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E.A.P DE INGENIERIA INDUSTRIAL
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN
METODOS NUMÉRICOS
Docente : Ing. Marco Villavicencio
Tema : Método Trapezoidal de Integración
Alumnos :
Chávez Villanueva Lincoln Andrés
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ALGORITMO DE TRABAJO
Definición del Problema
Recopilación de Datos
Modelo Matemático
Trabajo Manual
Diagrama de Flujo ( programación)
Experimentación (Grupo)
Interpretación
Resultados de la Integración
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DEFINICION DEL PROBLEMA
El desarrollo de las integrales siempre es un problema debido a la complejidad de las funciones a integrar es por ello que se realizan software de aplicación en este campo mediante varios métodos , uno de ellos es el método trapezoidal que es simple de utilizar.
En este caso que se tienen tres funciones a integrar probaremos su legitimidad primero manualmente y luego mediante un software el cual lo realizamos mediante el programa visual C++ que presentaremos mas adelante.
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Recopilación de datos
A) INTEGRAL( SEN(X)/SQRT(1+X^4),DE 0 A 1 ;N=10B) INTEGRAL( TAN(X-1)/Ln(X+1.5),DE 0 A 25 ;N=16C) INTEGRAL( (€^-X^2)/(1+SQRT(X)),DE 0 A 1 ;N=10
Las funciones a integrar son las siguientes:
* N=numero de iteraciones
•€=exponencial
•* sqrt = raiz cuadrada
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MODELO MATEMATICO
A) INTEGRAL( SEN(X)/SQRT(1+X^4),DE 0 A 1 ;N=10
*La primera integral a evaluar con el método trapezoidal para el cual se necesita ciertos valores adicionales que son :
A=0
B=1
N=10
H=(b-a)/N=(1-0)/10=0.1
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CUADRO DE RESULTADOS DE LA 1ª INTEGRAL
ii XiXi F(xi)F(xi) && &*F(xi)&*F(xi)
00 00 00 0.50.5 00
11 0.10.1 0.09980.0998 11 0.09980.0998
22 0.20.2 0.19850.1985 11 0.19850.1985
33 0.30.3 0.29430.2943 11 0.29430.2943
44 0.40.4 0.38470.3847 11 0.38470.3847
55 0.50.5 0.46620.4662 11 0.46620.4662
66 0.60.6 0.53500.5350 11 0.53500.5350
77 0.70.7 0.58800.5880 11 0.58800.5880
88 0.80.8 0.62390.6239 11 0.62390.6239
99 0.90.9 0.64370.6437 11 0.64370.6437
1010 11 0.64960.6496 0.50.5 0.32480.3248
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Resultados de la Primera Integral
INTEGRAL =SUMA*H
INTEGRAL =4.1589*0.1=0.41589
&*F (xi)=SUMA=4.1589
EL VALOR DE LA 1ª INTEGRAL ES 0.41589.
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*La segunda integral a evaluar con el método trapezoidal para el cual se necesita ciertos valores adicionales que son :
A=0
B=25
N=16
H=(b-a)/N=(25-0)/16=1.5625
B) INTEGRAL( TAN(X-1)/Ln(X+1.5),DE 0 A 25 ;N=16
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CUADRO DE RESUTADOS DE LA SEGUNDA INTEGRALCUADRO DE RESUTADOS DE LA SEGUNDA INTEGRAL
ii XiXi F(xi)F(xi) && &*F(xi)&*F(xi)
00 00 0.80080.8008 0.50.5 0.40040.4004
11 1.5251.525 0.54960.5496 11 0.54960.5496
22 3.1253.125 5.39595.3959 11 5.39595.3959
33 4.68754.6875 -2.057-2.057 11 -2.057-2.057
44 6.256.25 -0.651-0.651 11 -0.651-0.651
55 7.81257.8125 -0.088-0.088 11 -0.088-0.088
66 9.3759.375 0.38530.3853 11 0.38530.3853
77 10.937510.9375 1.03111.0311 11 1.03111.0311
88 12.512.5 2.69942.6994 11 2.69942.6994
99 14.062514.0625 -21.49-21.49 11 -21.49-21.49
1010 15.62515.625 -2.144-2.144 11 -2.144-2.144
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II xixi F (xi)F (xi) && &*F(xi)&*F(xi)
1111 17.187517.1875 -0.939-0.939 11 -0.939-0.939
1212 18.7518.75 -0.402-0.402 11 -0.0402-0.0402
1313 20.312520.3125 -0.017-0.017 11 -0.017-0.017
1414 21.87521.875 0.3450.345 11 0.3540.354
1515 2.43752.4375 0.83010.8301 11 0.83010.8301
1616 2525 1.70461.7046 0.50.5 0.85230.8523
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Resultados de la Segunda Integral
&*F (xi)=SUMA=-15.2899
INTEGRAL =SUMA*H
INTEGRAL =-15.2899*1.5625=-23.89046875
EL VALOR DE LA 2º INTEGRAL ES -23.89046875.
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La tercera integral a evaluar con el método trapezoidal para el cual se necesita ciertos valores adicionales que son :
A=0
B=1
N=10
H=(b-a)/N=(1-0)/10=0.1C) INTEGRAL( (€^-X^2)/(1+SQRT(X)),DE 0 A 1 ;N=10
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ii XiXi F(xi)F(xi) && &*F(xi)&*F(xi)
00 00 11 0.50.5 0.50.5
11 0.10.1 0.99240.9924 11 0.99240.9924
22 0.20.2 0.97270.9727 11 0.97270.9727
33 0.30.3 0.94350.9435 11 0.94350.9435
44 0.40.4 0.90660.9066 11 0.90660.9066
55 0.50.5 0.86370.8637 11 0.86370.8637
66 0.60.6 0.81630.8163 11 0.81630.8163
77 0.70.7 0.76580.7658 11 0.76580.7658
88 0.80.8 0.71330.7133 11 0.71330.7133
99 0.90.9 0.65990.6599 11 0.65990.6599
1010 11 0.60650.6065 0.50.5 0.303250.30325
CUADRO DE RESULTADOS DE LA 3ª INTEGRAL
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Resultados de la Tercera Integral
&*F (xi)=SUMA=7.57375
INTEGRAL =SUMA*H
INTEGRAL =7.57375*0.1=0.757375
EL VALOR DE LA 3º INTEGRAL ES 0.757375
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DIAGRAMA DE FLUJOINICIO
INGRESAR A, B Y N
DEFINIR F (X)
CONVERSION H=(B-A)/N
SUMA=0
i=0
X i=A+i*h
Evaluar F (x i)
i=0 i=N
no
si
F=0.5*F
si
SUMA=SUMA+F
no
i=i+1
I < N+1
Integral=suma*H
no si
LEER INTEGRAL
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CODIFICACION EN C++#include<iostream.h>#include<math.h>void main(void){int N;double h,a,b,i,suma,F,xi,t;cout<<"METODO DE INTEGRACION TRAPEZOIDAL"<<endl<<endl<<endl;cout<<"LA FUNCION A INTEGRAR ES: SEN(X)/(1+X^4)^0.5 "<<endl<<endl<<endl;cout<<"INGRESE EL LIMITE INFERIOR DE LA INTEGRAL--(A): ";cin>>a;//LIMITE INFERIO DE LA INTEGRACIONcout<<"INGRESE EL LIMITE SUPERIOR DE LA INTEGRAL--(B): ";cin>>b;//LIMITE SUPERIO DE LA INTEGRACIONcout<<"INGRESE N: ";cin>>N;//ES EL NUMERO DE LAS ITERACIONESh=(b-a)/N;i=0;suma=0;for(i=0;i<=N;i++){ xi=a+i*h;
F=sin(xi)/sqrt(1+xi*xi*xi*xi);suma=suma+F;t=suma*h;}cout<<"los valores son : "<<endl ;cout<<"a= "<<a<<endl; // endl hace salto de lineacout<<"b= "<<b<<endl;cout<<"h= "<<h<<endl<<endl;cout<<"suma es: "<<suma<<endl<<endl<<endl;cout<<" LA INTEGRAL ES : "<<t<<endl;}
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INTERPRETACION DE RESULTADOS
Los resultados obtenidos manualmente son similares al obtenido con el programa el cual se hace mas efectivo cuando el numero de iteraciones es mas alto no obstante la segunda integral no fue así de efectivo el método no sirvió para esta función debido a las cotas que presenta la función en ese largo recorrido .