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LMITES DE FUNCIONES Y
SUS PROPIEDADES
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Para el clculo de los lmites de una funcin
se pueden aplicar tres estrategias:
1. Procedimiento numrico (aproximado):
Elaborar una Tabla de valores
2. Procedimiento grfico (aproximado):
ibu!ar una Grfica
". Procedimiento analtico (exacto):
#tili$ar el lgebra o el Clculo.
LMITE DE FUNCIONEEl concepto de lmite es fundamental en el estudio del %lculo. &a descripcin de dos
problemas clsicos del %lculo: el problema de la recta tangente ' el problema del
rea ilustran la forma en ue inter*ienen los lmites en el %lculo.
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EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE
Se tiene una funcin f y un punto P de su grfica y se
trata de encontrar la ecuacin de la recta tangente a
la grfica en el punto P.
Excepto cuando la recta tangente es *ertical el
problema de +allar la recta tangente en el punto P
eui*ale a determinar la pendiente de la recta tangente
en P.
,e puede calcular aproximadamente esta pendiente
tra$ando una recta ue pase por el punto de tangencia '
por otro punto. -al recta se llama rectasecante.
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medida ue el punto / se aproxima al
punto P la pendiente de la recta secante
se aproxima a la de la recta tangente.
%uando existe tal 0posicin lmite se dice
ue la pendiente de la recta tangente es el
lmite de la pendiente de la recta secante
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Determinar el rea de una regin plana
delimitada por grficas de funciones.
Este problema tambin se puede resol*er
mediante un proceso del lmite. En este caso
el proceso del lmite se aplica al rea de un
rectngulo con el fin de encontrar el rea de
una regin en general.
EL !"O#LEM$ DEL "E$
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%onsiderar la $ona acotada por la grfica de la funcin el e!ex' las rectas *erticales .,e puede estimar su rea usando *arios rectngulos. l aumentar el nmero de
rectngulos la aproximacin me!ora cada *e$ ms 'a ue reduce el rea ue se pierde.
El ob!eti*o consiste en determinar el lmite de la suma de las reas de los rectngulos
cuando su nmero crece sin fin.
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CLCULO DE LMITE DE M$NE"$ G"FIC$ % NUM&"IC$INTRODUCCIN A LOS LMITES
Suponer que se pide dibujar la grfca de la uncin dada por:
En , la uncin es indeterminada. Para obtener una idea del comportamiento de la
grfca de cerca de , se pueden usar dos conjuntos de valores dex, uno que seaproime a! por la i"quierda # otro que lo $aga por la derec$a.
ESTIMACIN NUMRICA DE UN LMITE
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Esto se lee: %el l&mite de cuandox se aproima a ! es '(.
Si se acerca a un n)mero cuandoxtiendea cpor cualquiera de los dos lados, se
tiene:
ESTIMACIN GRFICA DE UN LMITE
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ocente + -ng. *arlos Sandoval /e#es
EJEMPLO 1: ESTIMACIN NUMRICA DE UN LMITEEvaluar la uncin en varios puntos cercanos a # usar el resultado para
estimar el l&mite:
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EJEMPLO 2: CLCULO DE UN LMITE
Encontrar el l&mite de f(x) cuandoxse aproima a 1, donde f se defne
como
Solucin:
Puesto que para todos los x distintos de, se
puede concluir que el l&mite es !.
Por tanto, se puede escribir
El $ec$o de que no in2u#e en la eistencia ni
en el valor del l&mite cuando se aproima a 1.
Por ejemplo, si se $ubiera defnido la uncin
como
,el lmite sera el
mismo.
!
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LMITE 'UE NO E(ITEN EJEMPLO 3: COMPORTAMIENTO DIFERENTE POR LA DERECHA E
IZQUIERDA
emostrar que el siguiente l&mite no eiste:
Solucin:
*onsiderar la grfca de la uncin .En la fgura apreciamos que para los
valores positivos de .
ientras que para los valores negativos
Esto signifca que, independientemente de cunto se aproimexa 3, eistirn
tanto valores positivos como negativos de que darn .
El lmite no existe.
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EJEMPLO : COMPORTAMIENTO NO ACOTADO
4nali"ar la eistencia del l&mite
Solucin:
Sea
Se puede observar que a medida que x se
aproima a 3 tanto por la derec$a como por
la i"quierda, crece sin l&mite.
Esto quiere decir que, eligiendo un valor de
x cercano a 3, solo se logra que tenga un
valor mu# grande.
El lmite no existe.
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EJEMPLO !: COMPORTAMIENTO OSCILANTE
4nali"ar la eistencia del l&mite sen
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Eisten muc$as otras unciones interesantes que presentan
comportamientos inusuales. 5na de las que se cita con ma#or recuencia
es la funcin de iric!let:
Esta uncin carece de lmite en cualquier n)mero real c.
No existe lmite
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DEFINICI)N "IGU"O$ DEL LMITE*$gus+,- Louis Cauc/0
Seaf una uncin defnida en un intervalo abierto
que contiene a c6salvo posiblemente en c7 # Lun
n)mero real, entonces:
Estamos afrmando que el l&mite eiste # es igual
a ".
4lgunas unciones carecen de l&mite cuandoxc,
pero "#$%&&"' #$% &( )('%%* *( )$%+%*
,%*%- +(' &./0,%' +0%-%*,%' $"*+(xc.
Es decir,
S0 %& &./0,% +% $*" $*0* %40',%5 %*,(*%'%' 6*0(7
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CLCULO $N$LTICO DE LMITE PROPIEDADES DE LOS LMITES
El l&mite de cuando x se aproima a c no
depende del valor de f en .
Sin embargo, puede darse el caso de que este
l&mite sea
En esta situacin, se puede evaluar el l&mite por
'$',0,$0* +0-%,". Esto es:
, sustituir cporx
8as unciones con este #uen com$ortamiento son(*,0*$"' %* c.
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E8ALUACIN DE LMITES BSICOS
Se lee:%l lmite de cuando x se a$roxima a c es
&&&.
LMITES BSICOS
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LMITES DE FUNCIONES
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CLCULO $LGE#"$ICO DEL LMITE DE UN$ FUNCI)N
E8ALUACIN DEL LMITE DE UN POLINOMIO
"a $ro$iedad de sustitucin directa es vlida para todas las unciones
polinmicas # para todas las unciones racionales con denominador no
nulo.
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LMITE DE UNA FUNCIN RACIONAL
Encontrar el l&mite:
Solucin:Puesto que el denominador no es 3 cuando, se puede aplicar el teorema
anterior para obtener
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LMITE DE UNA FUNCIN COMPUESTA
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LMITES DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
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Ejemplos:
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CLCULO DEL LMITE DE UNA FUNCIN
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Encontrar el l&mite:
Solucin:Sea f6x7 9 6x'+ !76x '!7. 4l actori"ar # cancelar actores, f se puede
escribir como
e tal modo, para todos los valores de xdistintos de , las unciones coinciden,como se muestra en la fgura. Puesto que el eiste, se puede aplicar el teoremaanterior # concluir que tienen el mismo l&mite en .
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/ecuerda que algunas unciones no tienen l&mite 6cuando xtiendea c7. Por ejemplo, el siguiente l&mite no eiste
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TCNICA DE CANCELACIN
Encontrar el l&mite:
En el ejemplo, la sustitucin directa
produce la orma raccionaria 99, quecarece de signifcado. ;al epresin se
dice que es una (-/" 0*+%,%-/0*"+"
porque no es posible 6a partir slo de esa
orma7 determinar el l&mite.
Si al intentar evaluar un l&mite se llega a
esta orma, debe reescribirse la
fraccin de modo que el nuevo
denominador no tenga 0 como lmite.
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TCNICA DE RACIONALIZACIN
Encontrar el l&mite:
Solucin:
4l utili"ar la sustitucin directa, se obtiene la
orma indeterminada 33.
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Gracias
!
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