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Ecuaciones Diferenciales Ordinaria
Mg. Hermes Pantoja Carhuavilca
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Mtodos Numrico
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IntroduccinEcuaciones DiferencialesProblema de Valor Inicial
Solucin NumricaMtodos de un Solo PasoMetodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
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Agenda
IntroduccinEcuaciones DiferencialesProblema de Valor Inicial
Solucin NumricaMtodos de un Solo PasoMetodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
Sistema EDOSistema EDO
EDO de orden superiorEDO de orden superior
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Introduccin3 Ecuaciones Diferenciales
Problema de Valor Inicial
Solucin NumricaMtodos de un Solo PasoMetodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
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Una Ecuacin Diferencial es una expresin matemtica queinvolucra al menos una derivada de una funcin desconocidade una o ms variables.Ecuacin diferencial ordinaria: Cuando la funcindesconocida depende de una sola variable.
dydx = 2x + y
Ecuacin diferencial parcial: cuando la funcindesconocida depende de ms de una variable.
2Vx2 +
2Vy2 = V
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Introduccin4 Ecuaciones Diferenciales
Problema de Valor Inicial
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El orden de una ecuacin diferencial lo define el orden de laderivada ms alta que aparece en la ecuacin.
dydx = 2x + y Es de primer orden
d2xdt2 + 2
dxdt 15x = 0 Es de segundo orden
El grado de una ecuacin diferencial lo define el exponentede la derivada de mayor orden, una vez que se han eliminadolas fracciones y los radicales en variable dependiente y en susderivadas
d2xdt2 + 2
dxdt 15x = 0 Es de primer grado(dy
dx
)2+ 2y x = 0 Es de segundo grado
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Introduccin5 Ecuaciones Diferenciales
Problema de Valor Inicial
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Aqu se presentan algunos ejemplos de ecuacionesdiferenciales con sus soluciones. En cada caso, t es lavariable independiente e y la variable dependiente. Portanto, y es el nombre de la funcin desconocida de lavariable independiente t:
Ecuacin:y y = ety +9y = et
y + 12x = 0
Solucin:y(t) = tet + cety(t) = c1 sin(3t) + c2cos(3t)y(t) =
c t
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IntroduccinEcuaciones Diferenciales
6 Problema de Valor Inicial
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Forma estndar del Problema de Valor Inicial para unaecuacin diferencial de primer orden{
y = f (t, y)y(a) est dada
Se llama Problema de Valor Inicial (PVI) porque t se puedeinterpretar como el tiempo y t = a se puede pensar como elinstante inicial en el tiempo.Ecuacin:y = y + 1y = 6t 1y = ty + 1
Valor inicialy(0) = 0y(1) = 6y(0) = 0
Soluciny(t) = et 1y(t) = 3t2 t + 4y(t) =t2 + 1 1
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7 Problema de Valor Inicial
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DefinicinDada la funcin f : R2 R, un intervalo [t0,T ] y un valory0 R, el problema de valor inicial consiste en determinaruna funcin y : [t0,T ] R que verifique una ecuacindiferencial de primer orden
y (t) = f (t, y(t)), t [t0,T ]
con la condicin inicial
y(t0) = y0
Nota: Antes de empezar a resolver el problema, interesagarantizar que esta tiene solucin nica.
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TeoremaSea f : R2 R una funcin tal queI f es continua en [t0,T ] con respecto al primer
argumento.I f es continua segn Lipschitz con respecto al segundo
argumento, esto es, existe una constante L > 0(llamada constante de Lipschitz) tal que
|f (t, y1)f (t, y2)| L|y1y2|, t [t0,T ], y1, y2 R
Entonces, el problema de valor inicial posee una solucin yque es nica. Adems, la solucin y es continuamentediferenciable en [t0,T ].
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EjemploDemostrar que el Problema de Valor Inicial
dydt =
2t y + t
2et
y(1) = 0
tiene solucin nica en el intervalo [1, 2].Solucin:f (t, y) = 2t y + t
2et continua en su dominio, y como
|f (t, y1) f (t, y2)| = |2t ||y1 y2| 2|y1 y2|
Donde la constante de Lipschitz L = 2, luego se verifica quetiene solucin nica.
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Solucin Numrica10 Mtodos de un Solo Paso
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Solucin Numrica
Pasos:1. Definir una malla {ti} i = 0, 1, . . . ,N en el intervalo
[t0,T ];2. Desde i = 1 hasta i = N, determinar los yi que ser el
valor de la solucin aproximada de y(ti).El y0 es la condicin inicial conocida. Los mtodosnumricos se distinguen por la forma como son calculadoslos valores sucesivos de yi .Los mtodos en donde el clculo de yi es realizado solo conla informacin en el intervalo [ti1, ti ] se llaman mtodosde un solo paso. Los que recurren a informacin fuera deeste intervalo para determinar yi se llaman mtodos demltiple paso, o de paso mltiple.
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11 Metodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
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Mtodo de Euler
Este mtodo rara vez se usa en la prctica, debido a que esel menos preciso de los mtodos que veremos. Sin embargosu derivacin es tan simple que permite ilustrar las tcnicasque normalmente se utilizan en la construccin de mtodosms avanzados. Pretendemos resolver{
y (t) = f (t, y(t)), t0 = a t by(t0) = y0 Condicin Inicial
Tomamos el tamao de paso h > 0 (h = (b a)/n)definiendo tj = t0 + jh, j = 0, 1, 2, . . . , ny obtenemos de tal manera
yj+1 = yj + hf (tj , yj) j = 0, 1, 2, . . . , n 1
siendo los yj aproximaciones para y(tj)
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12 Metodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
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EjemploAplicar el mtodo de Euler para aproximar la solucin delproblema de valor inicial{
y (t) = y + t + 1, 0 t 1y(0) = 1
Solucin:El primer paso, es encontrar el tamao de paso h, eligiendon = 10h = b an =
1 010 = 0.1
y1 = y0 + hf (t0, y0) = 1+ 0.1 f (0, 1) = 1y2 = y1 + hf (t1, y1) = 1+ 0.1 f (1, 1) = 1.01...
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13 Metodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
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La solucin exacta es y(t) = t + et . La siguiente tablamuestra la comparacin entre los valores aproximados yj ylos valores exactos y(tj).
Ntese que el error crece ligeramente conforme el valor de tjaumenta
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14 Metodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
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Mtodo de Taylor de Orden Superior
Podemos desarrollar la funcin y(t) en una serie de Tayloralrededor del punto tj de manera de poder encontrar y(tj+1)
y(t) = y(tj)+hy (tj)+12h
2y (tj)+. . . donde h = tj+1tj
El mtodo de Euler consiste en truncar esta serie al primerorden.Si truncamos la serie de Taylor al orden n tenemos elmtodo de Taylor de orden n
yj+1 = yj + hf (tj , yj) +h22 f(tj , yj) + . . .+
hnn! f
(n1)(tj , yj)
Los mtodos de Taylor de orden elevado no son en generalde aplicacin muy prctica, utilizaremos en muchos casossolo el mtodo de Taylor de orden 2.
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15 Metodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
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Mtodo de Taylor de Orden 2
PVI {y (t) = f (t, y(t)), t0 = a t by(t0) = y0 Condicin Inicial
Tomamos el tamao de paso h > 0 (h = (b a)/n)definiendo tj = t0 + jh, j = 0, 1, 2, . . . , ny obtenemos de tal manera
yj+1 = yj + hf (tj , yj) +h22 f(tj , yj) j = 0, 1, 2, . . . , n 1
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16 Metodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
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EjemploAplicar el mtodo de Taylor de Orden 2 para aproximar lasolucin del problema de valor inicial{
y (t) = y + t + 1, 0 t 1y(0) = 1
Considere h = 0.1Solucin:f (t, y) = y + t + 1f (t, y) = y + 1 = y t 1+ 1 = y tLuego: y1 = y0 + h(y0 + t0 + 1) + h
2
2 (y0 t0) = 1.005y2 = 1.019025
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17 Metodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
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Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
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18 Metodo de Runge Kutta
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Mtodo de Runge Kutta
Los mtodos de Taylor esbozados en la seccin anteriortienen la desventaja de requerir el clculo y la evaluacin delas derivadas de f (t, y). Este puede ser un procedimientomuy complicado y que consuma mucho tiempo para unagran cantidad de problemas. Es por ello que los mtodos deTaylor se usan muy poco en la prctica. Los mtodos deRunge Kutta eliminan el clculo y la evaluacin de lasderivadas de f (t, y) .
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19 Metodo de Runge Kutta
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Mtodo de Runge Kutta de Orden 2
Conocido Tambin como el mtodo de Heun EulerMejoradoPVI {
y (t) = f (t, y(t)), t0 = a t by(t0) = y0 Condicin Inicial
Tomamos el tamao de paso h > 0 (h = (b a)/n)definiendo tj = t0 + jh, j = 0, 1, 2, . . . , ny obtenemos de tal manera
k1 = hf (tj , yj)k2 = hf (tj+1, yj + k1)yj+1 = yj +
12(k1 + k2)
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20 Metodo de Runge Kutta
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EjemploAplicar el mtodo de Runge Kutta de Orden 2 paraaproximar la solucin del problema de valor inicial{
y (t) = y + t2 + 1, 0 t 1y(0) = 1
Considere h = 0.1Solucin:f (t, y) = y + t + 1k1 = hf (tj , yj) = h(yj + t2j + 1)k2 = hf (tj+1, yj + k1) = h[(yj + k1) + t2j+1 + 1]Luego: k1 = hf (t0, y0) = h(y0 + t20 + 1) = 0k2 = hf (t1, y0 + k1) = h[(y0 + k1) + t21 + 1] = 0.001y1 = y0 +
12(k1 + k2) = 1.0005
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21 Metodo de Runge Kutta
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Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
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22 Metodo de Runge Kutta
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Mtodo de Runge Kutta de Orden 4
Este es el mtodo ms empleado en la prctica. Surge deaproximar la integral de f (t, y) por la regla de Simpson 1/3PVI {
y (t) = f (t, y(t)), t0 = a t by(t0) = y0 Condicin Inicial
Tomamos el tamao de paso h > 0 (h = (b a)/n)definiendo tj = t0 + jh, j = 0, 1, 2, . . . , n ; obtenemos detal manera
k1 = hf (tj , yj)k2 = hf (tj +
h2 , yj +
k12 )
k3 = hf (tj +h2 , yj +
k22 )
k2 = hf (tj + h, yj + k3)yj+1 = yj +
16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
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23 Metodo de Runge Kutta
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EjemploAplicar el mtodo de Runge Kutta de orden 4 para aproximarla solucin del problema de valor inicial{
y (t) = y + t + 1, 0 t 1y(0) = 1
Considere h = 0.1Solucin:f (t, y) = y + t + 1k1 = hf (tj , yj) = h(yj + tj + 1)k2 = hf (tj +
h2 , yj +
k12 ) = h
((yj + k12 ) + (tj +
h2 ) + 1
)k3 = hf (tj +
h2 , yj +
k22 ) = h
((yj + k22 ) + (tj +
h2 ) + 1
)k4 = hf (tj + h, yj + k3) = h ((yj + k3) + (tj + h) + 1))
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24 Metodo de Runge Kutta
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Luego:f (t, y) = y + t + 1k1 = hf (t0, y0) = h(y0 + t0 + 1) = 0k2 = hf (t0 +
h2 , y0 +
k12 ) =
h((y0 + k12 ) + (t0 +
h2 ) + 1
)= 0.005
k3 = hf (t0 +h2 , y0 +
k22 ) =
h((y0 + k22 ) + (t0 +
h2 ) + 1
)= 0.00475
k4 = hf (t0 + h, y0 + k3) = h ((y0 + k3) + (t0 + h) + 1)) =0.009525Finalmente:
y1 = y0 +16 [k1 + 2k2 + 2k3 + k4] = 1.00483750
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25 Metodo de Runge Kutta
Sistema EDOSistema EDO
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Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
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Sistema EDO26 Sistema EDO
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Sistema de Ecuaciones Diferenciales
Dadas las funciones f1, f2, . . . , fn de Rn+1 en R, un sistemade ecuaciones diferenciales de orden 1 definido por
du1dt = f1(t, u1(t), u2(t), . . . , un(t))du2dt = f2(t, u1(t), u2(t), . . . , un(t))...dundt = fn(t, u1(t), u2(t), . . . , un(t))
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Sistema EDO27 Sistema EDO
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El PVI consiste en determinar las funciones u1, u2, . . . , un enun intervalo [a, b] que satisfacen estas ecuacionesdiferenciales y las condiciones iniciales:
u1(a) = u1,0 u2(a) = u2,0 un(a) = un,0
Matricialmente:u(t) = f(t,u(t))
f : Rn+1 R donde f = [f1, f2, . . . , fn]T y u es una funcinde R en Rn donde u = [u1, u2, . . . , un]T .Condicin inicial:
u(a) = 0
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Sistema EDO28 Sistema EDO
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Mtodo de Euler
Los mtodos numricos aplicado a EDO de valor inicialpueden ser aplicados de forma inmediata para el casomatricial (sistemas de ecuaciones).
ui+1 = ui + hFh(ti ,ui)
Escogemos un entero N > 0 y tomamos h = (b a)/N paradividir el intervalo [a, b] en N sub-intervalos con puntos dered
tj = a + jh j = 0, 1, 2, . . . ,N 1La funcin Fh se define en trminos de f, de manera anlogaal caso escalar.
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Sistema EDO29 Sistema EDO
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Ejemplo
Considere el siguiente problema de valor inicial{u1 = u1u2u2 = t + u1 u2
u1(0) = 1, u2(0), t [0, 1]
1. Determinar una solucin aproximada por el mtodo deEuler con tamao de paso h = 0.1.
2. Determinar una solucin aproximada por el mtodo deTaylor de orden 2 con tamao de paso h = 0.1.
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Sistema EDO30 Sistema EDO
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Se define f1 y f2 por{f1(t, u1, u2) = u1u2f2(t, u1, u2) = t + u1 u2
1. La expresin del mtodo de Euler es
ui+1 = ui + hFh(ti ,ui)
Toma en este caso la forma
ui+1 =(
u1,i+1u2,i+1
)=
(u1,iu2,i
)+ h
(f1(ti , u1,i , u2,i)f2(ti , u1,i , u2,i)
)
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Sistema EDO31 Sistema EDO
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Adems:u1,i+1 = u1,i + 0.1 u1,iu2,i
u2,i+1 = u2,i + 0.1 (ti + u1,i u2,i)Para i = 0, 1, 2, . . . , 9 con las condiciones iniciales
u1,0 = u1(0) = 1
u2,0 = u2(0) = 0
La tabla siguiente representa los valores obtenidos:
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Sistema EDO32 Sistema EDO
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Sistema EDO33 Sistema EDO
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2 La expresin del mtodo de Taylor de orden 2 es
ui+1 = ui + hFh(ti ,ui) + (h2/2)F h(ti ,ui)
Siendo entonces necesario determinar f 1 y f 2 .
f 1(t, u1, u2) = u2u1 + u1u2 = u1u22 + u1(t + u1 u2)f 2(t, u1, u2) = 1+ u1 u2 = 1+ u1u2 (t + u1 u2)Toma en este caso la forma
ui+1 =(
u1,i+1u2,i+1
)=
(u1,iu2,i
)+h
(f1(ti , u1,i , u2,i)f2(ti , u1,i , u2,i)
)+
h22
(f 1(ti , u1,i , u2,i)f 2(ti , u1,i , u2,i)
)
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Sistema EDO34 Sistema EDO
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Adems:
u1,i+1 = u1,i+0.1u1,iu2,i+0.005(u1,iu22,i+u1,i(ti+u1,iu2,i))
u2,i+1 = u2,i+0.1(ti+u1,iu2,i)+0.005(1+u1,iu2,i(ti+u1,iu2,i))Para i = 0, 1, 2, . . . , 9 con las condiciones iniciales
u1,0 = u1(0) = 1
u2,0 = u2(0) = 0
La tabla siguiente representa los valores obtenidos:
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IntroduccinEcuaciones DiferencialesProblema de Valor Inicial
Solucin NumricaMtodos de un Solo PasoMetodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
Sistema EDO35 Sistema EDO
EDO de ordensuperiorEDO de orden superior
Universidad Nacional deIngeniera
Facultad de IngenieriaMecnica
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Sistema EDOSistema EDO
EDO de ordensuperior
36 EDO de orden superior
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EDO de orden superior
La ecuacin diferencial general de orden n de la forma
y (n) = f (t, y(t), y (t), . . . , y (n1)(t)) a t b
con condiciones iniciales
y(a) = u1,0, y (a) = u2,0, . . . , y (n1)(a) = un,0
parau1,0, u2,0, . . . , un,0 R
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Se convierte en un sistema de ecuaciones diferenciales deprimer orden al hacer
y = u1y = u2...y n1 = uny n = f (t, y(t), y (t), . . . , y (n1)(t))
Usando esta notacin, obtenemos el sistema de primer orden
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du1dt =
dydt = u2
du2dt =
dy dt = u3...
dun1dt =
dy (n2)dt = un
dundt =
dy (n1)dt = y
(n) = f (t, y(t), y (t), . . . , y (n1)(t))
con condiciones inicialesu1(a) = y(a) = u1,0u2(a) = y (a) = u2,0...un(a) = y (n1)(a) = un,0
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Sistema EDOSistema EDO
EDO de ordensuperior
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Ejemplo
Determinar por el mtodo de Euler con tamao de paso 0.05una solucin aproximada de
+ 10 sin = 0
(0) = 0.1 (0) = 0
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Solucin NumricaMtodos de un Solo PasoMetodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
Sistema EDOSistema EDO
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El primer paso, es definiru1 = u2 =
Luego se obtiene un sistema de ecuaciones diferencialesdu1dt = u2du2dt =
= 10 sin = 10 sin u1Luego las expresiones de recurrencias sern
u1,i+1 = u1,i + 0.05 u2,iu2,i+1 = u2,i 0.05 10 sin(u1,i)
Para i = 0, 1, 2, . . . , 9 con las condiciones inicialesu1,0 = u1(0) = 0.1u2,0 = u2(0) = 0
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IntroduccinEcuaciones DiferencialesProblema de Valor Inicial
Solucin NumricaMtodos de un Solo PasoMetodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
Sistema EDOSistema EDO
EDO de ordensuperior
41 EDO de orden superior
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La tabla siguiente representa los valores obtenidos:
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Solucin NumricaMtodos de un Solo PasoMetodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta
Sistema EDOSistema EDO
EDO de orden superiorEDO de orden superior