s) = 10

(𝑠+1)(𝑠+2) Zoh =

1−𝑒−𝑠𝑡

𝑆= Gp(s)

10

𝑠2+3𝑠+2

𝐂(𝐬) = 𝐆𝐩(𝐬)𝐙𝐨𝐡 (𝐬)𝐄∗(𝐬) (𝟏)

𝐄(𝐬) = 𝐑(𝐬) − 𝐂(𝐬) (𝟐)

Ahora Reemplazando (1) en (2)

E(s) = R(s) − Gp(s)Zoh(s)E∗(s)

[E(s) = R(s) − Gp(s)Zoh(s)E∗(s)]∗

E∗(s) = R∗(s) − [Gp(s)Zoh(s)]∗E∗(s)

E∗(s) + [Gp(s)Zoh(s)]∗E∗(s) = R∗(s)

E∗(s)[1 + [Gp(s)Zoh(s)]∗] = R∗(s)

E∗(s) =R∗(s)

1+[GP(s)Zoh(s)]∗ ⇒ E(z) =

R(z)

1+Z(Gp(s)Zoh(s))

C(S) = Gp(s)Zoh(s)E∗(s)

C∗(s) = [Gp(s)Zoh(s)∗E∗(s)]

Al reemplazar

C∗(s) = [Gp(s)Zoh(s)]∗ R∗(S)

1+[Gp(s)Zoh(s)]∗

C∗(s)

R∗(S)=

[Gp(s)Zoh(s)]∗

1 + [Gp(s)Zoh(s)]∗

Como

C∗(s) = C(Z)

C(Z)

R(Z)=

ℤ{Gp(s)Zoh(s)}

1 + ℤ{Gp(s)Zoh(s)}

R∗(s) = R(Z)

ℤ(Zoh(s)Gp(s)) = ℤ [1 − e−st

T

1

s2 + 3s + 2]

Aplicamos en matlab

nGP = [1]; % Numerador Gp es S

dGP = [1 3 2]; % Denominador Gp e S

T = 0.1

[nGpZ, dGpZ] = C2dm (nGp, dGp, T, ′Zoh′)

nGpZ = 0 0,0045 0.0041

dGpZ = 1 − 1.723568 0,740818

ℤ(Zoh(s)Gp(s)) = 0,0045Z + 0.0041

z2 − 1.7236Z + 0,7408

C(z)

R(z)=

0.0045Z + 0.0041z2 − 1.7236Z + 0.7408

1 + 0.0045Z + 0.0041

z2 − 1.7236Z + 0.7408

ℤ(Zoh(s)Gp(s)) =0.0045Z + 0.0041

z2 − 1,7236Z + 0.7408 + 0.0045Z + 0,0041

ℤ(Zoh(s)Gp(s)) =0.0045Z + 0.0041

z2 − 1,71904Z + 0.7449

Para el cálculo del error de estado estable recordemos que:

ess = limt→∞

e(t) En el Dominio del Tiempo

lims→0

SE(S) En el dominio de la Frecuencia

limZ→1

(z − 1)E(z) En el dominio de la Frecuencia discreta

Para una entrada escalón

ess = ep = lims→0

SE(S)

lims→0

s R(s)

1+G(s)

lims→0

s1

s

1+G(s)

lims→0

1

1+kp

R(s) =1

s⇒ entrada escalon

E(s) =R(s)

1+G(s)

Kp = Constante de posicion

Kp = G(s)

En el dominio de Z

Ep = limz→1

(z − 1)E(z) = limz→1

(z − 1)R(z)

1+Z(Zoh(s)Gp(s))=

1

z(Zoh(s)Gp(s))

Ep = limz→1

Z

Z(Zoh(s)Gp(s))=

1

1+kp R(z) ⇒ Escalon R(z) =

Z

Z−1

C(Z)

R(Z)=

0.0045Z+0.0041

Z2−1,7190Z+0,7449

Entonces la constante de error de posición

Kp = Gp(z)Zoh(z)|Z = 1 = 0,0045(1) + 0.0041

12 − 1.7236(1) + 0.7408= 0.5

Error en estado estacionario

es =1

1 + kp−

1

1 + 0.5= 0.6667

Tiempo de establecimiento

ts = 4,6

ξwn=

4,6

1.7190= 2.675

C(s)

R(s)=

Wn2

s + 2EWnS + Wn2

Mp = e

−πξ

Wn√1−ξ2

Sobreimpulso

Mp = e(

−πξ

√1−ξ2)

5 = e(

−πξ

√1−ξ2)

In 5 = −πξ

√1 − ξ2

(In5)2 = (1 − ξ2) = π2ξ2

(In5)2 = π2ξ2 + (In5)2 ξ2

(In5)2 = (π2 + (In5)2) ξ2

ξ2 =(In5)2

π2 + (In5)2

ξ2 = 0,2079

ξ2 = 0,456

Para hallar la frecuencia natural del sistema utilizamos

ts =4

ξWn

Wn =4

ξts = 8,77 rad/s

Para hallar la frecuencia natural del sistema utilizamos

ts =4

ξWn

Wn =4

ξts = 8,77 rad/s

𝑋(𝑧) =0.04528𝑧 + 0.04097

𝑍2 − 1.724𝑧 + 0.7408

Los polos de la función X (z) son:

𝑃1 = 0.9048

𝑃2 = 0.8187

Se aplica valor final

Sea U (z) la entrada escalón unitario:

𝑈(𝑧) =1

1 − 𝑧1

𝑋(𝑧) =0.04528𝑧 + 0.04097

𝑍2 − 1.724𝑧 + 0.7408

1

1 − 𝑧1

Aplicación del teorema del Valor Final

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

(1 − 𝑧1)0.04528𝑧 + 0.04097

𝑍2 − 1.724𝑧 + 0.7408∗

1

1 − 𝑧1

𝑒𝑠𝑠 =0.04528(1) + 0.04097

(1)2 − 1.724(1) + 0.7408∗

1

1 − 𝑧1

𝑒𝑠𝑠 =0.04528(1) + 0.04097

(1)2 − 1.724(1) + 0.7408=

0.08625

0.0168= 5.14

𝑒𝑠𝑠 = 5.14

Repusta de escalon del sistema

Si un polo simple se presenta en z=1, entonces el sistema se Convierte en

críticamente estable. También el sistema se convierte en críticamente

estable si un solo par de polos complejos conjugados se presentan sobre el

círculo unitario en el plano z. Cualquier polo múltiple en lazo cerrado sobre el

círculo unitario hace al sistema inestable.

Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo Tanto

pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z. Entonces, un

sistema de control en lazo cerrado en tiempo discreto Lineal e invariante con

el tiempo de una entrada/salida se vuelve Inestable si cualquiera de los polos

en lazo cerrado se presenta por fuera Del círculo unitario y/o cualquier

(b) Diseñe un controlador PID digital para que el sistema en lazo cerrado tenga

un Sobreimpulso máximo de 5% y un tiempo de establecimiento menor de 1

segundo. Suponga que el tiempo de muestreo es TS = 0.1 segundos.

Gd(Z) = kp +ki

1 − z−1 + kd(1 − z−1) = kp +

kiZ

z − 1+ kp

Z − 1

Z

Mp = 5 = 0.05 = e

−π.ζ2

√1−ζ2

𝜁 = √(ln(0.05))2

𝜋2 + (ln(0.05))2= 0.6901

wd = wn√1 − ζ2

wd = 2.91rad

s

Hallamos zoh

Gh(s) =1

1 +Ts2

=1

0.05s + 1=

10

5s + 10

Gs =10

(S2 + 3S + 2)(5s + 10)

Luego con 𝜁 = 0.6901 y 𝑊𝑛 = 4𝑟𝑎𝑑

𝑠𝑒𝑔

S0 = −ζwn + wn√1 − ζ2 = 2.76 + 2,76√3j

Dc(s) = Ks + 2,76

s + 5.82

Por lo que la ecuación característica deseada se convierte en:

Pd(s) = s2 + 2 ∗ ζ ∗ Wn ∗ s + Wn2

Pd(s) = s2 + 5.52s + 16

El sistema en lazo cerrado tendrá la forma:

Gc =Gh(S) ∗ Gp(s)

1 + Gh(S) ∗ Gp(s)

GC =KD. S2 + KP. S + KI

0.5s4 + 2.5 ∗ S3 + (3 + KD). S2 + (2 + KP). S + KI

Ya que la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es de cuarto orden,

se iguala con la ecuación característica deseada añadiendo un término de más, de

la siguiente manera:

0.5s4 + 2.5 ∗ S3 + (3 + KD). S2 + (2 + KP). S + KI = (s2 + 5.52s + 16) ∗ (s2 + α. S + β)

= S4 + (α + 5.52). S3 + (5.52. α + β + 16). S2 + (16α + 5.52β)S + 16β

De donde se obtienen las siguientes ecuaciones:

2.5 = 𝛼 + 5.52 … … … … . 𝛼 = 3.02

(KD + 3) = (5.52 ∗ α + β + 16) … … . = KD = β + 29.67

(2 + KP) = (16α + 5.52β) = ⋯ … … … . KP = 5.52β + 46.32

(KI) = (16β)

Con lo que se llega a un sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas (infinitas

soluciones), suponiendo el valor de 𝛽 con el fin que cumpla con la condición de

polos dominantes deseados, por ejemplo, si se quiere un par de polos remanentes

complejos conjugados (no dominantes):

Al solucionar 𝑺𝟐 + 𝜶𝑺 + 𝜷se tiene:

S1.2 = −α

2± √

α2

4 − β

α2

4− β < 0

β > 9.1

Escogiendo un β=50 se obtiene en Matlab

KD=79.67

KP=322.32

KI=800

Ejercicio 2: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

𝐆𝐩(𝐬) =𝟏

𝐬(𝐬 + 𝟏)

(a) Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado estacionario

ante una entrada escalón unitario y el margen de fase. (b) Diseñe un compensador

en adelanto-atraso digital para que el sistema en lazo cerrado tenga un margen de

fase de 80º y la constante de error de velocidad sea Kv = 2. Suponga que el tiempo

de muestreo es TS = 0.2 segundos.

DESARROLLO

(a) Calcule la constante de error de velocidad Kv, el error en estado

estacionario ante una entrada escalón unitario y el margen de fase.

Error de velocidad Kv (entrada rampa)

𝑅(𝑧) =𝑇𝑠

(1 − 𝑍−1)2

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[(1 − 𝑧−1)1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)

0,2

(1 − 𝑍−1)2] = lim

𝑧→1[

0,2

(1 − 𝑧−1)𝐺𝐻(𝑧)]

𝐾𝑣 = lim𝑧→1

[(1 − 𝑧−1)𝐺𝐻(𝑧)

0,2]

Comando c2d para hallar GH(z)

𝐾 𝑣= lim

𝑧→1[(1 − 𝑧−1)

0,2×

0.01873𝑧 + 0.01752

𝑧2 − 1.819𝑧 + 0.817]

𝐾𝑣 = 0

El error en estado estacionario ante una entrada escalón unitario y el margen de

fase

𝑅(𝑧) =1

1 − 𝑍−1

𝑒𝑠𝑠 = lim𝑧→1

[(1 − 𝑧−1)

11 − 𝑍−1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)] = lim

𝑧→1[

1

1 + 𝐺𝐻(𝑧)]

𝑆𝑖 𝐾𝑃 = lim𝑧→1

𝐺𝐻(𝑧), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝑒𝑠𝑠 =1

1+𝑘𝑝

Kp se trae

𝑆𝑖 𝐾𝑃 = lim𝑧→1

[0.01873𝑧 + 0.01752

𝑧2 − 1.819𝑧 + 0.817] = −18,125

𝑒𝑠𝑠 =1

1−18,125

𝑒𝑠𝑠 = −0,058394161

Margen de fase

GH(z) =0.01873𝑧 + 0.01752

𝑧2 − 1.819𝑧 + 0.817

GH(𝑧) =0.01873(𝑧 + 0.9355)

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.8187)

𝑧 =1 + 0.5𝑇𝜔

1 − 0.5𝑇𝜔

𝑧 =1 + 0.5(0.2)𝜔

1 − 0.5(0.2)𝜔=

1 + 0.1𝜔

1 − 0.1𝜔

GH(𝑤) =0.01873(

1 + 0.1𝜔1 − 0.1𝜔 + 0.9355)

(1 + 0.1𝜔1 − 0.1𝜔 − 1)(

1 + 0.1𝜔1 − 0.1𝜔 − 0.8187)

𝐺𝐻(𝑤) =0.01873(1 + 0.1𝜔 + 0.9355 − 0.0935𝜔)

(1 + 0.1𝜔 − 1 + 0.1𝜔)(1 + 0.1𝜔 − 0.8187 + 0.0818𝜔)

𝐺𝐻(𝑤) =0.01873(1.9355 + 0.065𝜔)

0.2𝜔(0.1813 + 0.1818𝜔)=

0.00121𝜔 + 0.03625

0.03636𝜔2 + 0.03626𝜔

num2=[0.00121 0.03625];

den2=[0.03636 0.03626 0];

gw=tf(num2,den2);

bode(gw)

b) Diseñe un compensador en adelanto-atraso digital para que el sistema en

lazo cerrado tenga un margen de fase de 80º y la constante de error de

velocidad sea Kv = 2. Suponga que el tiempo de muestreo es TS = 0.2

segundos.

Compensador en Atraso

El componente compensa a 35º

kv=2;

pms=50;

T = 0.2;

num=1;

den=[1 1 0];

gp=tf(num,den);

gz=c2d(gp,T)

gz=tf(gz);

syms w tao alfa k

[numz,denz]=tfdata(gz,'v');

num=numz.*[ 1 -1 1];

den=denz.*[ 1 -1 1];

[numv,denv]=bilinear(num,den,0.5);

v=-T/2;

numw=numv.*[v^2 v 1];

denw=denv.*[v^2 v 1];

gw=tf(numw,denw);

gw1=zpk(gw);

[z p k]=zpkdata(gw1,'v');

p=sort(p);

n=length(p);

if p(n)<abs(1e-5)

p(n)=0;

else

p(n)=p(n);

end

gw1=zpk(z,p,k);

gw1=tf(gw1);

[numw,denw]=tfdata(gw1,'v');

gw2=poly2sym(numw,'w')/poly2sym(denw,'w');

f=limit(w*(1+tao*w)/(1+alfa*tao*w)*gw2,w,0);

k=kv/f;

k=eval(k);

gw2=k*gw1

figure

margin(gw2)

[gm pm]=margin(gw2)

pm1=pm;

while pm1<pms

phi=-(180-pms-delta);

phi1=phi-0.2;

phi2=phi+0.2;160

w=0.1:0.01:100;

[mag,fase]=bode(gw1,w);

i=find(fase>phi1 & fase<phi2);

gwmax=mag(i);

wmax=w(i);

wz=wmax(1,1)/10;

wp=wz(1,1)/gwmax(1,1);

kc=wp/wz;

gcw=zpk(-wz,-wp,kc);

gla=gcw*gw1;

[gm1,pm1]=margin(gla);

delta=delta+5;

end

figure

margin(gl

Compensador en Adelanto

Con una nueva función de transferencia, implementamos un compensador en

adelanto para lograr el margen de fase de 80º.

pms=80;

[gm pm]=margin(gla)

delta=5;

pm1=pm;

while pm1<pms

phi=pms-pm+delta;

phi=phi*pi/180;

alfa=(1-sin(phi))/(1+sin(phi));

ralfa=sqrt(alfa);

ralfa1=ralfa-0.005;

ralfa2=ralfa+0.005;

w=0.01:0.01:100;

[mag,fase,w]=bode(gla,w);

i=find(mag>ralfa1&mag<ralfa2);

w(i);

mag(i);

gwmax=mag(i);

wmax=w(i);

wz=wmax(1)*gwmax(1);

wp=wmax(1)/gwmax(1);

kc=1/alfa;

gcw=zpk(-wz,-wp,kc);

GlaSistema=gcw*gla;

[gm1 pm1]=margin(GlaSistema);

delta=delta+5;

end

figure

margin(GlaSistema)

fs=1/T;

[numw denw]=tfdata(gcw,'v');

[numz denz]=bilinear(numw,denw,fs);

gcz=tf(numz,denz,T);

gcz=zpk(gcz)

glaz=gz*gcz;

glcz=feedback(glaz,1);

figure

step(glcz)

Sistema sin compensar:

Compensado

Ejercicio 3: Suponga que la función de transferencia de la planta es:

𝐆𝐩(𝐬) =𝟑𝟔

𝐬(𝐬 + 𝟑. 𝟔)

Diseñe un regulador digital por el método de ubicación de polos para que el sistema

en lazo cerrado tenga un sobreimpulso máximo de 10%, el tiempo de

establecimiento sea menor de 1 segundo y el error en estado estacionario ante una

entrada escalón unitario sea cero. Elija el tiempo de muestreo de tal manera que se

obtengan 20 muestras por cada ciclo.

DESARROLLO

Regulador Digital:

Para hallar una función de transferencia que represente los valores anteriores se

procede a utilizar la siguiente ecuación:

𝑀𝑝 = 100 ∗ 𝑒−𝜀𝜋

√1−𝜀2

𝑀𝑝

100= 𝑒

−𝜀𝜋

√1−𝜀2

De donde para eliminar el número Euler se proceder a sacar logaritmo natural a

ambos lados de la ecuación, resultando la siguiente expresión:

𝐿𝑛 (10

100) =

−𝜀𝜋

√1 − 𝜀2

De donde, se procede posteriormente a despejar Épsilon (𝜀):

𝐿𝑛(0.1) =−𝜀𝜋

√1 − 𝜀2

−2.3026 =−𝜀𝜋

√1 − 𝜀2

√1 − 𝜀2 =−𝜀𝜋

−2.3026

Eliminando el radical se eleva al cuadrado a ambos lados de la expresión

obteniendo:

√1 − 𝜀22

=𝜀2𝜋2

2.30262

1 − 𝜀2 =𝜀2𝜋2

5.302

1 =𝜀2𝜋2

5.302+ 𝜀2

1 = 𝜀2(𝜋2

5,302+ 1)

1 = 2.8615𝜀2

𝜀2 =1

2.8615

𝜀 = √1

2.8615

𝜺 = 𝟎. 𝟓𝟗𝟏𝟏𝟔

De donde, de la fórmula del tiempo de establecimiento se calcula Wn:

𝑡𝑠 =4

𝜀𝑊𝑛

Se despeja Wn:

𝑊𝑛 =4

𝜀𝑡𝑠

𝑊𝑛 =4

0.59116 ∗ 0.8

𝑾𝒏 = 𝟖. 𝟒𝟔

De donde, la función de transferencia para estas condiciones quedaría de la

siguiente forma:

𝐺(𝑠) =𝑊𝑛2

𝑠2 + (2 ∗ 𝜀 ∗ 𝑊𝑛)𝑠 + 𝑊𝑛2

𝐺(𝑠) =8.462

𝑠2 + (2 ∗ 0.59116 ∗ 8.46)𝑠 + 8.462

𝑮(𝒔) =𝟕𝟏. 𝟓𝟕𝟏𝟔

𝒔𝟐 + 𝟏𝟎. 𝟎𝟒𝒔 + 𝟕𝟏. 𝟓𝟕𝟏𝟔

Graficando la señal con la nueva planta del controlador y sus polos

correspondientes para los valores característicos indicados anterior mente versus

la gráfica sin esta nueva función de transferencia, quedaría expresada de la

siguiente forma, realizada en la herramienta de MATLAB Simulink:

2. Actividad Práctica: La segunda actividad está compuesta de una serie de

ejercicios que deberán ser desarrollados utilizando una herramienta de

software como SCILAB o MATLAB@.

Ejercicio 1: Con los valores del Ejercicio 1 de la Actividad Teórica, utilice SCILAB

o MATLAB@ para:

𝐆𝐩(𝐬) =𝟏𝟎

(𝐬 + 𝟏)(𝐬 + 𝟐)

(a) Dibujar la respuesta de la planta Gp(s) ante una entrada escalón unitario ¿Los

valores de ess y ts, corresponden a los encontrados en el inciso (a)? (b) Dibujar

la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario. ¿Los valores

de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a los encontrados

en el inciso.

DESARROLLO

(a) Dibujar la respuesta de la planta Gp(s) ante una entrada escalón unitario ¿Los

valores de ess y ts, corresponden a los encontrados en el inciso (a)?

planta = tf(10,[1 3 2])

Transfer function:

10

-------------

s^2 + 3 s + 2

plantaz = c2d(planta,0.2,'zoh')

Transfer function:

0.1643 z + 0.1345

----------------------

z^2 - 1.489 z + 0.5488

>> numDz=[0.1643 0.1345];

>> denDz=[1 -1.489 0.5488];

>> IU = 1;

>> N = 101;

>> [x] = dstep (IU*numDz,denDz, N);

stairs (t,x)

(b) Dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario.

¿Los valores de tiempo de establecimiento y sobreimpulso corresponden a

los encontrados en el inciso (b)?

>> planta = tf(10,[1 3 2])

Transfer function:

10

-------------

s^2 + 3 s + 2

>> plantaz = c2d(planta,0.2,'zoh')

Transfer function:

0.1643 z + 0.1345

----------------------

z^2 - 1.489 z + 0.5488

Sampling time: 0.2

>> plantaz = plantaz/(plantaz + 1)

Transfer function:

0.1643 z^3 - 0.1101 z^2 - 0.1101 z + 0.07382

---------------------------------------------

z^4 - 2.814 z^3 + 3.205 z^2 - 1.745 z + 0.375

Sampling time: 0.2

>> numDz=[0.1643 -0.1101 -0.1101 0.07382];

>> denDz=[1 -2.814 3.205 -1.745 0.375];

>> IU = 1;

>> N = 101;

>> [x] = dstep (IU*numDz,denDz, N);

>> t=0:0.05:5;

>> plot(x)

>> stairs (t,x);

Ejercicio 2: Con los valores del Ejercicio 2 de la Actividad Teórica, utilice SCILAB o

MATLAB@ para:

𝐆𝐩(𝐬) =𝟏

𝐬(𝐬 + 𝟏)

(a) Dibujar el diagrama de Bode de la planta Gp(s) ¿El margen de fase corresponde

al encontrado en el inciso (a)? (b) Dibujar el diagrama de Bode del sistema

compensado. ¿El margen de fase corresponde al encontrado en el inciso (b)?

DESARROLLO

a) Dibujar el diagrama de Bode de la planta Gp(s) ¿El margen de fase

corresponde al encontrado en el inciso (a)?

Desarrollo punto a:

𝐺(𝑧) = [0.018 + (0.0175)𝑧−1]𝑧−1

(1 − 𝑧−1)(1 − 𝑒−0.2𝑧−1)=

[0.018 + (0.0175)]

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.81)=

0.018𝑧 + (0.0175)

𝑧2 − 1.81𝑧 + 0.81

𝐺𝑐(𝑧) = −5𝑧 − 9

3𝑧 − 5

∅ = 𝟏𝟗. 𝟒𝟕𝟎

Desarrollo parte b.

𝐺𝑐(𝑧) = 2.07 ∗41.4𝑧 − 39.4

−989𝑧 + 2=

85.69𝑧 − 81.55

−989𝑧 + 2

Ejercicio 3 (practico): Con los valores del Ejercicio 3 de la Actividad Teórica, utilice

LabVIEW® para dibujar la respuesta del sistema en lazo cerrado con regulador

digital ante un escalón unitario. ¿Los valores de tiempo de establecimiento y

sobreimpulso corresponden a los encontrados en la parte teórica?

Desarrollo:

𝐺(𝑧) = 2.77 ([(0.057)𝑧 + (0.0616)]

(𝑧 − 1)(𝑧 − 0.69)) =

0.15𝑧 + 0.17

𝑧2 − 1.69𝑧 + 0.69

𝐺𝑑(𝑧) = 0.102𝑧 − 0.102

𝑧 − 0.559

CONCLUSIONES

Lo visto en el curso de de control digital, temas referentes al análisis de

diversos sistemas de tipo abierto y cerrado y con diferentes entradas. Con el

desarrollo de este trabajo hemos puesto en práctica los controladores dentro

de estos encontramos compensador en adelanto puede aumentar la

estabilidad o la velocidad de respuesta de un sistema; un compensador en

atraso puede reducir (pero no eliminar) el error en estado estacionario.

Mediante la realización de este trabajo se realizaron una serie de ejercicios

desarrollados de forma práctica y teórica en los cuales utilizamos la

herramienta de software Labview y Matlab con el fin de graficar, simular y

comprobar los resultados de manera analítica e investigativa.

Se reconoce la importancia del curso Control Digital aplicado a las ramas de

la Ingeniería, mediante las practicas se proponen soluciones a problemas

que se pueden presentar en la vida real.

BIBLIOGRAFÍA

CESPEDES, JOHN. Y RODRIGUEZ OSCAR. Módulo de Control Digital,

Universidad Abierta y A Distancia “UNAD”

Diseño de Sistemas de Control Mediante el Lugar Geométrico de las Raíces,

extraído de

http://ciecfie.epn.edu.ec/CControlC/materias/automatico/Descargas/Compe

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http://www.ing.unlp.edu.ar/cys/pdf/apunte_muestreo.pdf Consultado 9 de

Diciembre de 2013

Sistemas de control,

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Céspedes, J. y Rodríguez, O. (2008), Modulo Control Digital, UNIVERSIDAD

NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA –UNAD